TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE ... - ceu mathematica

A. L. Cauchy (1789–1857)
TEORÍA DE
FUNCIONES
DE VARIABLE
COMPLEJA
Editado por
Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz
sobre apuntes del Área de Análisis matemático

B. Riemann (1826–1866) K. Weierstrass (1815–1897)
“La teoría moderna de las funciones analíticas ha tenido cuatro fundadores: Gauss,
Cauchy, Riemann y Weierstrass.
Gauss no publicó nada en vida; por así decir, no había comunicado nada a nadie y sus
manuscritos no se han reencontrado hasta mucho después de su muerte. No ha ejercido
por ello ninguna influencia.
Los otros tres geómetras que han contribuido a crear la noción nueva de función han
seguido caminos bien diferentes.
Cauchy ha precedido a los otros y les ha mostrado el camino; pero no obstante las tres
concepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos así tres
instrumentos entre los que podemos elegir y cuya acción podemos combinar a menudo.
...
La teoríadeCauchy conteníaengermen a la vez la concepción geométrica de Riemann y la
concepción aritmética de Weierstrass, y es fácil comprender como podía, al desarrollarse
en dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra.
Para Riemann, la imagen geométrica juega el papel dominante; una función no es más que
una de las leyes según las cuales pueden transformarse las superficies; uno busca representarse
estas transformaciones y no analizarlas; su posibilidad misma no es establecida
más que por un razonamiento sumario al que no se ha podido, mucho más tarde, dar rigor
más que al precio de modificaciones profundas y rodeos complicados.
Weierstrass se sitúa en el extremo opuesto; el punto de partida es la serie de potencias, el
elemento de la función que está confinado en un círculo de convergencia; para proseguir la
función fuera de este círculo, tenemos el procedimiento de la continuación analítica; todo
deviene así una consecuencia de la teoria de series y esta teoría está establecida sobre
bases aritméticas y sólidas. Nos desembarazamos de las dudas que, en el siglo pasado
yenlaprimera mitad de éste, asaltaban a menudo a los pensadores a propósito de los
principios del cálculo infinitesimal, y también de las que podía provocar por sus lagunas
la teoría defunciones analíticas de Lagrange ...”
(Henri Poincaré, ‘La obra matemática de Weierstrass’, en Acta mathematica 22 (1899),
pp. 1–18.)

INDICE
0 NÚMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Introducción
2. Propiedades algebraicas de los números complejos
3. El plano complejo
4. Raices n-ésimas de un número complejo
5. La topología de C
6. Compactificación de C
7. Continuidad de las funciones de variable compleja
1 FUNCIONES HOLOMORFAS
1. Introducción
2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja
3. Condiciones de Cauchy-Riemann
4. Funciones holomorfas. Funciones armónicas
5. Apéndice: cálculo de armónicas conjugadas y método de Milne-
Thomson
2 FUNCIONES ANALÍTICAS
1. Introducción
2. Series en C: generalidades
3. Series de potencias
4. Funciones analíticas
5. Principio de prolongación analítica
3 FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS
1. Introducción
2. Función exponencial
3. Funciones seno y coseno
4. Determinaciones del argumento y del logaritmo
5. Exponenciales y potencias arbitrarias
6. Otras funciones elementales
4 INTEGRACIÓN DE CAMINOS
1. Introducción
2. Integración de funciones complejas en intervalos reales
3. Curvas y caminos en C
4. Integración de funciones complejas sobre caminos
5. Integrales dependientes de un parámetro complejo
5 INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO
1. Introducción
2. Definición y primeras propiedades
3. Interpretación geométrica del índice
4. Ejemplos y ejercicios
5. Apéndice: superficies de Riemann
6 TEORÍA LOCAL DE CAUCHY
1. Introducción
2. Teorema y fórmula de Cauchy
3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy
4. Avance: el teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales
5. Apéndice: sumación de series.
7 TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY
1. Introducción

2. Ciclos. Homología
3. Teorema nomológico de Cauchy
4. Conexión simple
8 CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT
1. Introducción
2. Ceros de una función holomorfa
3. Singularidades aisladas
4. Funciones meromorfas
5. Singularidades en el infinito
6. Series de Laurent
7. Ejercicios resueltos
9 TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES
1. Introducción
2. Prólogo: residuos
3. El teorema de los residuos
4. Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series
5. Aplicaciones a la localización de ceros
6. Valores locales de una función holomorfa
7. Teorema de la aplicación abierta
8. Teoremas de la función inversa
9. Ejercicios resueltos

CAPÍTULO 0
0.1 INTRODUCCIÓN
Números complejos:
conocimientos previos.
Recopilamos en este capítulo las propiedades básicas de los números complejos,
ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usarse,
por ejemplo, Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté,
Barcelona (1991) (algunas explicaciones están más detalladas en Apostol, T.M.:
Calculus, vol. I (segunda edición). Reverté, Barcelona (1989)); para practicar con
operaciones y representaciones gráficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. Mc-
Graw Hill (colección Schaum) (1971).
Comencemos recordando que se definía
con las operaciones
C ={(a, b) : a, b ∈ R}
SUMA: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
PRODUCTO: (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)
Obsérvese que, como conjunto, C es en realidad R 2 .Lanovedad (y lo interesante
como veremos) estáenintroducir el producto, pues se comprueba fácilmente
que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con
(0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos.
Además, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmación:
-Laaplicación a ∈ R −→ (a, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo de
cuerpos.
Esta identificación de R como subcuerpo de C nos permite usar la notación
simplificada a = (a, 0), yobservando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede
escribir como
(a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1),
si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos
(a, b) = a + ib.
1

2 Números complejos: conocimientos previos.
Esta forma de escribir un número complejo (forma binómica) hace más facil
la multiplicación. En efecto, teniendo en cuenta que
comprobamos que
se traduce en
i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) =−1
(a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)
(a + ib).(c + id) = ac − bd + i(bc + ad),
donde para hacer esta operación sólo hace falta recordar las reglas habituales de la
multiplicación y las identificaciones anteriores.
Cuando se utiliza una sola letra para denotar un número complejo, se suele
elegir la z, ysiz = a + ib con a, b ∈ R, los números a, b se llaman partes real e
imaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a =ℜe z, b =ℑm z.
Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona
el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de que
existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones
reales. El ejemplo más aparente es x 2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C.
0.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta:
1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensión2({1, i} es la base canónica).
2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R.
3. Existe un elemento de C solución de z 2 + 1 (precisamente i es solución).
Pero, mucho más general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio
con coeficientes complejos tiene una solución en C.
Este hecho no es fácil de demostrar con argumentos elementales pero, más
adelante, será una consecuencia sencilla del análisis que desarrollaremos sobre C.
Además, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R.
Con mayor precisión, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo
isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.
4. Aplicación conjugación.Laaplicación de C en C definida por
z = a + ib −→ z = a − ib

Números complejos: conocimientos previos. 3
tiene las siguientes propiedades:
4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw).
4.2. Es una proyección (z = z).
4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R).
5. Aplicación módulo.Laaplicación de C en R + definida por
tiene las siguientes propiedades:
5.1. |z| ≥0, |z| =0 ⇔ z = 0.
z = a + ib −→ |z| =+ √ zz =+ a 2 + b 2
5.2. |z + w| ≤|z|+|w| (desigualdad triangular).
5.3. |zw| =|z||w|.
Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad
triangular inversa,
5.4. |z − w| ≥||z|−|w||.
6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que
extienda el orden de R.
En efecto, si éste fuera el caso los elementos i y0deberían ser comparables.
Entonces, ó i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendríamos
i 2 =−1 > 0, ó i < 0, en cuyo caso y por la misma razón, también se tendría
i 2 =−1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R.
Observaciones.
1. En la construcción de los números se busca siempre solucionar un defecto,
pero con una propiedad de minimalidad. Así, enlos contenidos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C,
Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene a
Z, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpo
algebraicamente cerrado que contiene a R.
2. Hay otros contextos matemáticos que llevan a construcciones de C, esdecir
alaconstrucción de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son los
siguientes:

4 Números complejos: conocimientos previos.
i) Sea R[x]elanillo de polinomios en una variable con coeficientes reales
(con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por el
polinomio x 2 +1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operaciones
inducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C.
ii) Sea M(2 × 2; R) el anillo de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales,
con las operaciones habituales. El subanillo
a b
M ={ : a, b ∈ R}
−b a
es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.
0.3 EL PLANO COMPLEJO
Debido a la identificación entre C y R
z=(a,b )
|z |
b= Im z
φ
O a = Re z
2 , todo número complejo z = a +iblo podemos
representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero además,
es de gran interés la llamada representación polar de un número complejo. Observemos
que todo punto del plano z = 0 queda unívocamente determinado por
su distancia al origen y por el ángulo que forma el segmento [0, z] con el eje real.
Dicha distancia ya sabemos que es el módulo,yelángulo va a dar lugar al concepto
de argumento de un número complejo.
Mirando la figura, tenemos las igualdades
ℜe z =|z| cos φ, ℑm z =|z| sen φ,
de donde
z =|z|(cos φ + i sen φ) =|z|eiφ .
Aquí hemos utilizado la notación
eiφ = cos φ + i sen φ.
De momento, la igualdad anterior se
debe interpretar como una definición,
aunque más adelante se corresponderá
con el valor en iφ de la función exponencial
compleja.
Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y coseno
del Análisis matemático se corresponden con las funciones definidas gráficamente
en Trigonometría, sin que para ello tengamos ninguna justificación rigurosa. Para
ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definición rigurosa
de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia
y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funciones
elementales básicas.

Números complejos: conocimientos previos. 5
Observación importante.
La definición de módulo no plantea ninguna ambigüedad, pero no así la del
ángulo (o argumento) puesto que φ y φ + 2kπ con k ∈ Z hacen el mismo papel.
Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definición de argumento.
Definición. Dado z ∈ C \{0},
arg z ={φ ∈ R : cos φ =ℜe z/|z|, sen φ =ℑm z/|z|}.
Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma
{φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z}.
Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de éste
en un múltiplo entero de 2π. Deesta forma, en cualquier intervalo semiabierto
de longitud 2π, [α, α + 2π) o (α, α + 2π], α ∈ R, existe un único elemento
perteneciente al conjunto arg z.Aeste elemento se le denota por
Arg [α,α+2π) z (respectivamente, por Arg (α,α+2π] z).
Normalmente, se toma el intervalo (−π, π]yseescribe simplemente
Arg (−π,π] z = Arg z.
A este argumento se le llama argumento principal (precaución: en algunos
textos se llama argumento principal al que está enelintervalo [0, 2π)).
La expresión e iφ , φ ∈ R (recuérdese que, de momento, es cos φ + i sen φ por
definición) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real.
e iφ e iψ = e i(φ+ψ) , φ, ψ ∈ R,
(e iφ ) n = e inφ , φ ∈ R, n ∈ N,
(e iφ ) −1 = e i(−φ) , φ ∈ R.
0.4 RAÍCES n-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
La representación polar tiene especial importancia en este estudio, pues usándola,
es fácil ver que, dado z = 0yn ∈ N, laecuación w n = z tiene exactamente n
soluciones, que son:
w =|z| 1/n Arg z+2kπ
i
e n , k = 0, 1, 2,...,n − 1.
n Si queremos alguna notación, √ z debería denotar el conjunto de estos n
elementos, aunque en algunos textos, n√ z indica solamente el valor |z| 1/n Arg z
i e n (que
nosotros llamaremos raíz n-ésima principal).

6 Números complejos: conocimientos previos.
0.5 LA TOPOLOGÍA DE C
La topología (estándar) en C viene dada por la aplicación módulo, que al cumplir
las propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal da
lugar a una distancia
d(z,w)=|z − w|
Mirado en R2 ,ésta es la distancia euclídea. Por tanto, la topología deCes, exactamente, la topología euclídea de R2 . Nos limitaremos a recordar los aspectos
de esta topología que serán de interés en el desarrollo de la asignatura.
1. Dado un punto z0 ∈ C yunε>0,
D(z0; ε) ={z ∈ C : |z − z0| 0 es una base de entornos del punto z0.
2. Un subconjunto de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir,
si
∀z ∈ , ∃ε >0 tal que D(z; ε) ⊆ .
3. Una sucesión zn −→ z0 si (por definición)
∀ε >0, ∃n0 ∈ N ∋ ∀n≥ n0, |zn − z0| 0, D(z; ε) ∩ A = ∅.
Como estamos en un espacio métrico, es interesante observar que esta propiedad
se puede caracterizar por sucesiones:
z ∈ A ⇐⇒ ∃(zn) ⊆ A ∋ zn → z.
5. Un subconjunto A ⊆ C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como
consecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass:
Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.
6. Conexión. Recordemos la definición, en general.

Números complejos: conocimientos previos. 7
Definición. Un espacio topológico X se dice conexo si no es unión de dos conjuntos
abiertos no vacíos disjuntos (o, equivalentemente, si los únicos subconjuntos de X
cerrados y abiertos a la vez son ∅ y X).
Un subconjunto X ⊆ C se considera espacio topológico con la topología
inducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la intersección de los abiertos de
C con X.
Para el concepto de conexión por arcos, hace falta recordar algún concepto
previo.
i) Una curva en C es una aplicación γ :[a, b] −→ C continua. γ(a) y γ(b)
son los puntos inicial y final de la curva (se dice también que la curva une los
puntos γ(a) y γ(b)). El subconjunto de C, γ([a, b]) se llama soporte de la
curva. Se dice que la curva está contenida en un subconjunto A de C, silo
está elsoporte.
ii) Un arco es una curva inyectiva.
iii) Dados z,w ∈ C, z = w,elarco γ :[0, 1] −→ C tal que t → (1 − t)z + tw,
se llama segmento de extremos z y w. Efectivamente, el soporte de este arco
es el segmento con dichos extremos.
Esta notación que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muy
conveniente como se veráencapítulos posteriores. Pero, para los aspectos que
estamos aquí tratando no importa esta confusión.
iv) Dados z1, z2,...zn ∈ C, llamaremos poligonal de vértices z1, z2,...zn ala
unión de los n − 1segmentos consecutivos que unen zi y zi+1. Esfácil ver
que esta unión corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es un
arco.
v) Un conjunto A ⊆ C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de sus
puntos pueden unirse por un arco contenido en A.Análogamente se puede dar
la definición más específica de conexo por poligonales.
O
• γ (a)
γ (b) .
En C y para abiertos, tenemos el siguiente:
O
z
w
O
z 1
z 2
zn

8 Números complejos: conocimientos previos.
Teorema. Sea abierto de C.Sonequivalentes:
i) es conexo.
ii) es conexo por arcos.
iii) es conexo por poligonales.
También podríamos haber añadido es conexo por poligonales de lados
paralelos a los ejes.
Es importante la hipótesis de que sea abierto. Si la quitamos, la implicación
ii) ⇒ i) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C,
A = [−i, i] ∪{x + iy : y = sen(1/x), x ∈ (0, 1)}
es un conjunto conexo que no es conexo por arcos.
7. Componentes conexas. Sea ∅ = X ⊆ C. Una componente conexa (o,
simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal.
Es decir, X1 es componente conexa de X si X1 ⊆ X, X1 es conexo y no existe
A conexo tal que X1 ⊂ A ⊆ X.
Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente:
7.1. Si X es conexo, su única componente conexa es X.
7.2 Las componentes son disjuntas.
7.3 Cada subconjunto conexo de X está contenido en una (y solo una) componente.
7.4 Si ⊆ C es abierto, cada componente conexa de es un abierto de C
yexisten, a lo más, un número contable de componentes conexas.
7.5 Si X ⊆ C es un conjunto acotado, C\X = X c posee una sola componente
no acotada.
0.6 COMPACTIFICACIÓN DE C
En este apartado, vamos a introducir ‘el punto del infinito complejo’, ∞, con el
objetivo de manejar conceptos como
lim zn =∞, lim f (z) = α, lim f (z) =∞.
z→∞ z→z0
En C sólo aparecerá un punto del ∞. Los conceptos +∞ y −∞ están asociados
a R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado.
La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compactificación
de Alexandrov de topología general, aunque posteriormente el concepto se maneja
con facilidad. El resultado general dice lo siguiente:

Números complejos: conocimientos previos. 9
Teorema. Cualquier espacio topológico localmente compacto puede ser sumergido
en un espacio compacto ˆX,deforma que ˆX \ X consta de un solo punto.
Dicho de otra forma, al espacio X le podemos añadir un punto que no estáen
X, alque se suele denotar ∞, yalespacio X ∪ {∞} se le dota de una topología
que restringida a X es la de X,yademás con esta topología X ∪ {∞} es un espacio
compacto.
Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particular
de C.
- C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene un
entorno relativamente compacto).
-Añadimos un punto ∞ y denotaremos C∞ = C ∪ {∞}.
-SiG es la topología deC, esdecir, G es el conjunto de los abiertos de C,
definimos la topología enC∞ como
G∞ = G ∪{C∞ \ K:Kcompacto de C}.
Nótese que estos conjuntos que añadimos son los entornos abiertos del punto
del ∞.
Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos:
a. G∞ es una topología enC∞.
b. G∞|C = G.
c. (C∞,G∞)escompacto.
La descripción de esta topología por base de entornos es muy sencilla:
-Sielpunto es un z0 ∈ C, una base de entornos son los discos D(z0,ε).
-Sielpunto es ∞, una base de entornos es {C∞ \ D(0, R)}R>0.
Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del ∞, veamos
que significa zn →∞, cuando {zn} ⊂C.
zn →∞⇐⇒∀R > 0, ∃n0 ∈ N ∋ ∀n ≥ n0, zn ∈ C∞ \ D(0, R).
Como zn ∈ C∞ \ D(0, R) significa |zn| > R,ladefinición anterior es equivalente
a que la sucesión de números reales |zn| tienda a +∞.

10 Números complejos: conocimientos previos.
Observación.
Es un hecho teórico importante que esta topología deC∞ es metrizable. Es
decir, se puede definir una métrica en C∞ que da lugar a dicha topología. No es
fácil describir una tal métrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la métrica
de C. Sepuede demostrar que no existe ninguna métrica en C∞ que de lugar a la
topologíadeC∞ y que extienda la métrica de C.Noobstante, y por completar este
estudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas métricas.
9. Representación geométrica de C∞.Laesfera de Riemann.
El plano no puede ser una representación geométrica de C∞, pues no queda
sitio para dibujar el punto del ∞.Noobstante, en la práctica, conviene imaginarse
al punto del ∞ como algo que estámás alláentodas las direcciones, es decir, como
la circunferencia de un círculo imaginario de centro el origen y radio +∞.
Una buena representación geométrica la dió Riemann utilizando la esfera
unidad de R
(0,0,1)
s = ( x1, x 2, x 3)
x 1 x2
π(s) = ( , , 0)
1 – x 3 1 – x3
3 . Denotamos por
S ={(x1, x2, x3) ∈ R 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1}
a dicha esfera y la dotamos de la topología relativa que le da la euclídea de R3 .
Vamos a identificar C∞ con S algebraicamente (obteniendo una biyección entre
ambos) y topológicamente (dicha biyección será homeomorfismo).
La biyección es muy intuitiva
si nos fijamos en la figura
adjunta. Se proyectan los puntos
(x1, x2, x3) de S desde el “polo
norte” (0, 0, 1) sobre el “plano
del ecuador” x3 = 0ya(0, 0, 1)
[único punto que queda sin imagen]
se le asocia el punto del infinito
∞∈C∞.
Denotando por π : S −→ C∞ a esta biyección, es un sencillo problema de
geometría elemental obtener expresiones explícitas de π y π −1 :
π(x1, x2, x3) = x1 + ix2
, si (x1, x2, x3) ∈ S \{(0, 0, 1)},
1 − x3
y π(0, 0, 1) =∞.
π −1 2ℜe z
(z) = (
|z| 2 2ℑm z
,
+ 1 |z| 2 + 1 , |z|2 − 1
|z| 2 + 1 )
y π −1 (∞) = (0, 0, 1).
Se prueba que:

Números complejos: conocimientos previos. 11
Teorema. La aplicación π, llamada proyección estereográfica,esunisomorfismo
entre los espacios topológicos S (con la topología euclídea relativa de R 3 )yC∞
(con la topología G∞).
Una vez tenemos este resultado, como S es métrico (con la métrica euclídea
d3), podemos tener una métrica sobre C∞ como imagen de la euclídea por la
aplicación π,
d∞(z1, z2) = d3(π −1 (z1), π −1 (z2)).
Esta métrica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une los
puntos π −1 (z1), π −1 (z2)).
Haciendo las operaciones tenemos:
Proposición. C∞ es metrizable y una de las métricas que origina su topología es
d∞(z1, z2) =
2|z1 − z2|
((1 +|z1| 2 )(1 +|z2| 2 )) 1/2 , z1, z2 ∈ C,
2
d∞(z, ∞) =
(1 +|z| 2 , z ∈ C,
) 1/2
d∞(∞, ∞) = 0.
0.7 CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio
es un subconjunto de C y los valores que toma están en C.Esdecir,
f : A ⊆ C −→ C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) =ℜe f (z), v(z) =ℑm f (z).
Identificando C con R 2 , las funciones u y v pueden ser vistas como funciones
de dos variables reales que toman valores en R y, así, esmuy frecuente escribir
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones
reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos
a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de

12 Números complejos: conocimientos previos.
éstos sólo interviene el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como
en C.
Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A.Esdecir,
D(z0; ε) ∩ (A \{z0}) = ∅, ∀ε >0
(nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).
Diremos que
si (por definición)
lim
A∋z→z0
f (z) = α ∈ C
∀ε >0, ∃δ >0 ∋ (0 < |z − z0| 0 tal que D(z0; δ) ⊆ y |z − z0|

Números complejos: conocimientos previos. 13
Las propiedades de los límites y funciones continuas (con demostraciones
análogas a la de R)sepueden resumir en los siguientes apartados.
Entonces:
Sean f, g : ⊆ C −→ C y z0 ∈ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim g(z) = β.
z→z0
1. Si f (z) = u(z)+iv(z) = u(x, y)+iv(x, y), z = x +iy ∈ , z0 = x0 +iy0,
lim
z→z0
2.
3.
f (z) = α ⇐⇒ lim u(x, y) =ℜeα ∧ lim v(x, y) =ℑmα. (x,y)→(x0,y0) (x,y)→(x0,y0)
4. Si β = 0,
lim f (z) + g(z) = α + β.
z→z0
lim f (z) · g(z) = α · β.
z→z0
lim
z→z0
f (z)
g(z)
= α
β .
5. Si f y g son continuas en z0, también lo son las funciones f + g y f · g.
Asimismo, lo es f/g siempre que g(z0) = 0.
Observación.
Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el uso
del módulo y la estructura de cuerpo, también será cierta en C. Por ejemplo, el
límite del producto de una función que tienda a 0 por otra función acotada en un
entorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general,
propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich.
Límites infinitos y en el infinito.
Sea f : A ⊆ C −→ C, tal que ∞ es punto de acumulación del dominio A.
Por la definición de los entornos del ∞ vista anteriormente, esto querrá decir que:
∀R > 0, A ∩ (C \ D(0; R)) = ∅

14 Números complejos: conocimientos previos.
En estas condiciones, podemos hablar de límites en el ∞, considerando la topología
de C∞.
6. Diremos que
si (por definición)
lim
A∋z→∞
f (z) = α ∈ C
∀ε >0, ∃R > 0 ∋ (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒|f (z) − α| 0, ∃R > 0 ∋ (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒|f (z)| > S.
o, equivalentemente,
∀(zn) ⊂ A ∋ zn →∞⇒ f (zn) →∞.
8. Si f : A ⊆ C −→ C y z0 es un punto de acumulación de A, diremos que
si (por definición)
lim
A∋z→z0
f (z) =∞
∀R > 0, ∃δ >0 ∋ (0 < |z − z0| R.
o, equivalentemente,
∀(zn) ⊂ A \{z0} ∋ zn → z0 ⇒ f (zn) →∞.
También se cumplen las propiedades habituales, de las que señalamos como
muestra las dos siguientes:

Números complejos: conocimientos previos. 15
i) Si
ii) Si
entonces
entonces
lim
z→z0
lim
z→z0
f (z) = α ∈ C \{0} y lim g(z) = 0
z→z0
lim
z→z0
f (z)
g(z) =∞.
f (z) = α ∈ C \{0} y lim g(z) =∞
z→z0
lim f (z)g(z) =∞.
z→z0
Y también se producen los casos de indeterminación habituales.
Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo las
definiciones, algunas de ellas.
Ejemplos.
1. Las funciones constantes ( f (z) = C, ∀z ∈ C) yla función identidad
( f (z) = z, ∀z ∈ C) son funciones continuas en todo punto de C.
2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicación), todo polinomio
Pn(z) = anz n + an−1z n−1 + ...a1z + a0, ai ∈ C
es una función contínua en todo C.
3. Toda función racional, puesta como cociente de dos polinomios, R(z) =
P(z)/Q(z), enforma irreducible, es continua en C salvo en los ceros del
polinomio Q.
4. En el mismo ejemplo anterior, si α es un cero de Q, entonces P(α) = 0y
5.
lim
z→∞
3z + 5
z 2 + 1
lim
z→α
6. La función argumento principal
P(z)
Q(z) =∞.
= 0, lim
z→∞
6z 3 + 5
2z 3 + 4z + 1
= 3.
Arg : z ∈ C \{0} −→Arg z ∈ (−π, π](⊂ C)

16 Números complejos: conocimientos previos.
es continua en C \ (−∞, 0].
En cualquier punto z0 ∈ (−∞, 0) no es continua, pues si
ysi
zn −→ z0 ∋ ℑm zn > 0, entonces Arg zn −→ π
zn −→ z0 ∋ ℑm zn < 0, entonces Arg zn −→ −π.
De forma análoga, la función Arg [α,α+2π) es continua en C \{re iα : r ≥ 0}.
Imágenes continuas de conexos y compactos
Finalmente, recordemos un par de resultados topológicos que usaremos con
frecuencia.
Sea f : A ⊆ C → C continua y X ⊆ A.SiX es conexo, f (X) es conexo. Si
X es compacto, f (X) es compacto.

CAPÍTULO 1
1.1 INTRODUCCIÓN
Funciones holomorfas
La definición y primeras propiedades de la derivación de funciones complejas son
muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como
siempre, las ligadas directamente a la relación de orden en R, como por ejemplo
el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que
la derivabilidad compleja es una condición mucho más fuerte que la derivabilidad
real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La
explicación final la encontraremos en resultados posteriores.
Para las primeras secciones de este capítulo puede usarse como libro de consulta
el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /
Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales,
ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).
1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
1. Definición y primeras propiedades.
Como C es un cuerpo y tiene sentido la división, podemos imitar literalmente
la definición de derivabilidad de funciones reales.
Definición. Sea abierto de C. Sea f : −→ C yseaz0 ∈ . Diremos que f
es derivable en z0 si existe
lim
z→z0
f (z) − f (z0)
z − z0
= f ′ (z0) ∈ C.
Al valor de dicho límite f ′ (z0) lo llamaremos derivada de f en z0.
Observación. Aunque, formalmente, la definición es como en R, laexistencia
de límite es aquí más exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos
acerquemos a z0 por el plano. Esto hará que las funciones derivables en C sean
mejores que las derivables en R,yque podamos desarrollar una teoría mucho más
redonda para éstas.
Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran
imitando punto por punto lo que se hace en R.
17

18 Funciones holomorfas
1. f derivable en z0 ⇒ f continua en z0.
2. Si f y g son derivables en z0,
i) f + g es derivable en z0 y ( f + g) ′ (z0) = f ′ (z0) + g ′ (z0).
ii) f · g es derivable en z0 y ( f · g) ′ (z0) = f ′ (z0)g(z0) + g ′ (z0) f (z0).
iii) (Si f (z0) = 0), 1/f es derivable en z0 y (1/f ) ′ (z0) =−f ′ (z0)/f (z0) 2 .
3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f (1) ⊆ 2.
Si f derivable en z0 y g es derivable en f (z0), entonces g ◦ f es derivable en
z0, y
(g ◦ f ) ′ (z0) = g ′ ( f (z0)) f ′ (z0).
4. Derivación de la función inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva,
derivable en z0 con f ′ (z0) = 0. Supongamos además que f () es abierto y
que f −1 es continua en f (z0). Entonces, f −1 es derivable en f (z0) y
( f −1 ) ′ f (z0) = 1
f ′ (z0) .
Veamos, a modo de ejemplo, cómo este último resultado se prueba igual que
para funciones reales:
La derivabilidad de f en z0 es equivalente a la continuidad en z0 de la función
g : → C dada por
f (z) − f (z0)
si z ∈ \{z0};
g(z) = z − z0
f ′ (z0) si z = z0.
Esta función permite escribir para todo z ∈
f (z) − f (z0) = g(z)(z − z0),
y como ahora g es continua en z0 con g(z0) = f ′ (z0) = 0, se verificará g(z) = 0
en un entorno de z0. Poniendo w0 = f (z0),sitomamos w ∈ f () y z = f −1 (w),
w − w0 = g f −1 (w) f −1 (w) − f −1 (w0) ,
y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0, para w en un entorno reducido
de w0,
1
g f −1 (w) = f −1 (w) − f −1 (w0)
;
w − w0

Funciones holomorfas 19
usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 yladeg en z0 = f −1 (w0),vemos
que existe
f
lim
w→w0
−1 (w) − f −1 (w0)
=
w − w0
1
f ′ (z0) .
Ejemplos de funciones derivables.
1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.
La función identidad es derivable en todo C ysuderivada es constantemente
1.
2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable
en C ysuderivada tiene la misma expresión que en R. Del mismo modo,
toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C
salvo los ceros del denominador.
1.3 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN
El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C.Yasabemos
que dar una función de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variables
reales. Nos vamos a preguntar por la relación que existe entre la derivabilidad de
la función compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones.
Tenemos:
En este apartado emplearemos sin más comentarios la notación:
f : −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),
z = x + iy ∈ , z0 = x0 + iy0 ∈ .
Teorema. f es derivable en z0 si y solo si
i) u, v son diferenciables en (x0, y0).
ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann:
∂u
∂x (x0,y0)
= ∂v
∂y
(x0,y0) ,
∂u
∂y (x0,y0) =−∂v
∂x (x0,y0) .
Demostración. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones.
Primero, es claro que f derivable en z0 se puede escribir de la forma
lim
h→0
f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′ (z0)
h
= 0. (1)

20 Funciones holomorfas
Por otra parte, recordemos la noción de diferenciabilidad. u diferenciable en
(x0, y0) significa que existe una forma lineal
tal que
L : R 2 −→ R ∋ (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl
u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − L(k, l)
lim
√
(k,l)→(0,0)
k2 + l2 Recuérdese además que
a = ∂u
∂x
(x0,y0)
, b = ∂u
∂y
(x0,y0) .
= 0.
⇒) Supongamos que f es derivable en z0 y sea su derivada f ′ (z0) = α + iβ.
Escribimos h = k + il para el parámetro complejo h.
(1) implica que
lim
h→0
f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′ (z0)
|h|
= 0. (2)
porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una función acotada.
Ahora,
f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′ (z0)
|h|
= u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − (αk − βl)
√ k 2 + l 2
+i v(x0 + k, y0 + l) − v(x0, y0) − (βk + αl)
√
k2 + l2 (3)
luego, las partes real e imaginaria de esta expresión tienen que tender a 0 cuando
h → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)).
con
Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0, y0)
∂u
∂x (x0,y0)
= α = ∂v
∂y
(x0,y0)
y ∂u
∂y
(x0,y0)
=−β =−∂v
∂x (x0,y0) .
⇐)Siu y v son diferenciables en (x0, y0) ysecumplen las condiciones de Cauchy-
Riemann, llamamos
∂u
∂x (x0,y0)
= α = ∂v
∂y
(x0,y0)
y ∂u
∂y
(x0,y0)
=−β =−∂v
∂x (x0,y0)

Funciones holomorfas 21
ysetiene que cumplir que la expresión en (3) tiende a 0.
Por tanto, se cumple (2) y de aquí (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2)
multiplicando por |h|/h). Así, f es derivable en z0 con derivada f ′ (z0) = α + iβ.
Observación.
De paso, hemos visto en la demostración que la derivada de f se puede obtener
a partir de las derivadas parciales de u ydev,
Observación.
f ′ (z0) = ∂u
∂x
= ∂u
∂x
(x0,y0)
− i ∂u
∂y
∂v
+ i
(x0,y0) ∂x
(x0,y0)
(x0,y0)
∂v
=
∂y
∂v
=
∂y
(x0,y0)
(x0,y0)
− i ∂u
∂y
+ i ∂v
∂x
(x0,y0)
(x0,y0) .
En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja es
más exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como función de R 2
en R 2 , ser diferenciable significa sin más que lo sean sus dos componentes u y v,
mientras que ser derivable exige, además de esto, que se cumplan las condiciones
sobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se verán al final del capítulo.
NOTA. EnLevinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverté,
Barcelona (1990), págs. 77 y ss. se da una interpretación física de las condiciones
de Cauchy-Riemann, en términos del estudio del flujo bidimensional de un fluido
ideal.
Para una interpretación geométrica de las condiciones de Cauchy-Riemann y
otras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demás conceptos,
con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon
Press, Oxford (1997).
1.4 FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMÓNICAS.
Definición. Sea abierto de C.Sea f : −→ C.Diremos que f es holomorfa
en un punto z0 ∈ (o también, que z0 es un punto regular para f )si f es derivable
en todos los puntos de un entorno de z0.Diremos que f es holomorfa en si f es
holomorfa en z0, ∀z0 ∈ .
Claramente, f es holomorfa en ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de
(pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos).

