análisis elemental del movimiento bajo fuerza central de ... - Casanchi

todos los sistemas de referencia en que es válida la ecuación diferencial anterior.
Intuitivamente esta simetría anuncia una simplificación en la ecuación diferencial si
expresamos dicha ecuación en coordenadas polares :
x = r cos( φ);
y = rsen(
φ)
2
2
1 ⎡⎛
dr ⎞ d ⎤
2⎛
φ ⎞ GMm
E = m⎢⎜
⎟ + r ⎜ ⎟ ⎥ − ;
2 ⎢⎣
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦
r
2
L ⎡ 1 ⎛ dr ⎞
E = ⎢ ⎜ ⎟ 4
2m
⎢⎣
r ⎝ dφ
⎠
2
1 ⎤
+ ⎥ − 2
r ⎥⎦
L
dt
m
GMm
r
2
= r dφ
Esta expresión lleva directamente a un proceso de integración que permite obtener la
función Φ(r) de la trayectoria en coordenadas polares. Sin embargo todavía es posible
simplificar la ecuación diferencial anterior haciendo el cambio u=1/r
2
2
du 1 dr L ⎡⎛
du ⎞ ⎤
2
= − → E = ⎢⎜
⎟ + u ⎥ − uGMm
2
dφ
r dφ
2m
⎢⎣
⎝ dφ
⎠ ⎥⎦
y derivando respecto del ángulo polar tenemos
2 2
⎛ du ⎞⎡
L ⎛ d u ⎞ ⎤
⎜ ⎟⎢
⎜ + u − = 0
2 ⎟ GMm⎥
⎝ dφ
⎠⎣
m ⎝ dφ
⎠ ⎦
La ecuación anterior tiene dos soluciones:
⎛ du ⎞ 1
⎜ ⎟ = 0 → = cons tante
⎝ dφ
⎠ r
que representa una trayectoria circular centrada en el foco de fuerzas. Pero dado que la
derivada de u no es necesariamente nula siempre, obtenemos también la ecuación
diferencial de Binet
2
2
d u GMm
+ u = 2
2
dφ
L
que corresponde a una ecuación armónica que incluye una solución particular constante
y necesita dos constantes de integración:
2
1 GMm
u = = + K cos( φ −φ0
)
2
r L
Los valores K y Φ0 son constantes de integración de la ecuación diferencial de segundo
grado. El valor K se puede deducir de la ecuación de la Energía
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