Tema 1 Intro y Tensor de Esfuerzos - Centro de Geociencias ::.. UNAM

El Tensor de los Esfuerzos
y
los esfuerzos principales

Existen dos tipos principales de fuerzas en un contínuo:
1. Fuerzas de cuerpo. Actúan en cualquier parte del cuerpo y son
proporcionales al volúmen o a la masa.
2. Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está
afuera del volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son
proporcionales a cada elemento de superficie

El concepto de
Tracción
F = fuerza ejercida por el
material que se encuentra
afuera de V
n = normal al elemento de
superficie dS

La tracción sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. de
área) con la que las partículas de un lado de una superficie actúan en
las partículas del otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente
es paralela a n
La tracción se define entonces como:
Notar que la tracción tiene la misma
orientación que la Fuerza y es función de
la normal que define la superficie

Ahora consideremos estos
casos
O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto
dependiendo del plano de interacción.
En general tenemos un número infinito de tracciones una para cada
posibilidad de plano. Entonces ¿qué hacemos?
Necesitamos un mecanismo que nos permita obtener la tracción para
cualquier orientación de plano

Tracciones en las caras de un paralelepípedo orientado con los ejes coordenados.
T
(i)
j ;
i = normal al plano donde actúa T; j = componente de T
es el vector tracción actuando en la superficie cuya normal es positiva en la dirección ê j
El tensor de esfuerzos σ ji
Las filas del tensor son los tres vectores de tracción.
El esfuerzo entonces es la fuerza por unidad de área que el material afuera (hacia adonde apunta ň) de la superficie
ejerce en el material adentro.

Tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con los ejes coordenados.
La tracción no necesariamente
es perpendicular (ortogonal) al
plano en que actúa.
Por medio del balance de tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las
direcciones de los ejes coordenados podemos encontrar la tracción en un plano con una inclinación arbitraria.
Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la tracción en la cara inclinada.

El Tensor de esfuerzos está definido como:
Tener cuidado con la notación en los textos,
T (1) ≠ T 1
El tensor de esfuerzos es simétrico:
σ ij = σ ji

El Tensor de esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie dentro del medio
que nos interesa.
Por ejemplo, los componentes de la Tracción en un elemento arbitrario de superficie dS cuya
normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando los elementos
correspondientes del tensor de esfuerzos por los cosenos directores de la normal al área donde
actúa y sumando el resultado.
Esto nos da cada componente de T , i = 1…3
Notar que es la transpuesta de σ ij,
pero como es simétrico, no
importa

Esfuerzos normales:
σ 11 , σ 22 , σ 33
Esfuerzos de corte o cizalla:
σ 12 , σ 21 , σ 13 , σ 31 , σ 23 , σ 32 o también τ 12 , τ 21 , τ 13 , τ 31 , τ 23 , τ 32

Sobre la convención de signos en los
componentes del tensor de esfuerzos
Esfuerzos normales:
Los que producen tensión
son positivos.
Esfuerzos de corte:
Si pensamos en un
elemento cúbico, la
dirección positiva de los
esfuerzos de corte
corresponde a la dirección
positiva del eje si el
esfuerzo de tensión que
actúa en la cara está en la
dirección positiva del eje
coordenado (cara
positiva). Si el esfuerzo de
tensión tiene una
dirección opuesta a la
dirección positiva del eje
coordenado entonces la
dirección positiva del
esfuerzo de corte es
opuesta.

Sobre la convención de signos en los
componentes del tensor de esfuerzos
NOTA:
En el caso del círculo de
Mohr la convención puede
ser diferente.
La dirección positiva de
los esfuerzos de corte
corresponde a aquellos
esfuerzos que tienden a
crear una rotación en el
sentido de las manecillas
del reloj.

Simetrías por las cuales podemos no tomar en cuenta todos los componentes.
El torque de este par
¡ Pero todas estas tracciones
son positivas !
Queda contrarrestado por el torque
de este par

Siguiendo la convención
de signos los esfuerzos de
corte positivos en las caras
visibles del cubo de la
figura coinciden con la
dirección de los ejes
coordenados. Pero en las
caras ocultas estarían al
revés.
El equilibrio de momentos
(torques) se usa para
reducir el número de
componentes
independientes del
esfuerzo, de manera que
sólo nos quedan 6.