22 Funciones holomorfas
Denotaremos
H() ={f : −→ C : f es holomorfa en }.
Por otra parte, recordemos el concepto de función armónica.
Definición. Sea abierto de R2 .Seau : −→ R. Diremos que u es armónica
en si u es de clase C2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son
continuas) y cumple
△u = ∂2u ∂x 2 + ∂2u = 0
∂y 2
en todo punto del abierto .
Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:
Corolario. Si f ∈ H(), f = u + iv,y u, v son de clase C 2 ,entonces u, v son
armónicas en .
Demostración. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene
∂2u ∂
=
∂x 2 ∂x
∂u
=
∂x
∂
∂x
∂v
∂y
, ∂2u ∂
=
∂y 2 ∂y
∂u
=−
∂y
∂
∂y
∂v
∂x
y, como u es de clase C 2 , las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u es
armónica. Análogamente se razona con v.
Observación.
Veremos más adelante que si f ∈ H() entonces f es indefinidamente derivable,
lo cual implicará que la hipótesis C 2 del corolario es innecesaria.
Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funciones
holomorfas a partir de funciones armónicas en abiertos de R 2 . Empecemos con la
siguiente definición:
Definición. Dada u armónica en un abierto de R 2 ,diremos que v es armónica
conjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en .O,equivalentemente, por
las condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones
en todo punto de .
vx =−u y, vy = ux
Es inmediato demostrar que una función armónica conjugada de otra es,
asimismo, armónica.

Funciones holomorfas 23
Ejemplo 1.
Tomemos la función
u(x, y) = e x cos y.
Es una comprobación inmediata que dicha función es armónica en todo R 2 .Para
tratar de encontrar una armónica conjugada, planteamos las ecuaciones:
vx(x, y) =−u y(x, y) = e x sen y
vy(x, y) = ux(x, y) = e x cos y
Es fácil resolver este sistema, obteniendo que la función
v(x, y) = e x sen y
es solución en todo R 2 . Por tanto, hemos obtenido que la función
f (z) = e x cos y + ie x sen y, z = x + iy
es una función holomorfa en todo C. Siutilizamos la notación polar, podemos
poner
f (z) = e x e iy
Con lo que esta función compleja parece tener derecho a llamarse la función
exponencial compleja.Enefecto lo será, aunque la introduciremos de forma oficial
con las series de potencias.
Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sido
casual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertos
de C, una función armónica siempre tiene armónica conjugada.
Teorema. Sea abierto estrellado de R 2 .Seau armónica en .Entonces, existe
v armónica conjugada de u en .
Demostración. El resultado es una simple aplicación del lema de Poincaré para
abiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencial
cerrada es exacta. Entonces, dada nuestra función u, consideramos la forma
ω(x, y) =−u y(x, y)dx + ux(x, y)dy
El ser u armónica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, lo
cual quiere decir (por definición) que existe una función v diferenciable tal que
vx =−u y y vy = ux. Luego v es armónica conjugada de u.

24 Funciones holomorfas
Observación.
Más adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos más generales
(los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrar
que no es ampliable a abiertos cualesquiera.
Ejemplo 2.
Sea el abierto = C \{0} y sea la función
u(x, y) = 1
2 log(x 2 + y 2 )
que se comprueba sin dificultad que es armónica en .
Esta función u no tiene armónica conjugada en .
En efecto, si existiera v armónica conjugada de u en , consideramos la
función de variable real
g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π].
g es una función continua en [0, 2π] (por composición de funciones continuas). La
derivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamos
las ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo
g ′ (t) =−vx(cos t, sen t) sen t + vy(cos t, sen t) cos t
= u y(cos t, sen t) sen t + ux(cos t, sen t) cos t = 1.
Esto implica que g(t) = t + C,locual no puede ser porque g(0) = g(2π).
Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema ya
probado, la función anterior debe tener armónica conjugada o, lo que es lo mismo,
ser la parte real de una función holomorfa. Esta función holomorfa cuya parte real
es u veremos más adelante que es la función logaritmo principal.
4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.
Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad varios
resultados para funciones holomorfas, apoyándonos en el conocimiento de
funciones reales de dos variables.
1. Sea una región (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en y
f ′ (z) = 0 para todo z ∈ ,entonces f es constante.

Funciones holomorfas 25
En efecto, si f = u + iv, f ′ = ux − iuy = vy + ivx = 0en implica que
ux = u y = vy = vx = 0yesto, ya sabemos que implica u, v constantes y,
por tanto f constante.
2. Sea región. Si f es holomorfa en y ℜe f (z) = C (ó ℑm f (z) = C)para
todo z ∈ ,entonces f es constante.
En efecto, si u = cte, entonces ux = u y = 0. Luego, por Cauchy-Riemann,
también será vx = vy = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante.
Análogamente se razonaría sifuera constante la parte imaginaria.
3. Sea región. Si f es holomorfa en y | f (z)| =C para todo z ∈ ,entonces
f es constante.
En efecto, la hipótesis es u 2 + v 2 = cte. Derivando en esta expresión con
respecto a x e y, tenemos
2uux + 2vvx = 0, 2uuy + 2vvy = 0.
Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos
2uux − 2vu y = 0, 2uuy + 2vux = 0
Multiplicando la primera × u ylasegunda × v, nos da
(u 2 + v 2 )ux = 0,
de donde ux = 0. De forma parecida se obtiene u y = vx = vy = 0. Por tanto,
u y v son constantes y en consecuencia lo es f .
Observación.
Nótese cómo las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una función
holomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazón
entre las partes real e imaginaria, ésta fuerza a que la función holomorfa sea constante.
Por ejemplo, resultados de esta naturaleza serían:
i) Si f = u + iv es holomorfa en región y u 3 = v entonces f ≡ C.
ii) Si f = u + iv es holomorfa en región y 5u + 2v = cte entonces f ≡ C.
Comprobamos así que la derivabilidad en C es muy exigente, y no sólo a nivel
local.

26 Funciones holomorfas
1.5 APÉNDICE: CÁLCULO DE ARMÓNICAS CONJUGADAS
YMÉTODO DE MILNE-THOMSON
La Teoría defunciones analíticas constituye un auténtico filón
de métodos de gran eficacia para resolver importantes problemas
de Electroestática, Conducción del calor, Difusión, Gravitación,
Elasticidad y Flujo de corrientes eléctricas. La gran potencia del
Análisis de variable compleja en tales campos se debe, principalmente,
al hecho de que las partes real e imaginaria de una función
analítica satisfacen la ecuación de Laplace.
Este párrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., pág. 77, da idea de que la
búsqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidas
es una cuestión importante en muchas aplicaciones de la teoría defunciones de
variable compleja.
Hemos visto una solución de este problema mediante el cálculo de funciones
armónicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemos
denominar “el método real”: dada una función u armónica en un abierto conexo
de R 2 , nos son conocidas las derivadas parciales de su armónica conjugada v (¡si
existe!) a través de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el cálculo de
primitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el cálculo
de las funciones potenciales de la forma diferencial −u y(x, y) dx + ux(x, y) dy]
nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explícitas para la(s) funcion(es)
v. Este procedimiento es fácilmente “automatizable”, y resulta cómodo llevarlo a
cabo mediante programas de cálculo simbólico como Mathematica.
Esquemáticamente, podríamos proceder así: dada u(x, y),
1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x, ux(x, y);
2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y(x, y);
3.- “integrar −u y(x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y)
de −u y(x, y) como función sólo de x;
4.- calcular su derivada parcial respecto de y, Wy(x, y);
5.- calcular ϕ(y) = ux(x, y) − Wy(x, y)
6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva (y) de ϕ(y);
7.- calcular W (x, y) − (y): esta será una función v(x, y) armónica conjugada
de u (y las demás diferirán de ella en la adición de una constante real).
Téngase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integración”.
Además, el número de funciones cuyas primitivas puede calcular “explícitamente”
es limitado.

Funciones holomorfas 27
Hay también un “método complejo” para tratar el problema, el denominado
método de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable compleja.
Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis.
Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condiciones
restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con parte
real prefijada u.Sujustificación se basa en resultados importantes que probaremos
posteriormente: toda función holomorfa es analítica (y su derivada también), y dos
funciones analíticas en un abierto conexo son iguales si y sólo si coinciden en
un conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulación dentro
de ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongación analítica).
Sea, pues, un abierto conexo de R 2 que corte al eje real, con lo cual la
intersección de con R contendrá almenos un segmento abierto (¿por qué?)
Dada entonces una función u armónica en , notemos que la función g dada
en por f1(x + iy) = ux(x, y) − iuy(x, y) es holomorfa en (¿por qué?).
Supongamos que sabemos encontrar una función g holomorfa en tal que g ′ (x) =
f1(x) = ux(x, 0)−i uy(x, 0) para todo x ≡ (x, 0) ∈ ∩R: entonces g ′ (z) = f1(z)
por el principio de prolongación analítica, y la parte real de g difiere de u en una
constante real (¿por qué?). La función f = g + C, para una constante real C
adecuada, tiene como parte real u.
El método de Milne-Thompson es también fácilmente “traducible” a Mathematica.
Pero tanto si se usa este método como el anterior, sigue siendo necesario
verificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos empleados,
muy especialmente debido a que los programas de cálculo simbólico, en
general, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, manipulando
tan sólo “nombres” de funciones o “funciones dadas por fórmulas”, por
decirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector que
pruebe a aplicar los métodos descritos a la ‘malvada’ función u(x, y) = ln(x 2 +y 2 ),
definida y armónica en R 2 \{(0, 0)}. ¿Cuáles son sus armónicas conjugadas, según
Mathematica?
NOTA. Elmétodo de Milne-Thompson puede esquematizarse así: dada u(x, y),
1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x, ux(x, y);
2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y(x, y);
3.- calcular ux(x, 0),esdecir, “sustituir y por 0” en ux(x, y);
4.- calcular u y(x, 0),esdecir, “sustituir y por 0” en u y(x, y);
5.- “sustituir x por z” enux(x, 0) − iuy(x, 0) para obtener f1(z);
6.- “integrar f1(z) respecto de z”, es decir, obtener una primitiva g(z) de f1(z);
7.- calcular f (z) = g(z) −ℜe g(x0) + u(x0, 0) para cualquier x0 ∈ ∩ R.
Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u;
8.- si se busca una función armónica conjugada de u, hallar la parte imaginaria
de f (z).

CAPÍTULO 2
2.1 INTRODUCCIÓN
Funciones analíticas
Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo
se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto de límite. Esto
nos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definir
exactamente igual que en R y gozará delas mismas propiedades y con idénticas
demostraciones que en R (¡si no dependen de la ordenación de R!).
Por tanto, este capítulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un simple
repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detalles
pueden consultarse en Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté,
Barcelona (1991).
2.2 SERIES EN C: GENERALIDADES.
1. Dada una sucesión (zn) ∞ n=0
si
⊂ C, laserie infinita
∃ lim
N→∞
N
zn ∈ C.
n=0
Al valor de dicho límite se le denota también por
de la serie.
2. Criterio de convergencia de Cauchy.
∞
zn converge ⇔∀ε>0, ∃n0 ∈ N ∋ si n > m > n0,
n=0
3. Decimos que la serie
números reales
∞
zn se dice convergente
n=0
∞
zn yselellama suma
n=0
n
k=m
zk

Funciones analíticas 29
Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el recíproco no es
cierto.
∞
4. La serie zn converge si y solo si convergen las dos series de números reales
n=0
∞
ℜe zn y
n=0
∞
ℑm zn. Además
n=0
∞
n=0
zn =
5. Producto de Cauchy de series.
∞
ℜe zn + i
n=0
∞
ℑm zn.
n=0
Consideremos dos series de números complejos,
k ∈ N ∪{0},definimos
La serie
ck =
n+m=k
anbm =
∞
an,
n=0
∞
bn. Para cada
n=0
k
anbn−k = a0bk + a1bk−1 + ...+ akb0.
n=0
∞
ck se llama producto de Cauchy de las series
k=0
∞
an y
n=0
∞
bn.
En principio, ésta es una definición formal, que no atiende a la convergencia
de las series que intervienen. Si efectuáramos “la multiplicación de las sumas
infinitas” de an y bm, colocando todos los “sumandos del producto” an bm en una
tabla (infinita) de doble entrada, asociándolos según las diagonales secundarias, el
resultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada “sumando producto”
an bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, por
tanto, que cuando sea lícito reagrupar términos (si disponemos de las propiedades
conmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serie
convergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio,
que será todo lo que necesitemos, es el siguiente.
∞ ∞
Teorema (Mertens). Si las series an y bn son absolutamente convergentes,
n=0 n=0
∞
entonces la serie ck es absolutamente convergente y además,
k=0
∞
n=0
an
∞
n=0
bn
=
∞
ck.
k=0
n=0

30 Funciones analíticas
6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass.
Recordemos la siguiente:
Definición. Sean fn, f : A ⊆ C −→ C.Diremos que fn −→ f uniformemente
en A si
∀ε >0, ∃n0 ∈ N ∋ si n ≥ n0, | fn(z) − f (z)|

Funciones analíticas 31
2.3 SERIES DE POTENCIAS
Definición. Dado a ∈ C, llamaremos serie de potencias centrada en a atoda
serie de la forma
∞
an(z − a) n = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + ...,
n=0
donde los coeficientes (an) ⊂ C.
El primer problema es saber para qué puntos de C converge. Es claro que,
sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a.
El siguiente resultado (con demostración totalmente análoga a la de R) deja
claro este problema de convergencia de una serie de potencias.
En el enunciado utilizamos la notación D(a;+∞) = C.
Teorema 1 (Abel). Sea ∞
n=0 an(z − a) n una serie de potencias centrada en a.
Entonces, existe un número R ∈ [0, +∞] tal que
1. ∞
n=0 an(z−a) n converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R).
2. ∞
n=0 an(z − a) n no converge en C \ D(a; R).
3. Fórmula de Cauchy-Hadamard: R = lim sup |an| 1/n −1 .
Observaciones.
i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) disco
de convergencia. SiR = 0, la serie sólo converge en z = a, ysiR =+∞,
la serie converge en todo punto de C.
En los casos intermedios 0 < R < +∞, elteorema asegura que la serie
converge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No se
afirma nada en relación a lo que ocurre en la frontera {z : |z − a| =R}. Este
problema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debe
ser analizado en cada caso particular.
ii) Nótese que R no depende de a.Aefectos de convergencia, lo que le ocurre a
la serie viene determinado por los coeficientes (an). Por ello, es suficiente que
estudiemos series centradas en 0, anz n , pues los resultados se trasladarán
de forma obvia a la serie an(z − a) n .

32 Funciones analíticas
iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una función
∞
f (z) = an(z − a) n , z ∈ D(a; R),
n=0
que, al ser límite casi uniforme de funciones continuas, es una función continua
en D(a; R).
iv) En muchos casos, la fórmula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recordamos
el siguiente resultado sobre límites.
Dada una sucesión (an), con an = 0, ∀n,si
|an+1|
∃ lim ∈ [0, +∞],
n→∞ |an|
el valor de dicho límite coincide con lim sup |an| 1/n . Por tanto, en los casos en
que esto ocurra (en la práctica será frecuente), tendremos la siguiente fórmula
para el radio de convergencia,
R = lim
n→∞
|an|
|an+1| .
v) Aún en casos en que no sepamos calcular el radio por la fórmula de Cauchy-
Hadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena información.
Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z0 ∈ C,
forzosamente debe ocurrir que R ≥|a− z0|.
Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z1 ∈ C, forzosamente
R ≤|a− z1|.
Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la
frontera de su círculo de convergencia es suficiente en los casos más sencillos el
siguiente criterio.
Criterio de Dirichlet. Sea (an) una sucesión de números reales, no creciente y
convergente a 0.Sea bn una serie de números complejos cuyas sumas parciales
forman una sucesión acotada. Entonces la serie anbn es convergente.
En lo que sigue, por abreviar notación y teniendo en cuenta la observación ii),
bastará que consideremos series de potencias centradas en 0. El número R colocado
sin más al lado de la serie, será suradio de convergencia.
El primer resultado que vemos a continuación nos indica que las series de
potencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista analítico (son
indefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivar
término a término).

Funciones analíticas 33
Teorema 2. Sea ∞ n=0 anz n , R ∈ (0, +∞]. Seaf (z) = ∞ n=0 anz n , |z| < R.
Entonces,
i) f es derivable en D(0; R),yademás
f ′ (z) =
∞
nanz n−1 , |z| < R.
ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R),yparacada k ∈ N,
f (k) (z) =
n=1
∞
n(n − 1)...(n − k + 1)anz n−k , |z| < R.
n=k
iii) Para cada k ∈ N ∪{0},
ak = f (k) (0)
.
k!
iv) Laserie “antiderivada” o “primitiva término a término”
∞
n=0
an
n + 1 zn+1
converge en D(0; R) a una función cuya derivada es f .
Observación.
Nótese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismo
radio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que:
Si ∞
n=0 anz n tiene radio R y P es cualquier polinomio y k ∈ N, las series
tienen radio R.
∞
n=0
an+kz n ,
∞
n=0
P(n)anz n
El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinados
por el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer éstas, sólo
hace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente

34 Funciones analíticas
Corolario. Si dos series de potencias ∞ n=0 anz n y ∞ n=0 bnz n con radios R1, R2 >
0 son tales que coinciden en un entorno de 0,entonces
an = bn, ∀n ∈ N ∪{0}.
Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del círculo
de convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z| =R ¿hay alguna
relación entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores?
He aquí una respuesta parcial.
Teorema del límite de Abel. Sea f (z) = ∞ n=0 anz n , |z| < R, R ∈ (0, +∞).
Supongamos que la serie converge también para z = R. Entonces existe el límite
radial (a través del segmento (0, R))delafunción f yvale
lim
x→R
0

Funciones analíticas 35
4. Composición. Si para un z ∈ D(0; R2),
∞
|bnz n | < R1, entonces tiene
n=0
sentido la función composición f ◦ g,yademás
en un entorno del origen.
f ◦ g(z) =
∞
n=0
δkz k
La demostración de estos dos últimos resultados es bastante farragosa.
Teóricamente nos dicen que la división y composición de series de potencias
son series de potencias, pero en la práctica son de difícil aplicación.
4. Cambio de centro. Sea f (z) = ∞ n=0 anz n , R > 0ysea b ∈ D(0; R).
Entonces, ∃δ >0 tal que
f (z) =
∞
bn(z − b) n , |z − b| 0. SeaE ={z ∈ D(0; R) : f (z) = 0}.
Son equivalentes:
i) E = D(0; R) (es decir, f es idénticamente nula).
ii) an = 0, ∀n
iii) E ′ ∩ D(0; R) = ∅(i.e., E tiene puntos de acumulación en D(0; R)).
Demostración. i) ⇔ ii) es consecuencia inmediata del corolario del teorema
2ylaimplicación i) ⇒ iii) es obvia.
Veamos que iii) ⇒ i). Llamemos A = E ′ ∩ D(0; R) = ∅. A es cerrado en
la topología relativa de D(0; R) porque E ′ siempre es un cerrado de C. Sivemos
que también A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R)
es abierto), por conexión tendremos que A = D(0; R) ydeaquí es muy fácil ver
que E = D(0; R),loque concluiría lademostración.
Sea pues a ∈ A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que a
es un punto interior, es decir, existe un disco D(a; δ) ⊂ A.

36 Funciones analíticas
Por el cambio de centro, f será una serie de potencias en un entorno de a,
f (z) =
∞
bn(z − a) n , en D(a; δ) ⊂ D(0; R)
n=1
(la serie empieza en 1, pues f (a) = 0).
Si bn = 0, ∀n tendremos claramente que D(a; δ) ⊂ A.
En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces,
f (z) = (z − a)
k
n=k
bn(z − a) n−k = (z − a) k g(z)
donde g es una función continua (pues es una serie de potencias) con g(a) = 0, lo
que implica que g(z) = 0enunentorno U de a. Por tanto, f (z) = 0enU \{a},
lo que contradice que a ∈ E ′ . Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, ∀n,
y esto demuestra el resultado.
El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un subconjunto
del disco abierto de convergencia que tenga algún punto de acumulación
en dicho abierto, entonces la serie es idénticamente nula.
2.4 FUNCIONES ANALÍTICAS
Definición. Sea = ∅ un abierto de C. Una función f : −→ C se dice
analítica en a ∈ ,siexiste una serie de potencias centrada en a con radio R > 0
tal que
∞
f (z) = an(z − a) n , |z − a|

Funciones analíticas 37
2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) =
∞
anz n con radio R > 0esanalítica en D(0; R). Análogamente, f (z) =
n=0
∞
an(z − a) n es analítica en D(a; R).
n=0
3. La función racional f (z) = 1
es analítica en C \{1}.Enefecto, es claro
1 − z
que es analítica en 0, pues
1
1 − z =
∞
z
n=0
n , |z| < 1.
Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C \{1},
1
1 − z =
1
1 1
=
1 − a − (z − a) 1 − a 1 − ( z−a
1−a )
1
∞
n z − a
∞ (z − a)
=
1 − a 1 − a
n=0
n=0
n
(1 − a) n+1
siempre que
z − a
1
− a < 1. Es decir, en el entorno de a, |z − a| < |1 − a|.
De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es difícil probar
que toda función racional es analítica en su dominio de definición, esto es, en
todo C menos los ceros del denominador.
Proposición. Si f es analítica en entonces f es holomorfa. Esmás, f es
indefinidamente derivable en .
Demostración. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemos
que una serie de potencias es indefinidamente derivable.
Operaciones con funciones analíticas.
1. La suma y el producto de funciones analíticas son analíticas.
2. Si f es analítica en a y f (a) = 0 entonces 1/f es analítica en a.
3. Sean f : −→ C, g : 1 −→ C con f () ⊆ 1.Sif es analítica en a y g
es analítica en f (a), entonces g ◦ f es analítica en a.
Observación.
Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones para
serie de potencias. No merece la pena insistir en la demostración porque, más
adelante, veremos que, en C, una función es analítica si y solo si es holomorfa, y
para funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1,2y3.

38 Funciones analíticas
2.5 PRINCIPIO DE PROLONGACIÓN ANALÍTICA
El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series de
potencias.
Teorema (P.P.A.). Sea una región de C. Sea f : −→ C analítica en . Son
equivalentes:
i) f ≡ 0 en .
ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = 0, ∀n ∈ N ∪{0}.
iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulación en .
Demostración.
i) ⇒ ii) Inmediato.
ii) ⇒ iii) En un entorno de a, D(a; δ),
f (z) =
∞
n=0
an(z − a) n y an = f (n) (a)
.
n!
Así, f = 0entodo D(a; δ) al menos, y obviamente D(a; δ) ⊆ tiene punto de
acumulación en .
iii) ⇒ i) Por hipótesis, un subconjunto de E = f −1 (0) ⊆ tiene puntos de
acumulación en , luego también los tiene el propio E,demodo que E ′ ∩ = ∅.
Usemos el clásico argumento de conexión.
E ′ ∩ es cerrado en .
E ′ ∩ es abierto en . Enefecto, sea a ∈ E ′ ∩ . Enunentorno de a,
D(a; δ) ⊆ ,
∞
f (z) = an(z − a) n .
n=0
Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulación en D(a; δ) (precisamente
el punto a ∈ E ′ ∩ D(a; δ)). Por tanto, por el principio de identidad para
series de potencias la serie es nula. Así, f = 0enD(a; δ),esdecir, D(a; δ) ⊆ E,
de donde se deduce fácilmente que D(a; δ) ⊆ E ′ ∩ .
Entonces, como es conexo, E ′ ∩ = . Luego todo z ∈ estáenE ′ yde
aquí, como f es continua, f (z) = 0.

Funciones analíticas 39
Corolario. Sea una región de C. Sean f y g funciones analíticas en . Son
equivalentes:
i) f ≡ g en .
ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = g (n) (a), ∀n ∈ N ∪{0}.
iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulación en .
Demostración. Basta tomar la función f − g.
Ω
Si denotamos, para abierto
tenemos esta otra consecuencia:
a
.
A() ={f : −→ C : f es analitica en },
Corolario. Sea región. Sean f, g ∈ A() tales que la función fg ≡ 0 en .
Entonces, ó f ≡ 0 en ,ó g ≡ 0 en .Dichode otra manera, A() es un dominio
de integridad.
Demostración.Sipara un z0 ∈ , f (z0) = 0, entonces, por continuidad, f = 0en
un entorno de z0. Luego debe ser g = 0endicho entorno, y como éste tiene puntos
de acumulación en , por el teorema, g ≡ 0en.
Observación.
Según la definición, si f ∈ A(),enunpunto a ∈ , coincide en un entorno
de a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serie
también es analítica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad
f (z) =
∞
an(z − a) n
n=0
es válida en la componente conexa de ∩ D(a; R) que contiene al punto a.
(Cuidado: aunque y D(a; R) son
conexos, su intersección ∩ D(a; R) no
tiene por qué serlo, como se ve en la figura,
de manera que hay que evitar la tentación
‘natural’ de escribir la igualdad para todo
z de la intersección; puede haber desigualdad
en los puntos de las componentes conexas
de la intersección que no contengan
al punto a.)

CAPÍTULO 3
3.1 INTRODUCCIÓN
Funciones elementales básicas
La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial,
el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que
en realidad nunca hemos establecido una definición ‘analítica’ rigurosa de ellas.
Mediante consideraciones gráficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad
de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que
su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás.
Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen
lugar para ofrecer esa definición rigurosa mediante series de potencias en el campo
complejo y mostrar cómo de la definición van saliendo las propiedades que nos
son tan ‘conocidas’. No es ésta, desde luego, la única via de construcción posible
(pueden introducirse también mediante integrales indefinidas, o como soluciones
de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudablemente
es la más adecuada al presente curso.
3.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Función exponencial
+∞ zn La serie de potencias tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos
n! n=0
definir en todo C una función como suma de tal serie.
Definición 3.1. Se llama función exponencial aladefinida por
exp : z ∈ C → exp(z) =
+∞
n=0
z n
n!
∈ C.
El número exp(1) se denota por e, ysuele escribirse e z en lugar de exp(z)
[notación justificada por la propiedad que probaremos a continuación en (1.4)].
40

Funciones elementales básicas 41
Propiedades de la exponencial compleja.
(1.1) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella
misma: para cada z ∈ C,
(1.2) exp(0) = 1.
(1.3) Para cada z ∈ C,
exp ′ (z) = exp(z).
exp(−z) = 1
exp(z)
con lo que, en particular, exp(z) = 0.Además, para cualesquiera z, w ∈ C,
exp(z + w) = exp(z) exp(w).
(1.4) Dados n ∈ N y z ∈ C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z),
exp(nz) = exp(z) n
···exp(z);
en particular, exp(n) = e n
···e.
(1.5) Para cada x ∈ R, también exp(x) ∈ R.
Demostración. (1.1) Basta aplicar la regla de derivación de una función definida
mediante una serie de potencias.
(1.2) Obvio.
(1.3) Puede verse directamente a partir de la definición y de la multiplicación de
series de potencias. Otra demostración que usa sólo las ‘propiedades diferenciales’
de la exponencial es la siguiente:
Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos
Derivando de acuerdo con (1.1),
f : z ∈ C → f (z) = exp(−z) exp(z + w) ∈ C.
f ′ (z) =−exp(−z) exp(z + w) + exp(−z) exp(z + w) = 0,
luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w).
Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que
sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z + w) =
f (0) = exp(w) podemos despejar
exp(z + w) = exp(z) exp(w).
(1.4) Se prueba por inducción sobre n utilizando (1.3).
(1.5) Si x ∈ R, los términos de la serie que define exp(x) son todos reales.
La restricción de exp a R puede verse entonces como una aplicación de R en R.
Denotaremos provisionalmente por Exp esta función, de modo que Exp : R → R,
ylallamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades más importantes.

42 Funciones elementales básicas
Propiedades de la exponencial real.
(1.6) Para cada x ∈ R,
Exp(x) >0.
(1.7) La función exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particular,
es inyectiva.
(1.8) Se tiene
lim Exp(x) =+∞, lim Exp(x) = 0.
x→+∞ x→−∞
En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial real es (0, +∞).
Demostración. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2)) 2 ≥ 0yExp(x) = 0.
(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la función exponencial
real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.
(1.8) Puesto que la función exponencial real es estrictamente creciente,
e = Exp(1) >Exp(0) = 1,
luego lim Exp(n) =+∞. Nuevamente por la monotoníadelafunción exponencial,
n
esto basta para probar que
Finalmente,
lim Exp(x) =+∞.
x→+∞
lim Exp(x) = lim Exp(−y) = lim
x→−∞ y→+∞ y→+∞
1
Exp(y)
= 0.
Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la
función exponencial aplica R sobre (0, +∞).
Obsérvese que, según la exposición anterior, todas las propiedades básicas de
la función exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido
pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorprendente
sin pensamos en la unicidad de solución de la ecuación diferencial y ′ = y
con la condición inicial y(0) = 1.
En lo que sigue volveremos ya a la notación tradicional, e z , para la exponencial
de z.
Función logarítmica real
Una vez conocidas las propiedades básicas de la función exponencial real, podemos
definir la función logarítmica real como su función inversa, y deducir de ahí
sus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencial
compleja, como se verá más adelante.

