Radicales
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
<strong>Radicales</strong><br />
Dra. Karen R. Ríos-Soto<br />
Departamento de Ciencias Matemáticas<br />
Universidad de Puerto Rico - Mayaguez<br />
AFAMaC, 6 de septiembre de 2010<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Outline<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
1 Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
2 Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
3 Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
4 Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
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Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
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Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
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Introducción<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación<br />
inversa, elevando un número a una potencia.<br />
El cuadrado de 5 es 5 2 = 25.<br />
El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25.<br />
El cuadrado de 1<br />
2 es <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25.<br />
La raíz cuadrada de 1 1<br />
4 es 2 , pues <br />
1 2 1<br />
2 = 4 .<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El<br />
símbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadrada<br />
positiva o principal de un número. Por ejemplo,<br />
√ 25 = 5<br />
El símbolo − √ es utilizado para la raíz cuadrada negativa.<br />
Por ejemplo,<br />
− √ 25 = −5.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El<br />
símbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadrada<br />
positiva o principal de un número. Por ejemplo,<br />
√ 25 = 5<br />
El símbolo − √ es utilizado para la raíz cuadrada negativa.<br />
Por ejemplo,<br />
− √ 25 = −5.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Outline<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
1 Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
2 Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
3 Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
4 Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Raíz Cuadrada<br />
Definition<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
La raíz cuadrada positiva o principal de un número positivo a<br />
se escribe como √ a. El negativo de la raíz cuadrada de a se<br />
escribe − √ a.<br />
√ a = b solo si b 2 = a y b > 0<br />
Además, la raíz cuadrada de 0, se escribe √ 0, es 0.<br />
El símbolo √ es llamado el radical o el signo de radical. La<br />
expresión dentro del radical es llamada el radicando. Una<br />
expresión que contiene un radical es llamada un expresión<br />
radical.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Raices Cuadradas Irracionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?<br />
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es<br />
−4?<br />
NO<br />
Por ende, √ −4 no es un número real.<br />
Definition<br />
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.<br />
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4<br />
25 son cuadrados perfectos.<br />
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un<br />
número racional.<br />
Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.<br />
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Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Halle cada raíz cuadrada.<br />
a. √ 36<br />
b. − √ 5<br />
c.<br />
9<br />
100<br />
d. − √ 64<br />
e. √ 0<br />
f. √ −25<br />
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Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Outline<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
1 Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
2 Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
3 Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
4 Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
<strong>Radicales</strong> con Varibles<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que<br />
aparecen en el radicando de una expresión radical,<br />
representan sólo números positivos.<br />
y 2 = y pues (y) 2 = y 2 .<br />
√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 .<br />
√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 .<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
<strong>Radicales</strong> con Varibles<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que<br />
aparecen en el radicando de una expresión radical,<br />
representan sólo números positivos.<br />
y 2 = y pues (y) 2 = y 2 .<br />
√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 .<br />
√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 .<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
<strong>Radicales</strong> con Varibles<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que<br />
aparecen en el radicando de una expresión radical,<br />
representan sólo números positivos.<br />
y 2 = y pues (y) 2 = y 2 .<br />
√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 .<br />
√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 .<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 2<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable<br />
representa un número positivo.<br />
a. √ x 2<br />
b. √ x 6<br />
c. 16y 6<br />
d. −<br />
<br />
y 4<br />
25<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 2<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable<br />
representa un número positivo.<br />
