Curso de Doctorado TERMOECONOMÍA Cesar Torres Cuadra ...

. Dpto. Ingenieria Mecánica
Curso de Doctorado
TERMOECONOMÍA
. . . . . . . . . .
Cesar Torres Cuadra
Antonio Valero Capilla
Curso 2000-01

Capítulo 1
EL PROCESO DE FORMACION DE LOS COSTES
La Economía, enmarcada en el ámbito de las ciencias sociales, esta relacionada con el
uso y distribución de los recursos naturales, puesto que de éstos dependen los sistemas
productivos, y desarrollo tecnológico. La actividad económica se puede considerar, de
forma simplificada, como un sistema que se desarrolla consumiendo recursos e
intercambiando bienes y servicios, para lo que precisa una compleja estructura.
Por otra parte, la Termodinámica que estudia los procesos de transformación de la
energía, permite a través de su Segundo Principio cuantificar la cantidad de recursos
naturales consumidos en un proceso determinado, y por tanto saber cuanto cuesta en
términos de recursos consumidos.
Ante esto, es claro que existe una relación entre la Física y la Economía, La
Termoeconomía, término propuesto por Evans y Tribus en 1962, que nace como nueva
disciplina en la década de los 60 tiene como objetivo estudiar la conexión entre
Termodinámica y Economía, sentar las bases teóricas de una ciencia del ahorro de
energía, y obtener así modelos que recojan la limitación que supone no disponer de una
cantidad ilimitada de recursos naturales, buscando criterios generales que permitan
evaluar la eficiencia y el coste de sus productos, en sistemas con un consumo intensivo
de energía.
En este curso de doctorado se presentan las bases y aplicaciones de la Teoría del Coste
Exergético, uno de los principales enfoques metodológicos en el campo de la
Termoeconomía. En ella exponen los fundamentos que permiten analizar el proceso de
formación de los costes. Las bases de esta teoría son: el uso del Segundo Principio de la
Termodinámica, a través de la utilización del concepto de exergía, el concepto de Fuel -
Producto basado en el propósito productivo de los componentes que constituyen un
sistema térmico, y la formalización matemática de Sistema Térmico, que proporciona la
Teoría General de Sistemas.
La metodología que aquí se presenta, constituye una potente herramienta para el análisis
termoeconómico, que incluye:
• Contabilidad y asignación de costes.
• Diagnostico, valoración del impacto en fuel de malfunciones.
• Optimización de componentes individuales y global de un sistema térmico.

EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. EXERGÍA 2
1.1.- EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. EXERGÍA
Todos sabemos que disponer de algo con elevado potencial para realizar una acción,
tiene un gran valor. En términos físicos este potencial intensivo se mide con la presión,
temperatura, potencial químico, la altura, el campo magnético,… En términos
económicos, con la riqueza, la densidad de información,… Lo que tiene valor no es
tener, ni saber, ni ser; sino tener más que, saber más que, ser más que nuestro entorno.
Si liberamos las ligaduras que mantienen a nuestro sistema con ese elevado potencial
intensivo y lo dejamos evolucionar sin producir ningún efecto útil, estos potenciales
disminuirán hasta equilibrase con los del entorno. La energía y la masa del conjunto no
habrán cambiado, pero notamos que algo a cambiado. En el caso económico, la cantidad
de dinero circulante no se habrá modificado, pero mi riqueza sí. Para cuantificar estos
cambios se utiliza el concepto de entropía. La entropía de un sistema físico es función
de sus potenciales intensivos, y esta definida de tal manera que la entropía del conjunto
crece más, cuanto menos efectos útiles produzca el sistema al evolucionar hacia su
entorno.
Hemos introducido el Segundo Principio de la Termodinámica, y hemos relacionado el
concepto de entropía con el de utilidad.
¿Qué es la utilidad, desde el punto de vista de la Física?
En primer lugar la utilidad termodinámica siempre tiene un referente. Hay que decir
utilidad con respecto a un determinado nivel de referencia, y será tanto mayor cuanto
más alejados tenga sus potenciales intensivos respecto a los de su entorno. El entorno
actúa como un atractor. En segundo lugar, la magnitud con la que se contabiliza en
Física la capacidad de hacer algo es la energía. Sin embargo, de acuerdo con el Primer
Principio de conservación de la energía, los kilovatios hora que pago en la factura
eléctrica tienen la misma cantidad de energía que el calor disipado por una estufa que
consuma esos kilovatios-hora. No todas los tipos de energía tienen la misma calidad,
por eso la utilidad termodinámica habrá que medirla en unas unidades de magnitud que
a la vez especifiquen su calidad. Para ello podemos elegir, por ejemplo, la energía
eléctrica como unidad.
De esta manera ya podemos cuantificar la utilidad termodinámica respecto del entorno,
como la cantidad de energía eléctrica que un flujo de energía podría darme al
enfrentarlo con su entorno. Evidentemente esta cantidad máxima de energía sólo podría
obtenerse mediante una máquina ideal; volveremos mas adelante sobre esta idea.
A la utilidad termodinámica, la llamamos energía disponible o exergía. Obvia mente la
exergía es tanto mayor cuando más alejados del entorno estén los potenciales intensivos
del sistema.
La exergía de total de un flujo de materia es la suma de las componentes física, química,
cinética y potencial. Las exergías cinética y potencial son totalmente convertibles en
trabajo y por tanto coinciden con su energía. Para un volumen de control abierto, la
componente física y química de la exergía de un flujo de materia se calcula como:
B = ( H − H ) − T S − S ) − ∑μ ( N − N )
(1.1)
f
0
0 ( 0
i i i,
0
i
donde H, S representan respectivamente, la entalpía y entropía. N i representan el
número de moles de componente química del flujo y μ i su potencial químico. El

EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. EXERGÍA 3
subíndice –0– representa el valor de esas magnitudes en las condiciones del estado de
referencia.
La exergía de un flujo de calor -Q- cedido a un sistema a una temperatura -T-, viene
dado por:
B Q
⎛ T0
⎞
= Q⎜1
− ⎟
(1.2)
⎝ T ⎠
Y la exergía de un flujo de trabajo, coincide con su energía:
BW = W (1.3)
Por último, como ya hemos indicado, es muy importante definir adecuadamente las
condiciones que caracterizan al ambiente de referencia.
Propósito y Eficiencia
No hacemos nada si tenemos capacidad de acción y no la ponemos en juego para
realizar aquello que deseamos. Las fuerzas de la Naturaleza disipan continuamente
energía utilizable. El Sol cede enormes cantidades de energía que la Tierra absorbe en
una mínima parte y se convierte en luz, calor, vapor de agua, sustancias químicas,
movimiento de masas y vida. Sólo el hombre diseña, conscientemente, ingenios que son
capaces de canalizar esa energía útil en los productos que desea.
La diferencia entre el poder de la naturaleza y el del hombre está en el propósito La
naturaleza no es propositiva, tiende a anular diferencias de potencial allí donde existen.
El hombre en cambio, se aprovecha de esas fuerzas de la naturaleza para conseguir
aquello que desea.
Si queremos crear un teoría que explique tanto a los procesos naturales como a los
humanos, deberemos incluir el concepto de propósito en nuestras ecuaciones.
El Segundo Principio nos dice que la exergía entrante en un sistema que realice un
proceso siempre será menor que la resultante.
(Exergía entrante) – (Exergía saliente) = Irreversibilidad > 0 (1.4)
No existe ninguna máquina perfecta, y el concepto de eficiencia es el que mide su
grado de perfección. Este concepto es más antiguo que la Termodinámica y se define,
como es bien conocido, como:
Eficiencia (η) =
Unidades de producto obtenido (P)
Recursos utilizados para obtenerlo (F)
Esta definición es fundamental para la Termoeconomía , veamos por qué.
(1.5)
Una primera cuestión a la vista de la fórmula es preguntarnos acerca de las unidades con
las que se mide F y P. Si son las mismas unidades se obtendrá un valor adimensional, lo
cual es bueno para comparaciones. Además si tanto P como F son flujos físicos, éstos
pueden medirse con la exergía, así aseguraremos su universalidad –para procesos
energéticos– y sobre todo podremos medir objetivamente la perdida de calidad del
proceso. Existen procesos en los que no se pierde cantidad de energía, pero tenemos la
certeza de que siempre se pierde calidad. Esto puede expresarse como:
Recursos (F) – Producto (P) = Irreversibilidad (I) > 0. (1.6)

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS COSTES 4
La irreversibilidad generada por el proceso está relacionada con el concepto de entropía
generada, definido por la Ley de Gouy-Stodola:
I = T 0 S g
Siendo T 0 la temperatura del ambiente de referencia.
(1.7)
La ecuación (1.6) rige para todos los procesos diseñados para el hombre, mientras que la
(1.4) rige para todos los procesos, sean naturales o artificiales.
Así pues una segunda cuestión es precisamente cual es la diferencia entre ambas
ecuaciones. Pues bien, ésta radica en que el hombre define P como aquello que quiere
producir. El propósito esta contenido en la ecuación (1.6) pero no en la (1.4).
Esta es una diferencia fundamental. La eficiencia solo puede definirse en sistemas
propositivos, la ecuación (1.4) incluye información que no tiene el Segundo Principio y
ese información responde a quien es el producto; por diferencia también responde a
cuales son los recursos, y con ambos, la definición de eficiencia que determinada, y
cuyo valor estará comprendida entre cero y uno para los sistemas productivos. Como
vemos, tener recursos con elevada exergía no es suficiente, necesitamos máquinas
eficientes que las conviertan en nuestros propósitos.
1.2.- EL PROCESO DE FORMACION DE LOS COSTES
¿Cuanta exergía disipamos cuando rompemos un vaso? Casi nada, porque el vaso está
en un estado meta estable muy cercano al equilibrio termodinámico con el ambiente de
referencia. Aparentemente es difícil ahorrar energía útil si no hay irreversibilidades,
aunque todo el mundo sabe que cuando rompemos un vaso hacemos inútiles todos los
recursos que han sido necesarios para producirlo. Así, lo importante no es la exergía
contenida sino su coste.
Los productos funcionales son las materias primas: combustibles, lubricantes, energía
eléctrica, materiales de soporte para la información, tales como papel, PVC,…, de los
que se obtienen otros productos manufacturados y así sucesivamente. Los productos
manufacturados permiten la obtención de otros productos funcionales los llamamos
equipos o componentes y el procedimiento de fabricar un productos funcional, a partir
de un conjunto de equipos y otros productos funcionales se conoce como proceso
industrial o proceso productivo. En la mayoría de los casos estros procesos no solo
obtienen productos funcionales sino también residuos, productos no deseados. Es
necesario, por lo tanto, una valoración energética de los procesos y los productos
funcionales, y nos hemos preguntado si la termodinámica tiene todas las herramientas
necesarias para hacerlo.
Hacer una valoración adecuada requiere prestar una especial atención a las perdidas en
el proceso. Si el proceso fuera totalmente eficiente no existirían perdidas y todas las
transformaciones de un producto en otro serian reversibles, es decir necesitaríamos la
misma energía para romper el vaso que para volverlo a fabricar.
La causa final de la perdidas esta asociada al hecho de fabricar un producto, sino
producimos no tenemos perdidas de recursos. Por lo tanto necesitamos una contabilidad
sistemática de la cantidad de recursos utilizados para la obtención de un producto, y está
será una poderosa herramienta para la optimización de los procesos.
Sabemos que el primer Principio solo discierne como perdidas, la materia y energía que
atraviesa los limites del proceso. Una fricción sin perdida de energía, una disminución

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS COSTES 5
espontanea de temperatura o un proceso de mezcla no son diagnosticados como
perdidas. Para descubrir las perdidas de calidad de la energía es necesario usar el
segundo Principio, y la combinación de ambos permitirá cuantificar y localizar las
perdidas de un proceso.
Por ejemplo, en el caso de una central térmica, en la caldera se obtiene una energía de
más baja calidad que la del combustible utilizado, que será disipado en parte en el
condensador. Aunque las perdidas aparecen el condensador, gracias al segundo
Principio sabemos que su origen esta en la caldera.
Como hemos visto, el uso combinado de ambos Principios puede hacerse a través de la
exergía, que mide la distancia termodinámica entre un producto y su entorno.
Desafortunadamente, el análisis exergético es una condición necesaria pero no
suficiente para causalizar el origen de las perdidas. Por ejemplo, una malfunción en la
combustión de la caldera, lleva consigo un exceso de aire que produce un aumento del
volumen de los gases que deben ser evacuados por el sistema de ventiladores de tiro
inducido, lo que requiere un consumo adicional de energía eléctrica en este equipo. es
evidente que un aumento en las perdidas de los ventiladores no deben ser imputados
como una malfunción de estos, sino de la caldera.
El coste de producción no tiene porque formarse allí donde aparecen las
irreversibilidades. Aunque, como veremos, el balance de exergía permite localizar las
perdidas, es necesario un profundo análisis adicional del proceso, cuando queramos
cuantificar e identificar el origen de las perdidas en el proceso de producción.
Un primer paso, en la investigación de los posibles ahorros de energía en un proceso,
será estudiar donde aparecen todas y cada una de las irreversibilidades y relacionarlas
con el efecto que tienen en el consumo de recursos.
En resumen, según hemos visto lo importante no es la exergía, B, que puede contener un
producto funcional, si no su coste, que denotaremos por B * , y que es igual a su exergía
más las irreversibilidades acumuladas a lo largo del proceso para obtener el producto:
B *
= B +
∑
I
proceso
(1.8)
Dado que B * es una magnitud expresada en términos de exergía la llamaremos coste
exergético de un producto funcional, y que equivale a la cantidad de exergía necesaria
para obtenerlo.
Investigar que irreversibilidades son el origen del coste de un producto, no es tan simple
como realizar balances de exergía, requiere además un análisis profundo del proceso
que llamaremos proceso de formación de los costes . Su estudio es un paso adicional al
análisis exergético convencional que llamaremos contabilidad de costes exergéticos y
que como veremos más adelante es la base del análisis termoeconómico.
Eficiencia, Costes y Termoeconomía
El coste de producir algo, en un sentido general, es la cantidad de recursos necesarios
para obtenerlo. Según esto la eficiencia y el coste tienen la misma base conceptual. La
eficiencia suele expresarse libremente en una gran variedad de unidades. Tanto el
producto como los recursos empleados se miden en las unidades convenientes en cada
proceso. Por el contrario el coste tiende a expresarse en unidades monetarias.

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS COSTES 6
Pero podemos aproximar ambos conceptos suficientemente. En efecto, si los analizamos
en un proceso simple y medimos los recursos y el producto en términos de exergía, la
eficiencia exergética, η, es la inversa del consumo exergético de recursos, κ, y esto es
justamente su coste exergético, que denotamos por k *
.
1 F (unidades de exergía)
= κ =
= k
η P (unidades de exergía)
*
(1.9)
Sin embargo, todos los procesos están encadenados, el recurso que se utiliza en un
proceso, ha sido producto de algún otro proceso que a su vez ha consumido recursos
que son productos de productos anteriores.
Una vez definidos los límites de un proceso y sus componentes, y cada uno de estos con
una función predefinida que define su objetivo de producción, los recursos empleados y
por tanto su eficiencia, es posible definir el coste exergético de un flujo en el proceso
como la cantidad de recursos exergéticos que entran al sistema, necesarios para producir
dicho flujo.
Supongamos, a modo de ejemplo, un proceso/sistema formado por dos componentes 1 y
2, con eficiencias definidas y unidos de forma secuencial, como la figura 1.1:
1 2
Fig. 1.1.- Sistema secuencial
Para producir P , el producto del sistema, es necesario consumir F recursos locales, así
2 2
el consumo exergético unitario de la componente 2 es κ = F / P 2 2 2 ; pero F es a su vez
2
producto del equipo 1, F2 = P1 Y para producir P1 han sido necesarios F1 recursos
locales, que son también los recursos totales que llegan al sistema. Por tanto el coste
exergético unitario del producto del sistema es: F1/P2 , estas relaciones pueden
expresarse en términos de costes exergéticos unitarios:
1
*
*
k F , 1 =
k P,
1 = κ1
*
*
k F , 2 = κ1
P,
2 = κ1κ
2
k (1.10)
Siempre el coste exergético unitario es mayor que la unidad, y este va creciendo
conforme la estructura de producción de un determinado flujo es más compleja y/o
ineficiente. En términos de costes exergéticos tendríamos:
*
*
F 1 = F1
P 1 = F1
= P1
+ I1
F +
* *
* *
2 = P1
= F2
I1
P 2 F2
= P2
+ I1
+ I2
= (1.11)
Como puede verse en estas relaciones el coste exergético de un producto es igual a su
exergía mas la suma de las irreversibilidades acumuladas a lo largo del proceso. Este
conjunto de relaciones serán generalizadas a lo largo del curso, por una parte el coste
exergético unitario de los productos de los componentes de un sistema puede expresarse
como función de los consumos unitarios de cada componente individual, y por otro lado

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 7
el coste exergético de cada producto se puede expresar como su exergía mas la suma de
las irreversibilidades de las acumuladas a lo largo de su proceso de producción.
Coste y Valor de los Recursos
El límite de los sistemas, pueden ser ampliado, piénsese por ejemplo en el caso del
carbón que llega a la caldera, que ha requerido anteriormente costes de extracción,
clasificación, lavado, transporte, etc.,… entonces el valor del coste exergético no es un
número absoluto, sino que depende de los límites del sistema y de las ineficiencias de
los subsistemas que lo componen.
Sólo existe, y nos es fácil de determinar, un coste exergético absoluto y este es el coste
exergético natural. Para ello hay que contabilizar para un determinado flujo que
pertenece a un sistema bien determinado, desde que se extrae de la Naturaleza hasta que
está a nuestra disposición, todas las energías utilizables que se han puesto en juego.
Todas, incluye cualquier energía auxiliar, eléctrica, humana, animal, solar,… además de
definir el momento temporal en que se hace el análisis.
El precio de cualquier producto funcional, como poco, debe reflejar su coste. La teoría
económica clásica nos dirá que el precio se halla sumando el coste al beneficio que se
desea, o se puede, obtener.
¿Cuál es el coste de producir algo? Hemos visto que para determinar el coste es
necesario definir los límites del sistema. Todos los flujos que entren al sistema tendrán
que tener previamente definido su coste. Pero ¿cuál es el coste de los flujos que entran a
nuestro sistema? Estos serán productos de algún otro sistema anterior, cuyo precio será
teóricamente su coste mas el beneficio. En algún momento de la cadena nos toparemos
con los recursos naturales. Y ¿cuál es el coste de producir estos recursos naturales?
Si no sabemos los costes reales, los costes exergéticos naturales de un determinado
flujo, es obvio que estamos asentados sobre unas bases económicas falsas, en las que el
precio de los bienes se fija por el intercambio, el interés particular, la oportunidad,
etc.… El precio viene marcado por el valor subjetivo de las cosas y no por su coste. El
valor se forma en el intercambio, el coste es el resultado de contabilizar los recursos
empleados. La teoría económica actual acepta esto como un hecho de partida. Por ello,
estamos consumiendo productos con un precio muy por debajo de su coste natural, y
tarde o temprano lo pagaremos con escasez, el Segundo Principio es irrevocable. Por
tanto deberemos dirigir también nuestros esfuerzos en el desarrollo de metodologías
para el cálculo de costes naturales de los productos funcionales.
1.3.-LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO
Según la teoría económica, la contabilidad de costes tiene la función de recoger, medir y
organizar la información sobre lo que cuestan las cosas. Los costes implican perdidas de
recursos y por tanto las personas y empresas intentan optimizar los costes de sus
productos o servicios. Los gestores de las empresas utilizan los datos de la contabilidad
de costes para la toma de decisiones, control y evaluación de las empresas y utilizan los
costes diferenciales para estimar los costes de las diferentes alternativas. Pero, los
principales problemas en la contabilidad de costes aparecen cuando por la complejidad
o desconocimiento del proceso no sabemos asignar costes indirectos o estructurales a
los objetivos de nuestra producción.

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 8
En el caso de la contabilidad de costes energéticos la problemática es similar. Debe
proporcionar un método racional para la asignación de costes de los productos en
términos de recursos naturales y su impacto en el medio ambiente. Debe ser algo más
que una técnica para el ahorro de energía y ayudar al diagnostico, optimización y la
síntesis de sistemas energéticos complejos.
El problema fundamental de la asignación de costes energéticos/exergéticos puede ser
formulado de la siguiente manera: Dado un sistema para el que hemos definido sus
límites y su nivel de agregación, indicando los equipos que lo componen. ¿Cómo
obtener el coste todos los flujos que los interrelacionan?
Para construir una teoría de costes es necesario definir tres condiciones básicas:
• La definición de los límites del sistema y de los costes de los recursos de entrada al
sistema son siempre relativos al sistema bajo estudio. Por ello los información sobre
los costes/precios de los recursos energéticos y económicos puestos a disposición
del sistema, y dentro de los límites del análisis, deben ser conocidos.
• El nivel de agregación proporciona un desglose de la irreversibilidad total de un
proceso entre sus componentes. La elección del nivel de agregación afecta a las
conclusiones del análisis. De hecho, si no disponemos de más información sobre el
sistema que la definida por sus nivel de agregación, no podemos pedir al conjunto
de los costes obtenidos mas información de la que hemos introducido.
• La eficiencia es el indicador de la calidad de los componentes del sistema, donde se
localizan las irreversibilidades. Eficiencia e irreversibilidad deben estar relacionadas
entre si y con el resto de variables técnicas y económicas que les afectan.
Representación matemática de un Sistema Térmico
Desde un punto de vista formal, un sistema puede considerarse como una entidad
compleja formada por un conjunto de elementos, que son componentes básicos del
sistema, y por las relaciones existentes entre ellos y su entorno.
El término elemento se emplea aquí en su sentido general., y alude a los componentes
básicos que, bajo la perspectiva que se adopte, posean una entidad que no sea relevante
dividir. La relación constituye la estructura que establece las ecuaciones que gobiernas
las interacciones entre elementos que dando lugar a la entidad compleja que es el
sistema.
En la composición de un sistema, debe observarse que el concepto de elemento tiene
cierta ambigüedad; en ultimo extremo todo sistema esta formado por átomos, pero se
comprende que no es en estos términos de composición como interesa estudiar, por
ejemplo, una máquina, una población o un sistema económico. El estudio de un sistema
se hace por razones de tipo pragmático que determinan la elección de los elementos
relevantes del sistema. De este modo el concepto de composición no es unívoco, si no
que esta asociado a la naturaleza del análisis que motive la consideración de tal objeto
como sistema, y que se llamaremos nivel de agregación.
En el ámbito de esta idea de sistema, caben tanto las máquinas construidas por el
hombre, como los seres vivientes y las formas de organización social. Ejemplos de
sistemas se tienen en todas partes: El sistema de los números naturales, formado por los
números 1, 2, 3,…, y la relación “ser siguiente de “. Un ecosistema, cuyos elementos
son las distintas especies que lo componen y que están relacionadas entre sí por
conceptos tales como cadenas alimentarias. Una central térmica cuyos elementos son los

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 9
distintos equipos o máquinas que la forman y las relaciones los flujos de materia,
energía o información económica que intercambian. Los flujos de una instalación son
los productos funcionales que esta consume, procesa y obtiene. El conjunto de
máquinas e instrumentación que permiten fabricar los productos funcionales pueden
tener una existencia física real e independiente, por ejemplo una turbina, o bien
englobar varios dispositivos físicos y/o lógicos que desempeñan una función particular
y claramente determinada dentro del proceso.
La Teoría General de Sistemas estudia la estructuración y organización de los datos que
aporta el análisis de la realidad, y de acuerdo con esta idea, pretende descubrir la
existencia de tramas comunes entre las distintas disciplinas. Estas tramas comunes que
aparecen entre las distintas disciplinas, al traducirse en leyes formales, dan lugar a lo
que denomina leyes isomórficas. En la medida en que se trate de extraer los rasgos
comunes a distintas teorías, es claro que el concepto de isomorfismo entre los modelos
matemáticos y los modelos físicos de cada una de esas disciplinas jugará un papel
primordial en esta teoría. Así, dos sistemas complejos son isomorfos si pueden
representarse por medio del mismo modelo matemático, o recurriendo a la
representación por medio de un grafo, dos sistemas serán isomorfos si lo son sus
correspondientes grafos. De este modo el concepto de isomorfismo o equivalencia se
convierte en una interesante herramienta para relacionar teorías de diferentes sistemas
concretos, aunque no posean nada en común en lo que respecta a la naturaleza de sus
componentes.
A partir de las anteriores consideraciones podemos representar un sistema térmico,
como el que se describe en el Apéndice A, mediante un grafo dirigido Θ = (V, E) que se
compone de dos conjuntos finitos:
• V = {v0,v1,…,vn} el conjunto de los nodos del grafo, que representan a los
componentes del sistema, siendo n el número de componentes, y v0 representa el
entorno del sistema.
• E = {e1, …, en} el conjunto de las líneas del grafo, donde cada elemento e=(u, v) es
un par ordenado de nodos distintos del grafo Θ y que representa a los flujos del
sistema que interconectan los componentes del sistema.
A cada flujo del grafo se le puede asociar un peso o magnitud w. La asignación de pesos
a un grafo Θ = (V, E) vendrá dado por una aplicación w = w(u, v).
Para resolver problemas relacionados con grafos utilizando una computadora,
necesitamos considerar la representación de un grafo como estructura de datos. La
forma más común de hacer esto consiste en utilizar una matriz de adyacencia A (n × n),
definida por:
⎧w(
u,
v)
A[
u][
v]
= ⎨
⎩ 0
si ( u,
v)
∈ E
si ( u,v)
∉ E
En el caso del análisis termoeconómico de sistemas, asignamos a cada flujo su exergía,
de forma que w(u,v) = Bi, representa la exergía del flujo i, que sale del componente u, y
entra en el componente v. En los próximos capítulos haremos uso de esta
representación.

