Funciones trigonométricas - matesup - Universidad de Talca

Cálculo I. Ing. Civil Contenidos: Funciones trigonométricas
Temas:
1. Ángulos
2. FT para ángulos agudos
3. FT para cualquier ángulo
4. FT definidas para números reales
5. Identidades básicas de las FT
6. Ecuaciones trigonométricas
7. Gráfica y propiedades de las funciones sin, cos y tan
8. FT inversas
1. Ángulos
U de Talca
JCS/CdP
Un ángulo es la figura generada por la rotación de una semirrecta 1 en torno a su extremo, desde
una posición inicial hasta una posición terminal. La posición inicial de la semirrecta se llama
lado inicial del ángulo, la posición final se llama lado terminal del ángulo y el punto fijo en la
rotación (extremo de la semirrecta) se llama vértice del ángulo.
Cuando la rotación del lado inicial es en sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice
que el ángulo es positivo. Cuando la rotación es en el sentido de las manecillas de un reloj, el
ángulo es negativo.
Ángulo positivo Ángulo negativo
1 Una semirrecta es la parte de una recta situada a un lado de un punto fijo de ella.
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1.1. Medidas de ángulos
Para medir ángulos se usan las unidades de grados (sexagesimales) y los radianes.
1.1.1. Grados sexagesimales
Ángulo recto (90 ◦ ) Ángulo extendido (180 ◦ ) Ángulo completo (360 ◦
U de Talca
JCS/CdP
El ángulo completo (lado inicial coincide con el lado terminal, y el lado terminal ha rotado una
sola vez) mide 360 ◦ . De aquí, un ángulo extendido mide 180 ◦ y un ángulo recto corresponde a
90 ◦ .
Como se sabe, un grado equivale a 60 minutos, lo que se anota: 1 ◦ = 60 ′ y cada minuto a 60
segundos, lo que se anota: 1 ′ = 60 ′′
1.1.2. Radianes
La medición de un ángulo en radianes se realiza de la siguiente manera: Sea α un ángulo AOB
Sea s la longitud del arco subtendido por una circunferencia centrada en O y de radio r, entonces:
Lo que se anota:
Medida de α (en radianes) = s
r
α = s
r rad
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U de Talca
JCS/CdP
Un radián es el tamaño del ángulo central de una circunferencia que intersecta un arco de la
misma longitud del radio de la circunferencia.
Así, el ángulo recto mide π
2 rad, es decir, 90◦ = π π
rad =
2 2
Ángulo recto (π/2) Ángulo extendido (π) Ángulo completo (2π)
1.2. Relación entre las medidas de ángulos en grados (sexagesimales)
y radianes.
1.
Angulo en Grados
180 ◦
= Angulo en Radianes
.
π
2. 1 radian = 180◦
π ≈ 57,296◦ = 57 ◦ 17 ′ 45 ′′ .
3. 1 grado = π
rad ≈ 0,017453 radianes.
180◦ Instituto de Matemática y Física 3 Universidad de Talca

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U de Talca
JCS/CdP
En base a lo precedente se pueden establecer reglas para transformar ángulos medidos en grados
a radianes y viceversa:
α◦
= α · π
rad
180
α rad = α · 180
◦ π
Observación: En general cuando un ángulo está medido en radianes, esta unidad no se indica.
Por ejemplo, 3 rad = 2, π rad = π, etc.
2. FT para ángulos agudos
Sea α un ángulo agudo. Desde un punto B cualquiera de su lado terminal se traza el segmento
perpendicular a su lado inicial. Se forma así un triángulo rectángulo ABC, de catetos a y b e
hipotenusa c:
Ángulo agudo Triángulo rectángulo formado
En base al triángulo rectángulo ABC se definen las FT del ángulo agudo α:
sin α = b
c
cos α = a
c
tan α = b
a
= cateto opuesto
hipotenusa
= cateto adyacente
hipotenusa
= cateto opuesto
cateto adyacente
csc α = c
b
csc α = r
a =
ctg α = a
b
= hipotenusa
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
= cateto adyacente
cateto opuesto
Ejercicio: Verificar que las definiciones de las FT del ángulo α no dependen del punto considerado
en su lado terminal.
