´Algebra tensorial y diferencial

Álgebra tensorial y diferencial
Giuseppe i Piero
20-2-2005

Índice General
1 Álgebra Lineal Tensorial 5
1.1 Definiciones. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Álgebra exterior n-ésima de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Producto exterior y contracción interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Álgebra tensorial simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Módulo de diferenciales. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9 Diferencial, contracción por un campo, derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Cálculo valorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial 37
2.1 Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Derivaciones. Módulo de diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Variedades diferenciables. Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Anillo de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Localización en el álgebra tensorial diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Integración. Fórmula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 Apéndice 1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Apéndice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . 56
2.11 Apéndice 3. Inmersión de variedades compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Aplicaciones de la teoría 63
3.1 Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Máximos y mínimos bajo condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Longitudes, áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Ejemplos en Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3

4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Álgebra Lineal Tensorial
Estas notas son provisionales. El capítulo 2 todavía no es lógicamente consistente (y
puede contener erratas).
El cálculo diferencial tensorial es una de las teorías más hermosas que aparecen en toda la Matemática.
En ella conviven en perfecta armonía el Álgebra, el Análisis, la Geometría Diferencial y La
Física.
El ochenta por ciento de lo que aquí se dice debiera constituir los conocimientos básicos (¡junto
con otros!) de todo matemático. Alguna vez he caído en la tentación de detenerme en ciertas
cuestiones algebraicas que me preocupaban y que al lector quizás no le interesen tanto. El que
escribe es de formación algebraica y aunque pueda parecer lo contrario ha renunciado muchas veces
a una profundización mayor (y compresión más clara) de los conceptos desarrollados. Por ejemplo,
no he escrito las propiedades universales del álgebra exterior y simétrica de un espacio vectorial y
no sé si perdonármelo. En los nuevos planes de estudios que se están perfilando no aparecen las
palabras: producto tensorial, tensores, formas diferenciales, etc. Este hecho por sí solo califica a toda
la comunidad matemática española.
1.1 Definiciones. Construcciones
1. Comentario: El punto de partida de las Matemáticas son los números naturales, a partir de
ellos vamos definiendo y construyendo toda la Matemática, “Dios nos dio los números naturales, el
resto de las Matemáticas la hicimos los hombres” (creo que dijo Kronecker). La piedra clave de las
definiciones y construcciones es la palabra “sea”, y a los matemáticos nos parece bien (¡como en el
Génesis!). Demos algunos ejemplos.
1. Los matemáticos sabemos sustituir con todo rigor la palabra equivalente por la palabra igual,
sabemos identificar una cosa con sus equivalentes. En efecto, consideremos una relación de equivalencia
en un conjunto X. Un punto de X y todos sus equivalentes, los podemos identificar, hacerlos
todos una misma cosa, diciendo simplemente: “Sea el subconjunto de X formado por un punto x y
todos sus equivalentes. Denotemos este subconjunto por ¯x. Del mismo modo dado un punto y ∈ X y
todos sus equivalentes, sea el subconjunto de X formado por y y todos sus equivalentes y denotemos
este subconjunto ¯y. Ahora tendremos que x es equivalente a y si y sólo si ¯x es igual a ¯y. Llamemos
¯X el conjunto que se obtiene al identificar en X cada elemento con sus equivalentes, es decir,
¯X := {¯x, x ∈ X, donde ¯x = ¯x ′ si y sólo si x es equivalente a x ′ }
5

6 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
Misión cumplida”.
1.1 Si establecemos en Z la relación de equivalencia n ≡ m si y sólo si n − m es múltiplo de 5,
tendremos que ¯n = ¯m si y sólo n − m es múltiplo de 5. Si identificamos en Z cada entero con sus
equivalentes, tenemos sólo cinco elementos distintos, es decir, ¯ Z = {¯0, ¯1 . . . , ¯4}.
1.2 Sea A un anillo. Dado un ideal I ⊂ A, establezcamos la siguiente relación de equivalencia:
a ∈ A es equivalente a a ′ ∈ A si y sólo si a − a ′ ∈ I, es decir, si y sólo si existe algún i ∈ I de modo
que a = a ′ + i. En este caso, Ā := {ā, a ∈ A, de modo que ā = ā′ si y sólo si a − a ′ ∈ I} se denota
A/I. Resulta que A/I tiene una estructura natural de anillo, definiendo la suma y el producto como
sigue
ā + ¯ b := a + b ā · ¯ b := a · b
el elemento neutro para la suma es ¯0 y para el producto ¯1.
2. Dado el anillo de números naturales N, definamos o construyamos el anillo de los número
enteros Z. Para ello, en Matemáticas, no podremos hablar de grados bajo cero ni de deudas como
se hace con los niños pequeños. Antes de empezar a construir Z, cualquiera que sea su construcción
o definición, sabríamos decir si n − m es igual a n ′ − m ′ (para n, m, n ′ , m ′ ∈ N), sabríamos sumar,
multiplicar etc. Basta con saber esto, es decir, en saber cómo se comporta Z, para que un matemático
sepa ya definirlos, gracias a la palabra sea: “Sea Z el conjunto de parejas de números naturales
(n, m), que preferimos denotar n − m, donde diremos que n − m es igual a n ′ − m ′ si n + m ′ = m + n ′
(observemos que con esta definición n−m = n−m, que si n−m = n ′ −m ′ entonces n ′ −m ′ = n−m,
y que si n − m = n ′ − m ′ y n ′ − m ′ = n ′′ − m ′′ entonces n − m = n ′′ − m ′′ ). Definido queda Z, ¿cómo
definimos la suma? (n − m) + (n ′ − m ′ ) := (n + n ′ ) − (m + m ′ ). Defina el lector el producto”. Más
ejemplos.
3. Hemos definido ya el anillo de los números enteros Z, definamos el cuerpo de los números
racionales Q. En Matemáticas no podemos hablar de pasteles y porciones de pasteles, como a los niños.
Pero antes de empezar a construir Q, sabríamos decir cuándo n
n′
m es igual a m ′ (n, m, n ′ , m ′ ∈ Z) y
sabemos sumar número racionales y multiplicarlos. No necesitamos nada más, salvo la palabra “sea”:
, donde diremos
Sea Q el conjunto de parejas de números enteros (n, m), que preferimos denotar n
m
que n
n′
m es igual a m ′ si existen r, r ′ = 0 tales que rn
rm y r′ n ′
r ′ m ′ tienen el mismo numerador y denominador
(observemos que n n
n n′
m = m , que si m = m ′ entonces n′
m ′ = n
m
n n′′
m = m ′′ ). Definido queda Q ¿cómo definimos la suma? n n′
m +
n
, y que si m
m ′ := m′ n+mn ′
mm ′
= n′
m ′ y n′
m ′ = n′′
m ′′ entonces
. Defina el lector el
producto. Más ejemplos.
3.1 Sea A un anillo y S ⊂ A, un subconjunto que cumpla 1 ∈ S y si s, s ′ ∈ S entonces s · s ′ ∈ S.
Queremos definir el anillo (que denotaremos por AS) formado por las fracciones a/s, a ∈ A, s ∈ S.
Obviamente, queremos que se cumpla que a ta
s = ts , para todo t ∈ S. No hay mayor problema, digamos
que son equivalentes y a los equivalentes hagámoslos iguales:
AS := { a
a a′
, con a ∈ A y s ∈ S | =
s s s ′ si existen t, t′ ∈ S tales que las fracciones
ta
ts y t′ a ′
t ′ s ′ tienen el mismo numerador y denominador }
¿Cómo definimos la suma? a
s
+ b
t
:= at+bs
st
¿Y el producto? a
s
· b
t
:= ab
st .
4. Hemos definido Q, definamos ahora R. Aquí a los niños se les habla de los números reales
de un modo muy aproximado a lo que hacemos en Matemáticas (la construcción de número real en
Matemáticas es la objetivación formal de la experiencia física de aproximación (interminable)). Se
les dice algo así como: Vamos a ver cuánto mide media circunferencia. Mido y veo que es casi

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 7
3, pero si preciso más es 3, 1, si preciso más es 3, 14 y así sucesivamente nos va saliendo que mide
3, 141592... con infinitas cifras infinitesimales. Así, nos decían que los números reales son los
números con infinitas cifras decimales (después nos decían que 0, 999999999.... era el mismo número
que 1 ¡Identificábamos dos números equivalentes!). La construcción que damos en Matemáticas de los
números reales es esencialmente la misma que la que damos para completar cualquier espacio métrico
(como la construcción de Q a partir de Z, es la misma esencialmente que la que damos para construir
AS a partir de A y S). Tenemos claro cuando una sucesión de números racionales se aproximan a
algo 1 , es decir, definimos primero qué es una sucesión de Cauchy. Tenemos claro también, cuándo
dos aproximaciones son iguales o equivalentes (cuando la diferencia de las dos sucesiones de Cauchy
se aproximen a 0). Así pues, dar un número real equivale a dar las aproximaciones a él, siempre que
identifiquemos estas aproximaciones. Nos basta con esto para definir R, salvo la palabra sea: “Sea
R el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy, donde diremos que dos sucesiones de Cauchy son
iguales si son equivalentes”. Definido queda R.
1.2 Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual
“Un espacio vectorial es un conjunto en el que podemos sumar sus elementos y multiplicar cada
elemento por un escalar, y estas operaciones cumplen propiedades muy naturales”.
Sea k un cuerpo (ejemplos: k = Q, R ó C).
1. Definición : Un k-espacio vectorial es un conjunto, E, dotado de dos operaciones, una llamada
suma E × E → E y se escribe (e, e ′ ) ↦→ e + e ′ , y otra llamada producto por escalares k × E → E y se
escribe (λ, e) ↦→ λ · e, verificando:
1. (E, +) es un grupo abeliano, es decir,
(a) e + (e ′ + e ′′ ) = (e + e ′ ) + e ′′ , para todo e, e ′ , e ′′ ∈ E.
(b) Existe un elemento que denotamos por 0 tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E.
(c) Para cada e ∈ E existe otro elemento que denotamos −e tal que e + (−e) = 0.
(d) e + e ′ = e ′ + e, para todo e, e ′ ∈ E.
2. λ · (e + v) = λ · e + λ · v, ∀λ ∈ k, e, v ∈ E
3. (λ + µ) · e = λ · e + µ · e ∀λ, µ ∈ k, e ∈ E
4. (λ · µ) · e = λ · (µ · e), ∀λ, µ ∈ k, e ∈ E
5. 1 · e = e, ∀e ∈ E.
Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores y los de k escalares. Si k es un anillo
y no un cuerpo (ejemplo: k = Z) se dice que E es un k-módulo.
k n , con la suma (λi)+(µi) := (λi +µi) y el producto por escalares λ·(λi) := (λ·λi) es un k-espacio
vectorial. R 3 que es el espacio en el que pensamos que vivimos es un ejemplo de R-espacio vectorial.
Sea X un conjunto y C(X) = Aplic(X, k). C(X) con la suma estándar de funciones (f + g)(x) :=
f(x) + g(x) y producto estándar por escalares (λ · f)(x) := λ · f(x) es un k-espacio vectorial.
1 Aunque ese algo no sea un número racional. En realidad, lo real, real de verdad son las aproximaciones, que éstas
se aproximen a algo realmente existente es otra cuestión. Ese algo es una abstracción, sin embargo suele pensarse que
este algo es muy real y la aproximación una abstracción matemática, pero esto es otro tema...

8 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
Observemos que 0 · e = (0 + 0) · e = 0 · e + 0 · e y por tanto 0 · e = 0. Observemos que si e + e ′ = 0
sumando −e, obtenemos que e ′ = −e. Como 0 = (1 − 1) · e = e + (−1) · e, tenemos que (−1) · e = −e.
Las aplicaciones que conservan la estructura de espacio vectorial (“los morfismos de la categoría
de k-espacios vectoriales”) son las aplicaciones lineales. Con precisión: Sean E, E ′ dos k-espacios
vectoriales,
2. Definición : Una aplicación T : E → E ′ es un morfismo de k-espacios vectoriales (o aplicación
k-lineal) si
T (e + v) = T (e) + T (v) y T (λ · e) = λ · T (e)
para cualesquiera e, v ∈ E, λ ∈ k.
Es claro que la composición T1 ◦ T2 : E → G de dos aplicaciones lineales T2 : E → F , T1 : F → G,
es una aplicación lineal.
3. Definición : Una aplicación lineal T : E → E ′ es un isomorfismo si existe otra aplicación lineal
S : E ′ → E tal que T ◦ S = IdE ′, S ◦ T = IdE.
T es un isomorfismo de espacios vectoriales si y sólo si es una aplicación biyectiva (lineal).
4. Definición : Decimos que F ⊂ E es un subespacio vectorial de E si f + f ′ ∈ F y λ · f ∈ F , para
todo f, f ′ ∈ F y λ ∈ k.
F con la suma y producto por escalares es un espacio vectorial y la inclusión F ⊂ E es una
aplicación k-lineal. Si Fi son subespacios vectoriales de E entonces ∩iFi es un subespacio vectorial
de E.
Sea E un espacio vectorial y F ⊂ E un subespacio vectorial. Consideremos la relación de equivalencia
que dice que dos vectores e1, e2 ∈ E son equivalentes si y sólo si difieren en un vector de
F (los vectores de F son equivalentes a 0). Si identificamos cada vector de E con sus equivalentes,
obtenemos el conjunto que denotamos E/F , que es el siguiente
E/F := {ē | e ∈ E, de modo que ē1 = ē2 ⇐⇒ e1 − e2 ∈ F }
Observemos que ē = 0 si y sólo si e ∈ F y que ē = ¯v si y sólo si existe un vector e ′ ∈ F tal que
v = e + e ′ .
E/F es de modo natural un espacio vectorial: ē + ¯v := e + v y λ · ē := λ · e. El morfismo natural
π : E → E/F , π(e) := ē es una aplicación lineal epiyectiva.
Dada una aplicación lineal T : E → E ′ , se denomina núcleo de la aplicación lineal T , que denotamos
por Ker T , a
Ker T := T −1 (0) := {e ∈ E | T (e) = 0}
Es fácil comprobar que Ker T es un subespacio vectorial de E. T (e) = T (v) si y sólo si T (e) − T (v) =
T (e − v) = 0, es decir, e − v ∈ Ker T . Es decir, T (e) = T (v) si y sólo si existe un e ′ ∈ Ker T tal que
v = e + e ′ . Por tanto, T es inyectiva si y sólo si Ker T = 0.
La aplicación ¯ T : E/ Ker T → E ′ , ¯ T (ē) := T (e), está bien definida, pues si ē = ¯v existe un
e ′ ∈ Ker T tal que v = e + e ′ y T (v) = T (e) + T (e ′ ) = T (e) (luego ¯ T (¯v) = ¯ T (ē), como ha ser si
hablamos con sentido). Además, la aplicación ¯ T : E/ Ker T → E ′ es inyectiva: 0 = ¯ T (ē) = T (e) si y
sólo si e ∈ Ker T , es decir, si y sólo si ē = 0.
Definimos la imagen de T , que denotamos por Im T como
Im T := T (E) := {T (e) ∈ E ′ , e ∈ E}
Es fácil comprobar que Im T es un subespacio de E ′ .

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 9
Se tiene el siguiente diagrama conmutativo
E
π
E/ Ker T
T / /
E ′
OO
¯T
∼ / / Im T
?
i
_e
ē
/ /
T (e)
OO
_
/ / T ¯(ē) = T (e)
Donde la flecha horizontal inferior es isomorfismo porque es epiyectiva e inyectiva.
Si C = {ci}i∈I, con ci ∈ E. Llamamos subespacio vectorial de E generado por C al mínimo
subespacio vectorial de E que contiene a C, y lo denotamos 〈C〉. Es fácil probar que
〈C〉 = {e ∈ E | e = λ1 · c1 + · · · + λncn, ci ∈ C, λi ∈ k, n ∈ N}
Si C = {e1, . . . , er} entonces denotamos 〈e1, . . . , er〉 = 〈C〉 y se cumple que 〈e1, . . . , er〉 = {λ1 · e1 +
· · · + λrer, λi ∈ k}.
Se dice que los vectores de C son un sistema generador de E si 〈C〉 = E. Decimos que un espacio
vectorial E es finito generado si existen e1, . . . , er ∈ E de modo que 〈e1, . . . , er〉 = E. Se dice que los
vectores de C son linealmente independientes si λ1 · c1 + · · · + λn · cn = 0 si algún λi = 0, para todo n
y {c1, . . . , cn} ⊂ C. Se dice que los vectores de C forman una base de E si son un sistema generador
de E y son linealmente independientes.
Los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0. . . . , 1) forman una base de k n , denominada “base
estándar” de k n .
5. Teorema de la base: Todo espacio vectorial E = 0 contiene alguna base. Todas las bases de E
tienen el mismo número de vectores, tal número se dice que es la dimensión de E y se denota dimk E.
Demostración. Voy a suponer que E es finito generado, para no embarullar al lector con la teoría de
cardinales, lema de Zorn, etc.
Supongamos, pues, que E = 〈e1, . . . , en〉. Sea I ⊂ {1, . . . , n} un subconjunto máximo con la
condición de que los vectores {ei}i∈I sean linealmente independientes. Obviamente I = ∅, pues si
I = ∅ entonces ei = 0 para todo i y E = 0. Veamos que los vectores {ei}i∈I forman una base de
E. Tenemos que probar que 〈ei〉i∈I = E. Dado ej, 1 ≤ j ≤ n, si ej /∈ 〈ei〉i∈I entonces {ej, ei}i∈I
serían linealmente independientes, pues si λj · ej +
i λiei = 0 entonces: 1. Si λj = 0 tendremos
que ej = − λi
i λj · ei y ej ∈ 〈ei〉i∈I, contradicción. 2. Si λj = 0, entonces
i λiei = 0 y entonces
λi = 0, para todo i ∈ I, pues los vectores {ei}i∈I son linealmente independientes. En conclusión,
λj = λi = 0 para todo i, luego {ej, ei}i∈I son linealmente independientes. Ahora bien, por la
maximalidad de I, esto es contradictorio. En conclusión, ej ∈ 〈ei〉i∈I, para todo 1 ≤ j ≤ n. Por
tanto, E = 〈e1, . . . , en〉 ⊆ 〈ei〉i∈I y E = 〈ei〉i∈I.
Veamos que todas las bases tienen el mismo número de vectores. Sea n el número de vectores de
una base (hay muchas) con el mínimo número de vectores. Voy a proceder por inducción sobre n. Si
n = 1, entonces E = 〈e〉 para cierto vector no nulo e. Dados dos vectores no nulos cualesquiera e ′ 1, e ′ 2
tendremos que e ′ 1 = λ1 · e y e ′ 2 = λ2 · e, con λ1, λ2 = 0, entonces 1
λ1 · e1 + −1
λ2 · e2 = e − e = 0, luego e ′ 1
y e ′ 2 no son linealmente independientes. En conclusión, las bases de E han de estar formadas todas
por un único vector.
Supongamos que el teorema es cierto hasta n − 1 ≤ 1, veamos que es cierto para n. Sea ahora
{e1, . . . , en} y {e ′ 1, . . . , e ′ m} dos bases de E. Tenemos que e1 =
i λie ′ i , reordenando la base
{e ′ 1, . . . , e ′ m}, podemos suponer que λ1 = 0. Pruebe el lector que {ē2, . . . , ēn} y {ē ′ 2, . . . , ē ′ m} son bases
de E/〈e1〉 (le costará un poco más ver que la segunda lo es). Obviamente, el número de vectores

10 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
de una base de E/〈e1〉 con el número mínimo de vectores es menor que n. Por inducción sobre n,
tendremos que n − 1 = m − 1, luego n = m.
Si k es un anillo (y no un cuerpo) no es cierto en general que los k-módulos tengan bases. Por
ejemplo el Z-módulo Z/5Z no tiene bases, pues para todo ¯n ∈ Z/5Z, 5 · ¯n = 0. Los k-módulos que
tienen bases se denominan k-módulos libres. kn es un k-módulo libre y una base de él es la base
estándar.
Si {ei}i∈I son linealmente independientes y {ēj}j∈J es una base de E/〈ei〉i∈I entonces {ei, ej}i∈I,j∈J
es una base de E: Son linealmente independientes, pues si
i λiei +
j λjej = 0 entonces 0 =
i λiei +
j λjej =
j λjēj, luego λj = 0, para todo j, luego
i λiei = 0 y λi = 0 para todo i.
Generan, pues dado e ∈ E, tendremos que ē =
j λjēj, luego e =
j λjej + e ′ , con e ′ ∈ 〈ei〉i∈I, es
decir, e ′ =
i λiei y e =
j λjej +
i λiei.
Como consecuencias tenemos que si F es un subespacio vectorial de E entonces dim E = dim F +
dim E/F , y todo sistema de vectores linealmente independiente se puede ampliar a un sistema de
vectores que formen base.
Dado un conjunto de espacios vectoriales {Ei}i∈I, el conjunto
i∈I Ei es de modo natural un
espacio vectorial:
(ei)i∈I + (e ′ i)i∈I := (ei + e ′ i)i∈I λ · (ei)i∈I := (λ · ei)i∈I
Diremos que
i Ei es el producto directo de los espacios vectoriales Ei.
Definimos la suma directa de los espacios vectoriales Ei, que denotamos ⊕i∈IEi, como
⊕i∈IEi = {(ei)i∈I ∈
i∈I
Ei : todos los ei salvo un número finito son nulos}
{ei}i∈I es un sistema generador de E si y sólo si el morfismo
⊕i∈Ik → E, (λi)i∈I ↦→
i
λi · ei
es epiyectivo; son linealmente independientes si y sólo si es inyectivo, y son una base si y sólo si es un
isomorfismo. Por tanto, todo espacio vectorial es isomorfo a un ⊕i∈Ik, pues siempre existen bases.
Observemos que si #I < ∞ entonces ⊕i∈IEi =
i∈I Ei.
Si F, F ′ son dos subespacios vectoriales de E se denota F +F ′ como el mínimo subespacio vectorial
que contiene a F y F ′ . Es fácil probar que
F + F ′ = {f + f ′ ∈ E, f ∈ F, f ′ ∈ F ′ }
El morfismo natural F ⊕ F ′ → F + F ′ , (f, f ′ ) ↦→ f + f ′ es epiyectivo y es inyectivo si y sólo si
F ∩ F ′ = 0. Se dice que E es la suma directa de dos subespacios F, F ′ si y sólo si F ∩ F ′ = 0 y
F + F ′ = E, es decir, el morfismo F ⊕ F ′ → E, (f, f ′ ) ↦→ f + f ′ es un isomorfismo, es decir, todo
vector e ∈ E se escribe de modo único como suma de un vector f ∈ F y otro vector f ′ ∈ F ′ .
Sea Homk(E, E ′ ) el conjunto de aplicaciones lineales de E en E ′ , que es un espacio vectorial de
modo natural, con la suma y producto por escalares siguientes:
(T + T ′ )(e) := T (e) + T ′ (e) y (λ · T )(e) := λ · T (e)
Se cumple que el morfismo
Homk(E, E ′ i) → Homk(E,
i∈I
i
E ′ i), (Ti)i∈I ↦→ T, T (e) := (Ti(e))i∈I

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 11
es un isomorfismo de morfismo inverso T ↦→ (πi ◦ T )i∈I, con πi :
j E′ j → E′ i , πi((e ′ j )j∈I) := e ′ i .
Se cumple que el morfismo
Homk(Ei, E ′ ) → Homk(⊕i∈IEi, E ′ ), (Ti)i∈I ↦→ T, T ((ei)i∈I) :=
Ti(ei)
i
es isomorfismo de morfismo inverso T ↦→ (Ti)i∈I, Ti(ei) := T ((0, . . . , i ei, . . . , 0)).
Sea {ei}i∈I una base de E. Toda aplicación lineal T : E → E ′ , está determinada por los valores
T (ei), i ∈ I, pues dado e ∈ E entonces e =
i λiei y T (e) =
i λiT (ei). Recíprocamente, dados
vi ∈ E ′ , i ∈ I, la aplicación lineal S : E → E ′ definida por S(e) :=
i λivi, para e =
i λiei, cumple
que S(ei) = vi. Formalmente,
Homk(E, E ′ ) = Homk(⊕i∈Ik, E ′ ) =
Homk(k, E ′ ) =
i∈I
i∈I
E ′ , T ↦→ (T (ei))i∈I
Si {e ′ j } es una base de E′ , entonces T (ei) =
j λjie ′ j , para ciertos λij ∈ k (fijado i, todos los
λji son nulos salvo un número finito) y existe una correspondencia biunívoca entre T y las uplas de
escalares (λji) (i,j)∈I×J, “caja” de números que es denominada matriz asociada a T en las bases {ei}
y {e ′ j } de E y E′ respectivamente.
“Así pues, T , que es una transformación de un espacio en otro que supera fácilmente nuestra
capacidad de ideación geométrica, está determinada por unos cuantos escalares λij ∈ k, que pueden
ser mecánicamente tratados”.
Fijada una base {e1, . . . , en} (por sencillez digamos que n < ∞) de un espacio vectorial E, dado
un vector e =
i λiei suele escribirse de modo abreviado e = (λ1, . . . , λn) (es decir, tenemos un
isomorfismo E = kn ). Igualmente, dada una base {e ′ 1, . . . , e ′ m} de E ′ , escribiremos T (e) = e ′ =
(λ ′ 1, . . . , λ ′ m), ahora bien, T (e) = T (
i λiei) =
i λiT (ei) =
i λi( j λjie ′
j ) = j (i
λjiλi)e ′ j ,
luego λ ′
j = i λjiλi, para todo j. Ecuaciones que escribimos de modo abreviado
⎛
λ
⎜
⎝
′ ⎞ ⎛
1 λ11
⎟ ⎜
. ⎠ = ⎝ .
· · ·
⎞ ⎛ ⎞
λ1n λ1
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ · ⎝ . ⎠
λ ′ m
λm1 · · · λmn
o de modo mucho más abreviado e ′ = T (e).
Si T : E → E ′ es una aplicación lineal de matriz asociada (λji), entonces la matriz asociada a λ · T
es (λ · λji). Escribiremos
λ · (λji) = (λ · λji)
y diremos que es el producto de una matriz por un escalar.
Si T, T ′ : E → E ′ son dos aplicaciones lineales de matrices asociadas (λji) y (λ ′ ji
matriz asociada a T + T ′ es (λji + λ ′ ji ). Escribiremos
y diremos que es la suma de matrices.
(λji) + (λ ′ ji) = (λji + λ ′ ji)
λn
i
) entonces la
Sea T : E → E ′ y S : E ′ → E ′′ dos aplicaciones lineales. Sea {ei}i∈I, {e ′ j }j∈J y {e ′′
k }k∈K bases de
E, E ′ y E ′′ respectivamente. Sea (λji) y (µkj) las matrices respectivas de T y S. Calculemos la matriz
(cki) de S ◦T : (S ◦T )(ei) = S(
j λjie ′
j ) = j λjiS(e ′
j ) = j λji ·(
k
En conclusión, cki =
j µkj · λji. Seguiremos la notación,
(µkj) ◦ (λji) = (cki)
y diremos que (cki) es el producto de las matrices (µkj) y (λji).
µkje ′′
k
) =
k (
j µkj ·λji)·e ′′
k .