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 10
Estructura Productiva
En general todo sistema térmico tiene un propósito definido: obtener una serie de
productos, para lo cual debe consumir un conjunto de recursos. Por ejemplo, el objeto
de una central termoeléctrica es producir energía eléctrica, y para ello es necesario
utilizar un combustible: carbón, gas natural,…
Un Sistema Térmico es algo más que un conjunto de equipos y flujos interrelacionados,
a partir de su estructura física. Cada componente tiene un propósito productivo
particular definido, que contribuye a alcanzar el propósito final de producción del
sistema. Para definir este propósito, debemos indicar que flujo o combinación de flujos
constituye el producto de cada componente (P), cuales los recursos o Fuel consumido
(F) y finalmente los flujos de perdidas (L), es decir aquellos flujos que abandonan el
sistema sin ser utilizados.
Para obtener la definición Fuel – Producto que mejor represente la función productiva
de un componente, es necesario examinar simultáneamente las transformaciones
energéticas que tienen lugar en ellos. La definición F – P, para cada componente del
sistema, debe cumplir ciertas condiciones, que pueden resumirse en:
• Todos los flujos que entran o salen de una componente, deben estar presentes en la
definición F-P una y solo una vez, bien como fuel, producto o perdida.
• Cada flujo o combinación de flujos que constituyen el fuel, producto y perdidas de
cada componente debe tener un valor de su función exergía mayor o igual que cero.
• El balance de exergía de cada componente debe poderse escribir en la forma: I = F –
P – L > 0
Analicemos la definición productiva de cada componente del sistema TGAS que nos
sirve de ejemplo. En la tabla 1 se define el propósito productivo de los flujos del
sistema.
• Combustor.
El objetivo del combustor es aumentar la exergía del aire de salida del compresor (al
aumentar su temperatura). Dado que la cantidad de aire necesaria para la combustión es
muy pequeña (2%) con respecto al aire total, no se considera este como fuel. El
producto es entonces la diferencia de exergía entre la exergía de los gases de admisión
de la turbina y la del aire a la salida del compresor: para obtenerlo se utiliza la exergía
del gas natural.
• Compresor
(2)
(1) 1 (3)-(2)
(3)
F1 = B1
P1 = B3 – B2
El propósito del compresor es la de aumentar la presión del flujo de aire, y su exergía
hasta la del aire de entrada a la turbina, para lo cual utiliza parte del trabajo mecánico
producido por la turbina.
(7)
2
(2)
F2 = B7
P2 = B2

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 11
• Turbina
El objetivo de la turbina el producir los flujos de energía mecánica por expansión de los
gases que entran en la turbina, la exergía utilizada como es la diferencia de exergías
entre los flujos de gases de entrada y salida a la turbina.
(3)
(3)-(4) (8)
(4)
• Caldera de Recuperación. (HRSG)
3
(7)
F3 = B3 – B4
P3 = B7 + B8
El propósito del HRSG es recuperar parte de los gases de salida de la turbina para
aumentar la exergía del vapor. La exergía de los gases de salida se puede considerar
inicialmente como una perdida o irreversibilidad externa. En próximas secciones
analizaremos esta cuestión en detalle.
(4)
4 (6)
F3 = B4
P3 = B6
De este modo la estructura física de un sistema mas la definición de propósito
productivo de cada componente dan lugar a la Estructura Productiva de un Sistema
Térmico, que será la pieza clave del análisis Termoeconómico, sobre la que se sustenta
la Teoría del Coste Exergético. Para su representación utilizaremos un grafo definido de
igual forma que el de su estructura física, en el que los flujos de entrada son los recursos
de cada componente y los flujos de salida, sus productos.
1
(2)
(1) (3)-(2)
(3)
(3)-(4)
(4)
2
(7)
3
4 (6)
Fig. 1.2.- Grafo de la Estructura productiva del sistema TGAS
Reglas de asignación de costes exergéticos
En secciones anteriores hemos visto que la exergía es una función de estado, una vez
definido el ambiente de referencia, que refleja la mínima cantidad de trabajo técnico
para obtener un producto. Por tanto la exergía es independiente del proceso utilizado y
por otra parte representa el coste mínimo necesario. Puesto que los procesos reales son
irreversibles: F- P = I > 0 , resultará siempre que la exergía necesaria para obtener un
producto será siempre mayor o igual que la exergía contenida en él.
(8)

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 12
El coste, en términos de exergía, de la obtención de dichos productos deberá ser igual a
la exergía de los recursos consumidos. Por ejemplo, supongamos que en una central
termoeléctrica, para producir 350 MW de energía eléctrica, se necesita consumir una
cantidad de carbón equivalente en exergía a 1000 MW. Entonces obtener dicha energía
eléctrica cuesta 1000 MW.
Cuando en un sistema se obtiene un único producto es muy sencillo calcular su coste
exergético, ver figura 1.1. Cuando el flujo es interno, es decir conecta dos componentes,
la exergía necesaria para producirlo pues ser calculado como la suma de todos los
consumos de exergía en las componentes anteriores, hasta llegar a los recursos de
entrada al sistema. Pero entonces surge una importante pregunta ¿Qué ocurre cuando
hay bifurcaciones? ¿Cómo se distribuyen entonces los costes? Este es uno de los
problemas clásicos de la Termoeconomía, y diferentes grupos de trabajo han propuesto
que se distribuyan los costes en las bifurcaciones de forma proporcional a la exergía,
como criterio más objetivo comparado con otros, como proporcional a la masa o la
energía. El coste exergético de un flujo es una propiedad emergente, es decir, no existe
como una propiedad termodinámica de un flujo aislado, sino que debe ir asociado a un
proceso de producción. Se tiene entonces que determinar el coste no del flujo aislado,
sino del conjunto de flujos internos y externos. Además la consideración de un flujo no
depende del equipo físico sino de los límites y nivel de agregación que hemos definido
para el sistema.
Con las ideas expuestas, vamos a construir una función termodinámica que permita
evaluar el coste, en términos de exergía de los recursos necesarios para obtenerlo, de
cada uno de los flujos de la estructura productiva de un sistema.
Dado un sistema cuyos limites, nivel de agregación y propósito han sido definidos,
llamaremos coste exergético de un flujo (B * ), fuel (F * ) o producto (P * ) a una magnitud
medida en términos de energía, que cumple las condiciones P1-P3, enunciadas a
continuación. Llamaremos coste exergético unitario de un flujo, que denotamos k * , al
coste exergético por unidad de exergía requerida, esto es: B * = k * B.
P1: El coste exergético de los flujos depende de los costes de los recursos de entrada al
sistema. En ausencia de asignaciones externas, el coste de los flujos de entrada al
sistema es igual a su exergía, o en otras palabras, su coste exergético unitario es uno.
P2: El coste del producto de cada componente del sistema es igual a la suma del coste
exergético de los flujos que constituyen el fuel, de dicho componente:
F * = P *
En consecuencia todos los costes generados en el proceso productivo deben ser
incluidos en el coste final de los productos. En ausencia de asignaciones externas el
coste de los flujos de perdidas es nulo.
P3: Si el producto de una componente esta formado por varios flujos de la misma
calidad termodinámica, todos ellos tienen el mismo coste exergético unitario. Esta
proposición se basa en el hecho de que si en un equipo se identifican varios productos,
se supone que su proceso de formación ha sido el mismo, tienen el mismo coste
exergético unitario y por lo tanto asignamos su coste exergético proporcional a la
exergía que contienen. Este conjunto de reglas de asignación de costes se conocen como
Proposiciones FP.

LA TEORIA DEL COSTE EXERGÉTICO 13
Determinación de los costes exergéticos
De acuerdo con las proposiciones que definen el coste exergético de para cada
componente del sistema, el coste de los flujos que constituyen su producto pueden ser
obtenidos a partir de las proposiciones P2 - P3, conocidos los costes de los flujos que
constituyen el fuel. Dado que los costes de entrada al sistema deben ser conocidos, por
la proposición P1, es posible determinar el coste exergético de cada unos de los m
flujos, relevantes en el nivel de agregación y estructura productiva consideradas en el
análisis.
Para ello será necesario definir m ecuaciones lineales, construidas a partir de las reglas
de asignación de costes. La proposición P1 define tantas ecuaciones como flujos de
entrada al sistema s 0. Por otra parte las proposiciones P2 y P3 definen, para cada
componente genérica –i-, tantas ecuaciones como número flujos si formen el producto
de dicha componente. Dado que cada flujo sale una y solo una vez de cada equipo, o se
trata de una entrada al sistema, se tiene que:
m = s
0
+
n
∑ si
i=
1
(1.12)
con lo que la aplicación de las proposiciones FP a cada una de las componentes del
sistema, incluyendo el entorno, permitirá determinar el coste exergético de todos los
flujos, mediante la resolución simultanea del conjunto de las m ecuaciones lineales
Veamos cuales serían las ecuaciones de asignación de costes asociadas al sistema
TGAS, equipo por equipo.
Entorno
De acuerdo con la proposición P1, el coste unitario de los recursos de entrada al sistema
es conocido e igual a la unidad, entonces:
*
k 1
(i)
1 =
Combustor
El balance de costes en el combustor de acuerdo con la proposición P2, se escribiría
como:
k B = k B + k B
(ii)
*
3
3
*
1
1
*
2
2
De acuerdo con la proposición P3, el coste unitario de cada una de las componentes del
producto son iguales, entonces:
k = k
(iii)
*
4
Compresor
*
3
El balance de costes en el compresor se escribe como:
k B = k B
(iv)
*
2
Turbina
2
*
7
7
El balance de coste en la turbina se escribe como:
k B − k B = k B + k B
(v)
*
3
3
*
4
4
*
7
7
*
8
8

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 14
El producto de la turbina tiene dos componentes, cuyos costes unitarios son iguales,
entonces:
k = k
(vi)
*
4
*
3
Caldera de Recuperación
El balance de costes en la HRSG, considerando el flujo de gases de salida como
perdidas, se escribe:
k B = k B
(vii)
*
6
6
*
4
4
De este modo tenemos un sistema de siete ecuaciones, con siete incógnitas. El flujo #5
de gases de salida de la caldera de recuperación se consideran como pérdidas o
irreversibilidad externa de dicho equipo, su coste es cero y no se considera en los
cálculos. En la tabla 1.1, modelo 1, se muestran los valores de los costes para las
condiciones de referencia descritas en el apéndice A.
Tabla 1.1.- Costes exergéticos del sistema TGAS
Modelo 1 Modelo 2
Equipo B (kW) B* (kW) k* B* (kW) k*
1 11781 11781 1 11781 1
2 2704 5723 2,1162 6088 2,2513
3 9614 17503 1,8207 18621 1,9369
4 3831 6976 1,8207 7421 1,9369
5 388 0 0 752 1,9369
6 2355 6976 2,9618 6669 2,8315
7 2977 5723 1,9221 6088 2,0448
8 2500 4805 1,9221 5112 2,0448
1.4.-EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS
Cuando se defina la estructura productiva de un sistema, clasificamos los flujos que
relacionan cada componente como fuel o producto. Pero es posible que en el proceso de
producción se obtengan flujos que no habíamos pretendido, como por ejemplo los gases
de combustión en una caldera. Este tipo de flujos reciben el nombre de residuos o
subproductos.
A la vez que obtenemos productos funcionales, producimos residuos. Es algo inevitable
en todo proceso productivo. La principal contribución a la irreversibilidad total de un
proceso se debe a las limitaciones técnicas de disponibilidad de equipos que llevan a
cabo las transformaciones deseadas. Las transformaciones de energía química en
energía mecánica, como por ejemplo los procesos de combustión, no solo tienen baja
eficiencia, sino que además imponen la obtención de flujos adicionales, en principio no
deseados. Estos residuos vuelven al entorno aún activos, generando más entropía, y
además si queremos eliminarlos, tenemos que consumir más recursos para rebajar su
potencial intensivo, enfriándolos, expandiéndolos, dispersándolos…

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 15
La asignación de costes de estos flujos, es un problema complejo y que depende de su
naturaleza, en algunos casos aparecen connotaciones que no son estrictamente
energéticas, como en el caso de los residuos contaminantes. Según su naturaleza, se
pueden considerar tres tipos de residuos:
• Perdidas (L): Flujos que no tienen ninguna utilidad y son eliminados sin producir
prejuicios, o necesitar más recursos externos, incluyendo inversiones en
equipamiento. En el ejemplo del sistema TGAS, el flujo de gases de salida de la
caldera de recuperación, podría considerarse como una perdida.
• Residuos (R): Flujos que no tienen ninguna utilidad, pero que su existencia
produciría perjuicios en la instalación o en el entorno, y por lo tanto es necesario un
consumo adicional de recursos energéticos y económicos, para que dichos flujos
sean eliminados y/o convertidos en flujos de perdidas, cuyo coste denotaremos por
R * . Este coste puede formarse en el propio equipo en el que se produce el flujo, pero
también a lo largo de una cadena de flujos y equipos del proceso de producción que
generan el residuo. Por ejemplo, en el caso de los gases de combustión, los gases se
producen en la cámara de combustión y afectan a todo el proceso de intercambio de
calor: sobrecalentador, precalentadores de aire, economizador…
• Subproductos: Flujos adicionales obtenidos, que a veces son inútiles desde un punto
de vista de su posterior utilización en otras partes del proceso, y siempre tienen un
coste no competitivo, ya que de otra forma serían objeto principal del proceso. A
pesar de todo en determinadas ocasiones pueden ser reutilizados produciendo
beneficios, que repercutan en el coste del producto final. Ejemplos de este tipo de
flujos los tenemos el calor disipado en el condensador de un ciclo de vapor que
puede ser utilizado para calefacción, o las cenizas de la combustión para la
fabricación de cemento. En tal caso se genera un coste de residuo R * < 0,
equivalente a la cantidad de combustible ahorrado
El coste de los residuos
Consideremos el esquema productivo de un componente genérico, figura 1.3, cuyo
producto tiene dos destinos diferentes, una parte como fuel de otro componente P A , y
otra parte que no es utilizada por ningún otro componente, ni constituye parte del
producto final, por lo que se convierte en un residuo P R .
F P
P A
P R
Fig 1.3.- Producto Util y Residuo
P P P + =
El balance de costes de este componente, de acuerdo con la regla de que el coste de los
recursos se asigna al producto útil sería:
* *
F = PA
(1.13)
Por otra parte el coste del producto del equipo se puede expresar como:
k P = k P + k P
(1.14)
*
P
*
P
A
*
P
R
A
R

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 16
Si denotamos por R * al coste de los recursos que se han utilizado para generar el flujo
de residuo P R , la ecuación anterior se escribe como:
P A +
* * *
= P R
(1.15)
Y el balance de costes total del componente genérico se puede expresar como:
F =
* * *
+ R P
(1.16)
Esta es la ecuación de balance de costes generalizada, que utilizaremos en nuestro
modelo. Esta ecuación se puede interpretar como que el coste del producto de un
componente es el coste de los recursos utilizados para producirlo mas el coste de los
residuos que ha generado.
De acuerdo con esta idea aparecen dos procesos en el sistema: por una parte el proceso
de formación del producto útil, y por otro lado el proceso de formación de los residuos
cuyo mecanismo de asignación de costes lleva el sentido contrario al de su formación.
El coste de un residuo, y de todos los costes adicionales para eliminarlo, se imputa al
coste del producto de la componente que lo ha generado.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente el diagrama de balance de exergía y costes de
un componente genérico del sistema, puede representarse como se muestra en la figura
1.4.
F
I
IR
P
R
F − P = I
R = I
F + R − P = I + I
F
*
R
+ R
Fig 1.4.- Balance de Exergía y Residuos
Por una parte hay una cadena de formación del producto, y por otro lado la cadena de
formación/imputación de residuos, en la integración de ambos procesos los residuos se
convierten en irreversibilidades externas del componente. De acuerdo con este esquema
en el balance de costes, el coste del producto incluye tanto el coste de las
irreversibilidades internas, como de las externas o residuos.
Consideremos el ejemplo del sistema TGAS, hemos considerado los gases de salida de
la caldera de recuperación (HRSG) como perdidas de dicho equipo. Pero si nos
planteamos que los recursos puestos en juego en la HRSG, son la diferencia entre
exergía de los gases de escape de la turbina (#4) y los gases de salida caldera (#5), al
volver a plantear el diagrama productivo del sistema, ver figura 1.5, observamos que los
gases de salida de la HRSG, no se han generado realmente allí sino en la cámara de
combustión, y es allí donde deberemos imputarlos.
De este modo las ecuaciones de costes de la sección anterior se rescriben del siguiente
modo:
*
3
* *
( B3
B5
) = k1
B1
k2
B2
*
= P
k − +
(ii)
*
6
6
*
4
( B B )
k B = k −
(vii)
4
5
En el balance costes de la HRSG, no se asigna al producto el coste de los gases de
salida, flujo #5, sino que carga al coste del flujo #3. Los resultados obtenidos de aplicar
estas ecuaciones, para el modelo 2, se muestran en la tabla 1.2.
*
R

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 17
1
(2)
(1) (3)-(2)
(3)
(3)-(4)
2
(4)-(5)
(7)
3
(5)
(8)
4 (6)
Fig 1.5.- Grafo de la estructura productiva del sistema TGAS. Modelo 2.
Componentes disipativos
Los sistemas pueden contener unidades que se caracterizan por la ausencia de un
producto definido que pueda ser medido en términos de exergía. La utilidad de dichos
componentes se basa en la interacción con otros componentes del sistema para obtener
productos comunes. A veces esta interacción proporciona un mayor rendimiento global
del sistema, como en el caso del condensador de un ciclo Rankine. En otras ocasiones
su presencia es esencial para la operación de una planta, tanto desde un punto de vista
físico, es el caso de los ventiladores de tiro inducido de una caldera, como desde el
punto de vista legal, precipitadores electrostáticos o equipos de desulfuración en el caso
de calderas de carbón. La presencia de este tipo de componentes hace necesario ampliar
las reglas de asignación de costes. No hay reglas generales para el tratamiento de los
componentes disipativos, aunque en general deben ser tratados como residuos y el coste
de las irreversibilidades asociadas con su operación debe ser imputada como fuel de los
componentes de la planta que entran en su proceso de formación.
Como ejemplo de planta con equipos disipativos, vamos analizar el diagrama
productivo y las ecuaciones de costes de un ciclo Rankine, cuyo esquema físico se
muestra en la figura 1.6.
7
M4
Agua
Gases
5
4
4
1
3
M3 6
Fuel
Qo
1
2
3
Air
Fig 1.6.- Estructura física de un ciclo Rankine
2
7
A
6
8

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 18
La definición del propósito productivo, de cada uno de los equipos del ciclo es claro. El
equipo #1 es la caldera que utiliza un combustible, carbón o gas natural, para
transformar el flujo #5 de agua a presión en vapor saturado, flujo #2. Este flujo se
exhausta hasta el flujo #3 en el turboalternador, equipo #2, para producir el producto
neto final, flujo #8 y consumos eléctricos auxiliares flujos #6,7. El vapor exhausto, se
condensa en el equipo #3, el condensador, disipando un flujo de calor, que se retira
mediante un flujo de agua circulante, necesita el consumo adicional de una bomba, flujo
#6. El agua condensada, a presión de vacío, flujo #4, se realimenta a la caldera elevando
su presión en el equipo #4, bomba de alimentación
(1)
(2)-(5)
(2)-(3)
1 2
(5)
(4)
(3)
(5)-(4)
Fig 1.7.- Estructura productiva de un ciclo Rankine
La definición fuel - producto y el grafo de su esquema productivo se muestra en la
figura 1.7. l condensador, es un equipo disipativo que no tiene un producto útil definido
Desde un punto funcional su objetivo es disipar calor. Entonces la forma de plantear
este tipo de problemas es la siguiente, consideremos que el producto del condensador es
la exergía del calor disipado. Como es un flujo que abandona el sistema, sin dar lugar a
producto útil debe ser imputado a los equipos donde se ha producido. Si observamos el
diagrama H-S de un ciclo Rankine, figura 1.8, el objetivo del condensador es recuperar
la entropía generada a lo largo de la planta por cada uno de los equipos.
T [C]
600
500
400
300
200
100
60 bar
20 bar
1 bar
0
0.05 bar
0 2 4 6 8 10
s [kJ/kg-K]
Fig 1.8.- Diagrama T-s de un ciclo Rankine
Así el producto del condensador, exergía del calor disipado Q 0 , viene dado por:
B
Q =
0 ∑ρ 3 j
j
B
9
(6)
(7)
3
4
(8)
(9)
(4)

EL PROCESO DE FORMACION DE LOS RESIDUOS 19
Siendo los coeficientes ρ 3j , la porción de entropía generada en cada equipo:
ρ
31
s
=
s
2
3
− s5
− s
4
ρ
32
s
=
s
y se verifica que: ρ + ρ + ρ = 1
31
32
34
3
3
− s2
− s
4
ρ
34
s
=
s
5
3
− s
− s
El coste del flujo de calor disipado en el condensador se imputará al producto de los
equipos correspondientes. Las ecuaciones de asignación de costes del ciclo sería:
Caldera:
B
B
*
1
*
2
= B
− B
1
*
5
= B
Turboalternador
k
k
*
2
B
*
6
*
6
= k
= k
*
3
+ B
*
7
*
7
+ B
= k
*
1
*
8
*
8
+ ρ
= B
31
*
2
Bomba de Alimentación
B
B
*
4
*
5
= B
− B
4
*
4
Condensador
= B
*
7
+ ρ
34
B = B + B − B
*
9
*
6
*
3
B
*
9
− B
B
*
4
*
9
*
3
+ ρ
32
B
*
9
La ecuación de costes del condensador, determina el coste del flujo de calor disipado
#9, como el coste de la energía eléctrica necesaria para extraer el calor #6 mas el coste
del vapor exhausto en la turbina #3, que se condensa en el flujo #4. Como este flujo se
reutiliza en la planta se descuenta del coste del flujo de calor que actúa como residuo.
Tabla 1.2.- Propiedades termodinámicas y costes del ciclo Rankine
Flujo m(kg/s) T(ºC) P(bar) h(kJ/kg) s(kJ/kgK) B(kW) B(kW)* k*
1 66815 66815 1
2 18.52 500 60 3421 6.879 26074 74007 2.838
3 18.52 39.04 0.07 2330 7.496 2513 7133 2.838
4 18.52 39.04 0.07 163.4 0.5592 44.49 44.49 1
5 18.52 39.31 63 170.8 0.5627 163.3 510 3.124
6 75 250.6 3.341
7 138.2 461.7 3.341
8 20000 66815 3.341
9 2448 7339 2.998
4
4

BIBLIOGRAFIA BASICA 20
Consideraremos este flujo como un subproducto, y el coste unitario de este flujo, igual a
la unidad como si de un flujo de entrada al sistema se tratara, ya que si su coste fuera
mas alto, entonces utilizaríamos agua de alimentación externa de la planta para
reemplazarla. En general los subproductos tienen un coste no competitivo, ya que de
otra forma serían el objeto principal del proceso. Así, podemos asignar el coste de un
subproducto al del coste de la mejor alternativa disponible para producirlo, como en este
caso. En la tabla 1.2 se muestran las propiedades termodinámicas y los costes
exergéticos de los flujos del ciclo Rankine
BIBLIOGRAFIA BASICA
Morán, M.J, Shapiro, H.N (1995) Fundamentos de Termodinámica Técnica. Editorial
Reverte. Barcelona.
Kotas T.J. (1985). The exergy method of thermal plant analysis. Butterworths, London.
Lozano M.A., (1987). Metodología para el análisis exergético de calderas de vapor en
centrales térmicas. Tesis Doctoral. Universidad de Zaragoza.
Valero A., Lozano M.A., Muñoz M.(1986). A general theory of exergy saving. Part I:
On the exergetic cost. Part II: On the thermoeconomic cost. Part III: Energy saving and
thermoeconomics. Computed-Aided engineering and energy systems. AES. Vol. 2-3.
(ASME Book H0341C). pp. 1-22.
M.A. Lozano, Valero. A. (1993). Theory of the exergetic cost. Energy Vol 18. No.9 pp.
939-960.
Klein, S.A., Alvarado, F.L (1997) EES Engineering Equation Solver. F-Chart Software,
Middleton, WI 53562. http://www.fchart.com

Capítulo 2
LA ESTRUCTURA PRODUCTIVA DE LOS
SISTEMAS TERMICOS
En los procesos energéticos complejos, la estructura productiva del sistema juega un
papel predominante a la hora de estudiar su eficiencia y sus costes. La Teoría de Coste
Exergético es una metodología de costes termoeconómicos que formula un
procedimiento de asignación de costes basado en repercutir el coste de los recursos de
cada equipo, de forma exclusiva a sus productos útiles y proporcional a su exergía. Se
trata de una técnica esencialmente numérica que permite cuantificar los costes, a partir
de los valores de las exergías de los flujos, pero que no responde de manera completa a
las causas del proceso de formación de costes.
El objetivo de este capítulo es desarrollar una metodología, que toma como punto de
partida la teoría del coste exergético, para la obtención de fórmulas generales que
relacionan los costes y la eficiencia total del sistema con la eficiencia y las
irreversibilidades de los componentes individuales. De este modo no solo es posible
obtener los valores de los costes exergéticos de los flujos de un sistema, de una manera
eficiente, mediante algoritmos para ser utilizados en un ordenador, sino que además
permite analizar en detalle el proceso de formación de los costes. La descripción de las
estructura productiva se basa en identificar el propósito de los flujos en cada equipo,
incluyendo los residuos, con la información proporcionada es posible identificar donde
han sido generados. Este información es clave para la asignación de costes de los
residuos, y comprender de forma integral el proceso de formación de costes y residuos.
Finalmente esta metodología se aplica al estudio del efecto del incremento de las
irreversibilidades de los componentes sobre el consumo adicional de recursos y el coste
de las malfunciones.

EL MODELO FUEL PRODUCTO 2
2.1.-EL MODELO FUEL PRODUCTO
El primer paso para identificar el proceso de formación de los costes es trasladar el
esquema físico, a una grafo o esquema productivo, que indique donde se utiliza el
producto de cada componente, que parte se utiliza como recursos en otros componentes
y que parte se transforma en producto final; y por otro lado cual es origen de los
recursos de cada componente, cual proviene de los recursos externos y que parte de los
productos de otros equipos.
El problema de identificar la estructura productiva de un sistema, tiene muchas
similitudes con el análisis económico Input-Output de W. Leontief (Premio Nobel de
Economía 1973), que consiste en un análisis cualitativo y cuantitativo de las relaciones
que ligan las corrientes de bienes y servicios (flujos) entre los distintos sectores
(equipos) de una unidad económica con objeto de estudiar sus características
estructurales.
Un modelo equivalente puede aplicarse a la estructura productiva de los sistemas
térmicos, que puede representarse mediante su matriz de adyacencia A (n × n), y que
denominaremos tabla fuel–producto, que para el caso del sistema TGAS que nos sirve
de ejemplo, se muestra en la tabla 2.1.
siendo:
r
1
=
B
3
B
Tabla 2.1.- Tabla Fuel Producto
F0 F1 F2 F3 F4 Total
P0 0 B1 0 0 0 B1
P1 0 0 0 r1(B3-B4) r1(B4-B8) r1(B3-B8)
P2 0 0 0 r2(B3-B4) r2(B4-B8) r2(B3-B8)
P3 B6 0 B5 0 0 B5+B6
P4 B7 0 0 0 0 B7
Total B6+B7 B1 B5 B3-B4 B4-B8
− B
3
2
B
2 r 2 = r1
+ r2
= 1
B3
Ecuaciones del proceso productivo
De acuerdo con este modelo, el producto de la i-sima componente puede utilizarse como
producto final del sistema, como fuel de otra componente y también puede existir una
parte que se convierta en residuo. Esto se expresa en la forma:
n
∑
j=
1
Pi
= Bi0
+ Bij
i = 0,1,…,n (2.1)
siendo B ij el producto de la componente i-sima utilizado como fuel en la componente jsima,
y En esta expresión se considera la componente –0– como el entorno, entonces B i0
representa el producto final obtenido por la componente i-sima.

