Cap´ıtulo 6 Ampliación sobre endomorfismos

CAPÍTULO 6. AMPLIACIÓN SOBRE ENDOMORFISMOS 183
⎡
1 −2
⎤
−2
Ejemplo 6.3 Dada la matriz A = ⎣ 1 4 1 ⎦, comprueba que no es diagonalizable y
1 1 4
obtén las matrices P y J, forma canónica de Jordan, tales que A = P JP −1 .
En primer lugar determinamos los autovalores, obteniendo λ = 3 triple.
Seguidamente obtenemos V 3 = Ker(A − 3I), resolviendo el sistema lineal (A − 3I)⃗x = ⃗0.
⎡
⎤
−2 −2 −2 | 0
⎣ 1 1 1 | 0 ⎦ El resultado es V 3 = {x + y + z = 0} =< (1, −1, 0), (0, 1, −1) >
1 1 1 | 0
Al ser dim V 3 menor que la multiplicidad algebraica 3 tenemos que A no es diagonalizable,
pero como todas las raíces de p(λ) son reales sí podemos obtener la forma canónica de
Jordan, con una base que incluya además de dos autovectores, un autovector generalizado.
Obtenemos en primer lugar Ker(A − 3I) 2 .
⎡
0 0
⎤
0
(A − 3I) 2 = ⎣ 0 0 0 ⎦, por tanto Ker(A − 3I) 2 = IR 3
0 0 0
Denotando A−3I como el endomorfismo g, ahora hemos de obtener la cadena de vectores:
⃗w perteneciente a Kerg 2 pero no a Kerg
g( ⃗w) = ⃗z. Está garantizado que pertenece a Kerg
⃗w = (1, 0, 0)
g( ⃗w) = ⃗z = (−2, 1, 1) ⇒ f( ⃗w) − 3 ⃗w = ⃗z, por tanto f( ⃗w) = 3 ⃗w + ⃗z
f(⃗z) = 3⃗z, pues ⃗z es autovector
f( ⃗z1) = 3 ⃗z1, con ⃗z 1 = (1, −1, 0) que es autovector y l.i. de ⃗z.
A = P JP −1
⎡
1 −2
⎤
−2
⎡
⎣ 1 4 1 ⎦ = ⎣
1 1 4
1 1
⎤ ⎡
−2 3 0
⎤ ⎡
0
−1 0 1 ⎦ ⎣ 0 3 0 ⎦ ⎣
0 0 1 0 1 3
1 1
⎤
−2
−1 0 1 ⎦
0 0 1
La matriz J está constituida por dos cajas de Jordan completas, una de tamaño 2 × 2 y
otra de tamaño 1 × 1.
⎡
⎤
3 | 0 0
⎢ − − −
⎥
⎣ 0 | 3 0 ⎦
0 | 1 3
−1