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FI41A: MECANICA CUANTICA I - Otoño 2008
Departamento de Física – FCFM, Universidad de Chile
Prof. H. F. Arellano
Prof. auxiliar: Sebastián Díaz
TAREA 01 Entrega: Martes 1 de abril – 12:30 horas 1
1.01 Evalúe, usando los esquemas discutidos en cátedra, las siguientes cantidades:
– El radio de Bohr, ao = ¯h 2 /me 2 ;
– La longitud de onda de Compton del electrón: λC = ¯h/mc;
– La longitud de onda de Compton para un nucleón: λC = ¯h/Mc;
– La energía potencial entre un protón y un electrón a r = ao, el radio de Bohr;
– La longitud de onda de los fotones en el decaimiento e → γ + γ.
– La longitud de onda de de Broglie para un electrón con energía cinética de 1 MeV.
Utilice los prefijos nano, femto, mega, mili y kilo, según convenga.
1.02 Considere la descripción de Planck a la radiación de cuerpo negro
uωdω = ¯hω3 dω
π 2 c 3
1
exp(¯hω/kT) − 1 .
a) Interprete físicamente uω y verifique sus unidades en tal contexto.
b) Obtenga los comportamientos asintóticos para ω ’grande’ y ’pequeña’, corrobórelos con los
límites asintóticos de Wien y Raileight. Además, estime λ para las cuales se cumplen estos
límites asintóticos en el caso de una temperatura de 5000 K.
c) Obtenga la ley del corrimiento de Wien: λmaxT =0,29 cm K.
d) Obtenga la relación ǫ = σT 4 , con σ =5.42×10 −6 W/m 2 K 4 , para la potencia por unidad de
área irradiada perpendicularmente desde el orificio de una cavidad radiante (cuerpo negro) a
temperatura T.
1.03 Obtenga la fórmula de Compton para el corrimiento de la longitud de onda de fotones cuando
colisionan electrones en reposo. Suponiendo que los picos de intensidad de reemisión y Compton
tienen un ancho de ∼10% (δλ/λ), estime el ángulo al cual ellos resultan distinguibles usando rayos
de 20 keV. Trabaje en unidades ¯h=c=1 y reconstituya su resultado dimensionalmente al final.
1.04 Considere la colisión frontal de una partícula α (He ++ ) contra un átomo de cobre. Este último
cuenta con 29 electrones, por lo cual debiera tener 29 protones. Suponga que las cargas electrónicas
se distribuyen esféricamente en una membrana de radio b, del orden 0.5 ˚A. Las cargas de los protones
se distribuyen uniformemente en una esfera concéntrica de radio a. Determine y grafique –en función
de la distancia de separación entre los centros– la energía potencial electrostática entre el Cu y la
partícula α. Si las partículas α rebotan del Cu al incidir con energía cinética de 10 MeV, estime una
cota mínima de b.
1.06 A) Los electrones de conducción en Cu tiene una energía cinética del orden de 7 eV. Calcule la
longitud de onda asociada y compárela con la distancia interatómica, considerando su densidad ρ =
8900 kg/m 3 y su número de masa es A=60.
1 Entrega en Secretaría Docente. Pasada esta hora la escala de notas será 1–6. Hasta el miércoles la escala será de
1–5. Pasado ese día la tarea se considera no entregada.

B) Actualmente es posible producir neutrones ’ultra-fríos’, los que tienen una energía cinética del
orden de 10 −7 eV. Justifique la denominación ’ultra-frío’ calculando la temperatura a esta energía.
Determine la velocidad de estos neutrones y compárela con la de un transeunte. ¿Qué altura alcanzarían
estos neutrones al ser lanzados verticalmente? Calcule la longitud de onda de estos neutrones
y compárela con la separación interatómica de un sólido.
1.07 Suponiendo que:
– La función de onda asociada a una partícula obedece el principio de superposición (aquí se
denota d3r ≡ dr):
ψ(r, t) =
1
(2π¯h) 3/2
dp e i(p·r−Et)/¯h Φ(p) .
– Que el perfil de la onda en el instante t1 está dado por ψ(r, t1).
Entonces, el perfil de onda ψ(r2, t2) en un instante t2 está dado por
donde
ψ(r2, t2) = dr1 G(r2 − r1, t2 − t1)ψ(r1, t1) ,
G(R, τ) =
1
(2π¯h) 3
dp e i(p·R−Eτ)/¯h .
Obtenga G para el caso de una partícula libre,
G(R, τ) = e −3iπ/4
3/2 m imR2 exp
2π¯hτ 2¯hτ
1.08 Determine la función de onda ψ(x, t) para un paquete de ondas normalizado asociado a un electrón.
El paquete en t = 0 estaba dado por
ψ(x,0) = Ne −x2 /2a2 ,
con a una constante conocida y N una constante a determinar. Determine además el instante en
que el ancho de la densidad de probabilidad se duplica.