EL MODELO FUEL PRODUCTO 3
Por otra parte el fuel de cada componente puede expresarse como:
n
∑
j=
1
Fi
= B0i
+ Bji
i = 0,1,…,n (2.2)
donde B 0i representa los recursos externos usados por la componente i-sima.
De este modo el fuel y producto total del sistema, pueden escribirse como:
F
T
≡ P
n
n
0 = ∑ B0
j
PT
≡ F0
= ∑
j=
1
j=
1
El modelo ampliado FPR
B
j0
(2.3)
De acuerdo con la estructura productiva de la planta que nos sirve de ejemplo, el flujo
[8] corresponde a los gases de salida de la caldera de recuperación, es un residuo que
abandona la planta sin formar parte del producto total. En la definición de las reglas de
asignación de coste de la teoría del coste exergético el coste de los recursos utilizados
para obtener un producto se asigna únicamente al producto útil, es decir el coste del
flujo [8] es nulo. De acuerdo con esto el producto útil del combustor más el compresor
no es el flujo [3] sino el flujo [3]-[8], y el flujo [8] desaparece del modelo.
Esta es una forma de tratar los residuos dentro del modelo termoeconómico, siendo
coherente con las reglas de asignación de costes de la teoría del coste exergético. El
modelo fuel - producto es capaz de identificar donde se generan los residuos y imputa
sus costes en los componentes que los generan, como si de una irreversibilidad interna
se tratará. Ahora bien este modelo puede resultar insuficiente. Los flujos de equipos
disipativos, como el condensador, o los subproductos no pueden ser contemplados
fácilmente con este modelo. Además al considerar los residuos como irreversibilidades
(externas) no es posible identificar que parte de los costes o de las malfunciones de un
componente se debe a las irreversibilidades internas y cual a los residuos, y también que
el producto considerado en el modelo, no se corresponde con el producto definido en
cada componente. El modelo que vamos a proponer a continuación, se tratará de
solventar estas limitaciones.
Tal como se explico en el capítulo anterior existen dos cadenas en el proceso de
producción, por una parte la de formación del producto, y otra en sentido contrario de
formación y imputación de los residuos generados en el propio proceso de producción.
Entonces, el producto de cada componente genérico del sistema puede tener dos
destinos diferentes, una parte como fuel de otros componentes y otra que no es utilizada
por ningún otro componente, ni como producto final, convirtiéndose en un residuo. De
este modo la ecuación (1) puede ser rescrita como:
n
n
∑ Bij
+ ∑
Pi
= Bi0
+ Rij
i = 0,1,…,n (2.4)
j=
1 j=
1
El término R ij representa al residuo generado en la componente i–sima e imputado a la
j–sima componente, causante de dicho residuo. Entonces el residuo imputado a cada
componente se escribirá como:
R
i
=
n
∑
j=
1
R
ji
i = 1,…,n (2.5)

EL MODELO FUEL PRODUCTO 4
El modelo ampliado FPR, se representa mediante una tabla, equivalente a la tabla fuel -
producto, con dos bloques, uno relativo al fuel, y otro a los residuos, tal como se
muestra en la figura 2.1.
F R
P B ij R ij
Fig. 2.1.- Tabla Fuel – Producto - Residuo
La parte de la tabla correspondiente a los residuos, se correspondería con la matriz de
adyacencia del grafo que representa el proceso de formación y asignación. En el caso
del ejemplo del ciclo de turbina de gas utilizada, la tabla FPR se describe en Tabla 2.2
Tabla 2.2.- Tabla FPR del sistema TGAS
F0 F1 F2 F3 F4 R1 R2 R3 R4 Total
P0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B1
P1 0 0 0 r1(B3-B4) r1(B4-B8) r1B8 0 0 0 B3-B2
P2 0 0 0 r2(B3-B4) r2(B4-B8) 0 r2B8 0 0 B2
P3 B6 0 B5 0 0 0 0 0 0 B5+B6
P4 B7 0 0 0 0 0 0 0 0 B7
Total B6+B7 B1 B5 B3-B4 B4-B8 r1B8 r2B8 0 0
Observar que en este modelo, el producto de cada componente se corresponde con el
producto definido como componente aislada, y no solo el producto utilizable.
Modelo de costes
Las ecuaciones del modelo FPR pueden aplicarse también a los costes exergéticos:
P
*
i
F
R
*
i
= B
*
i0
= B
*
0i
= ∑
=
n
*
i
j 0
+
R
n
n
*
∑ Bij
+ ∑
+
*
ji
j=
1 j=
1
n
∑
j=
1
B
*
ji
R
*
ij
i = 0,1,…,n (2.6)
i = 0,1,…,n (2.7)
i = 0,1,…,n (2.8)
De acuerdo con nuestro modelo las proposiciones FP de la teoría del coste exergético,
se escriben en la forma:
P1: El coste de los recursos externos es conocido e igual a su exergía.
i i B B *
0
0 = (2.9)
P2: El coste del Producto es igual al coste del fuel utilizado.
P = F + R
(2.10)
*
i
*
i
*
i

EL MODELO FUEL PRODUCTO 5
P3: El coste exergético de los flujos obtenidos en cada componente son proporcionales
a su exergía. Esto es valido para todos los flujos, sean fuel de otros componentes,
producto final o residuos.
siendo
k = k
(2.11)
*
ij
*
P,
i
*
k ij el coste exergético unitario del flujo Bij, que satisface la relación:
*
B = k B
(2.12)
ij
*
ij
ij
Las relaciones (6-12) anteriores pueden combinarse en la ecuación:
P
*
i
= B
0i
+
n
∑
j=
1
k
*
P,
i
B
ji
+
n
∑
j=
1
k
*
P,
i
R
ji
i=1,…,n (2.13)
la cual, conocida la exergía de los flujos de la estructura productiva del sistema, permite
*
determinar el coste exergético de los productos de cada componente P i , mediante la
resolución del siguiente sistema de ecuaciones:
B
+ R
n
*
ji ji *
Pi −∑ Pj
= B0i
j=
1 Pj
o de forma equivalente para el coste exergético unitario
k
n
*
P,
i −∑
j=
1
B
ji
+ R
P
i
ji
k
*
P,
j
B
=
P
0i
i
i=1,…,n (2.14)
k :
*
P,i
i=1,…,n (2.15)
Observar en estas ecuaciones que los flujos residuos, se comportan como si fueran
recursos adicionales de entrada a los componentes.
Ejemplo 2.1
Los costes exergéticos de los productos del ciclo de turbina de gas, para las condiciones
de diseño, es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
*
⎡1−
ψ1
0 0 0⎤⎡P
⎤ ⎡B
1 1⎤
⎢
⎥⎢
* ⎥ ⎢ ⎥
⎢
0 1−
ψ2
− y2
0
⎥⎢P
⎥ = ⎢
0
2 ⎥
⎢ − −
⎥⎢
*
y
1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
3 y3
P3
⎢
⎥⎢
* ⎥ ⎢ ⎥
⎣ − y4
− y4
0 1⎦⎢⎣
P ⎥⎦
⎣ 0
4 ⎦
Siendo los coeficientes de la matriz
B3
− B4
B4
− B8
y3 = = 0.
6268
y4
= = 0.
3732
B
B
3
B5
B8
y2 = = 0.
5435
ψ1
= ψ2
= = 0.
0404
B + B
B
5
6
La tabla 2.3 muestra los resultados del calculo de costes exergéticos obtenidos de
aplicar las ecuaciones descritas en esta sección.
Una vez calculado el coste exergético P * , mediante la ecuación (14) se obtiene el coste
unitario del producto, y a partir de las ecuaciones (7,8) el coste del fuel y de los residuos
3
3

LA REPRESENTACION FP 6
imputados a cada componente. El consumo unitario κ se define aquí como el cociente
ente el coste unitario del producto y del fuel.
Tabla 2.3.- Resultados del cálculo de costes exergéticos
F P I R F* P* R* kP* kF* κ
1 11781 6910 4871 279 11781 12276.8 495.8 1.7767 1 1.7767
2 2977 2704 273 109 6088.3 6344.6 256.3 2.3464 2.0451 1.1473
3 5783 5477 306 0 11201.1 11201.1 0 2.0451 1.9369 1.05587
4 3443 2355 1088 0 6668.2 6668.2 0 2.8315 1.9369 1.46187
2.2.-LA REPRESENTACION FP
En las próximas secciones vamos a desarrollar un método general para la obtención de
fórmulas de las eficiencia de la eficiencia y costes de producción del sistema, partiendo
de las relaciones básicas del modelo FPR, identificando cuales son las variables que
permiten relacionar las variables termoeconómicas del sistema con la eficiencia de cada
componente, con los recursos externos o el objetivo de producción del sistema.
Coeficientes de distribución
Siguiendo un paralelismo con el análisis input–output, podemos definir los coeficientes
de distribución yij, ψij como la porción de la producción de la componente j-sima
utilizada como fuel, o como residuo imputado en el componente i-sima.
j
Fj
Pj
Bj0
Bj1
Bji
Bjn
B
y ij =
P
n
∑
i=
0
ji
j
ψ
i ( y + ψ ) = 1
Fig. 2.2.- Tabla Fuel – Producto - Residuo
ij
ij
ij
B
=
P
Utilizando estos coeficientes de distribución, las ecuaciones del fuel pueden rescribirse,
del modo siguiente::
n
∑
j=
1
Fi
= B0i
+ yij
Pj
i=1,…,n (2.16)
P
T
=
n
∑
j=
1
y
0 j
P
j
ji
j
(2.17)
y muestran como el fuel de cada componente puede expresarse como una función lineal
de los productos del cual proviene. La ecuación anterior puede escribirse en forma
matricial como:
F = Fe
+ FP P
(2.18)
Fe B01,..., 0n
contiene los valores de las exergías de los recursos externos
que entran en cada componente, y 〈FP〉 es una matriz (n×n) cuyos elementos son los
coeficientes de distribución y .
ij
El vector ≡ ( B )

LA REPRESENTACION FP 7
La ecuación de los residuos, se expresa como suma de las porciones de los productos
que los generan:
R
= ∑
=
n
i
j 0
ψ
ij
P
La ecuación en forma matricial es:
j
i=1,…,n
R = RP P
(2.19)
siendo 〈RP〉 una matriz (n×n) cuyos elementos son los coeficientes de distribución ψ ij
de los residuos.
De igual modo podemos obtener las ecuaciones que relacionan los costes de fuel,
producto y residuo:
F
R
*
i
*
i
= B
=
0i
n
∑
j=
1
+
ψ
n
∑
j=
1
ij
P
*
j
y
ij
P
*
j
Cuya formas matriciales son:
F +
i=1,…,n (2.20)
i=1,…,n (2.21)
*
*
= Fe
FP P
(2.22)
*
*
R = RP P
(2.23)
Observar que los coeficientes de distribución, son los mismos tanto para el caso de
exergías y costes exergéticos, lo cual es consecuencia de la regla de asignación de
costes que hace el coste del producto proporcional a su exergía.
Formulas del coste y la eficiencia
Ahora estamos en disposición de obtener fórmulas que relacionan los costes y la
eficiencia de la planta con la de sus componentes individuales.
La eficiencia o consumo unitario de un componente del sistema, ki se define como las
cantidad de recursos en términos de exergía necesarios para obtener un producto:
F = k P
i
i
i
esta expresión se puede escribir en forma matricial como:
F D
= K P
(2.24)
siendo K D una matriz (n×n) cuya diagonal contiene el consumo unitario de cada
componente k i . Entonces, de las relaciones (18, 24) se obtiene:
( K D FP ) P = Fe
− (2.25)
La matriz FP
K −
D es regular, por ser diagonal estrictamente dominante, tal como se
indica en el apéndice B.2, y por tanto tiene inversa, cuyos elementos son todos
positivos. La expresión anterior representa un sistema de ecuaciones lineales, cuya
solución única permite expresar la producción de cada componente en función de:

LA REPRESENTACION FP 8
• Los recursos externos: Fe
• La eficiencia de cada componente: K D
• Los parámetros de distribución: 〈FP〉
Llamaremos Representación FP, a la forma de caracterizar un sistema térmico, usando
como variables canónicas la eficiencia y los parámetros de distribución de cada
componente del sistema. De forma general, es posible relacionar cualquier variable
exergoeconómica, tales como exergía del fuel, del producto, y las irreversibilidades, con
los recursos externos necesarios para obtenerlos, a través de un función lineal de las
eficiencias y los parámetros de distribución:
P = P F
siendo ( ) 1 −
P = K D − FP
(2.26)
e
e
F = F F
siendo = K P
(2.27)
e
F D
I = I F
siendo = ( K U ) P
(2.28)
e
I D − D
R = R F
siendo R = RP P
(2.29)
Si consideremos la ecuación general del balance de costes (1.18):
* *
P = F +
R
*
junto con las ecuaciones (22, 23) que relacionan los costes con los parámetros de
distribución, se tiene:
P
* *
*
−1
= P Fe
siendo = ( U − FP − RP )
P D (2.30)
La obtención de una fórmula general de la eficiencia de los sistemas térmicos como
función de la eficiencia de sus componentes individuales, ha sido un problema abordado
en muchas ocasiones, especialmente por la ingeniería química ya que esta maneja
estructuras muy complejas. Sus esfuerzos se han centrado habitualmente en la
identificación de tipos de subestructuras, tales como estructuras secuenciales, o
recirculaciones simples. La aproximación a este problema utilizando los modelos de la
representación FP, junto con herramientas de cálculo simbólico, hacen la obtención de
la fórmula un problema muy sencillo.
La fórmula general de la eficiencia de un sistema térmico, sea cual sea su complejidad y
su estructura productiva, viene dada por la expresión:
t
P y T 0 P Fe
η T = =
(2.31)
t
FT
uFe
y 0 y01 0n
el vector que contiene los parámetros de distribución
asociados con el entorno (producto final).
t
siendo = ( ,..., y )

LA REPRESENTACION FP 9
Ejemplo 2.2
Vamos a obtener las formulas de la eficiencia y de los costes de la planta TGAS.
La matriz de los coeficientes de distribución es:
FP
⎡ 0
⎢
⎢
0
=
⎢ y3
⎢
⎣1
− y
3
0
0
y
3
1−
y
3
0
y
2
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎦
y el vector de coeficientes de distribución del producto final:
t
y
0
=
[ 0 1−
y 1]
0 2
Aplicando la ecuación (26) obtenemos el producto de cada componente como función
de los rendimientos individuales de cada componente y los coeficientes de distribución,
utilizando un aplicación de cálculo simbólico como Mathematica:
P η
y y η η η
2 3 1 2 3
1 = 1B1
P2
=
B1
1−
y2
y3η2η3
P
y η η
B
( 1−
y ) η η
3 1 3
3 1 4
3 = 1
P4
=
B1
1−
y2
y3η2η3
1−
y2
y3η
2η
3
Entonces el rendimiento total del sistema tiene la forma:
η
T
=
( 1
− y ) P + P
2
B
1
3
4
=
( 1
− y2
) y3η
3 + ( 1−
y3
) η4
η
1−
y y η η
2
3
Los dos sumandos del numerador corresponden a la contribución de cada producto,
contemplado como un sistema secuencial, y el denominador es la contribución al
sistema de la recirculación del compresor.
También puede obtenerse el coste de cada uno de los dos productos finales del sistema,
como:
B
( 1−
y ) y
*
2 3
*
3
8 = B1
B6
= B1
1−
y2
y3
1−
y2
y3
2
3
( 1−
y
Observar que la suma de los costes de ambos productos finales es el fuel total del
sistema. Esto sirve de comprobación del balance de costes del sistema total.
Irreversibilidad y Coste
En la sección anterior se ha mostrado que el coste del producto de cada componente
puede escribirse como una función lineal de los recursos externos y los coeficientes de
distribución
siendo
n
*
*
Pi ∑ pij
B0
j
j=
1
= (2.32)
*
p ij los elementos de la matriz
)
1
*
P , que son función exclusivamente de los
parámetros de distribución, y que representan la cantidad de recursos externos
necesarios para obtener una unidad del producto de cada componente.

LA REPRESENTACION FP 10
El operador
*
P sería igual al operador asociado al producto efectivo , o en ausencia de
residuos, si la eficiencia de cada componente fuera igual a uno. Entonces, esto significa
que el coste exergético de los productos tiene en cuenta las irreversibilidades
acumuladas a lo largo del proceso de producción. Este hecho puede expresarse mediante
la relación:
( I R)
*
*
P = P + P +
La expresión anterior se obtiene, restando las ecuaciones (18, 22)
* ( P P)
*
F − F = FP −
expandiendo los términos de esta ecuación se tiene:
*
( U − FP − RP )( P − P)
= I + R
D
con lo que se obtiene la ecuación deseada.
(2.33)
La ecuación (33), en forma escalar muestra claramente como el coste de los productos
de cada componente del sistema, se forma por acumulación de las irreversibilidades
internas y externas, residuos, generados a lo largo del proceso.
P
*
i
= P
i
+
n
∑
j=
1
p ( I + R ) i=1,…,n (2.34)
*
ij
j
j
Los elementos
*
p ij representan el coste generado en el producto de la i-sima
componente, debido a una unidad de irreversibilidad en el j-sima componente.
Ejemplo 2.3
Los valores numéricos del operador
TGAS son:
*
P
⎡
⎢
= ⎢
⎢
⎣
1.0421
0.5385
0.9508
0.5660
0.0000
1.5806
0.9508
0.56660
0.0000
0.8591
1.5168
0.3077
*
P para los valores de referencia del sistema
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
A partir de los valores de dicho operador, se puede obtener la tabla 2.4, en cuyas filas se
muestra las contribuciones de las irreversibilidades y residuos de cada componente al
coste total del producto. Cada elemento de la celda representa el valor p ij I j
*
. Como se
puede observar la principal contribución al coste de los productos se debe a la
irreversibilidad de la cámara de combustión.
Tabla 2.4.- Contribuciones de las irreversibilidades y residuos al coste del producto
P *
P I 1 I 2 I 3 I 4 R 1 R 2 R 3 R 4
1 12276,8 6910 5076,02 0,00 0,00 0,00 290,83 0,00 0 0
2 6344,6 2704 2623,25 431,51 262,90 0,00 150,30 172,62 0 0
3 11201,1 5477 4631,25 259,56 464,14 0,00 265,35 103,84 0 0
4 6668,2 2355 2757,05 154,52 94,14 1087,70 157,97 61,82 0 0

LA REPRESENTACION FP 11
Costes Exergoeconómicos
El cálculo del coste económico de los flujos, en plantas térmicas o químicas constituye
un problema de capital importancia, por cuanto está ligado de manera directa con la
repercusión de los costes de producción a las distintas componentes que constituyen el
proceso productivo, y en consecuencia, a la asignación correcta de los costes de los
productos finales.
Para aquellas instalaciones en que la exergía juega un papel preponderante, la formación
del coste económico de los flujos internos y productos finales está relacionada tanto con
la eficiencia termodinámica del proceso como por el coste de amortización y
mantenimiento de los equipos del sistema.
Entonces, podemos considerar el coste exergoeconómico de un flujo como la suma de
dos contribuciones: La primera que procede del coste monetario de la exergía de los
recursos de la planta, su coste exergético, y la segunda que engloba el resto de los costes
originados en el proceso productivo asociado a su obtención, tales como costes de
amortización, operación y mantenimiento.
Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, llamamos exergoeconómico del fuel
(producto) de un componente, que denotamos por Π F (Π P ) a los recursos económicos
necesarios para obtener el fuel (producto) de dicho componente. Denotaremos por Π F ,
Π P (n×1) a sus correspondientes vectores.
Si llamamos Zi al coste de los factores de producción no energéticos (amortización,
mantenimiento, operación…) de cada componente, y por Z (nx1) al correspondiente
vector, el balance de costes exergoeconómicos para cada equipo individual,
representado en la figura 2.3, se expresa en forma vectorial como:
Π F + Z = Π P
(2.35)
De igual modo que en el caso del coste exergético, llamaremos coste exergoeconómico
unitario del Fuel (Producto) de un componente, y lo denotaremos por c F,i (c P,i), a su coste
en unidades monetarias por unidad de exergía:
c
F , i
Π
=
F
F , i
i
c
Π
P,
i
P,
i = (2.36)
Pi
El modelo fuel – producto se ha utilizado para calcular el coste exergético, puede se
utilizado para el calculo de costes exergoeconómicos. La ecuación (22) se puede
rescribir en la forma:
Π = Π + FP Π
(2.37)
F
e
P
El vector Fe en la ecuación (22) representa el coste exergético de los recursos externos,
el significado de esta variable se puede actualizar para los costes exergoeconómicos,
incluyendo los costes de inversión y mantenimiento de los componentes del sistema Zi
($/s) y el coste económico unitario de los combustibles (recursos externos) ci ($/kJ), y el
vector de los costes económicos de los recursos externos se define como:
e
[ Z i + ciB0
i ] i=
1,...,
n
Π =
(2.38)
De este modo el coste exergoeconómico de los productos se obtiene como:
Π
P
*
= P Π
(2.39)
e

LA REPRESENTACION FP 12
Como se observa en esta ecuación, el operador matricial que determina el coste
exergoeconómico es el mismo que el del coste exergético, cuyos coeficientes son
adimensionales e independientes del coste de los recursos externos y dependen
exclusivamente de la definición de sus estructura productiva. Su unicidad cuando se
aplica al cálculo de costes exergéticos y exergoeconómicos refleja el hecho de que al
pasar de uno a otro, esto implica simplemente modificar las unidades en las que
valoramos los factores de producción (kJ o $).
Hemos visto que el coste de un producto se forma por la aportación económica de
varios recursos productivos, por una parte el combustible, y por otro los costes
asociados a la instalación. Este análisis desglosado, ver figura 2.3, del coste de los
distintos productos, puede resultar de gran interés cuando se utiliza para la selección de
una alternativa entre varias disponibles. Existe además un hecho de singular importancia
que se da en buena parte de las plantas térmicas convencionales (no nucleares), y ello es
que el combustible es el factor que mas contribuye a formar el coste de los distintos
productos (del orden del 80 al 90%). Esta razón junto a la dificultad de estimar con
precisión los costes del equipamiento, permite reflexionar sobre la importancia de
conocer la aportación del combustible.
Eficiencia
Combustible
Instalación
Total
Fig. 2.3.- Componentes del coste exergoeconómico
La expresión (2.40) puede escribirse en la forma:
Π
P
=
B Z ( Π + Π )
*
P e e
(2.40)
de modo que el coste exergoeconómico se separara en dos componentes, una debida al
coste del combustible y otra al coste del equipamiento, siendo:
Π
B
P
=
*
P
Π
B
e
Π
Z
P
=
*
P Π
(2.41)
Analizando estas componentes del coste exergoeconómico, podemos definir un ratio
adimensional, que denominaremos factor de equipamiento y que definimos por:
Z
P,
i
cZ
, i
Π P,
i
Z
e
Π
= (2.42)
Otro criterio utilizado para identificar la contribución del coste del equipamiento, es el
denominado factor exergoeconómico definido como:
f
Z
i
P,
i = (2.43)
Zi
+ cF
, iI
i

LA REPRESENTACION PF 13
Este factor expresa la contribución del coste de equipamiento, al aumento del coste
exergoeconómico en el equipo. Si f P tiene un valor bajo (cercano a cero), será
recomendable aumentar Z con objeto de disminuir el coste de la irreversibilidad y al
contrario si f P tiene un valor alto (cercano a uno), el coste de la irreversibilidad es
pequeño comparado con Z, por lo que no es aconsejable invertir para mejorar la
eficiencia del proceso.
Estos dos ratios constituyen una útil y simple herramienta a la hora de determinar
posibles mejoras en una planta térmica. Pero, no tienen en cuenta los efectos inducidos
por los cambios en la irreversibilidad de un equipo sobre el resto de componentes, por
lo que deben tomarse únicamente como una primera aproximación al problema a
resolver.
En la tabla 2.5 se muestran los valores de los costes exergoeconómicos de los flujos del
sistema TGAS. En el balance de costes de cada equipo, se observa como el coste del
producto es suma del coste del fuel, más el coste de los residuos y el coste del
equipamiento, observar que el coste de los residuos es mayor que el coste del
equipamiento, y esté supone menos del 10% del coste total del producto. En el factor
exergoeconómico f P se observa que el peso del coste de la cámara de combustión y la
caldera de recuperación es muy pequeño respecto del coste de las irreversibilidades, de
modo que se podría considerar en mejorar el rendimiento de estos equipos, aunque el
rendimiento de estos equipos esta muy limitado por el proceso de combustión que se
lleva a cabo en ellos.
Π F
(pts/h)
Tabla 2.5.- Costes exergoeconómicos del sistema TGAS
Π R
(pts/h)
Z
(pts/h)
Π P
(pts/h)
c F
(pts/kWh)
c P
(pts/kWh)
c Z
(%)
f P
(%)
1 24598.7 1042.3 165.0 25806.0 2.0880 3.7346 0.67 1.60
2 13582.3 592.1 486.0 14660.4 4.5624 5.4217 10.67 46.02
3 24341.3 0.0 647.0 24988.3 4.2091 4.5624 6.84 31.67
4 14490.7 0.0 412.0 14902.7 4.2091 6.3281 7.04 8.26
2.3.-LA REPRESENTACION PF
En la sección anterior hemos estudiado la forma de relacionar las variables
exergoeconómicas de un sistema con los recursos externos y la eficiencia de los
componentes individuales. El análisis de la estructura productiva de un sistema requiere
relacionar las variables del sistema con el objetivo final de producción.
En esta sección se estudia una representación alternativa, que relaciona las variables
exergoeconómicas del sistema, con su producto total, la eficiencia de los componentes
individuales, así como las recirculaciones, definiendo un nuevo tipo de parámetros,
conocidos como coeficientes técnicos o consumos exergéticos unitarios.
Coeficientes de recirculación y consumos exergéticos unitarios
Definimos, de forma similar a los coeficientes de distribución, los coeficientes de
recirculación como la cantidad del fuel de la j-sima componente j, que proviene del
componente i.

LA REPRESENTACION PF 14
i
B 0j
B 1j
B ij
B nj
F j
j
P j
B
r ij =
F
n
∑ rij
i=
0
ij
j
= 1
Fig. 2.4.- Definición de los parámetros de recirculación
De este modo la ecuación (4), se escribirá en la forma:
P = B
i
F
T
=
i0
+
n
∑ r0
j
j=
1
n
∑
r F
ij
j=
1
F
j
j
+
n
∑
j=
1
En forma matricial, se tiene:
ρ
ij
R
j
i=1,…,n
ρ
ij
R
=
R
ij
j
(2.44)
P = Ps
+ PF F + PR R
(2.45)
El vector P s (n×1) contiene los valores de las exergías de los productos finales obtenidos
en cada componente, y las matrices (n×n) 〈PF〉 y 〈PR〉 contienen los coeficientes de
recirculación r ij y ρ ij asociados al fuel y los residuos respectivamente.
La ecuación (44) puede expresarse en términos de producto, en la forma:
P = B
i
F
T
=
i0
n
∑
j=
1
+
κ
n
∑
j=
1
0 j
P
( κ + θ )
j
ij
ij
P
j
i=1,…,n
(2.46)
donde κ ji, denominado consumo exergético unitario o coeficiente técnico, por su
equivalencia con la teoría Input–Output, representa la cantidad de recursos que
provienen del componente i-sima, necesarios para obtener una unidad del producto del
j-simo componente, y definido como:
B =
n
ij
κ ij = rij
k j
k j = ∑ Pj
i=
0
κ
ij
(2.47)
y el parámetro θ ji que representa los residuos generados por unidad de producto,
definido como:
θ
ij
R
=
P
ij
j
Entonces la ecuación (46) puede escribirse en forma matricial, como:
P P + KP P + KR P
= s
t
F = κ P
(2.48)
T
e

LA REPRESENTACION PF 15
donde 〈KP〉 y 〈KR〉 son matrices (n×n) contienen los consumos unitarios κ ij y θ ij
asociados al fuel y los residuos respectivamente, y siendo κ e=(k 01,…,k 0n) el vector de los
coste unitarios asociados al entorno.
De esta manera podemos expresar las variables exergoeconómicas de un sistema, de una
forma complementaria a la representación FP, como función de:
El producto final de cada componente: P s
La eficiencia de cada componente: 〈KP〉 y 〈KR〉
Esta forma de representar las variables termoeconómicas del sistema se conoce como
Representación PF. Las fórmulas del Producto, Fuel, Irreversibilidad y Residuo en esta
representación se pueden escribir como:
P = P P
siendo ( ) 1 −
P = U D − KP − KR
(2.49)
s
F = F P
siendo = K P
(2.50)
s
s
F D
I = I P
siendo = ( K U ) P
(2.51)
s
I D − D
R = R P
siendo R = KR P
(2.52)
Ejemplo 2.4
Vamos a obtener la fórmula del rendimiento para la Representación PF en el caso de del
sistema TGAS. Para simplificar el modelo utilizaremos el producto efectivo, en vez de
considerar los residuos. La matriz de los consumos unitarios es:
KP
⎡0
⎢
⎢
0
=
⎢0
⎢
⎣0
κ
0
0
32
0
κ
κ
13
23
0
0
κ14
⎤
⎡
κ
⎥
24 ⎥
⎢
=
0 ⎥
⎢
⎥
⎢
0 ⎣
⎦
0
0
0
0
0
0
1.1473
0
0.7589
0.2970
y el vector de consumos unitarios relativos al entorno:
t
κ
e
=
[ k 0 0 0]
1
0
0
1.0507
0.4112
El operador producto, obtenido de la ecuación (23a), utilizando Mathematica es:
P
⎡
⎢
1
⎢
⎢0
= ⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢⎣
0
κ13κ
32
1−
κ23κ
1
1−
κ23κ
κ32
1−
κ23κ
0
32
32
32
κ13
1−
κ23κ
κ23
1−
κ23κ
1
1−
κ23κ
0
32
32
32
κ14
1−
κ23κ
κ24
1−
κ23κ
κ32κ
24
1−
κ23κ
0
Entonces el fuel total del sistema se puede escribir como una función de los consumos
unitarios de cada componente y producto total requerido es:
F T
κ
=
01
( κ B + κ B )
13
8
1− κ κ
23
32
14
6
32
32
32
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

