Lógica Proposicional - Facultad de Ciencias Exactas

Proposición
Lógica Proposicional (LP)
Enunciado del que puede afirmarse si es verdadero o falso
Oración declarativa
¿Cuáles de las siguientes son proposiciones?
1) Pedro es alto.
2) Juan es estudiante.
3) Ayer llovió.
4) ¿Quién es?
5) Esta mesa es azul.
6) 3 es impar.
Proposición
Simple
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• Mi perro es negro.
• Juan es estudiante
Compuesta
Lógica Proposicional
•María es arquitecta o Juan es músico.
• Si ayer llovió entonces hoy sale el sol.
• 2 * 3 = 6 y 7 no es par.
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Lógica Proposicional
Definición del Lenguaje de la Lógica Proposicional
Sintaxis: cómo definir fórmulas bien formadas
(fórmulas como cadenas de símbolos)
Semántica: cómo interpretar esas fórmulas, es
decir cómo asignarles un valor de verdad
(fórmulas como enunciados que pueden ser verdaderos o
falsos)
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Alfabeto (A PROP):
Lógica Proposicional: Sintaxis
A PROP = Var ¨ { , , , fi } ¨ { (, ) }
Variables o símbolos
proposicionales
(a, b, c, ..., p, q, ...) Conectivos proposicionales:
¬ negación
∧ y
∨ o
→ si ... entonces
Símbolos auxiliares
- Alfabeto
- Lenguaje
- Valuaciones
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Lógica Proposicional: Sintaxis
Lenguaje de la LP – Conjunto de Fórmulas de la LP (F m ):
Fm es el conjunto de cadenas de símbolos de APROP , Fm ˝ A * PROP , que se
obtiene aplicando las siguientes reglas:
Para toda variable p ˛ Var, entonces p ˛ F m ,
es decir Var ˝ F m
Si A˛ F m , entonces A˛ F m
Si A, B ˛ F m , entonces (A B), (A B), (A fi B) ˛ F m
Fórmulas
atómicas
((p q) r) ((p fi q) q) SON FORMULAS DE F m
p q r ((p fi ) q) NO SON FORMULAS DE F m
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Lógica Proposicional: Sintaxis
Longitud de una Fórmula A (long A):
Si A = p, p ˛ Var, entonces long(p) = 1
Si A = B, B ˛ F m , entonces long(A) = long(B) + 1
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Fórmulas no
atómicas
Si A = B * C, con B, C ˛ F m , y * es uno de los conectivos , , fi, entonces
long(A) = long(B) + long(C) + 1
Subfórmulas de una Fórmula A (S f (A)):
S f (p) = { p } si p ˛ Var
S f ( A) = S f (A) ¨ { A } si A˛ F m
S f ((A * B)) = S f (A) ¨ S f (B) ¨ {(A * B)} si A, B ˛ F m , y * es uno de los
conectivos , , fi
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Otra definición de F m :
Lógica Proposicional: Sintaxis
::= fi |
::= |
::= |
::= ( ) | |
::= a | b | c | ... | z
Esta definición tiene en cuenta precedencia de conectivos:
, , , fi (de mayor a menor)
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Lógica Proposicional: Semántica
• Interpretación de fórmulas como enunciados a los que se puede asignar
sólo uno de dos valores: Verdadero (1, V, T) ó Falso (0, F, ^)
• La interpretación o valuación de una fórmula se obtiene como sigue:
- se asigna un valor de verdad (1 ó 0) a las variables proposicionales
- se interpretan las fómulas no atómicas teniendo en cuenta el significado
de los conectivos que contienen
Interpretación de conectivos
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
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1
1
1
fi
0
1
0
1
0
1
1
1
«
0
1
0
1
0
1
0
1
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Valuación:
Lógica Proposicional: Semántica
Es una función v: F m fi {0, 1} que cumple con las siguientes propiedades
para todo A, B ˛ F m
Ejemplo:
• v( A) = v(A)
• v(A B) = v(A) v(B)
• v(A B) = v(A) v(B)
• v(A fi B) = v(A) fi v(B)
Dada la fórmula A = p q fi q y la valuación v(p) = 1 y v(q) = 1
v(A) = v(p q fi q)
= v(p q) fi v( q)
= v(p) v(q) fi v(q)
= 1 1 fi 1 = 1 fi 0 = 0
Tablas de Verdad:
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Lógica Proposicional: Semántica
Permiten calcular todos los posibles valores de verdad de una fórmula
considerando todas las valuaciones posibles.
