Algoritmos sobre Grafos - Departamento de Ciencias e Ingeniería ...

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Lema Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad el Nivel de cada nodo es la distancia (cantidad de arcos) que deben recorrerse en la foresta para llegar desde la raíz al nodo correspondiente se representa por un arreglo adicional nivel[1..n], inicializado en 0 se debe recordar que la raíz es en principio un nodo arbitrario se pueden calcular esta información adicional al mismo tiempo que se hace el recorrido; esto no agrega tiempo adicional al orden del algoritmo Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad se pueden probar las siguientes propiedades sobre los recorridos por nivel Si el grafo es conexo, entonces la foresta de recorrido es un árbol Lema en el caso de un grafo dirigido, conexo significa que existe un camino de ida y de vuelta entre cada par de nodos al finalizar un recorrido BF, nivel[v] contiene la mínima distancia desde la raíz del árbol de v en la foresta de recorrido hasta v ejercicio: comparar con el algoritmo de Dijkstra Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad PROCEDURE visitarBF(G,Q) WHILE no Q.esVacía() u::=Q.primero() IF existe w adyacente a u tal que color[w]=blanco color[w]::=gris padre[w]::=u; nivel[w]::=nivel[u]+1 Q.insertar(w) ELSE color[u]::=negro Q.sacarDeCola() ENDIF ENDWHILE Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad el recorrido permite clasificar los arcos del grafo en las siguientes categorías: arcos de la foresta son los arcos (padre[v],v) utilizados en el recorrido arcos hacia atrás son arcos (u,v) en donde v es un ancestro de u en la foresta del recorrido arcos hacia adelante son arcos (u,v) en donde v es descendiente de u en la foresta del recorrido arcos que cruzan son los demás arcos que no entran en las otras categorías. Los extremos pueden estar en el mismo árbol o en árboles diferentes Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad
Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad si el grafo es no dirigido, como cada arco es considerado dos veces esta clasificación puede ser ambigua. Se toma la primera de las categorías posibles según el orden dado estas categorías pueden calcularse en el mismo algoritmo del recorrido, sin aumentar el orden del tiempo de ejecución (la demostración queda como ejercicio) Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por profundidad Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad el recorrido por profundidad, o depth-first search (DF), basa el orden de visita de los nodos del grafo en una E.D. Pila, agregando en cada paso los adyacentes al nodo actual esto hace que agote los nodos accesibles desde un hijo antes de proceder con sus hermanos las operaciones sobre la E.D. Pila se suponen de tiempo en Θ(1) al igual que el recorrido por profundidad, se presenta un algoritmo no determinístico que puede modificarse para incluir un orden en la elección de los nodos puede aplicarse tanto a grafos dirigidos como a grafos no dirigidos Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Propiedades Teorema Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad Si el grafo es dirigido, entonces un recorrido BF no genera arcos hacia adelante Teorema Si el grafo es no dirigido, entonces un recorrido BF no genera arcos hacia atrás ni hacia adelante Algoritmo las demostraciones se hacen por el absurdo (ejercicio) Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad Introducción Recorridos Ordenamiento topológico Componentes fuertemente conexos Puntos de articulación y puentes Flujo máximo PROCEDURE dfs(G=N,A) FOR cada vértice v en N color[v]::=blanco ENDFOR P.pilaVacía() FOR cada vértice v en N IF color[v]=blanco color[v]::=gris P.apilar(v) visitarDF(G,P) ENDIF ENDFOR Recorrido por Niveles Recorrido por profundidad Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad
Page 1 and 2: Introducción Recorridos Ordenamien
Page 5: Ejemplo de BFS (III) Ejemplo de BFS
Page 9 and 10: Ejemplo (III) Ejemplo (V) Introducc
Page 15 and 16: Correctitud Introducción Recorrido
Page 17 and 18: Lema Introducción Recorridos Orden
Page 21 and 22: Camino de aumento Introducción Rec
Page 23 and 24: Ejemplo (I) Ejemplo (III) Introducc
Page 25: Lema Introducción Recorridos Orden

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