Ejercicio: Verificar los valores en la siguiente tabla:
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α cos α sin α tan α
30 ◦ = π
6
45 ◦ = π
4
60 ◦ = π
3
Ejercicio: Usando calculadora, determinar los valores indicados en la siguiente tabla:
√ 3
2
√ 2
2
1
2
U de Talca
1
2
√ 2
2
√ 3
2
√ 3
3
1
√ 3
α cos α sin α tan α
80, 7 ◦
1,3rad
28 ◦ 25 ′ 45”
JCS/CdP
Ejercicio: Desde una torre de observación de 25 m. de alto, un hombre observa desde una
posición situada a 2 m. bajo el extremo superior de la torre que el ángulo de elevación de la copa
de un árbol es de 12 ◦ 40 ′ y que el ángulo de depresión de su base es de 72 ◦ 20 ′ . Si las bases de la
torre y del árbol están a un mismo nivel horizontal, ¿Cuál es la altura del árbol?.
3. FT de un ángulo cualquiera
Sea α la medida de un ángulo AOB (OA lado inicial, OB lado terminal). Se ubica este ángulo,
en su posición normal, en un sistema de coordenadas, esto quiere decir que su vértice se ubica
en el origen del sistema de coordenadas y su lado inicial sobre el eje X. Sea P = (a, b) un punto
en el lado terminal (OB) y r = √ a 2 + b 2 :
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Entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo α se definen de la siguiente manera:
sin α =
cos α =
tan α =
ordenada de P
OP
abscisa de P
OP
ordenada de P
abscisa de P
= b
r
= a
r
= b
a
4. Algunas propiedades de las FT
csc α =
csc α =
ctg α =
4.1. Signos de las funciones trigonométricas
4.2. Fórmulas de Reducción
Cuadrante en que está α sin α cos α tan α
I + + +
II + − −
III − − +
IV − + −
U de Talca
OP
ordenada de P
OP
abscisa de P
abscisa de P
ordenada de P
= r
b
= r
a
= a
b
JCS/CdP
Usaremos FT para designar cualquiera de las 6 funciones trigonométricas y coFT su respectiva
cofunción (la cofunción del sin es cos, de la tan es cot y de la sec es la csc).
1. FT( π
2
2. FT( 3π
2
± α) = ±coFT(α).
± α) = ±coFT(α).
3. FT(π ± α) = ±FT(α).
4. FT(2π ± α) = ±FT(α).
Observación: El signo depende del cuadrante donde este situado π
2
dado por la tabla de los signos de tabla de la sección 4.1.
± α, 3π
2
± α, π ± α y viene
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4.3. Valores principales de las F.T.
α Cuadrante cos α sin α tan α
0 1 0 0
π
6
I
√
3
2
1
2
√
3
3
π
4
π
3
I
I
√
2
2
1
2
√
2
2
√
3
2
1
√
3
π
2
0 1 No existe
0 α π
2
α Cuadrante cos α sin α tan α
0 1 0 0
7π
6
III − √ 3
2 − 1
2
√
3
3
5π
4
III − √ 2
2 − √ 4π
3
III −
2
2 1
1
2 − √ 3
2
√
3
3π
2
0 1 No existe
π < α 3π
2
U de Talca
α
2π
3
Cuadrante
II
cos α
−
sin α tan α
1
2
√
3
2 − √ 3
3π
4
II − √ 2
2
√
2
2 −1
5π
6
II − √ 3
2
1
2 − √ 3
3
π −1 0 0
π
2
< α π
α
5π
3
Cuadrante
IV
cos α
1
2
sin α
−
tan α
√ 3
2 −√3 7π
4
IV
√
2
2 − √ 2
2 −1
11π
6
IV
√
3
2 − 1
2 − √ 3
3
2π 1 0 0
3π
2
< α < 2π
4.4. Identidades básicas de las funciones trigonométricas
1. tan x =
sin x
cos x
, cot x =
cos x sin x
2. sec x = 1
1
, csc x =
cos x sin x
3. cot x = 1
1
, tan x =
tan x cot x
4. (sin x) 2 + (cos x) 2 = sin 2 x + cos 2 x = 1
5. 1 + tan 2 x = sec 2 x
6. 1 + ctg 2 x = csc 2 x
JCS/CdP
Nota: Bajar del sitio web del curso, un formulario con un listado más amplio de identidades
trigonométricas. Este formulario se puede usar en las actividades de evaluación.
