Movimiento relativo de rotación.

Descripción del movimiento en sistemas de referencia
en rotación
OBJETIVOS
• Introducir el concepto de operador derivada en base móvil.
• Obtener las ecuaciones de transformación de las ecuaciones del movimiento
entre dos sistemas con movimiento relativo de rotación.
DESARROLLO
Operador derivada en base móvil
Suponer un sistema de referencia M que se mueve respecto de otro sistema F
con un movimiento general de rotación y translación.
Respecto del sistema F, los vectores de la base del sistema M (i ′ , j ′ y k ′ ) se
mueven y cambian con el tiempo.
Si calculamos respecto del sistema F la derivada de un vector expresado en la
base M tendremos que tener en cuenta este hecho.
dr ′
dt
F
= d
dt (x′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ )
= dx′
dt i ′ + dy′
= dr ′
dt
M
dt j ′ + dz′
′
′ di
+ x
dt
dt k ′ ′
′ di
+ x
dt
′ dj
+ y′
dt + z′ dk ′
dt
′ dj
+ y′
dt + z′ dk ′
dt
Se puede ver que si el sistema M está rotando con velocidad angular ω respecto
de F, las derivadas de los vectores de la base se pueden expresar por:
di ′
dt = ω ×i ′ dj ′
dt = ω × j ′ d k ′
dt = ω × k ′

y nos queda para la derivada de r ′ respecto de la base F:
dr ′
dt
F
= dr ′
= dr ′
dt
dt
M
M
+ ω × (x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ )
+ ω × r ′
Esta expresión se puede entender como un operador vectorial (aplicado en este
caso al vector r ′ ) que nos relaciona la derivada de un vector respecto de F con
su derivada respecto de M.
d
dt
F
= d
dt
M
+ ω×
Relación entre la velocidad medida en F y M
• M realiza una rotación de velocidad
angular ω respecto de F.
• Llamamos r y r ′ a la posición de
una partícula vista desde F y M respectivamente.
• RM es la posición del sistema M respecto
de F
• Se cumple la identidad vectorial:
r = r ′ + RM.
Puedo obtener la relación entre v y v ′ aplicando el operador vectorial:
Tenemos por lo tanto:
v = dr
dt
F
= d RM
dt
= VM +
F
z
+ dr ′
dr ′
dt
k
y
j
dt
M
F
F
r
i
R M
+ ω × r ′
= VM + v ′ + ω × r ′
v = VM + v ′ + ω × r ′
y’
r’
z’
j’
k’
i’
M
x
x’

Relación entre la aceleración medida en F y M
Puedo obtener la relación entre a y a ′ derivando ahora la expresión anterior para
la velocidad:
a = dv
dt
F
= d
dt ( VM + v ′ + ω × r ′ )
= aM +
dv ′
dt
F
F
+ dω
dt × r ′ + ω ×
Aplicando el operador derivada en base móvil a las derivadas de r ′ y v ′ y definiendo
α = dω/dt (aceleración angular de M) nos queda:
dr ′
dt
a = aM + a ′ + 2 ω × v ′ + α × r ′ + ω × (ω × r ′ )
En el caso de que ω sea constante y tomando origen común para los sistemas F
y M nos queda:
a = a ′ + 2 ω × v ′ + ω × (ω × r)
El término 2 ω × v ′ recibe el nombre de ACELERACIÓN DE CORIOLIS.
El término ω × (ω × r) recibe el nombre de ACELERACIÓN CENTRIPETA.
F