Tarea 6 (pdf)

Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile
FIZ–0313: Métodos Matemáticos de la Física II
Curso: R. Benguria, Primer Semestre 2012
Tarea # 6
Fecha de Entrega: Viernes 4 de Mayo de 2012.
Indicación: Resuelva los problemas: 1, 4, 5, 6, y 7.
Problema 1. Encuentre las frecuencias propias de una membrana rectangular de lados a y b con
condiciones de borde de Dirichlet en x = 0 y x = a y condiciones de borde de Neumann en y = 0 e y = b
(i.e., u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, y uy(x, 0, t) = uy(x, b, t) = 0). Encuentre también los correspondientes
modos normales.
Problema 2. Considere la función Θ de Riemann,
∞
Θ(x) =
n=−∞
e −πn2 x
Vimos en clases que la función Θ de Riemann satisface la relación funcional,
Θ(x) = 1
√ x Θ( 1
x ).
y de ahí concluir que Θ(x) ≈ 1/ √ x para valores pequeños de x. Uno puede demostrar fácilmente que las
correcciones son exponenciales. Defina ahora la función partición para una membrana cualquiera Ω en el
plano como
∞
Z(t) = exp −λit,
i=1
en que t > 0 y la suma se extiende sobre todos los valores propios de la membrana. Considere una
membrana rectangular de lados a y b, y borde fijo. Demuestre que para t pequeño
(1) Z(t) ≈ A L
−
4πt 8 √ 1
+
πt 4 ,
en que A es el área de la membrana y L es su perímetro. Nota: exprese la función partición de la
membrana rectangular en términos de la función Θ, y utilice el comportamiento de Θ para x pequeño.
Se puede demostrar que los dos primeros términos de la expansión (1) son válidos para una membrana
cualquiera. Así, es posible escuchar el área y el perímetro de una membrana (ver M. Kac, Can one hear
the shape of a drum?, American Mathematical Monthly, 73 1-23(1966)).
Problema 3. Encuentre las frecuencias propias de una membrana que tiene la forma de un triángulo recto
isósceles de cateto a, y condiciones de borde de Dirichlet. Para ello, considere primero una membrana
cuadrada de lado a. Observe que λn,m = λn,m en este caso. Por lo tanto, para la membrana cuadrada,
cada autovalor con m = n es degenerado con degeneración 2. Si llamamos φn,m(x, y), al modo normal
correspondiente al valor propio λn,m tenemos también que φn,m(x, y) − φm,n(x, y) también lo es, y se
puede ver que esta combinación se anula justo en la diagonal y = x. Use este hecho para calcular las
frecuencias propias pedidas.
1