12 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
6. Proposición : Una aplicación lineal T : E → E ′ es inyectiva si y sólo si aplica una (o toda) base
en un sistema de vectores linealmente independientes. T es epiyectiva si y sólo si aplica una base (o
toda) en un sistema generador. T es un isomorfismo si y sólo si aplica una base (o toda) en una base.
7. Definición : El espacio vectorial formado por el conjunto de aplicaciones lineales de un k-espacio
vectorial E en k se denomina espacio vectorial dual de E y se denota E ∗ , es decir,
E ∗ := Homk(E, k)
Los vectores w ∈ E ∗ se denominan formas lineales.
8. Proposición : Si E es un espacio vectorial de dimensión finita, de base {e1, . . . , en} entonces
las formas lineales {w1, . . . , wn}, determinadas por wi(ej) = δij forman una base de E ∗ . Se dice que
{w1, . . . , wn} es la base dual de {e1, . . . , en}.
Demostración. Dada w ∈ E∗ se tiene que w = w(e1)·w1+. . .+w(en)·wn, porque ambas formas lineales
coinciden sobre los vectores ei de la base de E. Si
i λiwi = 0 entonces 0 = (
i λiwi)(ej) = λj, para
todo j. En conclusión, {w1, . . . , wn} son un sistema generador de E∗ y son linealmente independientes,
es decir, son una base.
9. Teorema de reflexividad: Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. La aplicación lineal
canónica
E → (E ∗ ) ∗ , e ↦→ ˜e, ˜e(w) := w(e)
es un isomorfismo.
Demostración. Sea {e1, . . . , en} una base de E y {w1, . . . , wn} la base dual. Es inmediato que
{˜e1, . . . , ˜en} es la base dual de {w1, . . . , wn}. La aplicación canónica aplica la base {e1, . . . , en} en la
base {˜e1, . . . , ˜en} y es un isomorfismo.
Será usual escribir E = (E ∗ ) ∗ y e = ˜e.
Dada una aplicación lineal T : E → E ′ sea T ∗ : E ′∗ → E ∗ la aplicación lineal definida por T ∗ (w ′ ) :=
w ′ ◦ T . Se dice que T ∗ es el morfismo transpuesto de T .
Si {e1, . . . , en} y {e ′ 1, . . . , e ′ m} son bases de E y E ′ y (λji) es la matriz asociada a T en estas bases,
calculemos la matriz (λ∗ ij ) de T ∗ , en las bases duales {w1, . . . , wn}, {w ′ 1, . . . , w ′ m}: T ∗ (w ′
j ) = i λ∗ijwi. Entonces,
λ ∗ ij = T ∗ (w ′ j)(ei) = w ′ j(T (ei)) = w ′ j(
λkie ′ k) = λji
que se expresa diciendo que la matriz de T ∗ es la transpuesta de la matriz de T .
1.3 Producto tensorial
Queremos definir o construir el producto tensorial de dos espacios vectoriales E, E ′ . Veamos qué
cosas queremos y cómo queremos que operen.
Quiero un “producto” que denotaré ⊗, entre los vectores de E (que escribiré en primer lugar) y
los de E ′ (en segundo lugar). Dados e ∈ E y e ′ ∈ E ′ , quiero construir e ⊗ e ′ . Quiero sumar cosas de
éstas, quiero cosas de la forma λ1(e1 ⊗ e ′ 1) + · · · + λn(en ⊗ e ′ n), con ei ∈ E y e ′ i ∈ E′ , λi ∈ k. Por
último quiero que el producto verifique las siguientes propiedades (lineales):
k

1.3. Producto tensorial 13
(e1 + e2) ⊗ e ′ = e1 ⊗ e ′ + e2 ⊗ e ′
λe ⊗ e ′ = e ⊗ λe ′ = λ(e ⊗ e ′ )
e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2) = e ⊗ e ′ 1 + e ⊗ e ′ 2
y no quiero imponer ninguna condición más (salvo las que se deriven de estas condiciones). Esto es
muy fácil, con la palabra sea.
Hablemos con todo rigor.
Sean E y E ′ dos k-espacios vectoriales. Consideremos el conjunto de las sumas formales finitas
M := {λ1(e1 ⊗ e ′ 1) + · · · + λn(en ⊗ e ′ n) | ei ∈ E, e ′ i ∈ E′ , λi ∈ k, n ∈ N}, es decir,
M := ⊕ k λ1(e1 ⊗ e
E×E ′
′ 1) + · · · + λn(en ⊗ e ′ e1×e
n) ↔ (0, . . . , 0,
′
1
en×e
λ1 , 0, . . . , 0,
′
n
λn , 0 . . . , 0)
M es un k-espacio vectorial (con la suma obvia de sumas formales y el producto obvio por escalares).
“Queremos identificar (e1 + e2) ⊗ e ′ con e1 ⊗ e ′ + e2 ⊗ e ′ ; λe ⊗ e ′ con e ⊗ λe ′ y con λ(e ⊗ e ′ ); y
e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2) con e ⊗ e ′ 1 + e ⊗ e ′ 2.”
Sea N el subespacio vectorial de M, generado por las sumas formales, (e1+e2)⊗e ′ −e1⊗e ′ −e2⊗e ′ ,
λe ⊗ e ′ − e ⊗ λe ′ , λ(e ⊗ e ′ ) − λe ⊗ e ′ , y e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2) − e ⊗ e ′ 1 − e ⊗ e ′ 2, es decir,
N :=
(e1 + e2) ⊗ e ′ − e1 ⊗ e ′ − e2 ⊗ e ′
λe ⊗ e ′ − e ⊗ λe ′ , λ(e ⊗ e ′ ) − λe ⊗ e ′
e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2) − e ⊗ e ′ 1 − e ⊗ e ′ 2
e,e1,e2∈E,e ′ ,e ′ 1 e′ 2 ∈E′ ,λ∈k
1. Definición : Llamaremos producto tensorial de E por E ′ , que denotaremos por E ⊗k E ′ , a
E ⊗k E ′ := M/N
2. Notación: Dado e ⊗ e ′ ∈ M, denotaremos e ⊗ e ′ ∈ M/N = E ⊗ E ′ por e ⊗ e ′ .
Pues bien, E ⊗ E ′ está generado por los vectores e ⊗ e ′ , variando e ∈ E y e ′ ∈ E ′ (porque los
vectores e ⊗ e ′ son una base de M y E ⊗ E ′ = M/N). Tomando clases en (∗) se tienen las igualdades
(e1 + e2) ⊗ e ′ = e1 ⊗ e ′ + e2 ⊗ e ′
λe ⊗ e ′ = e ⊗ λe ′ = λ(e ⊗ e ′ )
e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2) = e ⊗ e ′ 1 + e ⊗ e ′ (∗)
2
Calculemos las aplicaciones lineales de E ⊗ E ′ en otro espacio vectorial V . Como E ⊗ E ′ = M/N,
dar una aplicación lineal ϕ: E ⊗ E ′ → V equivale a dar una aplicación lineal φ: M → V que se
anule en N (de modo que ϕ(e ⊗ e ′ ) = φ(e ⊗ e ′ )). Ahora bien, M es un k-espacio vectorial de base
{e ⊗ e ′ }e∈E,e ′ ∈E ′, así pues, φ está determinado por φ(e ⊗ e′ ) (variando e ∈ E, e ′ ∈ E ′ ) y se anula en
N si y sólo si
φ((e1 + e2) ⊗ e ′ ) = φ(e1 ⊗ e ′ ) + φ(e2 ⊗ e ′ )
φ(λe ⊗ e ′ ) = φ(e ⊗ λe ′ ) = λφ(e ⊗ e ′ )
φ(e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2)) = φ(e ⊗ e ′ 1) + φ(e ⊗ e ′ 2)
En conclusión, dar ϕ: E ⊗k E ′ → V , equivale a definir ϕ(e ⊗ e ′ ) (para todo e ∈ E, e ′ ∈ E ′ ) de
modo que se cumpla
ϕ((e1 + e2) ⊗ e ′ ) = ϕ(e1 ⊗ e ′ ) + ϕ(e2 ⊗ e ′ )
ϕ(λe ⊗ e ′ ) = ϕ(e ⊗ λe ′ ) = λϕ(e ⊗ e ′ )
ϕ(e ⊗ (e ′ 1 + e ′ 2)) = ϕ(e ⊗ e ′ 1) + ϕ(e ⊗ e ′ 2)
(∗)

14 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
(De un modo más elegante, esta conclusión se expresa en los textos diciendo que se tiene la igualdad
Homk(E ⊗k E ′ , V ) = Bilk(E, E ′ ; V )).
Dadas dos aplicaciones lineales T : E → V , T ′ : E ′ → V ′ podemos definir el morfismo E ⊗ E ′ →
V ⊗ V ′ , e ⊗ e ′ ↦→ T (e) ⊗ T ′ (e ′ ), morfismo que lo denotaremos por T ⊗ T ′ .
3. Proposición : 1. E ⊗k E ′ = E ′ ⊗k E.
2. (E ⊕ E ′ ) ⊗k V = (E ⊗k V ) ⊕ (E ′ ⊗k V ).
3. ( ⊕ Ei) ⊗k V = ⊕(Ei ⊗ V ).
i∈I
i
4. k ⊗k E = E.
Demostración. 1. Tenemos el morfismo E ⊗E ′ → E ′ ⊗E, e⊗e ′ ↦→ e ′ ⊗e y su inverso E ′ ⊗E → E ⊗E ′ ,
e ′ ⊗ e ↦→ e ⊗ e ′ .
2. Tenemos el morfismo (E ⊕ E ′ ) ⊗ V → (E ⊗ V ) ⊕ (E ′ ⊗ V ), (e, e ′ ) ⊗ v ↦→ (e ⊗ v, e ′ ⊗ v) y el
inverso (E ⊗ V ) ⊕ (E ′ ⊗ V ) → (E ⊕ E ′ ) ⊗ V , (e ⊗ v, e ′ ⊗ v ′ ) ↦→ (e, 0) ⊗ v + (0, e ′ ) ⊗ v ′ .
3. Idem que 2.
4. Tenemos el morfismo k ⊗ E → E, λ ⊗ e ↦→ λe y el inverso E → k ⊗ E, e ↦→ 1 ⊗ e.
4. Teorema : Si E es un espacio vectorial de base {e1, . . . , en} y E ′ es un espacio vectorial de base
{e ′ 1, . . . , e ′ m} entonces E ⊗k E ′ es un espacio vectorial de base {ei ⊗ e ′ j }1≤i≤n,1≤j≤m.
Demostración. E ⊗k E ′ = 〈e ⊗ e ′ 〉e∈E,e ′ ∈E ′. Dados e ∈ E y e′ ∈ E ′ entonces e =
λiei y e ′ =
y
e ⊗ e ′ = (
λiei) ⊗ (
λje ′ j) =
i
j
i,j
λiλ ′ j · ei ⊗ e ′ j
i
λ
j
′ je′ j
Por tanto, E ⊗ E ′ = 〈ei ⊗ e ′ j 〉1≤i≤n,1≤j≤m.
Además, E ⊗ E ′ = kn ⊗ km = (k ⊗ km ) ⊕ m
· · · ⊗ (k ⊗ km ) = km ⊕ m
· · · ⊕ km = knm , luego E ⊗ E ′
es un espacio vectorial de dimensión nm, de base {ei ⊗ e ′ j }1≤i≤n,1≤j≤m (de hecho puede comprobar
el lector que esta base se aplica vía las igualdades en la base estándar de knm ).
Del mismo modo que hemos definido el producto tensorial de dos espacios vectoriales podríamos
haber definido el producto tensorial de tres espacios vectoriales, e igualmente dar una aplicación lineal
φ: E1 ⊗k E2 ⊗k E3 → V equivale a definir los φ(e1 ⊗ e2 ⊗ e3), para todo e1 ∈ E1, e2 ∈ E2, e3 ∈ E3,
de modo que sea k-lineal en cada uno de los tres factores, es decir, Homk(E1 ⊗k E2 ⊗k E3, V ) =
Multilin(E1 ×E2 ×E3, V ). Igualmente podemos definir el producto tensorial de n-espacios vectoriales.
5. Proposición : Homk(E ⊗k E ′ , E ′′ ) = Homk(E, Homk(E ′ , E ′′ )).
Demostración. Asignamos a φ ∈ Homk(E ⊗k E ′ , E ′′ ), ˜ φ ∈ Homk(E, Homk(E ′ , E ′′ )), definido por
˜φ(e) := φ(e ⊗ −), donde φ(e ⊗ −)(e ′ ) := φ(e ⊗ e ′ ). Recíprocamente, asignamos al morfismo ϕ ∈
Homk(E, Homk(E ′ , E ′′ )), ˜ϕ ∈ Homk(E ⊗k E ′ , E ′′ ), definido por ˜ϕ(e ⊗ e ′ ) := (ϕ(e))(e ′ ).
6. Proposición : (E1 ⊗k · · · ⊗k En) ⊗k (E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m) = E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m.

Demostración. Sea
1.4. Álgebra exterior n-ésima de un espacio vectorial 15
φ ∈ Homk(E1 ⊗k · · · ⊗k En, Homk(E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m, E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m))
definido por φ(e1 ⊗ · · · ⊗ en)(e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m) := e1 ⊗ · · · ⊗ en ⊗ e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m. Por la proposición anterior
tenemos el morfismo (E1 ⊗k · · · ⊗k En) ⊗k (E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m) → E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m,
definido por (e1 ⊗ · · · ⊗ en) ⊗ (e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m) ↦→ e1 ⊗ · · · ⊗ en ⊗ e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m.
El morfismo E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m → (E1 ⊗k · · · ⊗k En) ⊗k (E ′ 1 ⊗k · · · ⊗k E ′ m),
e1 ⊗ · · · ⊗ en ⊗ e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m ↦→ (e1 ⊗ · · · ⊗ en) ⊗ (e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m) es el morfismo inverso.
Hemos demostrado, además, la propiedad asociativa del producto tensorial, pues fácilmente tenemos
que
E1 ⊗k (E2 ⊗k E3) = E1 ⊗k E2 ⊗k E3 = (E1 ⊗k E2) ⊗k E3
7. Teorema : Sean Ei k-espacios vectoriales de dimensión finita. La aplicación lineal
con
E ∗ 1 ⊗k . . . ⊗k E ∗ n
φ
→ (E1 ⊗k · · · ⊗k En) ∗ = Multilink(E1 × · · · × En, k)
w1 ⊗ · · · ⊗ wn ↦→ ˜
w1 ⊗ · · · ⊗ wn
˜
w1 ⊗ · · · ⊗ wn(e1 ⊗ · · · ⊗ en) := w1(e1) · · · wn(en), es un isomorfismo lineal.
Demostración. Sea {eij}i una base de Ej y {wij}i la base dual. Por tanto, una base de E ∗ 1 ⊗k · · ·⊗k E ∗ n
es {wi11 ⊗ · · · ⊗ winn}i1,...,in , que resulta ser vía φ la base dual de la base {ei11 ⊗ · · · ⊗ einn}i1,...,in de
E1 ⊗k · · · ⊗k En.
8. Notación: Por abuso de notación suele denotarse w1 ⊗ · ˜·
· ⊗ wn por w1⊗· · ·⊗wn. Recíprocamente,
w1 ⊗ · · · ⊗ wn suele pensarse como la aplicación multilineal w1 ⊗ · ˜·
· ⊗ wn.
Otra fórmula importante es:
9. Proposición : Sea E ′ un k-espacio vectorial de dimensión finita. Entonces
E ′∗ ⊗k E = Homk(E ′ , E)
Demostración. Si E ′ = k es obvio. En general, E ′ = k n . Como Homk(−, E) y − ⊗k E conmutan con
sumas directas finitas, hemos concluido.
Explícitamente, el morfismo E ′∗ ⊗k E → Homk(E ′ , E), w⊗e ↦→ ˜
es un isomorfismo canónico.
w ⊗ e, donde ˜
1.4 Álgebra exterior n-ésima de un espacio vectorial
w ⊗ e(e ′ ) := w(e ′ )·e,
“Queremos definir ahora un producto ∧, con las propiedades multilineales de ⊗ y de modo que
v1 ∧ · · · ∧ vr sea cero si y sólo v1, . . . , vn ∈ E no son linealmente dependientes. Basta imponer sólo
que v1 ∧ . . . ∧ vr es nulo si dos de los vi son iguales”.
n
Sea V el k-subespacio vectorial de E ⊗k · · · ⊗k E, generado por los vectores
variando ei, e, j, k.
e1 ⊗ · · · ⊗ ej−1 ⊗ e ⊗ · · · ⊗ ek−1 ⊗ e ⊗ · · · ⊗ en

16 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
1. Definición : Llamaremos álgebra exterior n de E, que denotaremos por Λ n E, a
Λ n E := (E ⊗k
2. Notación: Denotaremos e1 ⊗ e2 ⊗ · · · ⊗ en ∈ (E ⊗k
n
· · · ⊗k E)/V
n
· · · ⊗k E)/V = Λ n E por e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en.
Observemos que ∧ además de las propiedades de multilinealidad heredadas de ⊗, cumple que
e1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ en = 0. Si ei es combinación lineal de los {ej}j=i, entonces e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧
ei ∧ · · · ∧ en = 0: ei =
λjej, luego
j=i
e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en = e1 ∧ · · · ∧ ei−1 ∧ (
λjej) ∧ ei+1 ∧ · · · ∧ en
j=i
=
λje1 ∧ · · · ∧ ei−1 ∧ ej ∧ ei+1 ∧ · · · ∧ en = 0
j=i
Como 0 = e1 ∧ · · · ∧ (e + e ′ ) ∧ · · · ∧ (e + e ′ ) ∧ · · · ∧ en = e1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ (e + e ′ ) ∧ · · · ∧ en + e1 ∧ · · · ∧ e ′ ∧
· · ·∧(e+e ′ )∧· · ·∧en = e1 ∧· · ·∧e∧· · ·∧e∧· · ·∧en +e1 ∧· · ·∧e∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧en +e1 ∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧
e∧· · ·∧en +e1 ∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧en = e1 ∧· · ·∧e∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧en +e1 ∧· · ·∧e ′ ∧· · ·∧e∧· · ·∧en
obtenemos que
e1 ∧ · · · ∧ e j ∧ · · · ∧ e k
′ ′
∧ · · · ∧ en = −e1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ ek ∧ · · · ∧ en
j
Recordemos que toda permutación es producto de transposiciones y que el signo de la permutación
es igual a −1 elevado al número de las transposiciones. Por tanto, dada una permutación σ, de
{1, . . . , n}, tenemos que
3. Como Λ n E = (E ⊗ n
e σ(1) ∧ e σ(2) ∧ · · · ∧ e σ(n) = signo(σ) · e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en
· · · ⊗ E)/V , dar un morfismo lineal φ: ΛnE → F equivale a dar un morfismo
E⊗ n
· · ·⊗E → F , que se anule en V , es decir, equivale a definir φ(e1∧· · ·∧en) (para todo e1, . . . , en ∈ E)
que sea k-lineal en cada factor y de modo que φ(e1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ en) = 0.
Dada una aplicación lineal T : E → E ′ induce el morfismo Λ n T : Λ n E → Λ n E ′ , definido por
Λ n T (e1 ∧ · · · ∧ en) := T (e1) ∧ · · · ∧ T (en).
4. Notación: Diremos que Λ 0 E = k y que Λ 1 E = E.
5. Teorema: Sea E un espacio vectorial de base {e1, . . . , en}. Entonces {ei1∧· · ·∧eir }1≤i1

1.4. Álgebra exterior n-ésima de un espacio vectorial 17
Sea {wi} la base dual de {ei}. Consideremos la aplicación lineal
Se cumple que 0 = w(
w : Λ r E → k, v1 ∧ · · · ∧ vr ↦→
σ
signo(σ) · w1(v σ(1)) · · · wr(v σ(r))
λi1,i2,··· ,ir
1≤i1

18 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
Demostración. Sea {ei} una base. Entonces
det(aij)e1 ∧ · · · ∧ en = (
a1jej) ∧ · · · ∧ (
anjej) =
j
j
k
a1kek ∧ (
a2jej) ∧ · · · ∧ (
= a11e1 ∧ (
a2jej) ∧ · · · ∧ (
anjej) + · · · + a1nen ∧ (
a2jej) ∧ · · · ∧ (
j=1
j=1
j=n
= a11A1 1 · e1 ∧ · · · ∧ en + · · · + a1nAn 1 · en ∧ e1 ∧ · · · ∧ en−1
= (
(−1)
j
ja1jA j
1 ) · e1 ∧ · · · ∧ en
y hemos concluido.
j
anjej)
j
anjej)
j=n
Sea T : E → E un isomorfismo lineal y sea A = (aij) la matriz de T en una base {ej} de E.
bijej, luego
Calculemos la matriz B = (bij) de T −1 : T −1 (ei) =
T −1 (ei) ∧ e1 ∧ · · · ∧ êj ∧ · · · ∧ en = bijej ∧ e1 ∧ · · · ∧ êj ∧ · · · ∧ en = (−1) j bije1 ∧ · · · ∧ en
Aplicando Λ n T , obtenemos
ei ∧ T (e1) ∧ · · · ∧ êj ∧ · · · ∧ T (en) = bij(−1) j det(T )e1 ∧ · · · ∧ en
Como ei ∧ T (e1) ∧ · · · ∧ êj ∧ · · · ∧ T (en) = A i j · (−1)i e1 ∧ · · · ∧ en, entonces
bij = (−1) i+j
j
Ai j
det(aij)
Hablemos, primero sin rigor, de orientación de un R-espacio vectorial, para ligar la intuición vaga
que tenemos de orientación con la definición matemática de orientación que daremos más adelante.
“Decimos que un espacio vectorial E de dimensión 1 (una recta) lo tenemos orientado, si sabemos
decir qué está a la derecha del cero y qué está a la izquierda del cero. Para esto es necesario y suficiente
con que tengamos un vector no nulo e ∈ E, de modo que diremos que un punto e ′ ∈ E distinto de 0,
está a la derecha de 0 si e ′ = λ · e, con λ > 0, diremos que está a la izquierda si λ < 0. Otro vector, v
define la misma orientación que e si y sólo si v = µe, con µ > 0. En conclusión, dar una orientación
en E, equivale a dar un e ∈ E (o cualquier otro λe, con λ > 0).
Sea ahora E un plano. Decimos que en el plano E estamos orientados, si siempre que tengamos
una recta (pongamos que pasa por el origen) orientada sabemos decir qué está a la derecha de la recta
o qué está a la izquierda de la recta. Así si tenemos una recta orientada r = 〈e〉 ⊂ E (donde e orienta
la recta), dado e ′ (que no yazca en la recta) sabemos decir si está a la derecha o a la izquierda de la
recta. Además, si e ′ está a la derecha de la recta, entonces los puntos de la derecha son de la forma
λe + µe ′ , con µ > 0. Así si fijamos la recta orientada r = 〈e〉 y decimos que e ′ está a la derecha de r,
definamos e ∧ e ′ que es una base de Λ 2 E, entonces v = αe + βe ′ está a la derecha de r, si y sólo si
e ∧ v = β · e ∧ e ′ con β > 0. En conclusión, dada una dos coforma c2 ∈ Λ 2 E, tenemos una orientación
en E: Dada una recta orientada r = 〈e〉 (donde e, o λe con λ > 0, orienta la recta) diremos que e ′
está a la derecha de la recta r, si e ∧ e ′ = β · c2, con β > 0. Así pues, dar una orientación en E, es dar
una c2 ∈ Λ 2 E (o cualquier otra λ · c2, con λ > 0).
Sea ahora E un R-espacio vectorial de dimensión 3. Decimos que estamos orientados en E, si
dado un plano orientado sabemos decir qué está a su derecha y qué está a su izquierda. Dar un plano
V ⊂ E orientado, es dar una dos coforma c2 ∈ Λ 2 V (o cualquier otra λc2, con λ > 0). Así si tengo,
una tres coforma c3 ∈ Λ 3 E (o cualquier otra λ · c3, con λ > 0), dado e ′ ∈ E, diré que está a la derecha

1.4. Álgebra exterior n-ésima de un espacio vectorial 19
de V si c2 ∧ e ′ = α · c3, con α > 0. Observemos, que si e ′′ = µe ′ + v, con µ > 0 y con v ∈ V , entonces
c2 ∧e ′′ = µ·c2 ∧e ′ = µλc3. En conclusión, dar una orientación en E, es dar una c3 ∈ Λ 3 E (o cualquier
otra λ · c3, con λ > 0)”.
12. Definición : Dar una orientación en un R-espacio vectorial E de dimensión n, es dar una ncoforma
no nula cn ∈ Λ n E. Decimos que dos orientaciones cn y c ′ n son iguales si cn = λ · c ′ n, con
λ > 0.
Como Λ n E R, en E sólo podemos dar dos orientaciones, “una y su opuesta”.
Dada una orientación cn ∈ Λ n E existe una única wn ∈ Λ n E ∗ , salvo un factor multiplicativo positivo,
de modo que wn(cn) ≥ 0. Equivalentemente, dada una n-forma wn, salvo un factor multiplicativo
positivo, tenemos definida una orientación.
Sea E un R-espacio vectorial de dimensión n orientado, y e1 ∧ . . . ∧ en ∈ Λ n E una n-coforma que
orienta E (o equivalentemente una n-forma wn que orienta E).
13. Definición : Diremos que una base ordenada {e ′ 1, . . . , e ′ n} está positivamente ordenada si e ′ 1 ∧
· · · ∧ e ′ n = λ · e1 ∧ · · · ∧ en, con λ > 0 (o equivalentemente si wn(e ′ 1, . . . , e ′ n) > 0).
= λijej. Entonces {e ′ 1, . . . , e ′ n} está positivamente ordenada si y sólo si
14. Proposición : Sea e ′ i
det(λij) > 0.
Demostración. e ′ 1 ∧ · · · ∧ e ′ n = det(λij) · e1 ∧ · · · ∧ en.
j
15. Definición : Una aplicación multilineal H : E × . . . × E → V es una aplicación hemisimétrica si
H(e1, · · · , en) = 0 si ei = ej, para un i = j.
Observemos que si ei es combinación lineal de los demás ej, por la multilinealidad y hemisimetría
de H, se cumple que H(e1, . . . , en) = 0. Por otra parte,
0 = H(e1, · · · , e + v, · · · , e + v, · · · , en) = H(e1, · · · , e, · · · , v, · · · , en) + H(e1, · · · , v, · · · , e, · · · , en)
Luego H(e1, · · · , e, · · · , v, · · · , en) = −H(e1, · · · , v, · · · , e, · · · , en) y en general
H(e1, · · · , · · · , en) = signo(σ) · H(e σ(1), · · · , e σ(n))
Denotemos Hemk(E × · · · × E, V ), el conjunto de aplicaciones hemisimétricas de E × · · · × E en
V .
16. Proposición : Hemk(E × m
· · · × E, k) = (Λ m E) ∗ .
Demostración. Estamos repitiendo 1.4.3. Toda aplicación hemisimétrica H : E × m
· · · × E → k, define
la aplicación ˜ H : E ⊗ m . . . ⊗ E → k, ˜ H(e1 ⊗ · · · ⊗ em) = H(e1, . . . , em), que factoriza vía ΛmE → k,
e1 ∧· · ·∧em ↦→ H(e1, . . . , em). Recíprocamente, dada una aplicación lineal, ΛmE → k, la composición
E × m
· · · × E → ΛmE → k es hemisimétrica.
17. Proposición : Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces,
Λ m E ∗ = (Λ m E) ∗
Demostración. La aplicación, Λ m E ∗ φ → (Λ m E) ∗ , ω1 ∧ · · · ∧ ωm ↦→ ˜
ω1 ∧ · · · ∧ ωm, donde
ω1 ∧ · · ˜·
∧ ωm(v1 ∧ · · · ∧ vm) :=
σ∈Sm
signo(σ) · ω1(v σ(1)) · · · ωm(v σ(m))

20 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
es un isomorfismo. Porque si e1, . . . , en es una base de E y w1, . . . , wn la base dual, entonces φ aplica
la base {wi1 ∧ · · · ∧ wim }i1

