El Teorema de Fubini-Tonelli

242 El Teorema de Fubini-Tonelli 23D
está definida c.s. y es integrable, por ser diferencia de dos funciones integrables.
Por último,
g(x) dx = g1(x) dx − g2(x) dx
= f + (x, y) dy
dx − f − (x, y) dy
dx = f +
− f −
=
Nota. Para aplicar el teorema de Fubini-Tonelli a funciones cuyo dominio
no es todo R n+k , basta tener en cuenta la fórmula
E
f =
fXE.
Por tanto, si f ≥ 0 o integrable sobre el conjunto medible E, se tiene que
E
f =
fXE =
E(x)
f(x, y)dy
dx =
A
E(x)
f(x, y)dy dx,
donde A = {x ∈ R n : m(E(x)) > 0}. Los conjuntos A y E(x) son “los
límites de integración”, y el proceso descrito para su obtención será el que
se seguirá habitualmente en la práctica.
Ejercicios
23A Sea E un subconjunto medible de R n+k . Probar que E es de medida nula si
y sólo p.c.t x ∈ R n , m(E(x)) = 0.
23B Sean A, B subconjuntos cualesquieras de R n y R k respectivamente, G un
conjunto medible tal que A × B ⊂ G y m ∗ (A × B) = m(G) y g(x) = m ∗ (G(x)).
Probar que A × [0, m ∗ (B)] ⊂ Ord (g) y deducir de esto la fórmula
m ∗ (A × B) = m ∗ (A) · m ∗ (B).
f.