Trataremos ahora de ver cómo podemos manipular estas ecuaciones.
En algunos casos lo que vamos a requerir es el esfuerzo normal y el de cizalla en un plano
dado, conociendo el tensor de esfuerzos.
Ecuación de Cauchy, componentes del vector tracción

De manera que
La tracción (esfuerzo) normal al plano de interés está dada por la proyección del
vector tracción a la normal al plano (es decir el producto punto):
Lo que nos resulta en:

Expandiendo y considerando la simetría del tensor de esfuerzos:
El esfuerzo de corte sobre el plano se puede encontrar simplemente por trigonometría :
Lo que resulta en:

Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado
en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro
sistema coordenado por medio de la transformación:
De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la
transformación matricial:

Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x 1 y x 2 sometido a
sólo esfuerzos normales σ 1 y σ 2 , de forma que el tensor es diagonal:
Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que
Por ejemplo, si σ 1 = 1 y σ 2 = -1 y θ = 45°:

Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos
normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte:
Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema de ejes coordenados,
45˚ en este caso.

Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema
de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales (¡eliminamos los esfuerzos de corte!).
A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama
ejes de esfuerzos principales.
Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra vectorial
(búsqueda de valores y vectores principales).
Para este caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales de las caras
definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos, esto lo podemos expresar como:
(Fijarse que sólo varían por un factor de escala):

Esta ecuación se puede re-escribir como:
σ
n − λn
=
ij j i
0
Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que los
valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea igualado a cero
(esto nos va a dar la ecuación normal que define los valores característicos):

Las componentes de n son los vectores principales del tensor de esfuerzos
(ejes de esfuerzos principales) y los valores λ , asociados a cada eje, nos dan
las magnitudes de los esfuerzos principales. La ecuación (determinante
igualado a cero) para encontrar estos valores puede escribirse como:
donde las I´s son los llamados “invariantes” del tensor de esfuerzos. Se llaman
así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

Los Invariantes están definidos por:

Los esfuerzos principales
tienen una magnitud dada
por los valores
principales y se pueden
encontrar las tres
superficies
perpendiculares en las
cuales NO HAY
ESFUERZOS DE CORTE.
En el nuevo sistema el
estado de esfuerzos queda
definido como
= 0

Ejercicio:
Si los invariantes están dados por:
¿Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?

Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe el
máximo esfuerzo de corte (problema de máximos y mínimos entre el
esfuerzo de corte contra el ángulo del plano). Para dicho plano el valor
del esfuerzo máximo de corte (notar que no depende de σ 2 ) es:
Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º
de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las
direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son
(1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte serían:
Es decir, los cosenos directores de un plano a 45º de i y j, siendo i y j las
direcciones de los esfuerzos principales.

Sin embargo, debido a la cohesión de
los materiales geológicos, la ruptura
ocurre generalmente a planos más
cercanos a las dirección del eje σ 1 .
Aproximadamente a 25º
La fractura ocurriría aquí

El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano
de máximo esfuerzo de corte es a 45º de los esf principales.
Falla normal
Falla inversa
Vista de lado
Vista de planta
Falla de rumbo

Definimos el Esfuerzo Promedio como:
Y el Esfuerzo desviador o deviatórico:
Condición Litostática:

Para una prueba triaxial de
laboratorio tendríamos
⎡σ
1
0 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢
0 σ
3
0
⎥
⎢⎣
0 0 σ ⎥
3 ⎦
Por lo que el esfuerzo desviador nos queda:
⎡ σ1 + 2σ
3
⎤ ⎡ 2 ⎤
⎢σ
1
−
0 0 0 0
3
⎥ ⎢−
3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ1 + 2σ
3
1
0 σ
3
− 0
⎥
= ( σ1 −σ
3)
⎢
0 − 0
⎥
⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ1 + 2σ
3
1
0 0 σ
3
− ⎥ ⎢ 0 0 − ⎥
⎢⎣
3 ⎥⎦
⎢⎣
3⎥⎦
Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ 1
– σ 3 como parámetro de esfuerzo

• Al esfuerzo deviatórico (o desviador) también se le pueden obtener sus
valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma
orientación que los del tensor original
• Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso de la columna de roca)
recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kPa = 1 bar (por ejemplo
una llanta se infla a ~ 200 kPa que son 2 bar).
Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos:
P = - ρ g z = -(3 x 10 3 kg m -3 )(9.80 m seg -2 )(3 x 10 3 m) ≈ -90 x 10 6 Pa
= -90 MPa ( o sea 0.9 kbar)
O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar de presión

Ejercicio. Correr las rutinas de matlab tomadas del libro de
Pollard y Fletcher (cap.6). :
• stresshole.m (cálculo de esfuerzos alrededor de un agujero
circular) y
• stressdisk.m (cálculo de esfuerzos en un disco de cierto
grosor cargado en las orillas por tracciones compresivas
puntuales)
y analizar las ecuaciones utilizadas.