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Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad 

Estadística. 4 o Curso. 

Licenciatura en Ciencias Ambientales 

Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Principales Distribuciones de Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 17

Índice 

1 Distribución uniforme discreta 

2 Distribución binomial 

3 Distribución uniforme continua 

4 Distribución normal 

5 Distribuciones chi-cuadrado, t de Student y F de Snedecor 


Distribución uniforme discreta 

Es la distribución de probabilidad se asocia a variables cuyos posibles valores tienen 

todos la misma probabilidad. Si una variable aleatoria X cuyos posibles valores son 

x1, . . . , xn, tiene distribución uniforme discreta entonces 

P(X = x1) = P(X = x2) = · · · = P(X = xn) = 1 

n 

Intuitivamente, esta variable está asociada al experimento similares al de elegir al azar 

un número entre 1 y n sin disponer de ninguna información adicional. 

µ = x1 + · · · + xn 

n 

= ¯x , σ 2 = (x1 − µ) 2 + · · · + (xn − µ) 2 

n 


Distribución binomial 

Distribución de Bernoulli de parámetro p 

Es la distribución de probabilidad que se asocia a variables que sólo toman dos 

valores, el 0 y el 1. 

P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1 − p , 0 

Intuitivamente, una variable dicotómica ó de Bernoulli aparece asociada a un 

experimento éxito-fracaso, donde 1 representa el éxito y 0 el fracaso. 

µ = p , σ 2 = p(1 − p) 



Distribuciones binomial de parámetros n y p (B(n, p)) 

Es la distribución de probabilidad que se asocia a variables que toman los valores 

0, 1, . . . , n con probabilidades 

 

n 

P(X = i) = p 

i 

i (1 − p) n−i 

, i = 0, . . . , n , 0 

Intuitivamente, una variable binomial modeliza el recuento del número de éxitos al 

repetir n veces un experimento éxito-fracaso (de Bernoulli) de parámetro p. 

µ = np , σ 2 = np(1 − p) 



Ejemplo 1 

Con objeto de estudiar el número de salmones de cierto río que llegan vivos al mar se 

marca el 20% de la camada en el lugar de nacimiento. Posteriormente, en una estación 

de seguimiento río abajo, se registra el paso de 10 salmones de dicha camada. ¿Cuál 

es la probabilidad de que se registren 3 de los marcados? ¿Y con qué probabilidad se 

registrarán 2 ó menos de los marcados? 

X ≡ número de salmones marcados que se registran ∼ B(10, 0.2) 

P(X = 3) = 

10 

3 

 

0.2 3 0.8 7 = 10! 

3! 7! 0.23 0.8 7 = 0.2013 

P(X ≤ 2) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 

=0.1074 + 0.2684 + 0.3020 = 0.6778 


Distribución uniforme continua 

Distribuciones Uniforme Continua en el intervalo [a, b] (U[a, b]) 

Es la distribución de probabilidad que se asocia a variables aleatorias que pueden 

tomar cualquier valor en el intervalo [a, b] y cuya función de densidad es: 

f (x) = 1 

b − a 

, x ∈ [a, b] 

Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asocia a experimentos 

similares a elegir un número al azar entre los valores a y b. La gráfica de su función 

de densidad es 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

U[2,6] 

● ● 

0 2 4 6 8 10 

x 


Distribución normal 

Distribución normal de parámetros µ y σ (N(µ, σ)) 

Es la distribución de probabilidad que viene determinada por la siguiente función de 

densidad, definida en toda la recta real: 

f (x) = 1 

σ √ 2π e−(x−µ)2 /2σ 2 

, −∞ < x < ∞ 

Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asume para una variable 

cuyos posibles valores se disponen de forma simétrica en torno a su media de modo 

que los valores próximos a dicha media tendrán mayor probabilidad de ser 

alcanzados. Conforme más alejados estén de la media, los valores tienen menor 

probabilidad de ser alcanzados. 




La gráfica de la función de densidad de la distribución normal es la denominada 

campana de Gauss y se representa del siguiente modo: 

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 

N(2,2) 

−4 −2 0 2 4 6 8 

x 

Los parámetros de esta distribución 

son la media, µ, que es el eje de simetría 

de la gráfica, y la desviación 

típica σ. 




En el siguiente gráfico se ve la variación que se produce en la gráfica de la normal 

cuando cambiamos su media y su desviación típica: 

0.0 0.2 0.4 

0.0 0.2 0.4 

N(0, 1) 

−4 −2 0 2 4 

N(2, 1) 

−4 −2 0 2 4 

0.00 0.10 0.20 

0.00 0.10 0.20 

N(0, 2) 

−4 −2 0 2 4 

N(2, 2) 

−4 −2 0 2 4 



Distribución normal de media 0 y desviación típica 1 (N(0, 1)) 

La distribución N(µ, σ) se puede relacionar con la distribución N(0, 1), mediante el 

siguiente proceso al que se denomina tipificación o estandarización: 

X ∼ N(µ, σ) ⇒ Z = 

X − µ 

σ 

∼ N(0, 1) 

A la distribución N(0, 1) se le denomina Normal Estándar. 