Fórmula fi secuencia finita de variables y conectivos:
• conociendo valor de verdad de las k variables de la fórmula se puede
construir la tabla de verdad
• Tamaño de la tabla de verdad = 2 k filas
Ejemplo: Para la fórmula A = p q fi q
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p q
0
0
0
1
1
0
1
0
q
p q fi q
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1
1
1
0
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Definiciones:
Lógica Proposicional: Semántica
Una tautología es una fórmula A que es verdadera bajo toda valuación.
Es decir, A es tautología sí y sólo sí para toda valuación v, v(A) = 1
En la tabla de verdad, todos los elementos de la columna correspondiente
a la fórmula son 1.
En símbolos = A
Una contradicción es una fórmula A que es falsa bajo toda valuación.
Es decir, A es contradicción sí y sólo sí para toda valuación v, v(A) = 0
Una contingencia es una fórmula A que es no es ni tautología ni
contradicción.
Una fórmula A es una tautología sí y sólo sí su negación A es una
contradicción.
Definiciones:
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Lógica Proposicional: Semántica
Una valuación v satisface una fórmula A si v(A) = 1
Una fórmula A se dice satisfacible si existe alguna valuación v que la
satisfaga, es decir para alguna valuación v, v(A) = 1. En caso contrario,
A es insatisfacible (contradicción).
Una valuación v satisface un conjunto de fórmulas G ˝ F m si v
satisface cada fórmula de G, es decir v(A) = 1 para toda fórmula A ˛ G
Un conjunto de fórmulas G son mutuamente satisfacibles, o
consistentes entre sí, si existe al menos una valuación v que satisface
cada fórmula de G, es decir v(A) = 1 para toda fórmula A ˛ G
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Lógica Proposicional: Semántica
Equivalencia Lógica:
Dos fórmulas A y B se dicen equivalentes, A ” B, sí y sólo sí para toda
valuación v, v(A) = v(B)
≡ es una relación de equivalencia en el conjunto de las fórmulas F m , es
decir cumple las propiedades:
• Reflexiva: A ” A
• Simétrica: Si A ” B entonces B ” A
• Transitiva: Si A ” B y B ” C entonces A ” C
Ejemplos:
• A fi B ” A B
• A A ” A fi A
• A ” A
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Lógica Proposicional: Semántica
Equivalencia Lógica: Lema
Sean A, B ˛ F m . Entonces A ” B sí y sólo sí v(A « B) = 1 para toda valuación v.
Demostración:
fi) Si A ” B entonces para cualquier valuación v, v(A) = v(B).
Por lo tanto v(A fi B) = v(A) fiv(A) = 1 y v(B fi A) = v(B) fiv(B) = 1
Entonces v(A « B) = v(A fi B) v(B fi A) = 1
‹) Sea v(A « B) = 1. Es decir, v(A fi B) = 1 y v(B fi A) = 1
Supongamos que A ” B, es decir existe v tal que v(A) „ v(B).
Se pueden dar dos casos:
v(A) = 1 y v(B) = 0 entonces v(A fi B) = 1 fi 0 = 0
v(A) = 0 y v(B) = 1 entonces v(B fi A) = 1 fi 0 = 0
En cualquier caso, se obtiene una contradicción.
Por lo tanto v(A) = v(B) y entonces A ” B
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Sustitución:
Lógica Proposicional: Semántica
Es una función e: F m fi F m que cumple con las siguientes propiedades para
todo A, B ˛ F m
• e( A) = e(A)
• e(A B) = e(A) e(B)
• e(A B) = e(A) e(B)
• e(A fi B) = e(A) fi e(B)
Teorema:
Dadas A, B ˛ F m tal que A ” B, y dada la sustitución e, entonces e(A) ” e(B)
Ejemplo:
Sea p fi q ” p q y sea e(p) = a b y e(q) = a c
Aplicando e
a b fi a c ” (a b) a c
(se reemplaza cada ocurrencia de la variable)
Definición:
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Lógica Proposicional: Semántica
Sea A ” B y X una fórmula donde A puede aparecer varias veces como
subfórmula. Si se reemplaza en X la subfórmula A por B (en todas o alguna
de sus ocurrencias) la fórmula Y obtenida es equivalente a X.
Ejemplo:
Sea X = (p fi q) fi ((p fi q) p) y la equivalencia p fi q ” p q
Reemplazando en X se obtiene la fórmula Y = ( p q) fi ((p fi q) p)
Se puede verificar que X ” Y
Sustitución vs. Reemplazo
La sustitución preserva la equivalencia entre las dos fórmulas porque se hace en toda
ocurrencia de la fórmula sustituida (no requiere que la fórmula sustituida sea equivalente a la
sustituyente)
El reemplazo preserva la equivalencia porque la fórmula sustituyente es equivalente a
la sustituida (no requiere realizarse en toda ocurrencia de la fórmula sustituida)
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