II Escuela Miguel de Guzmán - Arte Galega

II Escuela Miguel de Guzmán
Manuel Díaz Regueiro
Secretario de la Escuela y Presidente
de AGAPEMA
Director del Centro de Formación y
Recursos de Lugo

Arte y Matemáticas a través de la
Informática
II Escuela Miguel de Guzmán
Manuel Díaz Regueiro
Secretario de la Escuela y Presidente
de AGAPEMA

II Escuela Miguel de Guzmán
Manuel Díaz Regueiro
Secretario de la Escuela y Presidente
de AGAPEMA

¿Por qué hablar de belleza en un curso de
matemáticas?
Decía Miguel de Guzmán sobre la matemática que:
“¿Por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a
través del juego y de la belleza?” Y Huntley
razonaba que “Mathematics should appeal to
adolescents not only because it interests them but
also because it satisfies their sense of beauty.”
Una primera razón adicional, la apunta el director
del curso cuando habla del “dios geómetra”. En
muchas religiones y filosofías el aspecto
geométrico y la geometría sagrada, resaltan y son
el origen del interés por la misma geometría.

Todo el
mundo
sabe que el
arte fractal
está
conectado
a las
matemátic
as

Todo el
mundo
sabe que el
arte fractal
está
conectado
a las
matemátic
as
Pero ¿qué pasa
con el resto del
arte?

Hace 5000 años, a os, en el Templo de Osiris en Abydos, Abydos,
Egipto, ya aparece la “flor flor de la vida”, vida , una figura
hecha con círculos... c rculos...
En Galicia aparece esta
figura en el castro de Santa
Tecla, y en el castro de
Armeá, o en la estela
funeraria de Oza dos Ríos.
Muchas cerámicas celebran
este símbolo “nacional” que
sin embargo aparece en
media Europa. En Asturias
es la “flor del agua”.

Hace 2700 años, a os, en Galicia lucía luc a el trisquel y la
espiral
Este trisquel, en piedra, lo
tenemos en el castro de San
Cibrao das Lás o en Baltar,
hecho con espirales.

Hace 2700 años, a os, en Galicia lucía luc a el trisquel y la
espiral, en Chao de Lamas (Portugal) también tambi n
El símbolo de la derecha
aparece en el castro de
Santa Tecla y en Chao de
Lamas

El Nudo eterno y el simbolismo que trasforma la
naturaleza
El símbolo nudo infinito era –para los escribas
irlandeses- una perfecta expresión de la inmensidad
de Dios y de la infinita diversidad de su creación.
Los celtas quieren dominar la naturaleza a través de fórmulas
mágicas y de símbolos, es un primer estadio de un simbolismo- el
matemático- que crea conocimientos que realmente transforman, a
través de la ciencia, el mundo.

Nature is written in symbols and signs.
John Greenleaf Whittier (1807-1892, American
poet)
El lenguaje del Universo, como diría Galileo, está
formado por círculos, triángulos y otras figuras
geométricas. El lenguaje del arte también, habría que
añadir.
Aristóteles en su Metafísica (Libro XII, Cap.III, 9):
"Las formas que mejor expresan la belleza son el orden,
la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son
las que se ocupan de ellas especialmente".

Arabescos, mosaicos y tapices
galegos
Decia Hardy que “Beauty is the first test, there is
no permanent place in the world for ugly
mathemathics” y Paul Dirac “God uses beatiful
mathemathics in creating the world”. Birhkoff
definía la fórmula matemática de la belleza….
Parece, pues, que algo en matemáticas funciona si
tiene belleza, las teorías de todo en la física se
basan en su belleza ( y casi exclusivamente en
esto). Este es el camino occidental de la belleza.

Arabescos, mosaicos y tapices
galegos
El oriental, desde los vedas, es calcular las
fórmulas para generar belleza, desde el cuadrado
védico, al número de oro y a la proporción áurea,
hasta las reglas de generación de mosaicos y
arabescos árabes.
De una manera sorprendente y afortunada
encontré una fórmula que al estilo védico permite
generar miles de patrones hermosos y distintos.
De alguna manera reforzando la postura o visión
platónica de las matemáticas y el pi in the sky de
Carl Sagan y John Barrow hay maneras
matemáticas de generar con más probabilidad
figuras estéticamente perfectas que obtusas y
feas

Arabescos, mosaicos y tapices
galegos
A estos tipos de patrones hermosos y en
número que sólo permite numerarlos, los
denominamos Arabescos, mosaicos y
tapices galegos. Cada uno de ellos tiene
propiedades asombrosas. Este es el 34:

Arabescos, mosaicos y tapices
galegos
Los ritos y los símbolos son los que hacen
que el hombre se pueda acercar
adecuadamente a los dioses
(Jámblico de
Calcídica)

El Cuadrado Védico
The language of pattern de Albarn (1974). En
ella define ese cuadrado y como usarlo en la
búsqueda de patrones hermosos.
Una regla mediante la cual no se consiguen
todos los mosaicos árabes, pero los que se
consiguen -pocos- son bellos.
La geometría védica se usa para duplicar
altares, generar belleza, establecer reglas de
rimas mm041bunyard.pdf mandalas.doc
Kolam.pdf