1.5. Métricas 21
Sea E un k-espacio vectorial de dimensión finita. Sea e1, . . . , en una base de E y w1, . . . , wn ∈ E ∗
la base dual. Sabemos que
Bilk(E × E, k) = E ∗ ⊗k E ∗
Una base de E ∗ ⊗k E ∗ es {wi ⊗ wj}. Así pues, dada una aplicación bilineal T2 ∈ Bilk(E × E, k),
tendremos que T2 =
λijwi ⊗ wj y
i,j
T2(e, e ′ ) =
λijwi(e) · wj(e ′ )
i,j
En particular, T2(ei, ej) = λij.
Por otra parte, E∗ ⊗ E∗ = Homk(E, E∗ ). Explícitamente, dada T2 =
λijwi ⊗ wj tenemos un
morfismo, denominado la polaridad asociada a T2 y que denotamos también T2, T2 : E → E∗ definido
por
T2(e) :=
λij · wi(e) · wj
En particular, T2(ei) =
ij
λijwj, luego la matriz de T2 es (λij). Observemos que T2(e)(e
j
′ ) = T2(e, e ′ ).
Recíprocamente, dado una aplicación lineal T2 : E → E∗ , podemos definir una aplicación bilineal
que seguimos denotando T2, T2(e, e ′ ) := T2(e)(e ′ ).
1. Definición : Se dice que T2 es no singular si det(λij) = 0, es decir, T2 : E → E ∗ es un isomorfismo.
Si T2 : E → E∗ es un isomorfismo, entonces T 2 := (T2) −1 : E∗ → E es un isomorfismo. Por tanto,
T 2 define una aplicación bilineal en E∗ (pues E = (E∗ ) ∗ ). Si la matriz de T2 es (λij) la matriz de T 2
es (λij ) := (λij) −1 . Si T2 =
ij λijwi ⊗ wj, entonces T 2 = λijei ⊗ ej. Por último observemos que si
w = T2(e) y w ′ = T2(e ′ ) entonces
T 2 (w, w ′ ) = T 2 (w)(w ′ ) = T 2 (T2(e))(T2(e ′ )) = e(T2(e ′ )) = T2(e ′ )(e) = T2(e ′ , e)
2. Definición : Se dice que T2 es una métrica simétrica si T2(e, e ′ ) = T2(e ′ , e), para todo e, e ′ ∈ E.
Si T2 es simétrica entonces λij = T2(ei, ej) = T2(ej, ei) = λji. Recíprocamente, si λij = λji, para
todo i, j, entonces T2(e, e ′ ) = T2(e ′ , e) para todo e, e ′ ∈ E. Es decir, T2 es simétrica si y sólo si la
polaridad T2 coincide con su morfismo transpuesto T ∗ 2 .
Supongamos a partir de ahora que T2 es simétrica. Se dice que e es ortogonal a e ′ (respecto de T2)
si T2(e, e ′ ) = 0. Se dice que dos subespacios E ′ , E ′′ de E son ortogonales si T2(e ′ , e ′′ ) = 0 para todo
e ′ ∈ E ′ y e ′′ ∈ E ′′ . Se dice que E es la suma ortogonal de dos subespacios E ′ y E ′′ si son ortogonales
y E es la suma directa de los dos subespacios. En este caso escribiremos E = E ′ ⊥E ′′ . Observemos
que
para todo e ′ 1, e ′ 2 ∈ E ′ y e ′′
1, e ′′
T2(e ′ 1 + e ′′
1, e ′ 2 + e ′′
2) = T2(e ′ 1, e ′ 2) + T2(e ′′
1, e ′′
2)
2 ∈ E ′′ .
Si E ′ y E ′′ son dos espacios vectoriales con sendas métricas T ′ 2 y T ′′
2 entonces podemos definir en
E = E ′ ⊕ E ′′ la métrica
Obviamente, E es la suma ortogonal de E ′ y E ′′ .
T2(e ′ + e ′′ , v ′ + v ′′ ) := T ′ 2(e ′ , v ′ ) + T ′′
2 (e ′′ , v ′′ )
i,j

22 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
3. Definición : Se denomina radical de T2, que denotaremos Rad T2, al núcleo de la polaridad T2,
es decir,
Rad T2 := {e ∈ E | T2(e, e ′ ) = 0 para todo e ′ ∈ E}
Si E ′ es cualquier subespacio suplementario de Rad T2 entonces E = Rad T2⊥E ′ . La restricción
de T2 a Rad T2 es la métrica nula. La restricción de la métrica T2 a E ′ es no singular, porque dado
e ′ ∈ E ′ si T2(e ′ , v) = 0 para todo v ∈ E ′ , entonces T2(e ′ , e) = 0 para todo e ∈ E y tendríamos que
e ′ ∈ Rad T2 y por tanto e ′ = 0. En general, si E = E ′ ⊥E ′′ entonces Rad T2 = Rad T2|E ′ ⊕ Rad T2|E ′′.
Dado un subespacio V ⊆ E diremos que V ⊥ := {e ∈ E | T2(v, e) = 0 para todo v ∈ V } es el
espacio ortogonal de V .
Dado un subespacio vectorial V ⊆ E diremos que V 0 := {w ∈ E∗ | w(v) = 0 para todo v ∈ V } es
el subespacio (de E∗ ) incidente de V . Si tomamos una base {e1, . . . , er} de V y la ampliamos a una
base {e1, . . . , en} de E y consideramos la base de E∗ dual {w1, . . . , wn} entonces {wr+1, . . . , wn} es
una base de V 0 . Por tanto, dim V 0 = dim E − dim V .
Vía el teorema de reflexividad, dado W ⊂ E∗ se tiene que W 0 = {e ∈ E | w(e) = 0 para todo
w ∈ W }. Dado V ⊆ E se tiene que
V ⊥ = {e ∈ E | 0 = T2(v, e) = T2(v)(e) para todo v ∈ V } = T2(V ) 0
“Si dado un subespacio W ⊂ E ∗ pensamos de modo inmediato en W 0 , entonces podremos decir
que la polaridad T2 aplica cada subespacio vectorial de E en su ortogonal´´
4. Proposición : Si T2 es una métrica simétrica no singular de un espacio vectorial de dimensión
finita E y V ⊆ E es un subespacio vectorial entonces dim V ⊥ = dim E −dim V . Además, (V ⊥ ) ⊥ = V .
Demostración. dim V ⊥ = dim T2(V ) 0 = dim E ∗ − dim T2(V ) = dim E − dim V .
(V ⊥ ) ⊥ = V . Si v ′ ∈ V ⊥ entonces T2(v ′ , v) = 0 para todo v ∈ V . Por tanto, V ⊆ (V ⊥ ) ⊥ . Por
otra parte, dim(V ⊥ ) ⊥ = dim E − dim V ⊥ = dim E − (dim E − dim V ) = dim V . Por dimensiones,
(V ⊥ ) ⊥ = V .
5. Definición : Se dice que una base {e1, . . . , en} de E es ortonormal si T2(ei, ej) = 0 si i = j y
T2(ei, ei) = ±1.
6. Teorema : Sea E un R-espacio vectorial de dimensión finita y T2 una métrica simétrica no
singular en E. Entonces existe una base ortonormal {e1, . . . , en} de E, luego matriz asociada a T2 en
esta base es ⎛
±1
⎜
⎝ 0
0
. ..
⎞
0
⎟
0 ⎠
0 0 ±1
Demostración. Veamos en primer lugar que si T2(e, e) = 0 para todo e ∈ E entonces T2 = 0: Sean
e, e ′ ∈ E, 0 = T2(e + e ′ , e + e ′ ) = T2(e, e) + T2(e, e ′ ) + T2(e ′ , e) + T2(e, e ′ ) = 2T2(e, e ′ ), luego T2 = 0.
Sea, pues, e ∈ E tal que T2(e, e) = 0. Sea E ′ = 〈e〉 ⊥ . Se tiene que 〈e〉 ∩ E ′ = 0, por tanto, por
dimensiones, E = 〈e〉⊥E ′ . La restricción de T2 a E ′ es no singular, pues 0 = Rad T2 = Rad T2|〈e〉 ⊕
Rad T2|E ′. Por inducción sobre la dimensión, existe una base ortonormal {e2, . . . , en} en E ′ . Si
1
consideramos e1 = √ · e tenemos que {e1, . . . , en} es una base ortonormal de E.
|T2(e,e)|
7. Definición : Se dice que E con la métrica simétrica T2 es un espacio euclídeo si T2(e, e) > 0 para
todo vector no nulo de E.

En particular, en los espacios euclídeos, T2 es no singular.
Reordenando la base, podemos suponer en el teorema anterior que
⎛
⎞
T2 ≡
1
⎜
⎝
1.5. Métricas 23
r
. ..
1
Veamos que el número r no depende de la base escogida: para todo e ∈ E ′ = 〈e1, . . . , er〉, no nulo,
se tiene que T2(e, e) > 0; del mismo modo para todo e ∈ E ′′ = 〈er+1, . . . en〉 no nulo se cumple que
T2(e, e) < 0. Supongamos que existe un subespacio vectorial V tal que para todo v ∈ V no nulo
T2(v, v) > 0. Obviamente V ∩ E ′′ = 0, luego dim V ≤ dim E − dim E ′′ = dim E ′ = r. En conclusión,
r es la dimensión máxima de los subespacios euclídeos de E.
8. Definición : Se define el módulo de un vector e como |T2(e, e)|. Supongamos que E es euclídeo,
se define el ángulo entre dos vectores no nulos e, e ′ como el número 0 ≤ α < π tal que cosα = T2(e, e ′ ).
Por ejemplo, dos vectores (no nulos) son perpendiculares si y sólo si el ángulo entre ellos es π/2.
Toda métrica en E extiende de modo natural a Λ m E: Dar una métrica T2 en E, equivale a
definir “la polaridad” T2 : E → E ∗ , T2(e)(e ′ ) := T2(e, e ′ ). La polaridad T2 define el morfismo,
Λ m T2 : Λ m E → Λ m E ∗ , e1 ∧ · · · ∧ em ↦→ T2(e1) ∧ · · · ∧ T2(em). Ahora bien, Λ m E ∗ = (Λ m E) ∗ , luego
tengo un morfismo Λ m E → (Λ m E) ∗ , luego una métrica Λ m T2 en Λ m E definida por
Λ m T2(e1 ∧ · · · ∧ em, e ′ 1 ∧ · · · ∧ e ′ m) = (T2(e1) ∧ · · · ∧ T2(em))(e ′ 1 ∧ · · · ∧ e ′ m)
=
σ∈Sm
=
σ∈Sm
−1
. ..
−1
⎟
⎠
signo(σ) · T2(e1)(e ′ σ(1) ) · · · T2(em)(e ′ σ(m) )
signo(σ) · T2(e1, e ′ σ(1) ) · · · T2(em, e ′ σ(m) )
Si T2 es una métrica simétrica en E, entonces Λ m T2 también lo es, porque (Λ m T2) ∗ = Λ m T ∗ 2 =
ΛmT2. Si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces {ei1 ∧· · ·∧eim }i1

24 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
Observemos que si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces wE = ± · w1 ∧ · · · ∧ wn y
wE(e1, . . . , en) = ±1.
Sea E un R-espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 orientado. Sea w3 ∈ Λ 3 E ∗ la única 3-forma
que sobre una base ortonormal e1, e2, e3 positivamente orientada, vale w3(e1, e2, e3) = 1. Es decir, si
w1, w2, w3 es la base dual de e1, e2, e3 entonces w3 = w1 ∧ w2 ∧ w3 (que con la métrica inducida por
la métrica de E ∗ , w3 es de módulo 1 y w3 define la orientación dada en E).
Dados dos vectores v1, v2 ∈ E, llamamos producto vectorial de v1 por v2, que denotamos por
v1 × v2, al vector determinado por
T2(v1 × v2, e) = w3(v1, v2, e)
Observemos que v1 × v2 es ortogonal a v1 y v2. El producto vectorial, ×, es multilineal hemisimétrico.
Si v1 y v2 son linealmente independientes entonces v1, v2, v1 × v2 es una base positivamente
orientada, pues 0 < λ = T2(v1 × v2, v1 × v2) = w3(v1, v2, v1 × v2). Si v1 y v2 son ortogonales, entonces
v1×v2 es el vector ortonormal a v1 y v2, de módulo el producto de los módulos de v1 y v2, de modo que
v1, v2, v1 × v2 están positivamente orientados: por la multilinealidad del producto vectorial podemos
suponer que v1 y v2 son de módulo 1. Sea v3, tal que v1, v2, v3 sea una base ortonormal positivamente
orientada. Entonces, e1 ∧ e2 ∧ e3 = v1 ∧ v2 ∧ v3 y T2(v1 × v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = w3(e1, e2, e3) = 1.
Por tanto, v1 × v2 = v3 y hemos terminado.
Observemos que si vi =
λijej, entonces T2(v1 × v2, v3) = det(λij), pues v1 ∧ v2 ∧ v3 = det(λij) ·
e1 ∧ e2 ∧ e3 y T2(v1 × v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = det(λij).
j
1.6 Producto exterior y contracción interior
Si un morfismo φ: E ⊗ E ′ → E ′′ se anula sobre los elementos e ⊗ e ′ para todo e ∈ V ⊂ E y e ′ ∈ E ′
entonces factoriza vía el morfismo ¯ φ: (E/V ) ⊗ E ′ → E ′′ , ¯ φ(ē ⊗ e ′ ) := φ(e ⊗ e ′ ).
El morfismo composición
(E ⊗ n
· · · ⊗ E) ⊗ (E ⊗ m
· · · ⊗ E) = E ⊗ n+m
· · · ⊗ E → Λ n+m E
(e1 ⊗ · · · ⊗ en) ⊗ (en+1 ⊗ · · · ⊗ en+m) ↦→ e1 ∧ · · · ∧ en+m
factoriza vía el morfismo, que llamaremos producto exterior de formas, Λ n E ⊗ Λ m E → Λ n+m E,
(e1 ∧ · · · ∧ en) ⊗ (en+1 ∧ · · · ∧ en+m) ↦→ e1 ∧ · · · ∧ en+m.
1. Proposición : El producto exterior de formas es asociativo: (Ωn ∧ Ωm) ∧ Ωr = Ωn ∧ (Ωm ∧ Ωr),
con Ωi ∈ Λ i E.
El producto exterior de formas es anticonmutativo: Ωn ∧ Ωm = (−1) n·m Ωm ∧ Ωn, para toda
Ωn ∈ Λ n E y Ωm ∈ Λ m E.
Demostración. La asociatividad es clara, en cuanto a la anticonmutatividad digamos sólo que
(e1 ∧ · · · ∧ en) ∧ (en+1 ∧ · · · ∧ en+m) = (−1) n·m (en+1 ∧ · · · ∧ en+m) ∧ (e1 ∧ · · · ∧ en)
Dado w ∈ E∗ y E ⊗ E ′ consideremos el morfismo “de contracción interior por w en el primer
factor” i1 w : E ⊗ E ′ → E ′ , i1 w(e ⊗ e ′ ) := w(e) · e ′ . Por otra parte, sea en E ⊗ n
· · · ⊗ E
îw : E ⊗ n
· · · ⊗ E → E ⊗ n−1
· · · ⊗ E, îw(e1 ⊗ · · · ⊗ en) :=
(−1) i−1 · w(ei) · e1 ⊗ · · · ⊗ êi ⊗ · · · ⊗ en
i

1.6. Producto exterior y contracción interior 25
que llamaremos contracción interior hemisimétrica, que es la suma de la contracción interior por w
en cada factor afectada de un signo.
T E := k ⊕ E ⊕ (E ⊗ E) ⊕ · · · ⊕ (E ⊗ n
· · · ⊗ E) ⊗ . . ., con la suma, +, y con el producto, ⊗, se dice
que es el álgebra tensorial asociada a E. ΛE := k ⊕ E ⊕ (Λ 2 E) ⊕ · · · ⊕ (Λ n E) ⊗ . . ., con la suma,
+, y con el producto, ∧, se dice que es el álgebra exterior asociada a E. El epimorfismo T E → ΛE,
e1 ⊗ · · · ⊗ en ↦→ e1 ∧ · · · ∧ en es un morfismo de álgebras (= de anillos).
2. Proposición : La contracción interior hemisimétrica es una antiderivación del álgebra tensorial,
es decir, dadas Tn ∈ (E ⊗ n
· · · ⊗ E) y Tm ∈ (E ⊗ m
· · · ⊗ E), entonces
îw(Tn ⊗ Tm) = (îwTn) ⊗ Tm + (−1) n Tn ⊗ (îwTm)
Demostración. Basta demostrar la proposición para Tn = e1 ⊗ · · · ⊗ en y Tm = e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m. Ahora
bien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor (afectado por un signo) es contraer
primero en los n-primeros factores más contraer después en los últimos m factores. La cuestión del
signo se la dejamos al lector.
La contracción interior hemisimétrica en el álgebra tensorial define por paso al cociente un aplicación
lineal que denominaremos “la contracción interior” en el álgebra exterior. En efecto, si vi = vj
(i < j) entonces
îw(v1 ⊗ · · · ⊗ vr) =
= (−1) i−1 w(vi) · v1 ∧ · · · ∧ ˆvi ∧ · · · ∧ vj ∧ · · · ∧ vr + (−1) j−1 w(vj) · v1 ∧ · · · ∧ vi ∧ · · · ∧ ˆvj ∧ · · · ∧ vr
= ((−1) i−1 + (−1) j−1 · (−1) j−i−1 )w(vi)v1 ∧ · · · ∧ ˆvi ∧ · · · ∧ vj ∧ · · · ∧ vr = 0
Tenemos pues el morfismo
iw : Λ r E → Λ r−1 E, iw(v1 ∧ · · · ∧ vr) := îw(v1 ⊗ · · · ⊗ vr) =
(−1) i−1 w(vi) · v1 ∧ · · · ∧ ˆvi ∧ · · · ∧ vr
3. Corolario : La contracción interior es una antiderivación del álgebra exterior, es decir, dadas
Ωn ∈ Λ n E y Ωm ∈ Λ m E, entonces
iw(Ωn ∧ Ωm) = (iwΩn) ∧ Ωm + (−1) n Ωn ∧ (iwΩm)
Las n-formas se identifican con las aplicaciones hemisimétricas de orden n. Veamos qué es la
contracción interior por un vector de una aplicación hemisimétrica: Sea e ∈ E y Ωn = w1 ∧ · · · ∧ wn ∈
ΛnE∗ = Hemk(E × n . . . × E, k) entonces
(ie1Ωn)(e2, . . . , en) = (ie(w1 ∧ · · · ∧ wn))(e2, . . . , en)
= (
(−1) i−1 wi(e1)w1 ∧ · · · ∧ ˆwi ∧ · · · ∧ wn))(e2, . . . , en)
i
1
=
i
σ∈Sn−1
i
(−1) i−1 signo(σ)w1(e σ(2)) · · · wi(e1) · · · wn(e σ(n))
2
= w1 ∧ · · · ∧ wn(e1, e2, . . . , en) = Ωn(e1, e2, . . . , en)
1
= Consideramos Sn−1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.

26 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
2
= Si definimos τi ∈ Sn, la permutación que transforma {1, . . . , n} en {2, . . . , i − 1, 1, i, . . . , n},
entonces signo(τ) = (−1) i−1
y Sn = Sn−1 ·τ1 · · · Sn−1 ·τn (porque Sn−1 ·τi son las permutaciones
que transforman el 1 en el i).
Para los ejercicios que siguen observemos que dado un subespacio vectorial V ⊆ E, tomando
duales tenemos el morfismo “de restricción” E ∗ → V ∗ , w ↦→ w |V (w |V (v) := w(v), para toda v ∈ V ),
tenemos pues morfismos Λ i E ∗ → Λ i V ∗ , w1 ∧ · · · ∧ wi ↦→ (w1 ∧ · · · ∧ wi) |V := w1|V ∧ · · · ∧ wi|V .
4. Ejercicio : Sea E un espacio euclídeo orientado de dimensión n y E ′ ⊆ E un hiperplano. Sea N
un vector normal a E ′ de módulo 1. Sea wE la forma de volumen de E.
1. Probar que iNwE restringida a E ′ es igual a la forma de volumen wE ′ de E′ que lo orienta, de
modo que si e2, . . . , en es una base positivamente orientada de E ′ entonces N, e2, . . . , en es una
base positivamente orientada de E.
2. Dado e ∈ E, (iewE) |E ′ = T2(e, N) · wE ′.
5. Ejercicio : Sea (E, T2) un espacio vectorial euclídeo y R ⊂ E un subespacio vectorial de dimensión
1. Sea r un vector de R de módulo 1 que oriente a R y sea wR la forma de “longitud” de R. Dado
e ∈ E probar que (ieT2) |R = T2(e, r) · wR.
1.7 Álgebra tensorial simétrica
“Queremos definir ahora un producto conmutativo, con las propiedades multilineales de ⊗”.
Sea V el k-subespacio vectorial de E ⊗ n
· · · ⊗ E, generado por los vectores
variando ei, j, k.
e1 ⊗ j
· · · ⊗ ej ⊗ · · · ⊗ ek ⊗ · · · ⊗ en − e1 ⊗ j
· · · ⊗ ek ⊗ · · · ⊗ ej ⊗ · · · ⊗ en
1. Definición : Llamaremos álgebra exterior n de E, que denotaremos por S n E, a
S n E := (E ⊗k
n
· · · ⊗ E)/V
n
· · · ⊗ E)/V = S n E por e1 · · · en.
2. Notación: Denotaremos e1 ⊗ · · · ⊗ en ∈ (E ⊗k
Observemos que · además de las propiedades multilineales heredadas de ⊗, cumple que
para todo σ ∈ Sn.
3. Como S n E = (E ⊗ n
e1 · · · en = e σ(1) · · · e σ(n)
· · · ⊗ E)/V , dar un morfismo lineal φ: SnE → F equivale a dar un morfismo
E ⊗ n
· · · ⊗ E → F que se anule en V , es decir, equivale a definir φ(e1 · · · en) (para todo e1, . . . , en ∈ E)
que sea k-lineal en cada factor y de modo que φ(e1 · · · en) = φ(e σ(1) · · · e σ(n)) para todo σ ∈ Sn. Es
decir,
Homk(S n E, F ) = {T ∈ Multk(E × n
· · · × E, F ) | T (e1, · · · , en) = T (e σ(1), · · · , e σ(n)), ∀σ ∈ Sn}
= Aplic. n-mult. simétricas de E en F =: Simk(E × n
· · · × E, F )
4. Teorema : Sea E un espacio de base {e1, . . . , en}. Entonces {ei1 · · · eir }1≤i1≤···≤ir≤n es una base
de S r E.

1.7. Álgebra tensorial simétrica 27
Demostración. Sabemos que {ei1 ⊗· · ·⊗eir }1≤ij≤n es una base de E⊗ r
· · ·⊗E. Por tanto, tomando clases
tenemos que {ei1 · · · eir}1≤ij≤n es un sistema generador de S r E. Como ei1 · · · eir = ei σ(1) · · · ei σ(r)
para todo σ ∈ Sr, tendremos que {ei1 · · · eir}1≤i1≤···≤ir≤n es un sistema generador de SrE.
Nos falta probar que son linealmente independientes. Sea t =
λi1,...,irei1 · · · eir = 0.
1≤i1≤···≤ir≤n
Sea {w1, . . . , wn} la base dual de {e1, . . . , en}. Dado i1 ≤ · · · ≤ ir sea J el conjunto de todas las
combinaciones con repetición de este conjunto y w = wj1 ⊗ · · · ⊗ wjr ∈ Homk(S rE, k).
Entonces,
λi1,...,ir
= w(t) = 0
{j1,...,jr}∈J
Sn opera de modo natural en E ⊗ n
· · · ⊗ E permutando los factores: dada σ ∈ Sn y e1 ⊗ · · · ⊗ en,
σ(e1 ⊗ · · · ⊗ en) := e σ(1) ⊗ · · · ⊗ e σ(n). Sea
El morfismo composición
(E ⊗ n
· · · ⊗ E) Sn := {T ∈ E ⊗ n
· · · ⊗ E | σ(T ) = T para todo σ ∈ Sn}
(E ⊗ n
· · · ⊗ E) ⊗ (E ⊗ m
· · · ⊗ E) = E ⊗ n+m
· · · ⊗ E → S n+m E
(e1 ⊗ · · · ⊗ en) ⊗ (en+1 ⊗ · · · ⊗ en+m) ↦→ e1 · · · en+m
factoriza vía el morfismo, que llamaremos producto simétrico de tensores simétricos, S n E ⊗ S m E →
S n+m E, (e1 · · · en) ⊗ (en+1 · · · en+m) ↦→ e1 · · · en+m =: (e1 · · · en) · (en+1 · · · en+m).
5. Proposición : El producto simétrico de tensores simétricos es asociativo: (Tn · Tm) · Tr = Tn ·
(Tm · Tr), con Ti ∈ S i E.
El producto simétrico de tensores simétricos es conmutativo: Tn·Tm = Tm·Tn, para toda Tn ∈ S n E
y Tm ∈ S m E.
S · E := k ⊕ E ⊕ (S 2 E) ⊕ · · · ⊕ (S n E) ⊗ . . ., con la suma, +, y con el producto, ·, se dice que es el
álgebra simétrica asociada a E. El epimorfismo T E → S · E, e1 ⊗ · · · ⊗ en ↦→ e1 · · · en es un morfismo
de álgebras (= de anillos). Denotaremos S 0 E = k y S 1 E = E.
Sea w ∈ E ∗ , llamaremos al morfismo
ĩw : E ⊗ n
· · · ⊗ E → E ⊗ n−1
· · · ⊗ E, ĩw(e1 ⊗ · · · ⊗ en) :=
w(ei) · e1 ⊗ · · · ⊗ êi ⊗ · · · ⊗ en
contracción interior simétrica, que es la suma de la contracción interior por w en cada factor.
6. Proposición : La contracción interior simétrica es una derivación del álgebra tensorial, es decir,
dadas Tn ∈ (E ⊗ n
· · · ⊗ E) y Tm ∈ (E ⊗ m
· · · ⊗ E), entonces
ĩw(Tn ⊗ Tm) = (ĩwTn) ⊗ Tm + Tn ⊗ (ĩwTm)
Demostración. Basta demostrar la proposición para Tn = e1 ⊗ · · · ⊗ en y Tm = e ′ 1 ⊗ · · · ⊗ e ′ m. Ahora
bien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor es contraer primero en los n-primeros
factores más contraer después en los últimos m factores.
i

28 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
La contracción interior simétrica en el álgebra tensorial define por paso al cociente un aplicación
lineal que denominaremos “la contracción interior” en el álgebra simétrica. En efecto, el morfismo
está bien definido.
iw : S r E → S r−1 E, iw(v1 · · · vr) :=
w(vi) · v1 · · · ˆvi · · · vr
7. Corolario : La contracción interior es una derivación del álgebra simétrica, es decir, dadas
Tn ∈ S n E y Tm ∈ S m E, entonces
iw(Tn · Tm) = (iwTn) · Tm + Tn · (iwTm)
Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. Vía el isomorfismo lineal E ⊗ n
· · ·⊗E Multk(E ∗ ×
· · · ⊗ E) Sn = Simk(E ∗ × n
· · · × E∗ , k).
n
· · · × E∗ , k), tenemos que (E ⊗ n
8. Proposición : Supongamos que la característica de k es primo con n!. El morfismo S : SnE →
E ⊗ n
· · ·⊗E, S(e1 · · · en) =
· · ·⊗E) Sn
(cuyo morfismo inverso es precisamente 1
n!
de paso a cociente).
Demostración. Es una comprobación inmediata.
i
σ∈Sn e σ(1) · · · e σ(n) establece un isomorfismo entre S n E y (E ⊗ n
· π, donde π : E ⊗ n
· · · ⊗ E → S n E es el morfismo natural
En característica cero, los tensores simétricos de orden n se identifican con las aplicaciones simétricas
de orden n. Veamos qué es la contracción interior por un vector de una aplicación simétrica: Sea
e ∈ E y Tn = w1 · · · wn ∈ SnE ∗ = Simk(E × n . . . × E, k) entonces
(ie1Tn)(e2, . . . , en) = (ie(w1 · · · wn))(e2, . . . , en)
= (
wi(e1) · w1 · · · ˆwi · · · wn)(e2, . . . , en)
i
1
=
i
σ∈Sn−1
w1(e σ(2)) · · · wi(e1) · · · wn(e σ(n))
2
= w1 · · · wn(e1, e2, . . . , en) = Tn(e1, e2, . . . , en)
1
= Consideramos Sn−1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.
2
= Si definimos τi ∈
Sn, la
permutación que transforma {1, . . . , n} en {2, . . . , i − 1, 1, i, . . . , n},
entonces Sn = Sn−1 · τ1 · · · Sn−1 · τn (porque Sn−1 · τi son las permutaciones que transforman el
1 en el i).
1.8 Módulo de diferenciales. Derivaciones
Sea k un cuerpo, A un anillo y k ↩→ A un morfismo de anillos (en este caso se dice que A es una
k-álgebra y escribiremos λ ↦→ λ). Sea E el A-módulo libre de base {db, para todo b ∈ A}, es decir,
E son las sumas formales finitas
abdb (ab ∈ A y casi todos nulos). Sea E ′ el A-submódulo de E
b∈B
generado por los elementos d(b + b ′ ) − db − db ′ , d(λb) − λdb y d(bb ′ ) − b ′ db − bdb ′ (para todo
b, b ′ ∈ A y λ ∈ k).

