Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano cartesiano

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 1
Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano cartesiano
Por: Enrique Díaz González
En el curso de Precálculo, aparece el tema de las ecuaciones de líneas rectas y las
condiciones para que dos rectas en el plano sean paralelas o perpendiculares. Estas condiciones
tienen que ver con las pendientes de las rectas. Sin embargo, en la mayoría de los textos se
omiten las demostraciones matemáticas para justificar esas condiciones. Este artículo pretende
dar una prueba más formal de dichas relaciones.
1) Rectas paralelas.
Recordemos que dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no se
intersectan. Por ejemplo, dos rectas verticales distintas son paralelas, porque cada una de
ellas es paralela al eje de las ordenadas. De la misma forma, dos rectas horizontales
distintas son paralelas, porque cada una de ellas es paralela al eje de las abscisas. Vamos
a probar la siguiente proposición:
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
L y L 2 son dos rectas distintas no verticales con pendientes
m 1 y 2 m , respectivamente y que 1 2 m m . Hay que probar que L 1 es paralela
con L 2 . Si ambas rectas son horizontales, es decir, si tienen la misma pendiente
cero, entonces son paralelas porque cada una de ellas es paralela al eje de las
a) Supongamos que 1
abscisas, es decir, al eje x. Si ninguna es vertical, sean y m1x
b1
,
y m x b
las ecuaciones de estas rectas, donde b1 b2
. Si estas ecuaciones tienen una
solución común ( x ) entonces sustituyendo en las ecuaciones anteriores y
1, 1 y
restando ambas ecuaciones resulta que b1 b2
, ya que 1 2 m m . Por lo tanto, las
2
2
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rectas coinciden lo cual es absurdo porque las rectas son distintas. En
consecuencia, las rectas no tienen puntos en común y, por lo tanto, son paralelas.
L y 2
b) Supongamos ahora que 1 L son paralelas y no verticales. Vamos a suponer
m m . Entonces resolviendo para las variables x, y en el sistema
que 1 2
y m1x
b1
, y m2
x b2
x
b b
se tiene:
b b
1 2
1 2
, y m1
( ) b1
m1
m2
m1
m2
Este valor de la variable “y” se obtuvo en la ecuación de L 1 , pero estos valores
también satisfacen la ecuación de L 2 . En efecto, sustituyendo en la segunda
ecuación del sistema se tiene:
b b
b b
1 2
1 2
m1 b1
m2
m1
m2
m1
m2
Multiplicando esta ecuación por 1 2 m m , resulta
m1b1
m1b2
m1b1
m2b
m m
1
2
1
b
2
m2b1
m2b2
m1b2
m2b2
m m
Cancelando términos semejantes en el numerador, estas expresiones son iguales.
Por lo tanto, las rectas tienen un punto en común y esto contradice que son
paralelas. En consecuencia, 1 2 m m y esto termina la demostración.
2) Rectas perpendiculares. Recordemos que dos rectas en un plano son perpendiculares si
se intersectan formando un ángulo recto. Vamos a probar la siguiente proposición:
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus
pendientes es 1.
a) Supongamos que las rectas no verticales 1 L y 2 L tienen pendientes 1 m y 2
1
2
m tales
que m m 1.
La primera conclusión de esta hipótesis es que las rectas no son
1
2
horizontales ni son paralelas. Por lo tanto, estas rectas se cortan en un punto
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L y un punto S = (c , d) en 2
P = (p , q). Tomemos un punto R = (a , b) en 1
que sean distintos a P. Entonces se determina un triángulo PRS y además
m
b q
a p
1 ,
m
2
d q
.
c p
b q d q
Por la hipótesis 1
, lo que significa que
a p c p
2
bd bq dq q ac
ap pc
p
2
(*)
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L tal
Queremos probar que el triángulo PRS es rectángulo con el ángulo recto en el vértice
P. Vamos a usar el recíproco del Teorema de Pitágoras examinando las longitudes de
los lados del triángulo PRS. Tenemos entonces:
2
2
2
PR ( b q)
( a p)
2
2
2
PS ( d q)
( c p)
2
2
2
RS ( b d)
( a c)
Desarrollando los cuadrados y sumando las dos primeras ecuaciones e igualando con
el tercer cuadrado, se tiene:
b
2
2 2
2 2
2 2
2bq q a 2ap
p d 2dq
q c 2cp
p
2
2 2
2
b 2bd d a 2ac
c
Cancelando términos semejantes y cambiando de miembro algunos términos, se tiene:
bd
2
2
bq dq q ac
ap cp p y esto significa que se cumple la condición
(*) dada anteriormente. Desarrollando estos cálculos a la inversa, resulta que el
triángulo PRS es rectángulo con el ángulo recto en el vértice P y las rectas 1 L y 2 L
son perpendiculares.
b) Supongamos ahora que las rectas no verticales son perpendiculares. Por lo tanto se
cortan en un punto P = (a , b). Hay que probar que el producto de sus pendientes es
igual a -1.
Tomemos puntos ( 1, 2 ) a a A en L 1 y ) , ( 1 2 b b B en L 2 . Entonces el triángulo
APB es rectángulo con el ángulo recto en el vértice P. Aplicando el teorema de
Pitágoras se tiene
AP
2 2 2
BP AB y pasando a las coordenadas esto significa que
2

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2
2
2
2
2
( a1 a)
( a2
b)
( b2
b)
( b1
a)
( a1
b1
) ( a2
b2
Después de desarrollar los cuadrados y simplificar, resulta:
2
2
a b a b bb b (
a b a
a ab a ) , por lo tanto
a
2
2
1
b
2
2
1
2
a b bb b
2
2
a b a a ab a
1
a2
b b2
b
m1
m2
.
a a b a
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
, pero el primer miembro es precisamente el valor de
Po lo tanto, m m 1
que es lo que se quería probar.
1
2
Bibliografía.
Moise, Edwin E. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint,
Addison-Wesley, Third Edition , 1990.
Enrique Díaz González, ediaz@ponce.inter.edu Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad
Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois.
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