Funciones elementales básicas 43
Definición 3.2. La función logarítmica real
ln : x ∈ (0, +∞) → ln x ∈ R
es la inversa de la función exponencial, de modo que ln x = ysiysólo si e y = x.
y
Por tanto, está caracterizada por cumplir
ln(e x ) = x cualquiera que sea x ∈ R
e ln x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .
Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial.
Propiedades del logaritmo real.
(2.1) La función logarítmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la
función 1/x.
(2.2) ln 1 = 0, ln e = 1.
(2.3) Para cada x ∈ (0, +∞),
ln 1
=−ln x .
x
(2.4) Dados x, y ∈ (0, +∞),
(2.5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),
ln(xy) = ln x + ln y .
ln(x n ) = n ln x .
(2.6) El conjunto imagen de la función logarítmica real es R.
(2.7) La función logarítmica real es estrictamente creciente y cóncava. En particular,
es inyectiva.
(2.8) Se tiene
lim ln x =+∞, lim ln x =−∞.
x→+∞ x→0+
Demostración. Recordar las propiedades de la función inversa estudiadas para
funciones reales de variable real.

44 Funciones elementales básicas
3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO
Funciones complejas seno y coseno
Definición 3.3. La función seno estádefinida por
ylafunción coseno por
sen : z ∈ C → sen z =
cos : z ∈ C → cos z =
∞
n=0
(−1) n z 2n+1
(2n + 1)!
∞ (−1) nz 2n
n=0
(2n)!
∈ C ,
∈ C .
Estas funciones están bien definidas, pues las series de potencias que figuran
en las fórmulas tienen radio de convergencia +∞. Recordando la definición de la
función exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:
sen z = eiz − e−iz , cos z =
2i
eiz + e−iz 2
para cada z ∈ C, con lo que la función exponencial aparece como “más elemental”
que el seno y el coseno, en el sentido de que éstas son combinaciones lineales de
exponenciales.
Propiedades del seno y coseno complejos.
(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple
para todo z ∈ C
sen ′ (z) = cos z, cos ′ (z) =−sen z.
(3.2) El seno es una función impar, mientras que el coseno es una función par: es
decir, cualquiera que sea z ∈ C se tiene
(3.3) Para todos z, w ∈ C,
sen(−z) =−sen z, cos(−z) = cos z .
sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w,
cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.

Funciones elementales básicas 45
(3.4) Para cada z ∈ C es
sen 2 z + cos 2 z = 1 .
Demostración. (3.1), (3.2), (3.3)
Se siguen directamente de la definición mediante series de potencias o a partir
de la expresión en términos de exponenciales.
(3.4)
Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w =−z.
Es instructivo ver cómo también puede probarse esta identidad usando derivación:
definiendo f : z ∈ C → f (z) = sen 2 z + cos 2 z ∈ C,apartir de (3.1) obtenemos
f ′ (z) = 2 sen z cos z − 2 cos z sen z = 0
para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1.
De las fórmulas anteriores se deducen mediante los cálculos de costumbre
otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el
siguiente ejercicio.
Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que
sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w;
cos(z − w) = cos z cos w + sen z sen w;
sen z cos w = 1
[sen(z + w) + sen(z − w)];
2
sen z sen w =− 1
[cos(z + w) − cos(z − w)];
2
cos z cos w = 1
[cos(z + w) + cos(z − w)];
2
sen 2z = 2 sen z cos z;
cos 2z = cos 2 z − sen 2 z = 2 cos 2 z − 1;
sen 3z = 3 sen z − 4 sen 3 z;
cos 3z = 4 cos 3 z − 3 cos z
y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno.
Funciones seno y coseno reales
Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos ver
las restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real.
Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se les
atribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, lo
primero que necesitamos es definir el número real π.

46 Funciones elementales básicas
Propiedades del seno y coseno reales.
(4.1) La función seno tiene ceros reales positivos, es decir,
{x > 0:sen x = 0} = ∅.
Este conjunto posee un elemento mínimo, que denotaremos por π:
π def
= min{x > 0:sen x = 0} .
En el intervalo (0,π),elseno toma valores estrictamente positivos.
(4.2) cos π =−1; cos π π
= 0; sen = 1.
2 2
(4.3) Para
conocer la función seno en R es suficiente conocerla en el intervalo
0, π
.Enconcreto,
2
(4.3.1) para cada x ∈ R es
(4.3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,
sen (π − x) = sen x =−sen(x + π);
sen(x + 2kπ) = sen x,
es decir, el seno real es una función periódica de periodo 2π.
(4.4) Para
conocer la función coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo
0, π
.Enconcreto,
2
(4.4.1) para cada x ∈ R es
(4.4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,
cos (π − x) =−cos x = cos(x + π);
cos(x + 2kπ) = cos x,
es decir, el coseno real es una función periódica de periodo 2π.
(4.5) La restricción de la función seno al intervalo − π π
, es una aplicación
2 2
estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].
(4.6) La restricción de la función coseno al intervalo [0,π] es una aplicación estrictamente
decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].
(4.7) Dado x ∈ R, severifica sen x = 0 si y sólo si para algún k ∈ Z es x = kπ .

Funciones elementales básicas 47
(4.8) Dado x ∈ R,severifica cos x = 0 si y sólo si paraalgún k ∈ Z es x = π
2 +kπ.
Demostración. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que
y que
sen x > x −
x 3
3!
> 0 siempre que 0 < x ≤ 1
sen 4 < 4 − 43 45 47 49
+ − + < 0,
3! 5! 7! 9!
de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, según el teorema de
Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto,
está perfectamente determinado el número real
π = inf{x > 0:sen x = 0}
yesmayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el mínimo del conjunto,
o sea, que pertenece a él, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto
y emplear la continuidad del seno.
Así sen x = 0 para todo x ∈ (0,π)y por continuidad el seno debe mantener
el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos
escrito, debe ser estrictamente positivo en él.
(4.2) Como sen 2 π + cos 2 π = 1, se deduce que cos 2 π = 1ypor tanto
cos π = 1ocos π =−1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle
daría laexistencia de algún punto t ∈ (0,π)en el que se anularía laderivada del
coseno, con lo cual sería sen t = 0 contra lo que acabamos de probar.
2 π
π
Puesto que cos π = 2 cos − 1, debe ser cos = 0, lo que obliga a que
2 2
2 π
π π
sen = 1. Como 0 <

48 Funciones elementales básicas
Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en
− π π
, , usamos que es estrictamente positiva en (0,π).Enconsecuencia, el
2 2
coseno (que en cada punto x tiene por derivada − sen x) será estrictamente decreciente
en [0,π], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo
0, π
son estrictamente mayores que cos
2
π
= 0; como el coseno es par, lo mismo
2
vale en − π π
, ;yfinalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos
2 2
que éste último es estrictamente creciente en − π π
, .
2 2
(4.6) Repasar la demostración anterior.
(4.7) Es inmediato que si para algún k ∈ Z es x = kπ, severifica que
sen x = 0.
Recíprocamente,
sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z será
x ∈ k − 1
π, k +
2
1
π . Entonces t = x − kπ ∈ −
2
π π
, y sen t =
2 2
sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0yx = kπ.
(4.8) Similar a la anterior.
Funciones trigonométricas y Trigonometría
Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versión analítica’
que venimos explorando y la ‘versión geométrica’ de la Trigonometría(=medida de
ángulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposición,
que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un
número complejo no nulo.
Proposición. Dados x, y ∈ R tales que x 2 + y 2 = 1, existeunα ∈ R de modo
que
cos α = x, sen α = y .
Además, para que un β ∈ R cumpla igualmente que
cos β = x, sen β = y,
es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ.
Demostración. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x.
Entonces sen 2 t = y 2 ,dedonde o bien sen t = y, ytomaríamos α = t, obien
sen t =−y,ybastaría tomar α =−t.
Por periodicidad, igualmente cos(α +2kπ) = x, sen(α +2kπ) = y para todo
k ∈ Z.
Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y.
Entonces
sen(β − α) = yx− xy= 0,

Funciones elementales básicas 49
luego por (4.7) existirá unm ∈ Z tal que β − α = mπ. Sim fuese de la forma
2k + 1, k ∈ Z, resultaría cos(β − α) =−1, mientras que
cos(β − α) = xx+ yy= x 2 + y 2 = 1,
por lo que debe ser m = 2k para algún k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ.
Gráficamente, esta proposición significa que para cada punto sobre la circunferencia
T de centro el origen y radio unidad, hay un número real que mide el
ángulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que
dicho número estáunívocamente determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Una
interpretación algebraica nos diría que la aplicación t ∈ R → e it ∈ T (que es un
homomorfismo entre el grupo aditivo R yelgrupo multiplicativo T)essuprayectiva
y tiene por núcleo el semigrupo 2πZ,demodo que T es isomorfo al grupo cociente
R/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Théorie élémentaire des fonctions
analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)
3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.
Querríamos definir la función logaritmo como la inversa de la función exponencial.
Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R,deque la función exponencial
no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramienta
en la teoríadefunciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle.
Valores de la exponencial compleja
Proposición.
(5.1) Dado z ∈ C,seax =ℜe z, y =ℑm z.Entonces
(5.2) Para cada z ∈ C
e z = e x+iy = e x (cos y + i sen y)
ℜe e z = e ℜe z cos(ℑm z), ℑm e z = e ℜe z sen(ℑm z),
e z = e ℜe z , ℑm z ∈ arg e z .
(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periódica de periodo 2πi. Con
mayor precisión, dados z, w ∈ C,setiene e z = e w si y sólo si z = w + 2kπi
para algún k ∈ Z.
(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \{0}. Además, para
cada w ∈ C \{0}, e z = w si y sólo si
z = ln |w|+i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg w.

50 Funciones elementales básicas
Demostración. (5.1) Según la fórmula de adición
e z = e x e iy ,
y las fórmulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan
cos y + i sen y = e iy .
(5.2) Aplicar lo anterior.
(5.3) Si z = w + 2kπi para algún k ∈ Z, ez = ew e2kπi = ew .
Recíprocamente, sea ez = ew .Tomando módulos,
e ℜe z = e z = |e w | = e ℜe w ,
luego por la inyectividad de la exponencial real
ℜe z =ℜew. Pero entonces
cos(ℑm z) + i sen(ℑm z) = cos(ℑm w) + i sen(ℑm w),
o sea
cos(ℑm z) = cos(ℑm w), sen(ℑm z) = sen(ℑm w),
lo que, según hemos visto en la proposición anterior, sólo es posible si ℑm z =
ℑm w + 2kπ para algún k ∈ Z.
(5.4) Dado w ∈ C \{0}, sea φ ∈ arg w y
z = ln |w|+iφ.
Obviamente ez = w, ycualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w
será delaforma z + 2kπi para algún k ∈ Z por lo que acabamos de probar en
(5.3).
Esta información engloba asimismo información sobre el comportamiento de
otras funciones. Por ejemplo:
Corolario. Los únicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado
de otro modo, si z ∈ C,
sen z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, cos z = 0 ⇐⇒ z = π
+ kπ, k ∈ Z.
2
Demostración. Nótese que
sen z = 0 ⇐⇒ e iz = e −iz ⇐⇒ e 2iz = 1 = e 0 ,
cos z = 0 ⇐⇒ e iz =−e −iz ⇐⇒ e 2iz =−1 = e iπ .
Determinaciones del argumento y del logaritmo.
La no inyectividad de la función exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a la
hora de abordar una definición de logaritmo.

Funciones elementales básicas 51
Definición. Dado 0 = z ∈ C,diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z.
Por tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a
qué fórmula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) ycomo parte
imaginaria un argumento de z,
exp w = z ⇐⇒ w = ln |z|+i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg z.
Podríamos definir el conjunto
ysetendrá laigualdad entre conjuntos,
log z ={w :expw = z}
log z = ln |z|+i arg z
Cuando queramos tener una función logaritmo, bastará fijar una ‘función argumento’.
Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendríamos la función
logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos más flexibles.
Definición. Sea ∅ = región, tal que 0 /∈ .
1. Diremos que φ : −→ R es una determinación del argumento en si:
i) φ es continua en .
ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈ ,(i.e.,e iφ(z) = z
|z| ).
2. Diremos que f : −→ C es una determinación del logaritmo en si:
i) f es continua en .
ii) f (z) ∈ log z, ∀z ∈ ,(i.e., e f (z) = z).
Estos dos conceptos están muy relacionados. En efecto,
Proposición 1. Sea ∅ = región, tal que 0 /∈ .Entonces,
φ es una determinación del argumento ⇐⇒ f (z) = ln |z|+iφ(z) es una determinación
del logaritmo.
Demostración.
⇒) Siφ es continua, es claro que f (z) = ln |z|+iφ(z) es continua, y
e f (z) =|z|e iφ(z) =|z|(z/|z|) = z.

52 Funciones elementales básicas
⇐) Sif es una determinación del logaritmo, en cada z ∈ , suparte real debe
f (z) − ln |z|
ser ln |z| ysuparte imaginaria φ(z) = es una determinación del
i
argumento, pues es continua y
e iφ(z) = e f (z) e − ln |z| = z/|z|.
Proposición 2. Sea ∅ = región, tal que 0 /∈ .
i) Si φ1, φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces
∃k ∈ Z, φ1(z) = φ2(z) + 2kπ, ∀z ∈ .
ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces
∃k ∈ Z, f1(z) = f2(z) + 2kπi, ∀z ∈ .
Demostración. i) Si φ1(z), φ2(z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1(z) −
φ2(z) = 2k(z)π, con k(z) entero. La función k : −→ Z es continua, y como
es región, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un
punto. Es decir, k(z) ≡ k es constante.
ii) Consecuencia de i),odirectamente de forma similar.
Ejemplos.
1. El ejemplo más aparente es Arg z, que es una determinación del argumento
en la región C \ (−∞, 0].
La correspondiente determinación del logaritmo en C \ (−∞, 0]
Log z = ln |z|+i Arg z
se llama función logaritmo principal.
Nótese que el dominio de definición de esta función es C \{0}, pero sólo es
continua en C \ (−∞, 0]. Su restricción a (0, +∞) es el logaritmo real.
2. Análogamente, fijado α ∈ R,lafunción Arg [α,α+2π) es una determinación del
argumento en C \{re iα : r ≥ 0}. Y,lacorrespondiente determinación del
logaritmo es Log [α,α+2π) z = ln |z|+i Arg [α,α+2π) .
3. Las anteriores no son, obviamente, las únicas determinaciones del argumento
y del logaritmo. Veamos algún ejemplo más:

Funciones elementales básicas 53
4.
5.
Β
Α
Α
Β
Β
Ω
Ω=Α∪Β
γ
La función φ : −→ R,definida por
φ(z) = Arg z,siz ∈ A,
φ(z) = Arg z + 2π,siz ∈ B,
(el segmento de R − lo debemos incluir
en A), es continua en y, en cada punto,
φ(z) ∈ arg z. Por tanto, es una determinación
del argumento en .
Sea = C \ γ ,(γ une continuamente
0e∞).
La función φ : −→ R,definida por
φ(z) = Arg z,siz ∈ A,
φ(z) = Arg z + 2π,siz ∈ B,
es una determinación del argumento en
.
Sea = D(0; 2) \ D(0; 1). En no
existe determinación continua del argumento.
Supongamos que φ : −→ R
lo es. En la región ∗ = \ R − , φ y
Arg z son dos determinaciones del argumento
y, por tanto, para algún k ∈ Z
φ(z) = Arg z + 2kπ, z ∈ ∗ .
Pero entonces, φ no puede ser continua en porque si z0 ∈ (−2, −1), los límites de
φ(z) para z → z0 a través de {z ∈ : ℑm z > 0} oatravés de {z ∈ : ℑm z < 0}
difieren en 2π.
Proposición. Si f es una determinación del logaritmo en entonces f es holomorfa
en .Además,
f ′ (z) = 1
, ∀z ∈ .
z
Demostración. Fijemos un punto z0 ∈ . Como la derivada de la función exponencial
es 1 en el punto 0, se tiene
e
lim
w→0
w − 1
w
= 1.

54 Funciones elementales básicas
A partir de aquí, deducimos,
∀ε >0, ∃δ >0 ∋ |w|

Funciones elementales básicas 55
Observación.
La función Log(1 + z) es holomorfa (y analítica) en C \ (−∞, −1], por
composición. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostración anterior,
obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:
Log(1 + z) = C +
∞
(−1)
n=0
n zn+1
, |z| < 1
n + 1
Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 =
0.
Finalmente, cambiando el parámetro de sumación,
Log(1 + z) =
∞
(−1)
n=1
n+1 zn
n
, |z| < 1.
El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie también para
|z| =1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1 + z) (¿por qué?).
Observación.
En la práctica, convendrá tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro
que si φ ∈ arg z, ψ ∈ arg w, entonces φ + ψ ∈ arg(zw), pero al particularizar
a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce ésto en una
igualdad. Así, engeneral,
De forma análoga, en general,
Arg z + Arg w = Arg(zw).
Log z + Log w = Log(zw),
por ejemplo Log(−1)+Log(−1) = 2πi = 0 = Log (−1)(−1) , aunque siempre
ocurre que
Log z + Log w ∈ log(zw).
3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS
Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciación.

56 Funciones elementales básicas
Definición. Dados u, v∈ C,conu = 0, sedefine el conjunto
u v ={exp(vα) : α ∈ log u}
Podríamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),
u v = exp(v log u)
Los elementos del conjunto u v son, por tanto,
exp{v(ln |u|+i Arg u + 2kπi)}, k ∈ Z.
Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodicidad
de la función exponencial, estos elementos podrían repetirse y dar un conjunto
finito. De hecho, es muy fácil probar que:
i) Si n ∈ N, u n consta de un solo elemento. Precisamente, u.u.... n) u.
ii) u 0 = 1.
iii) Si n ∈ Z− , u n = 1
.
u−n iv) Si n ∈ N, u1/n consta de n elementos, justamente las n raíces n-ésimas de u.
Ahora, bastará precisar la elección de logaritmos para tener funciones exponenciales
y potenciales
1. Dado a = 0, la función
f (z) = a z = exp(z Log a)
es la función exponencial de base a. Esdecir, a no ser que se indique lo
contrario, la expresión a z indicará que estamos tomando el logaritmo principal.
Es claro que es una función entera (de hecho, analítica en C), pues sólo se
diferencia de la exponencial por el factor constante Log a.
2. Dado α ∈ C, también usaremos la notación z α para indicar la elección del
logaritmo principal.
f (z) = z α = exp(α Log z), z ∈ C \{0}.
Su dominio de definición es C\{0}, pero solamente es holomorfa (y analítica),
por composición de ellas, en C \ (−∞, 0].

Funciones elementales básicas 57
Cuando el parámetro α es entero, es claro que, de hecho z α es holomorfa en
C \{0}. Ysi es natural, es holomorfa en C (definiéndola como 0 en 0). En
cualquier otro caso, no puede ser holomorfa más alládeC \ R − , pues es fácil
ver que en los puntos de R − no es contínua.
Desarrollo de (1 + z) α en serie de potencias centrada en 0.
Por razones obvias, se considera (1+z) α (y no z α ) para desarrollar en potencias
de z.Entodo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la información
de una función a otra.
Denotemos
f (z) = (1 + z) α = exp(α Log(1 + z)), z = −1.
Esta función es analítica en C \ (−∞, −1] (por composición de analíticas) y, por
tanto, es analítica en 0. Esto, teóricamente, nos dice que existe una serie de potencias
centrada en 0 con radio R > 0, tal que
f (z) =
∞
n=0
anz n
en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,
y, así, sedebe cumplir la ecuación
Por otra parte, la derivada de f es
Entonces, la ecuación (1) queda
∞
annz n−1 +
n=1
f ′ (z) =
α f (z)
1 + z
(1 + z) f ′ (z) − α f (z) = 0. (1)
f ′ (z) =
∞
annz n − α
n=1
= (a1 − αa0) +
∞
n=1
∞
n=0
annz n−1
anz n
∞
((n + 1)an+1 + (n − α)an)z n = 0
n=1

58 Funciones elementales básicas
en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea,
(n + 1)an+1 = (α − n)an, n = 0, 1, 2,...
Empezando con a0 = f (0) = 1, es fácil comprobar por inducción que
an =
α(α − 1)...(α− n + 1)
n!
Llamaremos a esta última cantidad número combinatorio generalizado y denotaremos
(para α ∈ C)
α
=
n
α(α − 1)...(α− n + 1)
Por tanto, hemos obtenido
, n ∈ N;
n!
(1 + z) α =
∞
n=0
α
= 1.
0
α
z
n
n , (2)
en un entorno del origen.
Por último, observemos que si α es un número natural, α = 0sin >αyla
n
ecuación (2) no es otra cosa que la fórmula del binomio de Newton.
En otro caso, es fácil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f como
la serie son analíticas en D(0; 1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces,
por el P.P.A. tendremos
Raíz cuadrada principal.
(1 + z) α =
∞
n=0
α
z
n
n , |z| < 1.
Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemos
el conjunto de las raíces cuadradas y la raíz cuadrada principal. Nos encontramos
ahora con un buen lío denotación: ¿qué significa z 1/2 ? ¿qué significa √ z? Los
convenios utilizados varían de unos textos a otros, por lo cual, ante la menor
ambigüedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que se
estén empleando.

Funciones elementales básicas 59
En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos:
(i) ± √ z para el conjunto de las raíces cuadradas de z,esdecir,
± √ z def
={w ∈ C : w 2 = z}.
(Ojo: no es una notación estándar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluido
z = 0.
(ii) √ z o z 1
2 para la raíz cuadrada principal de z,esdecir,
√ z def
= z 1
2 def
= e (1/2) Log z .
Tiene sentido para todo z ∈ C \{0}, aunque por comodidad puede ser conveniente
a veces escribir también √ 0 = 0 1
2 = 0.
(ii.1) Según este convenio, para todo z ∈ C es
± √ z ={ √ z, − √ z}={z 1
2 , −z 1
2 }.
(ii.2) Cuando z sea un número real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0o
Arg z = 0seobtiene como raíz cuadrada principal de z justamente su
raíz cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas
son consistentes con las que empleamos para números reales.
Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el
proceso visto anteriormente o bien calculando
1/2
n−1 1 · 3 · 5 ···(2n − 3)
= (−1) , n ≥ 2,
n
2 · 4 · 6 ···(2n)
que suele abreviarse mediante factoriales dobles en
1/2
n−1 (2n − 3)!!
= (−1) ,
n
(2n)!!
queda, incluso si |z| =1 (los coeficientes son del tamaño de n −3/2 ),
√ 1
1 + z = 1 + z +
2
∞
n−1 (2n − 3)!!
(−1)
(2n)!!
n=2
= 1 + 1 1
z −
2 8 z2 + 1
16 z3 − 5
128 z4 + ..., |z| ≤1.
z n

60 Funciones elementales básicas
Otro desarrollo importante, correspondiente a α =− 1
2 ,es
1
√ 1 + z = 1 +
∞
n (2n − 1)!!
(−1)
(2n)!!
n=1
= 1 − 1 3
z +
2 8 z2 − 5
16 z3 + ..., |z| < 1.
Del criterio de Dirichlet y el teorema del límite de Abel se sigue que el
desarrollo es válido siempre que |z| ≤1, z = −1.
3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
Funciones trigonométricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, así
como las funciones hiperbólicas, se pueden definir en C usando las fórmulas que
las definen en R. Las funciones obtenidas son las únicas extensiones analíticas al
dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las
muchas relaciones y propiedades que podemos deducir fácilmente, nos limitamos
aseñalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.
Proposición. Dado z ∈ C,
Otras funciones inversas
La función arco tangente compleja.
Sh z =−i sen(iz), Ch z = cos(iz).
Para su definición, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la
función tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la
ecuación
tan w = z
para z ∈ C fijado. Aplicando la definición
⎧
⎨ e
tan w = z ⇐⇒
⎩
iw + e−iw = 0
eiw − e−iw eiw ⎧
⎨ e
⇐⇒
= iz ⎩
+ e−iw 2iw =−1
e2iw − 1
e2iw = iz
+ 1
⇐⇒ (1 − iz) e 2iw
z = i, −i
∗
= 1 + iz ⇐⇒
e2iw 1 + iz
= [⇒= −1]
1 − iz
z n

Funciones elementales básicas 61
Observamos en ∗ que si z = i ó z =−i no puede haber solución. Si z no es uno
de estos valores, las soluciones w son tales que
2iw ∈ log
1 + iz
⇔ w ∈
1 − iz
1
2i log
Hemos demostrado con ésto que la función tangente
tan : C \{ π
2
es suprayectiva,ydado z ∈ C \{i, −i},
1 + iz
1 − iz
+ kπ : k ∈ Z} −→C \{i, −i}
tan w = z ⇔ w ∈ 1
2i log
1 + iz
1 − iz
Así, podríamos escribir, para z ∈ C \{i, −i},elconjunto
arctan z = 1
2i log
1 + iz
1 − iz
y, para tener una función, elegimos algún logaritmo. Por supuesto, lo más lógico es
trabajar (casi siempre) con el principal. Así, lafunción arco tangente principal,
que escribiremos Arctan z, será
Arctan z = 1
2i Log
1 + iz
, z = i, −i.
1 − iz
El dominio de definición es C\{i, −i}.Veamos dónde es analítica. Por composición
de analíticas lo será entodos los puntos, salvo a lo más en aquéllos en que
Hallemos estos z’s:
1 + iz
1 − iz
1 + iz
1 − iz ∈ R− .
= λ ⇐⇒ z = i 1 − λ
1 + λ .
Cuando λ recorre los números reales negativos, z recorre el conjunto
I ={ix : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞)}.
Por tanto, la función Arctan z es analítica en el abierto = C \ I . (Que no lo es
en los puntos de I se prueba como siempre.)

62 Funciones elementales básicas
. i
Notemos que, en particular, es analítica
I
en el disco unidad. Vamos a hallar su
desarrollo en serie de potencias de z.
Por la regla de la cadena, es fácil llegar
a que
O
.
Arctan
-i
′ (z) = 1
, z ∈ .
1 + z2 Si tenemos en cuenta que
1
∞
= (−1)
1 + z2 n=0
n z 2n , |z| < 1,
por igualdad de derivadas en D(0; 1) (conexo),
∞
n
z2n+1
Arctan z = (−1) , |z| < 1,
2n + 1 n=0
salvo la adición de una constante C,devalor C = Arctan 0 = 0.
La función Arctan es una extensión analítica (la única posible en ) dela
función arco tangente real arc tg, inversa de la restricción de la tangente al intervalo
(−π/2,π/2). (¿Por qué?)
Argumento principal y arco tangente real.
Para ciertos cálculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de
expresiones del argumento principal más manejables que su definición. Para cada
z = 0setiene
x =ℜez =|z| cos(Arg z), y =ℑmz =|z| sen(Arg z),
luego tg (Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue
⎧
Arctan
⎪⎨
Arg(x + iy) =
⎪⎩
y
si x > 0;
x
Arctan y
+ π si x < 0, y ≥ 0;
x
Arctan y
− π si x < 0, y < 0;
x
en esquema, repartido por cuadrantes,
Arg(x + iy) = Arg(x + iy) =
Arctan y
y
+ π Arctan
x x
Arg(x + iy) = Arg(x + iy) =
Arctan y
y
− π Arctan
x x

Funciones elementales básicas 63
La función arco seno compleja.
Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuación sen w = z. Con nuestra
notación
sen w = z ⇔ e iw − e −iw = 2iz ⇔ (e iw ) 2 − 2ize iw − 1 = 0
⇔ e iw ∈ iz ± 1 − z2 . (1)
Nótese que ± √ 1 − z 2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado
nos dan 1 − z 2 ).
Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de iz ± √ 1 − z 2 es 0, ya que
iz ∈± 1 − z 2 ⇐⇒ −z 2 = 1 − z 2 .
Por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución, a saber, aquellos w tales que
Hemos demostrado entonces que
w ∈ 1
i log(iz ± 1 − z 2 ).
sen : C −→ C
es suprayectiva,yademás, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto
arcsen z = 1
i log(iz ± 1 − z 2 )
donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de √ 1 − z 2 .
Si queremos una función Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto en
el logaritmo, como en la raiz interior.
Arcsen z = 1
i Log(iz + 1 − z 2 ), z ∈ C.
El dominio de esta función es todo C (si z =±1, entendemos √ 0 = 0).
Veamos dónde es analítica. Empezamos por la raíz interior. Será analítica,
excepto a lo más en los z’s tales que
1 − z 2 ∈ (−∞, 0] ⇔ z 2 ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1].

64 Funciones elementales básicas
Por tanto, la determinación principal de √ 1 − z 2 es analítica en C \ ([1, +∞) ∪
(−∞, −1]).
Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s tales
que iz + √ 1 − z 2 ∈ R − . Pero,
iz + 1 − z 2 = λ ∈ R − ⇔ 1 − z 2 = λ − iz (2)
De aquí, tiene que ser
1 − z 2 = (λ − iz) 2 2
1 − λ
⇒ z = i .
2λ
(3)
Al elevar al cuadrado, se pueden añadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar
la expresión (3) a (2) y tenemos
1 + (1 − λ2 ) 2
4λ2 1 − λ2
= λ +
2λ ⇒
(1 + λ2 ) 2
4λ2 = 1 + λ2
2λ .
Pero, comprobamos que la raiz principal de este número es el número positivo
(1 + λ2 )/2|λ|,dedonde
(1 + λ 2 )
2|λ|
= 1 + λ2
2λ
⇒ λ =|λ| =−λ.
Este argumento ha demostrado que nunca sucede iz + √ 1 − z 2 ∈ R − . Por tanto,
la única limitación es la del principio, y concluimos que:
La función Arcsen es analítica en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).
En particular, lo es en D(0; 1). Para hallar el correspondiente desarrollo en
serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que
Por otro lado,
Arcsen ′ (z) =
1
√ 1 − z 2 = (1 − z2 ) −1/2 =
1
√ , z ∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).
1 − z2 ∞
−1/2
(−1)
n
n z 2n , |z| < 1.
Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0),
∞
−1/2 n
z2n+1
Arcsen z =
(−1) , |z| < 1.
n 2n + 1
n=0
La función Arcsen es una extensión analítica (la única posible en
C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]))delafunción arco seno real. (¿Por qué?)
n=0

CAPÍTULO 4
4.1 INTRODUCCIÓN
Integración sobre caminos
La integración sobre caminos fue el instrumento principal del que se sirvió Cauchy
para crear la teoría defunciones analíticas de variable compleja, estableciendo lo
que actualmente suele denominarse ‘teoríadeCauchy’, para distinguirlo de los enfoques
posteriores de Riemann (con una visión más geométrica) y de Weierstrass
(basado en los desarrollos locales en serie de potencias). Gracias a la representación
(bajo ciertas condiciones) de una función holomorfa mediante una integral dependiente
de un parámetro, Cauchy logró probar que, en C, las nociones de holomorfía
y analiticidad son las mismas, culminando su obra con lo que él donominó‘cálculo
de residuos’. De todo esto nos ocuparemos más adelante.
El concepto de integral sobre un camino está muy relacionado con el de
integración sobre caminos de formas diferenciales reales de dos variables. Esto
hace que los resultados iniciales (y sus demostraciones) sean bastante parecidos a
lo ya estudiado en la teoría defunciones de varias variables reales.
4.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS
EN INTERVALOS REALES
Empecemos recordando algún concepto previo de derivabilidad e integrabilidad
para funciones de variable real, pero con valores complejos. Lomás destacable
en este punto es que la variable toma solamente valores reales.
Sea g :[a, b] ⊆ R −→ C.
1. g es derivable en t0 ∈ [a, b]si
∃ lim
t→t0
g(t) − g(t0)
t − t0
= g ′ (t0) ∈ C
(cuando t0 = a ó t0 = b, los límites son laterales).
No estamos introduciendo ninguna definición nueva de derivabilidad: la novedad
estriba en la naturaleza del dominio de la función, que excepcionalmente
no es un abierto del plano complejo sino un intervalo compacto real, lo que
nos sitúa más cercanos a la derivación en R. Dehecho, la definición anterior
65

66 Integración sobre caminos
es equivalente a que las dos funciones reales ℜe g, ℑm g :[a, b] ⊆ R → R
sean derivables en t0, siendo en tal caso
g ′ (t0) = (ℜe g) ′ (t0) + i(ℑm g) ′ (t0).
2. Sea g :[a, b] ⊆ R −→ C y f : −→ C con abierto de C y g([a, b]) ⊂ .
Si g es derivable en t0 (definición actual) y f es derivable en g(t0) (definición
anterior), entonces f ◦ g es derivable en t0 y
( f ◦ g) ′ (t0) = f ′ (g(t0))g ′ (t0).
Esto es un sencillo ejercicio, que puede abordarse directamente o usando la
regla de la cadena para funciones de varias variables y las ecuaciones de
Cauchy-Riemann.
3. g es integrable (Lebesgue) en [a, b] si, por definición, lo son ℜe g e ℑm g, y
el valor de la integral es
b
a
g(t) dt =
b
a
ℜe g(t) dt + i
b
a
ℑm g(t) dt.
Para estas funciones con valores complejos, siguen siendo ciertos los resultados
importantes de integración. Resaltamos los que más utilizaremos:
Acotación.
b
a
g(t) dt
≤
b
a
|g(t)| dt.
(No es tan obvio como puede parecer: inténtelo el lector por su cuenta antes
de ver la demostración que sigue.)
Para probarlo, sea z = b
a g(t) dt. Entonces existe c ∈ C con |c| =1 tal que
|z| =cz. Pongamos u =ℜe (cg), con lo cual u ≤|cg|=|g|.Así
b
a
g(t) dt
=|z| =c
b
a
g(t) dt =
b
a
cg(t) dt ∗ =
b
a
u(t) dt ≤
b
a
|g(t)| dt,
verificándose ∗ = porque teniendo en cuenta que b
a cg(t) dt =|z| ∈R, sededuce
que
b
b
a cg(t) dt =ℜe a cg(t) dt = b
a ℜe cg(t) dt.