1.8. Módulo de diferenciales. Derivaciones 29
1. Definición : Llamaremos A-módulo de diferenciales de Kahler de A sobre k, que denotaremos
por Ω A/k, a
Ω A/k := E/E ′
2. Notación:: Denotaremos adb por adb.
Observemos que d(b + b ′ ) = db + db ′ , dλb = λdb y d(bb ′ ) = b ′ db + bdb ′ .
Dar un morfismo de A-módulos φ: Ω A/k → M, equivale a dar un morfismo de A-módulos E → M,
que se anule sobre E ′ , es decir, equivale a dar φ(db), para todo b ∈ A, de modo que φ(d(b + b ′ )) =
φ(db) + φ(db ′ ), φ(dλb)) = λφ(db) y φ(dbb ′ ) = b ′ φ(db) + bφ(db ′ ).
3. Definición : Sea A una k-álgebra y M un A-módulo. Diremos que una aplicación D : A → M es
una k-derivación si verifica las siguientes condiciones:
1. D es un morfismo de k-módulos.
2. D(ab) = bD(a) + aD(b) para todo a, b ∈ B.
Observemos que D(1) = D(1 · 1) = 1D(1) + 1D(1) = 2D(1), luego D(1) = 0. Además, dado λ ∈ k,
D(λ) = λD(1) = 0.
El conjunto de todas las k-derivaciones de A en M se denota por Derk(A, M). Si definimos
(D + D ′ )(a) := D(a) + D ′ (a) (aD)(b) := aDb
tenemos que el conjunto de todas las k-derivaciones de A en M tiene estructura de A-módulo.
4. Proposición : Sea A una k-álgebra y M un A-módulo. Se cumple que
HomA(Ω A/k, M) = Derk(A, M)
Demostración. Dado un morfismo de A-módulos T : Ω A/k → M consideremos la derivación DT : A →
M, DT (a) := T (da). Recíprocamente, dada una derivación D : A → M, consideremos el morfismo
de A-módulos TD : Ω A/k → M, TD(db) = Db. Las asignaciones D TD, T DT son inversas entre
sí.
El morfismo natural d: A → Ω A/k, a ↦→ da, es una derivación, es decir, verifica que d(a + a ′ ) =
da + da ′ , d(ab) = adb + bda. Además d se anula sobre k.
Sea A = k[x1, . . . , xn] el anillo de polinomios y M un A-módulo. Si una k-derivación
D : k[x1, . . . , xn] → M
se anula sobre los xi entonces D = 0: Por linealidad basta probar que es nula sobre los monomios x α
y para ello procedamos por inducción sobre |α| = α1 + . . . + αn. Supongamos α1 = 0, sea β, tal que
β1 = α1−1 y βi = αi, para i > 1 (luego |β| < |α|), entonces D(x α ) = D(x1·x β ) = x β ·Dx1+x1·Dx β =
0 + 0 = 0.
Dado m ∈ M, sea m ∂
∂
la derivación definida por m ∂xi ∂xi
i
∂xi
∂p(x)
(p(x)) := ·m. Dada una derivación D
∂xi
entonces D =
(Dxi) · ∂ , pues la diferencia entre los dos términos de la igualdad es una derivación
que se anula en todos los xi. Ahora ya es claro el teorema siguiente.
5. Teorema : Derk(k[x1, . . . , xn], M) = M ∂
∂x1 ⊕ · · · ⊕ M ∂
∂xn .
6. Corolario : Ω k[x1,...,xn]/k = k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn.

30 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
∂ dxi· ∂xi
∂p(x)
∂xi
i
Ωk[x1,...,xn]/k. Por otra parte, el morfismo Ωk[x1,...,xn]/k → k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn,
dp(x) ↦→ ∂p(x)
· dxi, está bien definido, lo que muestra que dx1, . . . dxn es una base.
∂xi
i
Demostración. La diferencial d: k[x1, . . . , xn] → Ωk[x1,...,xn]/k es una derivación, luego d =
i
por el teorema anterior y dp(x) =
· dxi. Por tanto, dx1, . . . dxn es un sistema generador de
Otro método de demostración estándar en Matemáticas, que esencialmente hemos seguido, dice:
de la igualdad (funtorial) para todo M, de los dos extremos de las igualdades,
Hom k[x1,...,xn](Ω k[x1,...,xn]/k, M) = Der k[x1,...,xn](k[x1, . . . , xn], M) = M ∂
⊕ · · · ⊕ M
∂x1
∂
∂xn
= Homk[x1,...,xn](k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn, M)
se deduce que Ω k[x1,...,xn]/k = k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn.
Sea mα ⊂ A un ideal maximal tal que A/mα = k como k-álgebras. Dado a ∈ A, denotemos
a(α) = ā ∈ k = A/mα. La aplicación
dα : A → mα/m 2 α, dαa := a − a(α)
es una k-derivación: Observemos que mα/m 2 α es un A-módulo, a · ¯m := am = a(α) · ¯m (porque
(a − a(α)) · m ∈ m 2 α). Ahora ya,
dα(a · b) = a · b − a(α) · b(α) = a · (b − b(α)) + b(α) · (a − a(α)) = a(α) · dαb + b(α) · dαa
Dado un A-módulo M, denotemos M(α) = M/mα · M.
7. Teorema : Ω A/k(α) = mα/m 2 α.
Demostración. El morfismo Ω A/k(α) → mα/m 2 α, adb ↦→ a(α)dαb está bien definido y el morfismo
inverso es mα/m 2 α → Ω A/k(α), ¯ b ↦→ db.
Dado α ∈ kn , el núcleo del morfismo k[x1, . . . , xn] → k, p(x1, . . . , xn) ↦→ p(α), es el ideal maximal
mα = (x1 − α1, . . . , xn − αn). El morfismo natural, Ωk[x1,...,xn]/k(α) = mα/m2 α, asigna dp ↦→ dαp =
p(x) − p(α). Como dp = ∂p
i ∂xi dxi entonces dαp =
i
∂p
(α) · dαxi.
∂xi
Si M es un A-módulo e I ⊂ A un ideal entonces Λr AM/I · ΛrA M = ΛA/I(M/I · M), pues los
morfismos m1 ∧ · · · ∧ mr ↦→ ¯m1 ∧ · · · ∧ ¯mr, ¯m1 ∧ · · · ∧ ¯mr ↦→ m1 ∧ · · · ∧ mr son inversos entre sí. Por
lo tanto,
(Λ r AΩ A/k)(α) = Λ r k mα/m 2 α
Si N es un A-módulo anulado por un ideal I, en particular es un A/I-módulo, ā · n := a · n.
Recíprocamente, si N es un A/I-módulo es en particular un A-módulo a · n := ¯·n. Si N ′ es otro A/Imódulo
entonces HomA(N, N ′ ) = Hom A/I(N, N ′ ). Si M y N son A-módulos y N es un A-módulo
anulado por un ideal I, entonces todo morfismo de A-módulos f : M → N se anula en I · M, luego
podemos definir ¯ f : M/I · M → N, ¯m ↦→ f(m) y f = ¯ f ◦ π, donde π : M → M/I · M, π(m) := ¯m.
Tenemos HomA(M, N) = HomA(M/I · M, N), f ↦→ ¯ f.
8. Teorema : Sea N un A-módulo anulado por mα (es decir, un A/mα-módulo). Entonces,
Homk(mα/m 2 α, N) = Derk(A, N)

1.9. Diferencial, contracción por un campo, derivada de Lie 31
Demostración. Homk(mα/m 2 α, N) = HomA(mα/m 2 α, N) = HomA(Ω A/k(α), N) = HomA(Ω A/k, N) =
Derk(A, N).
Explícitamente, dado f : mα/m 2 α → N tenemos f ◦ dα : A → N; dado D : A → N, tenemos
mα/m 2 α → N, dαb ↦→ Db.
1.9 Diferencial, contracción por un campo, derivada de Lie
1. Teorema: El morfismo natural d: A → Ω A/k extiende de modo único a una antiderivación de grado
1 del álgebra exterior de Ω A/k de cuadrado nulo, es decir, existen morfismos únicos di : Λ i Ω A/k →
Λ i+1 Ω A/k, de modo que d0 = d, di+1 ◦ di = 0 y
dn+m(Ωn ∧ Ωm) = (dnΩn) ∧ Ωm + (−1) n Ωn ∧ (dmΩm)
Demostración. Estamos obligados a definir d1 : Ω A/k → Λ 2 Ω A/k, adb ↦→ da ∧ db (que está bien
definida) y en general dn(w1 ∧ · · · ∧ wn) :=
(−1) i−1 · w1 ∧ · · · ∧ d1(wi) ∧ · · · wn.
Obsérvese que dn(adb1 ∧ · · · ∧ dbn) = da ∧ db1 ∧ · · · ∧ dbn, luego di+1 ◦ di = 0.
i
2. Notación: Denotaremos dn = d, si no induce a equivocación, Ωi = ΛiΩA/k, siendo Ω0 = A.
Denotaremos Ω · = ∞
⊕ Ω
i=0
i . Ω · , con el producto exterior es un álgebra “anticonmutativa”.
3. Proposición : Sea D ∈ Derk(A, A) = HomA(ΩA/k, A). Entonces DL := iD ◦ d + d ◦ iD es una
derivación de grado cero de Ω · , que sobre A es D (sobrentendemos que iD sobre A es nulo).
Demostración. Por ser iD y d antiderivaciones de grado −1 y 1 respectivamente entonces D L es una
derivación de grado cero (compruébese).
4. Proposición : D L ◦ d = d ◦ D L .
Demostración. D L ◦ d = (iD ◦ d + d ◦ iD) ◦ d = d ◦ iD ◦ d. d ◦ D L = d ◦ (iD ◦ d + d ◦ iD) = d ◦ iD ◦ d.
Por tanto, DL (adb1 ∧ · · · ∧ dbn) = Da · db1 ∧ · · · ∧ dbn +
adb1 ∧ · · · ∧ d(Dbi) ∧ · · · ∧ dbn.
i
Dadas D, D ′ ∈ Derk(A, A), definamos [D, D ′ ] := D ◦ D ′ − D ′ ◦ D que resulta ser una derivación
de A. Por otra parte, la derivación DL sobre ΩA/k induce de modo natural una derivación,
denotémosla también DL , sobre Derk(A, A) = HomA(ΩA/k, A): Dada D ′ definimos DLD como sigue,
(DLD ′ )(w) : ∗ = D(w(D ′ )) − (DLw)(D ′ ), para cada w ∈ ΩA/k. Se cumple que DLD ′ = [D, D ′ ]: basta
comprobar la igualdad para w = db,
[D, D ′ ](db) = (D ◦ D ′ − D ′ ◦ D)(b)
(D L D ′ )(db) = D(db(D ′ )) − (D L (db))(D ′ ) = D(D ′ b) − (dDb)(D ′ ) = D(D ′ b) − D ′ (Db)
De hecho, podríamos haber definido D L D ′ := [D, D ′ ], después podríamos haber definido D L w,
para toda w ∈ Ω A/k (suponiendo que Ω A/k = Derk(A, A) ∗ ) y después podríamos haber extendido
D L como antiderivación sobre el álgebra exterior de Ω A/k. Por último, nos quedaría probar que
D L = iD ◦ d + d ◦ iD.

32 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
5. Proposición : Sean D, D ′ ∈ Derk(A, A) dos derivaciones. Entonces
D L ◦ iD ′ − iD ′ ◦ DL = i [D,D ′ ]
Demostración. Por ser DL una derivación de grado cero y iD ′ una antiderivación de grado −1. entonces
DL ◦ iD ′ − iD ′ ◦ DL es una antiderivación de grado −1, que estará determinada por lo que vale
sobre ΩA/k, que es i [D,D ′ ], por ∗ =.
6. Fórmula de Cartan : Dada w ∈ Ω A/k entonces
dw(D, D ′ ) = D(w(D ′ )) − D ′ (w(D)) − w([D, D ′ ])
Demostración. dw(D, D ′ ) = iD ′(iDdw) = iD ′((DL − d ◦ iD)(w)) = (D L ◦ iD ′ − i [D,D ′ ])w − D ′ w(D) =
D(w(D ′ )) − w([D, D ′ ]) − D ′ w(D).
1.10 Cálculo valorado
1. Definición : Una aplicación d: M → M ⊗A Ω A/k diremos que es una diferencial en M, si
1. d(m + m ′ ) = dm + dm ′ .
2. d(am) = adm + m ⊗ da.
La diferencial d: M → M ⊗ Ω A/k extiende a M ⊗ Ω · A/k : d(m ⊗ Ωi) := dm ∧ Ωi + m ⊗ dΩi
(observemos que dm =
mj ⊗ wj, con wj ∈ ΩA/k y denotamos dm ∧ ωi =
mj ⊗ wj ∧ Ωi). Los
j
j
elementos de M ⊗ Ωi los llamaremos i-formas valoradas en M.
Dada otra diferencial d: M ′ → M ′ ⊗ΩA/k, tenemos la diferencial d: M ⊗AM ′ → M ⊗AM ′ ⊗AΩA/k, d(m⊗m ′ ) := dm⊗m ′ +m⊗dm ′ (reordenando en el primer sumando los factores del producto tensorial
para que todo tenga sentido).
Dadas m ⊗ Ωi ∈ M ⊗ Ωi y m ′ ⊗ Ωj denotemos (m ⊗ Ωi) ∧ (m ′ ⊗ Ωj) := m ⊗ m ′ ⊗ Ωi ∧ Ωj ∈
M ⊗ M ′ ⊗ Ωi+j . Tenemos un morfismo
(M ⊗ Ω · ) ⊗ (M ′ ⊗ Ω · )
∧
→ M ⊗ M ′ ⊗ Ω ·
wi ⊗ wj ↦→ wi ∧ wj
Se cumple que d(wi ∧ wj) = dwi ∧ wj + (−1) i wi ∧ dwj . Dado D ∈ Derk(A, A), sea iD : M ⊗
Ω · → M ⊗ Ω · , iD(m ⊗ Ωi) = m ⊗ iDΩi. Obviamente, iD(wi ∧ wj) = iDwi ∧ wj + (−1) i wi ∧ iDwj .
Definamos D L := iD ◦ d + d ◦ iD, que resulta ser una derivación, es decir
D L (wi ∧ wj) = D L wi ∧ wj + wi ∧ D L wj
Denotaremos D L m = iDdm =: D ∇ m. Es sencillo comprobar que
D L ◦ iD ′ − iD ′ ◦ DL = i [D,D ′ ]
Dada una 1-forma valorada w ∈ M ⊗ Ω, tenemos que
dw(D1, D2) = iD2(iD1dw) = iD2(−d(w(D1)) + D L 1 w) = −D ∇ 2 (w(D1)) + D ∇ 1 (w(D2)) − w([D1, D2])

1.10. Cálculo valorado 33
2. Definición : Una conexión ∇ en un A-módulo M es una aplicación Derk(A, A) × M → M, donde
seguimos la notación (D, m) ↦→ D ∇ m, cumpliendo
1. (D + D ′ ) ∇ m = (D ∇ m) + (D ′∇ m).
2. (aD) ∇ m = a(D ∇ m).
3. D ∇ (am) = (Da) · m + aD ∇ m.
4. D ∇ (m + m ′ ) = D ∇ m + D ∇ m ′ .
Para todo a ∈ A, m, m ′ ∈ M, D, D ′ ∈ Derk(A, A).
Toda diferencial d: M → M ⊗A Ω A/k, define la conexión ∇ dada por D ∇ m := iD(dm), que cumple
que D ∇ (am) = iD(d(am)) = iD(m ⊗ da + adm) = (Da)m + aiDdm = (Da)m + aD ∇ m y las demás
propiedades exigidas a las conexiones.
A partir de ahora supondremos que Ω A/k es un A-módulo libre finito generado
Derk(A, A) es un A-módulo libre finito generado y Ω A/k y Derk(A, A) son duales entre sí. Además,
M ⊗A Ω A/k = HomA(Derk(A, A), M), m⊗w pensado en HomA(Derk(A, A), M) es la aplicación lineal
(m ⊗ w)(D) := w(D)m.
3. Proposición : Supongamos que Ω A/k es un A-módulo libre finito generado. Existe una correspondencia
biunívoca entre conexiones en M y diferenciales de M.
Demostración. A cada diferencial le hemos asignado ya una conexión lineal. Recíprocamente, dada
la conexión ∇ sea d(m), tal que dm(D) = D ∇ m.
Si tenemos dos módulos M, N con sendas diferenciales, podemos definir una diferencial en HomA(M, N):
d: HomA(M, N) → HomA(M, N) ⊗ Ω A/k = HomA(M, N ⊗ Ω A/k)
d(T )(m) := d(T (m)) − (T ⊗ 1)(dm). Como sabemos esta diferencial extiende a HomA(M, N) ⊗ Ω · .
Se cumple que dado T ∈ HomA(M, N) ⊗ Ω n = HomA(M, N ⊗ Ω n ) su diferencial como elemento de
HomA(M, N) ⊗ Ω · coincide con la diferencial de T pensado como elemento de HomA(M, N ⊗ Ω n ).
Un morfismo T : M → N de A-módulos diremos que es diferencial si dT = 0, es decir, d ◦ T =
T ◦ d. Si el morfismo T es diferencial, entonces T : M ⊗ Ω · → M ′ ⊗ Ω · conmuta con d, iD, D L y
(T ⊗ T )(w ∧ w ′ ) = T (w) ∧ T (w ′ ). El morfismo HomA(M, N) ⊗ M → N, φ ⊗ m ↦→ φ(m), resulta ser
diferencial. Cuando tengamos una n-forma wn valorada en HomA(M, N) y otra m-forma wm valorada
en N, entendemos vía este morfismo que wn ∧ wm es una n + m-forma valorada en N.
4. Definición : El morfismo A-lineal d 2 : M → M ⊗ Ω 2 diremos que es el tensor de curvatura.
5. Proposición : d 2 (m)(D1, D2) = D ∇ 1 D ∇ 2 m − D ∇ 2 D ∇ 1 m − [D1, D2] ∇ m.
Demostración. iD2 (iD1 d2 m) = iD2 (DL 1 dm−diD1 dm) = DL 1 (iD2 (dm))−dm([D1, D2])−(dD ∇ 1 m)(D2) =
D ∇ 1 D ∇ 2 m − D ∇ 2 D ∇ 1 m − [D1, D2] ∇ m.
Si Ω A/k es un A-módulo libre finito generado, entonces HomA(M, M ⊗ Ω 2 ) = EndA M ⊗ Ω 2 .
Denotaré por R ∈ EndA(M) ⊗ Ω 2 al tensor correspondiente a d 2 . Observemos que R(D1, D2, m) =
D ∇ 1 D ∇ 2 m − D ∇ 2 D ∇ 1 m − [D1, D2] ∇ m.
6. Proposición : Dada w ∈ M ⊗ Ω i , entonces
d 2 w = R ∧ w

34 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
Demostración. Escribamos w = m ⊗ Ωi. Entonces, d 2 (m ⊗ Ωi) = d(dm ⊗ Ωi + m ⊗ dΩi) = d 2 m ⊗
Ωi − dm ⊗ dΩi + dm ⊗ dΩi + m ⊗ d 2 Ωi) = d 2 m ⊗ Ωi = R ∧ w.
7. Identidad diferencial de Bianchi : dR = 0.
Demostración. La diferencial del morfismo M d2
→ M ⊗ Ω2 es nula ya que el cuadrado
es conmutativo.
M
d
d2
M ⊗ Ω d2
/ /
M ⊗ Ω 2
d
/ / 3 M ⊗ Ω
8. Definición : Una conexión sobre M = Derk(A, A) se llama conexión lineal.
Supongamos que Ω A/k es un A-módulo libre finito generado y que tenemos una conexión lineal.
Pensemos Id ∈ HomA(Ω A/k, Ω A/k) = Derk(A, A) ⊗ Ω como una 1-forma valorada (no como endomorfismo).
Denotemos d Id = Tor∇ ∈ Derk(A, A) ⊗ Ω 2 y calculemos
Tor∇(D1, D2) = D ∇ 1 (Id(D2)) − D2(Id(D1)) − Id([D1, D2]) = D ∇ 1 D2 − D ∇ 2 D1 − [D1, D2]
Supongamos que ∇ es una conexión lineal simétrica, es decir, Tor∇ = 0. Entonces, 0 = d 2 (Id) =
R ∧ Id.
9. Identidad lineal de Bianchi : Si ∇ es una conexión lineal simétrica entonces
R ∧ Id = 0
Interpretemos esta igualdad: 0 = R ∧ Id(D1, D2, D3) = (iD1 (R ∧ Id))(D2, D3) = (iD1R) ∧ Id +R ∧
iD1 Id)(D2, D3) = R(D1, D2)(Id(D3)) − R(D1, D3)(Id(D2)) + R(D2, D3)(Id(D1)). Luego,
R(D1, D2)(D3) + R(D3, D1)(D2) + R(D2, D3)(D1) = 0
10. Proposición : Sea ∇ una conexión lineal, d: Ω → Ω ⊗ Ω la diferencial definida por ∇ y
π : Ω ⊗ Ω → Ω 2 el morfismo natural de paso al cociente. Sea dC la diferencial de Cartan. Se cumple
que
π ◦ d − dC = Tor∇ ∈ Derk(A, A) ⊗ Ω 2
Una conexión lineal es simétrica si y sólo si π ◦ d = dC
Demostración. π(d(w))(D1, D2) = D ∇ 1 w(D2) − D ∇ 2 w(D1) = D1(w(D2)) − w(D ∇ 1 D2) − D2(w(D1)) +
w(D ∇ 2 D1). Por la fórmula de Cartan, dC(w)(D1, D2) = D1(w(D2)) − D2(w(D1)) − w([D1, D2]). Por
tanto, (π ◦ d − dC)(w, D1, D2) = Tor∇(w, D1, D2).
Si definimos D∇′ D ′ = D∇D − 1
2 Tor∇(D, D ′ ), se tiene que ∇ ′ es simétrica.
Consideremos los morfismos canónicos π1 : Ω ⊗ Ω → Ω2 , π2 : Ω ⊗ Ω → S2Ω. Consideremos el
isomorfismo φ: Ω ⊗ Ω = Λ2Ω ⊕ S2Ω, φ(w) = (π1(w), π2(w)). Dada una conexión lineal simétrica y
el morfismo diferencial d: Ω → Ω ⊗ Ω, tenemos que π1 ◦ d = dC y π2 ◦ d = ds, con ds(w)(D1, D2) =
(D∇ 1 w)(D2) + (D∇ 2 w)(D1). Se cumple que ds es k-lineal y ds(f · w) = (df) · w + f · dsw y diremos que
ds es una diferencial simétrica.

1.10. Cálculo valorado 35
Dar la conexión lineal simétrica ∇ equivale a dar la diferencial simétrica ds : Ω → S2Ω. Sea ds : SmΩ → Sm+1Ω, ds(w1 · · · wm) :=
i w1 · · · wi−1 · dswi · · · wm. Para m = 0 definimos
ds = d.
Supongamos que A es una k-álgebra lisa, es decir, el morfismo natural SnΩ → ∆n /∆n+1 es un
isomorfismo, para todo n.
11. Teorema : Los morfismos
n+1 φn
(A ⊗ A)/∆ → A ⊕ Ω ⊕ · · · ⊕ S n Ω, a ⊗ b ↦→ a · (b, db, d 2 sb/2, . . . , d n s b/n!)
son isomorfismos de A-álgebras y los diagramas
0
0
son conmutativos.
/ / n n+1 ∆ /∆ / / n+1 (A ⊗ A)/∆ / /
/ / n S Ω
φn
/ / n A ⊕ Ω ⊕ · · · ⊕ S Ω
(A ⊗ A)/∆n / /
φn−1
/ / n−1 A ⊕ Ω ⊕ · · · ⊕ S Ω
Demostración. Es fácil comprobar que φn es un morfismo de A-álgebras. Obviamente φn(a ⊗ 1 − 1 ⊗ a) =
(0, da, −, ..., −), luego, φn es la identidad sobre ∆ n /∆ n+1 . Ahora es fácil ver que el diagrama es conmutativo
y demostrar por inducción que los φn son isomorfismos.
12. Corolario : El morfismo A/m n+1
x
isomorfismo de k-álgebras.
→ k ⊕ mx/m2 x ⊕ · · · ⊕ mn x/mn+1 x , ¯ f ↦→ n
0
/ / 0
d
i=0
i
sf i!
(x), es un
Se dice que d2
2 (x) es el Hessiano de f en x.
Sea M un A-módulo. Se dice que F : A → M es un operador diferencial de orden 0 si F (a) =
a · F (1), para todo a ∈ A, es decir, si F es un morfismo de A-módulos.
s f
13. Definición : Una aplicación k-lineal F : A → M se dice que es un operador diferencial de orden
n − 1 si
(−1) r ai1 · · · air · F (aj1 · · · ajn−r) = 0
para todo a1, . . . , an ∈ A.
{i1,...,ir}∪{j1,...,jn−r}={1,...,n}
Las derivaciones son operadores diferenciales de orden 1.
14. Proposición : F : A → M es un operador diferencial de orden n > 0 si y sólo si [F, a] :=
F ◦ a · − a · F es un operador diferencial de orden n − 1 para todo a ∈ A.
15. Proposición : HomA(A ⊗k A/∆ n+1 , M) = Diff n k(A, M).
Tenemos la cadena de inclusiones (en Homk(A, A))
Diff 1 k(A, A) ↩→ Diff 2 k(A, A) ↩→ · · · ↩→ Diff n k(A, A) ↩→ · · ·
El dual de la sucesión exacta 0 → S n Ω → (A ⊗ A)/∆ n+1 → (A ⊗ A)/∆ n → 0 es
0 → Diff n−1
k (A, A) → Diff n k(A, A) πn → S n Derk(A, A) → 0
Se dice que πn(F ) es el símbolo del operador F .

36 Capítulo 1. Álgebra Lineal Tensorial
16. Definición : Diffk(A, A) = ∞
∪
i=0 Diffi k(A, A).
17. Teorema : S · Derk(A, A) ϕ = Diffk(A, A), ϕ(D1 · · · Dn)(a) := dn
s a
n! (D1, . . . , Dn) y se tiene el
diagrama conmutativo
0
0
/ / n−1
⊕
i=0
S i Derk(A, A)
ϕ
/ / n
⊕
i=0
S i Derk(A, A)
/ / n−1
Diffk (A, A) / / Diff n k(A, A)
Además se verifica la “fórmula de Leibnitz”
ϕ(D1 · · · Dn)(a · b) =
{i1,...,ir}∪{j1,...,jn−r}={1,...,n}
ϕ
/ / n S Derk(A, A)
Id
/ / Sn Derk(A, A)
/ / 0
/ / 0
ϕ(Di1 · · · Dir )(a) · ϕ(Dj1 · · · Djn−r )(b)
Ahora, Diffk(A, A) vía ϕ, tiene estructura de álgebra conmutativa graduada:
ϕ(D1 · · · Dn) ∗ ϕ(D ′ 1 · · · D ′ m) := ϕ(D1 · · · Dn · D ′ 1 · · · D ′ m)
Sea T2 ∈ Ω⊗Ω una métrica simétrica no singular y denotemos la polaridad también por T2 : Derk(A, A) →
Ω. Sea ds : Ω → S 2 Ω, ds(w) := T 2 (w) L T2. Tenemos pues definida una conexión lineal simétrica en
Derk(A, A), denominada conexión de Levi-Civita asociada a T2.