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5. Ecuaciones trigonométricas
5.1. Definición
U de Talca
JCS/CdP
Son aquellas en las cuales la incógnita solamente aparece como argumento en funciones trigonométricas.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas son:
No son ecuaciones trigonométricas:
sin x = 1, sin(2x) = 2 sin x, cos 2 x − 3 sin x = 3.
x sin x = 1, x + cos x = 3.
5.2. Resolución de una ecuación trigonométrica
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los valores del argumento desconocido
que satisfacen a la ecuación dada.
Nota: Se llaman soluciones principales de una ecuación trigonométrica a aquellas soluciones que
se encuentran entre 0 y 2π (o entre 0 ◦ y 360 ◦ ).
No existe un método general para resolver ecuaciones trigonométricas, pero las siguientes sugerencias
pueden ser de ayuda:
Expresar todas las funciones trigonométricas que aparezcan en función de un mismo argumento,
usando las identidades trigonométricas. Por ejemplo, si los argumentos 2x y x
aparecen en la ecuación, expresar las funciones de 2x en términos de las funciones de x.
Expresar todas las funciones en términos de una sola función trigonométrica.
Resolver algebraicamente (factorizando o de cualquier otra forma) considerando como
incógnita la única función que ha quedado en la ecuación.
5.3. Ejemplo
Dada la ecuación trigonométrica cos x = 1 + sin x se pide encontrar:
1. Sus soluciones principales, es decir, para valores de x tales que 0 x < 2π.
2. Todas sus soluciones.
Solución:
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1. Como cos x = ± 1 − sin 2 x se tiene:
± 1 − sin 2 x = 1 + sin x /() 2
1 − sin 2 x = 1 + 2 sin x + sin 2 x
2 sin 2 x + 2 sin x = 0
2 sin x(sin x + 1) = 0
U de Talca
JCS/CdP
de donde sin x = 0 o sin x = −1. Si sin x = 0 se tiene x = 0 o x = π. Si sin x = −1 se tiene
x = 3π
2 .
Como en la resolución de esta ecuación trigonométrica se elevó al cuadrado, es posible que
se hayan introducido soluciones “extrañas”. Para evitarlas debemos chequear cada una de
las soluciones encontradas:
verificación de x = 0.
Luego, x = 0 es solución.
Verificación de x = π.
Luego, x = π no es solución.
Verificación de x = 3π
2
cos 0 = 1 + sin 0
1 = 1 + 0
1 = 1
cos π = 1 + sin π
−1 = 1 + 0
−1 = 1
cos 3π
2
= 1 + sin 3π
2
0 = 1 + (−1)
0 = 0
Luego, x = 3π
2 es solución. Por lo tanto, las soluciones principales son:
x = 0, x = 3π
2 .
2. De las soluciones principales, se tiene que todas las soluciones de la ecuación propuesta son:
x = 2nπ, x = 3π
2
+ 2nπ con n ∈ Z.
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6. FT definidas para números reales
Sea x un número real, entonces se define
sin(x) = sin(x rad), cos(x) = cos(x rad), tan(x) = tan(x rad), etc.
De esta manera se tienen todas las FT definidas como funciones de D ⊂ R en R.
Ejercicio. Determinar, usando la RMD, el dominio de cada una de las FT.