LA REPRESENTACION PF 16
En el numerador de esta fórmula se observa que cada uno de los sumandos es el
consumo de recursos necesario para obtener cada uno de los productos finales, si el
sistema fuera secuencial, y el denominador indica la contribución de la recirculación
turbina – compresor.
Ecuaciones de costes
La ecuación de costes (15) puede escribirse en términos de los consumos exergéticos
unitarios, en la forma:
n
∑
j=
1
( κ + θ )
*
*
k P,
i = κ 0i
+ ji ji k P,
j i=1,…,n (2.53)
Dicha ecuación permite relacionar el coste unitario de los productos con los consumos
unitarios de cada componente:
k P
*
t
= P
κ
e
(2.54)
El coste unitario del fuel y residuo pueden ser determinados, una vez conocido el coste
unitario del producto. De la ecuación (7) se tiene que:
k
*
F , i
B0
=
F
i
i
+
n
∑
j=
1
B
F
cuya forma matricial es:
*
F
0
t
ji
i
*
P
k
*
P,
j
i=1,…,n
k = r + PF k
(2.55)
siendo t r 0≡(r 01,…, r 0n) un vector (1×n) que contiene los coeficientes de recirculación
asociados al entorno. La forma matricial para determinar el coste de los residuos es:
k
*
R
t
= PR k
(2.56)
*
P
Las representaciones de la estructura productiva
En este capítulo hemos visto dos formas de determinar los costes de los flujos de un
sistema, en función de la eficiencia de las componentes individuales, el coste de los
recursos de entrada y los parámetros de distribución o recirculación. Cada uno de ellos
determina el comportamiento del sistema. La representación FP informa sobre los
recursos utilizados para obtener un producto. La representación PF permite determinar
los recursos necesarios para obtener el objetivo de producción del sistema, así como los
costes unitarios de los flujos del sistema a partir de los costes unitarios de los recursos
de entrada.
Desde un punto de vista practico la ecuación (30) de la representación FP es en
principio la más adecuada para el cálculo numérico de los costes de los flujos del
sistema. Como veremos más adelante, las ecuaciones de costes unitarios de la
representación PF, son de gran importancia en los problemas de diagnostico y
optimización. Ambas representaciones son complementarias y describen una imagen
completa del proceso de formación de los costes, de hecho es posible obtener los
coeficientes y operadores de una representación a partir de la otra. Los coeficientes de
distribución y los consumos exergéticos unitarios están relacionados por la expresión:
y P =
κ
ij
j
ji
P
i

LA REPRESENTACION PF 17
o en forma matricial:
t
FP PD
= PD
KP
(2.57)
lo cual permite relacionar los operadores de ambas representaciones:
* t −1
= PD
P PD
P (2.58)
Como ejemplo de esta correspondencia, vamos a obtener la formula equivalente de la
relación coste irreversibilidad (33) para costes exergéticos unitarios:
( I R)
*
*
P = P + P +
Sustituyendo la expresión (58) en la ecuación inicial, se tiene:
t
( I R)
*
−1
k = u+
P P +
P
D
Por otro lado la irreversibilidad y residuos pueden escribirse en la forma:
= P ( K − U )u
I D D D
t
(2.59)
(2.60)
R = P KP u
(2.61)
D
y sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene:
k
*
P
t
= u+
t
I u+
R u
o también en forma escalar:
*
P i
n
∑
j=
1
ji
ji
(2.62)
k , = 1 + φ + ψ
(2.63)
La relación anterior representa un método alternativo para calcular el coste exergético
del producto, como suma de las contribuciones de la irreversibilidades y residuos, los
coeficientes φij y ψij de la operador de irreversibilidades y residuos respectivamente,
representan la irreversibilidad y residuos generados por la componente j al obtener una
unidad de producto de la componente i.
Ejemplo 2.5
Vamos a calcular los valores del coste unitario de los productos a partir de la ecuación
(62). La tabla 2.6 muestra los coeficientes de las matrices de irreversibilidad y residuos
del sistema del sistema TGAS, para las condiciones de referencia.
I
R
Tabla 2.6.- Matriz de Irreversibilidad.
0.73459 0.97014 0.84558 1.17072
0 0.15958 0.04739 0.06561
0 0.09723 0.08474 0.03998
0 0 0 0.46187
0.04209 0.05558 0.04845 0.06708
0 0.06384 0.01896 0.02625
0 0 0 0
0 0 0 0
*
k P 1.77668 2.34637 2.04512 2.8315

LA REPRESENTACION PF 18
De esta manera es posible ver el peso la contribución de los residuos sobre el coste total
del producto. En este caso el coste de los residuos representa alrededor de un 3% del
coste total del producto, mientras que la irreversibilidad del combustor representa el
40%.
Estructura productiva y modelo termodinámico
Las dos representaciones de la estructura productiva estudiados se complementan y
permiten estudiar un sistema térmico desde la perspectiva del proceso de producción y
de formación de los costes, contienen la información de la estructura global del sistema,
pero no conocen el comportamiento termodinámico de cada componente aislado.
Entonces surgen varias preguntas, ¿Hasta que punto consumos exergéticos unitarios, y
los parámetros de distribución o recirculación con los parámetros de diseño y operación
clásicos diseño? ¿Cómo se relacionan estas variables entre sí?
La representación estructural no contiene ninguna información sobre la termodinámica
de cada componente, no sabe por ejemplo, que para producir trabajo en una turbina es
necesario que exista una diferencia de presiones entre la entrada y la salida, o en un
intercambiador una diferencia de temperaturas entre el flujo caliente y el flujo frio.
Cuando se diseñan sistemas reales no se ha atendido, a los conceptos unificadores de
exergía, rendimiento exergético, sino a las propiedades termoestáticas de los flujos:
caudal, presión, temperatura, composición química, así como a parámetros de los
equipos, tales como el rendimiento isentrópico, relaciones de presiones, eficiencia de un
intercambiador.
Por otra parte las ciencias de la transferencia de masa, calor y movimiento proporcionan
las leyes y algoritmos para relacionar las variables termoestáticas de los flujos y equipos
con los parámetros morfológicos de los mismos. La termodinámica clásica proporciona
fórmulas que relacionan estas propiedades con las exergías de los flujos y en
consecuencia con las variables de la representación estructural.
Si consideramos únicamente la representación estructural, las funciones que se obtienen
son independientes de las características físicas del sistema. Si queremos utilizar la
fórmula del rendimiento para estudiar el comportamiento del sistema, y variamos la
eficiencia de un componente, sin considerar el efecto real que esto tiene sobre la
eficiencia de otras componentes, estamos cometiendo un error, en ocasiones grave,
posiblemente un sistema sea incapaz de trabajar en las condiciones que hemos fijado.
Para poder utilizar las ecuaciones de la representación estructural en forma de
simulador, necesitamos disponer de un modelo termodinámico o simulador que permita
conocer el comportamiento del resto de parámetros estructurales, cuando se modifica
uno de ellos.
Aún más, podríamos haber elegido una magnitud distinta de la exergía para cuantificar
los flujos del sistema, por ejemplo la masa o la energía, y definir la eficiencia y los
parámetros de recirculación en base a estos criterios, nuevamente las formas funcionales
serían las mismas, aunque lo que mediremos, los valores e interpretación de las
propiedades de los flujos, serán diferentes. También puede ocurrir que dos sistemas
térmicos, con procesos termodinámicos completamente distintos, pueden tener la misma
estructura productiva y por tanto las mismas fórmulas. De hecho esta metodología
podría aplicarse no sólo a sistemas energéticos sino también a cualquier tipo de sistema
de información en el que podamos definir un propósito productivo.

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 19
La conexión entre la estructura y el problema físico real se hace mediante funciones que
relacionen las variables de la representación termodinámica con las variables de la
representación estructural, junto con la elección de una magnitud adecuada, que sea
sensible a los análisis que deseamos realizar, en este caso la exergía. La construcción
de cada una de estas funciones, constituyen el modelo termodinámico, como el que se
presenta en el apéndice A, para el sistema TGAS.
La representación estructural no reemplaza a otros tipos de representación
termodinámica, sino que los complementa y constituye una superestructura basada en el
Segundo Principio y el propósito productivo, en la cual el proceso de formación de los
costes termoeconómicos es la parte más relevante.
2.4.-APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO
El objetivo del diagnostico es descubrir y comprender los signos de malfunción y
cuantificar sus efectos. En el caso del diagnostico termoeconómico, el efecto de una
malfunción se cuantifica en términos de consumo adicional de recursos necesarios para
obtener la misma producción, tanto en cantidad como en calidad.
Entonces, el problema del diagnostico termoeconómico de sistemas térmicos, puede se
formulado de la siguiente manera: ¿Dónde, como y que parte de los recursos
consumidos se pueden ahorrar, manteniendo los objetivos de producción? Para resolver
este problema, se necesita:
La aplicación de un procedimiento, que permita determinar de forma precisa el estado
del sistema, tanto para unas condiciones de diseño o referencia, como para cualquier
otra condición de operación.
Una teoría que proporcione los conceptos y herramientas necesarias para explicar las
causas consumo adicional de recursos, y los posibles ahorros.
Ahorro Técnico de exergía.
La irreversibilidad de cada componente del sistema, se obtiene a partir del balance de su
balance de exergía, una vez que hemos calculado todos los flujos de exergía que
intervienen en la estructura productiva del sistema, mediante la aplicación del
procedimiento adecuado, obtenido a partir del modelo termodinámico del sistema.
En la práctica, nunca vamos a ser capaces de recuperar todas las irreversibilidades de un
componente. De hecho, el ahorro de exergía potencial esta limitado por restricciones de
tipo técnico y/o económico, dependen del nivel de decisión que limita las acciones que
pueden ser tomadas. A diferencia del análisis energético convencional, el análisis
termoeconómico asume que existe una situación de referencia, que se corresponde con
el del sistema operando en las condiciones en las que fue diseñada.
Desde esta perspectiva, si consideramos la información sobre la exergía de los flujos del
sistema TGAS en condiciones de diseño y operación, tabla 2.7, observamos que
únicamente 133kW de los 7.06MW de la irreversibilidad total podrían ser recuperados.
Tabla 2.7.- Exergía de los flujos del sistema TGAS en condiciones de diseño y operación
Flujo (kW) 1 2 3 4 5 6 7 8
Diseño 11781 2704 9614 3831 388 2355 2977 2500
Operación 11914 2758 9753 3887 424 2355 3056 2500

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 20
El consumo adicional de recursos puede ser escrito como la diferencia entre el fuel total
en operación y en condiciones de diseño, para el mismo objetivo de producción:
Δ F = F − F
(2.64)
T
T
0
T
y se puede descomponer como la suma de las irreversibilidades internas y externas, de
cada componente:
ΔF
T
= ΔI
T
=
n
∑
j=
1
I
j
− I
0
j
=
n
∑
j=
1
ΔI
j
(2.65)
Este método permite cuantificar el consumo adicional de recursos, pero no es capaz de
identificar las causas reales del consumo adicional de recursos.
Impacto en Fuel
Como aplicación de las ecuaciones del modelo FPR, vamos a obtener una ecuación
general que nos permita obtener el variación del fuel total del sistema , en función de la
variación de los consumos exergéticos unitarios de cada componente.
A partir de los valores proporcionados por un simulador, modelos termodinámico o
prueba de rendimiento, es posible obtener los valores de los consumos exergéticos
unitarios de los equipos en la situación actual de operación del sistema y compararlos
con los valores de referencia:
Δκij = κij (x) − κij (x 0 ). (2.66)
Donde x representa los actuales valores de operación, y x 0 los valores de referencia, de
las variables de operación o diseño de la planta.
Aplicando las fórmulas sobre incrementos descritas en el apéndice B.4, a la ecuación
del fuel total (46) es posible obtener la variación del fuel total respecto a las condiciones
de diseño:
Δ
t t
t *
FT = Δ κ eP0
+ κ eΔ
P Ps
+ k PΔPs
(2.67)
El incremento del operador producto viene dado por la expresión:
( Δ KP + KR ) P0
Δ P = P Δ
y sustituyendo en la expresión (67):
Δ
t *
( Δ KP + Δ KR ) P + k P s
t t
FT = Δ κeP
0 + k P
0 ΔP
(2.68)
(2.69)
Esta expresión relaciona el incremento del fuel total con el incremento del consumo
unitario de recursos y residuos y la variación del producto total.
Esta ecuación puede escribirse en forma escalar como:
ΔF
T
=
n
⎛
⎜
⎝
n
∑⎜∑ i=
1 j=
0
k
*
P,
j
⎞
*
( x)
( Δκ
+ Δρ
) Δκ
+ Δ ⎟
ji ji jiPi
( x0)
kP
, i ( x)
Ps
, i ⎟
(2.70)
⎠
De acuerdo con esta fórmula, el impacto en fuel total generado por cada componente
tiene tres contribuciones:
• La generada por la variación del consumo unitario de los recursos, que produce una
malfunción, cuyo coste viene dado por el coste unitario de los recursos que utiliza.

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 21
• La generada por la variación del consumo unitario de los residuos, esta variación
produce una malfunción inducida sobre el equipo, cuyo coste unitario es el del
residuo, o mejor el de los recursos que se gastaron para generar el residuo.
La contribución debida al incremento del producto total generado en esa componente.
La variación del consumo exergético unitario de recursos y residuos, incrementa la
0
irreversibilidad interna y externa de la componente en una cantidad ( Δ κ + Δρ
) ΔP
,
que llamaremos malfunción, y que implica un consumo adicional de recursos que dado
*
k Δ κ + Δρ
ΔP
, y que llamaremos coste de la malfunción. Entonces el impacto
por ( ) 0
P,
j ji ji i
en fuel se puede expresar como la suma del coste de las malfunciones de cada
componente.
La figura 2.5 compara por medio de un diagrama de barras, el impacto en fuel y el
incremento de las irreversibilidades de cada componente, también compara (1ª
columna) la malfunción y el impacto en fuel de cada componente. En el gráfico se
muestra que hay tres malfunciones localizadas en la cámara de combustión, el
compresor y la caldera de recuperación. El mayor incremento de las irreversibilidades
esta localizado en la cámara de combustión, mientras que el mayor impacto en fuel se
localiza en el compresor.
80
60
40
20
0
Combustor Compresor Turbina HRSG
Fig. 2.5.- Impacto en Fuel y Ahorro Técnico
Impacto en Fuel
Malfunción
Ahorro Técnico
La pregunta que ahora nos hacemos es ¿Cuál es la causa de las irreversibilidades, y
como están relacionados el impacto en fuel y el incremento de las irreversibilidades?
Análisis de Malfunción y Disfunción
En el apartado anterior hemos visto que no hay una relación directa entre el incremento
de irreversibilidades y su impacto en fuel. Cuanto más avanzado esta el proceso de
producción, mayor es el coste de las irreversibilidades y en consecuencia mayor es el
impacto en fuel. Además, la degradación de un componente fuerza al resto de los
componentes a adaptar su comportamiento para mantener el objetivo de producción, y
esto también produce un incremento de las irreversibilidades. En la figura 2.6, se
muestra como aumentan las irreversibilidades de un componente al aumentar su
consumo exergético unitario y como repercute en el aumento de las irreversibilidades en
los componentes previos.
El incremento de las irreversibilidades internas en función de los consumos unitarios de
recursos y residuos, se escribe en la forma:
ji
ji
i

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 22
( K − U ) P
Δ D
D D
0
I = ΔK
P + Δ
Mientras que el incremento de los residuos viene dado por:
0
ΔR
= Δ KR P + KR ΔP
(2.71)
(2.72)
En ambos casos el primer sumando se debe a la variación propia del consumo unitario
de cada componente y el segundo al efecto que produce la variación de la producción de
cada componente para adaptarse a los objetivos globales de producción.
ΔF 1
F 1
ΔΙ 1
I 1
ΔP1
P 1
ΔF 2
F2
1 2
ΔΙ 2
I 2
P 2
Fig. 2.6.- Impacto en fuel de una malfunción
Con esta idea, llamaremos malfunción interna de la componente i a la suma de los
incremento de la irreversibilidad debido a la variación de sus consumo exergéticos
unitarios , y que viene dado por las ecuaciones:
n
k
0
k
ji = Δ ji Pi
MFi
= ∑
j=
0
MF κ
MF
k
ji
(2.73)
De forma equivalente llamaremos malfunción externa a la debida a la generación de
residuos, definida por:
MF
= ∑
=
n
r
ji
j 0
Δρ
ji
P
0
i
MF
= ∑
=
n
r
i
j 0
MF
r
ji
(2.74)
Llamaremos disfunción de una componente al incremento de su irreversibilidad debida
a la variación de su producción local a causa de las malfunciones de otras componentes:
DF
i
=
n
( κi
−1)
ΔPi
+ ∑
j=
0
ρ ΔP
y expresado en forma vectorial:
( K − U − KR ) P
DF Δ
= D D
ij
j
(2.75)
La malfunción solo afecta al comportamiento de la propia componente, es una
irreversibilidad endogena, mientras que la disfunción es una irreversibilidad exogena
inducida por la malfunción de otras componentes.
Desarrollando ΔP en la ecuación (75) se tiene la expresión de la disfunción en función
de los consumos unitarios:
( )( ) 0
I + R KP KR P
DF =
+
o en forma escalar:

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 23
DF
= ∑
=
n
i
j,
h 1
k r
( φ + ψ )( MF + MF )
(2.76)
ih
ih
hj
hj
La expresión anterior muestra como una malfunción en la componente j genera una
disfunción sobre la componente i proporcional al los coeficientes φ ih + ψ ih. Dichos
coeficientes no dependen de la cantidad de malfunción, sino únicamente de los
consumos unitarios de los componentes. Entonces, la disfunción no puede ser corregida
por si misma, solamente disminuyendo la malfunción que la genera.
El ahorro técnico de exergía de cada componente, puede escribirse como suma de su
malfunciones y de las disfunciones generadas por las otras componentes del sistema:
Δ I + ΔR
= MF + MF + DF
(2.77)
i
i
k
i
r
i
i
La figura 2.7, muestra una gráfica, que describe las causas del incremento de las
irreversibilidades, en el sistema TGAS, como suma de malfunciones y disfunciones
generadas por otros componentes.
80
60
40
20
Impacto en Fuel y Disfunción
0
HRSG
Turbina
Compresor
Combustor
Malfunción
ΔΙ1 ΔΙ2 ΔΙ3 ΔΙ4
Fig. 2.7.- Análisis de la Irreversibilidades
Por último vamos a analizar la relación entre las disfunciones generadas por un
componente y su impacto en fuel.
El impacto en fuel total, a producto total constante, se puede escribir en la forma:
T
( ) ( ) ( )( ) 0
0
t
t
ΔI
+ ΔR
= u ΔK
+ Δ KR P + u I + R Δ KP + KR P
t
ΔF
= u Δ
Reorganizando la anterior expresión se obtiene:
t t
Δ T = Δ κe
0 + u D
D
( )( ) 0
U + I + R Δ KP + KR P
F P Δ
(2.78)
con lo que, de acuerdo con la ecuación (62), coincide con la formula de impacto en fuel
descrita al principio de la sección, ambas expresiones no son mas que dos formas
distintas de organizar y desglosar el impacto en fuel.
En el caso de las disfunciones no tiene excesivo sentido separar por las distintas causas,
o sumandos de la expresión (78), incremento del residuo y la irreversibilidad debido a la
malfunción interna y externa. Sin embargo es importante distinguir entre el coste de las
malfunciones internas y externas de cada componente. Llamaremos coste de la
malfunción interna de una componente a:

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 24
n
* * k
MFi = ∑ kP
, jMFji
n
k
= MFi
+ ∑
j=
0
h=
1
k
( φ + ψ ) MF
y el coste de una malfunción externa o residuo:
n
* * r
MRi = ∑ kP
, jMFji
n
r
= MFi
+ ∑
j=
0
h=
1
hj
hj
ji
r
( φ + ψ ) MF
Y por tanto el impacto en fuel se puede escribir como:
ΔF
T
=
n
∑
i=
1
MF
*
i
+ MR
*
i
hj
hj
ji
(2.79)
(2.80)
(2.81)
En estas expresiones se puede ver que le coste de una malfunción es igual a la
malfunción mas la disfunción generada por dicha malfunción. De este modo es posible
discernir para cada componente su impacto en fuel en dos partes: la generada por sus
irreversibilidades o malfunciones internas, propias del funcionamiento interno del
componente, de la generada por el incremento de los residuos imputados al componente,
que dependen más del modelo termoeconómico global del sistema definido. La figura
2.8 muestra un gráfico de barras del coste de la malfunción de cada equipo como
acumulación de su malfunción y las disfunciones que genera.
80
60
40
20
0
ΔΙ 4
ΔΙ 3
ΔΙ 2
ΔΙ 1
MF
Combustor Compresor Turbina HRSG
Fig. 2.8.- Análisis del coste de las malfunciones
La formulación desarrollada en esta sección se puede resumir en forma tabular, tal como
se presenta en la tabla 2.8, para el sistema TGAS, lo que permite mayor claridad en los
cálculos y presentación de los resultados. Para ello se define la matriz de malfunciones
[MF], cuyos elementos están definidos por:
ji
( ) 0
Δκ
+ Δ P
MF = ρ j=0,1,…,n i=1,…,n
ji
ji
i
Entonces el vector de malfunción por componentes puede expresarse en la forma:
MF t
[ MF]
= u
(2.82)
De igual manera se define la matriz de disfunción [DF] cuyos elementos son:
DF
ji
=
n
∑
h=
1
( φ
jh
+ ψ
jh
)( MF
k
hi
+ MF )
La matriz de disfunciones se puede obtener en forma matricial como:
r
hi

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 25
[ DF ] ( I + R )[ MF]
= (2.83)
considerando como matriz de malfunción, la matriz cuadrada (n×n) que contiene los
consumos exergéticos de los flujos internos del sistema. Entonces las irreversibilidades
internas y externas de la planta se pueden escribir en la forma:
Δ I + ΔR
= MF + [ DF]u
(2.84)
mientras que los costes de las malfunciones lo hacen en la forma:
t
MF
*
+
t
MR
*
t t
= MF+
u
[ DF]
(2.85)
En la tabla 2.8, el total por columnas representa el incremento de irreversibilidad interna
y externa, y el total por columnas el coste de las malfunciones internas y externas. En
ella se presenta la matriz de disfunciones, siendo la suma de sus columnas que
denotamos por DI, la disfunción generada por cada componente, y la suma de sus filas
que denotamos por DF, la irreversibilidad generada en cada componente.
Vamos a obtener un análisis desglosado de las causas del impactos en fuel para el
sistema TGAS.
Tabla 2.8.- Tabla de Malfunción Disfunción
Combustor Compresor Turbina HRSG DF MF Total
ΔI1 16.807 26.140 2.004 18.520 63.471 9.755 73.226
ΔI2 0.000 3.427 2.113 2.644 8.184 27.590 35.774
ΔI3 0.000 2.467 0.862 1.079 4.408 -0.408 4.000
ΔI4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 20.000 20.000
DI 16.807 32.034 4.979 22.243 76.063
MF 9.755 27.590 -0.408 20.000 56.937
Total 26.562 59.624 4.571 42.243 133.000
La tabla 2.9 contiene las matrices de disfunción asociadas a las malfunciones internas y
externas, la suma por columnas de dichas matrices, más la malfunción interna y externa
de cada componente constituye el coste de la malfunción.
Como puede verse en dicha tabla, la malfunción e impacto en fuel en el combustor,
queda perfectamente explicada pues aparecen dos efectos opuestos. La perdida de
rendimiento del compresor produce un aumento de la temperatura del ciclo aire-gases,
eso mejora el rendimiento interno del combustor pero aumenta la exergía y el coste de
gases de salida de la planta que se imputan al combustor. Desgraciadamente también
aparecen varias interrogantes, como por que se imputan los residuos de los gases al
combustor, cuando en este caso la malfunción intrínseca esta en el compresor y por
tanto los residuos deberían imputarse a dicho equipo. Esto viene a dar más razón a las
ideas de que los modelos termoeconómicos convencionales son incompletos y solo con
el apoyo de simuladores o modelos termodinámicos es posible encontrar las causas de
los incrementos de consumo de combustible en un sistema en operación.

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 26
Tabla 2.9.- Tablas de disfunción y coste de la malfunción
Malfunción Interna (kW) Malfunción Externa (kW)
1 0 17,320 2,004 18,520 16,807 8,820 0 0
2 0 1,386 2,113 2,644 0 2,041 0 0
3 0 1,635 0,862 1,079 0 0,832 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0
DF 0 20,341 4,978 22,243 16,807 11,693 0 0
MF* -11,773 39,506 4,571 42,243 38,335 20,117 0 0
Determinación de las causas de las malfunciones
El modelo fuel – producto - residuo, como otros métodos termoeconómicos, es un buen
método contable, identifica perfectamente los efectos de las malfunciones, pero es
incapaz de determinar en ocasiones las causas. Mas que utilizar los modelos
termodinámicos como apoyo a los métodos termoeconómicos, deberíamos utilizar los
modelos termoeconómicos como apoyo a los simuladores y modelos termodinámicos.
El problema para determinar las causas de una malfunción, esta en que no podemos
actuar directamente sobre variación de los consumos unitarios de los equipos, estos no
son parámetros reales de operación del sistema, sino funciones de los parámetros reales
de operación de una planta, tales como relaciones de presión, temperatura o caudal.
¿Es posible expresar el impacto en fuel como suma de las contribuciones de las
variables libres de diseño o control?
ΔF
T
=
r
∑
l=
1
ΔF
T , l
(2.86)
Para ello es necesario poder expresar el incremento de los consumos exergéticos
unitarios, o las malfunciones como suma de las de las contribuciones de cada variable
de diseño x l .
r
Δκ ji ∑
l = 1
de manera que:
ΔF
T
l
( x ) = Δκ
( x )
(2.87)
=
n
ji
l
⎛
⎜
⎝
∑ ∑ ∑ ⎟ *
0
* l 0
k Δκ
= ⎜
P,
j jiPi
kP
, jΔκ
jiPi
i,
j
l
n
i,
j
⎞
⎠
(2.88)
con lo que podemos expresar impacto en fuel como la suma de las contribuciones de
cada uno de las variables o parámetros de control.
Mediante el uso de un simulador o modelo termodinámico, es posible ajustar cada uno
de los incrementos de los consumos unitarios de los componentes del sistema, por un
polinomio de la forma:
∑
( 0)
( x − x )
( l)
( l )
Δκ
( x ) ≅ α
(2.89)
ij
l
p
ij , p
l
l
p

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 27
El modelo más simple, consistiría en ajustar los incrementos de los consumos unitarios
por una recta, cuya pendiente seria determinada por un punto conocido l x~ , de forma que
el intervalo de operación de esa variable fuera [ ] ) 0 ( ~ xl
, xl
De este modo la matriz de costes de malfunción puede ser calculada a partir de la
expresión:
r
*
ji = ∑
l = 1
MF k Δκ
P + ε
*
P,
j
( l)
ji
0
i
ji
(2.90)
siendo ε ij el error cometido en la aproximación. este error puede considerarse como un
coste de malfunción no identificado, debido a la interacción que hay entre los distintos
parámetros de control. Este error puede ser reducido, suponiendo que la contribución
real de cada variable no es aditiva, sino que debido a la interacción entre variables, esta
ponderada por unos factores de interacción β l , que pueden ser determinados de manera
que hagan mínimo el error cuadrático del coste de las malfunciones:
min
βl
,
⎛
*
* ( l ) 0
∑⎜ MFij
−∑
βlk
P,
jΔκ
ji Pi
⎟
i j ⎝
l
⎠
⎞
2
El método numérico para resolver este problema, se describe en el apéndice B.
(2.91)
Consideremos para el problema TGAS los valores de referencia y operación que se
indican en la tabla 2.10
Tabla 2.10 .- Descripción de las variables de diseño
0 0
N# Descripción x x~ x
pcb Perdidas de carga en combustor ΔP1 0.05 0.06 0.055
ncp Rendimiento isentrópico compresor ηcp 0.85 0.84 0.8425
ntg Rendimiento isentrópico turbina ηtg 0.87 0.86 0.8675
T3 Temperatura admisión turbina T3 850 ºC 830 ºC 835 ºC
rcp Relación de compresión P2/P0 5 4.95 5
ncb Rendimiento energético del combustor ηcb 0.98 0.97 0.98
Para este problema se han elegido el conjunto de variables asociadas modelo
termodinámico descrito en el apéndice A. En el se calculan los impactos en fuel
asociados a los valores de operación x, cuyos resultados se muestran en la tabla 2.11.
Para su cálculo se ha utilizado la expresión:
ΔF
T
=
r
* ( l ) 0
∑∑ ( βlk
P,
jΔκ
ji Pi
)
i,
j l=
1
+ ε
ji
(2.92)
Donde los consumos unitarios han sido obtenidos a partir de la expresión (92)
calculando también los coeficientes de interacción.

