Regla de la Cadena y Ecuaciones Parametricas

CALCULO DIFERENCIAL
3.1. REGLA DE LA CADENA Y ECUACIONES
PARAMETRICAS.
Regla de la cadena
La regla para calcular la derivada de la composición de dos funciones establece que la
derivada de su composición es el producto de las derivadas. Este enunciado es conocido
como la regla de la cadena.
Ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de la recta y = 5x − 2 de manera que su
coordenada x en el tiempo t es x = 3 t
dy
. Calcular como función de t,
dt
Por lo tanto,
Nótese que:
y
y = 5 x − 2 = 5( 3 t ) − 2 = 15 t − 2
3.- Derivadas Algebraicas
dy d
= ( 15 t − 2 ) = 15
dt dt
dy
dx
dy
dt
dx
= 5 = 3
dt
= 3 × 5
=
dy dx
dx dt
En otras palabras la regla de la cadena define que si dos funciones son continuas, la
derivada de la composición de las dos funciones será el producto de sus derivadas.
Regla No.3.10
Regla de la Cadena
Suponiendo que h = g°
f es la composición de las
funciones diferenciables y = g(
x)
y x = f ( x)
.
Entonces, h es una función diferenciable de t cuya
derivada en cada valor de t es:
h ( t)
= g'
( f ( t))
× f '(
t)
La particularidad de esta formula es que establece la forma como se debe evaluar la
derivada, existen otras formulas para evaluar la derivada de la composición,

CALCULO DIFERENCIAL
Otra es,
3.- Derivadas Algebraicas
dy
dt
t
=
dy
dx
f ( t)
dx
dt
dy
=
dt
Demostración de la Regla de la Cadena
t
dy dx
dx dt
Si x =
Δ x
f (t)
es diferenciable en t0 entonces un incremento Δ t produce otro incremento
tal que:
x = f '( t ) Δt
+ ε Δt
= f ' t + ε Δ
[ ( ) ] t
Δ 0
1
0 1
y, si y = g(x)
es diferenciable en x = f ( t0
) entonces un incremento Δ x produce otro
incremento Δy tal que:
y = g'(
x ) Δx
+ ε Δx
= g'
x + ε Δ
[ ( ) ] x
Δ 0
2
0 2
Estas dos ecuaciones relacionan los incrementos Δ x y Δy
con sus aproximaciones de
la recta tangente, en estas ecuaciones 1 0 → ε . cuando 0 → Δt , y 2 0 → ε cuando
Δx → 0 .
Combinando estas dos ecuaciones se tiene:
[ g'
( x ) + ε ] Δx
= [ g'
( x ) + ε ] [ f '(
t ) + ε ] t
Δ 0 2
0 2 0 1
y =
Δ
Dividiendo todo por Δ t
Δy
= [ g'
( x0
) + ε 2 ] [ f '(
t0
) + ε1
]
Δt
Δy
= g'(
x0
) f '(
t0
) + ε 2 f '(
t0
) + ε1g
'(
x0
) + ε1ε
2
Δt
Cuando → 0
Ejemplo:
Hallar dy dt
Δt , también lo hacen 1 2 , , ε y ε x
Δ , y resulta:
Δy
Lim = g'
0 0
0 t
Δt→0
Δt
en 1
( x ) f '(
t ) = g'(
f ( t ) ) f '(
)
t = − , si: ( ) 3
g x y x 5x 4
= = + − , y ( ) 2
0
f t = x = t +
t