Capítulo 2
Cálculo Tensorial en Geometría
Diferencial
2.1 Desarrollo de Taylor
El teorema de Bolzano afirma que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) > 0 y f(b) < 0
(o al revés) entonces existe un ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 0 (la ξ se obtiene por el método de bisección).
Si f ′ (c) > 0 para un c ∈ (a, b), entonces existe un ɛc > 0 de modo que f(c + t) > f(c) y
f(c) > f(c − t), para todo 0 ≤ t < ɛc. Si f ′ > 0 en (a, b) entonces f es creciente en (a, b). Como
consecuencia se obtiene el teorema de Rolle que dice que si f es una función continua en [a, b], derivable
en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0: Si f ′ > 0 en (a, b) entonces f sería
creciente y f(a) < f(b), si f ′ < 0 en (a, b) entonces f sería decreciente y f(a) > f(b). Por tanto, f ′ es
negativa en algún punto y positiva en algún otro, por Bolzano f ′ se anula en algún punto intermedio.
Recordemos el Teorema del valor medio: si f(x), g(x) son funciones derivables en (a, b) y continuas
en [a, b], dados a < b existe ξ ∈ (a, b) tal que (f(b) − f(a))g ′ (ξ) − (g(b) − g(a))f ′ (ξ) = 0 (si g ′ (ξ) = 0
y g(b) − g(a) = 0, habríamos escrito (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) = f ′ (ξ)/g ′ (ξ)): Sea H(x) = (f(b) −
f(a))g(x) − (g(b) − g(a))f(x), como H(a) = H(b), entonces existe un ξ ∈ (a, b) tal que H ′ (ξ) = 0.
En particular, si f ′ (x) existe para todo x = a y existe limx→a f ′ (x), entonces f ′ (a) existe y coincide
con este límite : f ′ (a) = limx→a f(x)−f(a)
x−a = limx→a f ′ (ξ) = limx→a f ′ (x).
Lema de L’Hôpital: Si F, G son funciones diferenciables tales que F (0) = G(0) = 0, G ′ no se
existe, entonces por el Teorema del valor
anule en un entorno de 0 (salvo quizás en 0), y limx→0 F ′ (x)
G ′ (x)
F (x)
medio limx→0 G(x) = limx→0 F ′ (x)
G ′ (x) .
Sea C n (U) el anillo de las funciones n veces derivables de derivadas continuas en un abierto
0 ∈ U ⊂ R.
1. Lema fundamental: Dada f(x) ∈ C n (U), si f(0) = 0, entonces existe h(x) ∈ C n−1 (U), tal que
f(x) = x · h(x). 1
Demostración. Demos una demostración con el mínimo de conocimientos de Análisis de Funciones.
La función, h(x) = f(x)
x (donde h(0) := f ′ (0)) es una función continua, que tenemos que probar que
1 Hay una demostración maravillosa de este teorema, pero que hace uso de ciertos resultados de Análisis: Derivemos
e integremos y ¡saquemos algo! f(x) = f(x) − f(0) = 1
0
∂
∂t f(tx) · dt = 1
0 f ′ (tx) · x · dt = x · 1
0 f ′ (tx)dt
37

38 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
pertenece a Cn−1 (U).
Considerando en vez de f, f − n
aix
i=1
i , con ai = 1
i! f i) (0), podemos suponer que f(0) = f ′ (0) =
. . . = f n) (0) = 0.
Tenemos que probar que h ′ = f ′ /x − f/x2 ∈ Cn−2 (U). Por inducción sobre n, podemos suponer
que f ′ /x ∈ Cn−2 (U). Tenemos que probar que f/x2 ∈ Cn−2 (U). Probemos que si f(0) = f ′ (0) =
. . . = f n) (0) = 0 entonces f/x2 ∈ Cn−2 (U). Observemos que f/x2 es continua pues por L’Hopital
limx↦→0 f/x2 = f ′′ (0)/2. Tenemos que probar que (f/x2 ) ′ = f ′ /x2 − f/2x3 ∈ Cn−3 (U). Por inducción
sobre n, podemos suponer que f ′ /x2 ∈ Cn−3 (U). Tenemos que probar que f/x3 ∈ Cn−3 (U).
Argumentando así sucesivamente llegaremos a que tenemos que probar que f/xn ∈ C0 (U), lo cual es
cierto porque aplicando L’Hopital sucesivamente tenemos que limx↦→0 f/xn = f n) (0)/n!.
2. Corolario : Si f(x) ∈ C ∞ (U) cumple que f(0) = 0, entonces existe h(x) ∈ C ∞ (U) tal que
f(x) = h(x) · x. Entonces, por cambio de variable ¯x = x − α, tendremos que si α ∈ U y f(α) = 0
entonces existe h(x) ∈ C ∞ (U) de modo que f(x) = h(x) · (x − α).
Así dada f(x) ∈ C n (U), entonces f(x) − f(α) = g(x) · (x − α) con g(x) ∈ C n−1 (U). Luego
f(x) = f(α) + (x − α) · g(x). Repitiendo el argumento con g(x), tendremos que f(x) = f(α) + (x − α) ·
(g(α) +(x − α) · h(x)) = f(α) + g(α)(x − α) + h(x)(x − α) 2 , (con h(x) ∈ C n−2 (U)). Así sucesivamente,
tendremos que
f(x) = a0 + a1(x − α) + · · · + an−1(x − α) n−1 + z(x) · (x − α) n
ai ∈ R, z(x) ∈ C0 f(x)−
(U). Además, ai = limx→α
i−1
aj(x−α)
j=0
j
(x−α) i
Ahora en varias variables.
= f (i (α)
i! .
3. Definición : Se dice que una función real f definida en un entorno de un punto α ∈ R n es
diferenciable en α si existe una matriz A = (a1, . . . , an) de modo que
f(x) − f(α) − A · (x − α)
lim
x→α
t
= 0
||x − α||
Observemos que en tal caso, tomando x = (x1 + h, α2, . . . , αn) tenemos que
f(α1 + h, α2, . . . , αn) − f(α) − A · (h, 0, . . . , 0)
0 = lim
h→0
t f(α1 + h, α2, . . . , αn) − f(α) − a1 · h
= lim
|h|
h→0
|h|
Luego, limh→0 f(α1+h,α2,...,αn)−f(α)−a1·h
h
= 0 y a1 = ∂f
∂x1 (α). Igualmente, ai = ∂f
(α). Si las de-
∂xi
rivadas parciales existen en un entorno de α y son continuas entonces f es derivable, con A =
( ∂f
∂f
(α), . . . , ∂x1 ∂xn (α)):
limx→α f(x)−f(α)−
i ai(xi−αi)
= limx→α
= limx→α
= limx→α f(x)−f(a1,x2,...,xn)+f(a1,x2,...,xn)−f(α)−
i ai(xi−αi)
||x−α||
||x−α||
(fx1 (ξ,x2,...,xn)−a1)(x1−α1)+f(α1,x2,...,xn)−f(α)−
i>1 ai(xi−αi)
(fx 1 (ξ,x2,...,xn)−a1)(x1−α1)
||x−α||
||x−α||
+ limx→α
f(α1,x2,...,xn)−f(α)−
i>1 ai(xi−αi)
||x−α||
que es igual a cero, por inducción sobre n (observando que ||(x − α)|| es mayor que |x1 − α1| y que
||(x2, . . . , xn) − (α2, . . . , αn)||).

2.2. Espacio tangente en un punto 39
Es obvio que si f es derivable en α entonces es continua en α. Se dice que f es de clase r en un
abierto si
∂ r f
∂m 1 x1···∂mn xn son continuas en el abierto para todo m1 + · · · + mn = r.
Sea U un entorno abierto de α y f ∈ C2 (U). Se verifica que ∂2f ∂y∂x (α) = ∂2f ∂x∂y (α): Por cambio
de variable podemos suponer que α = (0, 0). Sustituyendo f(x, y), por f(x, y) − f(0, y), podemos
suponer que f(0, y) = 0.
fxy(0, 0) = ∂
( lim
∂y x→0
f(x, y)
limx→0
)(y = 0) = lim
x
y→0
f(x,y)
x
limx→0
= lim
y→0
f(x,y)−f(x,0)
x
y
f(x,0)
− limx→0 x
y
fy(x, ξ) · y
= lim lim
= fyx(0, 0)
y→0 x→0 xy
Por simplificar notaciones supongamos que α = 0. De nuevo, dada f(x, y) ∈ C n (U) si f(0, y) = 0
entonces f
x ∈ Cn−1 (U). Así, dada f ∈ C n (U), tendremos que f(x, y) = f(0, y) + x · g(x, y), con
g(x, y) ∈ C n−1 (U). Por tanto, si f(0, 0) = 0, entonces f(0, y) = y · h(y), con h(y) ∈ C n−1 (U), en
conclusión f(x, y) = x · h1 + yh2, con h1, h2 ∈ C n−1 (U).
4. Proposición : Sea U ⊆ R m un abierto y f(x1, . . . , xm) ∈ C n (U). Si f(α) = 0, entonces
f =
i hi · (xi − αi) con hi ∈ C n−1 (U).
5. Corolario : Dada f(x1, . . . , xm) ∈ C n (U) y b ∈ U entonces
f = (
aα · (x − b) α ) +
hα · (x − b) α
|α|

40 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
Sean U ⊆ R m , V ⊆ R n sendos abiertos.
3. Definición : Una aplicación F : U → V se dice que es diferenciable en α ∈ U si existe una matriz
F ′ (α) = (aij) de m-columnas y n-filas tal que
||F (x) − F (α) − F
lim
x→α
′ (α) · (x − α) t ||
= 0
||x − α||
Es fácil ver que F = (f1, . . . , fn) es diferenciable si y sólo si f1, . . . , fn son diferenciables y que
A = ( ∂fi
∂xj (α)).
Desarrollando por Taylor, tenemos que F (x) = F (α)+F ′ (α)·(x−α) t +
ij Gij(x)(xi−αi)·(xj−αj).
Consideremos la recta {α + tv, t ∈ R} que pasa por α y de vector director v, entonces F (α + tv) =
F (α) + F ′ (α)(tv) + t 2 · H(t, v). Para t pequeño F (α + tv) es aproximadamente F (α) + F ′ (α)(tv). Es
decir, F aplica el vector infinitesimal tv, de origen α, en el vector infinitesimal F ′ (α)(tv) de origen
F (α).
a
R 2
F
v F'(a)(v)
Por otra parte, el morfismo F induce en los anillos el morfismo de anillos F ∗ : C∞ (V ) → C∞ (U),
F ∗ (g) := g ◦F y por tanto el morfismo mF (α) → mα, g ↦→ (g ◦F ). En conclusión, tenemos el morfismo
(intrínseco)
F ∗ : mF (α)/m 2 F (α) → mα/m 2 α, dF (α)g ↦→ dα(g ◦ F )
F ∗ (dF (α)xi) = dα(xi ◦ F ) = ∂fi
j ∂xj (α) · dαxj. Por tanto, la matriz del morfismo F ∗ : mF (α)/m2 F (α) →
mα/m2 α es ( ∂fi
(α)). Tomando duales tenemos “la aplicación lineal tangente en α asociada a F ”
∂xj
(intrínseca)
F∗ : (mα/mα) ∗ = DerR(C ∞ (U), R) → DerR(C ∞ (V ), R) = (m F (α)/m 2 F (α) )∗
que aplica (como puede comprobarse) cada derivación D en F∗(D) definida por F∗(D)(g) = D(F ∗ (g)) =
D(g ◦ F ). Directamente, o por dualidad, tenemos que la matriz de F∗ es F ′ (α) = ( ∂fi
(α)). Geo-
∂xj
métricamente, F∗ aplica en el vector tangente v = (λ1, . . . , λn) en α en el vector tangente en F (α),
F ′ (α) · v.
2.3 Derivaciones. Módulo de diferenciales
Sea U ⊆ R m un abierto y Ω = Ω C ∞ (U)/R. Dada w ∈ Ω desearía que cumpliera la propiedad de que
si w(α) = ¯w ∈ Ω/mα · Ω es nulo para todo α entonces w = 0 y que esta propiedad se mantuviera al
tomar la diferencial.
F(a)

2.3. Derivaciones. Módulo de diferenciales 41
Sea M un C∞ (U)-módulo. Denotemos Nul(M) = ∩
α∈U,n>0 mnα · M y ˜ M = M/ Nul(M). Se cumple
C ˜ ∞ (U) = C∞ (U).
que ˜ M = ˜ M. También es claro que
1. Teorema : Sea M tal que Nul(M) = 0 (por ejemplo si M es un módulo libre). Entonces,
DerR(C ∞ (U), M) = M · ∂
⊕
∂x1
m . . . ⊕ M · ∂
∂xm
Demostración. Asignemos a cada derivación D ∈ DerR(C∞ (U), M),
i (Dxi) · ∂
∂xi .
Veamos que esta asignación es inyectiva: Tenemos que ver que si Dxi = 0, para todo i, entonces
D = 0. Sobre los polinomios p(x1, . . . , xm) es fácil ver que D(p(x1, . . . , xn)) = ∂p(x1,...,xm)
i
D(xi)
∂xi
(argumentando por inducción sobre el grado del polinomio). Es claro que D(mn α) ⊆ mn−1 α · M. Toda
f ∈ C∞ (U) es igual a un polinomio p de grado n módulo mn α, f = p + g, g ∈ mn α. Por tanto,
D(f) = D(p) + D(g) = 0 + D(g) ∈ mn−1 α · M, para todo n y α, luego D(f) = 0 y D = 0.
La asignación es obviamente epiyectiva, porque ∂
i
mi es la imagen de la derivación D definida
∂xi
por D(p) := ∂p
· mi.
i
∂xi
Por tanto, si Nul M = 0 entonces toda D ∈ DerR(C ∞ (U), M) es D =
i Dxi · ∂
∂xi .
2. Teorema : ˜ Ω C ∞ (U)/R = C ∞ (U) · dx1 ⊕ · · · ⊕ C ∞ (U) · dxn
Demostración.
Por tanto,
Hom C ∞ (U,R( ˜ Ω C ∞ (U), M) = Hom C ∞ (U)(Ω C ∞ (U)/R, M) = DerR(C ∞ (U), M)
= M ∂
∂x1
⊕ · · · ⊕ M ∂
∂xn = Hom C ∞ (U)(C ∞ (U)dx1 ⊕ · · · ⊕ C ∞ (U)dxn, M)
Λ n ΩC ˜ ∞ (U)/R = ⊕ C
1≤i1

42 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
Demostración. Consideremos el grupo uniparamétrico τ : R × R n → R n , τ((t, x)) = e t · x, cuya
derivación asociada es D =
i xi · ∂
∂xi . Sea τt(x) = τ(t, x) y denotemos τ ∗ t wr =: wr(t). Se cumple
que wr(t) ′ = (D L wr)(t). Entonces
wr = wr(0) − wr(−∞) =
=
0
−∞
0
d ◦ iDwr(t) · dt = d
−∞
0
wr(t) ′ · dt =
−∞
0
−∞
iDwr(t) · dt = dwr−1
(D L wr)(t) · dt =
2.4 Variedades diferenciables. Haces
0
(iD ◦ d + d ◦ iD)wr(t) · dt
−∞
1. Definición : Sean f1, . . . , fn ∈ C n (U), U ⊆ R n abierto. Se dice que f1, . . . , fn es un sistema de
coordenadas en U, si la aplicación
F : U → R n , F (x) := (f1(x), . . . , fn(x))
cumple que F (U) = V es un abierto, F establece un homeomorfismo entre U y V , y la aplicación
inversa de F es diferenciable de clase n, es decir, F es un difeomorfismo de clase n.
En tal caso, el morfismo de anillos F ∗ : C n (V ) → C n (U), F ∗ (g) = g ◦ F es un isomorfismo,
luego para cada función diferenciable g en U existe una (única) función diferenciable h(y1, . . . , yn) ∈
C n (V ) de modo que g(x) = h(f1(x), . . . , fn(x)) (“las funciones diferenciables en U son las funciones
diferenciables en las coordenadas f1, . . . , fn”).
2. Definición : Se dice que f1, . . . , fn son un sistema de coordenadas en un punto x, si existe un
entorno de x en el que f1, . . . , fn son un sistema de coordenadas.
Dado F = (f1, . . . , fn) denotemos por F ′ = ( ∂fi
∂xj ).
3. Teorema de la función inversa: Sean U, V sendos abiertos de R n y F : U → V un morfismo
de clase n. Dado α ∈ U, si det(F ′ (α)) = 0, entonces F es un difeomorfismo de clase n en un entorno
de α.
Con otras palabras, si f1, . . . , fn son funciones diferenciables de clase n en un entorno de α ∈ R n .
Entonces, f1, . . . , fn es un sistema de coordenadas en α si y sólo si dαf1, . . . , dαfn son linealmente
(α))) = 0.
independientes, es decir, det( ∂fi
∂xj
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que α = 0.
1. Probemos que la aplicación F = (f1, . . . , fn): U → R n en un entorno abierto pequeño
U de (0) es inyectiva: Tenemos que fi(x) − fi(y) =
j Hij(x, y) · (xj − yj), pues en general si
g(x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) = 0 para todo x1, . . . , xr entonces g =
j gr+j · xr+j. Escribamos de forma
reducida F (x) − F (y) = H(x, y) · (x − y), donde H(x, y) es la matriz (Hij(x, y)) y (x − y) el vector
(x1 − y1, . . . , xn − yn). Observemos que H(0, 0) = ( ∂fi
(0)). Consideremos un entorno V de 0, de
∂xj
modo que para todo (x, y) ∈ V × V , det(H(x, y)) = 0. Si 0 = F (x) − F (y) = H(x, y) · (x − y), para
algún (x, y) ∈ V × V , entonces x − y = 0 y x = y.
2. F (U) es un entorno de F (0): Reduciendo U, podemos suponer que F es inyectiva en U y
que det(F ′ (x)) = 0 para todo x ∈ U. Sea B una bola centrada en el origen, tal que su cierre esté
incluido en U, y sea Sn el borde. Por ser F inyectiva F (Sn) no contiene a F (0). Sea m = ínfimo

2.4. Variedades diferenciables. Haces 43
{d(0, F (s)) | s ∈ Sn} que es mayor estricto que cero porque d(0, F (Sn)) es un compacto (imagen de
compacto) de R + que no contiene a 0. Sea B ′ una bola centrada en F (0) de radio m/2. Basta que
probemos que B ′ ⊆ F (B).
Sea y ∈ B ′ y g(x) := d(F (x), y) que la definimos sobre ¯ B. La función continua g alcanza un mínimo
sobre ¯ B, que no yace en Sn, puesto que d(F (s), y) + m/2 ≥ d(F (s), y) + d(F (0), y) ≥ d(F (0), F (s)) ≥
m, luego d(F (s), y) ≥ m/2 ≥ d(F (0), y). Así pues, la función, g 2 = (F (x) − y) · (F (x) − y) alcanza un
mínimo en B. Si c ∈ B es tal que g 2 (c) es mínimo, entonces 0 = (g 2 ) ′ (c) = 2(F (c) − y) · F ′ (c). Por
tanto, F (c) = y y B ′ ⊆ F (B).
3. La aplicación F : F −1 (B ′ ) → B ′ es un homeomorfismo: Es biyectiva y continua. Dado un
cerrado C ⊂ F −1 (B ′ ) ⊂ B, tenemos que F (C) = F ( ¯ C) ∩ B ′ es un cerrado porque ¯ C es compacto,
luego F ( ¯ C) es un cerrado. En conclusión, F es homeomorfismo.
4. Aconsejamos al lector que rescriba este apartado suponiendo n = 1, luego F = f(x) es una
función real en una sóla variable.
Supongamos ya que tenemos un homeomorfismo F : U → V . Reduciendo U, podemos suponer
que Ū y ¯ V son compactos, que F : Ū → ¯ V es homeomorfismo. Recordemos que F (x ′ ) − F (x) =
H(x, x ′ ) · (x ′ − x). Podemos suponer también, que det(H(x, x ′ )) = 0 y 2 ||H(x, x ′ ) −1 || ≤ m (para
cierto m > 0) para todo x, x ′ ∈ U. En particular, ||(H(x, x) −1 = (F ′ (x)) −1 || ≤ m.
Veamos que G = F −1 es diferenciable de clase n.
Dado y = F (x), probemos que la matriz (F ′ (x)) −1 cumple que lim
y ′ →y
Sea x ′ tal que F (x ′ ) = y ′ , entonces
||G(y ′ )−G(y)−(F ′ (x)) −1 ·h||
||y ′ −y||
lim
y ′ ||G(y
→y
′ )−G(y)−(F ′ (x)) −1 ·(y ′ −y)||
||y ′ −y||
= lim
x ′ ||G(F (x
→x
′ ))−G(F (x))−(F ′ (x)) −1 ·(F (x ′ )−F (x))||
||F (x ′ )−F (x)||
= lim
x ′ →x
≤ m · lim
x ′ →x
≤ m 2 · lim
x ′ →x
||(x ′ −x)−(F ′ (x)) −1 ·(F (x ′ )−F (x))||
||F (x ′ )−F (x)|| = lim
x ′ ||(F
→x
′ (x)) −1 ·[(F ′ (x))·(x ′ −x)−(F (x ′ )−F (x))]||
||F (x ′ )−F (x)||
||(F ′ (x))·(x ′ −x)−(F (x ′ )−F (x))||
||F (x ′ )−F (x)|| = m · lim
x ′ ||(F
→x
′ (x))·(x ′ −x)−(F (x ′ )−F (x))||
||x ′ ||x
−x|| ·
′ −x||
||F (x ′ )−F (x)||
||(F ′ (x))·(x ′ −x)−(F (x ′ )−F (x))||
||x ′ −x|| = 0
Por tanto, G ′ (y) = (F ′ (x)) −1 y G es derivable. Como G ′ (y) := (F ′ (x)) −1 = (F ′ (G(y))) −1 es
continua ⇒ G es C 1 ⇒ G ′ (y) es C 1 ⇒ G(y) es C 2 , etc.
Veamos que la esfera unidad S 2 ≡ x 2 + y 2 + z 2 = 1 localmente es “difeomorfa” a abiertos de R 2 :
Sea α = (α1, α2, α3) ∈ S 2 , supongamos α1 = 0. Las funciones f1 = x 2 + y 2 + z 2 − 1, f2 = y, f3 = z
forman un sistema de coordenadas en α, por el teorema de la función inversa. Existe un entorno abierto
U ⊂ R 3 de α, y un abierto V ⊆ R 3 de modo que la aplicación F : U → V , F (x) = (f1(x), f2(x), f3(x)))
es un homeomorfismo. Vía F , U ∩S 2 es homeomorfo a V ∩(0×R 2 ) = 0×V ′ , (para el correspondiente
abierto V ′ ⊂ R 2 ). Tenemos pues el homeomorfismo
U ∩ S 2 → V ′ , x ↦→ (f2(x), f3(x))
“Se dice que la restricción de f2 y f3 a U ∩ S 2 es un sistema de coordenadas en U ∩ S 2 ”.
4. Definición : Un cerrado Y ⊆ R n se dice que es una subvariedad diferenciable de dimensión m de
R n , si para cada punto y ∈ Y existe un sistema de coordenadas f1, . . . , fn de en un entorno U ⊂ R n
en y, de modo que U ∩ Y = {x ∈ U tales que f1(x) = . . . = fn−m(x) = 0}.
2 Dada una aplicación lineal T : R n → R n , se define ||T || := sup{||T (e)||, para todo e ∈ R n tal que ||e|| = 1}
= 0.

44 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
5. Definición : Sea Y ⊆ R n un cerrado. Se dice que una función f : Y → R es diferenciable si
para cada y ∈ Y existe un entorno abierto U ⊆ R n de y y una función F ∈ C ∞ (U) de modo que
F |Y ∩U = f |Y ∩U .
6. Proposición : Toda función diferenciable sobre un subespacio cerrado Y ⊆ R n es la restricción a
dicho cerrado de una función diferenciable de R n . Es decir,
C ∞ (Y ) = C ∞ (R n )/I
donde C ∞ (Y ) es el anillo de funciones diferenciables de Y e I es el ideal de las funciones diferenciables
de R n que se anulan en Y .
Demostración. Sea f : Y → R una función diferenciable. Existen abiertos {Ui} y funciones fi ∈
C∞ (Ui) de modo que {Ui ∩ Y } recubren Y y f |Ui∩Y ) = f |Ui∩Y .
Sea {φi, φ} una partición de la unidad subordinada al recubrimiento {Ui, Rn − Y }. Prolongando
por 0 el producto φifi en el complementario de Ui, se obtiene una función diferenciable y la familia
de soportes de tales funciones es localmente finita. Luego, la suma F =
i φifi es una función
diferenciable en Rn . La restricción de F a Y es f, pues dado y ∈ Y
F (y) =
φi(y)fi(y) =
φi(y)f(y) = f(y)
i
7. Definición : Se define variedad diferenciable como las subvariedades diferenciables de los R n .
Puede darse una definición en principio más general de variedad diferenciable (el teorema de Whitney
afirma que es equivalente a la anterior): Un espacio topológico X se dice que es una variedad
diferenciable de dimensión m si existe un recubrimiento por abiertos {Ui} de X y homeomorfismos
φi : Ui → Vi (Vi abierto de R m ) de modo que los homeomorfismos (“de cambio de sistema de coordenadas”)
φj ◦ φ −1
j : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj)
son aplicaciones diferenciables (entre abiertos de R m ).
El lector, al pensar en la variedad X, debe identificar Ui con Vi. Debe pensar que un espacio
topológico X es una variedad diferenciable si y sólo si localmente es difeomorfo a abiertos de R n .
Una aplicación continua f : X → R se dice que es diferenciable si localmente lo es, es decir, con
rigor, f se dice que es diferenciable si las composiciones
Vi
i
φ −1
i f |Ui
Ui → R
son diferenciables. Una aplicación continua entre variedades diferenciables f : X → X ′ se dice que es
diferenciable si localmente lo es, es decir, las composiciones
φi(Ui ∩ f −1 (U ′ j)) φ−1
i
→ Ui ∩ f −1 (U ′ j) f → U ′ j
φ ′
j
→ V ′
j
son diferenciables. Resulta que f es diferenciable si y sólo si para toda función diferenciable g : X ′ → R,
entonces g ◦ f : X → R es diferenciable.
Veamos la estructura de “haz” de DerX:
Dada una derivación D ∈ DerX y f ∈ C ∞ (X) si f es nula en un entorno abierto U de un punto
α ∈ X entonces Df también es nula en dicho entorno: Basta ver que (Df)(α) = 0. Sea h ∈ C ∞ (X)