Integración sobre caminos 67
Regla de Barrow ‘ampliada’. Si g :[a, b] −→ C es continua y existe una
partición t0 = a < t1 < t2 < ··· < tn = b de [a, b] demanera que g es
derivable en cada (tk−1, tk), 1≤ k ≤ n y g ′ (extendida arbitrariamente a los
puntos tk)esintegrable-Riemann en [a, b], entonces
b
a
g ′ (t) dt = g(b) − g(a).
La regla de Barrow que conocemos sólo es aplicable en cada uno de los
intervalos [tk−1, tk]delapartición. Pero entonces,
b
a
g ′ (t) dt =
n
k=1
tk
tk−1
g ′ (t) dt =
n
(g(tk) − g(tk−1)) = g(b) − g(a).
k=1
Teorema de la convergencia dominada. Sean gn, g :[a, b] −→ C tales que
gn(t) −→ g(t) para casi todo t ∈ [a, b] y,supongamos que ∃h :[a, b] −→
R + tal que ∀n ∈ N, |gn(t)| ≤h(t), t ∈ [a, b]y b
a h(t) dt < +∞. Entonces,
b b
lim
n→∞
a
gn(t) dt =
a
g(t) dt.
Olaversión continua de este teorema
T.C.D. Versión continua. Si tenemos una función g de dos variables,
z ∈ D(z0; δ), t ∈ [a, b], con valores complejos, tal que
Entonces,
lim g(z, t) = g0(t), para casi todo t ∈ [a, b],
z→z0
|g(z, t)| ≤h(t), ∀z ∈ D(z0; δ), ∧
a
c
b
b
b
lim
z→z0 a
g(z, t) dt =
a
g0(t) dt.
a
h(t) dt < +∞
Cambio del orden de integración. Sea g :[a, b] × [c, d] → C continua.
Entonces
b d d b
g(s, t) ds dt = g(s, t) dt ds.
(Es un caso particular del teorema de Fubini.)
c
a

68 Integración sobre caminos
4.3 CURVAS Y CAMINOS EN C
Definición. Una curva en C es una función γ :[a, b] → C continua (a, b ∈ R,
a < b).
Observación. Una curva no debe identificarse con la imagen de la función γ([a, b])
(denominada el soporte de la curva). Por ejemplo,
γ1 :[0, 2π] −→ C, γ1(t) = e it
γ2 :[0, 2π] −→ C, γ2(t) = e 2it
son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte.
Nótese que el soporte de una curva siempre es un subconjunto conexo y
compacto de C.
Definición. Un camino (o curva C (1 atrozos) es una función continua γ :[a, b] → C
tal que existe una partición a = t0 < t1 < ... < tk = b de forma que γ [tj−1 ,t j ] es
una curva de clase C (1 ( j = 1,...,k).
Observación.
Lo anterior significa que γ :[tj−1, tj] −→ C es derivable en sentido real (las
partes real e imaginaria son derivables). Es decir,
∀t ∈ [tj−1, tj], ∃ lim
s→t
γ(s) − γ(t)
s − t
= γ ′ (t) = (ℜe γ) ′ (t) + i(ℑm γ) ′ (t) ∈ C
(en tj y tj−1 los límites son laterales) y además, γ ′ :[tj−1, tj] −→ C es continua.
En los puntos de la partición tj, existe derivada γ ′ (tj) por la derecha y por la
izquierda, pero estas derivadas pueden coincidir o ser distintas.
Sea γ :[a, b] −→ C un camino. Se llama origen de γ al punto γ(a); se
llama extremo de γ al punto γ(b).
Se dice que γ es un camino cerrado si γ(a) = γ(b).
Se llama longitud de γ a
long γ =
b
a
|γ ′ (t)| dt (

Integración sobre caminos 69
Opuesto de un camino. Se llama camino opuesto a γ al camino −γ :[−b, −a] −→
C dado por (−γ)(t) = γ(−t). Elcamino opuesto tiene el mismo soporte, pero
cambia el origen por el extremo y viceversa. Se dice que −γ recorre el soporte del
camino en sentido contrario al de γ .
Unión de caminos. Sean γ1 :[a, b] −→ C y γ2 :[c, d] −→ C dos caminos tales
que γ1(b) = γ2(c).Sellama γ1 ∪ γ2 (unión o suma de γ1 y γ2)alcamino dado por
γ1 ∪ γ2 :[a, b + d − c] −→ C,
(γ1 ∪ γ2)(t) = γ1(t) si t ∈ [a, b]; (γ1 ∪ γ2)(t) = γ2(t − b + c) si t ∈ [b, b + d − c].
Es claro que la unión de dos caminos es un camino que cumple
i) sop(γ1 ∪ γ2)=sop(γ1)∪sop(γ2)
ii) origen (γ1 ∪ γ2)=origen(γ1)
ii) extremo (γ1 ∪ γ2)=extremo(γ2).
Definición. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C. Diremos que son
equivalentes yescribiremos γ1 ∼ γ2, sitienen el mismo número de puntos no
regulares (dónde no son C 1) )ysia = t0 < t1 < ... < tn = b y c = s0 < s1 <
...0 ydeforma que
γ1 = γ2 ◦ τ.
1. Se prueba fácilmente que ∼ es una relación de equivalencia compatible con
la operación de camino opuesto y la unión de caminos. Sería más ajustado a
la práctica habitual definir camino como una clase de equivalencia por esta
relación ysiγ1 ∼ γ2, decir que γ1 y γ2 son parametrizaciones del mismo
camino. La aplicación τ que liga γ1 y γ2 se llama cambio de parámetro.
2. Los caminos equivalentes sólo se diferencian en que se recorre el mismo
soporte y en el mismo sentido, pero a diferente velocidad. Aefectos de la

70 Integración sobre caminos
utilización de los caminos en nuestra teoría, dos caminos equivalentes es
como si fueran iguales.
3. Por ejemplo, son equivalentes los caminos
γ1 :[0, 2π] −→ C, γ1(t) = e it
γ2 :[0,π] −→ C, γ2(t) = e 2it
(donde la aplicación cambio de parámetro es clara).
4. Podremos suponer, cuando así nos convenga, que un camino está parametrizado
en el intervalo [0, 1].
Ejemplos.
1. Dados z0 = z1 ∈ C,elsegmento orientado [z0, z1]eselcamino
γ : t ∈ [0, 1] → γ(t) = z0 + t (z1 − z0) = (1 − t) z0 + tz1 ∈ C.
La notación que se emplea es la misma que para su soporte, pero el contexto
dejará claro en cada ocasión a cuál de las dos nociones nos estamos refiriendo.
Por comodidad, diremos ‘segmento’ [z0, z1], sobreentendiéndose ‘segmento
orientado’.
Su longitud es igual a |z1 − z0| (¡comprobar!).
2. Dados z0, z1, ..., zn ∈ C,lapoligonal de vértices z0, z1, ..., zn,eselcamino
[z0, z1] ∪ [z1, z2] ∪ ···∪[zn−1, zn].
Su longitud es igual a |z1 − z0|+|z2 − z1|+···+|zn − zn−1| (¡comprobar!).
3. Dados z0 ∈ C, r > 0, la circunferencia de centro z0 yradio r orientada
positivamente es el camino
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = z0 + re it ∈ C.
Lo representaremos por ∂ D(z0; r). Lacircunferencia de centro z0 yradio
r orientada negativamente es el camino opuesto −∂ D(z0; r). Cuando no se
especifique orientación, se sobreentiende la positiva.
La longitud de ambos es 2πr (¡comprobar!).
3. Dados z0 ∈ C, r > 0, k ∈ Z,elcamino
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = z0 + re ikt ∈ C.
es la circunferencia de centro z0 yradio r recorrida k veces en sentido positivo
si k ≥ 0orecorrida −k veces en sentido negativo si k < 0. La representaremos
por k · ∂ D(z0; r).Enparticular, 1 · ∂ D(z0; r) = ∂ D(z0; r),0· ∂ D(z0; r) es el
camino constante con soporte {z0} y (−1) · ∂ D(z0; r) =−∂ D(z0; r) (salvo
ajustes en la parametrización). Su longitud es igual a 2|k|πr (¡comprobar!).

Integración sobre caminos 71
4.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CAMINOS
Definición. Sea γ :[a, b] −→ C un camino y sea f : sop γ −→ C una función
continua. Se llama integral de f sobre γ a
γ
f =
γ
f (z)dz =
b
a
f (γ (t))γ ′ (t) dt.
Nótese que la función que integramos, ( f ◦γ)·γ ′ :[a, b] −→ C,escontinua,
salvo en un número finito de puntos (donde las discontinuidades son de salto). Por
tanto, es integrable-Lebesgue (incluso integrable-Riemann) en [a, b].
La definición podría haberse dado para funciones más generales que las continuas,
con tal de que ( f ◦ γ)· γ ′ fuera integrable en [a, b]. Pero, para nuestros
propósitos, basta con esto.
Propiedades.
1. Si γ1 ∼ γ2,entonces
2.
3.
γ1
f =
γ2
f .
Basta acudir a la definición y hacer en la integral el cambio de variable τ(t) =
s, donde τ es el cambio de parámetro.
f =− f .
−γ
γ1∪γ2
f =
γ
γ1
f +
γ2
f .
4. ( f + g) = f + g, λf = λ f .
γ
γ γ
γ
γ
5. Regla de Barrow. Sea f : ⊃ sop γ −→ C. Supongamos que ∃F ∈ H()
tal que F ′ (z) = f (z), ∀z ∈ . Entonces,
f (z)dz = F(γ (b)) − F(γ (a)).
γ
En efecto, podemos subdividir el intervalo [a, b]enintervalos parciales [tj−1, tj]
en los que la restricción de F ◦ γ es derivable, con derivada (lateral en los
extremos) dada por la regla de la cadena
(F ◦ γ) ′ (t) = F ′ (γ (t))γ ′ (t) = f (γ (t))γ ′ (t),

72 Integración sobre caminos
continua a trozos (luego finalmente integrable en [a, b]). Entonces, aplicando
la regla de Barrow ‘ampliada’,
b
f (z)dz = f (γ (t))γ ′ b
(t) dt = (F◦γ) ′ (t) dt = F(γ (b))−F(γ (a)).
γ
a
a
Observación. En
las hipótesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ(a) =
γ(b)) resulta f (z) dz = 0.
6.
γ
γ
f (z)dz ≤ long γ · sup | f (z)|.
z∈sop γ
En efecto,
γ
f (z)dz = b
≤
a
b
a
b
f (γ (t))γ ′ (t) dt ≤ | f (γ (t))γ
a
′ (t)| dt
|γ ′
(t)| dt · sup
t∈[a,b]
| f (γ (t))|.
Observación. Nótese que sop γ es un compacto, y como | f | es continua, el
supremo es un máximo (Weierstrass).
7. Sean fn, f : sop γ −→ C continuas, y tales que fn −→ f uniformemente
en sop γ .Entonces,
lim
n→∞
γ
fn(z)dz =
γ
f (z)dz
Es decir, bajo la hipótesis de convergencia uniforme en el soporte, ellímite
conmuta con la integral.
Para demostrar el resultado, basta observar que
fn(z)dz− f (z)dz ≤ long γ · sup | fn(z)− f (z)| −→0, (n→∞). z∈sop γ
γ
γ
8. Cambio del orden de integración. Sea γ1 un camino en un abierto 1, γ2 un
camino en un abierto 2, φ : 1 × 2 → C continua. Entonces
φ(z,w)dw dz = φ(z,w)dz dw.
γ1
γ2
γ2
γ1

Integración sobre caminos 73
Pues sea t0 < t1 < ... < tn una partición del dominio de γ1 tal que cada
restricción γ1|[tk−1,tk] tiene derivada continua, y análogamente sea s0 < s1 <
...

74 Integración sobre caminos
yladominación trivial, (en un entorno de z0 tal que D(z0; ε) ⊂ )
|φ(γ(t), z)γ ′ (t)| ≤C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z0; ε) con
(ya que sop γ × D(z0; ε) es un compacto, y φ es continua).
b
a
Cdt< +∞
Teorema. Con las hipótesis y notación de la proposición precedente, supongamos
además que:
(i) Para cada w ∈ sop γ fijado, la función de z, φ(w,z) es derivable en y
denotamos ∂φ
∂z aestaderivada.
(ii) La función derivada ∂φ
: sop γ × −→ C es continua.
∂z
Entonces, la función g es holomorfa en ,yademás
g ′
(z) =
γ
∂φ
(w, z)dw
∂z
Es decir, con estas hipótesis, se puede derivar bajo el signo integral.
Demostración. Fijemos z0 ∈ .Tenemos que demostrar que
g(z) − g(z0) ∂φ
lim
− (w, z0)dw = 0.
z→z0 z − z0 ∂z
Escribimos
g(z) − g(z0)
−
z − z0
∂φ
γ ∂z (w, z0)dw
=
= ψ(w,z)dw =
γ
γ
b
a
γ
φ(w,z) − φ(w,z0)
z − z0
ψ(γ(t), z)γ ′ (t) dt
ysetrata de ver que esta integral tiende a 0 cuando z → z0.
− ∂φ
(w, z0) dw
∂z
De nuevo, podemos aplicar la versión continua del T.C.D., ya que, por un
lado, tenemos la convergencia puntual
pues la derivada ∂φ
∂z
lim ψ(γ(t), z) = 0, ∀t ∈ [a, b]
z→z0
existe por hipótesis, y por otro lado tenemos la dominación
|ψ(γ(t), z)γ ′ (t)| ≤C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z0; ε).

Integración sobre caminos 75
Para demostrar esto último, acotamos cada uno de los dos sumandos que forman
ψ. Por continuidad en un compacto,
∂φ
(w, z0)
∂z ≤ C, ∀w ∈ sop γ
Y, para el segundo, usamos el truco
φ(w,z) − φ(w,z0)
z − z0
=
1 ∂φ
(w, η)dη
z − z0 [z0,z] ∂z
≤ sup
∂φ
(w, η)
∂z ≤ C, ∀w ∈ sop γ, ∀z ∈ D(z0; ε)
η∈[z0,z]
donde [z0, z] eselsegmento que une z0 y z, yhemos usado la regla de Barrow y
que ∂φ
∂z es continua en el compacto sop γ × D(z0; ε).
Construcción de funciones analíticas mediante integrales.
Aquí se desvela el principal papel de la integral sobre caminos en C. Permite
construir funciones analíticas en abiertos muy amplios a partir de una pequeña
premisa: tener una función continua en el soporte de un camino. Aunque podríamos
dar un resultado más general, nos limitaremos al caso particular que se usa, tal cual,
en el desarrollo posterior de la teoría.
Teorema. Sea γ un camino y f : sop γ −→ C continua. Entonces, la función
g(z) = 1
f (w)
dw, z ∈ C \ sop γ
2πi w − z
es analítica en C \ sop γ .
γ
Demostración. Observemos primero, que si z ∈ C \ sop γ , g(z) está bien definida
puesto que la función de variable w que integramos, f (w)/(w − z), escontinua
en sop γ (si z ∈ sop γ ,eldenominador se anularía enunpunto del soporte).
Si sólo pretendieramos ver que g es holomorfa en C \ sop γ ,elresultado es
una simple aplicación del teorema anterior, pues
y
φ(w,z) =
f (w)
w − z
es continua en sop γ × C \ sop γ,
∃ ∂φ f (w)
(w, z) = yescontinua en sop γ × C \ sop γ.
∂z (w − z) 2

76 Integración sobre caminos
Para demostrar la analiticidad, recurrimos a la definición. Sea a ∈ C \ sop γ .
w
γ
R
r
a
1
w − z
= 1
w − a ·
1
1 − z−a
w−a
Tenemos que demostrar que g se puede
escribir como una serie de potencias
centrada en a. Loque va a ser fácil es
desarrollar la función interior. A partir
de aquí, nuestro problema será sacar un
sumatorio fuera de la integral.
Denotemos R = d(a, sop γ) > 0. Si
w ∈ sop γ ,
=
∞
n=0
(z − a) n
(w − a) n+1
siendo el desarrollo válido para aquellos z’s tales que |z − a| < |w − a|.
Tomemos un 0 < r < R.Siz cumple |z −a| < r entonces, |z −a| < |w −a|,
∀w ∈ sop γ . Por tanto, si |z − a| < r podemos escribir
g(z) = 1
∞ (z − a)n
f (w)
2πi
(w − a) n+1
dw
γ
n=0
Para sacar fuera el sumatorio, bastará demostrar que la serie converge uniformemente
en sop γ .Y,esto es cierto por el criterio M de Weierstrass. En efecto:
∀w ∈ sop γ,
(z − a)n
f (w)
(w − a) n+1
≤ C
n r
, con
Rn ∞
C
n=0
n r
< +∞.
Rn Hemos usado que f al ser continua en sop γ está acotada. Por tanto,
g(z) =
∞
n=0
1
2πi
Luego, hemos probado que g es analítica en a.
Observación
γ
f (w)
dw (z − a)
(w − a) n+1 n , |z − a| < r
El razonamiento anterior se puede hacer para cualquier r < R = d(a, sop γ),
luego, en definitiva, podemos asegurar
g(z) =
∞
n=0
1
2πi
γ
f (w)
dw (z − a)
(w − a) n+1 n , |z − a| < d(a, sop γ).

CAPÍTULO 5
5.1 INTRODUCCIÓN
Indice de un punto
respecto de un
camino cerrado
El número de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (el
índice, the winding number de los textos en inglés) juega un papel insospechado
en la teoría defunciones de variable compleja, como se irá desvelando a lo largo
del desarrollo de la misma; ello es debido a que tal número puede expresarse como
una integral, ligada con la variación del logaritmo y, por ende, del argumento.
Tenemos aquí un punto más en el que el análisis complejo presenta una fuerte
componente geométrica, que va a hacer de los esquemas gráficos un elemento
auxiliar muy útil.
En la primera parte del capítulo definimos analíticamente el concepto de índice
y probamos sus propiedades básicas. En la segunda parte, vemos que el índice se
corresponde efectivamente con el ‘número de vueltas’, estudiando variaciones del
argumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos y
logaritmos continuos alolargo de un camino, emparentados (pero no equiparables)
con las determinaciones del argumento y del logaritmo.
Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, es
Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York
(1991); un enfoque muy geométrico se encuentra en Needham, T.: Visual Complex
Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel más elevado, Burckel, R. B.:
An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkhäuser, Basel (1979).
5.2 DEFINICIÓN Y PRIMERAS PROPIEDADES
Definición. Sea γ un camino cerrado. Para z /∈ sop γ ,
se llama índice de z respecto de γ .
Indγ (z) = 1
2πi
77
γ
dw
w − z

78 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
Propiedades.
1. La función Ind : C \ sop γ −→ C es analítica.
Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas mediante
integrales.
2. Indγ (z) ∈ Z, ∀z ∈ C \ sop γ .
En efecto, sea γ :[a, b] −→ C, a = t0 < t1 < ... < tn = b tal que la
restricción de γ a cada [tj−1, tj] tenga derivada continua. Entonces,
Indγ (z) = 1
2πi
b
a
γ ′ (t)
γ(t) − z
dt = 1
2πi
Para cada j = 1, 2,...,n,definimos las funciones
gj : s ∈ [tj−1, tj] −→ gj(s) =
s
tj−1
n
j=1
tj
tj−1
γ ′ (t)
γ(t) − z
γ ′ (t)
γ(t) − z
dt ∈ C.
Por el teorema fundamental del cálculo, las gj son derivables, siendo
De aquí,
por tanto,
d
ds
e gj (s)
γ(s) − z
g ′ j (s) = γ ′ (s)
γ(s) − z .
= e gj (s)
g ′ j (s)
γ(s) − z −
e gj (s)
γ(s) − z = Cte = egj (tj−1)
γ(tj−1) − z =
(la constante es, por ejemplo, el valor en s = tj−1). Así,
γ ′ (s)
(γ (s) − z) 2
= 0,
e 0
γ(tj−1) − z
dt. (1)
e gj (tj ) γ(tj) − z
= . (2)
γ(tj−1) − z
De la ecuación (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos:
Indγ (z) = 1
2πi
n
gj(tj).
j=1

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 79
Entonces, por (2),
n e j=1 gj (tj )
=
n
j=1
γ(tj) − z
γ(tj−1) − z
= γ(b) − z
γ(a) − z
= 1,
pues el camino es cerrado. Por último, esto implica que existe k ∈ Z tal que
n
gj(tj) = 2kπi ⇒ Indγ (z) = k ∈ Z.
j=1
3. La función Indγ es constante en cada componente conexa de C \ sop γ .
Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros.
4. Indγ = 0 en la componente no acotada de C \ sop γ .
En efecto, basta observar que
| Indγ (z)| ≤ 1
2π
long γ · sup
w∈sop γ
1
|w − z| .
Como sop γ es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con
módulo suficientemente grande para que | Indγ (z)| < 1. Como debe ser un
entero, no queda otra posibilidad que Indγ (z) = 0.
Ejemplos. 1. Sea γ = ∂ D(a; r) la circunferencia de centro a y radio r (orientada
positivamente). Entonces Indγ (z) = 1si|z − a| < r, Indγ (z) = 0si|z − a| > r.
En efecto: puesto que D(a; r) es conexo, para todo z ∈ D(a; r) será
Indγ (z) = Indγ (a) = 1
2πi
2π
0
rie it
dt = 1.
reit Por otra parte, {z ∈ C : |z − a| > r} es la componente no acotada de C \ sop γ ,
luego para estos z el índice es 0.
2. De manera análoga, si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida
k veces en sentido positivo (k ∈ N), es decir,
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = a + re ikt ∈ C,
se obtendría Indγ (z) = k si |z − a| < r, Indγ (z) = 0si|z − a| > r. Ysiγ es la
circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N),
es decir,
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = a + re −ikt ∈ C,

80 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
se obtendría Indγ (z) =−k cuando |z − a| < r, Indγ (z) = 0 cuando |z − a| > r.
3. El cálculo directo del índice se complica incluso en situaciones aparentemente
muy sencillas. Por ejemplo, sea γ “el cuadrado de vértices ±1±i”, es decir,
la poligonal [1 + i, −1 + i] ∪ [−1 + i, −1 − i] ∪ [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i].
Entonces
Indγ (0) =
γ1
γ3 γ2
0
1
dz
2πi γ z
= 1
dz
2πi [1+i,−1+i] z +
dz
[−1+i,−1−i] z +
dz
[−1−i,1−i] z +
dz
[1−i,1+i] z
= 1
dz 1
dz
+
2πi [−1−i,1−i]∪[1−i,1+i]∪[1+i,−1+i] z 2πi [−1+i,−1−i] z
= 1
Log(−1 + i) − Log(−1 − i)
2πi
+ 1
Log[0,2π) (−1 − i) − Log [0,2π) (−1 + i)
2πi
= 1
3πi
2πi 4 −
− 3πi
+
4
1
5πi 3πi
− = 1
2πi 4 4
puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C\(−∞, 0] (que contiene al soporte de
[−1−i, 1−i]∪[1−i, 1+i]∪[1+i, −1+i]) y Log [0,2π) (z) lo es en C\[0, +∞),
que contiene al soporte de [−1 + i, −1 − i].
En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el cálculo el camino por otro
más cómodo, concretamente por la circunferencia unidad ∂ D(0; 1).Enefecto:
Sean γ1 = [1, 1 + i], γ2 = [1 + i, i]yγ3 el primer
cuadrante de la circunferencia orientado negativamente,
como se indica en la figura. Puesto que 0
queda (“a ojo”) en la componente conexa no acotada
del complementario del soporte del camino
cerrado γ1 ∪ γ2 ∪ γ3, tendráíndice 0 respecto del
mismo. Por tanto
1 dz
= 0,
2πi γ1∪γ2∪γ3 z
con lo cual
dz
γ1∪γ2 z =−
dz
γ3 z =
dz
−γ3 z .
Repitiendo el proceso en los demás cuadrantes y sumando convenientemente, sin
perder de vista las orientaciones, llegamos a
1 dz 1 dz
= = 1.
2πi z 2πi z
γ
∂ D(0;1)

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 81
Con “ayudas visuales” como ésta podremos ir ampliando la complejidad de las
situaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todavía
de la intuición geométrica viendo que el índice corresponde, como señalábamos en
la introducción, al número de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que da
el camino alrededor del punto. La manera más obvia de medir estas vueltas es seguir
la variación del ángulo que va formando el segmento [z0,γ(t)] con el segmento
[z0,γ(a)] cuando t va recorriendo el intervalo [a, b] enelque está definida γ .
En C, hablar de ángulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parte
imaginaria de los logaritmos. Si repasamos los cálculos efectuados anteriormente,
se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmar
adecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el índice,
que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalización de
estos procedimientos es el objeto de la sección siguiente.
5.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL ÍNDICE
Comenzamos con las definiciones de los conceptos que recogen las ideas que
acabamos de apuntar.
Definición. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que γ(t) = 0, ∀t ∈ [a, b].
Diremos que:
1. f :[a, b] −→ C es un logaritmo continuo alolargo de γ ,si f es continua
en [a, b],y f (t) ∈ log γ(t), ∀t ∈ [a, b].
2. h :[a, b] −→ R es un argumento continuo alolargo de γ ,sih es continua
en [a, b],yh(t) ∈ arg γ(t), ∀t ∈ [a, b].
Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (determinaciones
en regiones), pero existe una gran diferencia: aquí,lavariable es real,
no atendemos prioritariamente al punto γ(t) del soporte camino sino que ponemos
énfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. Así, puede suceder que
sea γ(t1) = γ(t2) sin que f (t1) = f (t2) o h(t1) = h(t2), con las notaciones de la
definición.
Sin dificultad se prueba:
i) Si f1, f2 son dos logaritmos continuos a lo largo de γ , entonces
∃k ∈ Z ∋ f1(t) = f2(t) + 2kπi, ∀t ∈ [a, b].
ii) Si h1, h2 son dos argumentos continuos a lo largo de γ , entonces
∃k ∈ Z ∋ h1(t) = h2(t) + 2kπ, ∀t ∈ [a, b].

82 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ , entonces h(t) =ℑm f (t) es
un argumento continuo a lo largo de γ .
iv) Si h es un argumento continuo a lo largo de γ , entonces f (t) = ln |γ(t)|+ih(t)
es un logaritmo continuo a lo largo de γ .
Ejemplos.
1. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ (−∞, 0] =∅,Argγ(t) es un argumento
continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?)
2. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ [0, +∞) =∅,Arg [0,2π) γ(t) es un
argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?)
3. Sean k ∈ Z, r > 0y
Entonces
4
2
0
-2 x 0 2 4
-2
y
-4
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = re ikt ∈ C.
h : t ∈ [0, 2π] → h(t) = kt ∈ C
es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?)
4. Si se conocen argumentos continuos h1 y h2 de dos caminos γ1 :[a, b] → C,
γ2 :[a, b] → C,ysedefine mediante su producto un nuevo camino
γ : t ∈ [a, b] → γ(t) = γ1(t)γ2(t) ∈ C,
entonces h1 + h2 es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?)
Esta observación es más útil de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = e 3it + 3 e 2it ∈ C.
(en la figura se tiene su representación
gráfica).
Como e 3it + 3 e 2it = e 2it (3 + e it ),
h(t) = 2t + Arg(3 + e it ) seráunargumento
continuo a lo largo de γ (nótese
que ℜe (3 + e it ) > 0 para todo t ∈
[0, 2π]).
A diferencia de las determinaciones del logaritmo en regiones (que pueden
no existir), sobre caminos siempre hay logaritmos continuos.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 83
Teorema. Sea γ :[a, b] −→ C un camino tal que 0 /∈ sop γ .Entonces, existe
f :[a, b] −→ C logaritmo continuo a lo largo de γ .Además, f es derivable donde
lo sea γ .
Demostración. Con las mismas notaciones que en la demostración de la propiedad
2 del índice, consideremos como entonces la partición a = t0 < t1 < ...