Arte y Matemáticas Matem ticas a través trav s de la
informática inform tica
Así las mezquitas, donde quiera que estén, están
decoradas con diseños extremadamente
elaborados hechos con formas geométricas
simples.
Donald Knuth decía que “Ciencia es lo que
entendemos lo suficientemente bien para
enseñárselo a un ordenador. Arte es todo lo
demás”. Sin embargo ahora también tratamos de
entender el arte y las matemáticas usando el
ordenador.
Desde la aparición del ordenador las cosas
están cambiando, las matemáticas se convierten

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Los mosaicos, mosaicos,
tapices y
arabescos galegos
En la comunicación irán desfilando cientos de
imágenes de mosaicos galegos, derivados
genéticos de un único fractal. El origen preciso lo
cuenta Ben (2006) en GAMMA. La realización
detallada no es posible contarla en un artículo y
comunicación tan breve por lo que seguirá siendo
un enigma envuelto en un misterio. Espero que el
deleite de la contemplación de la obra sea
suficiente. Conectan perfectamente con los
símbolos galegos, de ahí su nombre. Uno de ellos
ilustra la portada de GAMMA 6.

Los mosaicos, mosaicos,
tapices y
arabescos galegos

Los mosaicos, mosaicos,
tapices y
arabescos galegos

Los mosaicos, mosaicos,
tapices y
arabescos galegos
Lo que es preciso subrayar aquí es que la mayoría de las
obras al observarlas presentan o, mejor, parecen
presentar, una cierta intencionalidad. Parece que “el autor”
quiere expresar alguna cosa especial al hacer el diseño a
través de filigranas y de finos detalles. Lo sorprendente,
por lo tanto, es saber que no hay tal cosa, que son obras
parametrizadas y hechas por ordenador. Es decir, ¿la
intencionalidad que se aprecia es intrínseca a estas obras
por cómo están hechas o formuladas? ¿Dios geometriza,
que diría Kepler? Pero hay otras características además
que ilustran su singularidad: una de ellas es la facilidad
para, siguiendo el programa, llegar a conseguir nuevas y
exóticas imágenes de mosaicos galegos.
kolam\pkolam.exe

Bunyard visión del arte
musulmán
Centrándonos en la forma de visión
geométrica del arte musulmán:
Aún que es altamente abstracto, puede
verse como una manera de expresar
muchos aspectos básicos y distintivos de
la visión religiosa musulmana. Los
intérpretes difieren en como ellos
entienden los patrones pero algunas de
las ideas siguientes son vistas como
centrales:

Bunyard visión del arte musulmán
-Los patrones expresan el infinito y la
naturaleza ilimitada de lo Divino. Revelan
la naturaleza finita de la visión humana
porque no podemos completar el patrón
infinito.
-Expresan en forma abstracta el diseño y
el orden de un universo creado por el
deseo de Dios.
-La complejidad y la sutileza de los
diseños sugiere niveles y profundidades
en el conocimiento y entendimiento de lo
Divino.

Bunyard visión del arte musulmán
-La complejidad y diversidad de los patrones
puede ser visto balanceado con la unidad
subyacente que resume cualquiera aparente
confusión en un pacífico estado de armonía,
expresando la idea central musulmana de que la
pacificación y la armonía en la vida humana
nacen del reconocimiento y sumisión al
verdadero centro del universo: Dios.
Todas esas ideas, y otras son distintivamente
musulmanas y los patrones de los diseños
geométricos reflejan y revelan esos aspectos
centrales de la visión islámica.
Pongo estas reflexiones sobre la visión islámica
del arte sagrado porque ilustran la perplejidad
t l ió d b i f áti l

Bunyard visión del arte musulmán
Pongo estas reflexiones sobre la visión
islámica del arte sagrado porque ilustran la
perplejidad ante una colección de obras
informáticas –las que presento- que
parecen diseñadas con esa misma
intencionalidad.

Visión platónica de las matemáticas
Barrow (1993) trata también este tema de la filosofía de las
matemáticas, y entre ellas del platonismo: ¿está pi en el
cielo? Sea cual sea la respuesta parece que el
simbolismo matemático es lo preciso para entender el
universo, el homo sapiens es por naturaleza simbólico y
esta es la única llave que tenemos para abrir el mensaje
del Universo. arabes\Project5.exe
Pero la pregunta que nos podemos hacer es si tenemos
alguna pista mediante la cual podamos apostar más
por una u otra filosofía de las matemáticas. Firmo la
idea de que, el trabajo que se presenta apunta a
reforzar que, estando en la dirección correcta, las
imágenes que generamos son muchísimo más bellas
que las otras, como si hubiese un camino real que
guiase al mundo de sombras y de formas platónico.

Visión platónica de las matemáticas
¿Que tiene que ver la Florencia de los
Medicis, con cultura neoplátonica confesa,
con la Florencia de Miguel Ángel,
Leonardo, Rafael, Brunelleschi..?
¿No es éste un segundo momento en que las
matemáticas se crean para hacer patente y
manifestar la belleza?