CALCULO DIFERENCIAL
Según la expresión :
Ejercicios :
3.- Derivadas Algebraicas
dy
dt
t
dy dx
= , se tiene:
dx dt
f ( t)
t
dy dy dx
= = 3 + 5 2 + 1 = 5 − 1 = − 5
2 ( x ) ( t ) ( )( )
0
t 1
dt x
t 1 dx x f ( 1) dt =
=−
= = − t=−1
= + 2 ( ) 100
3
y = x − 1
2
1 f ( x) x 1
3 ( ) ( ) 4
5
y = 2x + 1
3
x − x + 1 4 ( ) ( ) 3
4 2
y = 2x − 5 8x − 5
5
2
y = ( x + 1 ) 3 2
x + 2
6 ( ) 7
3
y = x + 4x
7
1
y = t −
t
9 s ( t)
=
4
t
t
3 2
3
3
+ 1
−1
Ecuaciones Paramétricas
8
y =
f z
10 ( ) 5
1
( ) 4
2
t − 2t − 5
=
1
2z − 1
P , de la
curva en función de x, frecuentemente es más conveniente expresar ambas coordenadas
en función de una tercera variable.
En lugar de escribir una curva expresando la coordenada y de un punto ( x y)
x = f (t)
y = g(t)
Esta ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones Paramétricas y la variable t
es conocida como el parámetro.
dy dy dx
=
dt dx dt
Expresión que también puede expresarse como:
dy
=
dt
dy dt
dx dt
Lo anterior implica resolver la derivada de cada una de las funciones con relación al
parámetro.
−

CALCULO DIFERENCIAL
d
dt
Ejemplo:
( g(
t))
3.- Derivadas Algebraicas
d
y ( h(
t))
dt
Dada la siguiente función definida por las ecuaciones paramétricas
determinar su derivada.
dx
1 2t
dt
dy
t
dt
dy
2
dy dt ( 1− 3t
)
= =
dx dx ( 1− 2t
)
dt
Derivadas segundas en forma Paramétrica:
Si se tiene que:
x = f (t)
y = g(
t)
= g(
h(
t))
= − Derivando a x
2
= 1− 3 Derivando a y
Por definición.
2
x = t − t y
3
y = t − t ,
Definen a y como una función de x dos veces diferenciable, entonces es posible calcular:
dy dy dt
= y'
=
dx dx dt
lo que permite definir la segunda derivada como:
2
d y dy´
dy´
dt
= =
2
dx dx dx dt
Esta ecuación permite expresar la segunda derivada de y con respecto a x
2
d y
2 como:
dx
Ejemplo:
1. Expresar y ´ =
dy
en función de t.
dx
2.
dy
Diferenciar respecto a t.
dx
3. Dividir el resultado por dx
dt
Continuando con el ejemplo anterior, la segunda derivada será:

CALCULO DIFERENCIAL
1. Expresar
3.- Derivadas Algebraicas
y′
=
2 ( 1− 3t
)
( 1− 2t
)
2. Derivar y′ con respecto a t:
dy′ d
=
dt dt
1− 3t 1− 2t 2
( 1− 2t )( −6t) −( 1− 3t )( −2)
2 − 6t + 6t
= =
2 2
1− 2t 1− 2t
2 2
3. Dividir el resultado por dx
dt
2
2 − 6 t + 6t
dy′
2
d y dt ( 1− 2 t ) 2 − 6 t + 6 t
= = =
2
3
dx dx ( 1− 2 t ) ( 1− 2 t
dt
)
2 2
Ejercicios Propuestos
1. Hallar dz , si
dx
2. Hallar dy dx si
( ) ( )
2 1
z w w −
= − y w = 3 x
y v v −
3. Hallar dr dt , si ( ) 1 2 r = s + 1 y
v = 3 x + 2
3 3
= 2 + 2 y ( ) 2 3
2
16 20
s = t − t
3
= 7 − 2 , y r = 1−
1
4. Hallar da , si a
db
r
b
5. Hallar dy , si 2 x − 3 y = 9 , y 2 x + t = 1
dt 3
6. Hallar dy , si y x 2
dt = + , y x = 2 , t 0
t
7. Hallar dy , si
dt
8. Hallar dy , si
dt
9. Hallar
2
d y
dx
2
4
y = x , y
x
y =
x
, si
2
2
+ 1
, y 2 1
2
x = t − t , y
3
x = t
x = t +
3
y = t −
t