84 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
γ γ(t)
arg γ(t)
“1 vuelta”
La cantidad h(b) − h(a) se suele representar
por ARG γ(t), arg γ o alguna no-
a≤t≤b
tación similar, y se lee variación de un argumento
continuo a lo largo del camino.
Indγ (0) es así la suma algebraica del número
de veces que el argumento varía en2π.
Gráficamente, pues, Indγ (0) corresponde
al número de vueltas que da la curva
alrededor del 0.
Demostración. Usamos las mismas notaciones que en la demostración del teorema,
y sea h(t) =ℑm f (t) (que es un argumento continuo). Tenemos
2πi Indγ (0) =
=
γ
dw
w =
n
j=1
tj
tj−1
γ ′ (s)
ds =
γ(s)
n
(gj(tj) − gj(tj−1))
j=1
n
( fj(tj) − fj(tj−1)) = f (b) − f (a) = i(h(b) − h(a)).
j=1
Notemos para la última igualdad que f (b), f (a) son logaritmos del mismo número
γ(a) = γ(b),ypor tanto, tienen la misma parte real. Por último, esta variación no
depende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencian
en una constante 2kπ.
Observaciones.
1. Quede claro una vez más que no se debe confundir ‘argumento continuo a lo
largo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre el
soporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva
γ :[0, 2π] −→ C ∋ γ(t) = e it
no existe H : sop γ −→ C continua tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ .
Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sop γ −→ C
continua, tal que H(z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ , entonces H ◦ γ es un argumento
continuo a lo largo de la curva.
2. Para otro punto, distinto de 0, que no esté ensop γ tenemos lo siguiente:
Si γ :[a, b] −→ C,yz0 /∈ sop γ , trasladamos el camino mediante
γ − z0 : t ∈ [a, b] −→ γ(t) − z0 ∈ C.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 85
z0
γ
γ(t)
arg( γ(t)-z 0)
Entonces es claro que
Indγ (z0) = Indγ −z0 (0)
= 1
arg(γ − z0),
2π
es decir, el índice respecto de γ del
punto z0 es la variación de un argumento
continuo a lo largo de la curva
γ − z0 y esto, geométricamente, significa
el número de vueltas que da la
curva γ alrededor del punto z0.
Por ejemplo, sobre esta idea, es fácil para la curva dibujada a continuación ver cuál
es el índice de cualquier
Indice 0 punto del plano que no
esté sobre su soporte. Fi-
Indice 1 jado un punto z0 /∈ sop γ ,
Indice 2 seguimos gráficamente la
variación del ángulo que
Indice 3 forma el radio vector que
une z0 con un punto que
0 E
vaya recorriendo la curva,
medida esta variación respecto
de la semirrecta de
origen z0 que pasa por el
punto inicial (y final) E.
Por supuesto, el índice se mantiene constante en cada componente conexa.
3. El índice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales.
La razón de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a /∈ sop γ ,
(z − a) n dz = 0, ∀n = −1, n ∈ Z,
γ
ya que las funciones (z − a) n tienen primitiva (z − a) n+1 /(n + 1) en C \{a},
abierto que contiene a sop γ .Sólo queda saber que ocurre con n =−1, yde
aquí la noción de índice.
Así por ejemplo, para integrar una función racional sobre un camino cerrado,
γ
P(z)
Q(z) dz

86 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
(P/Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples sólo hará falta
conocer los índices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto:
supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una raíz doble z1, una raíz simple
z2 y una raíz triple z3, yque el grado de P es dos unidades mayor que el de
Q. Entonces
de donde
P(z)
Q(z) = az2 + bz + c +
γ
P(z)
dz = A
Q(z)
γ
+
dz
z − z1
A
(z − z1) +
C
(z − z3) +
+ B
γ
A ′ B
+
(z − z1) 2 (z − z2)
C ′
+
(z − z3) 2
dz
z − z2
+ C
C ′′
,
(z − z3) 3
γ
dz
z − z3
(los términos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo),
yasí
γ
P(z)
Q(z) dz = 2πi A Indγ (z1) + B Indγ (z2) + C Indγ (z3) .
Más adelante veremos una importantísima generalización de este resultado,
el teorema de los residuos.
4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, más en general,
para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostración anterior la
construcción del logaritmo mediante integrales por una construcción directa
(más delicada). Esto hace que se pueda extender la noción de índice para curvas
cerradas mediante la variación de un argumento continuo. Las propiedades
básicas que acabamos de obtener siguen siendo válidas en esta situación más
general. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.)
5. Curvas de Jordan e índice. Recordemos que un espacio topológico se denomina
curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. El
célebre teorema de la curva de Jordan establece:
Una curva de Jordan J en el plano C (≡ R 2 ) separa a C en dos regiones
con frontera común J, una acotada (el interior de J) yotra no acotada (el
exterior de J); enotras palabras, C \ J tiene una sóla componente acotada
G, elinterior de J (se dice entonces que G es una región de Jordan); la
componente no acotada es el exterior de J,yambas tienen J como frontera.
Si J es una curva de Jordan y Ɣ cualquier homeomorfismo de T sobre J,
poniendo γ :[0, 2π] → γ(t) = Ɣ(e it ) ∈ C puede definirse una curva en el

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 87
sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, pág. 103) que para
todos los puntos del interior de J el valor constante del índice respecto de γ es
1o−1. En el primer caso, Ɣ se dice positivamente orientado,ynegativamente
orientado en el segundo.
Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicación continua γ :[a, b] → C
tal que γ(a) = γ(b) y γ |[a,b) inyectiva, su soporte sop γ es una curva de
Jordan. Para todos los puntos del interior de sop γ ,elíndice respecto de γ
es, pues, constantemente 1 o −1. En el primer caso, γ se dice positivamente
orientada, ynegativamente orientada en el segundo. Si G es el interior de
sop γ ,sepone a veces γ = ∂G cuando γ está positivamente orientada para
indicar esta relación.
5.4 EJEMPLOS Y EJERCICIOS
Ejemplos.
1. En los caso más sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) queda
alavista que Análisis y Geometría encajan perfectamente.
2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ :[a, b] → C
no corta al semieje real negativo (−∞, 0], entonces Indγ (0) = 0, pues 0 está en
la componente no acotada de C \ sop γ . Por la misma razón, Indγ (0) = 0 para
todo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con ∞ en la esfera de
Riemann.
3. Para el camino
γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t) = e 3it + 3 e 2it ∈ C,
el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Indγ (0) = 2, yel
mismo valor tendrá Indγ (a) para todos los a en la componente conexa de C\sop γ
que contiene al origen. En la componente conexa no acotada sabemos que el índice
vale 0.
En la otra componente conexa acotada de C\sop γ , observamos gráficamente
que el índice vale 1. Puede justificarse analíticamente, por ejemplo, hallando su
valor en z = 3; para ello escribimos
γ(t) − 3 = e it (e 2it + 6i sen t)
y comprobamos que ℑm (e 2it + 6i sen t) = 2 sen t(cos t + 3) sólo se anula si
sen t = 0, en cuyo caso ℜe (e 2it + 6i sen t) = cos(2t) = 1. En consecuencia
e 2it + 6i sen t /∈ (−∞, 0] para ningún t ∈ [0, 2π], y por tanto,
t + Arg(e 2it + 6i sen t), t ∈ [0, 2π],
es un argumento continuo de γ − 3, de donde Indγ (3) = 1.

88 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos más),sea
γ : t ∈ [−R, R] → t 3 − (1 + 2i) t 2 − (3 − 7i) t + 8 − 4i ∈ C.
Hallar la variación de un argumento continuo a lo largo de γ .
Respuesta.
Para situar γ(t) según los valores de t, estudiemos la variación de signos de
x(t) := ℜeγ(t) = t 3 − t 2 − 3t + 8,
y(t) := ℑmγ(t) =−2t 2 + 7t − 4,
extendidas a todo t ∈ R.
Como x ′ (t) = 3t 2 −2t −3seanula para t ′ = 1 − √ 10
< 0yt
3
′′ = 1 + √ 10
> 0,
3
mantendrá susigno en los intervalos (−∞, t ′ ), (t ′ , t ′′ ), (t ′′ , +∞). Ypuesto que
limt→−∞ x ′ (t) = limt→+∞ x ′ (t) =+∞; x(t ′′ )>1 − (6/3) 2 − (1 + 4) + 8 = 0
y x ′ (0) =−3 < 0, siendo 0 ∈ (t ′ , t ′′ ), podemos resumir esta información en el
cuadro siguiente:
t →−∞ ∈ (−∞, t ′ ) = t ′ ∈ (t ′ , 0) = 0 ∈ (0, t ′′ ) = t ′′ ∈ (t ′′ , +∞) →+∞
x ′ (t) →+∞ > 0 = 0 < 0 =−3 < 0 = 0 > 0 →+∞
x(t) →−∞ ↗ ↘ = 8 ↘ > 0 ↗ →+∞
del que se deduce que x(t ′ )>0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞, t ′ ) y uno sólo
con x(t0) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t ′′ )>0 para todo t ∈ [0, +∞).
Por otra parte y(t) =−2t 2 + 7t − 4 =−2(t − t1)(t − t2) con t1 = 7 − √ 17
,
4
t2 = 7 + √ 17
,demodo que t0 < t
4
′ < 0 < t1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos
la siguiente evolución de signos para x(t), y(t), con la ubicación de
γ(t) = x(t) + iy(t):
t →−∞ ∈ (−∞, t0) = t0 ∈ (t0, t1) = t1 ∈ (t1, t2) = t2 ∈ (t2, +∞) →+∞
x(t) →−∞ < 0 = 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 →+∞
y(t) →−∞ < 0 < 0 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 →−∞
γ(t) ∈ C3 ∈−iP ∈ C4 ∈ P ∈ C1 ∈ P ∈ C4
donde hemos puesto P = (0, +∞), C1 ={z ∈ C : ℜe z > 0, ℑm z > 0},
C3 ={z ∈ C : ℜe z < 0, ℑm z < 0}, C4 ={z ∈ C : ℜe z > 0, ℑm z < 0}.
Elegimos R de modo que −R < t0 < t2 < R.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 89
Vemos así que el soporte de γ no corta al semieje real negativo (−∞, 0] (en
particular, que 0 /∈ sop γ ), por lo que Arg γ(t) es un argumento continuo a lo largo
de γ ,y,puesto que −R < t0 < t2 < R, podemos concluir que
donde
ARG
−R≤t≤R
γ(t) = Arg γ(R) − Arg γ(−R)
= arc tg y(R)
x(R) −
α(R) = arc tg y(R)
x(R)
arc tg y(−R)
x(−R)
− arc tg y(−R)
x(−R) ,
− π = π + α(R),
que tiene límite 0 cuando R →+∞(este tipo de información nos será útil posteriormente).
20
0
-20 -10 0 10 20 30
-20
-40
10
5
0
-4 -2 0 2 4 6
Gráfica de γ(t) Gráficas de x(t) e y(t)
Ejercicio. Sea P(z) = z k + a1 z k−1 + ···+ak un polinomio de grado k ≥ 1, y
para cada R > 0,sea
Probar que lim
R→+∞ ARG
0≤t≤π γR(t) = kπ.
γR : t ∈ [0,π] → γR(t) = P(Re it ) ∈ C.
(Nos encontraremos más adelante en la necesidad de estudiar límites de este
tipo.)
Respuesta.
Notemos que
P(z) = z k g(z),
donde
lim g(z) = lim 1 +
z→∞ z→∞
a1
z
ak
+ ···+
zk
= 1.
-5
-10

90 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
0
1
Existirá por tanto un R0 > 0 tal
que si |z| > R0
|g(z) − 1| < 1,
y, en particular, g(z) /∈ (−∞, 0]. Tomando,
pues, R > R0,
γR(t) = R k e ikt g(Re it ),
es un argumento continuo a lo largo de γR.Enconsecuencia
con g(Re it )/∈ (−∞, 0] para todo t ∈
[0,π], por lo cual
t ∈ [0,π] → kt + Arg g(Re it ) ∈ R
ARG
0≤t≤π γR(t) = kπ + Arg g(−R) − Arg g(R)
si R > R0. Pero entonces
lim
R→+∞ ARG
0≤t≤π γR(t)
= kπ + lim Arg g(−R) − Arg g(R)
R→+∞
= kπ + Arg 1 − Arg 1 = kπ.
5.5 APÉNDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN
NOTA. Lo que a continuación se expone es sólo una descripción intuitiva, sin ninguna pretensión de
rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones más desenfadadas que las habituales en un texto
de Matemáticas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se
quieren reflejar.
Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de que
el logaritmo complejo es una función multivaluada, que para cada complejo z no
nulo nos obsequia con infinitos valores. Evidentemente, demasiados para poder
actuar sobre ellos con las técnicas habituales del Análisis matemático.
Para salir del paso hemos recurrido primeramente, de la manera más drástica,
a podar las ramas, seleccionando en ciertas regiones del plano un valor entre los
infinitos posibles, con habilidad suficiente para enlazar los valores seleccionados
de forma que se consiga una función holomorfa (una determinación del logaritmo,
también denominada una rama del logaritmo). Pero en otras regiones del plano
esto no soluciona las dificultades: cuando hemos necesitado movernos a lo largo de
curvas que rodeen al origen, hemos tenido que fabricar un nuevo apaño, los logaritmos
continuos a lo largo de curvas. Esto da una pista para intentar uniformizar el

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 91
logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a él tratándolo como a una “función
verdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del logaritmo
tras una variación continua del mismo, podemos interpretar que este punto
está situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano original pero
distinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuestión entonces es
cómo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructura
razonable.
Para lograrlo, Riemann imaginóinfinitas copias de C, llamémosles [C, n] por
ejemplo (n ∈ Z), cortadas a lo largo del semieje real [0, +∞); partiendo de [C, 0],
le unimos [C, 1] enganchando el borde inferior del corte de [C, 0] con el borde
superior del corte de [C, 1]; luego seguimos el proceso uniendo [C, 1] con [C, 2]
enganchando el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte
de [C, 2],yasí sucesivamente. De forma similar se va uniendo [C, 0] con [C, −1]
(recordemos que [C, 0] aún tiene libre el borde superior), [C, −1] con [C, −2],
etc.
Se obtiene así un ‘objeto imposible’, una especie de hélice infinita completamente
aplastada, que se denomina la superficie de Riemann del logaritmo. Cada
una de las copias de C es una hoja de la superficie, y es posible considerar el
logaritmo como una función genuina con dominio en su superficie de Riemann,
que va adjudicando valores según la hoja en la que esté situado el punto (tal como
el logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores según el parámetro).
La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplo
más sencillo es la raíz cuadrada: una raíz cuadrada continua a lo largo de la circunferencia
unidad (definición obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nos
devolveríaaeste punto tras completar la vuelta con el valor −1 (si continuásemos
girando, tras la siguiente vuelta recuperaríamos el valor 1). Ahora sería suficiente
contar con dos copias [C, −1], [C, −2] de C, cortadas otra vez a lo largo del semieje
real no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde
superior del corte de [C, 2], y después el borde inferior del corte de [C, 2] con el
borde superior del corte de [C, 1], dejándolo todo de una sola pieza.
La descripción del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas dice
así:
“Para muchas investigaciones, tales como la investigación de funciones algebraicas
y abelianas, es conveniente representar el modo en que se ramifica una
función multivaluada en la siguiente manera geométrica. Pensemos que el plano
(x, y) está cubierto por otra superficie coincidente con él (o apoyado sobre él a una
distancia infinitesimal) en tanto en cuanto la función estédefinida. Al continuar la
función la superficie se extiende correspondientemente. En una parte del plano en
la que la función tenga dos o más continuaciones la superficie es doble o múltiple;
consta allí de dos o más hojas, cada una de las cuales representa una rama de la

92 Indice de un punto respecto de un camino cerrado
función. Alrededor de un punto de ramificación de la función una hoja de la superficie
continúa en otra, de manera que en el entorno de tal punto la superficie puede
mirarse como una superficie helicoidal con eje a través del punto y perpendicular al
plano (x, y),ypendiente infinitesimal. Cuando la función retorna a su valor previo
tras un número de vueltas de z alrededor del punto de ramificación (como, por
ejemplo, con (z − a) m/n , cuando m, n son primos relativos, después de n vueltas
de z alrededor de a), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de más
arriba baja a través de las otras a unirse con la inferior.
La función multivaluada tiene sólo un valor para cada punto de esta superficie
que representa su ramificación, y por tanto puede ser vista como una función
completamente determinada sobre la superficie.”
Puede darse una definición satisfactoria de las superficies de Riemann de
las “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definición
general de superficie de Riemann abstracta que introdujeron básicamente Weyl y
Radó. Técnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa
de dimensión 1 (por tanto, de dimensión real 2) dotada de una estructura analítica.
Esto último significa que si dos cartas (U,ϕ), (V,ψ) se cortan, los cambios de
coordenadas ϕ ◦ ψ −1 y ψ ◦ ϕ −1 son funciones (complejas de variable compleja)
analíticas.
Continuar por este terreno nos acercaríamás a la Topología diferencial o a la
Geometría diferencial que a los intereses centrales de este curso, por lo que dejamos
aquí este asunto, remitiéndonos para una introducción al tema a Narasimhan, R.:
Complex Analysis in one variable. Birkhäuser, Boston (1985). Dedicada exclusivamente
a las superficies de Riemann es la monografía clásica Springer, G.:
Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1957); más
actuales, Farkas, H. M.; Kra, I.: Riemann Surfaces. (2nd. ed.) Springer, New York
(1992), Forster, O.: Lectures on Riemann Surfaces. Springer, New York (1981).

CAPÍTULO 6
6.1 INTRODUCCIÓN
Teoría local de Cauchy
Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangón en la teoríade
funciones de una o varias variables reales. La llave: la fórmula de Cauchy, que al
expresar el valor en un punto de una función holomorfa —en abiertos estrellados, de
momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino
cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la función
como una integral dependiente de un parámetro, con consecuencias adivinables en
algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles
en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del álgebra, ...)
La fórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy.Reflexionando
a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados
se sustenten, finalmente, en algo que podría parecer una simple curiosidad: la integral
de una función holomorfa en un disco (o, con la misma demostración, en
un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (también si la función deja
de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta será nuestra
primera versión del teorema de Cauchy: más adelante nos ocuparemos de extender
su alcance (comenzando por ampliar el ámbito de validez de la fórmula de Cauchy
en la denominada “teoría global de Cauchy”).
Sin embargo, el examen de la demostración del teorema de Cauchy revela la
causa de esta pequeña maravilla, situándonos en terreno más conocido. Basta encontrar
una primitiva de la función dada para saber que la integral es nula, y esto reduce
el problema a probar la anulación de la integral sobre el contorno de un triángulo
(teorema de Cauchy-Goursat). Una exposición inmejorable de este planteamiento
puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series.
The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa página se
encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostración, si bien bajo la
hipótesis de derivabilidad en todos los puntos.
Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran
básicamente en
Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
Como complemento en algunos detalles,
Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
93

94 Teoría local de Cauchy
6.2 TEOREMA Y FÓRMULA DE CAUCHY
1Teorema. Sea un abierto no vacío deC, f : → C continua. Son equivalentes:
(1.1) existe una primitiva de f en , esdecir, una función F ∈ H() tal que
F ′ = f ;
(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en ,
f (z) dz = 0;
γ
(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1, γ2 contenidos en que tengan los
mismos orígenes e iguales extremos,
f (z) dz = f (z) dz.
γ1
Demostración. (Recuérdese el teorema de los campos conservativos para formas
diferenciales reales).
(1.1) ⇒ (1.2) Visto.
(1.2) ⇒ (1.3)γ1 ∪ (−γ2) es un camino cerrado contenido en .
(1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos
disjuntos dos a dos cuya unión es . Por tanto, para construir una primitiva de f
en es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de
.
Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F :
G → C haciendo
F(z) = f (w) dw,
γz
donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a yextremo z (la función
F está entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta
función F es derivable, y para cada z0 ∈ G es F ′ (z0) = f (z0). Enefecto: dado
z0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z0; ε) ⊆ G; siγ0 es un determinado camino
contenido en G con origen a yextremo z0, para cada z ∈ D(z0; ε) sea γz la unión
de γ0 con el segmento [z0, z], que por ser un camino contenido en G con origen a
yextremo z nos permite escribir
F(z) − F(z0)
z − z0
= 1
z − z0
= 1
z − z0
γz
[z0,z]
γ2
f (w) dw −
f (w) dw
γ0
f (w) dw

Teoría local de Cauchy 95
y por tanto
F(z) − F(z0)
− f (z0)
z − z0
=
1
f (w) dw −
z − z0 [z0,z]
1
f (z0) dw
z −
z0 [z0,z]
≤ sup | f (w) − f (z0)| ,
w∈sop[z0,z]
que tiende a 0 cuando z tiende a z0 por la continuidad de f en z0.
2Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto
no vacío deC, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \{p}).
Para cualquier triángulo cerrado contenido en ,
f (z) dz = 0.
∂
Demostración. Rudin, loc. cit.,Teor. 10.13, pp. 232–234.
3Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de
C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \{p}).Paracualquier
camino cerrado γ contenido en ,
f (z) dz = 0.
γ
Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit.,Teor. 10.14, p. 234.
4Fórmula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C
y f ∈ H(). Siγ es un camino cerrado contenido en , paracualquier z de
que no esté enelsoporte de γ es
f (z) · Indγ (z) = 1
f (w)
2πi γ w − z dw.
Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit.,Teor. 10.15, pp. 234–235.
5 Corolario (Fórmula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vacíodeC,
D(a; r) un disco cerrado contenido en , f una función holomorfa en .Entonces,
para cada z ∈ D(a; r),
f (z) = 1
f (w)
2πi w − z dw.
∂ D(a;r)
Demostración. Puesto que D(a; r) ⊆ ,ladistancia d(a, c ) de a al complementario
de es estrictamente mayor que r. Sir < R < d(a, c ),eldisco D(a; R)
es un abierto estrellado contenido en , enelque f será holomorfa.
Llamando γ alacircunferencia ∂ D(a; r), γ es un camino cerrado contenido
en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r) es Indγ (z) = 1, luego basta aplicar el resultado
anterior para obtener la fórmula del enunciado.

96 Teoría local de Cauchy
6.3 CONSECUENCIAS DE LA FÓRMULA DE CAUCHY
1Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa
es analítica. Precisando más: Si es un abierto no vacío deCy f ∈ H(), para
cada a ∈ existe una serie de potencias ∞ n=0 an (z −a) n con radio R ≥ d(a,c )
(donde d(a,c ) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ si
c =∅,osea,si = C) tal que
siempre que |z − a| < d(a, c ).
f (z) =
∞
an (z − a) n
n=0
Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.
Demostración. Elegido a, sea z tal que |z − a| < d(a,c ).Tomando r de modo
que |z −a| < r < d(a,c ),eldisco cerrado D(a; r) está contenido en ,ypuesto
que |z − a| < r, lafórmula de Cauchy nos da
f (z) = 1
2πi
∂ D(a;r)
f (w)
w − z dw.
Pero el teorema de construcción de funciones analíticas nos dice que
1
2πi
∂ D(a;r)
f (w)
w − z
dw = 1
2πi
∞
n=0
∂ D(a;r)
f (w)
dw
(w − a) n+1
con tal que z no esté enlacircunferencia |w − a| =r,yasí
donde
an = 1
2πi
f (z) =
∞
an (z − a) n
n=0
∂ D(a;r)
f (w)
dw.
(w − a) n+1
(z − a) n
En principio los an parecen depender de r; sin embargo no es éste el caso, ya que
an = f (n) (a)
.
n!

Teoría local de Cauchy 97
Ejemplos.
1. La función f definida en = (C \ 2πiZ) ∪{0} por
z
f (z) = ez si z ∈ y z = 0
− 1
1 si z = 0
es holomorfa en , luego será analítica en yenparticular existirán coeficientes
Bn (los llamados números de Bernoulli)demodo que
f (z) =
∞
n=0
Bn
n! zn
al menos siempre que |z| < 2π. Dehecho, el radio de convergencia de la serie es
exactamente 2π,yaque si fuese mayor f admitiría una extensión continua en 2πi,
lo que es falso.
2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del
punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c ). ¿Siempre
vamos a encontrar esta situación? La respuesta, en general, es NO: basta tomar
= C \ (−∞, 0] y f : z ∈ → f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈
el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que si
ℜe a < 0esd(a, c ) =|ℑm a| < |a|.
La fórmula de Cauchy permite obtener una representación de las derivadas
de una función holomorfa en términos de la propia función, de la que podremos
extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teoría
de funciones en R.
2Fórmula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vacío deCy f ∈ H().Dadoa∈,sear > 0 tal que D(a; r) ⊆ .Entonces, si |z − a| < r,
para cada n ∈ N,
f (n) (z) = n!
2πi
∂ D(a;r)
Demostración. Para cada z ∈ D(a; r) es
f (z) = 1
2πi
∂ D(a;r)
f (w)
dw.
(w − z) n+1
f (w)
w − z dw.
Aplicando reiteradamente el teorema de derivación bajo el signo integral se obtiene
la fórmula deseada.
Un corolario es que el tamaño de las derivadas sucesivas en un punto no puede
crecer “descontroladamente”.

98 Teoría local de Cauchy
3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vacío deC y f ∈ H().
Dado a ∈ , sear > 0 tal que D(a; r) ⊆ . Entonces, poniendo M(r) =
sup |w−a|=r | f (w)|,paracada n ∈ N se tiene la acotación
Demostración. Obviamente
| f (n)
(a)| =
n!
2πi
| f (n) (a)| ≤
∂ D(a;r)
f (w)
(w − a)
n! M(r)
r n
.
n+1 dw
n! M(r)
≤ 2πr.
2π r n+1
4Teorema de Liouville. Sea f una función entera, es decir, f ∈ H(C).Si f está
acotada, necesariamente es constante.
Demostración. Supongamos que para algún K > 0es| f (z)| ≤K cualquiera que
sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0setendrá
| f ′
(a)| =
1
2πi
∂ D(a;R)
f (w)
(w − a)
2 dw
≤ 1
2π
K K
2π R =
R2 R ,
expresión que tiende a 0 cuando R →+∞. Por tanto f ′ (a) = 0entodo a ∈ C,
para lo que f debe ser constante.
5Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio no constante tiene al menos
una raíz enC.
Demostración. Encaso contrario, si P(z) = a0 z n + ...+ an fuese un polinomio
no constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la función definida por
f (z) = 1
P(z)
sería una función entera no nula. Pero como
lim
z→∞
f (z) = lim
z→∞
1
z n (a0 + ...)
= 0,
se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1enladefinición
de límite, existirá unR > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para
|z| ≤R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Según el teorema
de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente sería constante
1/f = P, contradiciendo la hipótesis de partida.

Teoría local de Cauchy 99
6 Principio del módulo máximo. Sea f una función holomorfa en una región
de C. Sisumódulo | f | tiene algún máximo local, entonces f es constante.
Demostración. Supongamos que para algún a ∈ sea posible encontrar un R > 0
tal que D(a; R) ⊆ y | f (a)| ≥|f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que
| f (a)| =|f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| =r < R, como
se deduce que
con lo cual
f (a) = 1
2πi
| f (a)| ≤ 1
2π
2π
0
1
2π
∂ D(a;r)
f (w)
w − a
dw = 1
2π
| f (a + re it )| dt ≤ 1
2π
2π
0
2π
0
2π
(| f (a)|−|f (a + re it )|) dt = 0.
0
f (a + re it ) dt
| f (a)| dt =|f (a)|,
El integrando es una función continua no negativa, luego | f (a)| =|f (a + re it )|
para todo t ∈ [0, 2π]yenparticular | f (a)| =|f (z)|.
Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R)
(consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante
en (por el principio de prolongación analítica).
Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado:
—obien f es constante o, en caso contrario, su módulo | f | no tiene máximos
locales;
—sif no es constante, su módulo | f | no tiene máximos locales.
7Teorema de Morera. Sea f una función continua en un abierto no vacío de
C tal que para todo triángulo cerrado ⊆ se tenga
Entonces f ∈ H().
∂
f = 0.

100 Teoría local de Cauchy
Demostración. Hemos de probar que cada a ∈ posee un entorno en el que f es
derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r) ⊆ ;enél, f admite
una primitiva F que podemos construir poniendo
F(z) = f (w) dw, z ∈ D(a; r).
[a,z]
(La comprobacion de que F es una primitiva de f es estándar: usando la hipótesis
del enunciado, para cada z0 ∈ D(a; r) tenemos
F(z) − F(z0)
=
z − z0
1
z − z0
[z0,z]
f (w) dw, 0 < |z − z0| < r −|z0 − a|,
lo que implica que por ser f continua
F(z) − F(z0)
− f (z0)
z − z0
=
1
z − z0
f (w) − f (z0)
[z0,z]
dw
≤ max | f (w) − f (z0)|
w∈[z0,z]
tiende a 0 cuando z → z0.)
Pero si F ∈ H(D(a; r)),esanalítica y en particular su derivada f es a su vez
derivable en D(a; r).
El teorema de Morera da una especie de recíproco del teorema de Cauchy-
Goursat.
8 Corolario. Sea un abierto no vacío deC, p ∈ , f : → C continua en
y holomorfa en \{p}.Entonces f es holomorfa en .
Demostración. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que
f = 0
∂
para todo triángulo ⊆ , yelteorema de Morera asegura entonces que f es
holomorfa.
Podemos incluso rebajar exigencias:
9 Corolario. Sea un abierto no vacío deC, p ∈ , f una función holomorfa
en \{p} yacotada para algún r > 0 en el disco reducido D∗(p; r) ={z ∈ C :
0 < |z − p| < r}. Entonces f admite una extensión holomorfa en .
Demostración. Lafunción h definida en por
2 (z − p) f (z) si z ∈ \{p}
h(z) =
0 si z = p

Teoría local de Cauchy 101
es holomorfa en y h ′ (p) = 0 por la hipótesis de acotación de f , con lo cual
podremos escribir
yasí
-R
h(z) =
f (z) =
∞
cn(z − p) n , z ∈ D(p; r),
n=2
∞
cn+2(z − p) n , z ∈ D∗(p; r),
n=0
de manera que basta extender f a p definiendo f (p) = c2.
6.4 AVANCE: El teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales.
Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera
más completa y sistemática, veamos cómo el uso de la integración compleja permite
el cálculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta difícil de calcular.
Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad
0
+∞
0
-r
sen x
x
iR
dx = π
2 ,
teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es
decir,
+∞ sen x
dx = lim
x
r→0 + R sen x
dx.
, R→+∞ x
Comencemos por considerar la función f ∈ H(), donde
= C \{iy : y ∈ (−∞, 0]} y f (z) = eiz
, z ∈ .
z
r
r
R

102 Teoría local de Cauchy
Sea γ(r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento
[r, R], la semicircunferencia γR : t ∈ [0,π] → γR(t) = Reit ∈ C, elsegmento
[−R, −r]ylasemicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0,π] → γr(t) = reit ∈ C.
Puesto que es un abierto estrellado y sop γ(r, R) ⊆ , teniendo en cuenta el
teorema de Cauchy podemos escribir
0 = f (z) dz
γ(r,R)
= f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz − f (z) dz
=
=
[r,R]
R eix equivalentemente,
Ahora bien:
r
x
r
R eix − e−ix γr
R
r
f (z) dz =
γR
[−R,−r]
−r eix
dx +
γR
f (z) dz +
−R
dx −
x
γr
f (z) dz
x
dx + f (z) dz − f (z) dz;
e ix − e −ix
x
π
0
γR
dx =
γr
γr
f (z) dz −
e ireit
re it rieit dt = i
π
0
γR
γr
f (z) dz. ( ∗ )
e ir(cos t+i sen t) dt,
y para cada t ∈ [0,π]lafunción del integrando tiene límite (cuando r → 0 + ) igual
a e0 = 1. Además, la acotación
e ir(cos t+i sen t = e −r sen t ≤ e 0 = 1, t ∈ [0,π],
muestra que el integrando está dominado por una función (constante) integrable
en [0,π] que no depende de r, luego aplicando el teorema de la convergencia
dominada se obtiene
Análogamente
lim
r→0 +
γr
γR
f (z) dz = i
f (z) dz = i
π
0
π
0
dt = i π.
e iR(cos t+i sen t) dt,

Teoría local de Cauchy 103
pero ahora, para t ∈ (0,π),es
lim
R→+∞
e iR(cos t+i sen t = lim
R→+∞ e−R sen t = 0,
y por la misma razón de antes
π
lim
R→+∞ 0
e −R sen t dt = 0.
e −R sen t = e −R sen t < e 0 = 1,
(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan,
se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación
π
0
e −R sen t dt ≤ π
R (1 − eR ), deducida de la desigualdad sen t ≥ 2t
π para
0 ≤ t ≤ π
2 .)
Como consecuencia,
lim
R→+∞ γR
f (z) dz = 0,
y llevando los resultados obtenidos a la igualdad ( ∗ ) y pasando al límite para
r → 0 + , R →+∞, queda
luego
2i
+∞
0
+∞
0
sen x
x
sen x
x
dx = i π + 0,
dx = π
2 .

