Teorías Escalar-Tensor - Departamento de Física Teórica de la UAM

1.2 Transformaciones conformes
Para entender los desarrollos posteriores y sus implicaciones es necesario establecer desde un
punto de vista formal el concepto de transformación conforme. Supongamos 2 espacios-tiempo
M, ˜ M con métricas gµν, ˜gµν en los que se usan las mismas coordenadas x µ . Diremos que ambos
espacios son conformes si están relacionados por la transformación conforme:
˜gµν = Ω 2 (x)gµν
donde Ω, que recibe el nombre de factor conforme, debe ser una función dos veces diferenciable
de las coordenadas y permanecer en el rango 0 < Ω < ∞. Las transformaciones conformes
estiran o encogen las distancias entre los dos puntos descritos por las mismas coordenadas x µ
en los espacios M, ˜ M, pero preservando los ángulos entre vectores (en particular los vectores
de tipo luz que definen los conos de luz). Si tomamos Ω constante nos encontramos con las llamadas
transformaciones de escala. De hecho podemos ver las transformaciones conformes como
transformaciones de escala localizadas. En un espacio tiempo de 4 dimensiones el determinante
de la métrica g =| det gµν | se transforma como:
˜g = Ω 4 √ g. (1.2)
Es obvio de la definición de transformaciones conformes que:
Por último definimos planitud conforme como:
˜g µν = Ω −2 g µν
(1.1)
(1.3)
d˜s 2 = Ω 2 ds 2 . (1.4)
˜gµνΩ −2 (x) = gµν ≡ ηµν
Con todo esto es fácil ver que la conexión afín se transforma como:
˜Γ λ µν = Γ λ µν + 1
Ω
g λ µΩ,ν + g λ ν Ω,µ − gµνg λκ Ω,κ
Del mismo modo el tensor y escalar de Ricci se transforman según:
y el operador d’Alambertian:
(1.5)
(1.6)
˜Rµν = Rµν + Ω −2 [4Ω,µΩ,ν − Ω,σΩ ,σ gµν] − Ω −1 [2Ω;µν + ✷Ωgµν] (1.7)
1.3 La teoría de Brans-Dicke
˜R = Ω −2
R − 6 ✷Ω
Ω
∼
✷ φ = Ω −2
µν Ω,µ
✷φ + 2g
Ω φ,ν
La forma de introducir la teoría de Brans-Dicke varía de unos autores a otros; unos prefieren
introducirla desde un punto de vista histórico basándose en las ideas de Brans-Dicke; otros, en
cambio prefieren, desde un punto de vista más moderno, introducir la acción de Brans-Dicke
directamente. Ambas de estas formulaciones tienen, a mi entender, sus ventajas e inconvenientes;
por este motivo optaré por un planteamiento intermedio entre ambas; daré una visión
moderna del problema, pero intentando no descuidar la física más básica que se esconde bajo
esa formulación.
4
(1.8)
(1.9)