Aproximación de la Binomial por la Normal 

Cuando n > 30 podemos aproximar la distribución binomial de parámetros n, p por la 

Normal de media np y desviación típica np(1 − p). 

B(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)) 



Distribución normal de media 0 y desviación típica 1 (N(0, 1)) 

Como ya dijimos anteriormente, la distribución N(0, 1) es simétrica respecto al 0, es 

decir, si Z ∼ N(0, 1) 

P(Z ≤ x) = P(Z ≥ −x) 

Gráficamente, las siguientes áreas son idénticas: 

x 0 0 −x 



Ejemplo 2 

La vida de un semiconductor láser a una potencia constante se distribuye 

normalmente con media 7000 horas y desviación típica 600 horas. ¿Cuál es la 

probabilidad de que la vida del láser esté entre 6280 y 7120 horas? 

X ≡ vida del semiconductor (en horas) ∼ N(7000, 600) 

Tipificación: 

Z = 

X − 7000 

600 

∼ N(0, 1) , 

6280 − 7000 

600 

= −1.2 , 

P(6280 ≤ X ≤ 7120) = P(−1.2 ≤ Z ≤ 0.2) 

7120 − 7000 

600 

=P(Z ≤ 0.2) − P(Z ≤ −1.2) = 0.5793 − 0.1151 = 0.4642 

= 0.2 



Ejemplo 2 (continuación) 

Veamos una interpretación gráfica del cálculo anterior. La probabilidad que tenemos 

que calcular es igual al siguiente área: 

P(− 1.2 ≤ Z ≤ 0.2) 

−1.2 

Dicho recinto está incluido en el del gráfico que aparece a la izquierda. La parte que 

sobra es precisamente la que está sombreada en el gráfico de la derecha: 

P(Z ≤ 0.2) 

0.2 

0.2 

P(Z ≤ − 1.2) 

P(−1.2 ≤ Z ≤ 0.2) = P(Z ≤ 0.2) − P(Z ≤ −1.2) 

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−1.2

Distribuciones chi-cuadrado, t de Student y F de Snedecor 

Distribución chi-cuadrado (χ 2 (n)) 

La distribución de probabilidad chi-cuadrado con n grados de libertad (χ 2 (n)) es la 

asociada a una variable aleatoria que se obtiene como suma de los cuadrados de n 

variables independientes con distribución N(0, 1). 

Por tanto, esta distribución sólo toma valores positivos y además su función de 

densidad es muy compleja. En el siguiente gráfico aparecen representadas las 

funciones de densidad de una χ 2 (3) (línea continua) y una χ 2 (5) (línea discontinua): 

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 

χ 2 (3) y χ 2 (5) 

0 2 4 6 8 10 

Intuitivamente, esta distribución es de utilidad para obtener información de la varianza 

poblacional a partir de un conjunto de datos extraídos de una variable normal. 



Distribución t de Student (t(n)) 

La distribución de probabilidad t de Student con n grados de libertad (t(n)) es la 

asociada a una variable aleatoria que se obtiene a partir del cociente de una variable 

N(0, 1) y la raíz cuadrada de una variable χ 2 (n). 

Por tanto, esta distribución puede tomar cualquier valor real. Su función de densidad 

es muy compleja y su gráfica es parecida a la de la distribución N(0, 1). En el 

siguiente gráfico aparecen representadas las función de densidad de una t(4): 

0.0 0.1 0.2 0.3 

t(4) 

−4 −2 0 2 4 

Intuitivamente, esta distribución es de utilidad para obtener información o establecer 

comparaciones entre las medias poblacionales a partir de uno o dos conjuntos de 

datos Licenciaturaextraídos en Ciencias Ambientales de una (4 variable normal. 

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Distribución F de Snedecor (F(n, m)) 

La distribución de probabilidad F de Snedecor con n y m grados de libertad (F(n, m)) 

es la asociada a una variable aleatoria que se obtiene a partir del cociente de una dos 

variables chi-cuadrado con n y m grados de libertad respectivamente. 

Por tanto, esta distribución sólo tomar valores positivos. Su función de densidad es 

muy compleja y su gráfica es parecida a la de la distribución chi-cuadrado. En el 

siguiente gráfico aparecen representada las función de densidad de una F(3, 6): 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 

F(3,5) 

0 2 4 6 8 10 

Intuitivamente, esta distribución es de utilidad para establecer comparaciones entre las 

varianzas poblacionales a partir de dos conjuntos de datos extraídos de una variable 

normal.

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