CAPÍTULO 7
7.1 INTRODUCCIÓN
Teoría global de Cauchy
Los éxitos logrados con la teoría local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramientas
básicas —teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy— para ampliar su alcance.
Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos
estrellados, sólo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que
dependen en última instancia del comportamiento de la función en un entorno de
cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar
propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y
de la fórmula de Cauchy en abiertos cualesquiera.
Con este propósito extenderemos la integración a ‘colecciones de caminos
cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homólogos respecto de un
abierto.Así podremos obtener una versión muy general de la fórmula y del teorema
de Cauchy en el teorema homológico de Cauchy, viendo además que son justamente
los ciclos homólogos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de
toda función holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos más generales
para los que va a ser válido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones
al abierto. En el plano práctico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces)
de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar,
mirando tan sólo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que
se integra sea homólogo a 0.
Cerrando este capítulo aparece el concepto de conexión simple y diferentes
caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos
‘anómalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interés
de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomorfas
sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente
conexos) los más generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no
queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra.
Referencias básicas:
— Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
104

Teoría global de Cauchy 105
7.2 CICLOS. HOMOLOGÍA.
Damos una definición “ingenua” de ciclo. Para una definición más rigurosa, aunque
menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247.
Definición 7.1. Un ciclo Ɣ es una sucesión finita de caminos cerrados, distintos
o repetidos, que denotaremos por Ɣ = [γ1,γ2,...,γn], enlaque no tenemos
en cuenta el orden, de modo que dos ciclos Ɣ y Ɣ ′ son iguales cuando
consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, Ɣ ′ =
[γσ(1),γσ(2),...,γσ(n)] para alguna permutación σ ).
Denominaremos a γ1, γ2, ..., γn los caminos que componen Ɣ, y usaremos
la notación γ ∈ Ɣ para indicar que γ es uno de los caminos que componen Ɣ.
El soporte de un ciclo Ɣ = [γ1,γ2,...,γn] es la unión de los soportes de γ1,
γ2, ..., γn:
sop Ɣ = sop γ1 ∪ sop γ2 ∪ ···∪sop γn.
El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no
es en general conexo (ejemplo: Ɣ = [γ1,γ2] donde γ1, γ2 son dos circunferencias
concéntricas distintas).
Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo está contenido en un conjunto
para indicar que el soporte del ciclo está contenido en el conjunto.
Definición 7.2. Dado un ciclo Ɣ = [γ1,γ2,...,γn],elciclo opuesto −Ɣ es el ciclo
obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen Ɣ:
−Ɣ = [−γ1, −γ2,...,−γn].
La unión o suma de dos ciclos Ɣ ′ = [γ ′ 1 ,γ′ 2 ,...,γ′ m ], Ɣ′′ = [γ ′′
el ciclo
Ɣ ′ ∪ Ɣ ′′ = [γ ′ 1 ,γ′ 2 ,...,γ′ m ,γ′′ 1 ,γ′′ 2 ,...,γ′′ n ].
1 ,γ′′
2 ,...,γ′′
n ],es
Definición 7.3. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el
soporte de un ciclo Ɣ = [γ1,γ2,...,γn],sedefine
Ɣ
f =
n
k=1
γk
f =
Consecuentemente, el índice de un punto a /∈ sop Ɣ respecto de Ɣ es
IndƔ(a) = 1
2πi
Ɣ
dz
z − a
γ ∈Ɣ
γ
f.
= Indγ (a).
γ ∈Ɣ

106 Teoría global de Cauchy
Definición 7.4. Sea un abierto no vacío deCy Ɣ un ciclo contenido en .
Diremos que Ɣ es homólogo a 0 respecto de ,ypondremos
Ɣ ∼ 0 ()
si para todo a ∈ C \ es
IndƔ(a) = 0.
Cuando Ɣ consta de un solo camino γ , suele ponerse directamente γ ∼ 0 ().
Dos ciclos Ɣ1 y Ɣ2 contenidos en se dicen homólogos respecto de ,
Ɣ1 ∼ Ɣ2 (),
si para todo a ∈ C \ es
IndƔ1 (a) = IndƔ2 (a)
o, equivalentemente, si Ɣ1 ∪ (−Ɣ2) ∼ 0 ().
Ejemplos. Consideremos 0 ≤ r < r1 < r2 < R y sea ={z ∈ C : r < |z| < R}
el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora
γ1 : t ∈ [0, 2π] → γ1(t) = r1e −it ∈ C la circunferencia de centro el origen
y radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0, 2π] → γ2(t) = r2e it ∈ C la
circunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces
Ɣ = [γ1,γ2] esunciclo homólogo a 0 respecto de , mientras que no lo son los
ciclos Ɣ1 = [γ1]niƔ2 = [γ2]. Obviamente, el ciclo Ɣ1 es homólogo del ciclo −Ɣ2
respecto de (y −Ɣ1 de Ɣ2).
7.3 TEOREMA HOMOLÓGICO DE CAUCHY
Lema 7.5. Si f ∈ H() ygestádefinida en × por
f (z) − f (w)
g(z,w)=
si w = z,
z − w
f ′ (z) si w = z
entonces g es continua en × .
Demostración. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243.
Teorema 7.6. Sea un abierto no vacío del plano complejo y f ∈ H(). Sea Ɣ
un ciclo homólogo a 0 respecto de . Entonces:
para cada z ∈ \ sop Ɣ
IndƔ(z) · f (z) = 1
2πi
Ɣ
f (w)
w − z dw
(fórmula de Cauchy) y
(teorema homológico de Cauchy).
Ɣ
f (w) dw = 0.

Teoría global de Cauchy 107
Demostración. Rudin, loc. cit.,Teor. 10.35, pp. 248–249.
NOTA. Las demostraciones clásicas de este resultado eran bastante menos directas.
En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostración
más simple y elemental que ahora se ha hecho estándar (Dixon, J. D.: A brief proof
of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626).
Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vacío del plano complejo
y f ∈ H(). Sea Ɣ un ciclo homólogo a 0 respecto de . Entonces:
para cada z ∈ \ sop Ɣ yn∈ N es
IndƔ(z) · f (n) (z) = n!
2πi
Ɣ
f (w)
dw.
(w − z) n+1
Corolario 7.8. (Homología eintegración). Sea un abierto no vacío del plano
complejo y Ɣ, Ɣ1, Ɣ2 sendos ciclos contenidos en . Entonces:
(i) Ɣes homólogo a 0 respecto de si y sólo si
f (w) dw = 0
para toda función f ∈ H().
(ii) Ɣ1y Ɣ2 son homólogos respecto de si y sólo si
f (w) dw = f (w) dw
para toda función f ∈ H().
Ɣ1
Ɣ
Demostración. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema homológico
de Cauchy. Para obtener los recípocos, basta considerar para cada a /∈
la función f ∈ H() definida por
Ɣ2
f (z) = 1
z − a .
Vemos así que lo que realmente importa a la hora de integrar una función
holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestión como la clase de homología
asociada a él (esta idea es la que se toma como guía enladefinición de ciclo que
se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la práctica, este hecho permite muchas
veces simplificar cálculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la
función’ por otro homólogo más conveniente (o un camino cualquiera γ1 por otro
γ2 con los mismos extremos siempre que γ1 ∪ (−γ2) sea homólogo a 0).

108 Teoría global de Cauchy
7.4 CONEXIÓN SIMPLE
Definición 7.9. Diremos que un subconjunto no vacío de C es simplemente
conexo si es una región tal que para todo ciclo Ɣ ⊆ y para toda f ∈ H() se
verifica
Ɣ
f (z) dz = 0.
Evidentemente, esta última condición equivale a que la integral de toda f ∈
H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en .
Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexión simple). Sea una región de
C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre sí:
(1) es simplemente conexo.
(2) Todo camino cerrado γ contenido en es homólogo a 0 respecto de .
(3) todo ciclo Ɣ contenido en es homólogo a 0 respecto de .
(4) (Existencia de primitivas) Toda función f ∈ H() admite una primitiva en
, esdecir, f = F ′ para alguna F ∈ H().
(5) (Existencia de armónica conjugada) Para toda función u armónica en existe
f ∈ H() tal que u =ℜe fen.
(6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda función f ∈ H() tal que
f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que exp(g(z)) = f (z) para todo
z ∈ .
(7) (Existencia de raíces cuadradas holomorfas) Para toda función f ∈ H()
tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que g 2 (z) = f (z) para
todo z ∈ .
Demostración. Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o consecuencia
inmediata de resultados anteriores.
(4) ⇒ (5). Dada una función u armónica en construimos la función h =
ux − iuy, que, por ser u armónica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann
ydediferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . SiH es una primitiva de h
y U =ℜeH, puesto que h = H ′ = Ux − iUy y es conexo debe existir una
constante C ∈ R tal que u = U + C. Lafunción f = H + C es entonces una
función holomorfa en tal que ℜe f = u.
(5) ⇒ (6). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0entodo z ∈ , pongamos u =ℜe f ,
v =ℑm f .Esfácil comprobar que α = ln | f |= 1
2 ln u 2 + v 2 es una función
armónica en , luego existirá h ∈ H() tal que ℜe h = α = ln | f |. Pero entonces
h e ℜe h = e =|f |, con lo cual
e
h
f = 1

Teoría global de Cauchy 109
y por tanto la función eh /f , holomorfa y no nula en la región , debe mantenerse
constante. Si c es el valor de esa constante, g = h −Log c es una función holomorfa
en para la que
e g = e h−Log c = eh
= f.
(6) ⇒ (7). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0entodo z ∈ , sipara alguna
g ∈ H() es e g = f , para la función holomorfa
h = e 1
2 g
es h2 = eg = f .
(7) ⇒ (2). Sea a /∈ y γ un camino cerrado contenido en .Lafunción f ∈ H()
definida por f (z) = z−a no se anula en , luego existe f1 ∈ H() tal que f 2 1 = f .
Reiterando, se encuentra para cada n ∈ N una fn ∈ H() tal que f 2 n = fn−1 yasí
( fn) 2n
c
= f, n ∈ N.
Derivando
2 n ( fn) 2n−1 ′
f n = 1, n ∈ N,
con lo cual
2 n f ′ n (z)
=
fn(z)
1 1
= ,
f (z) z − a
n ∈ N, z ∈ .
Se sigue que para todo n ∈ N ha de ser
1
2n Indγ (a) = 1
2n
1 dz 1
=
2πi γ z − a 2πi
γ
f ′ n (z)
= Indfn◦γ (0) ∈ Z,
lo que sólo es posible si Indγ (a) = 0.
1
dz =
fn(z) 2πi
Observaciones.
(1) Nótese que para que no sea simplemente conexo es, pues, necesario y suficiente
que haya al menos una función holomorfa en que no tenga primitiva.
(2) Se pueden añadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor.
13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripción geométricotopológica
de los conjuntos simplemente conexos de C.
Esta nueva caracterización necesita un lema previo, fácil de visualizar pero
de demostración un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee a
un compacto K contenido en un abierto . Laidea básica consiste en tomar una
colección finita de segmentos que constituye la frontera de una ‘imagen digitalizada
de K ligeramente ampliada’. El punto delicado de la demostración está en
comprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respecto
del cual los puntos de K resulten tener índice 1 y los puntos fuera de tengan
índice 0.
fn◦γ
dw
w

110 Teoría global de Cauchy
Lema 7.11. Sea un abierto no vacíodeC y sea K un conjunto compacto contenido
en . Existe entonces un ciclo Ɣ en \ K tal que
(1) para a /∈ se tiene IndƔ(a) = 0,esdecir,
(2) para cada z ∈ K
Ɣ ∼ 0 (),
IndƔ(z) = 1.
Demostración. VerRudin, loc. cit., Sección 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306.
Dado que IndƔ(z) = 1 para z ∈ K , está justificada la expresión “Ɣ rodea a
K en ”; en cierto modo, podríamos decir que K queda ‘en el interior’ de Ɣ yel
complementario de en ‘el exterior’ de Ɣ.Elciclo Ɣ sirve como ‘contorno’ de K
en diferentes contextos, no sólo en la teoría defunciones holomorfas.
Teorema 7.12. Sea una región de C. Entonces es simplemente conexo si y sólo
si C∞ \ es conexo en la esfera de Riemann C∞.
Demostración. SiC∞ \ es conexo, es simplemente conexo. En efecto: tomemos
un ciclo cualquiera Ɣ contenido en . Elconjunto C \ sop Ɣ tendrá una
colección finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto
una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C∞ \ sop Ɣ
serán las componentes acotadas de C \ sop Ɣ más B ∪ {∞}. Dado que C∞ \
es conexo y está contenido en C∞ \ sop Ɣ, necesariamente C∞ \ ⊆ B ∪ {∞},
oloque es lo mismo C \ ⊆ B. Puesto que el índice respecto de Ɣ es 0enB,
componente no acotada de C \ sop Ɣ,enparticular para cualquier a ∈ C \ ⊆ B
se tiene IndƔ(a) = 0.
Para demostrar el recíproco, probaremos que si C∞ \ no es conexo, no
puede ser simplemente conexo.
Supongamos, pues, que C∞ \ no sea conexo, con lo que existirán conjuntos
A y B no vacíos disjuntos cerrados en C∞ tales que C∞ \ = A ∪ B. Sea ∞∈B:
entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞∈A = A), luego compacto,
contenido en C∞ \ B que es un abierto de C. Según el lema anterior en estas
condiciones existe un ciclo Ɣ contenido en (C∞ \ B) \ A = tal que IndƔ(a) = 1
para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C \ , con lo que Ɣ no es homólogo a 0 respecto de
y no es simplemente conexo.
Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simplemente
conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de
las componentes acotadas de C∞ \ .

Teoría global de Cauchy 111
Ejemplos.
(1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en particular,
C, C \ (−∞, 0], los discos, todos los abiertos convexos, ...)
(2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado?
(Hay muchos ejemplos sencillos)
(3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos
D(a; r, R) ={z ∈ C : r < |z − a| < R},
a ∈ C,0≤ r < R ≤+∞.Enparticular, C \{0} no es simplemente conexo.
(4) En relación con lo anterior, ¿qué puede decirse del abierto
si 0 < r < R < +∞?
D(0; r, R) \ [r, R]
Comentario final: homotopía. No podemos tratar la conexión simple sin nombrar
al menos su caracterización más importante quizá desde el punto de vista
estrictamente topológico, que se expresa en términos de homotopía. Elconcepto
de homotopíasedefine mediante conceptos puramente topológicos, lo que permite
hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topológicos arbitrarios.
Dado un espacio topológico X, una curva en X es, como sabemos, una aplicación
continua de un intervalo compacto de R en X. Supongamos que tenemos dos
curvas γ0 y γ1, parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ0(0) = γ0(1),
γ1(0) = γ1(1)). Se dice que γ0 y γ1 son homótopas si existe una aplicación continua
H : I × I → X tal que para s, t ∈ I cualesquiera se verifica
H(s, 0) = γ0(s), H(s, 1) = γ1(s), H(0, t) = H(1, t).
Intuitivamente, que γ0 y γ1 sean homótopas corresponde a que podamos deformar
γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1, siendo γt = H(·, t) las
curvas intermedias en la deformación.
Si toda curva cerrada γ es homótopa en X a una curva constante, se dice que
X es simplemente conexo.
En esta definición, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellos
en los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjunto
hasta reducirla a un punto. No es evidente que para subconjuntos del plano esto
sea exactamente lo mismo que todo camino cerrado no dé ninguna vuelta alrededor
de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterización homológica), o
que el conjunto ‘no tenga agujeros’. Un estudio de la relación entre homotopía
y homología enC, entre homotopía eintegración, y la prueba de la equivalencia
entre la definición homotópica de la conexión simple y las anteriores puede verse
en Rudin, loc. cit., Sección 10.38, pp. 251–253, y en Conway, loc. cit., Cap. IV,
Sec. 6, pp. 87–95.

CAPÍTULO 8
8.1 INTRODUCCIÓN
Ceros y singularidades.
Series de Laurent.
Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener
el conocimiento de los ceros de una función en la determinación y el manejo
de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus
ceros es también un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera sección
de este capítulo recogeremos información ya conocida (para funciones analíticas,
que como sabemos coinciden con las holomorfas), añadiendo algunas propiedades
sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pendientes
resultados importantes, algunos de los cuales se tratarán el curso próximo.
Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas
se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos
hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nuestros
métodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomalía’
en algunos puntos? ¿Quésemantiene y cuánto se pierde? Contestar a esta pregunta
es el propósito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holomorfas.
Nos limitaremos primero a establecer una clasificación de los mismos en
tres tipos, viendo de qué manera tan distinta afecta al comportamiento local de la
función la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos.
Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un
abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador
no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular importante
de función meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente sección,
examinando de momento únicamente sus propiedades algebraicas.
Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que
tienen una singularidad aislada en ∞,averiguaremos cómo su comportamiento en
este punto puede en algunos casos suministrar una información adicional interesante
sobre la función.
Por último, en la parte final de este capítulo, veremos un importante teorema
de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una función holomorfa
en un disco, probando que si una función es holomorfa en una corona circular (en
112

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 113
particular, en un disco privado de su centro), la función se puede representar como
suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros
cualesquiera y no sólo con exponentes enteros no negativos, como son las series de
Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten así mismo caracterizar
los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios
que muestran cómo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas,
un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento.
Referencias básicas:
— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
— Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).
— Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
8.2 CEROS DE UNA FUNCIÓN HOLOMORFA
Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación
es algo menos drástica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos funciones
no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no
significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una función
holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones
holomorfas y las funciones analíticas, el principio de prolongación analítica nos
informa de que el conjunto de ceros de una función holomorfa no nula, si su dominio
es conexo, no puede poseer puntos de acumulación dentro del dominio. Esto
no significa que no pueda haber puntos de acumulación de ceros: por ejemplo, la
función sen(π/z) es holomorfa en C \{0} yseanula en los puntos 1/k, k ∈ Z
(en este caso 0 es un punto de acumulación de ceros); lo que sucede es que, si el
conjunto de ceros tiene puntos de acumulación, éstos deberán estar en la frontera
del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho.
Proposición 8.1. Sea una región de C y f ∈ H() no idénticamente nula.
Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1 (0). Entonces
(1) Z f es un conjunto discreto.
(2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Zf ∩ Kesfinito o vacío.
(3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable).
Demostración.
(1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede
encontrar un r > 0 tal que z /∈ Z f si 0 < |z − a| < r, olo que es igual, que
ningún punto de Z f es punto de acumulación de Z f .

114 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
(2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendríaalmenos
un punto de acumulación en K ⊆ y por tanto Z f tendríaalmenos un punto
de acumulación en .
(3) puede ponerse como unión numerable de compactos, = ∪nKn para
alguna sucesión (Kn) de compactos. Entonces Z f =∪n(Zf ∩ Kn) y cada
Z f ∩ Kn es finito o vacío.
Definición 8.2. Sea un abierto de C yf∈ H(). Dado a ∈ , diremos que a
es un cero de orden kdefsi k ∈ N es tal que
f (a) = f ′ (a) = ...= f (k−1) (a) = 0, f (k) (a) = 0.
Nótese que para que exista tal k, esnecesario y suficiente que a sea un cero
de f y que f no se anule en la componente conexa de que contiene a a; dicho
de otra forma, que a sea un cero aislado de f .
Proposición 8.3. Sea un abierto de C,a ∈ ,k ∈ N yf∈ H(). Las siguientes
propiedades son equivalentes entre sí:
(1) aesuncero de f de orden k.
(2) En un disco D(a; r) ⊆ es
∞
f (z) = an (z − a) n , z ∈ D(a; r),
n=k
con ak = 0.
(3) Existe una función g ∈ H() tal que g(a) = 0 y
f (z) = (z − a) k g(z)
para todo z ∈ .
Demostración.
(1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante
las derivadas de f en a.
(2) ⇒ (3) La función g definida en por
f (z)
g(z) = (z − a) k
si z = a
ak si z = a
es claramente holomorfa en \{a} yena es analítica (luego holomorfa), puesto
que para todo z ∈ D(a; r) es
∞
g(z) = an (z − a) n ,
n=k
y por tanto cumple las condiciones de (3).
(3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definición de
orden de un cero.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 115
8.3 SINGULARIDADES AISLADAS
En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit.,p.63), dado un abierto y una función
f : → C se dice que un punto a ∈ es un punto regular para f o que f tiene
en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r) ⊆ y f es derivable
en cada punto de D(a; r). Los puntos que no son regulares se denominan puntos
singulares.Enesta sección estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que
denominaremos singularidades aisladas.
Definición 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una función f tiene una singularidad
aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa
en
D∗(a; r) ={z ∈ C :0< |z − a| < r}.
Clasificación de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguientes
situaciones:
(1) existe limz→a f (z) ∈ C. Sedice entonces que f tiene en a una singularidad
evitable o que a es una singularidad evitable de f .
(2) existe limz→a f (z) =∞.Sedice entonces que f tiene en a un polo o que a
es un polo de f .
(3) no existe limz→a f (z) en C∞. Sedice entonces que f tiene en a una singularidad
esencial o que a es una singularidad esencial de f .
Ejemplos.
(1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas.
Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regulares
todos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0].
(2) Todos los puntos en los que no está definida la función f dada por
f (z) = z
e z − 1
son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Los
puntos de la forma z = 2kπi, k ∈ Z \{0}, son polos de f .
(3) La función f dada por
f (z) = e 1/z
tiene una singularidad esencial en z = 0.
Observación. El conjunto Sf de singularidades aisladas de una función f es
discreto y contable (incluída la posibilidad de que sea vacío).

116 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Proposición 8.5. Sea un abierto no vacío deC, a ∈ y f ∈ H( \{a}).
Entonces
(1) Si a es una singularidad evitable de f , la función fdefinida ˜ por
f ˜ f (z) si z ∈ \{a}
(z) =
limz→a f (z) si z = a
es holomorfa en .
Recíprocamente, si f admite una extensión holomorfa en , tiene en a una
singularidad evitable.
(2) Si para algún r > 0 la función f se mantiene acotada en D∗(a; r) =
{z ∈ C :0< |z − a| < r}, entonces f tiene una singularidad evitable en f .
Demostración. (1) f˜ es holomorfa en \{a} y continua en , luego holomorfa
en . Elrecíproco es obvio.
(2) Ya se probó que, en estas condiciones, f admite una extensión holomorfa en
D(a; r).
La primera parte de la proposición anterior justifica el nombre de singularidad
evitable. Nótese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no está
definida en a o bien f no es continua en a.
Definición 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una función f . Entonces la
función 1
tiene en a una singularidad evitable y límite nulo, de manera que para
f
algún δ>0 la función
h(z) =
1/f (z) si 0 < |z − a| k;

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 117
(3) existe una función g ∈ H() tal que g(a) = 0 y
f (z) = g(z)
(z − a) k
para cada z ∈ \{a};
(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪{0}), unívocamente determinados,
con Ak = 0, yunr > 0, tales que
f (z) =
Ak
+ ···+
(z − a) k
siempre que 0 < |z − a| < r.
A2 A1
+
(z − a) 2 z − a +
Ak
∞
an (z − a) n
A2 A1
(La función racional S( f ; a)(z) = +···+ + se denomina
(z − a) k (z − a) 2 z − a
parte singular o parte principal de f en a.)
Demostración. (1) ⇒ (2) Yendo a la definición, h(z) = (z − a) k g(z) para alguna
función g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a(z − a) k f (z) = 1/g(a).
(2) ⇒ (1) Si h es como en la definición, resulta h(z) = (z − a) k g(z) para g dada
por
⎧
⎨ h(z) 1
=
g(z) = (z − a) k (z − a)
⎩
k si 0 < |z − a| 0 puede ponerse
luego
f (z) =
g(z) =
∞
cn (z − a) n , |z − a| < r,
n=0
c0
ck−2 ck−1
+ ···+ +
(z − a) k (z − a) 2 z − a +
n=0
∞
ck+n (z − a) n
siempre que 0 < |z − a| < r.
Puesto que g está unívocamente determinada por f , hay unicidad para los
coeficientes.
(4) ⇒ (2) Evidente.
Observación. Según el resultado anterior, la función f − S( f ; a) tiene en a una
singularidad evitable. Además, el orden de a como polo de f es el menor valor de
n tal que (z − a) n f (z) tiene una singularidad evitable en a.
n=0

118 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
NOTA. Cuando f es una función racional, sólo tiene en C un número finito de
singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada
uno de ellos, encontramos la descomposición de f en fracciones simples (v. detalles
en Conway, ob. cit., pp. 105–106.)
Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracterización
en términos de los valores de la función:
Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea un abierto no vacío de
C,a∈ yf∈ H( \{a}). Las siguientes propiedades son equivalentes:
(1) aesuna singularidad esencial de f .
(2) f (U) = C para todo entorno reducido U ⊆ \{a} de a.
(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en \{a} tal que zn → ay
f (zn) → w.
Demostración.
(1) ⇒ (2) En caso contrario existirían r > 0, δ>0yw ∈ C tales que | f (z)−w| >
δ para todo z ∈ D∗(a; r). Entonces, la función g dada por
1
g(z) =
f (z) − w , z ∈ D∗(a; r),
es holomofa y acotada en D∗(a; r), con lo cual puede extenderse a una función ˜g
holomorfa en D(a; r).
Si fuese ˜g(a) = 0, se deduce que f estaría acotada en un entorno de a, yen
consecuencia a sería una singularidad evitable de f .
Pero si ˜g tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podríamos escribir
˜g(z) = (z − a) k g1(z), z ∈ D(a; r),
para una función g1 holomorfa en D(a; r) con g1(a) = 0; por tanto
k
lim (z − a) f (z) = lim (z − a)
z→a
z→a
k w + 1
=
g1(z)
1
∈ C \{0},
g1(a)
con lo cual a sería unpolo de orden k de f .
(2) ⇒ (3) Evidente.
(3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipótesis no existe limz→a f (z),nifinito ni infinito.
Se sabe mucho más: si a es una singularidad esencial de f ,encualquier
entorno reducido de a la función f alcanza todos los valores complejos, excepto
uno a lomás. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp.
376–377. (Más fácil de probar es el ‘teorema pequeño de Picard’, que establece que
cada función entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a
lo más. La función exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.)
Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas más poderosas que
las que disponemos por ahora.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 119
8.4 FUNCIONES MEROMORFAS
Las funciones cuyas únicas singularidades son polos aparecen con frecuencia suficiente
como para merecer un nombre especial.
Definición 8.9. Diremos que una función f es meromorfa en un abierto si en
cada punto de o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma,
si existe un conjunto Pf ⊆ tal que
(1) Pf no tiene puntos de acumulación en ;
(2) f ∈ H( \ Pf );
(3) f tiene un polo en cada punto de Pf .
Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆
el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Está
incluida la posibilidad Pf =∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos
de funciones meromorfas. También lo son las funciones racionales.
El conjunto de las funciones meromorfas en lo denotaremos por M().
Nótese que una función es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente
conexa del abierto. Supuesto conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en
los cocientes de funciones analíticas (con denominador no nulo, por descontado):
de hecho, esta es la única forma de obtener funciones meromorfas en abiertos
conexos, si bien la demostración de esta afirmación requiere conocer primero la
posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los
ceros igualmente prefijado (teorema de factorización de Weierstrass, que se probará
el próximo curso).
Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado.
Proposición 8.10. Dado un abierto no vacío en C, elconjunto M() de las
funciones meromorfas en es un álgebra sobre C respecto de las operaciones
usuales con funciones. Si además es conexo, M() es un cuerpo conmutativo.
Demostración. Esuna verificación rutinaria, basada en las factorizaciones asociadas
a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos.
Observaciones.
(1) El comentario hecho anteriormente indica que si es una región, M() es
el cuerpo de cocientes del dominio H().
(2) Cuando no es conexo, M() no es un cuerpo: por ejemplo, si = A ∪ B
con A, B abiertos no vacíos disjuntos, la función f que vale 1 en A y0en
B está enM() [de hecho, en H()] yno tiene inverso en M() [es un
divisor de cero en H()].

120 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
8.5 SINGULARIDADES EN EL INFINITO
Definición 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una función f si
existe R > 0 tal que f ∈ H(AR), donde AR ={z ∈ C : |z| > R}.
Podemos establecer una clasificación similar a la considerada para singularidades
finitas.
Definición 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una función
f.Entonces:
(1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singularidad
evitable de f si existe
lim
z→∞
f (z) ∈ C.
(2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si
lim
z→∞
f (z) =∞.
(3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singularidad
esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞.
Ejemplos.
(1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞.
(2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞.
(3) f (z) = e z tiene una singularidad esencial en ∞.
(4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞.
8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para algún R > 0es f ∈ H(AR),
donde como antes AR ={z ∈ C : |z| > R},lafunción f ∗ definida por
f ∗ (z) = f
1
z
es holomorfa en D∗(0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗ . Esto
permite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidades
aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞
(o un polo, o una singularidad esencial) si y sólo si f ∗ tiene en 0 una singularidad
evitable (o un polo, o una singularidad esencial).
Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞.
Definición 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden koque ∞ es un
polo de orden kde f si0 es un polo de orden k de la función f ∗ definida por
f ∗ (z) = f (1/z).