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 28
Tabla 2.11.- Costes de malfunción ajustados
pcb ncp ntg T rcp rcb Estimación Error
κ01 10.720 -8.619 0.000 66.072 0.000 0.000 68.172 -0.528
κ13 -8.159 -20.444 2.522 -65.394 0.000 0.000 -91.474 -0.549
κ14 11.466 6.703 15.210 -72.006 0.000 0.000 -38.627 -0.303
κ23 9.522 25.833 13.797 92.466 0.000 0.000 141.618 -1.108
κ24 14.287 25.394 15.481 37.367 0.000 0.000 92.529 -0.150
κ32 0.000 30.747 0.000 0.000 0.000 0.000 30.747 -0.241
ρ11 30.964 42.878 37.509 28.278 0.000 0.000 139.629 1.096
68.801 102.491 84.520 86.783 0.000 0.000 342.595 -1.784
Siendo los valores de los factores de interacción, obtenidos:
pcb ncp ntg T rcp rcb
0.932868 1.007004 1.101787 1.030244 1 1
A la vista de los resultados para el sistema TGAS, en la que existe una fuerte
interacción entre los consumos unitarios y las variables de control, esta aproximación
parece bastante razonable. El error cometido sin considerar los factores de interacción
es del orden del 2%, si estos se consideran se puede reducir hasta un 0.5%, aunque el
desglose por variables se puede desvirtuar, si no se lleva un control de estos factores. En
la práctica habría que limitar estos valores en un rango del 20%, esto es la variación de
la malfunción con respecto a la primera aproximación no fuera mayor de esa cantidad.
Como hemos visto en secciones anteriores, el coste de una malfunción tiene dos
componentes diferenciadas, la malfunción propiamente dicha y una malfunción
estructural o disfunción, que depende de la posición del componente en el sistema, más
en particular del coste unitario de los recursos utilizados en el equipo, y que solo puede
ser reducida si se reduce la malfunción. Pero dentro de las malfunciones también se
puede distinguir dos partes, una malfunción intrínseca del mal funcionamiento del
equipo, y otra que viene inducida por el mal funcionamiento de otros componentes, y
también a la variación de las condiciones de operación.
150
125
100
75
50
25
0
-25
-50
Combustor Compresor Turbina HRSG Residuo
Figura 2.9.- Reparto de los costes de malfunción por componentes
Si analizamos el gráfico de la figura 2.9, es fácil identificar las variables que afectan a
cada componente, y determinar que malfunciones son intrínsecas del equipo y cuales
son inducidas. En ella se observa como la malfunción en el compresor se debe casi
T
ntg
ncp
pcb

APLICACIÓN AL DIAGNOSTICO TERMOECONÓMICO 29
exclusivamente a la variación de su rendimiento isentrópico, este es un caso claro de
malfunción intrínseca. La variación del rendimiento isentrópico de la turbina y las
perdidas de carga en el combustor, generan una malfunción además de en el propio
equipo, en la caldera de recuperación. Por otra parte, la variación de la temperatura de
admisión turbina afecta a todos los equipos, ya que se trata de un parámetro de control
de sistema, entonces no puede considerarse su efecto como malfunción implícita de
ningún equipo, pero si actuamos sobre esta variable de control, se reducirá el coste de la
malfunción en todos los equipos. Por último se ha considerado la malfunción generada
por los residuos como una componente a analizar por separado. Todas las variables
afectan sobre el incremento de la malfunción de los gases de escape de la turbina, de
hecho el mayor coste de la malfunción se debe a este aspecto. Para reducir este coste
hay mejorar variables de malfunción intrínseca, y de control. Este es un caso claro de
malfunción inducida.
El método propuestos, es un modo aproximado y sencillo, para identificar las causas de
las malfunciones, y cuantificar su impacto en fuel. El modelo utilizado aproxima la
variación de las malfunciones como una combinación lineal de las malfunciones
individuales debidas a cada variable libre de diseño. Para ello es necesario un proceso
previo para la construcción de una matriz de malfunciones asociadas a la variación de
las variables de control del sistema.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Valero, A. and Torres, C.(1988) Algebraic Thermodinamics of Energy Systems.
Approaches to the Design and optimization of Thermal Systems AES Vol.7. pp 13-23
(ASME Book G00452)
Torres, C (1991). Exergoeconomía Simbólica. Metodología para el análisis
termoeconómico de sistemas energéticos. Tesis Doctoral. Departamento de Ingeniería
Mecánica. Universidad de Zaragoza.
Valero, A., Lozano, M.A., Serra, L., Torres,C. (1994). Application of exergetic cost
theory to the CGAM problem. Energy. Pergamon Press. Vol. 19, No. 3, pp 365-381.
Torres, C. Valero, A., Serra, L., Royo, J. (1999) Structural Theory and
Thermoeconomic Diagnosis. Part I: On Malfunction and Disfunction Analysis.
Proceeding of ECOS’99 Japan.

Capítulo 3
TEORÍA ESTRUCTURAL DEL COSTE
EXERGÉTICO
Las metodologías de contabilidad de costes, como la Teoría del Coste Exergético, usan
el concepto de coste medio como base para definir unos criterios racionales de
asignación de los costes de los flujos de exergía, tanto internos como de los productos
finales. En los capítulos anteriores, se ha presentado el concepto de coste exergético
unitario, como la cantidad de recursos, en términos de exergía, necesarios para obtener
una unidad de producto.
El coste exergético unitario es un coste medio que solo se conoce después de haberlo
producido, cuando hemos calculado o medido los recursos usados para obtenerlo. El
coste medio no es predictivo, para ello tenemos el concepto de coste marginal. El coste
marginal puede utilizarse para calcular el consumo adicional de recursos necesarios para
obtener una unidad adicional de producto. Un grupo de metodologías termoeconómicas,
como el Análisis Termoeconómico Funcional, utilizan los costes marginales, en la
resolución de problemas de diagnostico y optimización termoeconómica.
En ambos conjuntos de métodos, es necesario definir el modelo físico y económico del
sistema, para calcular los costes. El modelo físico esta constituido por un conjunto de
ecuaciones que describen el comportamiento termodinámico de los componentes y el
modelo económico consiste en otro conjunto de ecuaciones que relaciona los
parámetros termodinámicos con el coste de inversión de los equipos, y añade un modelo
productivo que define el propósito de cada componente dentro del sistema.
El objeto de este capítulo es profundizar sobre el concepto de coste y presentar una
teoría general que permita:
• Analizar el proceso de formación de costes, dando una interpretación física y
matemática a las reglas de asignación de costes.
• Unificar los conceptos de coste definidos por las metodologías de contabilidad de
costes y optimización termoeconómica.
• Desarrollar métodos para la optimización local y global de sistemas térmicos.

MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL 2
3.1.- MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL
Cuando se realiza un análisis de costes en un sistema, es necesario distinguir entre los
costes medios, que representan la cantidad de recursos necesarios por unidad de
producto obtenido, y los costes marginales que se definen como la cantidad adicional
de recursos necesarios para obtener una unidad adicional de producto, bajo una
determinadas condiciones. Matemáticamente el coste medio se define como:
k
*
i
*
Bi
= (3.1)
B
i
mientras que el coste marginal se define como.
C
ki B ⎟
i
⎟
* ⎛ ∂ 0 ⎞
= ⎜
⎝ ∂ ⎠
cond
(3.2)
Los costes medios solo se conocen a posteriori, cuando sabemos cuantos recursos se
han necesitado para obtener el producto. A priori, conociendo el coste medio de un
producto no es posible determinar las cantidad de recursos necesarios para obtener una
cantidad de producto B i+ΔB i. Las teorías de contabilidad de costes termoeconómicos,
calculan costes medios, y los utilizan como una base racional de asignación de precios,
bajo criterios físicos, de los flujos internos y productos de la planta. De hecho la
metodología de diagnostico termoeconómico presentada en el capitulo 2, utiliza costes
medios para las condiciones de operación, calculados a posteriori y comparados con
unas condiciones de referencia. Solamente utilizando costes marginales es posible
conocer a priori el consumo adicional de recursos. Vamos a definir a continuación los
costes exergéticos marginales de un modo formal.
Curvas características
El comportamiento termodinámico de cada componente puede definirse mediante
ecuaciones características. Para cada flujo de entrada del componente se define una
función que relaciona su exergía con las de los flujos de salida, y un conjunto de
variables internas del componente que representan parámetros termodinámicos, tales
como: relaciones de temperaturas, presiones, rendimientos isentrópicos, …
De este modo definimos las ecuaciones características en la forma:
Bi = gi(xu, Bj) i∈ Eu j∈ Su u = 1,…, n (3.3)
Donde Bj representa un vector con las variables de los flujos de salida de equipo. De
este modo es posible definir las ecuaciones características de todos los flujos, excepto
para los s flujos de salidas del sistema (entradas del entorno). A estos flujos les
asignamos una variable externa ω, que representa el objetivo de producción, en la
forma:
Bi = ωi i∈ E0 (3.4)
La figura 3.1 muestra un ejemplo de curva característica, correspondiente al equipo 4,
de la planta CGAM. Cada curva representa la cantidad de gas procesado por el HRSG
en función del vapor requerido, basado en un modelo empírico.

MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL 3
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12 14
P (MW)
Fig. 3.1.- Curva característica del HRSG
En la tabla 3.1 se muestra la definición de las ecuaciones características del sistema
TGAS, (descrito en la fig. A.1).
Tabla 3.1: Ecuaciones características del CGAM
Equipo Nro. Entrada Salida Ecuación
Combustor 1 [1,2] [3] B1 = g 1 (x 1 , B 3 )
x0
x1
x2
B2 = g 2 (x 1 , B 3 )
Compresor 2 [7] [2] B 7 = g 7 (x 2 , B 2 )
Turbina 3 [3] [4,7, 8] B 3 = g 3 (x 2 , B 4 , B 7 , B 8 )
H.R.S.G. 4 [4] [5,6] B 4 = g 4 (x 4 , B 5 , B 6 )
Entorno 0 [5, 6,8] [1] B 8 = ω 6
Ecuación general de los costes exergéticos marginales
B 5 = ω 5
B 6 = ω 5
De acuerdo con el modelo matemático propuesto, el coste total de los recursos
consumidos por un sistema para obtener unos objetivos de producción, viene expresado
por la ecuación:
C 0
=
∑
i∈S
0
c B
i
i
+
∑
u∈N
Z
u
(3.5)
El primer sumando representa los costes económicos de los combustibles y otros
recursos externos físicos. El segundo representa los coste de amortización y
mantenimiento de los equipos pueden ser modelados de forma similar a las ecuaciones
características del modelo termodínamico, como un flujo de entrada al componente
desde el entorno, que representa la cantidad de unidades monetarias por unidad de
tiempo necesarias para compensar su depreciación, los costes de mantenimiento, etc...
del componente y que puede representarse como una función de parámetros internos y
de los flujos de salida de la componente.
Zu = Zu(x, Bj) j∈Su (3.6)

MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL 4
Según la dependencia funcional dada por las ecuaciones características, el coste de los
recursos es una función de cada flujo, el conjunto de las variables internas de cada
componente y de las variables externas que fijan el objetivo de producción:
C0 = C0(B, x, ω) (3.7)
Entonces la variación de los recursos del sistema cuando varia la exergía de uno de sus
flujos., se obtiene aplicando la regla de la cadena de derivación:
∂C 0 = ci
i∈S0 (3.8)
∂B
i
∂C
∂B
∂Z
∂C
∂g
0 u
0 j
= + ∑ i∈Su, u∈N (3.9)
i ∂Bi
j∈E ∂B
j ∂B
u
i
∂ C 0
*
La expresión , que denotaremos de ahora en adelante como ki , representa el coste
∂Bi
marginal que evalúa el consumo adicional de recursos del sistema necesario para
obtener una unidad adicional del flujo i.
La expresión
∂g
∂B
i
j
, que denotaremos como κij, y que llamaremos consumos exergéticos
marginales, representa el consumo adicional del flujo i, necesario para obtener una
unidad adicional del flujo j.
Es importante hacer notar, que de acuerdo al modelo definido, los flujos de salida y las
variables internas de cada componente son independientes entre sí, es decir las
condiciones para las que se define el coste marginal son tales que, una cantidad
adicional de un flujo de salida no debe modificar el valor de las variables internas y de
los otros flujos de salida de la componente.
Las ecuaciones 8, 9 pueden escribirse para mayor claridad en forma vectorial como:
Donde:
t
*
( U D EG ) k = ze
− (3.10)
UD es la matriz identidad de dimensión m.
〈EG〉 es una matriz m×m, que representa el Jacobiano de las funciones
características, sus elementos son los consumos exergéticos marginales κij.
k * es un vector m×1, que contiene los costes marginales asociados a cada flujo.
ze es un vector m×1, que contiene los costes unitarios de los recursos de entrada y
de los costes de equipamiento.
Si conocemos los costes unitarios de los flujos de entrada al sistema y las ecuaciones
características y de amortización de los equipos, la expresión 10 representa un sistema
*
de m ecuaciones con m incógnitas, que determinan los costes marginales ki .
Observar que esta es una de las posibles definiciones de coste marginal, en el que la
condición definidas por nuestro problema es que las variables libres de diseño del
componente –u– permanezcan constantes, y sean independientes de los flujos de salida.
La notación de derivada parcial corresponde a la definición de derivada direccional, esto
es:

MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL 5
∂g
g(
B + h,
x)
− g(
B,
x)
( x,
B)
= lim
∂B
h→0
h
Ejemplo 3.1
(3.11)
A modo de ejemplo se muestran a continuación las ecuaciones generales de costes
asociados al problema TGAS, que tienen la forma:
k = c
k
k
k
*
1
*
3
*
5
*
7
1
∂g
−
∂B
1
3
∂g
−
∂B
4
5
∂g
−
∂B
3
7
k
k
*
1
k
*
4
*
3
∂g
−
∂B
2
3
∂Z
=
∂B
4
5
∂Z
=
∂B
3
7
k
*
2
∂Z
=
∂B
Ecuación del Impacto en Fuel
1
3
k
k
k
k
*
2
*
4
*
6
*
8
∂g
−
∂B
7
2
∂g
−
∂B
3
4
∂g
−
∂B
4
6
∂g
−
∂B
3
8
k
k
k
k
*
7
*
3
*
4
*
3
∂Z
=
∂B
2
2
∂Z
=
∂B
3
4
∂Z
=
∂B
4
6
∂Z
=
∂B
Hasta ahora hemos calculado los costes exergéticos marginales, asociados a los flujos
de la planta. De acuerdo con el modelo descrito existen otra familia de costes
∂ C 0
marginales asociados a las variables internas de las componentes . Vamos ahora a
∂xu
determinar este tipo de costes marginales, impacto en fuel generalizado, al variar la una
variable libre de diseño cualesquiera.
Si es posible determinar los costes marginales, es decir la matriz UD − 〈EG〉 tiene
inversa, bajo esas condiciones el Teorema de la función implícita, asegura que es
posible escribir las exergías de los flujos como una función de los parámetros internos:
Bi = Bi(x), que verifica:
Bi(x) = gi(x, B(x)) i∈ Eu, u∈ N (3.12)
Derivando respecto a las variables internas, se tiene:
( U − EG )
D
∂B
∂g
=
∂x
∂x
3
8
(3.13)
La función de los costes de los recursos también puede escribirse como función de los
parámetros internos:
C0(x) = t ce B(x) + t u Z(x, B(x)) (3.14)
Derivando respecto a la variable libre x se tiene la expresión:
∂ C0
⎛ t t ∂Z
⎞ ∂B
t ∂Z
= ⎜ c e + u ⎟ + u
∂x
⎝ ∂B
⎠ ∂x
∂x
Aplicando las expresiones 10, 13 a la relación anterior tenemos:
∂ t ∂g
t ∂Z
= k + u
∂x
∂x
∂x
* 0 C
(3.15)
(3.16)

MODELO ESTRUCTURAL DE COSTE MARGINAL 6
Esta expresión es la generalización de ecuación del impacto en fuel, estudiada en el
capitulo anterior. Este resultado es clave en le problema de optimización de sistemas
térmicos. Los parámetros internos del sistema que hacen mínimo el coste de los
recursos del sistema, serán solución del sistema de ecuaciones no lineales:
⎛
⎜
⎝
∑ ∑
∂g
* j ∂Z
⎞ u k + ⎟
j ⎟
= 0 l=1,…,r (3.17)
∂xl
∂x
⎠
u∈N j∈E
u
l
Multiplicadores de Lagrange y Costes Marginales
Un grupo de metodologías termoeconómicas, utiliza el método de los multiplicadores
de Lagrange, una técnica bien conocida, para la optimización de sistemas térmicos y el
cálculo de costes marginales. Probaremos que dicha técnica es equivalente a la
propuesta en la sección anterior.
El problema de optimización de un sistema térmico, tiene el objetivo de encontrar los
valores de un conjunto de variables de diseño x, que haga mínimo el coste de los
recursos consumidos para obtener una determinado producto.
0
∑
i∈S
0
∑
C ( , ) = c + Z ( , B)
x
B x (3.18)
i i B
u∈N
u
sujeto a las ligaduras fijadas por la estructura del sistema, determinada por sus
ecuaciones características, y el objetivo de producción:
Bi = gi(xu, B) i∈ Eu, u∈ N
Bi = ωi i∈ E0 (3.19)
El teorema de los multiplicadores de Lagrange (ver Apéndice C), establece que el punto
óptimo de la función con restricciones (19), es también el óptimo de la función sin
restricciones, definida por la siguiente ecuación:
L( x , B,
Λ ) = ∑ ci Bi
+ ∑ Zu
( x,
B)
+ ∑(
λ i ( g i ( x,
B)
− Bi
) + ∑ λi
( ωi
− Bi
) (3.20)
0 S i∈
N u∈
Eu N u
i∈
∈
i∈E
0
Esta función, llamada Lagrangiana, se puede reorganizar en la forma:
siendo:
⎛
⎞
L( x , B,
Λ ) = ∑ ( ci − λi
) Bi
+ ∑⎜ u
iB
⎟
⎜
Γ ( Λ,
x,
B)
− ∑λ
i ⎟
+ ∑λ
iωi
(3.21)
i∈S
0
u∈N⎝ i∈Su
⎠ i∈E0
∑
i∈Eu
Γu
( Λ,
x , B)
= Zu
( x,
B)
+ λi
g i(
x,
B)
(3.22)
que representa el coste de los recursos que entran en la componente u
Los valores de las variables λi, llamados multiplicadores de Lagrange, son tales que
satisfacen las ecuaciones:
λ = c i∈S0
i
i
∂Γ
∂ Z ∂g
λ j
B ∂B
u u
λi = = + ∑ ∂ i ∂Bi
j∈E
u
j
i
i∈Su , u∈N (3.23)

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 7
Esta relación es valida para cualquier punto factible (que verifique las restricciones).
Observar que estos valores coinciden con los de los costes marginales definidos en la
sección anterior por la ecuación 10.
La condición de optimalidad viene dada por:
∑
∂Γ
∂x
⎛ ∂ Zu
= ∑⎜ ⎜
+ ∑λ
∈ ⎝ ∂xl
∈
∂ g
∂x
u
i
i
u∈N l u N i Eu
l
⎞
⎟
= 0
⎠
(3.24)
Como es evidente, que la condición de optimalidad coincide con la determinada en el
apartado anterior. Observar también que si los parámetros internos son locales para cada
componente u, el optimo del coste total del sistema, coincide con el coste óptimo de
cada componente. Este resultado se estudiara en detalle en una próxima sección.
Con esto se prueba que el coste definido por los multiplicadores de Lagrange es
equivalente a la definición de coste marginal propuesta en la sección anterior.
Ejemplo 3.2
Vamos a calcular los valores de los multiplicadores de Lagrange correspondientes al
problema TGAS. La función Lagrangiana se escribe como:
4
∑
i=
1
∑
L = c B + Z ( x,
B)
+ λ B
1
1
i
i∉E0
i
( g ( x,
) − B ) + λ ( ω − B )
siendo E0 = {5, 6, 8}los flujos de salida del sistema.
i
Entonces los valores de los multiplicadores de Lagrange, vendrán determinados por la
solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales en λi:
∂L
= 0∴λ1 = c1
∂B
1
∂L
∂B
3
∂L
∂B
5
∂L
∂B
7
=
=
=
∂Z
∂g
∂g
1 1
2
0∴ λ 3 = + λ1
+ λ 2
∂B3
∂B3
∂B3
∂Z
∂g
4 4
0∴λ 5 = + λ4
∂B5
∂B5
∴λ
∂Z
=
∂g
+
3 3
0 7
λ3
∂B7
∂B7
i
∂L
∂B
∑
i∈E0
2
∂L
∂B
4
∂L
∂B
6
∂L
∂B
8
=
=
=
=
i
i
i
∂Z
∂g
2 4
0∴ λ 2 = + λ 4
∂B2
∂B2
∂Z
∂g
4 3
0∴λ 4 = + λ3
∂B4
∂B4
∂Z
∂g
4 4
0∴λ 6 = + λ4
∂B6
∂B6
∴λ
∂Z
=
∂g
+
3 3
0 8
λ3
∂B8
∂B8
Como se puede comprobar, estas ecuaciones coinciden con las obtenidas en el ejemplo
anterior.
3.2.-LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO
El modelo general de costes visto en la sección anterior permite calcular los costes de
forma sistemática, pero plantea dos importantes cuestiones. Por una parte, el modelo de
ecuaciones característica puede ser complejo, y hacer muy complejos los cálculos. En
muchos campos de la Física y la Ingeniería es una técnica muy común aproximar el
comportamiento del sistema al de un modelo lineal. Por otro lado hemos visto que el
método propuesto permite describir e integrar las técnicas de optimización

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 8
termoeconómica, pero ¿qué ocurre con los métodos basados en reglas de asignación de
costes como la Teoría del Coste Exergético?. Veamos la respuesta a estas preguntas.
Modelo lineal de ecuaciones características
Consideremos que las ecuaciones características de las componentes de un sistema son
funciones lineales de los flujos de salida:
∑
j∈Su
g ( x, B)
= α ( x)
B i∈ Eu, (3.25)
i
ij
j
siendo las exergías de los flujos de salida del componente, independientes de los
parámetros internos. Entonces, se verifica que los coeficientes de la ecuación
característica coinciden con los consumos exergéticos marginales:
∂ gi
α ij ( x)
= ( x)
(3.26)
∂B
j
En estas condiciones las ecuaciones características, pueden escribirse en la forma:
B = ∑ κ (x)
B
i
ij
j
i∈ Eu, u∈ N
Bi = ωi i∈ E0 (3.27)
que se expresan en forma matricial como:
( U D − EG ) B = Bs
siendo Bs un vector (m×1) que contiene los valores de las variables externas ωi.
(3.28)
Entonces, se observa que la matriz del sistema de ecuaciones que determinan los costes
marginales unitarios, es la traspuesta de las que definen las ecuaciones características; lo
que permitirá obtener las ecuaciones de costes de forma directa, una vez definidas las
ecuaciones características. Para que esto ocurra, también los costes de los recursos debe
ser una función lineal de los flujos del sistema.
Los costes económicos de cada componente podría expresarse en la forma:
∑
j∈Su
Z ( x , B)
= z ( x)
B
(3.29)
i
de tal modo que se cumpla:
∂
∂B
Z i
=
j
z
ij
(x)
ij
j
j∈Si
(3.30)
Entonces el problema de la determinación de los costes de los recursos externos del
sistema puede expresarse en la forma:
t
C ( , B)
= ( c + z )B
0 x e e
sujeto a las condiciones de ligadura de las ecuaciones características:
( U D − EG ) B = Bs
z = z el vector (m×1) de consumos unitarios económicos.
siendo e [ ij ] j=
1,..,
m
(3.31)
(3.32)

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 9
Este problema puede escribirse de forma equivalente, en función de los costes
exergéticos, en la forma:
* t *
C0 x,
k ) k Bs
( = (3.33)
sujeto a las condiciones de ligadura de las ecuaciones de costes:
t
*
( U D − EG ) k = ce
+ z e
(3.34)
En terminología de álgebra lineal, estas estructuras se denominan primal y dual
respectivamente.
Costes Medios y Costes Marginales
Ahora vamos a probar que los costes exergéticos medios pueden obtenerse a partir de la
definición general de coste de la teoría estructural, cuando las ecuaciones características
de los componentes de un sistemas, son funciones lineales con respecto a su magnitud
extensiva B. Este es un resultado clave del análisis termoeconómico, por una parte nos
permitirá utilizar los costes medios como costes predictivos, y por otro lado permite
unificar las teorías de contabilidad de costes y de optimización termoeconómica en una
formulación matemática común.
B 1
B 2
B 13
B23
B23
B 14
Fig. 3.2.- Componente génerica
Para demostrar este hecho, consideremos un componente genérico del sistema, figura
3.2, con varios flujos de entrada y salida. Las ecuaciones características del
componentes, vendrán expresadas en la forma:
∑
j∈Su
B = κ B
i∈Eu (3.35)
i
ij
j
Si denotamos por B ij ≡ κ ijB j, esta magnitud representa la cantidad de exergía del flujo i
utilizado para obtener el flujo j, por lo tanto de acuerdo con la definición de coste
exergético medio, se tiene:
B
*
j
=
∑
i∈Eu
B
*
ij
=
∑
i∈Eu
c κ B
i
ij
j
B 3
B4
(3.36)
Dado que B ij es un flujo de entrada al componente, supondremos un coste (medio)
conocido ci. Por otra parte el coste marginal asociado a la ecuación característica (28)
es:
k
*
j
∂C
=
∂B
0
j
=
∑
∂C
∂B
0
∂g
∂B
i∈Eu i j
i
=
∑
i∈Eu
c κ
i
ij
(3.37)
y por lo tanto se tiene que el coste medio se obtiene como un coste marginal, para el
caso de ecuaciones características lineales:

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 10
*
B = k B
(3.38)
j
*
j
j
La elección de estos coeficientes determinan el cálculo de los costes exergéticos, pues
en el caso de haber mas de un flujo de salida existen infinitas combinaciones de orden su
–1, para determinarlos. Dado que el coeficiente κij representa la cantidad de exergía del
flujo –i– necesaria para obtener una unidad del flujo –j–, este puede ser obtenido de
forma empírica, o a través de un simulador.
El comportamiento de estos costes marginales como costes medios y su aplicación a la
contabilidad de costes, dependerá de la validez empírica de las ecuaciones
características. Esto significa que los productos, flujos de salida, del componente sean
independientes de sus consumos unitarios. La principal limitación empírica de estas
ecuaciones características esta principalmente en imponer la hipótesis de que los
consumos unitarios de las componentes son independientes de los flujos de salida.
Ejemplo 3.3
Vamos a comprobar que la condición de linealidad, es necesaria para que coste medio y
marginal coincidan.
Supongamos que la función de coste del componente HRSG, fuera:
Z ( x,
B ) = β ( x)
B + β ( x)
B + β ( x)
B
4
entonces, si
*
7
7
7
1
0.
8
7
2
7
3
1.
2
7
*
k7 fuera un coste medio, debería cumplir:
*
4
k B = k B + Z
*
*
4
4
4
4
4
7
*
4
k 7 = k k + Z / B = k k + β B + β + β B
Por otra parte, el coste marginal sería:
∂Z
4
1
−0.
2
7
2
3
0.
2
7
* *
4 *
−0.
2
k7 = k 4k
4 + = k 4k
4 + . 8β1B7
+ β2
+ 1.
2β3
∂B7
0 B
y por tanto se observa que el coste medio y marginal son distintos, si las funciones
características no son lineales.
Reglas de asignación de costes exergéticos.
Acabamos de ver los costes exergéticos marginales de la Teoría Estructural, se
comportan como costes medios, en el caso de utilizar un modelo con ecuaciones
características lineales. A continuación, vamos a mostrar que las reglas de asignación de
costes de la Teoría del Coste Exergético, conocidas como Proposiciones FP, se pueden
deducir de la Teoría Estructural.
P1: El coste exergético de los flujos de entrada al sistema debe ser conocido. Esta regla
se aplica de igual modo a los costes marginales.
P2: El coste exergético de los productos de cada componente del sistema es igual a la
suma de los recursos utilizados para obtenerlos. En la notación de la Teoría Estructural
se puede escribir como:
∑
i∈Eu
k
*
i
B
i
=
∑
j∈Su
k
*
j
B
j
0.
2
7
(3.39)