a. √ x 2<br />
b. √ x 6<br />
c. 16y 6<br />
d. −<br />
<br />
y 4<br />
25<br />
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Ejemplo 2<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable<br />
representa un número positivo.<br />
a. √ x 2<br />
b. √ x 6<br />
c. 16y 6<br />
d. −<br />
<br />
y 4<br />
25<br />
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Ejemplo 2<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable<br />
representa un número positivo.<br />
a. √ x 2<br />
b. √ x 6<br />
c. 16y 6<br />
d. −<br />
<br />
y 4<br />
25<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Otras Raices<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.<br />
Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.<br />
En símbolos escribimos:<br />
3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.<br />
3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27.<br />
3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64.<br />
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número<br />
negativo.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es<br />
un número natural.<br />
En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribe<br />
como n√ a.<br />
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es<br />
un número natural.<br />
En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribe<br />
como n√ a.<br />
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es<br />
un número natural.<br />
En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribe<br />
como n√ a.<br />
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.<br />
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Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Simplifica las siguientes expresiones.<br />
a.<br />
3√<br />
−27<br />
b.<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
<br />
3 1<br />
125<br />
4√<br />
16<br />
5√<br />
−32<br />
3√ −8<br />
4√ 81<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices
Outline<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
1 Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
2 Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
3 Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
4 Exponentes Racionales<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no<br />
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).<br />
Por ejemplo, √ 20 no está simplificado por que<br />
√ 20 = √ 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.<br />
Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12.<br />
Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no<br />
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).<br />
Por ejemplo, √ 20 no está simplificado por que<br />
√ 20 = √ 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.<br />
Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12.<br />
Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no<br />
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).<br />
Por ejemplo, √ 20 no está simplificado por que<br />
√ 20 = √ 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.<br />
Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12.<br />
Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no<br />
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).<br />
Por ejemplo, √ 20 no está simplificado por que<br />
√ 20 = √ 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.<br />
Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12.<br />
Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Regla del Producto y Cociente para <strong>Radicales</strong><br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales, entonces<br />
Definition<br />
n√ a · b = n √ a · n√ b.<br />
Si n√ a y n√ b son números reales y b = 0, entonces<br />
<br />
n a<br />
b =<br />
n√<br />
a<br />
n√ .<br />
b<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Regla del Producto y Cociente para <strong>Radicales</strong><br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales, entonces<br />
Definition<br />
n√ a · b = n √ a · n√ b.<br />
Si n√ a y n√ b son números reales y b = 0, entonces<br />
<br />
n a<br />
b =<br />
n√<br />
a<br />
n√ .<br />
b<br />
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Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Ejemplo 4<br />
Simplifica.<br />
a. √ 54<br />
b. √ 35<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
f.<br />
3<br />
64<br />
3√ 54<br />
3√ 18<br />
<br />
4 3<br />
16<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables
Outline<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
1 Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Definición de Raíz Cuadrada<br />
<strong>Radicales</strong> con Variables y Enésimas Raices<br />
2 Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
3 Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
4 Exponentes Racionales<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 5<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Simplifica. Asumir que las variables representan números<br />
positivos.<br />
a. √ x 5<br />
b. 8y 2<br />
c.<br />
45<br />
x 6<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 5<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Simplifica. Asumir que las variables representan números<br />
positivos.<br />
a. √ x 5<br />
b. 8y 2<br />
c.<br />
45<br />
x 6<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 5<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Regla del Producto y Cociente para Simplificar <strong>Radicales</strong><br />