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 121
Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos,
podemos enunciar:
Proposición 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una
función f . Las siguientes propiedades son equivalentes:
(1) f tiene en ∞ un polo de orden k;
f (z)
(2) existe limz→∞ ∈ C \{0};
zk (3) existen un R > 0 y una función g holomorfa en AR ={z ∈ C : |z| > R} con
limz→∞ g(z) ∈ C \{0} y que verifica
f (z) = z k g(z)
para cada z ∈ AR.
(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪{0}), con Ak = 0,
unívocamente determinados, y un R > 0, tales que
siempre que |z| > R.
f (z) = Ak z k + ···+ A1 z +
(El polinomio Ak z k + ···+ A1 z se denomina parte singular o parte principal de
f en ∞.)
Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos
que ∞ es una singularidad aislada para una función f . Las siguientes propiedades
son equivalentes:
(1) ∞ es una singularidad esencial de f .
(2) f (U) = C para todo entorno reducido U de ∞.
(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en el dominio de f tal que zn →∞
yf(zn) → w.
Es conveniente extender el concepto de función meromorfa a funciones definidas
en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito.
Definición 8.17. Sea un abierto de C tal que C\ D(0; R) ⊆ para algún R > 0,
es decir, tal que ∞ = ∪ {∞} sea un abierto en C∞. Diremos que f : → C
es meromorfa en ∞, ensímbolos f ∈ M(∞), sifes meromorfa en y tiene
en ∞ una singularidad evitable o un polo.
Proposición 8.18.
(1) Si f es una función entera y meromorfa en C∞, entonces f es un polinomio.
(2) f ∈ M(C∞) si y sólo si f es una función racional.
∞
n=0
an
z n

122 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Demostración.
(1) Si ∞ es una singularidad evitable, f sería constante por el teorema de Liouville.
Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces
lim
z→∞
y por tanto existen R, M > 0 tales que
f (z)
∈ C \{0}
zk | f (z)| ≤M |z| k , |z| > R;
en consecuencia (generalización del teorema de Liouville) f es un polinomio de
grado ≤ k.
(2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞), sólo puede tener un número finito
de polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada.
Sean, pues, a1,...,an los polos finitos de f y k1,...,kn sus respectivos
órdenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f .Sesigue que la función
(z − a1) k1 ···(z − an) kn f (z)
se puede extender a una función g holomorfa en C (es decir, entera) que tendráen
∞ un polo de orden k = k0 + k1 + ···+kn, con lo cual g es un polinomio de grado
≤ k según acabamos de probar, luego
es una función racional.
f (z) =
g(z)
(z − a1) k1 ···(z − an) kn
Corolario 8.19. Si f es una función entera, o es constante o f (C) = C.
Demostración. Sif es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada para
f .
—Si∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por el
teorema de Liouville.
—Si∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C.
—Si∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de Casorati-
Weierstrass.
NOTA.Dehecho, como ya hemos comentado, si f es una función entera no constante
es cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo más.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 123
8.6 SERIES DE LAURENT
Fijemos la notación D(a; r, R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde
0 ≤ r < R ≤+∞.
Lema 8.20. Sea (an) una sucesión de números complejos y r = lim sup n√ |an|.
Entonces
∞
(1) la serie an(z − a) −n es absolutamente convergente en cada punto de la
n=1
corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos compactos
de D(a; r, +∞);
(2) en el disco D(a; r) la serie no converge (en a ni siquiera estádefinida);
(3) la función f definida en D(a; r, +∞) por
∞
f (z) = an(z − a) −n
es holomorfa.
Demostración. Sabemos que la serie
n=1
∞
an w n converge absolutamente en cada
n=1
w ∈ D(0; 1/r),noconverge si |w| > 1/r,yque define en D(0; 1/r) una función
holomorfa g(w).Tomando w = 1/(z −a),sededucen las tesis del enunciado salvo
la convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un subconjunto
compacto de D(a; r, +∞),existiráunR > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞)
(¿por qué?), de manera que para todo z ∈ K será
∞
an(z − a) −n ∞
≤ |an| R −n < +∞,
n=1
luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass.
NOTA. Sir =+∞,laserie no converge en ningún punto. Si r = 0, converge en
C \{a}.
Definición 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesión (zn)n∈Z de
∞ ∞
números complejos, si las series zn y z−n convergen, diremos que la serie
∞
n=−∞
n=0
n=1
n=1
zn converge,encuyo caso su suma es el número complejo
∞
n=−∞
zn =
∞
n=0
zn +
∞
n=1
z−n.

124 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Obsérvese que si
∞
n=−∞
zn converge, la sucesión de sumas simétricas
N
n=−N
es convergente con límite igual a la suma de la serie, pero que este límite puede
existir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z0 = 0yzn = 1/n para
n = 0.
∞
∞
Diremos que la serie zn converge absolutamente si las dos series
y
n=−∞
∞
z−n convergen absolutamente.
n=1
De manera análoga, dada ( fn)n∈Z, donde las fn son funciones complejas
∞
definidas en un conjunto S ⊆ C, diremos que la serie fn converge (puntual-
n=−∞
mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S) si y sólo si las dos
∞ ∞
series fn y f−n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente
n=0
n=1
sobre compactos de S)
NOTA. Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≥ 0ylos
n < 0, es evidente que la separación puede llevarse a cabo en cualquier otro
índice, pues se trata de añadir o quitar un número finito de sumandos al trozo
correspondiente.
Definición 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada en
a a toda serie de la forma
∞
an(z − a) n .
n=−∞
Proposición 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a
sean
∞
n=−∞
an(z − a) n ,
R1 = lim sup n |a−n|, R2 =
lim sup n −1 |an| .
Entonces:
(1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1, R2),a
la que denominaremos corona de convergencia, yconverge uniformemente
en los subconjuntos compactos de D(a; R1, R2);
(2) la serie no converge en ningún punto z /∈ D(a; R1, R2) exterior a la corona;
zn
n=0
zn

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 125
(3) R1 yR2 son los únicos valores en [0, +∞] para los que se cumplen las
propiedades (1) y (2);
(4) la función f definida en D(a; R1, R2) como suma de la serie
f (z) =
∞
n=−∞
an(z − a) n
es holomorfa en D(a; R1, R2),ysu derivada está dada en cada punto por
f ′ (z) =
∞
n=−∞
nan(z − a) n−1 .
NOTA. Elenunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2. Encaso contrario,
D(a; R1, R2) es vacío. Si R1 > R2, nohay convergencia para la serie en ningún
punto. Si R1 = R2, ¿cuál es la situación?
Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una función holomorfa en una corona
D(a; R1, R2) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤+∞]. Entonces:
(1) f puede representarse en D(a; R1, R2) como suma de una serie de Laurent
f (z) =
∞
n=−∞
an(z − a) n
que converge absolutamente en cada z ∈ D(a; R1, R2) y converge uniformemente
en cada compacto contenido en D(a; R1, R2) o, equivalentemente, en
cada corona D(a; r1, r2) para la que R1 < r1 < r2 < R2.
(2) Los coeficientes de la serie están dados por la fórmula
an = 1
2πi
γ
f (z)
dz,
(z − a) n+1
donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y
radio r, con R1 < r < R2.
(3) La serie estáunívocamente determinada por f .
Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f .Latesis (1)
afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad, mientras que
(2) proporciona (teóricamente, al menos) una manera de calcular los coeficientes
del desarrollo.

126 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Demostración. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.)
Unicidad. Siexiste la representación de (1), D(a; R1, R2) estará contenida
en la corona de convergencia de la serie, y ésta convergerá uniformemente en cada
compacto contenido en D(a; R1, R2). Siγ = ∂ D(a; r) con R1 < r < R2, sop γ
es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie término a término para
obtener
∞
f (z) dz = (z − a) n dz = 2πi a−1,
γ
n=−∞
y, en general, para cada n ∈ Z,demodo similar,
γ
f (z)
dz =
(z − a) n+1
∞
an
k=−∞
ak
γ
γ
(z − a) k−n−1 dz = 2πi an,
luego los coeficientes del desarrollo están unívocamente determinados por la suma
de la serie.
Existencia. Comencemos por señalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1, γ2 son,
respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1, r2 (orientadas positivamente),
entonces γ1 y γ2 son homólogas respecto de D(a; R1, R2) (comprobarlo).
Por el teorema homológico de Cauchy se tiene, pues, que para toda función g
holomorfa en D(a; R1, R2) es
g(w) dw = g(w) dw.
En particular, tomando
se deduce que
1
2πi
γ1
g(w) = 1
2πi
γ1
γ2
f (w)
, n ∈ Z,
(w − a) n+1
f (w) 1
dw =
(w − a) n+1 2πi
γ2
f (w)
dw
(w − a) n+1
da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es
un complejo independiente de cuál sea el radio que se considere.
Definamos, pues, para cada n ∈ Z,
an = 1
2πi
γ
f (w)
dw,
(w − a) n+1

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 127
donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio
estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2. Comprobaremos a
continuación que para todo z ∈ D(a; R1, R2) la serie
∞
n=−∞
an(z − a) n
(i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema
(¿POR QUÉ?)
Sea, pues, z ∈ D(a; R1, R2). Elegimos r, s de manera que
R1 < r < |z − a| < s < R2
y denotamos con γr, γs las circunferencias de centro a y radios r, s orientadas
positivamente. Poniendo Ms = max{| f (w)| : |w − a| =s}, como para todo w tal
que |w − a| =s (> |z − a|)ypara todo entero n ≥ 0es
f (w) (z − a) n
(w − a) n+1
n=0
≤ Ms |z − a| n
s n+1
= Ms
s
|z − a|
aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar término a término
las series uniformemente convergentes resulta
1 f (w) 1
∞ f (w) (z − a)
dw =
2πi γs w − z 2πi γs n=0
n
(w − a) n+1
dw
∞
1 f (w)
=
dw (z − a)
2πi (w − a) n+1 n ∞
= an (z − a) n .
γs
De manera similar, si Mr = max{| f (w)| : |w − a| =r} y w es tal que |w − a| =r
(< |z − a|), de
f (w) (w − a)
n−1
(z − a) n
≤ Mr r n−1
|z − a|
|z − a|
n = Mr
s
n=0
n
,
n−1 r
,
|z − a|
n ∈ N, sesigue análogamente
1 f (w) 1
∞ f (w) (w − a)
dw =
2πi γr z − w 2πi γr n=1
n−1
(z − a) n
dw
∞
1
=
f (w) (w − a)
2πi
n−1
dw (z − a) −n ∞
= a−n (z − a) −n .
n=1
γr
n=1

128 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma
∞
an(z − a) n = 1
2πi
f (w) 1
dw +
w − z 2πi
n=−∞
γs
γr
f (w)
z − w dw,
yasítenemos (i). Pero además Ɣ = [γs, −γr] esunciclo homólogo a 0 respecto
de D(a; R1, R2) para el que IndƔ(z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la fórmula
de Cauchy,
f (z) = 1
2πi Ɣ
f (w) 1
dw =
w − z 2πi
=
∞
an(z − a) n ,
n=−∞
lo que demuestra (ii).
γs
f (w)
w − z
dw − 1
2πi
γr
f (w)
w − z dw
Disponemos ahora de otro útil para analizar las singularidades aisladas. Si
a es una singularidad aislada de una función f ,ésta será holomorfa en alguna
corona D∗(a; R) = D(a; 0, R), yserá por tanto desarrollable en serie de Laurent
en dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo de
singularidad que presenta f en a.
Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f , holomorfa
en D∗(a; R) = D(a; 0, R) para algún R > 0,ysea
f (z) =
∞
n=−∞
an(z − a) n
su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces:
(1) aesuna singularidad evitable si y sólo si an = 0 para todo n < 0;
(2) aesunpolo de orden k si y sólo si a−k = 0 yan = 0 para todo n < −k;
(3) aesuna singularidad esencial si y sólo si an = 0 para infinitos valores
negativos de n.
Demostración. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109.
En el punto del infinito ‘se invierten los términos’, como cabía esperar. Si una
función f tiene una singularidad aislada en ∞, será holomorfa en D(0; R, +∞)
para algún R > 0,ysegún el teorema de Laurent
f (z) =
∞
n=−∞
an z n , z ∈ D(0; R, +∞).
Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 129
Corolario 8.26. Sea f una función con una singularidad aislada en ∞, holomorfa
en D(0; R, +∞) para algún R > 0,ysea
f (z) =
∞
n=−∞
an z n
su desarrollo en serie de Laurent en D(0; R, +∞). Entonces:
(1) ∞ es una singularidad evitable si y sólo si an = 0 para todo n ≥ 1;
(2) ∞ es un polo de orden k si y sólo si ak = 0 yan = 0 para todo n > k;
(3) ∞ es una singularidad esencial si y sólo si an = 0 para infinitos valores
positivos de n.
Demostración. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la función f ∗
definida en D(0; 0, 1/R) por
f ∗
1
(z) = f ,
z
que tendrá como desarrollo de Laurent
f ∗ (z) =
8.7 EJERCICIOS RESUELTOS
∞
n=−∞
Ejercicio. Dados a, b ∈ C con a = b,sea
f (z) = Log
an z −n .
z − a
z − b .
¿Cuál es el máximo abierto en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, el
desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en qué dominio es
válido el desarrollo.
Respuesta. La función f está definida en C \{a, b}. Puesto que la composición
de funciones holomorfas es una función holomorfa, f será holomorfa al menos en
z − a
C \{z : z = b o
z − b ∈ (−∞, 0]} =C \ [a, b] nótese que
z − a
z − b
1 λ
=−λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = a +
1 + λ 1 + λ b
⇐⇒ z = ta+ (1 − t) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a, b)

130 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
En los puntos de (a, b) no hay continuidad (menos aún holomorfía) para f , pues
si z0 = ta+ (1 − t) b,0< t < 1, tomando para n ∈ N
zn = z0 + i
n (b − a) → z0, wn = z0 − i
n (b − a) → z0, (n →+∞),
resulta
zn − a
zn − b
= (1 − t)(b − a) + (i/n)(b − a)
t (a − b) + (i/n)(b − a)
wn − a
wn − b = −t (1 − t) + (1/n2 ) + (i/n)
t 2 + (1/n) 2
,
1
con lo cual limn f (zn) = ln
t
− 1 − i π
= −t (1 − t) + (1/n2 ) − (i/n)
t 2 + (1/n) 2
,
2 , limn
1
f (wn) = ln
t
− 1 + i π
2 .
En consecuencia, = C\[a, b]eselmáximo abierto en el que f es holomorfa.
Vemos así que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la máxima corona
D(0; R, +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a|, |b|}. Por el
teorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Para
calcular éste, es preferible aprovechar que la derivada f ′ es igualmente holomorfa
en dicha corona, verificándose
f ′ (z) = 1
z − a
− 1
z − b =
∞ an − bn n=0
z n+1
=
∞ an − bn , |z| > max{|a|, |b|}.
n=1
Como D(0; R, +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que
f (z) = c +
∞ bn − an n=1
n
z n+1
1
, |z| > max{|a|, |b|}.
zn Pero lim
z→∞ f (z) = Log 1 = 0, luego c = 0yfinalmente
Log
z − a
z − b =
∞ bn − an n=1
n
1
, |z| > max{|a|, |b|}.
zn Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la función
en D(0; 1, 2) yenD(0; 2, +∞).
f (z) = 1
z − 2
Log z − i
z + i

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 131
Respuesta. Alavista del ejercicio anterior, es fácil probar que f será holomorfa
justamente en = C \ ([−i, i] ∪{2}). Además, sabemos que
z − i
(a) Log
z + i =
∞ (−i)
n=0
n − i n 1
si |z| > 1;
n zn 1
(b)
z − 2 =−
∞ z
n=0
n
si |z| < 2;
2n+1 1
(c)
z − 2 =
∞ 2
n=0
n
si |z| > 2.
zn+1 Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2:
⎛
⎞
1
z − 2
Log z − i
z + i =−
∞
k=−∞
⎜
⎝
−n+m=k
n≥1,m≥0
Cuando k ≥−1, el coeficiente de zk resulta ser
∞ (−i)
ak =
n − i n 1 1
=
n 2k+n+1 2k+1 n=1
= 1 2 − i
Log
2k+1 2 + i =−i
1
Arc tg
2k 2 ,
mientras que el coeficiente de 1
si k ≥ 2es
zk a−k = 1
2k+1 ∞ (−i) n − i n
n
n=k
con lo cual, siempre que n ≥ 1,
a−2n = 2 2k
i Arc tg 1
2 −
a−(2n+1) = 2 2k+1 i
k−1
m=0
Arc tg 1
2 −
(−i) n − i n
n
∞ (−i) n − i n
n=1
1
,
2n n
1
2m+1 ⎟
⎠ zk .
(−1) m
(2m + 1)22m+1
,
k−1
m=0
(−1) m
(2m + 1)2 2m+1
Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∞
n=2 bn z −n , donde
bn =
n−1
k=1
= 2 n−1
(−i) k − i k
n−1
k=1
k
2 n−k−1 = 2 n−1
(−i/2) k − (i/2) k
.
k
n−1
k=1
(−i) k − i k
k
1
2 n
.
2 −k

132 Ceros y singularidades. Series de Laurent.
Otra respuesta (mediante integración). Sea, como antes, = C \ ([−i, i] ∪{2}),
y sean
⎧
∞
⎪⎨ f (z) = an z n , 1 < |z| < 2;
⎪⎩
f (z) =
n=−∞
∞
n=−∞
cn z n , |z| > 2,
los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas.
Poniendo γr = ∂ D(0; r) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 133
(con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn. Entonces
bk = 1
2πi
= 1
2πi
= 1
2πi
= 1
2πi
= 1
2πi
γR
γR
w k−1 f (w) dw = 1
w
2πi γR
k−1 w − i
Log
w − 2 w + i dw
k−1 k−1
w − 2
+
w − 2
2k−1
w − i
Log
w − 2 w + i dw
k−2 k−3 k−3 k−2
w + 2w + ···+2 w + 2 w − i
Log
w + i dw
γR
+ 2 k−1 · 1
1 w − i
Log
2πi γR w − 2 w + i dw
k−2 k−3 k−3 k−2
w + 2w + ···+2 w + 2 Log
γR
+ 2 k−1 · c−1
k−2 k−3 k−3 k−2
w + 2w + ···+2 w + 2 Log
γR
El polinomio del integrando es la derivada del polinomio
w − i
w + i dw
w − i
w + i dw.
P(w) = 1
k − 1 wk−1 + 2
k − 2 wk−2 +···+ 2k−3
2 w2 + 2 k−2 w,
que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando
la fórmula de Cauchy llegamos a
bk = 1
2πi
=
k−1
m=1
γR
2 m−1
k − m
P(w)
1
w − i
1
−
w + i
i k−m − (−i) k−m ,
que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.
dw = P(i) − P(−i)

CAPÍTULO 9
9.1 INTRODUCCIÓN
Teorema de los residuos.
Aplicaciones.
Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos
encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teoría global de Cauchy’. Incorpora y
extiende al teorema de Cauchy y a la fórmula de Cauchy, y tiene innumerables
consecuencias teóricas y prácticas. De éstas apuntamos su uso para calcular integrales
reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar
el tema desarrollado en detalle.
La primera aplicación teórica que presentamos se refiere a la localización
de ceros, enlaque tratamos de averiguar el número de ceros de una función en
un subconjunto de su dominio. Los resultados básicos en esta dirección son el
denominado principio del argumento yelteorema de Rouché.
De aquí pasamos al estudio del comportamiento local de una función analítica,
viendo su analogía con el de la función z m en torno al 0, en el sentido que se
precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicación abierta y alguna de
sus aplicaciones, y finalizamos el capítulo con una versión global y otra local del
teorema de la función inversa, llegando a una representación integral de esta inversa
que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor.
Referencias básicas:
— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
— Mitrinović, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966).
— Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New
York (1991).
— Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
134

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 135
9.2 PRÓLOGO: RESIDUOS
Agazapada en el teorema de Laurent hay una información importante. Por lo que
vimos en su demostración, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a,
f (z) dz = 2πi a−1,
γ
donde a−1 es el coeficiente de (z − a) −1 en el desarrollo en serie de Laurent de
f y γ = ∂ D(a; r), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi)
es, pues, “el único vestigio”, el residuo que deja la función al ser integrada sobre
una “pequeña” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este
nombre.
Definición 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f . Recibe el
nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie
de Laurent de f en el punto a, de manera que si
f (z) =
∞
n=−∞
an(z − a) n , z ∈ D(a; 0, R),
y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es
Res( f ; a) = a−1.
En el punto del infinito la definición es ligeramente distinta:
Sea f una función con una singularidad aislada en ∞,ysea
f (z) =
∞
n=−∞
an z n
su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R, +∞). Llamaremos
residuo de f en el infinito al número
Res( f ;∞) =−a−1
(coeficiente de 1/z eneldesarrollo, cambiado de signo).
¿Qué hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento,
sabemos que su valor es lo único que necesitamos conocer a la hora de calcular la
integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

136 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones
más complicadas.
Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como
–2
i
–1 1 2
–i
Ɣ
Log(z + 2) z 3 ctg πz
(1 − cos 2πz)(z 2 + 1) dz,
donde Ɣ es el ciclo contenido en = D(0; 2) formado por los caminos que se
indican en la figura.
Horrible, ¿no es cierto? “¿Qué
es lo mejor que podemos hacer para
resolver este problema? Dejarlo e
inventar otro”, como recomienda el
“profesor tradicional de matemáticas”
en el retrato que de él hace Pólya.
Vamos a ello.
Según hemos señalado antes, tras
calcular los residuos en los puntos
z1 = 1, z2 = i, z3 =−1, z4 =−i
de la función f (z) a integrar, tarea
no extremadamente difícil, seríamos
capaces de hallar la integral en el caso más sencillo de que Ɣ constase de una
circunferencia γ o
j = ∂ D(zj; rj) alrededor de uno de los puntos zj,suficientemente
pequeña para que el disco cerrado D(zj; rj) quede dentro de ynoincluya a
ninguno de los restantes puntos zk, k = j, obteniendo entonces
γ o
j
f (z) dz = 2πi Res( f ; zj).
Pero ésto ¿de qué sirve? De mucho ... cuando caemos en la cuenta de que el
teorema homológico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original
Ɣ por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean homólogos
respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que
IndƔ(z1) = 1, IndƔ(z2) = 2, IndƔ(z3) =−1, IndƔ(z4) = 0,

–2
Teorema de los residuos. Aplicaciones. 137
podemos “fabricar” un ciclo homólogo a Ɣ respecto de \{z1, z2, z3, z4} tomando
γ 3 o
i
–1 1 2
–i
Ɣ0 = Ɣ1 ∪ Ɣ2 ∪ Ɣ3, donde
y γ o
j
Ɣ
γ2 o
γ1 o
–2
γ 3 o
i
–1 1 2
–i
γ2 o
γ1 o
Ɣ1 = [γ o 1 ], Ɣ2 = [γ o 2 ,γo 2 ], Ɣ3 = [−γ o 3 ],
(1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con ésto
f = f =
f − f
Ɣ0
γ o
1
f + 2
γ o
2
γ o
3
= 2πi (Res( f ; z1) + 2 Res( f ; z2) − Res( f ; z3) + 0 · Res( f ; z4))
4
= 2πi IndƔ(zj) Res( f ; zj).
j=1
Estos son los ingredientes esenciales de la demostración general del teorema de los
residuos, que se expone en el siguiente apartado.
9.3 EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS
Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea un abierto no vacíodeC y sea f
una función holomorfa en \ A, donde A ⊆ consta de singularidades aisladas
de f . Para todo ciclo Ɣ homólogo a 0 respecto de tal que A ∩ sop Ɣ =∅se
verifica
1
2πi
Ɣ
f (z) dz =
Res( f ; a) IndƔ(a).
a∈A

138 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Demostración. Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmente
en el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, examinemos
el conjunto
A0 ={a ∈ A : IndƔ(a) = 0}.
Si fuese A0 =∅,setendría IndƔ(a) = 0 para todo a ∈ A, con lo cual la suma
resultaría nula; pero se sigue también que Ɣ es homólogo a 0 respecto de \ A,
abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud del
teorema homológico de Cauchy.
En caso contrario, A0 es un conjunto finito.Enefecto:
• A0 no tiene puntos de acumulación en , porque entonces también A tendría
puntos de acumulación en ,loque es falso;
• A0 no tiene puntos de acumulación fuera de , yaque si z0 ∈ C \ ,
IndƔ(z0) = 0 por ser Ɣ ∼ 0 (); tomando r > 0 tal que D(z0; r) ⊆ C\sop Ɣ,
para todo z del conexo D(z0; r) se tendría IndƔ(z) = IndƔ(z0) = 0, con lo
cual D(z0; r) ∩ A0 =∅;
• A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0demanera que sop Ɣ ⊆
D(0; R), sabemos que es IndƔ(z0) = 0 para todo z0 /∈ D(0; R) (C \ D(0; R)
está contenido en la componente no acotada de C\sop Ɣ),yasí A0 ⊆ D(0; R).
En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulación
en C, luego forzosamente ha de tener un número finito de puntos. Sean éstos a1,
a2,..., an, distintos entre sí.
Ahora, asociamos a los aj ∈ A0 (1 ≤ j ≤ n) sendos discos D(aj; Rj)
contenidos en , elegidos de tal manera que D(aj; Rj)∩ A ={aj}.Para 1 ≤ j ≤ n,
tomemos 0 < rj < Rj, ysean γj = ∂ D(aj; rj) la circunferencia de centro aj y
radio rj orientada positivamente, Nj = IndƔ(aj) y
Ɣj =
[γj, (Nj )
...,γj] si Nj > 0,
[−γj, (−Nj )
... ,−γj] si Nj < 0,
el ciclo formado por |Nj| caminos iguales a γj oa−γj, para el que en cualquier
caso IndƔj (z) = Nj Indγj (z).Veamos que el ciclo
Ɣ0 = Ɣ1 ∪ Ɣ2 ∪ ···∪Ɣn
es homólogo a Ɣ respecto de \ A.Enefecto: para cada z ∈ C \ sop Ɣ0,
y por tanto
IndƔ0 (z) =
n
j=1
IndƔj (z) =
n
Nj Indγj (z)
j=1

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 139
∗ si z ∈ C \ , IndƔ(z) = 0 por hipótesis, IndƔ0 (z) = 0 porque cuando
z /∈ D(aj; Rj) es Indγj (z) = 0(1≤ j ≤ n), y tenemos D(aj; Rj) ⊆ ;
∗ si z ∈ A \ A0, IndƔ(z) = 0 por la definición de A0; ycomo para 1 ≤ j ≤ n
es D(aj; Rj) ∩ A ={aj}, igual que antes z /∈ D(aj; Rj), Indγj (z) = 0,
IndƔ0 (z) = 0;
∗ si z = am ∈ A0, Indγm (am) = 1, Indγj (am) = 0sij = m (am /∈ D(aj; Rj)),
luego IndƔ0 (am) = Nm = IndƔ(am).
Como f ∈ H( \ A),sesigue del teorema homológico de Cauchy que
1
2πi
Ɣ
f (z) dz = 1
2πi
Ɣ0
f (z) dz = 1
2πi
n
j=1
Nj
γj
f (z) dz.
Usando ahora que f ∈ H D(aj; 0, Rj) ,1≤ j ≤ n, del teorema de Laurent
con lo cual, finalmente,
1
2πi
Ɣ
1
2πi
γj
f (z) dz = Res( f ; aj)
n
n
f (z) dz = Nj Res( f ; aj) = IndƔj
j=1
j=1
(aj) Res( f ; aj)
=
IndƔ(a) Res( f ; a) =
IndƔ(a) Res( f ; a).
a∈A0
Corolario 9.3. Sea un abierto no vacío deCyfuna función meromorfa en ,
y sea A el conjunto de los puntos de en los que f tiene polos. Para todo ciclo Ɣ
homólogo a 0 respecto de tal que A ∩ sop Ɣ =∅se verifica
1
2πi
Ɣ
a∈A
f (z) dz =
Res( f ; a) IndƔ(a).
a∈A
Esta es la versión que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con una
línea de demostración ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares de
f en los puntos de A0.
Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p.113, ‘el teorema de los residuos es
una espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una función, se pueden
calcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo,
se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta dirección se
necesita un método para calcular el residuo de una función’.

140 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Aveces, partiendo de desarrollos en serie conocidos, es posible determinar el
desarrollo de Laurent o, al menos, suficientes términos del mismo, para averiguar
el valor del residuo. No siempre esto es factible o, aunque lo sea, puede haber algún
procedimiento más cómodo para hallar el residuo. Comencemos por examinar el
caso a ∈ C.
— Por supuesto, si a es una singularidad evitable de f ,nohay necesidad de
ningún cálculo: obviamente, Res( f ; a) = 0eneste caso.
—Sia es un polo simple de f , habitualmente lo más fácil es usar que
Res( f ; a) = lim [(z − a) f (z)] .
z→a
Sobre esta base, en cada caso particular se pueden aprovechar las características
propias de las funciones que se manejen; por ejemplo, si 1/f es una
función fácil de derivar en a (se sobreentiende, completada por continuidad
en a con el valor 0), el límite anterior es justamente el inverso de la derivada
de 1/f en a.
—Siaes un polo de orden k de f , podemos tener en cuenta que, escribiendo el
desarrollo de Laurent de f en a,setiene evidentemente
1 d
Res( f ; a) = lim
z→a (k − 1)!
k−1
dzk−1 k
(z − a) f (z)
,
que para k = 1sereduce a la fórmula anterior. A veces se encuentra esta
expresión en forma simplificada
Res( f ; a) =
1
(k − 1)!
d k−1
dz k−1
(z − a) k f (z)
z=a ,
sobreentendiendo que (z − a) k f (z) se completa en a por continuidad.
En el punto del infinito:
—Sipara un R > 0es f ∈ H(D(0; R, +∞)) ydefinimos g ∈ H(D(0; 0, 1/R))
por
1
g(z) = f ,
z
resulta
g(z)
Res( f ;∞) =−Res ; 0 ,
z2 porque si f (z) =
∞
anz n en D(0; R, +∞), hemos definido
n=−∞
Res( f ;∞) =−a−1; pero g(z) =
de 1/z en el desarrollo de g(z)/z 2 .
∞
n=−∞
a−nz n , con lo que a−1 es el coeficiente

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 141
—Ensituaciones especiales es más fácil recurrir a otro tipo de argumentos. Por
ejemplo, si f ∈ H(C \{a1,...,an})
Res( f ; a1) + ...+ Res( f ; an) + Res( f ;∞) = 0.
(Probarlo como ejercicio a partir del teorema de los residuos.)
9.4 APLICACIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES
YALASUMACIÓN DE SERIES
Ver Conway, ob. cit., pp. 113 y ss.; Palka, ob. cit., pp. 326 y ss. Para un tratamiento
más amplio y sistemático, la referencia obligada en este tema es el librito de Mitrinović,
ob. cit. De carácter enciclopédico es Mitrinović, D. S.; Kečkić, J. D.: The
Cauchy Method of Residues. (Theory and Applications). Reidel, Dordrecht (1984),
que incluye además una breve nota histórica sobre Cauchy y el desarrollo del
cálculo de residuos.
9.5 APLICACIONES A LA LOCALIZACIÓN DE CEROS
Teorema 9.4. (Principio del argumento: forma analítica). Sea f una función
meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Denotemos con Z f el
conjunto de ceros y con Pf el conjunto de polos de f . Para a ∈ Z f sea z f (a) el
orden de a como cero de f , y para a ∈ Pf sea pf (a) el orden de a como polo de
f.SiƔ es un ciclo homólogo a 0 respecto de cuyo soporte no corta a Z f ∪ Pf ,
se verifica
1
2πi
Ɣ
f ′ (z)
f (z)
dz = IndƔ(a) z f (a) −
IndƔ(a) pf (a).
a∈Z f
Nótese que la integral está bien definida, ya que f y f ′ son continuas en sop Ɣ
y f no se anula en sop Ɣ; además, sólo hay un número finito de ceros y polos que
dan índice no nulo, de modo que en realidad las sumas que aparecen se reducen a
un número finito de sumandos.
Demostración. Siftiene en a un cero de orden k,
f (z) = (z − a) k g(z)
para alguna función g, holomorfa donde lo sea f , tal que g(a) = 0; por tanto, en
un entorno de a será g(z) = 0yasí
a∈Pf
f ′ (z) = k (z − a) k−1 g(z) + (z − a) k g ′ (z),
f ′ (z)
f (z)
k
=
z − a + g′ (z)
g(z)

142 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
en un entorno reducido de a en el que g ′ /g es holomorfa. Por consiguiente, f ′ /f
tiene en a un polo simple con residuo igual a k.
Análogamente, si f tiene en a un polo de orden p,enunentorno reducido de
a es
f (z) = (z − a) −p g(z)
para alguna función g holomorfa sin ceros, de manera que
f ′ (z)
f (z)
−p
=
z − a + g′ (z)
g(z)
y f ′ /f tiene en a un polo simple con residuo igual a −p.
Puesto que f ′ /f sólo puede tener singularidades en Z f ∪ Pf , aplicando el
teorema de los residuos se obtiene la conclusión del enunciado.
Corolario 9.5. (Principio del argumento: interpretación geométrica). Sea f una
función meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Sea Ɣ = [γ ] un
ciclo homólogo a 0 respecto de , formado por un solo camino γ cuyo soporte no
contiene ceros ni polos de f , y sea h un argumento continuo a lo largo del camino
“transformado” f ◦ γ , con valor inicial h0 y valor final h1. Con la notación del
teorema anterior, se verifica
IndƔ(a) z f (a) −
a∈Z f
a∈Pf
Demostración. Basta tener en cuenta que
1
2πi
γ
f ′ (z)
f (z)
dz = 1
2πi
IndƔ(a) pf (a) = Indf ◦γ (0) = h1 − h0
2π .
f ◦γ
dw
w = Indf ◦γ (0) = h1 − h0
2π .
NOTA. Elnombre de “principio del argumento” proviene de este resultado; informalmente,
cuando z = γ(t) “recorre” γ , “se produce una variación continua del
argumento” de f (z) igual a 2π N, donde N es el entero del enunciado.
El principio del argumento puede utilizarse para averiguar el número de ceros
de una función analítica en un subconjunto del plano complejo. Veamos un ejemplo
sencillo.
Ejercicio. Sea f ∈ H(D(0; R)), con R > 1, tal que ℜe f (z) >0si|z| =1.
Entonces f no tiene ceros en D(0; 1).
[En efecto: si γ es la circunferencia unidad, sop( f ◦ γ) no corta al semieje
real negativo, por lo cual Indf ◦γ (0) = 0enestas condiciones.]