2.4. Variedades diferenciables. Haces 45
nula en X − U e igual a 1 en un entorno de α. Entonces 0 = h · f y 0 = f · Dh + h · Df, luego
0 = f(α) · (Dh)(α) + h(α) · (Df)(α) = (Df)(α). Por tanto, si f = g en un entorno de α entonces
D(f) = D(g) en ese entorno. Tenemos un morfismo natural
DerX → DerU , D ↦→ D |U
donde (D |U f)(α) := D(F )(α), siendo F ∈ C∞ (X) cualquier función que es igual a f en un entorno
abierto de α.
1. Si Ui es un recubrimiento por abiertos de X y D |Ui = 0 para todo i entonces D = 0, pues
(Df) |Ui = D |Uif |Ui = 0, para todo i, luego Df = 0 y D = 0. Por tanto, D = D ′ si y sólo si
D |Ui = D ′ |Ui
para todo i.
2. Por otra parte, si tenemos para cada i, una derivación Di ∈ DerUi de modo que (Di) |Ui∩Uj =
(Dj) |Ui∩Uj , para todo i, j, entonces podemos definir una D ∈ DerX, tal que D |Ui = Di, para todo i:
D(f) se define como la función que cumple que (Df) |Ui = Dif |Ui .
Las propiedades 1. y 2. se expresan diciendo que DerX es un haz. Por ejemplo, C ∞ (X) también
es un haz. Igualmente Der ∗ X es un haz (el C ∞ (X)-módulo de las aplicaciones n-multilineales es un
haz):
Dado w ∈ Der ∗ X y D ∈ DerX, si D |U = 0 entonces w(D) |U = 0. En efecto, dada α ∈ U basta
probar que w(D)(α) = 0. Sea h nula en X − U e igual a 1 en un entorno de α). Entonces 0 = h · D y
0 = w(h · D) = h · w(D), luego 0 = h(α) · w(D)(α) = w(D)(α). Por tanto si D = D ′ en un entorno
abierto de α entonces w(D) = w(D ′ ) en dicho entorno. Tenemos un morfismo natural
Der ∗ X → Der ∗ U , w ↦→ w |U
donde (w |U (D))(α) := w( ˜ D)(α), donde ˜ D ∈ DerX es cualquier derivación que coincide con D en un
entorno de α.
1. Si Ui es un recubrimiento por abiertos de X y w |Ui = 0 para todo i entonces w = 0, pues para
todo D, (w(D)) |Ui = w |Ui (D |Ui ) = 0, para todo i, luego w(D) = 0 y w = 0. Por tanto, w = w ′ si y
sólo si w |Ui = w ′ |Ui
para todo i.
2. Por otra parte, si tenemos para cada i, una wi ∈ Der ∗ Ui de modo que (wi) |Ui∩Uj = (wj) |Ui∩Uj ,
para todo i, j, entonces podemos definir una w ∈ Der ∗ X, tal que w |Ui = wi, para todo i: w(D) se
define como la función que cumple que (w(D)) |Ui = wi(D |Ui ).
Sea mx ⊂ C ∞ (X) el ideal de funciones de X que se anulan en x y m ′ x ⊂ C ∞ (U) el ideal de
funciones de U que se anulan en x. El morfismo natural π : mx/m 2 x → m ′ x/m ′2
x, π( ¯ f) = f |U es un
isomorfismo: sea h ∈ C ∞ (X) igual a 1 en un entorno abierto de x y nula en un entorno de X − U,
entonces el morfismo m ′ x/m ′2
x → mx/m 2 x, ¯ f ↦→ hf es el morfismo inverso.
Dada una 1-forma diferencial w ∈ ΩX, si 0 = w(x) = ¯w ∈ ΩX(x) = mx/m 2 x, para todo x ∈ X,
entonces w ∈ Nul(ΩX) = 0. Sea {Ui} un recubrimiento por abiertos de X, si w |Ui = 0 para todo i,
entonces w(x) = 0 para todo x ∈ X y w = 0. (∗) Por tanto, si w |Ui = w ′ para todo i, entonces
|Ui
w = w ′ .
Consideremos X como subvariedad cerrada de un Rn . ΩX es cociente del C∞ (Rn )-módulo ΩRn, que
está generado por dx1, . . . , dxn, por tanto, ΩX es un C∞ (X)-módulo generado por dx1|X, . . . , dxn|X,
luego es finito generado.
Sea dim X = r. Dadas w1, . . . , wr ∈ ΩX sea U = {y ∈ Y tales que {wi(y) = ¯wi ∈ ΩX(y) =
my/m2 y} sea una base de my/m2 y}. Se cumple que U es un abierto de X y que ΩU es un C∞ (U)módulo
libre de base {wi|U }:
Sea y1, . . . , yr un sistema de coordenadas en un entorno abierto Vy de y. Tendremos que wi = fijdyj
(en tal entorno Vy). Entonces {wi(y)} es una base de my/m2 y si y sólo si det(fij(y)) = 0. Es claro que

46 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
U es un abierto. Además, en Vy podemos despejar las dyj en función de los {wi} y es fácil probar que
en Vy las {wi} son base. Por tanto, dada w ∈ ΩU , tendremos que w |Vy =
i gi · wi, para gi ∈ C∞ (Vy)
únicas. Por ser C∞ (U) un haz, existen Gi ∈ C∞ (U) únicas de modo que w =
i Giwi|U , lo que
muestra que {wi|U } son una base.
8. Lema : Sea π : M → N un epimorfismo de A-módulos. Si s: N → M es una sección de π, es
decir, π ◦ s = Id, entonces M Ker π ⊕ N.
Demostración. El morfismo N ⊕ Ker π → M, (n, n ′ ) ↦→ s(n) + n ′ es un isomorfismo: Es inyectiva,
porque si s(n) + n ′ = 0, aplicando π tenemos que n = 0 y por tanto n ′ = 0. Es epiyectiva, porque
dado m, tenemos que m − s(π(m)) ∈ Ker π y m = s(π(m)) + (m − s(π(m))).
Si M = M ′ ⊕M ′′ y M es un A-módulo finito generado entonces M ′ es un A-módulo finito generado:
Consideremos la inclusión M ′′ ↩→ M, m ′′ ↦→ (0, m ′′ ) y denotemos la imagen de esta inclusión M ′′ . El
morfismo M ′ → M/M ′′ , m ′ ↦→ (m ′ , 0) es un isomorfismo. M/M ′′ es finito generado porque lo es M,
entonces M ′ es finito generado.
9. Definición : Se dice que un A-módulo P es proyectivo si es sumando directo de un A-módulo
libre.
Si P es un A-módulo proyectivo entonces tenemos un isomorfismo P ⊕ P ′ = A n . En tal caso
el epimorfismo A n → P , (p, p ′ ) ↦→ p, tiene sección (p ↦→ (p, 0)). Recíprocamente si un epimorfismo
π : A n → P tiene sección entonces P es proyectivo porque A n = P ⊕ Ker π.
10. Proposición : ΩX es un es un C ∞ (X)-módulo finito generado proyectivo.
Demostración. Consideremos de nuevo el epimorfismo π : C ∞ (X) · dx1 ⊕ · · · ⊕ C ∞ (X) · dxn → ΩX.
Dado α = {i1, . . . , ir} ⊂ {1, . . . , n} sea Uα = {y ∈ X | dyxi1 , . . . , dyxir sea una base de my/m 2 y}. Sea
{φα} una partición de la unidad subordinada al recubrimiento de X, {Uα}#α=r. Sea sα la composición
de los morfismos
ΩX → ΩUα = C∞ (Uα) · dxi1 ⊕ · · · ⊕ C∞ (Uα) · dxir
se tiene que s =
α sα es una sección del epimorfismo π.
φα·
−→ C ∞ (X) · dxi1 ⊕ · · · ⊕ C∞ (X) · dxir
Como Nul(C ∞ (X)) = 0 todo submódulo M de un C ∞ (X)-módulo libre cumple que Nul(M) = 0.
El producto tensorial de módulos proyectivos es proyectivo: si P ⊕P ′ = A n , Q⊕Q ′ = A m entonces
A nm = A n ⊗A A m = (P ⊕ P ′ ) ⊗A (Q ⊕ Q ′ ) = (P ⊗ Q) ⊕ (P ⊗ Q ′ ) ⊕ (P ′ ⊗ Q) ⊕ (P ′ ⊗ Q ′ ), luego P ⊗ P ′
es proyectivo.
Si P es proyectivo entonces P ∗ es proyectivo, pues si P ⊕P ′ = A n entonces P ∗ ⊕P ′∗ = (P ⊕P ′ ) ∗ =
(A n ) ∗ = A n . Si P es un A-módulo proyectivo finito generado entonces P = P ∗∗ , como se deduce del
diagrama conmutativo
P ⊕ P ′ A n
(P ⊕ P ) ∗∗ = P ∗∗ ⊕ P ′∗∗
(A n ) ∗∗
Igualmente, si P es un A-módulo proyectivo finito generado P ∗ ⊗A M = HomA(P, M).
Si P es proyectivo entonces ΛrP es proyectivo: Si la composición de dos morfismos de A-módulos
P s → An π → P es el morfismo identidad, entonces la composición ΛrP → ΛrAn = A (nr)
r → Λ P es la
identidad.

2.5. Anillo de funciones diferenciables 47
En conclusión, Λ r ΩX =: Ω r X y Ω ∗ X = DerX, etc., son C ∞ (X)-módulos finito generados proyecti-
vos, Nul(Ω r X) = Nul(DerX) = 0, Der ∗ X = Ω ∗∗
X = ΩX, etc.
Con los mismos argumentos que para ΩX
Todas las proposiciones de las secciones 1.9 y 1.10 son igualmente válidas sustituyendo A por
C ∞ (X) y Ω i por Ω i X.
2.5 Anillo de funciones diferenciables
Sea (X, d) un espacio métrico. Si F : R + → R + es una función estrictamente creciente y de crecimiento
cada vez más pequeño (F ′ > 0 y F ′′ ≤ 0) y F (0) = 0 entonces d ′ = F ◦ d es una distancia y (X, d ′ )
es homeomorfo a (X, d). Consideremos F = x
1+x , en este caso d′ (p, q) = d(p,q)
1+d(p,q) y d′ (p, q) < 1 para
todo p, q ∈ X.
Sean ahora dos distancias d1, d2 en X y consideremos en X la topología menos fina que contenga
a las topologías definidas por d1 y d2, que es justamente la topología definida por d1 + d2. Como
la topología definida por una distancia d es la misma que la definida por λ · d, λ > 0, entonces la
topología definida por d1 + d2 es la misma que la definida por λ1 · d1 + λ2 · d2, λ1, λ2 > 0.
Sea ahora un conjunto numerable {di}i∈N de distancias en X y supongamos (como podemos) que
di ≤ 1/2 i , para cada i ∈ N. La topología menos fina que contiene a las topologías definidas por todos
los di coincide con la topología definida por la distancia d :=
i di.
Sea U ⊆ R n un abierto y {U1, U2, . . .} abiertos tales que sus cierres cumplen que Ūi ⊂ Ui+1 y son
compactos, y tales que ∪iUi = U.
Sea C k (U) las funciones en U de clase k. Para cada compacto K ⊆ U sea dK : C k (U) → R la
distancia definida por
d k K(f, g) := max{|D α (f − g)(x)|, |α| ≤ k, x ∈ K}
y |α| = α1 + · · · + αn.
donde Dα = ∂|α|
∂ α1 x ···∂ 1 αn
xn
Consideremos Ck (U) la topología menos fina que contiene a las topologías definidas por las distancias
dk K , para todo compacto K. Esta topología es igual a la topología menos fina que contiene a
las topologías definidas por dkŪi (o dkŪ
i
1+dkŪ ), i = 1, 2, . . ., que coincide con la topología definida por
i
d =
i
1
·
2i d kŪi
1 + d kŪi
Si en C∞ (U) consideramos la topología menos fina que contiene a las topologías definidas por las
distancias dk K , para todo compacto K y k ∈ N, entonces esta topología coincide con la topología
definida por
d =
i
1
·
2i d ī
Ui
1 + d ī
Ui
1. Teorema : C k (U) es un espacio métrico completo para toda 0 ≤ k ≤ ∞.
Demostración. Sea {fi}i∈N una sucesión de Cauchy. Para todo α ≤ K, {D α fi}i∈N es una sucesión de
Cauchy en C 0 (U), para el que suponemos bien conocido que es completo. Sean fα ∈ C 0 (U) el límite

48 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
de la sucesión {Dαfi}i∈N. Basta probar que Dαf0 existe y coincide con fα para todo α, con |α| ≤ k.
Si α = (β1, . . . , βj + 1, . . . , βn), basta probar que ∂fβ
= fα.
∂xj
Por el teorema del valor medio, dado a ∈ U, Dβfi(x) − Dβfi(a) = Dαfi(ξi)(xj − aj), con x =
(a1, . . . , xj, . . . , an) y ξi en el segmento que une a y x. Existe una subsucesión {ik} de modo que
{ξik } converge a un ξ (perteneciente al segmento que une a y x). Tomando límite cuando ik → ∞
obtenemos
fβ(x) − fβ(a) = fα(ξ) · (xj − aj) = fα(a) · (xj − aj) + o(xj − aj)
donde o(xj − aj)/xj − aj tiende a cero cuando xj → aj. Por tanto, ∂fβ
(a) existe y coincide con fα(a).
∂xj
Veamos ahora que el morfismo C ∞ (R n ) → R[[x1, . . . , xn]] que asigna a cada función diferenciable
su desarrollo de Taylor infinito, en un punto α ∈ R n cualquiera, es epiyectivo (sorprendentemente a
primera vista).
2. Lema : Sea f ∈ C ∞ (R n ), tal que D α (f)(0) = 0, para todo α, con |α| ≤ m. Dado ɛ > 0 existe
g ∈ C ∞ (R n ), que se anula en un entorno abierto de 0 tal que
||f − g||m < ɛ
con ||f − g||m := sup{|D α (f − g)(a)|, a ∈ R n , |α| ≤ m}.
Demostración. Sea η(x) ∈ C ∞ (R n ), tal que η(x) = 0, si ||x|| ≤ 1/2 y η(x) = 1 si ||x|| ≥ 1. Para δ > 0,
definamos
gδ(x) = η( x
) · f(x)
δ
Claramente gδ ∈ C ∞ (R n ) y se anula en un entorno abierto de 0. Calculemos ||f − gδ||m.
Tenemos que f − gδ = f · (1 − η(x/δ)) que es nula para ||x|| > δ y ||η(x)||m < ∞. Observemos que
por las hipótesis limx→0 D α f(x)/||x|| m−|α| = 0, luego
|D α (f − gδ)| = |D α f · (1 − η(x/δ)) +
0≤β

2.6. Localización en el álgebra tensorial diferencial 49
2.6 Localización en el álgebra tensorial diferencial
1. Teorema : Sea X una variedad diferenciable y U ⊆ X un abierto. Se cumple que
C ∞ (U) = C ∞ (X)U
con C ∞ (X)U := C ∞ (X)S, donde S es el conjunto de las funciones que no se anulan en ningún punto
de U.
Demostración. 1. Supongamos que X = R n . Sea {U1, U2, . . .} un recubrimiento de U por cubos
abiertos cuyas adherencias estén contenidas en U. Sean φi : R n → R funciones diferenciables positivas
sobre Ui y nulas en el complementario. Dada f ∈ C ∞ (U) sea
donde D α = ∂|α|
∂ α 1
x 1 ···∂ αn
xn
λi = sup
|α|≤i
|{D α (fφi)}|, µi = sup |{D α (φi)}|
y |α| = α1 + · · · + αn. Las series
g =
∞ 1
2i i=1
fφi
1 + λi + µi
; h =
|α|≤i
∞ 1
2i i=1
φi
1 + λi + µi
son funciones diferenciables, por el teorema anterior. Es evidente que f = g/h.
2. Caso general. Sumérjase X como subvariedad cerrada de un R m . Sea V un abierto de R m tal
que V ∩ X = U y F ∈ C ∞ (V ) su restricción a V ∩ X = U sea f. Sean G, H ∈ C ∞ (R m ), tal que H no
se anule en ningún punto de V y G/H coincida con F sobre V . Las restricciones de G y H a X, g y
h respectivamente, cumplen que h no se anula en ningún punto de U y f = g/h en U.
2. Observación : La función h construida en la primera parte de la demostración es positiva sobre
U y nula en el complementario. Por tanto, usando el teorema de inmersión de Whitney, concluimos
que todo cerrado de una variedad son los ceros de una función diferenciable.
Igualmente se puede probar que C k (U) = C k (X)U .
3. Corolario : 3 Sea X una variedad diferenciable y U ⊆ X un abierto. Entonces
(ΩX)U = ΩU , (Ω r X)U = Ω r U
Demostración. Sea A una k-álgebra y S ⊂ A un sistema multiplicativamente cerrado. El morfismo
A → AS, a ↦→ a
ΩAS/k, da
s ↦→ 1
s
1 , induce el morfismo ΩA/k → ΩAS/k, adb ↦→ a
1
a · d 1 . El morfismo inverso es ΩAS/k → (ΩA/k)S, d a
s
(Ω A/k)S = Ω AS/k, luego (ΩX)U = ΩU , df
s
Ahora ya,
↦→ s−1
|U · df |U .
(Ω r X)U = (Λ r C ∞ (X) ΩX)U = Λ r C ∞ (U) ΩU = Ω r U
d b
1 , que induce el morfismo (Ω A/k)S →
↦→ da
s
− ads
s 2 . Por tanto,
3 Este corolario es un caso particular de un teorema de la teoría de fibrados vectoriales: Sea X ′ → X un morfismo
entre variedades diferenciables y E → X un fibrado vectorial. Se cumple que
Hom X ′ (X ′ , E ×X X ′ ) = C ∞ (X ′ ) ⊗ C ∞ (X) HomX(X, E)
que se prueba, sumergiendo E en un fibrado vectorial trivial, considerando un fibrado vectorial suplementario y reduciendo,
pues, el teorema al caso de fibrado vectoriales triviales.

50 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
4. Lema : Si M es un A-módulo proyectivo finito generado entonces (M ∗ )S = (MS) ∗ (denoto
(MS) ∗ = HomAS (MS, AS)).
Demostración. Sea N tal que M ⊕ N = A n . Es fácil comprobar que ((A n )S) ∗ = ((A n ) ∗ )S. Del
diagrama conmutativo
se deduce que (M ∗ )S = (MS) ∗ .
5. Proposición : (DerX)U = DerU .
(M ∗ )S ⊕ (N ∗ )S = (M ∗ ⊕ N ∗ )S
((A n ) ∗ )S
(MS) ∗ ⊕ (NS) ∗ = (MS ⊕ NS) ∗ ((A n )S) ∗
2.7 Integración. Fórmula de Stokes
Fórmula de cambio de variable en integración.
Sea e1, . . . , en ∈ R n la base estándar de R n y w1, . . . , wn la base dual. Supongamos R n orientado
con la orientación estándar w1 ∧ · · · ∧ wn.
Dados n-vectores v1, . . . , vn ∈ Rn , llamamos palelepípedo generado por v1, . . . , vn al subconjunto
de Rn , P (v1, . . . , vn) = {
i λivi, 0 < λi < 1}. La aplicación V : Rn × n . . . × Rn → R
P (v1,...,vn)
V (v1, . . . , vn) :=
dx1 · · · dxn si v1, . . . , vn está positivamente orientada
−
P (v1,...,vn) dx1 · · · dxn si v1, . . . , vn está negativamente orientada
es una aplicación multilineal alternada (al lector) y como sobre la base estándar de R n vale 1, tenemos
que V = w1 ∧· · ·∧wn. Diremos que V (v1, . . . , vn) es el volumen (afectado de signo) del paralelepípedo
generado por v1, . . . , vn.
Consideremos ahora una aplicación lineal T : R n → R n . Obviamente T transforma el paralelepípedo
generado por v1, . . . , vn en el paralelepípedo generado por T (v1), . . . , T (vn) y
V (T (v1), . . . , T (vn)) = w1∧· · ·∧wn(T (v1)∧· · ·∧T (vn)) = wn(det(T )·v1∧· · ·∧vn) = det(T )V (v1, . . . , vn)
1. Teorema : Sean U y U ′ abiertos de R n y T : U ′ → U, T (y) = (T1(y), . . . , Tn(y)) un difeomorfismo
de clase C 1 . Sea f(x) ∈ C 0 (U) de soporte compacto. Entonces,
U
f(x) · dx1 · · · dxn =
Demostración. Podemos suponer que f ≥ 0.
U ′
f(T (y)) · | det( ∂Ti
)| · dy1 · · · dyn
∂yj
Consideremos un cubo cerrado C que contenga a U ′ y sea l la longitud de los lados de C. Sea
Cɛ = [−ɛ, ɛ] × n
· · · × [−ɛ, ɛ] y supongamos que l es un múltiplo entero de ɛ. Sean yɛk puntos de C, de
modo que C = ∪k(yɛk + Cɛ) y los cubos yɛk + Cɛ sean de interiores disjuntos.
T (y ′ ) − T (y) = H(y ′ , y) · (y ′ − y) para cierta matriz de funciones continuas H. Recordemos
que H(y, y) = ( ∂Ti
∂yj ). Así pues, T (y′ ) = T (y) + H(y, y)(y ′ − y) + (H(y ′ , y) − H(y, y))(y ′ − y). Sea

2.7. Integración. Fórmula de Stokes 51
G(y ′ , y) = H(y ′ , y) − H(y, y). Como G(y, y) = 0 entonces ||G(y, y)||∞ = 0 y dado δ > 0 existe un ɛ
de modo que para ||y ′ − y||∞ < ɛ entonces ||G(y ′ , y)||∞ < δ, es decir, G(y ′ , y) · Cλ ⊆ Cδ·λ. Por tanto,
T (y + Cɛ) ⊆ T (y) + H(y, y) · Cɛ + Cδ·ɛ ⊆ T (y) + H(y, y) · C ɛ·(1+δ ′ )
con δ ′ = δ · √ n (la longitud de la diagonal del cubo Cδ). Por tanto,
Por tanto,
C
≥ limɛ→0
Vol(T (y + Cɛ)) ≤ Vol(H(y, y) · C ɛ·(1+δ ′ )) = det(H(y, y)) · Vol(C ɛ·(1+δ ′ ))
= det(H(y, y)) · Vol(Cɛ) · (1 + δ ′ ) n
∂Ti
f(T (y)) · | det( ∂yj )| · dy1
· · · dyn = limɛ→0 k f(T (yɛk)) · | det( ∂Ti
∂yj (yɛk))| · Vol(Cɛ)
k f(T (yɛk)) · Vol(T (yɛk + Cɛ)) · (1 + δ ′ ) −n =
T (C) f(x) · dx1 · · · dxn · (1 + δ ′ ) −n
Por tanto,
U ′ f(T (y)) · | det( ∂Ti
∂yj )| · dy1 · · · dyn ≥
U f(x) · dx1 · · · dxn.
Si consideramos el morfismo inverso T −1 : U ′ → U y como función continua g(y) = f(T (y)) ·
| det( ∂Ti
∂yj )|, entonces, f(x) = g(T −1 −1
∂Ti (x)) · | det( )| y ∂xj
U
y concluimos que
f(x) · dx1 · · · dxn =
Integración de formas.
U
U f(x) · dx1 · · · dxn =
g(T −1 (x)) · | det(
−1
∂Ti )| · dx1 · · · dxn ≥
∂xj
U ′
g(y) · dy1 · · · dyn
U ′ f(T (y)) · | det( ∂Ti
∂yj )| · dy1 · · · dyn.
Sea U ⊂ R n un abierto, con la orientación dx1 ∧ . . . ∧ dxn. Sea w = f · dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∈ Ω n U y
supongamos que sop f es compacto.
2. Definición : Se define
w := U U f · dx1 · · · dxn.
Sea U ′ ⊂ Rn un abierto y escribamos ahora las coordenadas y1, . . . , yn. Si ϕ: U ′ → U es un
difeomorfismo que conserve la orientación, entonces el teorema del cambio de variables en integración
( ∗ =, más abajo) implica que
ϕ ∗
w = w
U ′ =ϕ −1 U
En efecto, ϕ∗w = f(ϕ1, . . . , ϕn) · dϕ1 ∧ · · · ∧ dϕn = f(ϕ1, . . . , ϕn) · ( ∂ϕ1
i ∂yi dyi) ∧ · · · ∧ ( ∂ϕn
i ∂yi dyi) =
f(ϕ1, . . . , ϕn) · det( ∂ϕi
∂yj ) · dy1 ∧ · · · ∧ dyn y
U ′ =ϕ−1 ϕ
U
∗
w =
U ′
f(ϕ1, . . . , ϕn) · det( ∂ϕi
∗
) · dy1 · · · dyn = f(x1, . . . , xn) · dx1 · · · dxn = w
∂yj
U
U
Sea X una variedad diferenciable orientada de dimensión n. Dada w una r-forma definimos sop w =
{x ∈ X tales que wx = 0}. Sea w una n-forma diferenciable y supongamos que sop w es compacto.
Supongamos que existe un difeomorfismo φ: X → U ′ ⊆ R n orientado. Tenemos pues un difeomorfismo
φ ∗ : C ∞ (U ′ ) → C ∞ (X), f ↦→ f ◦ φ = f(φ1, . . . , φn). Entonces existe una n-forma diferenciable en U ′ ,
U

52 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
w ′ = f(x1, . . . , xn) · dx1 ∧ · ∧ dxn, tal que φ ∗ w ′ = w (luego, w = f(φ1, . . . , φn) · dφ1 ∧ · · · ∧ dφn) y
definimos
X
w =
φ−1 (U ′ φ
)
∗ w ′ :=
U ′
w ′
:=
U ′
f(x1, . . . , xn) · dx1 · · · dxn
Veamos que la definición no depende del φ considerado. Sea φ ′′ : X → U ′′ ⊆ R n otro difeomorfismo
orientado, entonces ϕ = φ ′ ◦ φ ′′−1 : U ′′ → U ′ , y ↦→ (ϕ1(y), . . . , ϕn(y) es un difeomorfismo orientado.
Definamos w ′′ = ϕ ∗ w ′ , que cumple que φ ′′∗ (w ′′ ) = φ ′′∗ ϕ ∗ w ′ = φ ′∗ w ′ = w. Por tanto,
X
w
vía φ′′
=
U ′′
w ′′
=
ϕ−1 (U ′ ϕ
)
∗ w ′ =
U ′
′ vía φ′
w =
Sea X una variedad diferenciable de dimensión n orientada y w una n-forma diferenciable de
soporte compacto. Sea un número finito de abiertos coordenados U1, . . . , Un que recubran sop w y
consideremos el recubrimiento de X, {U1, . . . , Un, X − sop w}. Sea {f1, . . . , fn, f} una partición de la
unidad subordinada al recubrimiento. Observemos que w = f1 · w + · · · + fnw (y f · w = 0) y que
sop fi · w ⊂ Ui. Definimos
X
w :=
U1
f1w + · · · +
Esta definición no depende del recubrimiento ni de la partición: Sea {V1, . . . , Vm} abiertos coordenados
que recubran sop w y {g1, . . . , gm, g} una partición de la unidad subordinada a {V1, . . . , Vm, X−sop w}.
Entonces
n
n
m
n m
n m
fiw = figjw =
figjw = figjw
i=1
Ui
=
i=1
m
j=1
Ui j=1
Vj i=1
Dejamos ya que el lector pruebe:
i=1 j=1
n
m
figjw =
j=1
Vj
Ui∩Vj
gjw
Un
fnw
1. Si w1, . . . , wr son n-formas con soporte compacto entonces
X
X
w
i=1 j=1
Vj
i wi =
i wi.
2. Si φ: X → X ′ es un difeomorfismo orientado entre variedades diferenciables orientadas entonces
para toda n-forma diferenciable w ′ de X ′ de soporte compacto se satisface que
Fórmula de Stokes.
X=φ−1 (X ′ φ
)
∗ w ′ =
3. Definición : Sea X una variedad diferenciable, B ⊂ X un cerrado y ∂B el borde de B. Diremos
que B es una variedad con borde si para todo p ∈ ∂B existe un entorno coordenado U, u1, . . . , un de
p en X de modo que B ∩ U = {x ∈ U : u1(x) ≤ 0}.
Observemos que ∂B ∩ U ≡ u1 = 0, luego ∂B es una subvariedad diferenciable de X. Si wX es una
forma diferenciable de volumen en X que lo orienta, podemos definir una orientación en ∂B: Sea w ′
una n − 1-forma diferenciable en U tal que du1 ∧ w ′ = wX, entonces w ′ |∂B∩U
X ′
w ′
define una orientación
en ∂B ∩ U. Observemos que i∂u1 wX = w ′ − du1 ∧ i∂u1 wX, luego w ′ |∂B∩U = (i∂u1 wX) |∂B∩U . Sólo
tenemos que probar que esta orientación no depende de la u1 escogida: Si B ∩ U ≡ v1 ≤ 0 entonces