Simplificación de <strong>Radicales</strong> con Variables<br />
Simplifica. Asumir que las variables representan números<br />
positivos.<br />
a. √ x 5<br />
b. 8y 2<br />
c.<br />
45<br />
x 6<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Suma y Resta de <strong>Radicales</strong><br />
La suma y resta de radicales sólo se puede hacer cuando los<br />
radicales son similares.<br />
Definition<br />
<strong>Radicales</strong> similares son expresiones radicales que tienen el<br />
mismo índice y el mismo radicando.<br />
Por ejemplo, 5 √ 3 + 2 √ 3 se puede simplificar pero 4 √ 7 + 4 3√ 7<br />
no.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 6<br />
Simplifica.<br />
a. √ 10 − 6 √ 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7<br />
c. √ 50 + √ 8<br />
d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 6<br />
Simplifica.<br />
a. √ 10 − 6 √ 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7<br />
c. √ 50 + √ 8<br />
d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 6<br />
Simplifica.<br />
a. √ 10 − 6 √ 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7<br />
c. √ 50 + √ 8<br />
d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 6<br />
Simplifica.<br />
a. √ 10 − 6 √ 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7<br />
c. √ 50 + √ 8<br />
d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Multiplicando y Diviendo <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto para <strong>Radicales</strong>:<br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales, entonces<br />
n√ a · n √ b = n√ a · b.<br />
Regla del Cociente para <strong>Radicales</strong>:<br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales y b = 0, entonces<br />
n√<br />
a<br />
n√ =<br />
b n<br />
<br />
a<br />
b<br />
siempre que b = 0.<br />
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Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Multiplicando y Diviendo <strong>Radicales</strong><br />
Regla del Producto para <strong>Radicales</strong>:<br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales, entonces<br />
n√ a · n √ b = n√ a · b.<br />
Regla del Cociente para <strong>Radicales</strong>:<br />
Definition<br />
Si n√ a y n√ b son números reales y b = 0, entonces<br />
n√<br />
a<br />
n√ =<br />
b n<br />
<br />
a<br />
b<br />
siempre que b = 0.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 7<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
A. Multiplica y simplifica de ser posible.<br />
a. √ 3 · √ 15<br />
3√ 3<br />
b. 4 · √ 18<br />
B. Halle el producto y simplifique.<br />
a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2)<br />
b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7)<br />
C. Divida y simplifique de ser posible.<br />
a.<br />
b.<br />
√ 100<br />
√ 10<br />
√ 12x 3<br />
√ 3x<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizando<br />
Para eliminar el radical del denominador en una expresión<br />
radical, multiplicamos tanto el denominador como el<br />
numerador por el mismo número diferente de cero.<br />
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.<br />
Por ejemplo, en<br />
numerador por √ 2.<br />
√ 5<br />
√ 2 =<br />
√ 5· √ 2<br />
√ 2· √ 2 =<br />
√ 5<br />
√ 2 multiplicamos el denominador y el<br />
√ 10<br />
2<br />
Este proceso se conoce como racionalización.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizando<br />
Para eliminar el radical del denominador en una expresión<br />
radical, multiplicamos tanto el denominador como el<br />
numerador por el mismo número diferente de cero.<br />
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.<br />
Por ejemplo, en<br />
numerador por √ 2.<br />
√ 5<br />
√ 2 =<br />
√ 5· √ 2<br />
√ 2· √ 2 =<br />
√ 5<br />
√ 2 multiplicamos el denominador y el<br />
√ 10<br />
2<br />
Este proceso se conoce como racionalización.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizando<br />
Para eliminar el radical del denominador en una expresión<br />
radical, multiplicamos tanto el denominador como el<br />
numerador por el mismo número diferente de cero.<br />
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.<br />
Por ejemplo, en<br />
numerador por √ 2.<br />
√ 5<br />
√ 2 =<br />
√ 5· √ 2<br />
√ 2· √ 2 =<br />
√ 5<br />
√ 2 multiplicamos el denominador y el<br />
√ 10<br />
2<br />
Este proceso se conoce como racionalización.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizando<br />
Para eliminar el radical del denominador en una expresión<br />
radical, multiplicamos tanto el denominador como el<br />
numerador por el mismo número diferente de cero.<br />
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.<br />
Por ejemplo, en<br />
numerador por √ 2.<br />
√ 5<br />
√ 2 =<br />
√ 5· √ 2<br />
√ 2· √ 2 =<br />
√ 5<br />
√ 2 multiplicamos el denominador y el<br />
√ 10<br />
2<br />
Este proceso se conoce como racionalización.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizando<br />
Para eliminar el radical del denominador en una expresión<br />
radical, multiplicamos tanto el denominador como el<br />
numerador por el mismo número diferente de cero.<br />
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.<br />
Por ejemplo, en<br />
numerador por √ 2.<br />
√ 5<br />
√ 2 =<br />
√ 5· √ 2<br />
√ 2· √ 2 =<br />
√ 5<br />
√ 2 multiplicamos el denominador y el<br />
√ 10<br />
2<br />