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 143
En la práctica, al aplicar el principio del argumento nos encontraremos frecuentemente
con la siguiente situación: el ciclo Ɣ considerado tiene la propiedad
de que para ciertos conjuntos disjuntos G y E se verifica C \ sop Ɣ = G ∪ E y
1 si z ∈ G
IndƔ(z) =
0 si z ∈ E.
(Necesariamente G y E son abiertos, G acotado y E no acotado.) Como señalamos
al comentar el teorema de la curva de Jordan, esto es lo que sucede cuando Ɣ es
un ciclo formado por un solo camino cerrado simple orientado positivamente, pero
inmediatamente mostraremos ejemplos de otro tipo.
Para describir esta situación no hay en la literatura una denominación estándar.
Nosotros nos referiremos a ella diciendo que Ɣ limita o encierra a G y que G es el
recinto limitado o encerrado por Ɣ. Conforme a la nomenclatura empleada en el
teorema de la curva de Jordan, se llama a Gelinterior de Ɣ yasus puntos puntos
interiores a Ɣ, mientras que E es el exterior de Ɣ y los puntos de E, los puntos
exteriores a Ɣ.
Se emplea a veces la notación Ɣ = ∂G para indicar que Ɣ limita o encierra
a G.
Ejemplos. En las siguientes figuras, los ciclos de la primera fila encierran el recinto
sombreado, mientras que los de la segunda no encierran ningún recinto.
(Gráficamente, se observa que el interior queda siempre “a la izquierda del recorrido”.
Cf. Palka, ob. cit.,p.160.)

144 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Con esta nomenclatura, podemos enunciar:
Corolario 9.6. Sea f ∈ H(), Ɣ un ciclo en que limita un recinto G ⊆ de
manera que sop Ɣ no contenga ceros de f . Entonces la integral
1 f
2πi
′ (z)
f (z) dz
Ɣ
es igual al número de ceros de f interiores a Ɣ, contados según su multiplicidad.
Demostración. Aplicamos el principio del argumento, teniendo en cuenta que Ɣ
es homólogo a 0 respecto de puesto que los z ∈ C \ son puntos exteriores a
Ɣ, que f no tiene polos en , que los ceros interiores a Ɣ tienen índice 1 respecto
de Ɣ, ylos exteriores tienen índice 0 respecto de Ɣ.
El principio del argumento admite una versión más general:
Teorema 9.7. Sea f meromorfa en una región con ceros z1, z2,...,zn y polos
p1, p2,...,pm contados según su multiplicidad. Si g es analítica en y Ɣ es un
ciclo homólogo a 0 respecto de que no pasa por los ceros ni los polos de f ,
entonces
1
2πi
Ɣ
g
f ′
f =
n
g(zj) IndƔ(zj) −
j=1
Demostración. Conway, ob. cit.,Teor. 3.6, p. 124.
m
g(pk) IndƔ(pk).
Una consecuencia importante del principio del argumento es el teorema de
Rouché, que permite la localización de ceros de funciones desconocidas a partir
del número de ceros de funciones conocidas.
Teorema 9.8. (Teorema de Rouché). Sean f , g ∈ M(), Ɣ un ciclo en que
limita un recinto G ⊆ de manera que sop Ɣ no contenga ceros ni polos de f o
de g. Si para todo z ∈ sop Ɣ es
k=1
| f (z) + g(z)| < | f (z)|+|g(z)|,
entonces:
el número de ceros de f interiores a Ɣ contados según su multiplicidad
menos
el número de polos de f interiores a Ɣ contados según su multiplicidad
es igual
al número de ceros de g interiores a Ɣ contados según su multiplicidad
menos
el número de polos de g interiores a Ɣ contados según su multiplicidad.

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 145
Obsérvese que la desigualdad del enunciado implica que f y g no pueden
anularse sobre sop Ɣ.
Demostración. Elconjunto 1 de los puntos de que no son ceros ni polos de f
ni de g es un abierto que contiene a sop Ɣ.Definiendo
2 ={z ∈ 1 : | f (z) + g(z)| < | f (z)|+|g(z)|},
también 2 es un abierto que contiene a sop Ɣ. Además, para cada z ∈ 2,
f (z)
+ 1
g(z) <
f (z)
g(z) + 1,
f (z)
con lo cual no podrá ser un número real no negativo. Si L es un logaritmo
g(z)
holomorfo en C \ [0, +∞), F = L ◦ ( f/g) es una función holomorfa en 2, por
lo que
0 = 1
F
2πi Ɣ
′ (z) dz = 1
( f/g)
2πi Ɣ
′ (z)
( f/g)(z) dz
= 1
f
2πi Ɣ
′
(z) 1 g
dz −
f (z) 2πi Ɣ
′ (z)
g(z) dz
y basta aplicar el principio del argumento.
NOTA.Lademostración anterior aparece en Glicksberg, I.: A remark on Rouché’s
theorem, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 186–187.
En los textos ‘tradicionales’ suele imponerse la hipótesis más fuerte
| f (z) + g(z)| < |g(z)|
para z ∈ sop Ɣ,o,cambiando g por −g,
| f (z) − g(z)| < |g(z)|,
quizá lamás frecuentemente manejada en la práctica.
Como muestra de cuál es la forma en que puede sacarse partido al teorema de
Rouchéenelestudio de los ceros de una función, veamos una nueva demostración
del teorema fundamental del álgebra. Otros ejemplos, con interesantes comentarios,
pueden verse en Palka, ob. cit., pp. 342 y ss.
Corolario 9.9. Si p(z) = zn +a1z n−1 +···+an, entonces p tiene n raíces (contadas
según su multiplicidad).
Demostración. Puesto que p(z)/zn tiende a 1 cuando z tiende a ∞, para algún R
será
p(z)
− 1
zn < 1
siempre que |z| =R,esdecir, |p(z) − zn | < |zn |. Por el teorema de Rouché, p(z)
ha de tener n ceros interiores a ∂ D(0; R).

146 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
9.6 VALORES LOCALES DE UNA
FUNCIÓN HOLOMORFA
Definición 9.10. Sea f una función holomorfa en un abierto , z0 ∈ ,
w0 = f (z0), m ∈ N. Diremos que f aplica z0 en w0 m veces [abreviado
f (z0) = w0 m veces] o con multiplicidad msiz0 es un cero de orden m de
la función f (z) − w0.
Equivalentemente, si f (z0) = w0, f ′ (z0) = ···= f (m−1) (z0) = 0, f (m) (z0) = 0.
Evidentemente, si w0 = f (z0), f (z)−w0 siempre tiene un cero en z0. ¿Podrá
afirmarse siempre, pues, que f (z0) = w0 m veces para algún m ∈ N? Unmomento
de reflexión permite concluir que no: nada impide, por ejemplo, que f sea
constante en algún disco D(z0; r) ⊆ (equivalentemente, que f sea constante
en la componente conexa de que contiene a z0), de manera que z0 no sea un
cero aislado de la función f (z) − w0. Pero es claro que ésta es la única situación
excepcional en la que la respuesta es negativa:
Para que f (z0) = w0 m veces para algún m ∈ N, esnecesarioysuficiente
que z0 sea un cero aislado de f (z) − w0 (equivalentemente, que f no sea
constante en la componente conexa de que contiene a z0.)
El siguiente resultado muestra que en el entorno de un punto en el que una
función analítica f tome un valor w0 m veces, la función f alcanza los valores
próximos a w0 justamente en m puntos distintos, “grosso modo” como lo hace la
función g(z) = w0 + (z − z0) m (ver Palka, ob. cit., pp. 344 y ss., donde se da a
este teorema el nombre de branched covering principle, “el principio del espacio
recubridor ramificado o cubierta ramificada”).
Teorema 9.11. Sea f una función holomorfa en un abierto no vacío arbitrario .
Sean z0 ∈ ,m∈ N, f(z0) = w0 m veces. Entonces existen entornos abiertos V ,
Wdez0 y w0 respectivamente, tales que f (V ) = Wycada punto w ∈ W \{w0}
es imagen por f exactamente de m puntos distintos z1,...,zm de V \{z0}.
Precisando más:
Tomemos cualquier disco D = D(z0; r) tal que
(∗) D ⊆ ,
(∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \{z0}.
(∗∗∗) f ′ (z) = 0 para todo z ∈ D \{z0}
Poniendo entonces
ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| =r} =d(w0, f (∂ D)),
W = D(w0; ϱ),
V = D ∩ f −1 (W ) ={z ∈ D : | f (z) − w0|

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 147
se verifica:
(1) W = f (V );
(2) para todo w ∈ W \{w0} existen exactamente m puntos distintos z1,...,zm
en V \{z0} tales que f (zj) = w con multiplicidad 1, 1 ≤ j ≤ m.
Demostración. Puesto que f (z0) = w0 m veces para algún m ∈ N, z0 seráuncero
aislado de f (z) − w0. Sif ′ (z0) = 0, para algún disco D(z0; δ) ⊆ tiene que
ser f ′ (z) = 0 para todo z ∈ D \{z0}, yaque en caso contrario z0 sería unpunto
de acumulación de ceros de f ′ y f ′ se anularía entoda la componente conexa de
que contiene a z0; enconsecuencia f (n) (z0) = 0 para todo n ∈ N, contra la
hipótesis de que f (z0) = w0 m veces para algún m ∈ N. Tanto en este supuesto
como si f ′ (z0) = 0 (por continuidad de f ′ en tal caso), es posible entonces elegir
un r > 0demanera que si D = D(z0; r),
∗ D = D(z0; r) ⊆ ;
∗ f (z) − w0 no se anula en D \{z0};
∗ f ′ (z) = 0 para todo z ∈ D \{z0}.
Tomemos cualquier r en las condiciones anteriores. Poniendo como en el
enunciado ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| = r}, obviamente ϱ > 0ypara
W = D(w0; ϱ), V = D ∩ f −1 (W ) ={z ∈ D : | f (z) − w0|

148 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Corolario 9.12. Sea un abierto de C, f una función holomorfa en , z0 ∈ ,
m ∈ N, f(z0) = w0 m veces. Entonces existen abiertos V , W , tales que
• z0 ∈ V ⊆ ;
• f (V ) = W(y, en particular, w0 ∈ W);
• f : V \{z0} →W \{w0} es suprayectiva y m ↦→ 1.
Si convenimos en que w0 tiene z0 como antiimagen m veces, también podemos
poner
• f : V → Wessuprayectiva y m ↦→ 1.
Hay variantes de este teorema que reflejan de forma “analítico-algebraica” la
semejanza local de f (z) con w0 + (z − z0) m . Por ejemplo:
Proposición 9.13. Sea un abierto de C, funa función holomorfa en ,z0 ∈ ,
m ∈ N, f(z0) = w0 m veces. Entonces existen un abierto V y una función
ϕ ∈ H(V ) tales que
• z0 ∈ V ⊆ ;
• f (z) = w0 + [ϕ(z)] m (para todo z ∈ V);
• la derivada ϕ ′ no tiene ceros en V y ϕ es una aplicación invertible de V sobre
un disco D(0; r).
Demostración. VerRudin, ob. cit. (Teor. 10.32, p. 245).
El ejemplo siguiente ilustra en una situación concreta los conjuntos que intervienen
en la demostración del teorema m ↦→ 1.
Ejemplo. Sea = C \{0}, f ∈ H() definida por
f (z) = z + 1
z ,
z0 = 1, w0 = f (z0) = 2. Comprobar que f toma el valor 2 en 1 dos veces, y ver
para qué valores de r > 0 se consigue, si D = D(z0; r), que
∗ D ⊆ ;
∗ f (z) − w0 no se anule en D \{z0};
∗ f ′ (z) = 0 para todo z ∈ D \{z0}.
Para tales r,hallar ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| =r}.
Dibujar, para algún valor de r,losconjuntos
Jr ={f (z) : |z − z0| =r}, Kϱ ={z : | f (z) − w0| =ϱ}.

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 149
Respuesta.
f ′ (z) = 1 − 1
= 0 ⇐⇒ z = 1oz =−1,
z2 y f ′′ (1) = 2 = 0. Además
(z − 1)2
f (z) − w0 = ,
z
luego las condiciones ∗ se verifican exactamente para los r tales que 0 < r < 1.
Para estos r,
2 |z − 1|
ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| =r} =min
|z|
: |z − 1| =r = r 2
que es una función de r creciente en (0, 1),demodo que 0

150 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
vamos a parar a
1
0.5
0
-0.5
y
-1
ℜe z = 1 + ϱ
2
ℑm z = ϱ
2
1 ϱ
cos t ±
2 2
1 ϱ
sen t ± −4 cos t − ϱ cos 2t +
2 2
16 + 8ϱ cos t + ϱ2
0.5 1 1.5 2
x
4 cos t + ϱ cos 2t + 16 + 8ϱ cos t + ϱ2
con los signos ± combinados para que el signo del producto coincida con el de
4 sen t +ϱ sen 2t = (4+2ϱ cos t) sen t, t ∈ [0, 2π], que es igual al signo de sen t.
Así quedan las gráficas de Kϱ y Jr para r = 2/3:
Kϱ
f
−→
1
0.5
0
1.5
x
2 2.5 3 3.5
NOTA. Algunos programas de ordenador permiten obtener gráficos animados que
muestran, de manera espectacular, la evolución de los conjuntos Kϱ y Jr según
varía r.
-0.5
9.7 TEOREMA DE LA APLICACIÓN ABIERTA
Corolario 9.14. (Teorema de la aplicación abierta). Sea un abierto de C, f
una función holomorfa en no constante en ninguna componente conexa de .
Entonces f es abierta.
En particular, f () es un abierto de C; ysi es una región, f () también
es una región.
y
-1
Jr

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 151
Demostración. Recordemos que f es abierta cuando la imagen f (U) de cada
abierto U ⊆ es un abierto en C.
Sea, pues, w0 ∈ f (U) y tomemos z0 ∈ U de modo que f (z0) = w0. Aplicando
el teorema m ↦→ 1enz0 alarestricción de f a U, encontramos abiertos V ,
W tales que z0 ∈ V ⊆ U, w0 ∈ W = f (V ) ⊆ f (U),yasí w0 es interior a f (U).
El teorema de la aplicación abierta permite dar nuevas demostraciones de
resultados conocidos.
Corolario 9.15. (Principio del módulo máximo). Sea f una función holomorfa
no constante en ninguna componente conexa de un abierto de C. Entonces | f |
no puede tener un máximo local en ningún punto de .
Demostración. Por ser f abierta, dado z0 ∈ y D(z0; R) ⊆ , siw0 = f (z0)
existe un disco D(w0; r) ⊆ f (D(z0; R)) con infinitos puntos w para los que resulta
| f (z0)| =|w0| < |w| =|f (z)|, z ∈ D(z0; R).
Ejercicio. Sea f una función holomorfa en una región y supongamos, por
ejemplo, que (ℜe f ) 3 =ℑm f . Entonces f es constante.
[Indicación: f () no puede ser abierto en C al estar contenido en el conjunto
{x + iy : x, y ∈ R; x 3 = y}.]
(Tenemos así otra “explicación” de resultados obtenidos como consecuencia
de las condiciones de Cauchy-Riemann.)
9.8 TEOREMAS DE LA FUNCIÓN INVERSA
Teorema 9.16. (Teorema global de la función inversa). Sea f una función holomorfa
e inyectiva en un abierto no vacío . Entonces
• f () es abierto;
• f −1 : f () → es continua;
• f ′ (z) = 0 para todo z ∈ ;
• f −1 es holomorfa en f (),ypara cada w0 ∈ f () es
donde z0 = f −1 (w0).
f −1 ′ (w0) = 1
f ′ (z0) ,
Demostración. Como f es inyectiva, no es constante en ninguna componente
conexa de , con lo que f será abierta y por ello f () es abierto y f −1 es
continua.

152 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Si en algún punto z ∈ fuese f ′ (z) = 0, tendríamos f (z) = w m veces, con
m ≥ 2; en consecuencia, la restricción de f a algún entorno V de z sería m ↦→ 1,
contra la inyectividad de f .
Por último, el teorema de derivabilidad de la función inversa en un punto es
así aplicable en cada punto de f (), demanera que f −1 ∈ H() ya que f −1 es
derivable en cada punto de f (),ysuderivada viene dada, como ya sabíamos, por
la fórmula del enunciado.
Observación. Para que una función holomorfa sea inyectiva es condición necesaria
pero no suficiente que la derivada no se anule en ningún punto. Por ejemplo, la
función exponencial tiene derivada no nula en todos los puntos sin ser inyectiva.
Tal como sucede en el caso de funciones de varias variables reales, en el recíproco
sólo se llega a un resultado local, que es una ligera mejora del “teorema 1 ↦→ 1”.
Teorema 9.17. (Teorema local de la función inversa). Sea f una función holomorfa
en un abierto no vacío arbitrario . Sean z0 ∈ , w0 = f (z0), f ′ (z0) = 0.
Entonces existen entornos abiertos V , W de z0 y w0 respectivamente, tales que
f aplica biyectivamente V sobre W y ( f |V ) −1 : W → Vesholomorfa en W .
Precisando más:
Tomemos cualquier disco D = D(z0; r) tal que
(∗) D ⊆ ,
(∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \{z0}.
Poniendo entonces
ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| =r} =d(w0, f (∂ D)),
W = D(w0; ϱ),
V = D ∩ f −1 (W ) ={z ∈ D : | f (z) − w0|

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 153
Tomemos, pues, w ∈ W = D(w0; ϱ). Por hipótesis, el número de ceros de
f (z) − w0 en D es exactamente 1, y si γ es la circunferencia de centro z0 y radio
r orientada positivamente, para cada z ∈ sop γ = ∂ D,
|( f (z) − w) − ( f (z) − w0)| =|w − w0|

154 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Demostración. Elciclo formado por γ es homólogo a 0 respecto de : los puntos
de D son los únicos con índice no nulo respecto de γ .
(1) Dado w ∈ W = D(w0; r), hemos probado anteriormente que hay un
único punto a ∈ D = D(z0; r) tal que f (a) = w. Además, para cada z ∈ ∂ D es
| f (z) − w0| ≥ϱ>|w − w0|,
luego a es el único punto en D para el que f (a) = w.
Por consiguiente, la función
g(z) = zf ′ (z)
f (z) − w
es meromorfa en ,notiene singularidades sobre sop γ y a es la única singularidad
con índice no nulo (= 1) respecto de γ . Aplicando el teorema de los residuos,
1
2πi
γ
zf ′ (z)
f (z) − w
dz = Res(g; a).
Puesto que
z − a
lim[(z
− a) g(z)] = lim
z→a z→a f (z) − f (a) zf ′
(z) = 1
f ′ (a) af ′ (a) = a,
g tiene en a un polo simple (o una singularidad evitable si a = 0); en cualquier
caso, Res(g; a) = a yasí
1 zf
2πi
′ (z)
f (z) − w dz = a = f −1 (w).
γ
(2) Teniendo en cuenta que si z ∈ sop γ , entonces | f (z)−w0| ≥ϱ>|w−w0|,
desarrollando en potencias de w − w0 el integrando de (1) e integrando término a
término como de costumbre obtenemos la igualdad deseada.
(3) Integrando por partes, para n ≥ 1 resulta
1
2πi
γ
zf ′ (z)
1
dz =
( f (z) − w0) n+1 2πin
γ
dz
( f (z) − w0) n
y esta última integral podemos calcularla a través del teorema de los residuos, pues
el integrando presenta una única singularidad en z0, que es exactamente un polo
de orden n,yasí
1
2πin
γ
dz 1
=
( f (z) − w0) n n Res
= 1
n
1
; z0
( f (z) − w0) n
n−1
1 d
(n − 1)! dzn−1
(z − z0) n
( f (z) − w0) n
z=z0
.

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 155
Ejemplo. Sea = C, f (z) = ze z , z0 = 0, w0 = f (z0) = 0. En este caso
f (z) = w0 = 0sólo para z = 0, luego para cualquier r > 0eldisco D(z0; r)
cumple (∗) y (∗∗). Como
ϱ = min{| f (z) − w0| : |z − z0| =r} =min{|ze z | : |z| =r}
= min{r e ℜe z : |z| =r} =re −r ,
el valor máximo para ϱ se obtiene si r = 1, en cuyo caso ϱ = e−1 .
El desarrollo en serie de f −1 : D(0; 1/e) → D(0; 1) se halla muy fácilmente
por el método de Lagrange, pues ahora ψ(z) = e−z y
n−1 d n
ψ(z)
= (−1) n−1 n n−1 ,
con lo cual
dz n−1
f −1 (w) =
z=z0
∞ (−1) n−1 nn−1 n=1
n!
(La serie tiene radio de convergencia 1/e).
w n , |w| < 1
e .
NOTA.EnMarkushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable (Vol. II).
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 94 y ss., pueden verse ejemplos
muy interesantes de aplicaciones de la fórmula de Lagrange al estudio de los
polinomios de Legendre y de la ecuación de Kepler para la anomalía excéntrica.
9.9 EJERCICIOS RESUELTOS
Comenzaremos por aplicar el teorema de los residuos al cálculo de una integral
real.
Ejercicio. Estudiar la existencia y, en su caso, calcular el valor de
+∞ x sen x
x 2 + 4x + 20 dx.
−∞
Respuesta. El integrando es una función (llamémosle g) definida y continua en
todo R. Sin embargo no es una función integrable-Lebesgue en R, pues si lo fuese
sen x
lo sería también (comparando por cociente) la función , que ya sabemos que
x
no es integrable-Lebesgue en R.
La integral tiene sentido como integral impropia, convergente por el criterio
de Abel: “si ϕ es una función impropiamente integrable en un intervalo (a, b) y

156 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
ψ es una función monótona y acotada en dicho intervalo, b
a
En nuestro caso: g = ϕψ para ϕ(x) =
que ψ ′ (x) =
sen x
x
, ψ(x) =
ϕψes convergente”.
x 2
x 2 ; puesto
+ 4x + 20
4x (x + 10)
(x 2 + 4x + 20) 2 y limx→±∞ ψ(x) = 1, ψ está acotada en R yes
monótona en (0, +∞), (−∞, −10); por la convergencia de la integral de ϕ en
ambos intervalos, g es impropiamente integrable en los mismos, y es integrable
(es continua) en [−10, 0]. Ensamblando estos resultados, obtenemos que g es
impropiamente integrable en R.
De todas formas, los cálculos que haremos a continuación probarán que la in-
tegral tiene sentido al menos como valor principal,esdecir, que existe lim
R→+∞
La función f definida por
f (z) =
ze iz
z 2 + 4z + 20
es meromorfa en C,ysus únicas singularidades son los polos simples p1 =−2+4i,
p2 =−2− 4i.
γR
iR
Si ƔR es el ciclo formado por el
camino γR ∪ ψR, donde (ver figura)
γR : t ∈ [0,π] → γR(t) = Re
p1
•
-R ψR
O
p2 •
R
it ∈ C,
ψR : t ∈ [−R, R] → ψR(t) = t ∈ C,
siempre que R > |p1| = √ 20 será ƔR
un ciclo homólogo a 0 en C para el que
IndƔR (p1) = 1, IndƔR (p2) = 0. Podemos
así aplicar el teorema de los residuos
para obtener
Pero
ƔR
f = 2πi Res( f ; p1) = 2πi lim (z − p1)
z→p1
= 2πi
ƔR
1
2
f =
i
+
4
γR
f +
e −4−2i =
ψR
f =
− 1
2
γR
+ i
f +
R
−R
ze iz
(z − p1)(z − p2)
π e −4−2i .
f (x) dx,
R
−R
g.

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 157
y puesto que limR→+∞(R 2 − 4R − 20) =+∞,existiráunR0 > √ 20 tal que, para
todo R > R0, R2 − 4R − 20 > 0; siempre que R > R0 podremos poner, pues,
f
γR
=
π
f (Re
0
it ) Ri e it
dt
≤
π
f (Re
0
it ) Rdt
R · R
≤
R2 π
e
− 4R − 20
iReit R
dt =
2
R2 π
e
− 4R − 20
−R sen t dt.
0
Dado que para t ∈ (0,π) es lim
R→+∞ e−R sen t = 0y e−R sen t = e−R sen t < e0 =
1 ∈ L1 ([0,π]), por el teorema de la convergencia dominada
lim
R→+∞
π
0
e −R sen t dt = 0.
(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan,
se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación
π
0
e −R sen t dt ≤ π
R (1 − eR ), deducida de la desigualdad sen t ≥ 2t
π para
0 ≤ t ≤ π
2 .)
Como consecuencia,
−∞
lim
R→+∞ γR
f = 0,
lo que permite deducir la existencia y valor del límite
+∞
R
V.P. f (x) dx = lim f (x) dx = −
R→+∞
1
2
ydeaquí
+∞ x sen x
x 2 dx =ℑm
+ 4x + 20
−∞
V.P.
−R
+∞
−∞
0
+ i
π e −4−2i
f (x) dx = (cos 2+ 1
2 sen 2)πe−4 .
En el próximo ejercicio aplicaremos el teorema de Rouché yel principio del
argumento para localizar ceros de un polinomio en conjuntos de distinto tipo.
Ejercicio. Hallar el número de ceros que tiene el polinomio
P(z) = z 3 − (1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i
en la corona D(0; 1/2, 5) ={z ∈ C : 1
< |z| < 5}.
2
¿Cuántos de ellos están en el semiplano superior H ′ ={z ∈ C : ℑm z > 0}?
¿Cuántos de ellos están en el semiplano inferior H ′′ ={z ∈ C : ℑm z < 0}? ¿Por
qué?

158 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
Respuesta. Sea g(z) = z 3 , z ∈ C.Si|z| =5,
•
-R
|P(z) − g(z)| =|−(1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i|
γR
ψR
≤|1 + 2i|·5 2 +|3− 7i|·5 +|8− 4i| = √ 3 · 25 + √ 58 · 5 + √ 80
< 3 · 25 + 8 · 5 + 9 = 113 < 125 =|z| 3 =|g(z)|,
con lo cual:
• P(z) y g(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la
circunferencia {z ∈ C : |z| =5};
• podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y g tienen el
mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de
dicha circunferencia, es decir, 3.
Sea ahora h(z) = 8 − 4i, z ∈ C.Si|z| = 1
2 ,análogamente
3 1
|P(z)−h(z)| ≤ +
2
√ 2 1
5 +
2
√ 58 1 1
<
2 8 +1
4 ·3+1 ·8 < 5 < |8−4i| =|h(z)|,
2
con lo cual:
• P(z) y h(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la
circunferencia {z ∈ C : |z| = 1
2 };
• podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y h tienen el
mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de
dicha circunferencia, es decir, 0.
En consecuencia, P(z) tiene 3 ceros en la corona D(0; 1/2, 5). (Puesto que a
lo más puede tener 3 ceros en C, sesigue que todos los ceros de P quedan dentro
de la corona).
Para ver cuántos de ellos están en H ′ bastará, pues, averiguar simplemente
cuál es el número N de ceros que tiene P en H ′ . Como el polinomio P tiene un
número finito de ceros, si M es el máximo de los módulos de todos ellos, los N que
estén en H ′ quedarán en el interior del ciclo ƔR formado por el camino γR ∪ ψR,
donde (ver figura)
•
•
iR
O R
•
γR : t ∈ [0,π] → Re it ∈ C;
ψR : t ∈ [−R, R] → t ∈ C,
y R es cualquier valor mayor que M.
Por consiguiente, dado que P es holomorfa
en = C y trivialmente ƔR ∼ 0 (C),
si P no se anula en el soporte de ƔR, podemos
hallar N aplicando la versión geométrica del
principio del argumento.

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 159
Comprobemos que P no se anula en sop ƔR. Por la elección de R, esobvio
que P no se anula en el soporte de γR; tampoco se anula en el soporte de ψR, como
se vió enelCapítulo 5, Sección 5.4.
Así pues, siempre que R > M se tendrá
yenconsecuencia también
N = IndP◦(γR∪ψR)(0),
N = lim
R→+∞ IndP◦(γR∪ψR)(0),
que nos llevará más fácilmente al cálculo de N.
Es inmediato comprobar (¡comprobar!) que P◦(γR∪ψR) = (P◦γR)∪(P◦ψR)
y que arg(P ◦ (γR ∪ ψR)) = arg(P ◦ γR) + arg(P ◦ ψR). Aplicando el
razonamiento del final de la Sección 5.4 a nuestro polinomio P,
También se probó entonces que si
lim
R→+∞ ARG
0≤t≤π P(Reit ) = 3π.
x(t) := ℜe (P ◦ ψR)(t) =ℜeP(t) = t 3 − t 2 − 3t + 8,
y(t) := ℑm (P ◦ ψR)(t) =ℑmP(t) =−2t 2 + 7t − 4,
se obtenía, para valores “suficientemente grandes” de R,
de donde se sigue que
ARG
−R≤t≤R (P ◦ ψR)(t) = π + arc tg y(R)
x(R)
lim
R→+∞ ARG
−R≤t≤R (P ◦ ψR)(t) = π,
lo que unido a lo anterior permite concluir que
− arc tg y(−R)
x(−R) ,
2π N = 2π · lim
R→+∞ IndP◦(γR∪ψR)(0) = 3π + π = 4π,
es decir, que N = 2.
Como P tiene 3 ceros, ninguno de ellos real, esto implica que el número de
ceros de P en H ′′ es necesariamente 1.
-—oOo—-