2.7. Integración. Fórmula de Stokes 53
v1 = u1 · F con F > 0 en B ∩ U (F = 0 incluso en ∂B ∩ U, porque dv1 = F du1 + u1dF es no nula en
todo punto). Sea w ′′ tal que dv1 ∧ w ′′ = wX. La n − 1 forma w ′ |∂B∩U coincide con la restricción de
i∂u1wX = i∂u1 (dv1 ∧ w ′′ ) = (F + u1 · ∂F
∂u1 ) · w′′ + v1 · i∂u1w′′ a ∂B, que coincide con F · w ′′
|partialB∩U .
Nota: Cuando escribamos
B w querremos decir 0
B w.
4. Lema : Sea X una variedad diferenciable orientada de dimensión n y B ⊂ X una variedad
con borde. Para cada x ∈ X existe un entorno abierto U de x de modo que para toda n − 1-forma
diferenciable w sobre X de soporte compacto contenido en U se cumple que
dw = w
B
Demostración.
1. Si x /∈ B, tómese U = X −B. Si w tiene soporte compacto contenido en U entonces
dw = 0 = B ∂B w.
2. Si x ∈ 0
B, sea U, u1, . . . , un un entorno coordenado de x, contenido en 0
B, isomorfo a un cubo,
es decir, tenemos
Ū ⊂ R n , Ū = (a1, b1) × . . . × (an, bn)
Si w es una n − 1 forma con soporte compacto incluido en U entonces
w = 0. Veamos que
∂B
B dw = 0: Por la linealidad de la integral podemos suponer que w = fdu2 ∧ · · · ∧ dun. Entonces
bn b1
∂f
∂f
dw = d(fdu2 ∧ · · · ∧ dun) = · du1 ∧ · · · ∧ dun = · · · · du1 · · · dun
B U
U ∂u1
an a1 ∂u1
bn b2 b1
∂f
= · · · ( du1) · du2 · · · dun
∂u1
=
an
bn
an
· · ·
a2
b2
U (u1,...,un)
−→ ∼
a2
a1
(f(b1, u2, . . . , un) − f(a1, u2, . . . , un)) · du2 · · · dun = 0
porque w es nula sobre los hiperplanos u1 = a1, u1 = b1.
3. Si x ∈ ∂B sea U, u1, . . . , un un entorno coordenado de x tal que B ∩ U ≡ u1 ≤ 0 y de modo que
U sea isomorfo a un cubo (a1, b1) × · · · × (an, bn), como en el caso anterior. Observemos que ∂B ∩ U
está coordenado por u2, . . . , un y es difeomorfo al cubo (a2, b2) × · · · × (an, bn). Consideremos una
n − 1-forma diferenciable con soporte compacto incluido en U.
Escribamos w =
i fidu1 ∧ · · · ∧ ˆ dui ∧ · · · ∧ dun. Entonces, w |∂B = f1(0, u2, . . . , un)du2 ∧ · · · ∧ dun
y
w = =
f1(0, u2, . . . , un) · du2 · · · dun
Por otra parte,
B
∂B
dw =
=
∂B∩U
dw =
(a2,b2)×···×(an,bn)
u1=0 u2=b2
B∩U u1=a1 u2=a2
u1=0 u2=b2 un=bn
u1=a1
u2=a2
· · ·
un=an
∂B
un=bn
· · ·
un=an
∂f1
du1 · · · dun
∂u1
i−1 ∂fi
(−1) du1 · · · dun
∂ui
pues, ∂fi
∂ui du1 · · · dun son formas como en 2. nulas sobre los hiperplanos ui = ai, ui = bi. Por tanto,
i

54 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
B
dw =
u2=b2
u2=a2
· · ·
un=bn
un=an
0
(
a1
∂f1
) · du1 · · · dun =
∂u1
u2=b2
u2=a2
un=bn
· · ·
un=an
f1(0, u2, . . . , un) · du2 · · · dun
5. Teorema de Stokes: Sea w una n − 1-forma de soporte compacto sobre X. Se cumple que
B
dw =
Demostración. Sea {U1, . . . , Un} abiertos coordenados que recubran el soporte de w y que satisfagan
el lema anterior. Sea f1, . . . , fn, f una partición de la unidad subordinada a {U1, . . . , Un, X − B}.
Entonces
B
dw =
B
d(
fiw) =
i
i
B
∂B
w
d(fiwi) =
2.8 Gradiente, divergencia y rotacional
i
fiwi =
∂B
fiwi =
∂B
Vayamos con el ejemplo fundamental. Consideremos el anillo C ∞ (R n ) y el C ∞ (R n )-módulo libre de
rango n, ΩR n. 4 DerR n es el C∞ (R n )-módulo dual de ΩR n.
Sea T2 : DerRn × DerRn → C∞ (Rn ) una aplicación C∞ (Rn )-bilineal. Sea w1, . . . , wn una base de
aij · wi ⊗ wj, aij ∈ C
ij
∞ (Rn ), de modo que
ΩR n. Sabemos que T2 =
T2(D1, D2) =
aijwi(D1) · wj(D2)
ij
T2 induce la polaridad, T2 : DerRn → ΩRn, T2(D) := iDT2 =
aijwi(D) · wj. Supongamos que
la polaridad T2 es un isomorfismo. Denotemos por T 2 el morfismo inverso de T2.
1. Definición : Dada f ∈ C ∞ (R n ) se define grad f = T 2 (df).
2. Proposición : Se cumple que
Ω n+1
R n
1. grad(λf) = λ grad f, λ ∈ R, f ∈ C ∞ (R n ).
2. grad(f + g) = grad(f) + grad g, f, g ∈ C ∞ (R n ).
3. grad(fg) = f grad g + g grad f.
Interpretación geométrica de las diferenciales, campos, gradiente,.....
Fijemos “una forma de volumen” wX ∈ Ω n R n de modo que Ωn = C ∞ (R n ) · wX. Observemos que
= 0 y por tanto, dwX = 0.
4 Podríamos desarrollar la teoría correspondiente considerando una k-álgebra A tal que ΩA/k fuese un A-módulo
finito generado localmente libre...
ij
B
w

2.8. Gradiente, divergencia y rotacional 55
3. Definición : Dado D ∈ DerRn se define la divergencia de D, que denotaremos por div D, como
la función que cumple
D L wX = (div D) · wX
Observemos que D L wX = (diD + iDd)wX = diDwX. Así pues,
diDwX = (div D) · wX
4. Teorema de la divergencia: Sea B ⊂ X una subvariedad con borde compacta. Sea wX una
forma de volumen en X, N un campo normal al borde ∂B de módulo 1 y w∂B la forma de volumen
en ∂B. Sea D un campo diferencial de vectores en X. Entonces por el teorema de Stokes
B
(div D) · wX =
5. Proposición : div(fD) = f · div D + Df.
iDwX =
∂B
∂B
(D · N) · w∂B
Demostración. div(fD) · wX = (fD) L wX = (difD)wX = difDwX = d(f · iDwX) = df ∧ iDwX +
fdiDwX = −iD(df ∧ wX) + iDdf ∧ wX + fD L wX = Df · wX + f div D · wX.
Consideremos ahora el C ∞ (R 3 )-módulo libre de rango 3, Ω R 3. Sea T2 = dx1 ⊗ dx1 + dx2 ⊗ dx2 +
dx3 ⊗ dx3 y w R 3 = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 la forma diferencial de volumen de R 3 . El morfismo Der R 3 → Ω 2 R 3,
D ′ ↦→ iD ′w R 3 es un isomorfismo de C∞ (R 3 )-módulos.
6. Definición : Dado D ∈ Der R 3 se define el rotacional de D, que denotamos por rot D, como el
campo que cumple que
irot Dw R 3 = diDT2
7. Teorema : Sea S una subvariedad diferenciable compacta de R3 de dimensión 2, y N un vector
normal a S de módulo 1. Sea B ⊂ S una subvariedad con borde y sea T un vector tangente a ∂B de
módulo 1. Sea D un campo diferencial de vectores en R3 . Entonces por el teorema de Stokes
B
((rot D) · N) · wB =
irot DwR3 =
B
iDT2 =
∂B
∂B
(D · T ) · w∂B
8. Teorema : rot(D) = 0 ⇐⇒ Existe una función f ∈ C ∞ (R 3 ) tal que D = grad f.
Demostración. rot D = 0 ⇐⇒ 0 = irot Dw R 3 = d(T2(D)) ⇐⇒ T2(D) = df, para cierta f ∈ C ∞ (R 3 )
⇐⇒ D = T 2 (df) = grad f para cierta f ∈ C ∞ (R 3 ).
“Un campo de fuerzas es conservativo si y sólo si es un gradiente”
9. Teorema : div D ′ = 0 ⇐⇒ Existe una derivación D tal que D ′ = rot D.
Demostración. div(D ′ ) = 0 ⇐⇒ 0 = div(D ′ ) · wR3 = d(iD ′wR3) ⇐⇒ Existe w ∈ ΩR3 tal que
iD ′wR3 = dw. Ahora bien, para toda w ∈ ΩR3 existe una (única) derivación D tal que w = T2(D).
Por tanto, div(D ′ ) = 0 ⇐⇒ Existe D tal que iD ′wR3 = dT2(D) ⇐⇒ D ′ = rot D, para cierto D.
10. Ejercicio : rot fD = f · rot D + grad(f) × D.

56 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
2.9 Apéndice 1. Normas
1. Definición : Sea E un R-espacio vectorial. Una norma es una aplicación E → R + , e Not.
↦→ ||e|| que
cumple
1. ||e|| = 0 ⇐⇒ e = 0.
2. ||λ · e|| = |λ| · ||e||, para todo λ ∈ R y e ∈ E.
3. ||e + e ′ || ≤ ||e|| + ||e ′ ||, para todo e, e ′ ∈ E.
2. Ejemplo : Supongamos E = R n y consideremos la norma || ||1 definida por ||(λ1, · · · , λn)||1 :=
|x1| + · · · + |x2| Otra norma que podemos definir en R n es || ||2 definida por ||(λ1, · · · , λn)||2 :=
λ 2 1 + . . . + λ 2 n. Otra norma que podemos definir en R n es || ||∞ definida por ||(λ1, · · · , λn)||∞ :=
max{|x1|, . . . , |xn|}.
E, || || se dice que es un espacio normado. La norma || || define en E una distancia, d, d(e, e ′ ) :=
||e − e ′ || que cumple que d(e, e ′ ) = 0 ⇐⇒ e = e ′ (por la propiedad 1.), que d(e, e ′ ) = d(e ′ , e) (por la
propiedad 2.) y que d(e, e ′′ ) ≤ d(e, e ′ )+d(e ′ , e ′′ ) (por la propiedad 3.). Luego || || define una topología
en E, para la cual una base de entornos de cada punto e ∈ E es
B(e, δ) := {e ′ ∈ E : d(e ′ , e) < δ} = {e ′ ∈ E : ||e − e ′ || < δ}
3. Teorema : Si E es un R espacio vectorial de dimensión finita entonces todas las normas de E
definen la misma topología.
Demostración. Podemos suponer que E = Rn y que e1, . . . , en es la base estándar. Sea || || una norma
en E y M = max{||e1||, . . . , ||en||}. Entonces, dado e =
i λiei tenemos que ||e|| = ||
i λiei||
≤
i |λi|||ei|| ≤
i |λi| · M = M · ||e||1. Por tanto, || || ≤ M · || ||1.
Consideremos en Rn la topología estándar definida por || ||1 (que es la misma que la definida por
|| ||2). La norma Rn → R, e ↦→ ||e|| es una aplicación continua, pues
| ||e|| − ||e ′ || | ≤ ||e − e ′ || ≤ M · ||e − e ′ ||1
Sea m el mínimo de || || sobre el compacto K = {e ∈ R n : ||e||1 = 1}. Por tanto, || || ≥ m · || ||1.
En conclusión, la topología definida por || || es la misma que la definida por || ||1.
Sea E, || || un espacio vectorial normado de dimensión finita. Podemos definir una norma en
Endk E del siguiente modo: Dado T ∈ Endk E, ||T || := max{||T (e)||: ||e|| = 1}. Por tanto, ||T (e)|| ≤
||T || · ||e||, para todo e ∈ E.
2.10 Apéndice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas
de ecuaciones diferenciales
Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales
dx1
dt = f1(x1, . . . , xn)
. . .
dxn
dt = fn(x1, . . . , xn)

2.10. Apéndice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales 57
Dar una solución de este sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales a1(λ), . . . , an(λ)
es dar funciones φi(t, λ) tales que dφi
dt = fi(φ1, . . . , φn) y φi(t0, λ) = ai(λ).
Si escribimos x = (x1, . . . , xn) y F = (f1, . . . , fn) podemos escribir de modo reducido el sistema
anterior como
dx
dt
= F (x)
y dada la condición inicial a(λ) = (a1(λ), . . . , an(λ)), buscamos φ(t, λ) = (φ1(t, λ), . . . , φn(t, λ)) tal
que
dφ
= F (φ)
dt
y φ(t0, λ) = a(λ).
El sistema de ecuaciones diferenciales (con condición inicial a(λ)) es equivalente a la ecuación
x = a(λ) +
t
t0
F (x) · dt
Dada ϕ si denotamos ϕ ∗ = a(λ) + t
0 F (ϕ) · dt, buscamos φ tal que φ = φ∗ .
Vamos a ver que bajo ciertas condiciones, si consideramos una ϕ cualquiera y tomamos ∗ infinitas
veces obtenemos una φ tal que al tomar ∗ una vez más obtenemos φ, es decir, φ ∗ = φ. Así
demostraremos que el sistema de ecuaciones diferenciales anterior tiene solución.
1. Lema : Sea X, d un espacio métrico completo y T : X → X una aplicación contractiva, es decir,
tal que exista una constante 0 ≤ c < 1 tal que d(T (x), T (y)) ≤ c·d(x, y), para todo x, y ∈ X. Entonces
existe un único punto p ∈ X tal que T (p) = p.
Demostración. Sea x ∈ X un punto cualquiera. La sucesión {xn := T n (x)} es una sucesión de Cauchy:
Sea a = d(x, T (x)) entonces d(T n (x), T n+1 (x)) ≤ c · d(T n−1 (x), T n (x)) ≤ · · · ≤ c n · d(x, T (x)) = c n · a.
Entonces, dado n ≥ m se cumple que
d(T m (x), T n (x)) ≤ d(T m (x), T m+1 (x)) + d(T m+1 (x), T m+2 (x)) + · · · + d(T n−1 (x), T n (x))
≤ c m · a + c m+1 · a + . . . + c n−1 · a = a · cm − cn 1 − c ≤ cm ·
a
1 − c
que es todo lo pequeño que se quiera para n, m grandes.
Por tanto, la sucesión converge a un punto p. Por ser T contractiva es continua, luego T (p) =
T (limn→∞ xn) = limn→∞ T (xn) = limn→∞ xn+1 = p.
Si T (p ′ ) = p ′ entonces d(p, p ′ ) = d(T (p), T (p ′ )) ≤ c · d(p, p ′ ), luego d(p, p ′ ) = 0 y p ′ = p.
2. Teorema : Sea F ∈ C 1 (R n , R n ) con soporte compacto y a(t1, . . . , tm) ∈ C 0 (R m , R n ). Entonces
existe una única solución φ(t, t1, . . . , tm) ∈ C 0 (R × R m , R n ) (derivable en t) del sistema de ecuaciones
diferenciales
dx
dt
= F (x)
con condiciones iniciales, para t = t0, φ(t0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).

58 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
Demostración. Sea U un cubo abierto de R m y E = {ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈ C 0 ((t0 − ɛ, t0 + ɛ) × U, R n ),
ϕj acotadas, para todo j}.
Dada una función real acotada g denoto por ||g||∞ como el supremo de g en su dominio de
definición. Defino en E la norma ||ϕ||∞ := max{||ϕj||∞, para todo j}. E, || ||∞ es un espacio
normado completo.
F (x) − F (y) = H(x, y) · (x − y), siendo H(x, y) una matriz de funciones con soportes compacto.
Sea K = max{||H(x, y)||∞, x, y ∈ R n }. Por tanto, ||F (ϕ) − F (ϕ ′ )||∞ ≤ K · ||ϕ − ϕ ′ ||∞. Tomemos
ɛ = 1/2K (que depende sólo de F , y no de quien sea t0 ni a(t1, . . . , tm)).
La aplicación T : E → E, T (ϕ) := a(t1, . . . , tm) + t
t0 F (ϕ(s, t1, . . . , tm)) · ds es contractiva, pues
||T (ϕ) − T (ϕ ′ )||∞ = ||
≤ |
t
F (ϕ) − F (ϕ) ds||∞ ≤ |
t
||F (ϕ) − F (ϕ ′ )||∞ds|
t0
t0
t
K · ||ϕ − ϕ
t0
′ ||∞ds| ≤ ɛ · K · ||ϕ − ϕ ′ ||∞ = 1
2 ||ϕ − ϕ′ ||∞
Así pues, por el lema existe una única φ ∈ E, tal que T (φ) = φ, es decir una única φ ∈ E solución
del sistema de ecuaciones diferenciable con condición inicial φ(t0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).
Si existiese otra φ ′ ∈ C0 ((t0 − ɛ, t0 + ɛ) × U, Rn ) solución del sistema, entonces reduciendo (todo
lo poco que se quiera) los cubos (t0 − ɛ, t0 + ɛ) y U, se cumplirá que φ ′ es acotada, luego habrá de
coincidir con φ. En conclusión φ ′ = φ.
Como U es una cubo abierto, todo lo grande que se quiera, existe una única φ ∈ C0 ((t0 − ɛ, t0 +
ɛ) × Rm , Rn ) solución del sistema con condiciones iniciales φ(t0, t) = a(t).
Sea ahora t ′ 0 = t0 + ɛ/2. Del mismo modo dado el sistema dx
dt
= F (x) con condición inicial
x(t ′ 0) = φ(t ′ 0), existe un única solución φ ′ ∈ C 0 ((t ′ 0 − ɛ, t ′ 0 + ɛ) × R m , R n ). Ahora bien las restricciones
de φ y φ ′ a (t ′ 0 − ɛ/2, t ′ 0 + ɛ/2) × R m son soluciones del sistema en este abierto, luego coinciden. Luego
tenemos una solución φ ′′ ∈ C 0 ((t0 − ɛ, t0 + 1.5 · ɛ) × R m , R n ) del sistema de ecuaciones, con condición
inicial x(t0) = a(t), que es única porque cualquier otra sobre (t0 − ɛ, t0 + ɛ) × R m coincide con φ y
por tanto sobre (t ′ 0 − ɛ/2, t ′ 0 + ɛ/2) × R m con φ ′ . Argumentando así sucesivamente, demostramos que
existe una única φ ∈ C 0 (R × R m , R n ) solución del sistema con condiciones iniciales x(t0) = a(t).
Como habrá podido observar el lector la existencia y unicidad de la solución es un problema
esencialmente local.
3. Teorema : Sea F ∈ C 1 (R n , R n ) y a(t1, . . . , tm) ∈ C 0 (R m , R n ). Dado b = (b0, b1, . . . , bm) ∈ R m+1 ,
existe un entorno abierto conexo V de b y una única solución φ(t, t1, . . . , tm) ∈ C 0 (V, R n ) (derivable
en t) del sistema de ecuaciones diferenciales
dx
dt
= F (x)
con condiciones iniciales, para t = b0, φ(b0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).
Demostración. Sea U un entorno abierto de a(b1, . . . , bm) ∈ R n y H ∈ C ∞ (U) con soporte compacto
en U y que en un entorno más pequeño U ′ de a(b1, . . . , bm) es H |U ′ = 1.
Sea ˜ F = H · F y ˜ φ la única solución de la ecuación diferencial dx
dt = ˜ F (x), con condición inicial
˜φ(b0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm). Sea V ⊂ ˜ φ −1 (U ′ ) un entorno abierto conexo de b. Es claro que
φ := ˜ φ |V es una solución del sistema dx
dt = F (x), con condición inicial φ(b0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).
Además si φ ′ es otra solución sobre V , entonces es también solución sobre V ∩ φ ′−1 (U), del sistema

2.10. Apéndice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales 59
dx
dt = ˜ F (x) luego ha de coincidir (como vimos en la demostración del teorema anterior) con ˜ φ |V , sobre
la componente conexa de V ∩ φ ′−1 (U) que contenga a b. Los puntos donde coinciden φ ′ y ˜ φ|V es un
cerrado, luego V ∩ φ ′−1 (U) = V y φ ′ = ˜ φ|V .
Dependencia diferenciable de las condiciones iniciales:
Si F ∈ C k (R n , R n ) y a(t1, . . . , tm) ∈ C k (R m , R n ) entonces la solución φ también es de clase k:
Es un problema local. Veamos que podemos proceder como en el teorema 2.10.2.
Sea U un cubo abierto de R m y Uɛ = (t0 − ɛ, t0 + ɛ). Dada una función g(t, t1, . . . , tm) ∈ C k (Uɛ ×
U, Rn ∂
), denotemos gα =
α g
∂α0 t···∂αm tm . Dada ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈ Ck (Uɛ × U, Rn ) definamos ||ϕ|| :=
max{||ϕj,α||∞, para todo j y |α| ≤ k}. Sea K ′ = ||a |Uɛ×U ||.
Sea E = {ϕ ∈ Ck (Uɛ × U, Rn ), tales que ||ϕ|| ≤ 2K ′ }, que es un espacio métrico completo.
Dada α, con |α| ≤ k, tendremos que Fi(ϕ1, . . . , ϕn)α = Gi,α (ϕj,β) j,|β|≤k, para cierta función
Gi,α ∈ C0 (RN , Rn ), con N = n · #{β : |β| ≤ k}, que no depende de ϕ. Sea G = (Gj,β ) j,|β|≤k. Dado
K ′ > 0, existe una constante K, tal que
1. ||G(x j,β ) − G(y j,β )||∞ ≤ K · ||(x j,β ) − (y j,β )||∞, para todo (x j,β ) y (y j,β ) tales que ||(x j,β )||∞,
||(y j,β )||∞ < K ′
2. ||G(x j,β )||∞ < K · ||(x j,β )||∞, para todo (x j,β ) tal que ||(x j,β )||∞ < K ′ .
En tal caso, ||F (ϕ) − F (ϕ ′ )|| < K · ||ϕ − ϕ ′ || y ||F (ϕ)|| < K · ||ϕ||, si ||ϕ|| y ||ϕ ′ || < K ′ . Sea
ɛ = 1
2K . La aplicación T : E → E, T (ϕ) = a(t1, . . . , tn) + t
t0 F (ϕ(s, t1, . . . , tn)) · ds está bien definida
y es contractiva. Veamos que T (ϕ) ∈ E:
||T (ϕ)|| ≤ ||a||+||
t
Veamos que T es contractiva:
t0
F (ϕ)·ds|| ≤ K ′ +|
||T (ϕ) − T (ϕ ′ )|| = ||
≤ |
t
t
t0
||F (ϕ)||·ds| ≤ K ′ +|
F (ϕ) − F (ϕ) ds|| ≤ |
t
t
K·||ϕ||·ds| ≤ K ′ +K·2K ′ ·ɛ = 2K ′
t0
||F (ϕ) − F (ϕ ′ )|| · ds|
t0
t0
t
K · ||ϕ − ϕ
t0
′ || · ds| ≤ ɛ · K · ||ϕ − ϕ ′ || = 1
2 ||ϕ − ϕ′ ||
Por tanto, existe φ ∈ E tal que T (φ) = φ, que es la solución local del sistema de ecuaciones
diferenciales.
Curvas integrales de un campo
Sea D =
i fi · ∂ ∈ DerRn. Nos planteamos la existencia (local) de una aplicación diferenciable
∂xi
τ : R × R n → R n , (t, x) ↦→ τ(t, x)
tal que τ∗(( ∂
∂t ) (t,x)) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.
Si escribimos τ = (τ1, . . . , τn), sabemos que τ∗(( ∂
∂t ) (t,x)) = ( ∂τi
i ∂t
∂
∂xi ) τ(t,x). Por tanto, τ∗(( ∂
∂t ) (t,x)) =
D τ(t,x) si y sólo si ∂τi
∂t = fi(τ). Si escribimos F = (f1, . . . , fn) entonces τ es justamente la solución
del sistema de ecuaciones diferenciales
dτ
dt
= F (τ)

60 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
con condiciones iniciales τ(0, x) = x. Si D es un campo con soporte compacto sabemos que existe
una única τ “global”. En general, para cada x ∈ Rn existe un entorno abierto Ux de x, un ɛx) ∈ R y
una única aplicación diferenciable τ : Uɛx × Ux → Rn , de modo que τ∗( ∂
∂t (t,x) ) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.
Por tanto, si W = ∪x∈RnUɛx × Ux ⊂ R × Rn tenemos definida una única aplicación diferenciable
τ : W → Rn , de modo que τ∗( ∂
∂t (t,x) ) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.
Denotemos τt : U → Rn , τt(x) = τ(t, x). Se cumple que τt ◦ τs = τt+s (donde todo esté definido).
En efecto, cumplen el mismo sistema de ecuaciones diferenciales
dτ(t, τ(s, x))
dt
= F (τ(t, τ(s, x))),
dτ(t + s, x)
dt
= F (τ(t + s, x))
y cumplen las mismas condiciones iniciales τ(0, τ(s, x)) = τ(s, x) = τ(0 + s, x). Se dice que τt(x) es
el “grupo uniparamétrico” asociado a D.
Observemos que si fijamos un x ∈ R n , obtenemos una curva
σx : Uɛ −→ R n , σx(t) = τ(t, x)
en Rn cuyo campo tangente en σx(t) = τ(t, x) es σx,∗(( ∂
∂t )t) = τi(t,x)
i dt ( ∂
∂xi ) σx(t) = Dσx(t). Se dice
que σx es la curva integral de D en x.
Sea W ⊂ R×Rn un abierto conexo máximo, que contenga a 0×Rn y para el que existe τ : W → Rn una (única) aplicación diferenciable tal que τ∗( ∂
∂t (t,x) ) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x. Sean y = (t, x) ∈ W ,
Uɛ = (ɛ, ɛ), Uy entorno abierto de y y τ : Uɛ × Uy → Rn . Si Ux es un entorno abierto conexo de x tal
que τt(Ux) ⊆ Uy, entonces la aplicación ˜τ : (t − ɛ, t + ɛ) × Ux → Rn , ˜τ((t ′ , x ′ )) := τt ′ −t(τt(x ′ )), coincide
con τ : W → Rn sobre W ∩ ((t − ɛ, t + ɛ) × Ux). Por tanto, (t − ɛ, t + ɛ) × Ux ⊆ W . Es fácil concluir
que, dado x ∈ Rn entonces (R × x) ∩ W τ → Rn es la curva integral máxima de D que pasa por x.
Reducción local de un campo a forma canónica
Si F : U → V es un difeomorfismo entre abiertos de Rn , “entonces todo lo que digamos en U
podemos traducirlo a V ”. Dada una función en g en U, tenemos la correspondiente función en V :
g◦F −1 . Dada una derivación D en U, tenemos la derivación F (D) en V , determinada por el diagrama
conmutativo
C ∞ (U)
D
C ∞ (U)
F ∗−1
F ∗−1
C ∞ (V )
F (D)
C ∞ (V )
Es decir, F (D)g := D(g ◦ F ) ◦ F −1 . Puede comprobarse que F (D) F (α) = F∗Dα. D = ∂
∂x1 en
un sistema de coordenadas x1, . . . , xn si y sólo si F (D) = ∂
∂y1 en el sistema de coordenadas y1 =
x1 ◦ F, . . . , yn = xn ◦ F .
Sigamos las notaciones del apartado anterior. Supongamos que Dp = 0, por tanto fi(p) = 0 para
algún i. No hay pérdida de generalidad si suponemos que f1(p) = 0. Sea V = {(y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn tales que (y1, x1(p), y2, . . . , yn) ∈ Uɛ × U} y consideremos la composición de morfismos
A nivel tangente tenemos
∂
∂y1
∂
∂yi
i∗
↦→ ∂
i∗
↦→
i
V
↩→ Uɛ × U
(y1, y2, . . . , yn) ↦→ (y1, x1(p), y2, . . . , yn)
∂t
∂
∂xi
, i > 1
∂
∂t
( ∂
∂xi )0,q
τ∗
↦→ D
τ∗
↦→ (
∂τj(0,x)
j ∂xi
τ
→ R n
· ∂
∂xj )q = ( ∂
∂xi )q

2.11. Apéndice 3. Inmersión de variedades compactas 61
En conclusión, la matriz de (τ ◦ i)∗ en el punto (0, p2, . . . , pn) es
⎛
f1(p)
⎜
⎜f2(p)
⎜
⎝ .
0
1
.
. . .
. . .
⎞
0
0 ⎟
. ⎠
fn(p) 0 . . . 1
Luego τ ◦ i es un difeomorfismo de un entorno abierto V ′ de (0, p2, . . . , pn) con un entorno abierto U
de p y tenemos
V ′ U
↔ D
∂
∂y1
y en las coordenadas z1 = y1 ◦ (τ ◦ i) −1 , . . . , zn = yn ◦ (τ ◦ i) −1 , D = ∂
∂z1 .
Sea wr una r-forma diferencial en un abierto U ⊂ R n y D una derivación. Veamos que
D L τ
wr = lim
t→0
∗ t (wr) − wr
t
Si Dp = 0 entonces en un entorno V de p, D = ∂
∂z1 en cierto sistema de coordenadas z1, . . . , zn.
Entonces τt((z1, . . . , zn)) = (z1 + t, z2, . . . , zn), como es de comprobación inmediata. Escribamos
wr = fi1...ir · dzi1 ∧ · · · ∧ dzir , entonces en V
τ
lim
t→0
∗ t (wr) − wr
t
= ∂fi1...ir
∂z1
· dzi1 ∧ · · · ∧ dzir = DL wr
Si D = 0 en un entorno abierto V de p entonces τt(x) = x para todo x ∈ V , como es de
∗
τt (wr)−wr
.
comprobación inmediata. Entonces en V , DLwr = 0 = limt→0
En conclusión, DL ∗
τt wr = limt→0 (wr)−wr
t
t
en un abierto denso de puntos de U, luego son iguales.
2.11 Apéndice 3. Inmersión de variedades compactas
1. Definición : Sea φ: Y → X una aplicación diferenciable entre dos variedades. Se dice que φ es
una inmersión local en y ∈ Y si la aplicación lineal tangente en y es inyectiva.
Obviamente φ es una inmersión local en y si y sólo si la aplicación lineal cotangente φ∗ : mφ(y)/m2 φ(y)
→ my/m2 y es epiyectiva. En este caso, si dφ(y)x1, . . . , dφ(y)xn es una base de mφ(y)/m2 φ(y) , reordenando
la base, podemos suponer que dy(x1 ◦ φ), . . . , dy(xr ◦ φ) es una base de my/m2 y. Sea V un entorno
abierto de y en el que y1 = x1 ◦ φ, . . . , yr = xr ◦ φ sean un sistema de coordenadas. Por tanto,
para j > r, xj ◦ φ = fj(x1 ◦ φ, . . . , xr ◦ φ), para ciertas funciones diferenciables fj. Las funciones
z1 = x1, . . . , zr = xr, zr+1 = xr+1 − fr+1(x1, . . . , xr), . . . , zn = xn − fn(x1, . . . , xr) son un sistema de
coordenadas en un entorno U de φ(y). Reduciendo V si es preciso para que φ(V ) ⊂ U, tenemos
φ: V, {x1, . . . , xr} → U, {z1, . . . , zn}
p = (p1, . . . , pr) ↦→ φ(p) = (p1, . . . , pr, 0, . . . , 0)
Recíprocamente, si existen sistemas de coordenadas en los que φ se expresa de este modo entonces φ
es una inmersión local.

