El teorema de Bolzano. Funciones elementales - Departamento de ...

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
El teorema de Bolzano. Funciones elementales
Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura -
Las funciones continuas tienen varias propiedades. Una de ellas, ya vista, es que evitan el cálculo de
límites, ya que para ellas sólo hay que sustituir el valor de la función en el punto límite. Otra
propiedad se explica en el conocido
Teorema (Bolzano). Si f ( a) ⋅ f ( b)
< 0 (es la forma abreviada para escribir que la función cambia
de signo entre a y b ) y f es continua en [ ab , ] entonces existe un valor cÎ ( a, b)
que cumple
f ( c ) = 0 .
En este teorema es esencial que la función sea continua y que se trate de un intervalo, como
muestran las funciones siguientes:
ì-1 x Î[ -1,0] ìï
-1 x Î(
3,4)
f ( x) = ï
í f ( x)
= ï
í
ï ïî 1 x Î ( 0,1) ï ïî
1 x Î ( 6,9)
(La primera cambia de signo, no es continua y está definida en un intervalo; la segunda cambia de
signo, es continua pero no está definida en un intervalo. Ninguna alcanza el valor cero.)
x
Ejemplo (y aplicación del teorema). Resolver la ecuación xe = 1 .
x
x
Esta ecuación puede escribirse como xe - 1= 0,
y llamando f ( x) = xe - 1 se trata de ver si
hay valores que cumplan f ( x ) = 0 . Para ello, según el teorema de Bolzano, basta comprobar que
la función es continua y que cambia de signo. En cada cambio de signo se halla un valor que
cumple f ( x ) = 0 .
x
La función es continua pues se trata del producto de x por e al que luego se le resta 1 (este
razonamiento pone de manifiesto la necesidad de conocer qué funciones son continuas y las
reglas que permiten decidir de forma rápida si una expresión es o no una función continua).
Además, se pueden calcular valores de la función en distintos puntos. El gráfico siguiente muestra
si la función es positiva o negativa en los siguientes puntos:
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Como f ( 0) < 0 y f ( 1) > 0 el teorema de Bolzano dice que existe un valor c Î ( 0,1)
que
cumple f ( c ) = 0 . Así c = 0'... Para calcular más cifras decimales de c se vuelve a hacer el
mismo procedimiento en el intervalo en el que hay un cambio de signo, y se mira qué ocurre en los
valores intermedios:
0
0'1
0'2
- 2
0'3
- 1
0'4
0'5
0
Luego la solución buscada cumple c Î ( 0'5,0'6)
y así c = 0'5... Si se continua el proceso, ahora
se elige el intervalo ( 0'5,0'6 ) y se mira qué ocurre en los valores intermedios, se encuentra que la
solución cumple c = 0'56... En cada paso se obtiene una cifra decimal más de la solución. Con un
poco de paciencia se calcula c = 0'567143... y se pueden añadir tantas cifras decimales como se
quiera.
Una consecuencia del teorema de Bolzano: dada una ecuación f ( x ) = 0 (todas las ecuaciones se
pueden escribir así) en la que la función que aparece sea continua, se puede
a) saber si tiene o no soluciones
b) calcularlas con la precisión que uno quiera.
0'6
+
1
+
0'7
+
0'8
+
2
+
0'9
+
1
+
1
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Ejemplo. La ecuación 3 x + 1 = x se puede escribir como f ( x ) = 0 donde la función es
3 f ( x) = x - x+
1.
Esta función es continua. Como además f ( - 2) < 0 y f ( - 1) > 0,
la
ecuación tiene una solución c =- 1'... Reiterando el proceso, como en el ejemplo anterior se
obtiene la solución c =- 1'3247...
La aplicación del teorema de Bolzano exige conocer qué funciones son continuas y qué reglas
mantienen la continuidad de funciones. Por ejemplo, dadas dos funciones continuas, ¿es posible
saber si su composición o su producto es continua? Para ello se verán algunas funciones muy
utilizadas, llamadas funciones elementales y algunas operaciones entre ellas.
Funciones polinómicas. Se llaman así las funciones del tipo
n
2 f ( x) = anx + ... + a1x+ a0,
por ejemplo f ( x) = x - 2 o también
3 f ( x) = 3x + x+
7.
Son todas continuas y están definidas en todo .
Sus límites cuando x ¥ siempre son ¥ .
Funciones exponenciales y logarítmicas. La función exponencial
x f ( x) = a , donde a > 0 , es continua en todo . Según sea el valor
a > 1 o a < 1 su gráfica varía.
x e
x
æ1ö ç
÷
çè2 ÷ ø
x y x+ y
ee = e
x
e
y e
x-y = e
ln( x ⋅ y) = ln( x) + ln(
y)
ln( x y) = ln( x) -ln(
y)
ln b a = b⋅ln a
( ) ( )
La función logaritmo neperiano y
logaritmo decimal son muy similares, ya que todos los
logaritmos (en cualquier base) son proporcionales. Se trata de
funciones continuas definidas sólo para valores positivos.
La función logaritmo y exponencial son inversas, es decir
x y = e ln(
y) = x
y además cumplen las relaciones
Funciones trigonométricas. Se definen el seno, coseno y tangente de un ángulo como
x y sen(
a)
y
cos( a) = sen( a) = tg(
a)
= =
h h cos(
a)
x
Valores más comunes del seno y coseno para distintos ángulos
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grados radianes seno coseno
0 0 0 1
30 p 6 12 32
45 p 4 22 22
60 p 3 32 12
90 p 2
1 0
h
a x
log10(
x )
ln(
x
)
2 x
x
3
y
2
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cos( x
)
sen( x )
Por ejemplo, de estas relaciones se deduce que
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En las gráficas puede observarse que la función sen( x )
es positiva en el primer y segundo cuadrantes y negativa
en los otros dos. En cambio, la función cos( x ) es
positiva en el primero y cuarto y negativa en el segundo y
tercer cuadrantes.
Las relaciones fundamentales que cumplen estas funciones
son
1 = sen ( a) + cos ( a)
sen( a b) = sen( a) cos( b) sen(
b) cos(
a)
cos( a b) = cos( a) cos( b) sen( b) sen(
a)
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2 2
2 1+ cos( 2a) 2 1-cos( 2a)
cos ( a) = , sen ( a)
=
2 2
2
2
que resultan muy útiles, por ejemplo, para calcular primitivas de sen ( x ) y cos ( x ) .
Propiedades de las funciones continuas. Si f y g son funciones continuas, entonces
a) f + g es continua
b) f - g es continua
c) f ⋅ g es continua
d) f g es continua en todos los puntos en los que ambas lo son y el denominador no se anula
e) f g es continua
Estas propiedades permiten decidir rápidamente si expresiones como
f ( x)
=
x
1+
e
cos( x ) + 2
son o no continuas. En este caso:
x
x
a) la función constante 1 y la función exponencial e son continuas, luego su suma 1+
e lo es.
b) la función cos( x ) y la función constante 2 son continuas, luego cos( x ) + 2 es continua
c) la función
x 1+
e
h( x)
=
cos( x ) + 2
es continua en todos los puntos en los que no se anule el denominador. Como este denominador
no se anula en ningún punto, la función h( x ) es continua.
d) la función raíz g( x) = x es continua y está definida para x ³ 0
e) como
x 1+
e
f ( x) = ( g h)( x) = g( h( x)
) =
cos( x ) + 2
la función f es continua para los valores en los que h( x ) ³ 0 , lo que ocurre para cualquier valor,
x
ya que 1+
e y cos( x ) + 2 son funciones positivas.
En resumen, f ( x ) está definida y es continua en todo .
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