2
Problema 4. Considere una membrana que cubre el triángulo equilatero 0 < y < x √ √ 3, 0 < y <
3(L − x). Sean d1 (= y), d2 (= 1
2 (x√3 − y)) y d3 (= 1
2 (√3(L − x) − y)), las distancias de un punto
(x, y) en el interior del triángulo a cada uno de los lados. Para n = 1, 2 . . . .., sea
un(x, y, t) = sen 4πnd1
L √ + sen4πnd2
3 L √ + sen4πnd3
3 L √
cos ωt.
3
Muestre que un satisface la ecuación de onda en la membrana, con condiciones de borde de Dirichlet,
siempre que ω sea escogido apropiadamente. (Nota: Para verificar las condiciones de borde Ud. puede
utilizar que d1 + d2 + d3 = L √ 3/2). (Desafío: encuentre las líneas nodales correspondientes a u2 y
dibujelas).
Problema 5. Función generatriz para las funciones de Bessel. Expandiendo en series apropiadamente
las funciones e xt/2 y e −x/2t , demuestre que
ψ(x, t) = e x(t−1/t)/2 =
∞
n=−∞
t n Jn(x),
es la función generatriz de las funciones de Bessel. Aquí, J−n(x) ≡ (−1) nJn(x). Utilice luego la función
generatriz para demostrar que
Jn(x) = 1
π
cos(nθ − xsenθ) dθ,
π 0
que se conoce como la Integral de Bessel para Jn(x). Finalmente use esta última representación integral
para Jn para demostrar que |Jn(x)| ≤ 1.
Problema 6. A partir de la función generatriz de las funciones de Bessel demuestre la relación de
recurrencia:
J ′ m(x) = 1
2 [Jm−1(x) − Jm+1(x)],
para m = 1, 2, . . . .
Problema 7. Demuestre las relaciones de subida y bajada para funciones de Bessel, i.e.,
d
dx [xm Jm(x)] = x m Jm−1(x),
para m = 1, 2, . . . y
d
dx [x−m Jm(x)] = −x −m Jm+1(x),
para m = 0, 1, 2, . . .
Problema 8. a) Considere la ecuación de Bessel modificada,
y ′′ + 1
x y′ − (1 + n2
)y = 0.
x2 Repitiendo el método empleado en clases, encuentre el desarrollo en serie de una solución no trivial de
esta ecuación. b) Obtenga el gráfico de esta solución usando MAPLE, truncando la serie (digamos a 20
términos). O si prefiere use las funciones de MAPLE BesselI(n, x).
REFERENCIAS:
1. Richard Courant y David Hilbert, Methods of Mathematical Physics, volume 1, Interscience, NY, 1953.
Notas históricas:

Mark Kac nació en Krzemieniec, Polonia (hoy parte de Ucrania) el 3 de Agosto de 1914 (calendario juliano).
Estudió en la Universidad Jan Casimir, en Lvov (hoy Ucrania). Su tutor fue Hugo Steinhaus. Obtuvo su doctorado
en 1938. Emigró a EE.UU. en 1938. Fue instructor y luego profesor en la Universidad de Cornell entre 1939 y
1961. Luego fue profesor en la Universidad de Rockefeller en Nueva York hasta 1980. Finalmente fue profesor
en la Universidad de Southern California en Los Angeles. Murió el 25 de Octubre de 1984. Hizó numerosas
contribuciones en Probabilidades, Mecánica Estadística, Teoría de Números, etc. Entre muchas cosas es conocido
en física por la formula de “Feynman–Kac” en el método de cuantización usando intregrales de camino. Para
muchos, Mark Kac es recordado por su artículo clásico Can one hear the shape of a drum? al que se hace referencia
en el Problema 30. (ver http://www-groups.des.st-andrews.ac.uk/ history/Mathematicians/Kac.html).
Gabriel Lamé nació en Tours el 22 de Julio de 1795. Estudió en L’Ecole Polytechnique entre 1813 y 1817 y
luego ingeniería en L’Ecole de Mines, donde se graduó en 1820. Entre 1820 y 1832 fue profesor e ingeniero en el
Cuerpo de Ingenieros de Vías de Comunicación en San Petersburgo. En 1832 ocupó la cátedra de física en l?ecole
Polytecnique. Además de su trabajo en investigación y enseñanza, participó en diversos trabajos de ingeniería,
entre ellos la construcción del ferrocarril de París a Versalles y de París a St. Germain. En 1843 fue elegido miembro
de la Academia de Ciencias de París. A partir de 1851 ocupó la cátedra de física matemática y probabilidades
en la Sorbonne. Motivado por sus trabajos de ingeniería estructural, hizo importantes contribuciones a la Teoría
de la Elasticidad (dos constantes elásticas llevan su nombre). Trabajó también en teoría de números (resolvió el
caso n = 7 del Teorema de Fermat). También hizo importantes contribuciones en geometría diferencial. Murió
el primero de mayo de 1870 en París. Lamé encontró las frecuencias propias de una membrana triangular. Su
solución aparece en Leçons sur la théorie mathématique de lélasticité des corps solides, Paris, Bachelier, 1852.
(ver http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/ history/Mathematicians/Lame.html).
c○R. Benguria, Santiago de Chile, 26 de Abril de 2012.
3