62 Capítulo 2. Cálculo Tensorial en Geometría Diferencial
2. Definición : Sea φ: Y → X una aplicación diferenciable entre dos variedades. Se dice que φ es
una inmersión si φ es inyectiva e inmersión local an cada punto.
A pesar del nombre, puede ocurrir que la imagen de Y no se identifica con una subvariedad de
X, como sucede con el “ocho” en el plano, parametrizado convenientemente. Ahora bien, si además
φ: Y → φ(Y ) es un homeomorfismo entonces φ(Y ) es una subvariedad diferenciable de X y además
φ: Y → φ(Y ) es un difeomorfismo.
3. Observación : Si Y es compacta, entonces φ: Y → φ(Y ) es un homeomorfismo, y, por tanto,
φ(Y ) es una subvariedad de X.
Sea X una variedad diferenciable compacta. Queremos encontrar una inmersión
φ = (f1, . . . , fm): X → R m ,
con lo cual, tendremos identificada la variedad X con una subvariedad de R m .
4. Proposición : Sea φ = (f1, . . . , fm): X → R m una aplicación diferenciable. Entonces, φ es una
inmersión si y sólo si las funciones f1, . . . , fm separan puntos de X y separan vectores tangentes de
X.
(Separan puntos si, para cualesquiera x, x ′ ∈ X entonces fi(x) = fi(x ′ ) para todo i, si y sólo
si x = x ′ . Separan vectores tangentes si, para todo punto x ∈ X y todo par de vectores tangentes
Dx, D ′ x ∈ TxX se cumple que si dxfi(Dx) = dxfi(D ′ x), para todo i, entonces Dx = D ′ x).
Demostración. Que separe puntos equivale a que φ sea inyectiva. Que separe vectores tangentes
equivale a que la aplicación lineal tangente sea inyectiva en todo punto.
5. Teorema de inmersión en el caso compacto: Toda variedad diferenciable compacta es difeomorfa
a una subvariedad diferenciable de algún R m .
Demostración. Buscamos funciones f1, . . . , fm que separen puntos y separen vectores tangentes.
Sea U1, . . . , Ur un recubrimiento finito por abiertos coordenados de X y {ui1, . . . , uin} el sistema de
coordenadas en Ui. Sea {f1, . . . , fr} ⊂ C∞ (X) una partición de la unidad subordinada al recubrimiento
(sop fi ⊂ Ui,
i fi = 1). Consideremos ahora la siguiente colección de funciones {fi, fi · uik}i,k,
todas definidas en X, si extendemos fi · uik por cero fuera del abierto Ui.
Comprobemos que esta colección separa puntos y vectores tangentes, y con ello habremos acabado
la demostración.
Separan puntos: dados dos puntos x, x ′ ∈ X, para algún j se cumple fj(x) = 0. Si 0 = fj(x) =
fj(x ′ ) entonces x, x ′ ∈ Uj. Ahora ya, si fj(x) · ujk(x) = fj(x ′ ) · ujk(x ′ ) para todo k, entonces
ujk(x) = ujk(x ′ ) y x = x ′ .
Separan vectores tangentes: Dados dos vectores tangentes Dx, D ′ x ∈ TxX, existe i tal que fi(x) =
0. Si dxfi(Dx) = dxfi(D ′ x) y dx(fi·uik)(Dx) = dx(fi·uik)(D ′ x) para todo k, entonces fi(x)dxuik(Dx) =
fi(x)dxuik(D ′ x) para todo k. Por tanto, dxuik(Dx) = dxuik(D ′ x) para todo k y Dx = D ′ x.

Capítulo 3
Aplicaciones de la teoría
3.1 Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
λ11x1+ · · · +λn1xn = b1
. . .
λ1mx1+ · · · +λnmxn = bm
Sea T : R n → R m la aplicación lineal de matriz asociada (λij) en las bases estándar y e ′ = (b1, . . . , bm).
Las soluciones del sistema de ecuaciones lineales se corresponden con los vectores e = (x1, . . . , xn) ∈ R n
tales que T (e) = e ′ .
Sea T : E → E ′ una aplicación k-lineal entre k-espacios vectoriales de dimensión finita.
1. Definición : Se llama rango de T , que denotaremos rango T , a la dimensión de Im T .
Como E/ Ker T = Im T , ē ↦→ T (e), se tiene que rango T = dim Im T = dim E − dim Ker T .
Si {e1, . . . , en} es una base de E, entonces Im T = 〈T (e1), . . . , T (en)〉 y hemos definido rango T
como el número máximo de T (ei) que son linealmente independientes entre sí. Si (λij) es una matriz
asociada a T entonces rango T es el número máximo de columnas linealmente independientes entre sí.
Sea {v1, . . . , vn} una base de un espacio vectorial V y ui =
j λijvj, 1 ≤ i ≤ s. Tendremos que
u1 ∧ · · · ∧ us = λj1,...,jsvj1 ∧ · · · ∧ vjs
Calculemos λj1,...,js. Sea i: 〈u1, . . . , us〉 ↩→ V , la inclusión y π : V → 〈vj1, . . . , vjs〉 tal que π(vj) = 0
si j = {j1, . . . , js} y π(vji) = vji, para 1 ≤ i ≤ s. Entonces
En conclusión,
det(π ◦ i) · vj1 ∧ . . . ∧ vjs = Λ s (π ◦ i)(u1 ∧ · · · ∧ us) = Λ s (π)(u1 ∧ · · · ∧ us)
= Λ s π( λj ′ 1 ,...,j′ svj ′ 1 ∧ · · · ∧ vj ′ ) = λj1,...,jsvj1 ∧ · · · ∧ vjs
s
λj1,...,js = det( (λij) j∈{j1,...,js})
Recordemos que u1, · · · , us son linealmente independientes si y sólo u1 ∧ · · · ∧ us = 0, luego u1, . . . , us
son linealmente independientes si y sólo si algún λj1,...,js = 0.
63

64 Capítulo 3. Aplicaciones de la teoría
2. Proposición : Sea (λij) una matriz asociada a T : E → E ′ . El rango de T es el máximo de los
órdenes de los menores de la matriz (λij) de determinante no nulo.
Demostración. Sea {e1, . . . , en} una base de E y {e ′ 1, . . . , e ′ m} una base de E ′ de modo que T (ei) =
j λije ′ j . El rango de T es el número máximo de los T (e1), . . . , T (en) linealmente independientes.
3. Corolario : El número máximo de columnas linealmente independientes de una matriz coincide
con el número máximo de filas linealmente independientes.
Dada una aplicación lineal T : E → E ′ , e ′ ∈ E ′ cumple que e ′ ∈ Im T si y sólo si dim Im T =
dim Im T + 〈e ′ 〉. Así pues, si {e1, . . . , en} es una base de E, {e ′ 1, . . . , e ′ m} es una base de E ′ , T (ei) =
j λije ′ j y e′ =
j bje ′ j , tendremos que e′ ∈ Im T si y sólo si el rango de la matriz (λij) es igual al
rango de la matriz (λij) ampliada por la columna (b1, . . . , bm).
Supongamos que el sistema de ecuaciones lineales
λ11x1+ · · · +λn1xn = b1
. . .
λ1mx1+ · · · +λnmxn = bm
tiene solución. Supongamos que el menor M obtenido de las columnas {i1, . . . , ir} y filas {j1, . . . , jr}
de la matriz (λij) es de determinante no nulo (r = rango T ). Por tanto, las filas j ′ /∈ {j1, . . . , jr}
dependen linealmente de las filas j1, . . . , jr y para calcular las soluciones del sistema las podemos
quitar. Pasemos las variables xi ′, con i′ /∈ {i1, . . . , ir} al otro lado de la igualdad. Tendremos que
⎛
xi1
⎜
M · ⎝ .
xir
⎞ ⎛
bj1 −
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
bjr
i ′ /∈{i1,...,ir} λi ′ j1xi ′
.
− i ′ /∈{i1,...,ir} λi ′ jrxi ′
⎞
⎟
⎠ ⇒
⎛
⎜
⎝
xi1
.
xir
⎞
⎟
⎠ = M −1 ⎛
bj1 −
⎜
· ⎝
3.2 Máximos y mínimos bajo condiciones
Sea U un entorno abierto de a ∈ R y f(x) ∈ C 1 (U).
bjr
i ′ /∈{i1,...,ir} λi ′ j1xi ′
.
− i ′ /∈{i1,...,ir} λi ′ jrxi ′
1. Proposición : Si f(x) alcanza un máximo relativo en a (es decir, f(a) ≥ f(x), para todo x ∈ V ,
para cierto entorno abierto V de a, V ⊂ U) entonces f ′ (a) = 0.
Demostración. En efecto, tenemos que f(x) = f(a)+h(x)·(x−a), donde h(x) ∈ C(U) y h(a) = f ′ (a).
Si h(a) > 0 entonces en un entorno (a − ɛ, a + ɛ) la función h(x) será estrictamente mayor que cero,
entonces f(x) > f(a) para x ∈ (a, a+ɛ) (y f(x) < f(a) para x ∈ (a−ɛ, a)). Llegamos a contradicción.
Del mismo modo se llega a contradicción si h(a) < 0.
Sea ahora U un entorno abierto de a ∈ R n y f(x) ∈ C 1 (U).
2. Proposición : Si f(x) alcanza un máximo relativo en a entonces daf = 0.
Demostración. Por la proposición anterior ∂f
∂xi (a) = 0 para todo xi (considerando f como función en
la variable xi).
3. Proposición : Supongamos ahora que f(x) ∈ C2 (U) y que daf = 0. Tenemos que f(x) =
f(a) + (x − a) · H(x) · (x − a) t , siendo H(x) una matriz simétrica (de funciones continuas) y H(a) =
( ∂2f (a)). Si H(a) es una matriz no singular entonces
∂xi∂xj
⎞
⎟
⎠

3.3. Longitudes, áreas y volúmenes 65
1. f(x) alcanza un máximo relativo en a si y sólo si ( ∂2f (a)) es definida negativa.
∂xi∂xj
2. f(x) alcanza un mínimo relativo en a si y sólo si ( ∂2f (a)) es definida positiva.
∂xi∂xj
Demostración. H(a) es una matriz definida positiva si y sólo si para todo v ∈ Sn , v · H(a) · vt > 0.
Si H(a) es definida positiva entonces H(x) es definida positiva en un entorno de a, y por tanto en ese
entorno f(x) > f(a), para x = a, y a es un mínimo relativo. Del mismo modo se razona si H(a) es
definida negativa.
Nos falta ver que si H(a) no es definida positiva ni negativa entonces a no es mínimo ni máximo
relativo. Existen v, v ′ ∈ Sn de modo que v · H(a) · vt < 0 y v ′ · H(a) · v ′t
> 0. Existe un entorno
abierto V de a, de modo que v · H(x) · vt < 0 y v ′ · H(x) · v ′t
> 0, para todo x ∈ V . Por tanto, para
x = a + v
v′
n , para todo n >> 0, se tiene que f(x) < f(a) y para x = a + n , para todo n >> 0, se tiene
que f(x) > f(a).
Sea ahora Y ⊂ R n una subvariedad diferenciable. Dada una función f(x1, . . . , xn) nos planteamos
si f |Y alcanza un máximo (o un mínimo) relativo en a ∈ Y .
Recordemos que podemos identificar (localmente) Y con un abierto de R n−r y por tanto podemos
aplicar la teoría recién desarrollada. En efecto, sea un abierto U ⊂ R n y un sistema de coordenadas
y1, . . . , yn en U de modo que U ∩ Y ≡ y1 = . . . = yr = 0. Tenemos que f(x1, . . . , xn) = g(y1, . . . , yn)
y f |Y = g(0, . . . , 0, yr+1, . . . , yn). Es decir, podemos considerar f |Y como una función diferenciable
en las variables yr+1, . . . , yn. Por tanto si a es un máximo o un mínimo relativo de f |Y entonces
0 = daf |Y ∈ ¯ma/ ¯m 2 a, donde ¯ma es el ideal de todas las funciones diferenciables de Y que se anulan
en a. Observemos que dimR ¯mα/ ¯m 2 a = n − r. El epimorfismo natural ma → ¯ma, h ↦→ h |Y , define el
epimorfismo
π : ma/m 2 a → ¯ma/ ¯m 2 a, π( ¯ h) = ¯ h |Y
Por tanto, daf |Y = 0 si y sólo si daf ∈ Ker π. Ker π contiene a day1 = ¯y1, . . . , dayr = ¯yr. Por
dimensiones, Ker π = 〈day1, . . . , dayr〉. En conclusión, si a es un máximo o mínimo relativo de f |Y
entonces daf es combinación lineal de day1, . . . , dayr.
Las funciones yr+1, . . . , yn son un sistema de coordenadas en a de Y . Por tanto, si la matriz
( ∂2f |Y
∂yi∂yj (a))i,j>r = ( ∂2f ∂yi∂yj (a))i,j>r es no singular, entonces a es un máximo relativo en Y de f |Y
si es definida negativa. El problema que nos planteamos es como calcular
conocemos las funciones y en términos de las x. Tenemos que ∂ ∂yj
= ∂xi j ∂xi
⎛
⎜
⎝
∂
∂x1
.
∂
∂xn
⎞
⎟
⎠ = ( ∂yj
∂xi
⎛
⎜
) · ⎝
∂
∂y1
.
∂
∂yn
⎞
⎟
⎠ ⇒
⎛
⎜
⎝
∂
∂y1
.
∂
∂yn
3.3 Longitudes, áreas y volúmenes
⎞
⎟
⎠ = ( ∂yj
∂xi
⎛
) −1 ⎜
· ⎝
∂
∂x1
.
∂
∂xn
∂ 2 f
, suponiendo que
∂yi∂yj
· ∂
∂yj
⎞
⎟
⎠
, es decir,
El volumen (en dimensión dos área, en dimensión uno longitud) de una variedad diferenciable riemanniana
es la integral de su forma de volumen.
Longitud de una curva
1. Calculemos la longitud de una curva dada en cartesianas.

66 Capítulo 3. Aplicaciones de la teoría
Sea R → R n , σ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) una curva. R n es una variedad riemanniana con la métrica
T2 = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn. La curva σ con la métrica T2σ es una variedad riemanniana.
T2σ = dx1(t) ⊗ dx1(t) + · · · + dxn(t) ⊗ dxn(t) =
x ′ i(t) 2 · dt ⊗ dt
La forma de longitud de σ, wσ en la coordenada t es wσ =
Longitud de σ entre t0 y t1 :=
t1
t0
i
i x′ i(t) 2 · dt
x ′ i(t) 2 · dt
2. Ahora calculemos la longitud de una curva plana dada en coordenadas polares ρ, θ.
Sea σ : R − {0} → R × S 1 , σ(t) = (ρ(t), θ(t)). Recordemos que la relación entre las coordenadas
cartesianas y las polares es x1 = ρ · cos θ, x2 = ρ · sen θ. Luego,
dx1 = cos θ · dρ − ρ · sen θ · dθ
dx2 = sen θ · dρ + ρ · cos θ · dθ
y T2 = dx1 ⊗ dx1 + dx2 ⊗ dx2 = . . . = dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ. Ahora ya,
y
T2|σ(t) = (ρ ′2 + ρ 2 · θ ′2 ) · dt ⊗ dt
Longitud de σ entre t0 y t1 =
t1
t0
i
ρ ′2 + ρ 2 · θ ′2 · dt
3. Supongamos ahora que la curva viene dada en implícitas C ≡ p(x, y) = 0 (x, y las coordenadas
cartesianas de R2 ). Un campo normal a la curva es D = T 2 (dp(x, y)) = px · ∂
∂x + py · ∂
∂y . Sea N =
D/ p2 x + p2 y. Por tanto, la forma de longitud de C es wC = iN (dx ∧ dy) = px·dy−py·dx
. Supongamos
√ p 2 x +p 2 y
que x, p(x, y) forman un sistema de coordenadas, entonces en C, 0 = dp(x, y) = pxdx + pydy y
dy = − px
· dx. En conclusión si parametrizamos C por x, tenemos que
py
px · dy − py · d
Longitud de σ entre x0 y x1 =
C p2 x + p2
x1
= . . . = 1 +
x0
y
p2x p2 · dx
y
que coincide con el cálculo de 1., si consideramos la parametrización x ↦→ (x, y(x)) (y es función de x
en en C), y recordamos que yx = − px
en C.
Área de una superficie
py
1. El área del círculo de radio r, que en coordenadas polares es la región C ≡ {0 < ρ ≤ r, 0 < θ ≤
2π}, es igual a
r
|T2| · dρ ∧ dθ =
0 < ρ ≤ r
ρ · dρ · dθ = 2π · ρdρ = π · ρ
C
0
0 < θ ≤ 2π
2 | r 0 = π · r 2
El área de la región del plano limitada por la gráfica de una función y = f(x) (supongamos
f(x) ≥ 0 y coordenadas cartesianas x, y) , es por definición
dx ∧ dy, donde A es la región del plano
A

3.3. Longitudes, áreas y volúmenes 67
limitada por la gráfica L1 = {(x, f(x)) | a ≤ x ≤ b}, el eje OY, L2{y = 0, a ≤ x ≤ b} y las rectas
L3 = {x = a, 0 ≤ y ≤ f(a)}, L4 = {x = b, 0 ≤ y ≤ f(b)} (no me preocupo por las orientaciones, pero
sí del resultado final). Por el teorema de Stokes
A
dx ∧ dy =
L1∪···∪L4
y · dx =
L1
y · dx =
b
a
f(x) · dx
2. Calculemos el área del triángulo T limitado por la gráfica de una función (dada en polares)
ρ = ρ(θ) y el origen:
Área del triángulo T =
T
|T2| · dρ ∧ dθ =
T
ρ · dρ ∧ dθ =
∂T
ρ 2
2
· dθ =
θ1
θ0
ρ(θ) 2
· dθ
2
3. Calculemos el área de la superficie S que se obtiene al girar la gráfica de la función f(x)
alrededor del eje OX.
Consideremos coordenadas cilíndricas en R 3 , x, ρ, θ, es decir, x = x, y = ρ sen θ, z = ρ cos θ. En
estas coordenadas S = {ρ = f(x), a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π}, x, θ son un sistema de coordenadas en S y
dρ = df(x) = f ′ dx en S.
T2 = dx ⊗ dx + dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ en coordenadas cilíndricas. Por tanto, T2|S = (1 + f ′2 ) · dx ⊗
dx + f 2 · dθ ⊗ dθ y
Área de S =
S
|T2|S| · dx ∧ dθ =
S
1 + f ′2
· f · dx ∧ dθ =
b
a
2πf(x) 1 + f ′ (x) 2 · dx
Igualmente se tiene que el área de la superficie S que se obtiene al girar la curva plana parametrizada
(x1(t), x2(t)) alrededor del eje OX1 es
t1
t0
2π · x2(t) ·
x ′ 1 (t)2 + x ′ 2 (t)2 · dt (∗)
El área de la superficie de la esfera (que se obtiene al girar la semicircunferencia {(r · cos t, r ·
sen t), 0 ≤ t ≤ π} alrededor del eje OX1) es
π
2π · r · sen t ·
0
√ r2 · dt = 4 · π · r 2
El área de la superficie tórica que se obtiene al girar la circunferencia {(r ·cos t, a+r ·sen t)}, a ≥ r
alrededor del eje 0X1 es
2π
2π · (a + r · sen t) ·
0
√ r2 · dt = 4 · π 2 · a · r
Veamos que la fórmula (∗) está diciendo que el área de una superficie de revolución es la longitud de
una sección por el perímetro de la circunferencia que describe el centro de gravedad de una sección: Si
tenemos dos masas m y m ′ en los puntos del plano x = (x1, x2) y x ′ = (x ′ 1, x ′ 2) el centro de gravedad
de ambas masas es x·m+x′ ·m ′
m+m ′ . Si tenemos una curva (homogénea) en el plano, que troceamos en

68 Capítulo 3. Aplicaciones de la teoría
incrementos ∆i, el centro de gravedad de la curva es
xi·∆i
∆i
curva C ≡ {(x1(t), x2(t)}, de forma de longitud wC = x ′ 1 (t)2 + x ′ 2 (t)2 · dt es
x · wC C C wC
= (
C x1 · wC,
C x2 · wC)
Long. C
es decir, el centro de gravedad de la
El perímetro de la circunferencia (alrededor del eje OX1) que describe el centro de gravedad es
C 2π ·
x2wC
Long. C
Por tanto,
Volúmenes
2π ·
C x2 · wC
Long. C
· Long. C =
t1
t0
2π · x2(t) · x ′ 1 (t)2 + x ′ 2 (t)2 · dt
1. Consideremos en el plano una región A y sea V ⊂ R3 el cuerpo de revolución obtenido al girar
la región S alrededor del eje OX1. Sean x1, x2, x3 coordenadas cartesianas y x1, ρ, θ coordenadas
cilíndricas, es decir, x1 = x1, x2 = ρ · sen θ, x3 = ρ · cos θ. Un punto (x1, x2, x3) ∈ V
y θ ∈ [0, 2π]. Por tanto, el volumen del cuerpo revolución es
⇐⇒ (x1, ρ) ∈ A
V
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 =
A×[0,2π]
ρ · dx1 ∧ dρ ∧ dθ =
A
2πρ · dx1 ∧ dρ =
2πx2 · wA
A
donde wA es la forma de área de A y la última igualdad es un simple cambio de notación. Argumentando
como más arriba el lector puede probar que el volumen de un cuerpo de revolución es el es
el área de una sección por el perímetro de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la
sección.
Calculemos el volumen del toro “macizo”, T oro, que se obtiene al girar el círculo C de radio
r y centrado en (0, a) alrededor del eje OX1. Consideremos en el plano las coordenadas ρ, θ, con
x1 = ρ sen θ y x2 = a + ρ cos θ, entonces
Vol. T oro =
C
2π · x2 · wC =
[0,r]×[0,2π]
2π(a + ρ cos θ) · ρ · dρ ∧ dθ =
r
4π
0
2 · a · ρ · dρ = 2 · π 2 · a · r 2
Calculemos el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX el triángulo
T de vértice el origen y lado opuesto un arco de curva ρ = ρ(θ) (en coordenadas polares).
Vol. T =
T
2πx2wT =
0

3.4. Ejemplos en Física 69
Entonces (x1, x2, x3) ∈ V ⇐⇒ θ0 ≤ θ ≤ θ1, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 < ρ ≤ ρ(θ) y
Vol. V =
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = ρ 2
| cos φ| · dρ ∧ dθ ∧ dφ = 4ρ 2 · dρ ∧ dθ = 4
3
V
θ1
θ0
ρ(θ) 3 · dθ
La esfera de radio r se obtiene al girar la curva ρ = r (con θ ∈ [0, π]) alrededor del origen, luego su
volumen es 4
3 πr3 .
Hipervolumen
Calculemos el volumen de la bola de radio r, B = {(x1, . . . , x4) | x 2 1 + . . . + x 2 4 ≤ r 2 }, de R 4 .
Consideremos coordenadas hiperesféricas ρ, θ, φ, ϕ, es decir,
x1 = ρ cos θ cos φ cos ϕ, x2 = ρ sen θ cos φ cos ϕ, x3 = ρ sen φ cos ϕ, x4 = ρ sen ϕ
B = {0 < ρ ≤ r, 0 ≤ θ < 2π, −π/2 ≤ φ ≤ π/2, −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2} y dx1 ∧ · · · ∧ dx4 = ρ 3 cos φ cos 2 ϕ ·
dρ ∧ dθ ∧ dφ ∧ dϕ y
Vol. B. =
3.4 Ejemplos en Física
ρ
[0,r]×[0,2π]×[−π/2,π/2]×[−π/2,π/2]
3 cos φ cos 2 ϕ · dρ ∧ dθ ∧ dφ ∧ dϕ = π2r4 2
Quiero establecer justificadamente los principios mínimos o básicos de la física Newtoniana y la Relativista.
“Todo individuo tiene conocimiento sólo de un entorno relativamente pequeño (infinitesimal) suyo.
En cada instante de tiempo y lugar el individuo observará un tiempo y un espacio”. El espacio físico X
en una variedad diferenciable de dimensión cuatro (infinitesimalmente TxX = R4 ). Dar un individuoobservador
es dar una curva C ↩→ X (curva espacio-temporal) y un punto c ∈ C digamos que es el
individuo en un instante y lugar determinados.
“Cada individuo infinitesimalmente tiene una concepción de tiempo y espacio, romperá su realidad
observada en dos bien diferenciadas: tiempo y espacio. Además suponemos que cada individuo le
puede comunicar a uno cercano qué hora tiene y qué lugar ocupa. Infinitesimalmente el individuo
rompe su realidad física en tiempo y espacio y lo puede comunicar”. Es decir, TcX = TcC ⊕ Ec,
donde diremos que TcC es el tiempo infinitesimal del individuo-observador C en c y Ec es el espacio
del observador C en c. La condición de comunicabilidad (que no hemos expresado o detallado con
rigor) se traduce en que TcX sucede una de las dos posibilidades siguientes:
1. Existe una métrica simétrica (de Lorentz) que en una base ortogonal es de la forma
⎛
⎞
1 0 0 0
⎜
⎜0
−1 0 0 ⎟
⎝0
0 −1 0 ⎠
0 0 0 −1
y Ec = TcC ⊥ .
2. Existe una métrica simétrica que en una base ortogonal es de la forma
⎛ ⎞
1 0 0 0
⎜
T2 ≡ ⎜0
0 0 0 ⎟
⎝0
0 0 0⎠
0 0 0 0
y Ec = rad T2