U de Talca
JCS/CdP
Nota: Una función f es periódica si existe un real positivo p tal que f(x + p) = f(x), para todo
x en Dom(f). El número real p más pequeño, si existe, se llama periodo de f.
7. Propiedades de algunas funciones trigonométricas
A continuación se revisan con más detalle, 3 de las 6 funciones trigonométricas:
7.1. La función seno
sen : R −→ R
x ↦−→ sen x
Su dominio es R, y su recorrido es [−1, 1]. Su gráfica (parcial) es
Gráfico de y = sin x
Principales propiedades y características de la función seno
Intersecciones con los ejes coordenados:
No es inyectiva ni sobreyectiva.
Eje X: los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.
Eje Y : el punto (0, 0)
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La función seno es impar, es decir, sin(−x) = − sin(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos
− π π
,
2 2
,
3π 5π
, , etc.
2 2
Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos
− 3π
, −π
2 2
,
π 3π
, , etc.
2 2
U de Talca
JCS/CdP
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor número real
que cumple:
sin(x + 2π) = sin x para todo x ∈ R
En general: sen (x + 2kπ) = sen x, k ∈ Z.
7.2. La función coseno
cos : R −→ R
x ↦−→ cos x
Su dominio es R y su recorrido es [−1, 1]. Su gráfica (parcial) es
Gráfico de y = cos x
Principales propiedades y características de la función coseno
Intersecciones con los ejes coordenados:
No es inyectiva ni sobreyectiva.
Eje X: Los puntos de abscisa 0, ± π 3π , ± , etc.
2 2
Eje Y : el punto (0, 1)
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La función coseno es par, es decir, cos(−x) = cos(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos ] − π, 0[ , ]π, 2π[, etc.
U de Talca
JCS/CdP
Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos ] − 2π, −π[ , ]0, π[, etc.
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor número real
que cumple:
cos(x + 2π) = sin x para todo x ∈ R
En general: cos (x + 2kπ) = cos x, k ∈ Z.
7.3. La función tangente
tan : D −→ R
x ↦−→ tan(x)
Su dominio es D = R \ { π + kπ, k Z}, y su recorrido es R. Su gráfica (parcial) es
2
Gráfico de y = tan x
Principales propiedades y características de la función tangente
Intersecciones con los ejes coordenados:
No es inyectiva.
Es sobreyectiva.
Eje X: Los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.
Eje Y : El punto (0, 0).
La función tangente es impar, es decir, tan(−x) = − tan(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos − 3π
2
, − π
2
, − π
2
π , , etc. 2
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Intervalo(s) de decrecimiento: En ningún intervalo es decreciente.
U de Talca
JCS/CdP
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo π, ya que π es el menor número real
que cumple:
tan(x + π) = tan x para todo x ∈ D
En general: tan (x + kπ) = tan x, k ∈ Z.
8. Gráficas de funciones asociadas a las funciones seno y
coseno
Recordar que las funciones asociadas a y = sin x e y = cos x son:
y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C)
La idea es obtener, a partir de los gráficos conocidos de las funciones y = sin x e y = cos x, los
gráficos de sus funciones asociadas.
1. Gráficos de y = A sin x e y = A cos x.
Los gráficos de estas funciones se obtienen simplemente por un estiramiento vertical (cuando
|A| > 1) o una contracción vertical (cuando |A| < 1) de las gráficas básicas. Recordar
que cuando A < 0, se debe hacer una reflexión en torno al eje de las X.
En este caso, el periodo de las funciones relacionadas se mantiene (2π) y su recorrido es
amplificado por |A|. Este factor representa la máxima desviación de la gráfica respecto al
eje X y recibe el nombre de amplitud.
2. Gráficos de y = A sin Bx e y = A cos Bx, con B > 0. (∗)
La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es 2π
B .
Cuando 0 < B < 1, la curva básica se estira horizontalmente y cuando B > 1 se contrae
horizontalmente.