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 11
es decir el coste de los flujos de entrada es igual al coste de los flujos de salida.
Comprobaremos que esta proposición es cierta, cuando las ecuaciones características
son lineales:
∑
i∈Eu
k
*
i
B
i
=
⎛
⎜
⎝
*
∑ k ⎜ i ∑
i∈Eu j∈Su
κ
ij
⎞
B ⎟ j ⎟
=
⎠
⎛
⎜
⎝
∑⎜ ∑
j∈Su i∈Eu
k
*
i
κ
ij
⎞
⎟
B
⎠
j
=
∑
j∈S
u
k
*
j
B
j
(3.40)
P3: Si el producto de una componente esta formado por varios flujos, todos ellos tienen
el mismo coste exergético unitario. Para mostrar el significado de esta regla de
asignación de costes en términos de la Teoría Estructural, consideraremos dos tipos de
situaciones:
• El componente tiene dos (varios) flujos de salida producto.
B i
B j
B h
Fig. 3.3.- Componente con bifurcación producto
De acuerdo con la definición de eficiencia, podemos expresar la ecuación
característica del componente en la forma:
B = κB
+ κB
(3.41)
i
j
h
y las ecuaciones de los costes unitarios serán:
k = k = κk
(3.42)
*
j
*
h
*
i
por lo tanto los costes unitarios de los flujos de salida son iguales. Esta regla de
asignación de costes se deriva de la Teoría Estructural si consideramos como
ecuación característica la definición de eficiencia. Si analizamos dicha ecuación
característica, en términos de los consumos exergéticos marginales, significa que
necesitamos la misma cantidad de exergía del flujo –i- para obtener una unidad del
flujo –j- que del flujo –h-. En tanto esta afirmación sea cierta, será cierta esta regla
de asignación de costes.
Bi
Bj
Bh
Fig. 3.4.- Componente con bifurcación fuel
• El componente utiliza solo una parte de los recursos de entrada para obtener su
producto. Este proceso puede descomponerse en la forma que se muestra en la
figura 3.4. De acuerdo con la definición de eficiencia, podemos expresar la ecuación
característica del componente en la forma:
B = B + κB
(3.43)
i
j
h
y las ecuaciones de los costes unitarios serán:

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 12
k = k
*
j
*
i
k = κk
(3.44)
*
h
*
i
por lo tanto los costes unitarios en la bifurcación de fuel son iguales.
De este modo hemos visto, que la Teoría del Coste Exergético puede considerarse como
un caso particular de la Teoría Estructural, cuando se utiliza como ecuaciones
características de los componentes de un sistema, las ecuaciones lineales derivadas de la
definición de eficiencia de sus componentes.
El método descrito puede utilizarse para la determinación de los costes exergéticos y
exergoeconómicos de los flujos del sistema. En el caso de los costes exergoeconómicos
los consumos unitarios asociados a los recursos económicos, son de la forma:
⎧ Z u
⎪ si i,
j ∈Pu
I Su
z = ⎨∑
B j
e,
i
(3.45)
j
⎪
⎩0
en otrocaso
de este modo los costes de los equipos se cargan exclusivamente en los productos
funcionales del componente.
Ejemplo 3.4
Determinemos las ecuaciones características de los flujos exergéticos y económicos del
sistema, correspondientes al modelo productivo del ciclo TGAS.
B 1 = r1k
1B3
B 2 = r2
B3
( B B )
B +
3 = B4
+ k3
7 8
B 4 = B5
+ k 4B3
B5 = ω5
B6
= ω6
B 7 = k 2B2
B8
= ω8
Tomamos como ecuaciones características de los flujos económicos:
Z 1 = z1B3
Z 2 = z2
B2
Z 3 = z3
( B7
+ B8
)
Z 4 = z4
B6
Entonces los costes unitarios quedan determinados por el sistema de ecuaciones:
⎡ 1
⎢
0
⎢
⎢−
r1k
⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎢⎣
0
1
0
1
− r
0
0
0
0
0
2
0
0
1
−1
0
0
− k
− k
3
3
0
0
0
1
−1
− k
0
0
4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
− k
0
0
0
0
1
0
2
* 0⎤⎡k
⎤ ⎡c
1 1 ⎤
⎥⎢
* ⎥
0
⎢ ⎥
⎥⎢k
⎥
z 2 ⎢ 2 ⎥
⎢ * 0⎥
k ⎥ ⎢ z ⎥
3 1
⎥⎢
* ⎥ ⎢ ⎥
0⎥⎢k
⎥
= ⎢ 0
4 ⎥
⎥⎢
* 0 k ⎥ ⎢ 0 ⎥
5
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
* 0⎥⎢k
⎥ ⎢z
6 4 ⎥
⎥⎢
* 0 k
⎥ ⎢z
⎥
3
⎥⎢
7 ⎥ ⎢ ⎥
* 1⎥⎦
⎢⎣
k8
⎥⎦
⎢⎣
z3
⎥⎦

LA TEORIA ESTRUCTURAL DEL COSTE EXERGÉTICO 13
Generalización de las reglas de asignación de costes
La técnica en las metodologías de contabilidad de costes, para determinar el coste
unitario de los productos de un sistema se basa en el planteamiento de la ecuación de
balance de costes de cada componente del sistema. En el hipotético caso de que el
resultado de su actividad productiva sea un único flujo de producto, la ecuación del
balance de costes será suficiente para determinar su coste unitario; sin embargo en los
sistemas reales es habitual que se produzca de forma simultanea más de un producto.
Si consideramos un componente genérico como el de la figura 3.3, su balance de costes
se escribe como:
B k = B k + B k
(3.46)
i
*
i
j
*
j
h
*
h
conocido el valor de la exergía de los flujos, y el coste unitario del flujo de entrada,
tenemos una ecuación con dos incógnitas.
Desde el punto de vista de la teoría estructural los costes unitarios, se obtienen de las
ecuaciones:
k = κ
*
j
ij
k
*
i
k = κ k
(3.47)
y los consumos unitarios, vienen determinados por la ecuación característica:
i
ij
j
ih
h
*
h
B = κ B + κ B
(3.48)
de forma, que para determinar los consumos unitarios de cada producto, tenemos de
nuevo solo un ecuación, por lo que es necesario plantear una ecuación adicional.
Hemos visto, que la teoría del coste exergético, utiliza como ecuación adicional, la
* *
condición de que los costes unitarios de ambos productos sean iguales: k = k , esta
condición expresada en términos de consumos unitarios seria: κ ih = κij
, es decir los
consumo por unidad de recursos para obtener cada producto es el mismo. Como ya se
ha expuesto, esta condición no puede aplicarse, de forma indiscriminada, a todos los
componentes con producción conjunta, y es necesario un estudio a fondo de las
condiciones y equipos reales, en los que puede aplicarse.
De acuerdo con la última idea expuesta, podemos definir la función de distribución
conjunta, como el cociente de los consumos unitarios de cada producto:
κ ij ( x)
π i ( x)
=
(3.49)
κ ( x)
ih
con lo que para cualquier componente con producción conjunta el consumo y el coste
unitario de sus productos, quedaría determinado a partir de su ecuación característica, si
conocemos la función de distribución conjunta. En el caso de la teoría del coste
exergético, la función de distribución conjunta, es la más simple posible π(x) = 1.
Esta claro, que la determinación del parámetro de distribución conjunta es un problema
de compleja solución, aunque es posible encontrar modelos empíricos que se ajusten de
una forma adecuada, al modelo real.
Este modelo es equivalente a considerar una desagregación del componente, tal como se
muestra en la figura 3.5, en la que los recursos del componente se reparten entre dos
procesos de producción paralelos, en función del parámetro de distribución conjunta.
ih
*
i
j
h

TEORIA ESTRUCTURAL Y MODELO FUEL-PRODUCTO 14
Bi
i
Bij
Bjh
Bj
Bh
κ
κ
ij
ih
πBi
=
πB
+ B
Bi
=
πB
+ B
Fig. 3.5.- Desagregación componente con producción conjunta
3.3.-TEORIA ESTRUCTURAL Y MODELO FUEL-PRODUCTO
Hemos visto en la anterior sección, que las reglas de asignación de costes de la teoría
del coste exergético, pueden ser expresadas mediante ecuaciones características propias
de la teoría estructural. Podemos preguntarnos ahora cual es la representación del
modelo fuel – producto, descrito en el capitulo 2, desde la perspectiva de la teoría
estructural.
El modelo general de la Teoría Estructural no impone ninguna restricción sobre la
definición del modelo productivo de un sistema, entiende únicamente de flujos de
entrada y salida a componentes del sistema, y de ecuaciones características que los
relacionan.
i
Fi Pi
i
Bij
Bjh
Bi0
Fig. 3.6.- Modelo Fuel – Producto de un componente
Si consideramos el diagrama fuel – producto de un sistema, ver figura 2.x, los flujos del
sistema son el fuel y el producto de cada componente:
E =
( F F , P ,..., P )
1,...,
n 1
n
Cada componente real (que existe en el diagrama de la estructura física) tiene un flujo
de salida, su producto, y un flujo de entrada, el fuel. Por lo tanto la ecuación
característica asociada a los flujos fuel, será:
F = k (x)
P
(3.50)
i
i
i
A su vez el producto de cada componente se utiliza como fuel en otros componentes o
como producto final, de modo que para cada producto se define un nodo de distribución
ficticio, ver figura 3.6, cuya ecuación característica será:
P = B
i
0 i
+
n
∑
j=
1
B
ij
j
j
h
h
j
h
(3.51)
o utilizando, el modelo de la representación PF, se tiene en función de los coeficientes
de recirculación y el fuel

TEORIA ESTRUCTURAL Y MODELO FUEL-PRODUCTO 15
P = B
i
0 i
+
n
∑ rij
j=
1
(x ) F
(3.52)
j
De este modo la ecuación de los costes de los recursos del sistema, para el modelo fuel
– producto, se escribirá en la forma
t t
C ≡ F+
z P
(3.53)
0
ce P
sujeto a las condiciones de ligadura, o ecuaciones características:
⎡F⎤
⎢ ⎥
⎣P⎦
⎡
= ⎢
⎣
0
PF
K D ⎤⎡F⎤
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ +
0
⎥ ⎢ ⎥
⎦⎣P⎦
⎣Ps
⎦
En este caso el vector ce ≡ ( r01c1,...,
r0
ncn
) representa el coste unitario de los recursos
externos que constituyen el fuel de cada componente, y para que el la ecuación de costes
sea lineal en F y P , se ha considerado que los costes asociados a los equipos, son
proporcionales a su producto, es decir: Z i = z P,
i Pi
.
De acuerdo con el planteamiento de la Teoría Estructural, los costes de los recursos del
sistema pueden expresarse en función de los costes unitarios, en la forma:
t
C ≡ k P
(3.54)
0
P
s
sujeto a las condiciones de ligadura:
⎡k
⎢
⎣k
*
F
*
P
⎤ ⎡ 0
⎥ = ⎢
⎦ ⎢⎣
K
D
t
PF ⎤⎡k
⎥⎢
0 ⎥⎦
⎣k
*
F
*
P
⎤ ⎡ce
⎤
⎥ + ⎢ ⎥
⎦ ⎣z
P ⎦
de modo que las ecuaciones que determinan las ecuaciones de los costes unitarios serán:
k
= ∑
=
n
*
F , i
j 0
r
ji
k
*
P,
i
* *
k P,
i kik
F , i + zP
, i
i = 1,...,n
= i = 1,...,n (3.55)
que se corresponden con las ecuaciones de costes de la representación PF.
La ecuación de los costes marginales de los parámetros libres de diseños, puede
obtenerse de aplicar la expresión 16, a las ecuaciones características del modelo Fuel-
Producto, entonces se obtiene:
∂ PF
t
t
∂ C0
∂ ce
∂ z P t * ∂K
D t *
= F + P + k F P + k P F
(3.56)
∂xl
∂xl
∂xl
∂xl
∂xl
reorganizando los términos de esta expresión, se tiene:
t t
∂C
⎛ z
∂ KP ⎞
0 ∂ P ∂ κe
t *
=
⎜ + + k
⎟
P P
(3.57)
∂xl
⎝ ∂xl
∂xl
∂xl
⎠
o en forma escalar:
∂C
∂x
⎛ ∂Z
⎜
⎝ ∂x
∂κ
⎞
P ⎟ i ⎟
⎠
n
n
0 ∑⎜ i * ji
= + ∑ kP
, j
(3.58)
l i=
1 l j=
0 ∂xl

OPTIMIZACION LOCAL 16
esta ecuación es la generalización de la fórmula del impacto en fuel, en la que se
incluyen los costes de los equipos.
Tal como hemos visto en esta sección, las ecuaciones de la representación PF, y por
consiguiente de la representación FP, pueden obtenerse de la aplicación de la teoría
estructural al modelo productivo determinado por las ecuaciones características, basadas
en la definición Fuel - Producto de los componentes del sistema
3.4.- OPTIMIZACION LOCAL
En esta sección se estudian estrategias para la optimización local de sistemas térmicos
complejos basados en la Teoría Estructural del Coste Exergético.
Tal como se ha demostrado en la sección anterior, ecuación 58, el valor de las variables
de diseño x, que hacen mínimo el coste total del producto de un sistema, debe satisfacer
la relación:
⎛
⎜
∂Z
( x)
⎜
+
⎝ ∂xl
∂κ
ji ( x)
( x)
∂x
n
∑ i
n
*
∑ kP,
j Pi
i=
i
j=
0
l
⎞
( x)
⎟
= 0
⎠
l = 1,…,r (3.59)
Si consideramos el sistema como si de una única componente se tratará, la condición de
optimalidad sería la expresada en el interior del paréntesis de la ecuación 58
¿Podemos entonces, tratar de optimizar un sistema complejo, optimizando de forma
secuencial cada uno de sus componentes?
F P 1 1 F P F 2 2
n
x 1
x 2
Fig. 3.7.- Sistema secuencial
Consideremos el caso más sencillo de un sistema secuencial, figura 3.7, de los que
conocemos su producto total ω T , y el coste unitario del fuel de entrada al sistema c 1 .
Supondremos que todas las variables de libres son locales, y que solo hay una variable
x i , por componente. La función objetivo viene expresado por la ecuación:
C
0
n
∑
i=
1
= c F ( x ) + Z ( x)
(3.60)
1
1
i
Para cada componente, el fuel de cada componente F i , que se corresponde con el
producto del equipo anterior, se determina por su ecuación característica:
F = g P , x ) i=1,...,n
i
P i+1 = F i
P n = ω T
i ( i i
i=1,...,n-1
x n
P n
(3.61)
Las ecuaciones de costes de los subsistemas se expresan como función de sus productos
y de su variable libre:
Z i = z i (x i , P i ) i=1,...,n. (3.62)
Entonces las condiciones de optimización de acuerdo con la ecuación 58, serán:

OPTIMIZACION LOCAL 17
* ∂gi
∂zi
kF, i ( xi,
Pi
) + ( xi,
Pi
) = 0
i=1,...,n (3.63)
∂x
∂x
i
i
donde los costes unitarios del fuel de cada componente vienen determinados por:
k = c
k
*
F,1
1
* * ∂gi
∂zi
+ 1 = kP,
i = kF,
i ( xi,
Pi
) + ( xi,
P ) i=1,...,n-1 (3.64)
∂ ∂P
*
F, i
Pi i
i
Este resultado se corresponde con la condición de óptimo del equipo considerado como
aislado del resto de la planta, conocido el coste unitario de los recursos obtenido a partir
del optimo del equipo anterior.
Consideremos el caso particular de que la variable local de cada equipo sea su consumo
unitario, entonces:
F i = k i P i i=1,...,n (3.65)
Y que la función de coste de los equipos sea de la forma:
Z
⎛ k ⎞
ln⎜ ⎟
⎟Pi
i=1,...,n (3.66)
⎝ ⎠
i
i = εi
⎜ 0
ki
− ki
En tal caso, el valor óptimo de los consumos unitarios de cada equipo sería:
donde:
0
k ⎡ ⎤
i 4εi
ki = ⎢1+
1+
0 * ⎥ i=1,...,n (3.67)
2 ⎢⎣
ki
kF
, i ⎥⎦
k = c
*
F,1
1
*
* ⎛ k ⎞ i
k = + ε
⎜
⎟
F, i+
1 ki
k F, i i ln
i=1,...,n-1 (3.68)
0
⎝ ki
− ki
⎠
que puede obtenerse de forma recurrente, así como el valor de los costes unitarios de los
productos.
Aislamiento Termoeconómico
Diremos que una componente de un sistema esta termoeconomicamente aislada, si
puede ser optimizada por si misma, es decir, sin que la afecten las variaciones de otras
variables en el resto del sistema y que la solución optima para dicha componente,
reduzca el coste total del sistema. De acuerdo con la ecuación (3.x) la condición de
aislamiento termoeconómico se cumpliría si el producto de componente y el coste
unitario de sus recursos (productos internos y/o recursos externos) son constantes y
cantidades conocidas.
Como se ha visto en el ejemplo anterior, en un sistema sin recirculaciones, y en el que
todas sus variables son locales, se da esta condición, pero este es un caso muy
particular. La condición de aislamiento termoeconómico es una condición ideal, que no
se puede satisfacer en la mayoría de sistemas reales.

OPTIMIZACION LOCAL 18
Aunque todas las variables de diseño del sistema, pudieran ser definidas como variables
locales de componentes individuales, el producto y el coste unitario de una componente
ya optimizada, variaría si existen recirculaciones.
Para analizar el comportamiento de aislamiento termoeconómico de un sistema,
deberemos analizar el nivel de recirculación de un sistema, el cual puede hacerse a
partir de la matriz 〈KP〉, teniendo en cuenta que un sistema secuencial, dicha matriz es
triangular superior. Y por otro lado el comportamiento local de las variables de diseño
seleccionadas. Por lo tanto, antes de abordar un problema de optimización, es necesario
identificar el nivel de agregación de los componentes del sistema, y las variables de
diseño para ajustarnos lo más posibles a estas condiciones y de este modo
aprovecharnos de sus ventajas, que son las siguientes:
• Mejoras y diseño optimo de equipos individuales dentro de sistemas complejos.
• Optimización global de sistemas, mediante un proceso iterativo de optimización de
sus componentes individuales.
En resumen, el diseñador puede especializarse y concentrar sus esfuerzos en la mejora y
optimización de equipos individuales, asegurando que estas mejoras, llevan consigo
también una mejora en el sistema global.
Variables locales y globales
La elección de las variables de diseño para la optimización de un sistema térmico,
juegan un papel fundamental a la hora de definir el problema. Por un lado esta variables
deben ser independientes entre sí, y capaces de determinar junto con el modelo
termodinámico las exergías de todos los flujos definidos, o al menos los consumos
unitarios de todos sus componentes. Por otra parte deben ser, como su propio nombre
indica, parámetros físicos que puedan usarse en el diseño y construcción de los equipos.
Además como hemos visto en el anterior apartado, una condición importante que puede
simplifica en gran manera el problema de optimización, es el comportamiento local de
las variables de diseño elegidas.
Diremos que una variable libre de diseño x es una variable local de la componente –jcuando
únicamente los coeficientes κij, para todo –i-, de dicho componente dependen de
la variable x. Cuando una variable de diseño esta asociada a varios componentes, la
definición anterior podría extenderse a todos los componentes involucrados, y
podríamos llamar a este tipo de variables, variables regionales.
Un criterio para determinar si una variable es o no local, y a que componentes afecta,
esta basado en el cálculo del impacto en fuel de cada componente, para un punto inicial
factible:
ΔC
l
0 , i
=
n
∑
j=
0
k
*
P,
j
Δκ
l
ji
P + ΔZ
i
l
i
(3.69)
donde los incrementos de los consumos unitarios y costes de los equipos se pueden
calcular en la forma:
f ( x + Δxl
) − f ( x)
Δf
=
Δx
y calcular el ratio:
l

OPTIMIZACION LOCAL 19
l
εi = n
∑
i=
1
ΔC
l
0,
i
ΔC
l
0,
i
(3.70)
Si este ratio es igual o cercano a uno, la variable de diseño x l es local para el
componente –j–, si es igual o cercano a cero, la variable es independiente del
componente y en otros casos la variable de diseño afecta a varios componentes. En la
tabla 3.2, se muestra un ejemplo de estos ratios.
perturbación
xd
Tabla 3.2.- Análisis de sensibilidad para las variables locales
Caldera
j = 1
100 × (ΔCj / ΣΔCj) ΣΔCj ΔC0
Turbina
j = 2
Condensador
j = 3
Bomba
j = 4
($/s) ($/s)
η 1 0.41 → 0.40 100.0 0.0 0.0 0.0 - 4.16 E-2 - 4.16 E-2
η 2 0.875 → 0.885 - 0.1 100.1 0.0 0.0 - 2.56 E-3 - 2.57 E-3
η 3 0.875 → 0.885 - 7.7 0.0 107.7 0.0 - 4.15 E-3 - 4.13 E-3
η 4 0.650 → 0.675 - 7.4 13.3 0.0 94.1 - 1.37 E-4 - 1.37 E-4
ν W 2.0 → 2.5 0.1 0.4 99.5 0.0 1.36 E-4 1.35 E-4
ε 0.7675 → 0.80 0.1 0.4 99.5 0.0 1.56 E-4 1.55 E-4
T 2 813 → 800 76.9 26.1 0.0 0.0 - 1.88 E-3 - 1.89 E-3
Eq (69) Real
En dicha tabla se observa como todas las variables seleccionadas son locales, excepto la
temperatura del vapor principal T 2 . Observar también que en el calculo del impacto en
fuel como suma de los impactos individuales (69), se comete un error menor del 1% con
respecto al valor calculado con el modelo global.
Optimización de componentes individuales.
La función objetivo de una componente individual es:
*
( x)
= k F ( x)
+ Z ( x)
(3.71)
Ci F , i i
i
sujeto a la condición:
P = ω
i
i
siendo el coste unitario del fuel, y el producto del componente conocidos, yque puede
rescribirse en la forma:
n
*
Ci ( x)
kP
, jκ
ji ( x)
ωi
+ Zi
( x)
= ∑
j=
1
Entonces la condición de optimo, para dicha componente aislada será:
n
∑
j=
1
k
*
P , j
∂κ
ji ∂Zi
( x)
ωi
+ ( x)
= 0
∂x
∂x
equivalente al sumando i-simo de la condición de óptimo global.
(3.72)
(3.73)

APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACION LOCAL A UN CICLO RANKINE. 20
Para determinar el valor optimo de las variables del diseño del componente i-simo, se
procedería del modo siguiente:
(1) Partir de un valor factible para las variables de diseño x (0) .
(2) Para cada iteración h Calcular los valores de los consumos unitarios κij(x (h) ), y
determinar los costes unitarios asociados mediante la ecuación 10.
(3) Calcular el optimo de la función objetivo 72 tomando como valores de
k , ωi los
correspondientes a la iteración h, utilizando métodos descritos en el apéndice C.
(4) Calcular el valor del coste total del sistema para los valores óptimos obtenidos:
C0(x (h) ), si el valor obtenido mejora la situación anterior, esto es: C0(x (h) ) < C0(x (h-1) ),
podemos volver al paso (b), hasta que ya no se encuentre una mejora sustancial, que
puede ser controlada por un criterio de convergencia, tales como:
x
− x
( h)
( h−
1)
0
< ε
( h)
( h−
1)
C ( x ) − C ( x ) < ε
0
Si la componente estuviera termoeconómicamente aislada, bastaría una sola iteración
para lograr el optimo. El número de iteraciones a realizar dependerá de varios factores,
por una parte el nivel de recirculación del componente dentro del sistema. El análisis de
la fórmula analítica del fuel total del sistema. Los consumos unitarios que afectan en las
recirculaciones aparecen el denominador de la formula, por otra parte de las variables
globales que afecten al componente a optimizar. Por último también depende del nivel
de optimización requerido, en ocasiones si la primera iteración mejora de forma
sustancial el consumo total de recursos, podría ser suficiente.
Este método de optimización local puede aplicarse también a la optimización global de
un sistema. En este caso la estrategia a seguir seria la siguiente.
(1) Determinar que variables son locales y cuales son globales o regionales.
(2) Definir una secuencia para la optimización local de cada componente.
(3) Tomar un valor inicial para los valores de las variables de diseño.
(4) Calcular los consumos y los costes unitarios de cada componente.
(5) Buscar el optimo para las variables locales, afectan a un solo componente.
(6) Buscar el optimo para las variables regionales, que afectan varias componentes.
(7) Iterar desde el punto (d), hasta que las variables de diseño o el coste del producto
total no varíen de forma sustancial. En cada iteración dicho valor debe disminuir.
3.5.- APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACION LOCAL A UN CICLO RANKINE.
Vamos a aplicar ahora estos criterios a lo optimización local y global a la optimización
de un ciclo Rankine como el descrito en la sección 1.4.
Funciones de los consumos unitarios
El primer paso, consiste en identificar las variables de diseño de nuestro modelo, y
expresar los consumos unitarios de cada componente como función de dichas variables.
*
P,i

APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACION LOCAL A UN CICLO RANKINE. 21
1.- Caldera
κ 01 = B 1 /(B 2 –B 5 ) = 1/η 1
κ 31 = S g,1 /(B 2 –B 5 )=1/CD(T 1 )–1
siendo η 1 el rendimiento exergético y CD es el coeficiente de disponibilidad, que puede
aproximarse como CD≈0.4337+0.142×10 -3 (T 2 –750).
2.- Turboalternador
κ 12 = r 1 k 2 = r 1 /η 2 η A
κ 32 = r 1 k 2 = r 1 /η 2 η A = r 1 (1/η 2 –1)/η A
κ 42 = (1–r 1 ) k 2 = (1-r 1 )/η 2 η A
siendo η 2 el rendimiento exergético de la turbina y η A el rendimiento electromecánico
del alternador. El ratio r 1 =(B 2 –B 5 )/(B 2 –B 4 ) es la porción del vapor total generado por la
caldera (aproximadamente 0.995) y que puede ser expresado como una función r 1 =r 1 (T 2 )
3.- Condensador
κ 13 = r 1 (B 3 –B 4 )/S g,3 = r 1 (T 3 /T 0 –1) = r 1 (1/η 3 – 1)
κ 43 = (1–r 1 )(B 3 –B 4 )/S g,3 = (1–r 1 ) (1/η 3 – 1)
κ
23
=
S
2.
8
B6 w
g,
3
1
=
1−
η η
3
M 3
0.
002823R(
νw
) ν
T εln(
1−
ε)
0
siendo η 3 es el rendimiento exergético del condensador, η M3 el rendimiento energético
de la bomba de circulación de agua. ε es la eficiencia térmica del condensador, y v w la
0.
8
velocidad del agua dentro de los tubos de agua, siendo: R( ν ) = 0.
247 + 1/(
3.
24ν
)
4.- Bomba de alimentación de agua
κ 24 = B 7 /(B 5 –B 4 ) = 1/η 4 η M4
κ 34 = S g,4 /(B 5 –B 4 ) = 1/η 4 –1
siendo η 4 el rendimiento exergético de la bomba y η M4 su rendimiento electromecánico.
Ecuaciones de costes económicos externos
La función de coste total del sistema, incluyendo costes de combustible, y amortización
y mantenimiento de los equipos:
C 0 = c 1 B 1 + ξ (Ζ 1 +Ζ 2 +Ζ 3 +Ζ 4 )
siendo c 1 = 2×10 -6 $/kJ el precio del mercado del combustible, Z i es el coste del equipo
en $, y ξ=6.7×10 -9 s –1 el factor de amortización y mantenimiento. El coste por unidad de
producción z P se obtiene como: ξZ/P.
w
w

APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACION LOCAL A UN CICLO RANKINE. 22
Las funciones de costes de los equipos son:
Z
Z
Z
Z
1
2
3
4
=
=
⎛ p − 28 ⎞⎡
1
⎣
⎛ T −866
⎞⎤⎡
5exp
1
⎦⎢⎣
0.
095
7
⎞ ⎤
⎟
⎠ ⎥⎦
2
2
0.
8
740exp⎜ ⎟
1
150
⎢ + ⎜ ⎟ ⎢
⎥P
10.
42
⎥ + ⎜ 0.
45 − η ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
⎡
⎛ T − 866 ⎞⎤⎡
1
⎦⎢⎣
3
⎛ 0.
047 ⎞ ⎤
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎥⎦
2
0.
7
3000⎢1 + 5exp⎜
⎟ ⎢ ⎥P2
10.
42
⎥ + ⎜1
− η ⎟
⎝ ⎠
2
⎣
138 − 247ln(
1−
ε)
R(
ν
=
εT
( 1−
η )
0
3
⎡ ⎛ 0.
192 ⎞ ⎤
= 378⎢1 + ⎜ ⎥P
⎢ 1 ⎟
4 ⎣ ⎝ − η ⎠ ⎥⎦
3
w
0.
7
4
Procedimiento de optimización
)
El objetivo de nuestro problema es minimizar el coste de la producción (n) para una
potencia de 2000kW, bajo las siguientes condiciones: P 0 =1 bar, P 1 =60 bar,
P 4 = 63 bar, T 0 = Twi = 293.15 K, η A = 0.9025, η M3 = 0.7143, η M4 = 0.85.
Un examen del modelo físico, muestra que existen siete grados de libertad. Una
elección adecuada del conjunto de variables de decisión, para la representación
termoeconómica elegida, seria x d = (η 1 , η 2 , η 3 , η 4 , v W , ε, T 2 ). Siendo todas ellas
variables locales, excepto T 2 , tal como se muestra en la tabla x
Para comenzar tomamos unos valores iniciales factibles:
xd = (0.41, 0.875, 0.875, 0.65, 2.0, 0.7675, 813.15)
con los que calcularemos los costes unitarios de los productos y procederemos a
optimizar por separado cada componente y variable.
*
( c κ η ) + k κ ( η ) ) P + Z ( η )
min 1 01(
1 P,
3 31 1 1 1 1
η1
*
*
*
( k κ η ) + k κ ( η ) + k κ ( η ) ) P + Z ( η )
min P,
1 12 ( 2 P,
3 32 2 P,
4 42 2 2 2 2
η2
*
*
*
( k κ η ) + k κ ( η ) + k κ ( η ) ) P + Z ( η )
min P,
1 13(
3 P,
2 23 3 P,
4 43 3 3 3 3
η3
*
*
( k κ η ) + k κ ( η ) ) P + Z ( η )
min P,
2 24 ( 4 P,
3 34 4 4 4 4
η4
Una vez obtenidos los valores de las primera iteración para los rendimientos exergéticos
de cada equipo, calculamos el óptimo para las variables locales del condensador:
*
*
*
( k κ v,
ε)
+ k κ ( v,
ε)
+ k κ ( v,
ε)
) P + Z ( v,
ε)
min P,
1 13(
P,
2 23
P,
4 43 3 3
( ν,
ε)
Finalmente calculamos el valor óptimo de la temperatura del vapor principal, partiendo
de los ya obtenidos. Dado que la dicha variable afecta tanto a la caldera como a la
turbina, consideraremos como función objetivo el coste de los dos equipos en función
únicamente de la temperatura.
⎛
⎜
⎝

APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACION LOCAL A UN CICLO RANKINE. 23
*
*
*
*
( c κ T ) + k κ ( T ) ) P + ( k κ ( T ) + k κ ( T ) + k κ ( T ) ) P + Z ( T ) + Z ( T )
min 1 01(
1 P,
3 31 1 1 P,
1 12 1 P,
3 32 1 P,
4 42 1 2 1 1 1 2
T1
Una calculado los valores óptimos de todas las variables de diseño, se recalculan los
valores de los consumos unitarios y los costes unitarios del producto, y se repite el
proceso hasta que los valores de las variables de diseño o de la función objetivo, no
varié de forma sustancial. En la figura 3.8, se muestra una gráfica de la convergencia de
las variables de diseño, se observa que después de dos iteraciones, los valores se
aproximan bastante a la solución óptima global.
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
η3
η2
η4
2η1
0.65
0 1 2 Iteración 3
Fig. 3.8.- Velocidad de convergencia.
En la siguientes tablas se muestran los resultados obtenidos a través de un método de
optimización global, Simulating Annealing, y la estrategia basado en la optimización
local. Como puede verse los resultados obtenidos coinciden.
Tabla 3.3.- Valores óptimos
Variable Termoeconomico Convencional
η 1
η 2
η 3
η 4
v W
0.3901 0.3903
0.9226 0.9231
0.9647 0.9641
0.8285 0.8279
1.8780 1.8810
ε 0.7188 0.7188
T 1
784.82 785.52
Coste Total ($/s) 0.1881 0.1881
La metodología de análisis termoeconómico propuesto permite abordar la complejidad
de las interacciones estructurales y obtener los costes de los flujos internos del sistema
térmico. A partir de dichos costes es posible optimizar localmente componentes del
sistema y desarrollar estrategias para la optimización global de sistemas, basado en la
optimización secuencial de cada componente individual.
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70

BIBLIOGRAFIA BÁSICA 24
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Tabla 3.4.- Resultados de la optimización
ξZ(10 -3 $/s)
*
k P
*
k P (10-6 $/kJ)
Caldera 24.06 2.703 6.726
Turbina 26.21 3.267 9.464
Condensador 8.149 0.106 0.497
Bomba 0.173 4.661 15.093
Frangopoulos, C.A. (1987). Thermoeconomic Functional Analisis and optimization.
Energy Vol. 12, nº 7, pp. 563-571. Pergamon Press Ltd.
Serra L., (1994). Optimización Exergoeconómica de Sistemas Térmicos. Tesis Doctoral.
Dpto. de Ingeniería Mecánica. Universidad de Zaragoza.
Lozano M.A, Valero, A., Serra L. (1996). Local Optimization of Energy Systems.
Proceedings of ASME. Advanced Energy Systems. AES Vol. 36, 241-250.
Uche, J. (2000). Thermoeconomic Analysis and Simulation of a Combined Power and
Desalination Plant. Tesis Doctoral. Dpto. de Ingeniería Mecanica. Universidad de
Zaragoza.

Apéndice A
MODELO TERMOECONÓMICO DEL SISTEMA
TGAS
En este apéndice se define el modelo termoeconómico de la planta que se utiliza como
ejemplo en el desarrollo del curso. Su estructura física se muestra en la figura A.1.
Compresor
2
0
1
2
Aire
Gases
Gas Natural
Trabajo
Agua
Combustor
1
3
7 8
Turbina
3
4
HRSG
Fig. A.1.- Diagrama físico Sistema TGAS
La instalación esta compuesta por una turbina de gas y una caldera de recuperación que
utiliza los gases calientes de escape de la turbina para producir vapor saturado. La
instalación esta diseñada para producir un potencia eléctrica de 2500 kW y 2.5 kg/s de
vapor saturado a una presión de 20 bar. El combustible utilizado es gas natural con un
PCS de 9210 kcal/Nm 3
El modelo que se utiliza es realista, aunque se han hecho una serie de consideraciones
para simplificarlo:
• Tanto el aire como los gases de combustión tienen comportamiento de gas ideal con
calor específico constante.
• Se considera que todos los equipos, excepto la cámara de combustión, son
adiabáticos
• No se considera la exergía química de los gases de combustión, ya que estos no
cambian de composición a lo largo del proceso.
• Dado que el caudal de aire necesario para la combustión es solo un 3% del aire total
de la turbina de gas, el combustor se considera como si fuera un intercambiador de
calor.
5
4
6

A.1.- MODELO TERMODINÁMICO 2
Los valores de las propiedades termodinámicas de los flujos de la instalación para las
condiciones de diseño, se muestran en la tabla A.1.
Tabla A.1.- Propiedades termodinámicas de los flujos de TGAS
Nro m(kg/s) T(C) P(bar) h(kJ/kg) s(kJ/kgºK) B(kW) Bq(kW)
0 14.72 20 1.013 0 0 0 0
1 0.2356 20 1.013 50000 0 11781 436
2 14.72 221 5.065 204.69 0.0682 2704 0
3 14.95 850 4.812 976.95 1.1255 9614 204
4 14.95 537 1.013 613.68 1.2002 3831 204
5 14.95 149 1.013 174.65 0.4816 388.3 204
6 2.5 212 20 6783 6.0412 2355 #NA
7 #NA #NA #NA #NA #NA 2977 #NA
8 #NA #NA #NA #NA #NA 2500 #NA
A.1.- MODELO TERMODINÁMICO
A continuación presentamos las ecuaciones que constituyen el modelo físico de los
componentes de la instalación.
1.- Combustor
m& = m&
+ m&
gas
air
fuel
m& h Q&
gas 4 + per = m&
airh3
+ m&
fuelPCS
per
fuel
( − )
Q& = m&
PCS 1 η
Icb
P = P ( 1−
ΔP
)
(A.1)
4 3 cb
2.- Compresor
T
T
2
0
1
= 1+
η
Icp
⎡
⎢⎛
P ⎞ 2
⎢ ⎜
⎟
⎢
⎝ P0
⎠
⎣
R
−1
C p
⎤
−1⎥
⎥
⎥⎦
& = m&
C T − T )
(A.2)
Wcp air P,
air ( 2 0
3.- Turbina
− ⎡
T ⎢ ⎛ ⎞ C
4 P2
= 1−
η −
⎢ ⎜
⎟
I , tg 1
T3
⎢
⎝ P0
⎠
⎣
&
Wtg = m&
gasCP
, gas(
T3
4
NETO
cp
R
p
−T
)
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
W&
= W&
−W&
tg (A.3)

A.1.- MODELO TERMODINÁMICO 3
4.- Caldera de Recuperación
m& vap
gas
5
( h9
− h0
) = m&
gasCP
, ( T4
−T5
)
P = P
(A.4)
Cálculo de Exergías
0
A continuación se describe el cálculo de las exergías de los distintos flujos de la planta.
Ambiente de referencia
Presión: Presión atmosférica P0 = 1.013 bar
Temperatura: Temperatura ambiente: 20 ºC
Sustancias de referencia: Aire (Humedad relativa 60%)
En la tabla A.2 se muestran las fracciones molares de cada componente en el ambiente
referencia. En este ambiente de referencia la energía y exergía de cada substancia de
referencia tiene valor cero.
Tabla A.2.- Composición aire/gases
Xaire
Xgas
O 2 0.2059 0.1434
N 2 0.7748 0.7528
CO 2 0.0003 0.0286
H 2 O 0.0190 0.0752
Composición química de los flujos (base molar)
Combustible: Gas Natural. Metano (CH4).
Se considera un combustión completa. La reacción de combustión es:
CH4 + 2O2 = CO2 + 2H2O
Flujos de aire (i = 0, 2) Aire ambiente de referencia
Flujos de gases (i = 3, 4 ,5). Sus fracciones molares vienen dadas por las expresiones:
X
X
X
− 2 f
0
0
i
O =
2
O2
i
X N 2
N 2 =
1+
f
1+
X
f
f
f
0
0
i
CO =
2
CO2
i
X H 2 O =
H 2O
1+
f
1+
+
X
X
+ 2 f
Siendo f la porción de aire estequiométrico en la combustión:
(A.5)
⎛ mol
CH 4 ⎞ m fuel 28.
649(
kg/mol aire)
f ⎜ ⎟ =
≅ 3%
(A.6)
⎝ mol aire ⎠ m 16.
043(
kg/mol CH )
aire
4

A.2.- MODELO ECONÓMICO 4
Energía y exergía de los flujos
Fuel (T = 20 ºC, P = 1.013)
h
b
fuel
fuel
= PCS =
+ = PCS b
Flujos de aire (i= 0, 2)
50000 kJ/kg
4 = CH
51850 kJ/Kg
C = 1.
004 kJ/kgº K
R = 0.
287 kJ/kgº K
P,
air
hi = CP
, air i
b = C
i
P,
air
( T −T
)
Flujos de gas (i = 3, 4, 5)
0
⎛
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
T ⎞ i ⎟
Pi
+ ⎜
⎟
⎜
T ⎜
⎟
i −T0
−T0
ln
⎟
RairT0
ln
⎝
⎝ T0
⎠⎠
⎝ P0
⎠
C = 1.
17 kJ/kgº K
R = 0.
290 kJ/kgº K
P,
air
hi = CP
, gas i
( T −T
)
0
air
air
(A.7)
(A.8)
∑ ⎟ i
⎛
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
T ⎞ i ⎟
P
X
i
i j
b +
+
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
i = CP
, gas Ti
−T0
−T0
ln
⎟
RgasT0
ln RgasT0
X j ln
(A.9)
⎜ 0
⎝
⎝ T0
⎠⎠
⎝ P0
⎠
j ⎝ X j ⎠
Flujos de vapor. Tablas de vapor IFC67
h − h
6
6
0
0
=
2683.
3 kJ/kg
b − b = h − h −T
( s − s ) = 910 kJ/kg
6
0
0
6
0
(A.10)
El fichero TGAS.EES contiene el modelo termodinámico de la instalación, para ser
resuelto con el software EES (Engineering Equation Solver). En este modelo utiliza las
siguientes variables libres de simulación, entre paréntesis los valores de diseño:
Relación de compresión: P2/P0 (5.0)
Rendimiento isentrópico compresor: ηΙ,cb (0.85)
Rendimiento isentrópico turbina: ηΙ,tg (0.87)
Rendimiento energético combustor: ηΙ,cb (0.98)
Perdidas de carga en el combustor ΔPcb (5%)
Temperatura gases admisión turbina T3 (850 ºC)
A.2.- MODELO ECONÓMICO
Cuando evaluamos costes económicos es necesario calcular dos tipos de datos. Por una
parte es necesario considerar el coste de los equipos, teniendo en cuenta los costes de
amortización y mantenimiento y por otra parte el coste del fuel consumido (gas natural).
Los costes de equipamiento se muestran en la tabla A.3.

A.2.- MODELO ECONÓMICO 5
Tabla A.3.- Costes Económicos de los equipos
Nro Z(MPts) Z(Pts/h)
1 10.600 165
2 30.870 480
3 41.560 647
4 26.500 412
La ecuación para el coste de los equipos por unidad de tiempo, viene dada por:
donde:
a
Z&
ϕ
i = Zi
(A.11)
N
Z i : Precio de compra del equipo (€)
a: Factor de amortización anual (consideramos, i= 10% TAE, y n=20 años)
ϕ: Factor de mantenimiento: 6%
N: Número de horas de operación por año (consideramos N=8000)
siendo:
n
i(
1+
i)
a = (A.12)
n
( 1+
i)
−1
Para el coste del combustible consideramos:
donde:
c e = c v / PCS (A.13)
c v : Coste del gas natural por unidad de volumen (22.31 Pts/Nm 3 )
PCS: Poder calorífico superior (38560 kJ/Nm 3 = 50000 kJ/kg)
c e : Coste exergético unitario del gas natural (2.0828 Pts/kWh).

Apendice B
CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL
En este apéndice se tratan aspectos de notación sobre matrices, y algunas nociones de
cálculo numérico para resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizados en el
curso.
B.1.- DEFINICIONES
• Una matriz A (n×m) sobre un cuerpo K es un cuadro de elementos K formado por n
filas y m columnas.
A ≡
[ a ]
j=
1,
Km
ij i=
1,
K,
n
⎡a11
≡
⎢
⎢
K
⎢⎣
a1n
L
K
K
a1n
⎤
K
⎥
⎥
a ⎥ nn⎦
• Llamaremos matriz transpuesta de A (n×m) a una matriz (n×m) t A≡(bij), tal que:
b ij = a ji
∀i, j
• Una matriz x (n×1) recibe el nombre de vector columna. El mismo vector puede
representarse en forma de filas (1×n), y recibe el nombre de vector fila, que se denota
por t x.
• Dos matrices (n×m) A, B son iguales si y solo si son iguales todos sus elementos:
a ij = b ij
∀i, j
• Una matriz A (n×n), con el mismo número de filas y columnas se llama matriz
cuadrada. Los elementos a ii de dicha matriz constituyen la diagonal principal.
Una matriz A (n×n) que sólo posee elementos no nulos en la diagonal a ii = 0 ∀i ≠j, se
llama matriz diagonal. Una matriz diagonal con la identidad 1 K, en cada uno de los
elementos de la diagonal principal, se llama matriz identidad y la denotaremos por Un.
Un vector columna (fila) en el que todos sus elementos son la unidad, lo llamaremos
vector unitario, y lo denotaremos por un.
• Si A es una matriz (n×m) y B es una matriz (n×m), entonces la matriz suma A+B, es
una matriz C (n×m), definida como:
c ij = a ij + b ij ∀i, j (B.1)
• Si A es una matriz (n×p) y B es una matriz (p×m), entonces la matriz producto A.B,
es una matriz C (n×m), definida como:
c
ij
=
p
∑
k = 1
a
ik
b
kj
(B.2)

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 2
El producto de dos matrices cualesquiera, puede no estar definido, solo esta definido en
el caso de que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la
matriz B.
El producto de matrices, en general no es conmutativo: A B ≠ B A.
Si el producto A B esta definido, también los está el de sus transpuestas, y se cumple:
t (A B) = t B t A (B.3)
Algunos casos notables de productos de matrices utilizados, son:
i) Vector fila t x (1×n) por vector columna y (n×1) es un escalar:
t
n
∑
i=
1
x ⋅y
= x y
(B.4)
i
i
ii) Vector fila t x (1×n) por una matriz A (n×m) es un vector fila (1×m):
t
⎛ n ⎞
x ⋅ A = ⎜ x ja
⎟
⎜∑
ji ⎟
(B.5)
⎝ j=
1 ⎠
i=
1,...,
m
Si el vector fila es la unidad t u el resultado es un vector que contiene la suma de los
valores de cada columna de la matriz.
iii) Matriz A (n×m) por un vector columna (m×1) es un vector columna (n×1):
⎛ m ⎞
A ⋅ x = ⎜ aij
x ⎟
⎜∑
j ⎟
(B.6)
⎝ j=
1 ⎠
i=
1,...,
n
Si el vector columna es la unidad u el resultado es un vector que contiene la suma de los
valores de cada fila de la matriz.
iv) Matriz diagonal K D (n×n) por una matriz A (n×m), es una matriz (n×m):
D
j=
1,...,
m ( k a )
K ⋅ A =
(B.7)
i
ij i=
1,...,
n
Multiplicar una matriz diagonal por una matriz, equivale a cada elemento k i por la
correspondiente fila i de la matriz.
Un caso especial de matrices, son las llamadas matrices dispersas, en las cuales el
número de elementos nulos es lo bastante elevado, como para justificar el uso de
estructuras y algoritmos especiales, que eviten el almacenamiento y la operaciones de
los elementos nulos. Las matrices derivadas de problemas de ecuaciones en derivadas
parciales, o de representación de grafos tienen un número de elementos no nulos
proporcional al tamaño del problema, mientras que el numero total de elementos es el
cuadrado del tamaño de problema.
B.2.- MATRICES INVERSAS
Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, que denotaremos por
M(n), en dicho conjunto el producto de matrices siempre esta definido, es decir es una
operación interna, y tiene la estructura de anillo con identidad Un.
Una matriz A∈ M(n) se dice inversible o regular, si existe una matriz A -1 ∈ M(n) tal
que:

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 3
A A -1
= A -1
A = Un
(B.8)
y se verifica, que la matriz transpuesta de una matriz, tiene también inversa, igual a la
transpuesta de la inversa:
( t A) –1
= t (A –1
) (B.9)
Una matriz se dice ortogonal, si su inversa es igual a su transpuesta, y se verifica:
A t A = Un
(B.10)
Un sistema de -n- ecuaciones lineales con -n- incógnitas, se puede representar en la
forma:
A x = b (B.11)
donde A∈ M(n) contiene los coeficientes de la ecuación, b vector columna (n×1)
representa el término independiente conocido, y x vector (n×1) las incógnitas. Si la
matriz A es regular entonces el sistema de ecuaciones (b.10), tiene solución única:
x = A -1 b (B.12)
Estudiaremos a continuación, una clase particular de matrices que tienen siempre matriz
inversa. Se dice que una matriz A ∈ M(n) es diagonal dominante si verifica:
i) aij 0 ∀ ji
ii) ∑
i=
n
aij
1
≥ 0 j = 1,…,n
Y se dirá estrictamente dominante, sí además:
iii) ∃ j0 tal que ∑
i=
1
n
a
ij0
> 0
(B.13)
(B.14)
Entonces se cumple que si A ∈ M(n) es diagonal estrictamente dominante entonces
existe la matriz inversa A –1 y todos sus elementos son positivos, esto es:
Sí x ≥ 0 entonces A –1 x ≥ 0
Una demostración de este resultado se puede encontrar en [1].
La matriz UD - 〈FP〉 es un ejemplo de matriz estrictamente diagonal dominante, y por
tanto existe siempre el operador 〈P * | es positivo.
B.3.-CALCULO DE DIFERENCIAS
En esta sección vamos a obtener varios resultados básicos del cálculo de diferencias,
necesarios para la obtención de las fórmulas de impacto en fuel y diagnostico
termoeconómico.
• Sea A(x)≡aij(x) una función matricial. Definimos el incremento de una función
matricial A(x), respecto de un valor de referencia x 0, como: ΔA=A(x) - A(x0).
• Sea A(x) = B(x)⋅C(x) el producto de funciones matriciales, entonces:
ΔA = ΔB C(x0) + B(x) ΔC (B.15)
Probaremos este resultado. El incremento de A(x) viene definido:

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 4
ΔA = B(x) C(x) - B(x0) C(x0)
si se añade el término -B(x) C(x0) + B(x) C(x0), entonces la expresión anterior se
escribirá como:
ΔA = ( B(x) - B(x0)) C(x) + B(x) (C(x) - C(x0))
con lo que quedaría probado.
• El incremento de la inversa de una matriz, se puede expresar en la forma:
ΔA -1
= - A -1
(x) ΔA A -1
(x0) (B.16)
por la definición de matriz inversa se tiene:
A A -1
= UD
entonces aplicando el resultado anterior (20) obtenemos:
ΔA A -1
(x0) + A(x) ΔA -1
= 0
y multiplicando a izquierda ambos lados de la expresión por A -1
(x), quedaría probado.
Este resultado sirve también para obtener la derivada de una función matricial:
−1
∂A
−1
∂A
−1
( x0
) = −A
( x0
) ⋅ ( x0
) A ( x0
) .
∂x
∂x
B.4.-MÉTODOS NUMERICOS
(B.17)
En esta sección vamos a tratar algunos aspectos de métodos de calculo numérico para la
resolución de los sistemas ecuaciones asociados a los problemas de determinación de
costes exergéticos. En el apartado anterior hemos visto que las matrices que definen este
tipo de problemas son del tipo diagonal estrictamente dominante.
Para la resolución de este tipo de estos sistemas de ecuaciones existen dos tipos de
métodos: los directos y los iterativos. Veremos un algoritmo de cada caso.
Métodos Directos
Son aquellos en los cuales, en ausencia de errores de redondeo, se obtiene la solución
exacta en un número finito de operaciones aritméticas elementales. Estos métodos son
adecuados para matrices densas, que tienen pocos elementos nulos, y un tamaño
relativamente pequeño (menor de 100 componentes). El método básico usado es de la
eliminación Gausiana. Aquí presentaremos una variedad de este método conocido como
el algoritmo de factorización LU.
En la bibliografía básica incluida al final del apéndice, se describen estos métodos en
detalle. Aquí vamos a describir los fundamentos básicos del método y su aplicación a la
resolución de los problemas de cálculo de costes y diagnostico termoeconómico.
Dado un sistema de -n- ecuaciones lineales: A x = b. El método de factorización LU
consiste en descomponer la matriz A como producto de dos matrices A = L U, siendo L
una matriz triangular inferior con -unos- en la diagonal, y U una matriz triangular
superior. Por ejemplo para el caso de una matriz 4×4, sería:

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 5
⎡ 1
⎢
⎢
l21
⎢l31
⎢
⎣l41
l
l
0
1
32
42
l
0
0
1
43
0⎤
⎡u
0
⎥ ⎢
⎥ ⋅ ⎢
0
0⎥
⎢ 0
⎥ ⎢
1⎦
⎣ 0
11
u
u
12
22
0
0
u
u
u
13
23
33
0
u
u
u
u
14
24
34
44
⎤ ⎡a
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
a
⎥ ⎢a
⎥ ⎢
⎦ ⎣a
Utilizaremos la descomposición de la matriz A, para resolver el sistema de ecuaciones
(11), en la forma:
(L⋅U)⋅x = L⋅(U⋅x) = b (B.18)
Resolviendo primero el sistema de ecuaciones
L⋅y = b (B.19)
y a continuación:
U⋅x = y (B.20)
La ventaja de dividir el sistema de ecuaciones en dos sistemas consecutivos, se debe a
que la resolución de un sistema de ecuaciones triangular, es muy sencillo. El algoritmo
de resolución por sustitución tiene dos fases, primero:
∑ − i 1
ij
j=
1
y = b − l y i = 1,…,n (B.21)
i
i
j
y a continuación para determinar la solución del sistema:
n
i = ∑ uij
uii
j=
i+
1
x
1 ⎛
⎜
yi
−
⎝
⎞
x ⎟ j ⎟
⎠
El algoritmo para obtener las matrices L y U es el siguiente.
Para k = 1,…,m
u = a − l u
j = k,…,m
kj
kj
∑ − k 1
kh
h=
1
hj
11
21
31
41
a
a
a
a
12
22
32
42
i = n,…,1 (B.22)
⎛
⎞
= ⎜ − ∑ ⎟
⎝
⎠
− k 1 1
lik aik
lihu
hk i = k+1,…,m (B.23)
ukk
h=
1
Dada la estructura de las matrices L y U, el valor de la descomposición puede
almacenarse en la propia matriz A.
Este algoritmo puede utilizarse siempre que los valores diagonales sean distintos de
cero, y sean en general, mayores que el resto de los valores de no diagonales de la
matriz. Por ello es especialmente adecuado si la matriz es diagonal dominante. En otros
casos es necesario añadir un algoritmo de intercambio de filas (pivote parcial), para
eliminar los problemas de división por cero y errores de redondeo. En la referencia [1]
se demuestra que si la matriz es diagonal dominante no es necesaria la estrategia de
pivote, que complica de forma considerable el algoritmo.
Utilizando el algoritmo de factorización LU y de substitución descritos en (21-23), es
posible generalizar el problema a la resolución de problemas del tipo: A X = B, siendo
X y B matrices cualesquiera (n×m), obteniendo primero la factorización de la matriz A;
y luego resolver el problema para cada columna de la matriz B.
a
a
a
a
13
23
33
43
a
a
a
a
14
24
34
44
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 6
De este modo es posible obtener la matriz inversa A -1 , tomando B = U n, o el operador de
irreversibilidad mediante la resolución del problema:
(U D- t 〈KP〉) X = K D-U D
siendo X = t |I〉.
Métodos iterativos
(B.24)
Los métodos iterativos son aquellos que parten de una aproximación inicial y que
aplicando un determinado algoritmo conducen a aproximaciones sucesivamente
mejores. Aún si el proceso converge, podemos esperar sólo la obtención de una solución
aproximada. Las ventajas importantes de los métodos iterativos son la simplicidad y
uniformidad de las operaciones que se realizan, y su mayor insensibilidad a los errores
de redondeo. Estos métodos son adecuados para la resolución de sistemas de ecuaciones
cuya matriz tiene pocos elementos no nulos y tamaño grande, llamadas matrices
dispersas, aprovechando estrategias de almacenamiento más eficientes en las que se
guardan únicamente los elementos no nulos.
Dado un sistema de ecuaciones: A x = b, el método de refinamiento iterativo consiste en
el siguiente esquema:
Fig. B.1.-Método de refinamiento iterativo
Tomar un valor x0 inicial arbitrario
Calcular una estimación inicial del error: r0 = b − A x 0
Hasta que r < tol calcular para k = 0, 1, 2,....
k
k +1
2
x = x + r
r = r − Ar
k +1
k
k
k
k
Entonces sí la matriz A es diagonal dominante, la sucesión de vectores: x 0 , x 1 ,…,
obtenida por el modelo anterior es convergente para cualquier valor inicial x 0, y por
tanto la sucesión r0, r1,..., de los residuos converge a cero.
Si además el vector b es positivo, la solución x será positiva. Tomando como valor
inicial uno tal que x 0 < x se puede probar que la sucesión será monótona creciente con
límite x.
La convergencia del método de refinamiento iterativo depende de las características de
la matriz del problema, lo que se conoce como número de condición [1]. Para mejorar la
convergencia se puede plantear el sistema equivalente:
M
1
A x = M b
(B.25)
−1
−
−1 −1
siendo M ≈ A de manera que el problema este mejor condicionado, y que la matriz
M sea fácilmente invertible. El modelo iterativo se transforma ahora en:
x = x + z
k +1
k
r −
k
k+1
= rk
A z k , (B.26)
−1
siendo: z k =
M rk

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 7
Otra mejora al modelo de refinamiento iterativo, consiste en aplicar una extrapolación
de la solución anterior, en forma de una media ponderada con la solución actual y la
obtenida en la iteración anterior:
x k + 1 = ω x k + 1 + ( 1−
ω)
x
k
(B.27)
siendo 1