Enseñar con arte
La búsqueda de patrones de belleza
por la humanidad ha sido el uso más
extendido de la geometría en todas
las épocas. ¿Por qué no reconocerlo
e incluir esa faceta en la enseñanza?
¿Y si, además, incluimos la
informática como apoyo?

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Incluso sin llegar a hacer investigación
informática con los alumnos de secundaria, es
posible trabajar con ellos en el ordenador en
múltiples facetas de encuentro de matemáticas y
arte:
Arte en la naturaleza (recrear figuras naturales
utilizando el ordenador y las matemáticas),
diseños con líneas, Daisy Designs o diseños con
círculos, Op Art, curve stitching, diseños con
nudos, arte islámico, curvas sencillas
(bolígonos, jolígonos, spirograph) y notables
(supercurvas, epicicloide, hipocicloide,
cicloide,...)curva.exe

Enseñar con arte
Algunas imágenes para recrear estas
ideas
Aquí un humilde bolígono se presenta

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Y un jolígono nos llama la atención

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Un opspiro

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Una cardioide hecha con círculos

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Una estrella parabólica

Enseñar con arte
Enseñar con arte
Una supercurva francesa

Enseñar con arte
Enseñar con arte
En lo relativo al arte islámico avanzaré alguna
nueva hipótesis, a añadir a las múltiples
existentes del origen o generación de arte
islámico como las que explican Kaplan, Hankin,
Albarn, Bourgoin, Critchlow, El-Said o Mora, a
modo de ejemplo.arabes\pkolam.exe
arabes\islamic.exe arabes\cadro.exe

Enseñar con arte
Se aportan razones para reconsiderar
la parcelación de nuestra cultura:
usar el arte para aprender
matemáticas y usar matemáticas para
crear arte. En suma, destacar la
necesidad de una tercera cultura que
incluya arte y matemáticas, que mire
más al hombre (“la medida de todas
las cosas”).

Enseñar con arte
En el fondo, recurrir a contenidos
emocionales que impulsen -
paradójicamente- el aprendizaje de
las matemáticas y la razón. Algo que
la sabiduría popular ya ha
sentenciado hace mucho tiempo

Bibliografía
Alsina, Claudi; Pérez, Rafael; Ruiz, Ceferino (1989): Simetría
Dinámica. Ed. Síntesis, Madrid.
Albarn, K.;Smith, J.; Steel, S.;Walker, D. (1974) The language of
pattern. Thames and Hudson. London
Aranda Ballesteros, F. Damián y de la Fuente Martos, Miguel
(2001), Matemáticas. Naturaleza y Arte, editada por la Consejería
de Educación y Ciencia de la Junta de Andalucía.
Barrow, J. D. (1993) Pi in the sky : counting, thinking, and being.
1992, Oxford New York: Clarendon Press ; Oxford University
Press en Español Trama Oculta del Universo, Contar, pensar y
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Gary Flake, William The Computational Beauty of Nature:
C E l i f F l Ch C l S d

Bibliografía
Barrow, John (2004) TEORIAS DEL TODO. Hacia una explicación
fundamental del Universo . Biblioteca de Bolsillo
Becker, K. H., et al Dynamical Systems and Fractals: Computer
Graphics Experiments with Pascal
Ben González, Inés (2006) Pasatempos. GAMMA 6.
Bourgoin, J- Arabic Geometrical Pattern and Design (Picture
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Bunyard, Derek; Brine, Alan (1988). Islamic Art: vedic square. En
Micromath de la ATM
Critchlow, Keith Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological
Approach

Bibliografía
El-Said, Issam Islamic Art and Architecture: System of Geometric
Design
Tarek El-Bouri (Editor)
El-Said, Issam Geometric Concepts in Islamic Art.
Field, Robert (1998) Geometric Patterns: From Islamic Art &
Architecture.
Tarquin Publications
Gardner, Martín (1987) Rosquillas anudadas y otras amenidades
matemáticas. Editorial Labor.
Gary Flake, William The Computational Beauty of Nature: Computer
Explorations of Fractals, Chaos, Complex Systems and Adaptation
(B df d B k S )

Bibliografía
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curriculares para la Educación Matemática. MEC : Edelvives.
Zaragoza
Huntley, H. E.,(1970) The divine proportion. A study in mathematical
beauty. Dover.
Kappraff, J. (1990) Connections: the Geometric Bridge Between Art
and Science.
Krawczyk, Robert J. The art of spirolaterals y otros muchos artículos
en internet.
Lundy, Miranda(2004). Geometría sagrada. Oniro. Barcelona.

Bibliografía
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Puntos, Granada: Proyecto Sur.
Prusinkiewicz, P.; Lindenmayer, A. (1998) The Algorithmic Beauty of
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Springer-Verlag, New York.
Recio, Tomás. (1998 ) Cálculo simbólico y Geométrico. Síntesis.
Revista Epsilon: La Alhambra.(1995) Número monográfico. 2.ª
edición. SAEM Thales, Granada.
Sagan Carl. (1989) Contacto. Plaza & Janés
Steeb, Willi-Hans The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals,
Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene
E i P i W l i h F L i