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Relación entre los gráficos de y = 3 sin(x) e y = 3 sin(2x)
3. Gráficos de y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C), con B > 0.
Notas:
La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es 2π
B .
U de Talca
JCS/CdP
Estas curvas tienen una traslación horizontal, con respecto a (∗) (llamada cambio de fase)
igual a:
C
C
B
unidades hacia la derecha cuando < 0.
B
C
B
unidades hacia la izquierda cuando C
B
> 0.
Relación entre los gráficos de y = 3 sin(2x) e y = 3 sin(2x + 2)
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U de Talca
JCS/CdP
1. En general, para obtener el gráfico de y = A sin(Bx + C), a partir del gráfico de y = sin x,
se procede de la siguiente manera:
Del gráfico de y = sin x se obtiene, por cambio de amplitud, el gráfico de
y = A sin x
Del gráfico de y = A sin x se obtiene, por cambio de período, el gráfico de
y = A sin(Bx)
Del gráfico de y = A sin(Bx) se obtiene, por cambio de fase, el gráfico de
y = A sin(Bx + C) = A sin(B(x + C/A))
2. Del mismo modo se procede para obtener el gráfico de y = A cos(Bx + C), a partir del
gráfico de y = cos x.
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Ejemplo: Para obtener el gráfico de y = 3 cos(2x − π), se procede de la siguiente manera:
Paso 1: Graficar y = cos x:
Gráfico de y = cos x
U de Talca
JCS/CdP
Paso 2: Graficar y = 3 cos x. Para ello, se cambia la amplitud de la función anterior. La amplitud
de y = 3 cos x es igual a 3.
Gráfico de y = 3 cos x
Paso 3: Graficar y = 3 cos(2x). Para ello, se modifica el período de la función anterior. El
período de y = 3 cos(2x) es igual a 2π = π).
B
Gráfico de y = 3 cos(2x)
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U de Talca
JCS/CdP
Paso 4: Graficar y = 3 cos(2x − pi). Para ello, se aplica el cambio de fase a la función anterior.
= π/2.
El cambio de fase es igual a C
B
Gráfico de y = 3 cos(2x − π)
9. Funciones trigonométricas inversas.
9.1. Definiciones
Si x = sin y entonces y = arcsin x es la relación inversa. En general:
1. sin y1 = x1, (−1 x1 1) =⇒ arcsin x1 = (−1) n y1 + nπ, n ∈ Z.
2. cos y1 = x1, (−1 x1 1) =⇒ arc cos x1 = (−1) n y1 + 2nπ, n ∈ Z.
3. tan y1 = x1, (x1 ∈ R) =⇒ arctan x1 = y1 + nπ, n ∈ Z.
Con el fin de que las relaciones trigonométricas inversas sean funciones se restringen los dominios
del siguiente modo:
es decir,
sin : [− π π , ] 2 2
cos : [0, π]
−→
−→
[−1, 1].
[−1, 1].
tan : ] − π π , [ 2 2 −→ R.
− π
2
− π
2
arcsin x π
2 .
0 arc cos x π.
< arctan x < π
2 .
Por lo tanto, las funciones trigonométricas inversas están definidas por:
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arcsin : [−1, 1] −→ [− π π , 2 2 ]
x −→ y = arcsin x
arc cos : [−1, 1] −→ [0, π]
x −→ y = arc cos x
arctan : R −→ ] − π π , 2 2 [
x −→ y = arctan x
y=arcsin x y=arccos x y=arctan x
9.2. Propiedades
y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x
y = arc cos x ⇐⇒ cos y = x
y = arctan x ⇐⇒ tan y = x
sin(arcsin(x)) = x, para −1 x 1.
arcsin(sin(x)) = x, para −π/2 x π/2.
cos(arc cos(x)) = x, para −1 x 1.
arc cos(cos(x)) = x, para 0 x π.
tan(arctan(x)) = x, para x en R
arctan(tan(x)) = x, para −π/2 < x < π/2.
U de Talca
JCS/CdP
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