Este proceso se conoce como racionalización.<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta<br />
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el<br />
denominador por el conjugado del denominador.<br />
El conjugado de un número a + √ b es a − √ b.<br />
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es<br />
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 .<br />
Por ejemplo,<br />
2<br />
4 + √ 3 =<br />
2(4 − √ 3)<br />
(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3)<br />
13<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta<br />
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el<br />
denominador por el conjugado del denominador.<br />
El conjugado de un número a + √ b es a − √ b.<br />
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es<br />
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 .<br />
Por ejemplo,<br />
2<br />
4 + √ 3 =<br />
2(4 − √ 3)<br />
(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3)<br />
13<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta<br />
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el<br />
denominador por el conjugado del denominador.<br />
El conjugado de un número a + √ b es a − √ b.<br />
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es<br />
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 .<br />
Por ejemplo,<br />
2<br />
4 + √ 3 =<br />
2(4 − √ 3)<br />
(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3)<br />
13<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta<br />
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el<br />
denominador por el conjugado del denominador.<br />
El conjugado de un número a + √ b es a − √ b.<br />
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es<br />
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 .<br />
Por ejemplo,<br />
2<br />
4 + √ 3 =<br />
2(4 − √ 3)<br />
(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3)<br />
13<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 8<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizar el denominador.<br />
2 a. √7<br />
<br />
1 b. 18x<br />
3√<br />
7<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
3√ 3<br />
√<br />
√5+4 5−1<br />
√<br />
√ 7√<br />
8+ 2<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 8<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizar el denominador.<br />
2 a. √7<br />
<br />
1 b. 18x<br />
3√<br />
7<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
3√ 3<br />
√<br />
√5+4 5−1<br />
√<br />
√ 7√<br />
8+ 2<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 8<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizar el denominador.<br />
2 a. √7<br />
<br />
1 b. 18x<br />
3√<br />
7<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
3√ 3<br />
√<br />
√5+4 5−1<br />
√<br />
√ 7√<br />
8+ 2<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 8<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizar el denominador.<br />
2 a. √7<br />
<br />
1 b. 18x<br />
3√<br />
7<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
3√ 3<br />
√<br />
√5+4 5−1<br />
√<br />
√ 7√<br />
8+ 2<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 8<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Racionalizar el denominador.<br />
2 a. √7<br />
<br />
1 b. 18x<br />
3√<br />
7<br />
c.<br />
d.<br />
e.<br />
3√ 3<br />
√<br />
√5+4 5−1<br />
√<br />
√ 7√<br />
8+ 2<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Exponentes Racionales<br />
La raíz cuadrada de un número a se puede expresar como √ a<br />
y en forma exponencial como a 1/2 .<br />
Definition<br />
Si n es un entero positivo y n√ a es un número real, entonces<br />
a 1/n = n√ a.<br />
En general, si m y n son números enteros con n > 0 y si a es<br />
un número positivo, entonces<br />
a m/n = (a 1/n ) m = ( n√ a) m<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 9<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe en forma radical y después simplifica.<br />
a. 25 1/2<br />
b. −16 1/4<br />
c. 4 3/2<br />
d. (−9) 2/3<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 9<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe en forma radical y después simplifica.<br />
a. 25 1/2<br />
b. −16 1/4<br />
c. 4 3/2<br />
d. (−9) 2/3<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 9<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe en forma radical y después simplifica.<br />
a. 25 1/2<br />
b. −16 1/4<br />
c. 4 3/2<br />
d. (−9) 2/3<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 9<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe en forma radical y después simplifica.<br />
a. 25 1/2<br />
b. −16 1/4<br />
c. 4 3/2<br />
d. (−9) 2/3<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Si el exponente es un número racional negativo utilizar la<br />
siguiente definición.<br />
Definition<br />
Si a −m/n es un número real diferente de cero, entonces<br />
a −m/n = 1<br />
.<br />
am/n Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>
Ejemplo 10<br />
Introducción a <strong>Radicales</strong><br />
Simplificando <strong>Radicales</strong><br />
Operaciones de <strong>Radicales</strong><br />
Exponentes Racionales<br />
Escribe cada expresión como un exponente positivo y<br />
entonces simplifica.<br />
a. (36) −1/2<br />
b. (16) −3/4<br />
c. 51/3<br />
5 2/3<br />
d. (x 1/4 ) 12<br />
x c. 1/5<br />
x −4/5<br />
<br />
y 3/5 2<br />
d.<br />
z 1/4<br />
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC <strong>Radicales</strong>