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 8
row_ind 0 1 1 2 2 3 3 4
col_ind 1 3 4 3 4 0 2 0
val 11781 4156 2474 1627 968 2500 2977 2355
En la figura B.3 se muestran los pasos para obtener los costes exergéticos, impacto en
fuel y otras propiedades termoeconómicas, utilizando estructuras de matriz coordenada.
Fig. B.3.- Algoritmo de calculo de costes unitarios e impacto en fuel.
typedef Vector Index;
typedef Vector Values;
typedef CoordMatrix< Index, Values > Matrix;
int main(int argc, char **argv)
{
const double EPS = 1.0e-8;
const double W = 1.2;
const int MAX_ITER = 25;
// Leer Fichero de datos con Tabla Fuel/Producto
ifstream ifile(argv[1]);
Subscript N, M, NZ;
ifile >> N >> M >> NZ;
Index row(NZ);
Index col(NZ);
Values val0(NZ);
Values val(NZ);
for(Subscript t=0; t> row[t] >> col[t] >> val0[t] >> val[t];
Matrix B0(N,M,NZ,row,col,val0);
Matrix B1(N,M,NZ,row,col,val);
cout

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 9
En ella se utilizan únicamente operaciones básicas descritas en la sección B.1, adaptadas
a este tipo de estructuras. Como ejemplo de implementación de operaciones básicas
para matrices coordenadas, indicamos el producto de una matriz en su representación
coordenada, por un vector columna (B.6), y = A * x:
Para i=1,...,NZ: y(row_ind(i))+= A.val(i)*x(col_ind(i);
O el producto de una matriz diagonal, representada por un vector, por una matriz en su
representación coordenada (B.7), B = ScaleRow(d, A):
Para i=1,...,NZ: B.val(i)= d(row_ind(i))*A.val(i);
Para la determinación de la matriz 〈KP〉 extendida, se utiliza un algoritmo muy similar,
al anterior:
Para i=1,...,NZ
Si col_ind = 0 KP.val(i)= 0.0;
sino KP.val(i)= A.val(i)/P(col_ind(i));
Los costes unitarios
partir de la resolución del sistema de ecuaciones:
*
⎡k
⎤ P,
0 ⎡1⎤
⎡ 0 0 L
⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢k
P,
1 ⎥ = ⎢
0
⎥ + ⎢
t
⎢ M ⎥ ⎢M
⎥ ⎢κ
e KP
⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣
kP,
n ⎥⎦
⎣0⎦
⎣
*
k P para la condiciones de referencia y operación, se determinan a
*
0⎤⎡k
⎤ P,
0
⎥⎢
* ⎥
⎥⎢k
P,
1 ⎥
⎥⎢
M ⎥
⎥⎢
* ⎥
⎦⎢⎣
kP
, n⎥⎦
B.29)
El método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones es una variación del método
de refinamiento iterativo descrito en la sección B.4, aplicado al este caso particular, en
el se tiene en cuenta la estructura de matriz coordenada, y solo se utilizan productos
matriz - vector. En el se toma A = UD - 〈KP〉 y M = UD + 〈KP〉, que corresponde al
primer término del desarrollo en serie de la inversa de A. El algoritmo se muestra en la
figura B.4. Observar que como valor inicial de los costes para las condiciones de
referencia se toma el vector unitario, y para las de operación el obtenido para las
condiciones de referencia, de forma que el número de iteraciones en este caso se puede
reducir notablemente.
Fig. B.4.-Método de refinamiento iterativo de Richardson
template
int irw(const SparseMatrix& KP,
const Vector& b,
const double w,
Vector& x,
Iteration& iter)
{
Subscript N=b.size();
Vector r(N), z(N);
r=(b-x)+ KP*x;
while(!iter.finished(r)) {
z=KP*r;
x+=w*(r+z);
r=(1-w)*r + w*KP*z;
++iter;
}
return iter.status();
}

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 10
Calculando la diferencia de las matrices de consumos unitarios para las condiciones de
operación y referencia diff(KP0,KP1), se puede obtener una matriz de costes de
malfunción cuyos elementos son cada uno de los sumandos de la ecuación del impacto
en fuel:
ΔF
T
=
n
∑
i=
1
j=
0
k
*
P,
j
Δκ
ji
P
0
i
(B.30)
Las rutinas ScaleCols() multiplica elemento a elemento, cada columna de la matriz
Δ〈KP〉 por el vector P 0, y ScaleRows() cada fila de la matriz por el vector, obteniendo
cada uno de los sumandos de la ecuación (30), que representan el coste de cada una de
las malfunciones producidas en el sistema.
El algoritmo para obtener las propiedades termoeconómicas, descrito en la figura x, no
calcula el operador matricial I , este operador no conserva la estructura de la tabla
fuel- producto, y en general será una matriz densa, con pocos elementos nulos. Si se
desea obtener este operador y la matriz de disfunción (2.83), resulta más eficaz
representar el sistema de ecuaciones (B.30), en forma densa, y utilizar el algoritmo de
factorización LU para obtener dicho operador. El algoritmo se describe en la figura
B.5. Usa los métodos LU_factor y LU_solve.
Fig. B.5.-Algoritmo para cálculo del operador irreversibilidad.
template
void GetOpI(const DenseMatrix &KP,
DenseMatrix &AI, //Operador irreversibilidad
DenseVector &cp) //Coste unitario del Producto
{
Subscript N=KP.num_rows();
DenseMatrix lu(N,N); //Matriz UD-
DenseVector tmp(N);
IndexVector pivot(N);
double diag;
lu[0][0]=UNO;
// Construcción de las Matrices UD- y KD-UD
for(Subscript i=1; i

CONCEPTOS DE ALGEBRA LINEAL 11
BIBLIOGRAFIA BASICA
[1] Burden, R.L. & Faires J.D. (1996). Análisis Numérico (6ª Edición). International
Thomson Editores. México.
[2] Press,W.H. et al (1993). Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing
(2 nd Edition). Cambridge University Press. On-line book: http://www.nr.com.
[3] Siek, Jeremy G. (1999). The Matrix Template Library (MTL). Laboratory for
Scientific Computing. University of Notre Dame. Indiana.
http://www.lsc.nd.edu/research/mtl.
[4] Pozo, R. (1999). Template Numeric Toolkit (TNT). Mathematical and
Computational Sciences Division. National Institute of Standard Technologies (NIST),
Gaithersburg. Maryland. http://math.nist.gov/tnt.
[5] Barret, R. et al. (1994). Templates for the solution of Linear Systems: Building
Blocks for iterative Methods. http://www.netlib.org/templates.
[6] Boissvert, R. Pozo and K. Remington (1996). The Matrix Market Exchange Formats
:Initial Design, National Institute of Standards and Technology Internal Report, NISTIR
5935. http://math.nist.gov/MatrixMarket.

Apéndice C
TÉCNICAS DE OPTIMIZACION
En este apéndice se tratan diversos aspectos de relacionados con la optimización de
sistemas térmicos, tratada en el capítulo 3. En ella se estudia en profundidad el
problema de optimización con extremos condicionados o ligaduras, incluyendo la
demostración del teorema de los multiplicadores de Lagrange, y aspectos de cálculo
numérico para la resolución de problemas de optimización termoeconómica.
C.1.- OPTIMIZACION CON EXTREMOS CONDICIONADOS
Los problemas de optimización con extremos condicionados consisten en calcular los
valores máximos o mínimos de una función f(y, x) sujetos a un conjunto de condiciones
o restricciones g(y, x)=0.
Extremos condicionados. Definición
Sea una función f: D → R , con D abierto de R m+n
Consideremos m funciones g 1,…, g m: D → R
Sea X 0 = { (y, x) ∈ D | g i (y, x) = 0, i=1,…,m } el conjunto de puntos factibles.
Un punto (y 0, x 0) ∈ X 0 se dice que es un máximo (mínimo) de la función –f–, sujeto a
las condiciones g i(y, x) = 0, i=1,…,m; si existe un entorno del punto (y 0, x 0) tal que para
todo punto (y , x) ∈ X 0 ∩ B(y 0, x 0), tal que se cumple:
f(y , x) ≤ f(y 0, x 0) condición de máximo, o
f(y , x) > f(y 0, x 0) condición de mínimo.
Teorema de los multiplicadores de Lagrange.
Sea una función f: D → R , con D abierto de R m+n
Consideremos m funciones g 1,…, g m: D → R , tales que:
∂(
g1,
…,
g
det
∂(
y , …,
y
1
m
m
)
≠ 0
)
Sea X 0 el conjunto de puntos factibles, entonces si (y 0, x 0) ∈ X 0 es un extremo de la
función –f– condicionada por X 0 , entonces:
Existe un conjunto de parámetros reales: λ 1,…, λ m, denominador multiplicadores de
Lagrange tales que la función:

OPTIMIZACION CON EXTREMOS CONDICIONADOS 2
n
∑
i=
1
L(
y,
x,
Λ)
= f ( y,
x)
+ λ ( y,
x)
i g i
tiene en (y 0, x 0) un punto crítico, es decir:
∂L
= 0 ∴ gi
( y,
x)
= 0
∂λ
i
∂L
∂f
= 0 ∴
∂y
∂y
i
∂L
∂f
= 0 ∴
∂x
∂x
Demostración:
i
i
i
+
+
∂g
m
j
∑
j= 1 ∂yi
∂g
m
j
∑
j= 1 ∂xi
λ
λ
j
j
= 0
= 0
i = 1,…,m (C.1)
i = 1,…,m (C.2)
i = 1,…,n (C.3)
La condición (1) se cumple para todos los puntos factibles de X 0, independiente del
valor de λ.
Para la condición (2) consideremos el sistema de m ecuaciones con las m incógnitas
definidas por λ 1,…, λ m
∂g
λ
m
j
∑
j=1 ∂yi
j
∂f
= −
∂y
i
i = 1,…,m (C.4)
Por hipótesis, este sistema tiene solución única para todos los puntos factibles de X 0, y
por lo tanto satisfacen la condición (1), siendo los multiplicadores de Lagrange la
solución del sistema de ecuaciones (4).
Por último deberemos probar que para esta elección de λ 1,…, λ m se satisface la
condición (3).
Dado que se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita, existe un
entorno T 0 de x 0, y m funciones vectoriales h=(h 1,…, h m) definidas en T 0, tales que:
h i(x 0) = y 0, i=1,…,m
g i(h(x), x) = 0
De este modo queda definida una nueva función F, como sigue:
F(x) = f[h(x), x]
y también m nuevas funciones G 1,…, G m:
G i (x) = g i [h(x), x]
Cada función G i es idénticamente nula en el conjunto T 0 y, en particular:
∂
G i
( x0
)
= 0
∂x
Aplicando la regla de la cadena, se tiene:
∂Gi
( x ) ∂gi
( x0
)
= +
∂x
∂x
∂g
( ) ∂ ( 0)
i y h 0 j x
∂y
∂x
m
0
∑ =
l
l j= 1 j
l
0 , l=1,…,n. i=1,…,m (C.5)
Por continuidad de h, existe un entorno B(x 0 ) ⊆ T 0 , tal que si x ∈ B(x 0), entonces:

METODOS NUMÉRICOS 3
(h(x), x)∈ X 0 ∩ B(y 0, x 0),
entonces por hipótesis la función F tiene un extremo relativo en (y 0, x 0), y por lo tanto:
∂F(
x0
)
= 0
∂x
Aplicando la regla de la cadena, se tiene:
∂F(
x ) ∂f
( x0
)
= +
∂x
∂x
∂f
( y ) ∂h
( 0 )
0 j x
∂y
∂x
m
0
∑ =
l
l j= 1 j
l
0 , l=1,…,n. (C.6)
Si ahora multiplicamos (5) por λ i , sumamos respecto a i , y añadimos (6) tenemos:
m
⎛
⎜
∂f
( y0
)
+
⎜
⎝ ∂y
j
∑ ∑
λ
i
j=
1 i= 1
j
m
∂g
( ) ⎞ ∂ ( 0 )
i y h 0 j x
⎟
∂f
( x0
)
+ +
∂y
⎟
⎠ ∂xl
∂xl
y reorganizando la expresión anterior, se tendría:
∂f
( x )
+
∂x
∂gi
( x
∂x
m
0 0
∑ λ i =
l i= 1
l
)
0
m
∑
λ
∂g
i ( x0
)
= 0
∂x
i
i= 1
l
En la suma relativa a –j– , la expresión entre corchetes se anula en virtud de como
fueron definidos λ 1,…, λ m, con lo que quedaría demostrado.
C.2.- METODOS NUMÉRICOS
Vamos a explicar a continuación, los aspectos básicos de algunos métodos de
optimización, que pueden aplicarse de forma satisfactoria a la resolución de problemas
de optimización local de sistemas térmicos. Como se ha visto en el capítulo 3, el
problema puede definirse en la forma:
k
( x)
=
*
Min k P,
i
x∈ *
P,
j 0 ji
Pi
( x ) κ ( x)
+ Z ( x)
[ a,
b]
( x )
0
i
(C.7)
es decir encontrar el valor de las variables de diseño del componente, dentro de un
intervalo de viabilidad, que hagan mínimo el coste unitario de su producto,
considerando los costes unitarios de las entradas y el producto conocidos y constantes
durante el proceso de optimización. Este problema puede plantearse como un problema
de optimización sin restricciones con una o varias variables. Las restricciones asociadas
al intervalo de viabilidad pueden ser tratadas definiendo las funciones de costes de
equipamiento como funciones de penalización, es decir que toman valores muy altos
fuera del intervalo de viabilidad.
Métodos de optimización unidimesional
Empezaremos por describir los métodos de optimización en una variable, que también
se utilizarán para los métodos multidimensionales. El primer paso para resolver un
problema de mínimos en una variable es asegurarnos de que dicho mínimo existe dentro
del intervalo de viabilidad.
Consideramos una función g: [a, b] → R, continua y suficientemente diferenciable. Se
dice que la función g es unimodal sobre un intervalo [a, b] si admite un mínimo α∈[a,

METODOS NUMÉRICOS 4
b] tal que g sea monótona decreciente en [a, α] y monótona creciente en [α, b]. En la
referencia [1] se describe un método para determinar el intervalo en el que la función
sea unimodal.
Para la búsqueda del mínimo se utiliza un método, equivalente al método de bisección
para la búsqueda de raíces de una ecuación, reduciendo a cada paso el intervalo de
búsqueda. Para acotar el mínimo de una función unimodal, necesitamos una tripleta de
puntos: a < b < c tales que g(b) < g(a), g(b) < g(c). A continuación se elige un nuevo
punto x, en el intervalo [a 0, b 0] o [b 0, c 0], supongamos como en el caso de la figura 1,
que elegimos esta última opción. Entonces evaluamos g(x), si g(b) < g(x) entonces la
nueva tripleta de puntos donde se localiza el mínimo es (a, b, x). El proceso para acotar
el mínimo continua hasta que el intervalo de busqueda es suficientemente pequeño.
Función
Ajuste
a b x c
Fig. C.1.- Función unimodal y ajuste cuadrático
El aspecto clave de este método, es determinar los puntos intermedios de búsqueda en
cada paso. Uno de los algoritmos más utilizados es el conocido como método de Brent o
de interpolación cuadrática [2]. Dicho método tiene en cuenta que una función en el
entorno del mínimo, puede aproximarse a una función cuadrática. Ver figura C.1
Dados α1 < α2 < α3, son tres puntos contenidos en el intervalo de viabilidad, tales que se
cumpla la condición:
g(α1) ≥ g(α2) y g(α3) ≥ g(α2), (C.8)
se aproxima la función g sobre el intervalo [α1, α3] por una función cuadrática que tome
los mismos valores que g en los puntos α1, α2 , α3 y se calcula un nuevo punto x, que
sea el mínimo de dicha función cuadrática, y que viene dado por la expresión:
2
( g(
α3
) − g(
α 2)
) + ( α3
− α 2)
( g(
α 2)
− g(
α1)
)
( g(
α ) − g(
α ) ) − ( α − α ) ( g(
α ) − g(
α ) )
2
( α 2 − α1)
x = α2
+ 0.
5
(C.9)
( α − α )
2
1
3
2
Una vez determinado nuevo punto, el intervalo se reduce de manera, que se mantenga la
condición 8. En la figura C.2 se muestra el código del procedimiento para obtener el
mínimo de una función, indicando una tripleta inicial de puntos.
3
2
2
1

METODOS NUMÉRICOS 5
Fig. C.2.- Algoritmo de Brent o interpolación cuadrática
template
int BrentSearch(Function &func, // Función a minimizar
const Vector &p, // Intervalo inicial
T &x, // Mínimo
T &fx, // Valor en el mínimo
Iteration &iter) // Condiciones de convergencia
{
T a = p[0], b = p[1], c = p[2];
T fa = f(a), fb = f(b), fc = f(c);
assert((fa > fb) && (fc > fc));
T r, q, p, w;
do {
r = (b - a) * (fb - fc); // Calcular el nuevo punto
q = (b - c) * (fb - fa); // por interpolación cuadratica
p = (b - a) * r - (b - c) * q;
w = 0.5*p / (q - r);
x = b + w;
fx = func(x); // Determinar el nuevo intervalo
if (w > 0) (fb > fx)?(a=b,fa=fb,b=x,fb=fx):(c=x,fc=fx);
else (fb > fx)?(c=b,fc=fb,b=x,fb=fx):(a=x,fa=fx);
++iter;
} while (!iter.finished(w));
return iter.status();
}
Métodos de optimización multidimensionales
Supondremos aquí que f(x) es una función real de n variables sobre un intervalo ndimensional
[a, b], es decir: a i < x i < b i, continua y diferenciable. Entonces, una
condición necesaria para que un punto x * sea mínimo de f en el intervalo de viabilidad,
es que su gradiente sea nulo: ∇f(x * )=0; luego x * debe ser solución del sistema de
ecuaciones no lineales:
∂ f
( x)
= 0
∂x
i
i=1,…,n
Se podría buscar la resolución directa del sistema sin embargo este tipo de métodos no
es muy adecuado para nuestro tipo de problemas. Por esta razón los métodos utilizados
habitualmente, son métodos iterativos basados en métodos iterativos donde se genera
una sucesión de puntos x 0 , x 1 ,…, x k , que converja hacia un optimo local de f, en el
intervalo de viabilidad.
Partiendo de una aproximación inicial x 0 , para cada iteración se trata de determinar una
dirección a partir de x k , que produzca un descenso del valor de f, y calcular cuanto hay
que moverse en dicha dirección, obteniendo un nuevo valor x k+1 definido por:
x +1 = x + λ d , (C.10)
k
k
k
k
siendo d k una dirección de desplazamiento que puede ser la opuesta del gradiente de la
función f, o una dirección elegida de forma que sea una dirección de descenso:
∇f(x k ) dk < 0 (C.11)

METODOS NUMÉRICOS 6
Vamos a describir brevemente el método del gradiente conjugado [2], que tiene su
aplicación tanto para la construcción de algoritmos de optimización no lineal, como
para la resolución de problemas de mínimos cuadrados y resolución de sistemas de
ecuaciones. Este método se basa en el siguiente resultado:
Sea una función cuadrática de la forma:
t 1 t
q(
x)
= c−
bx + xAx , (C.12)
2
con A (n×n) matriz definida positiva.
Sean d0, d1,..., dn, una serie de direcciones conjugadas con respecto a la matriz A, es
t
decir: d Ad = 0,
i < j .
i
j
Supongamos que dado un valor inicial x 0 k +1 k
,se define la sucesión: x = x + λkd
k
λ
k
k
= min g(
λ)
= q(
x + λdk
)
λ
entonces x n es el mínimo de la función q(x).
, siendo
(C.13)
El gradiente de la forma cuadrática para cada iteración se puede expresaren función de
la iteración anterior, como:
k + 1
gk + 1 = Ax − b = g k + λk
Ad
k
Por otra parte, como λk minimiza q en la dirección dk, se tiene g’(λk) = 0, y asi:
t
( g + λ Ad ) = 0
t
k + 1 k k k k
(C.14)
d g = d
(C.15)
k
y por tanto:
−
d
g
λ k
t
k k
= t
d k Ad k
(C.16)
La idea del método consiste en construir de forma progresiva las direcciones d0, d1,...,
dk. En cada etapa la dirección dk se obtiene como combinación lineal de su gradiente
gk ≡ ∇q(
xk
) y de las direcciones precedentes. Los coeficientes de dicha combinación
lineal se eligen de manera que dk sea conjugada con respecto a todas sus direcciones
precedentes, y sea una dirección de descenso. Así tomamos:
siendo:
d = −g
0
0
d + β d
k + 1 = −gk
+ 1
k
k
(C.17)
t
g k + 1Ad
k
β k =
(C.18)
t
d k Ad k
y cumpliéndose:
t
t
d g g g < 0
(C.19)
k
k =− k k
Y se verifica también:

METODOS NUMÉRICOS 7
g
g
λ k
t
k k = t
dk
Adk
(C.20)
−
β =
(C.21)
k
t
t
gk + 1 ( gk
+ 1 g k ) g k+
1g
k + 1 =
t
t
gkg
k gkg
k
Como generalización del método del gradiente conjugado, a funciones cualesquiera,
describimos en la figura C.3.
Fig. C.3.- Algoritmo de Flecher y Reeves
Tomar un valor inicial x 0 .
Calcular el gradiente en x0: g0.
d0 = –g0
Para k = 0, 1, 2,...
λ = min
k
Calcular f ( x + λd
)
xk +1 = xk
+ λkd
k
Calcular gk+1 t
g k + 1 g k + 1
βk
= t
g kg
k
d −g
+ β d
k + 1 = k + 1
Parar si g < tol
k +1
k
k
k
λ
Como se observa, en este método, es necesario calcular el gradiente de la función en
cada punto de la iteración, si no se dispone de las expresiones analíticas de las derivadas
parciales, estas pueden obtenerse fácilmente con una aproximación de orden 2, como:
∂
∂
f i
x i
f( x + hui
) − f( x − hu
)
( x)
≅
2h
con un valor de h suficientemente pequeño.
k
(C.22)
El punto clave de este algoritmo esta en el calculo de λk para cada iteración, como el
mínimo de una función de una variable g(λ). Para obtener dicho valor se puede utilizar
el método de Brent descrito en el apartado anterior, ahora bien este método tiene el
inconveniente que son necesarias muchas evaluaciones de función para cada iteración.
0 λ1 λ3 λ2
Fig. C.4.- Búsqueda lineal cúbica.

METODOS NUMÉRICOS 8
El hecho de que el valor de λk sea el mínimo en la dirección dk, no es una condición
necesaria para su convergencia, sino que basta una buena aproximación que reduzca el
valor de la función objetivo. Por ello es habitual utilizar otro tipo de algoritmos para
determinar un nuevo punto en la iteración, como el de búsqueda lineal cúbica [3].
Este método se basa en la hipótesis de que para la función unidimensional g(λ),ver
figura C.4, conocemos el valor y su pendiente en el origen:
g( 0)
= f ( x k )
t
g' ( 0)
g g < 0
(C.23)
=− k k
Elegido un valor λ1>0, tal que: g(λ1) > g(0) + λ1 g’(0), es decir que su valor este por
encima del de la recta tangente a la curva en el origen. Entonces es posible determinar
un nuevo punto λ2 , correspondiente al mínimo de la parábola que sigue la pendiente
g’(0), y pasa por λ1, dado por:
λ
siendo:
2
2
− λ1g
'(
0)
= > 0
φ
1
(C.24)
φ = ( λ ) − λ g'
( 0)
− g(
0)
. (C.25)
i
g i i
A partir de esta información, es posible determinar el mínimo de una función cubica de
la forma: ax 3 + bx 2 + cx + d, que sigue la pendiente g’(0), y pasa por λ1, λ2, dado por:
siendo:
2
− b + b − 3ac
λ 3 =
(C.26)
3a
d = g(
0)
c = g'
( 0)
1 ⎛ λ ⎞
1φ2
λ2φ1
b = ⎜ − ⎟
2 2
λ1
− λ2
⎝ λ2
λ
⎟
1 ⎠
⎟
1 ⎛ φ ⎞
1 φ2
a = ⎜ −
(C.27)
2 2
λ1
− λ2
⎝ λ1
λ2
⎠
Entonces se toma como aproximación al mínimo, el valor λi que haga mínimo g(λi),
cumpliendo la condición: g(λi) < g(0).
Existen otros métodos similares al del gradiente conjugado, llamados cuasi-newton que
pueden utilizarse, ver referencias [2], [4].
Método de los mínimos cuadrados
Un problema estrechamente relacionado con la resolución de sistemas de ecuaciones, y
de importante aplicación al diagnostico termoeconómico, es el ajuste de un conjunto de
datos (x (i) , y (i) ) a un modelo combinación lineal de m funciones de x, siendo x una
variable unidimensional o multidimensional, tales como:
( ) = β + β + β x x x y
0
1
2
2
+ ... + β
m−1
m−1x que es un polinomio de grado m-1, o si en el caso de x=(x 1 ,...,x m ) un modelo lineal:
x y β + + β = ... ) x
( 1 1
m m x

METODOS NUMÉRICOS 9
o las funciones podrían ser senos, cosenos, o logaritmos. La forma general de este tipo
de modelo es:
= ∑
=
m
j 1
β y(
x ) ( x)
(C.28)
j j X
siendo X 1 (x),...,X m (x) son funciones arbitrarias de x, llamadas funciones base, y que en
general no tienen por que ser lineales, el término lineal se refiere a la dependencia del
modelo respecto a los parámetros β j .
Para estos modelos lineales, definimos una función de bondad de ajuste, dada por:
n
( )
−
( i)
m
( i)
y
j X j ( )
∑ ∑
= β χ
2
( )
x (C.29)
i=
1
= β
j 1
2
Entonces, el problema de encontrar el modelo que mejor ajuste estos datos, en el sentido
de que la distancia de los puntos a la curva determinada por el modelo de ajuste sea
mínima, consiste en encontrar los valores de los coeficientes β j que hagan mínimo el
valor de la función χ 2 .
Sea A una matriz (n × m) cuyos componentes se construyen a partir de las m funciones
base evaluadas en las n abscisas x (i) , en la forma:
A = X
ij
j
( x
(i)
)
La matriz A se llama matriz de diseño del problema de ajuste. En general A debe tener
más filas (datos) que columnas (parámetros de ajuste), es decir n > m. También
definimos el vector y (n × 1) cuyos elementos son las coordenadas y(x (i) ).
Entonces el problema de optimización puede enunciarse como:
min
β
( ) 2
y − Aβ
y la condición de óptimo puede enunciarse como:
2 t
A
( y − Aβ)
= 0
(C.30)
por tanto el problema de mínimos cuadrados es equivalente a resolver el sistema de
ecuaciones de m ecuaciones con m incognitas:
( AA) Ay
t
t
=
β (C.31)
El sistema de ecuaciones (31), se llama ecuación normal del problema de mínimos
cuadrados, podría resolverse por el método general de la factorización LU, aunque
existen métodos más adecuados.. Existen técnicas alternativas descritas en [2] tales
como:
• Descomposición en valores singulares (SVD)
• Descomposición QR.
• Gradiente conjugado (CGLS)
Tal como puede observarse el problema de mínimos cuadrados, es un problema de
optimización de una función cuadrática, cuya matriz de coeficientes es t AA simétrica y
definida positiva y el vector de coeficientes t Ay.

BIBLIOGRAFIA BASICA 10
En la figura C.5 se describe la adaptación del algoritmo del gradiente conjugado al
problema de mínimos cuadrados:
Fig. C.5.- Algoritmo CGLS
Tomar un valor inicial x 0 .
r = y − Ax
0
Ar g
t
=
0
0
d0 = g0
0
Para k = 0, 1, 2,...N-1
Ad q =
fin
λ
k
k
=
k +1
t
t
g
q
k
k
k
k
g
q
x = x + λ
k +1
k
k
k
r = r − λ
g
β
Ar
k
k
q
d
+ 1 + 1 = t
k k
t
g k + 1 g k + 1
k = t
g kg
k
k + 1 = g k + 1 + k
d β
k
k
d
k
En este algoritmo, se procesa por separado la matriz de coeficientes y su transpuesta,
debido a cuestiones de rendimiento. Observar que en este modelo el vector rn representa
el residuo, o error cometido para cada componente.
BIBLIOGRAFIA BASICA
[1] Apostol, T.M. (1979). Análisis Numérico (2ª Edición). Editorial Reverte. España.
[2] Press,W.H. et al (1993). Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing
(2 nd Edition). Cambridge University Press. On-line book: http://www.nr.com.
[3] Deng, H.L., Gouveia, W., Scales J. (1994). The CWP Object-Oriented Optimization
Library. Center for Wave Phenomena. Colorado School of Mines.
http://www.cwp.mines.edu.
[4] The MathWorks Inc. MATLAB Optimization Toolbox User’s Guide Version 5.
http://www.mathworks.com.