La elipse - Ejercicios de física y matemática

Elipse
2 2
x y
Ecuación simétrica de una elipse con centro en el origen: + = 1
2 2
a b
2
2
(x − h) (y − k)
Ecuación simétrica de una elipse con centro en el punto (h, k): + = 1
2
2
a b
c
Excentricidad de una elipse: ε = . Siendo c la distancia entre el centro de la elipse y
a
uno de los focos, y a su semieje mayor.
Ejercicios:
1.- Hallar los elementos de la elipse cuyos focos son F 1 (-3, 0) y F 2 (3, 0) y su eje
mayor mide 10, y su ecuación simétrica. Hay que hallar: semiejes mayor y menor,
vértices y su excentricidad.
2.- Hallar los focos, vértices, semiejes y excentricidad de la elipse de ecuación
2 2
x y
+ = 1.
4 9
3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro está en el punto (4, 2), uno de sus
vértices está en el punto (9, 2) y uno de sus focos está en el punto (7, 2).
2
2
(x − 6) (y + 4)
4.- Dada la elipse de ecuación + = 1, hallar sus semiejes, sus
36 16
vértices, sus focos, su centro y su excentricidad.
5.- Sea la elipse de ecuación general x 2 + 2y 2 – 2x + 8y + 5 = 0. Hallar sus focos,
sus semiejes, su centro, su excentricidad y escriba su forma simétrica. Haga
una representación gráfica de ella.
6.- Lo mismo de lo anterior para la elipse de ecuación 25x 2 + 9y 2 – 18y – 216 = 0
7.- Escriba la ecuación general de la elipse cuyos semiejes son a = 2 3 y b = 2, y
que: i) su centro está en el origen, ii) su centro está en el punto (3, -1).
8.- Hallar las coordenadas de los focos, los vértices y la excentricidad de las
elipses: i) x 2 + 4y 2 = 16, ii) 3x 2 + 2y 2 = 6.
9.- Hallar las coordenadas de los focos, del centro, de los vértices y la excentricidad
de las elipses: i) x 2 + 2y 2 – 2x + 8y + 5 = 0, ii) 3x 2 + y 2 – 24x + 39 = 0.
10.- Encuentre la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen, cuyos focos son
7
los puntos ( 7 , 0) y (- 7 , 0) y su excentricidad es . (9x 2 + 16y 2 = 144)
4
11.- Hallar la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen, su semieje menor
11
mide 5, en el eje X, y su excentricidad es . (4x 2 + 16y 2 = 64)
6
12.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro está en el origen, sus focos están en los
puntos (0, 4) y (0, -4) y sus vértices están en los puntos (0, 5) y (0, -5). (25x 2 + 9y 2
= 225)
13.- Escriba la ecuación simétrica para cada una de las siguientes elipses:
i) 5x 2 – 110x + 4y 2 + 425 = 0
ii) x 2 – 14x + 36y 2 – 216y + 337 = 0
2
2
(x − 7) (y − 3)
( + = 1)
36 1
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de matemática y física
www.hverdugo.cl
1

iii) 9x 2 – 54x + 4y 2 + 16y + 61 = 0
⎛ 7 ⎞
⎜x − ⎟
2
y
iv) 3x 2 – 14x + 4y 2 ⎝ 3 ⎠
+ 11 = 0 ( + = 1)
16 4
9 3
14.- Para cada elipse siguiente encuentre las coordenadas de sus centros y las
medidas de sus semiejes.
i) x 2 + 4y 2 + 16y + 12 = 0 (0, -2); a = 2; b = 1
ii) x 2 + 4y 2 – 4x – 8y + 4 = 0
iii) x 2 + 4y 2 + 6x – 8y + 9 = 0 (-3, 1); a = 2; b = 1
2
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de matemática y física
www.hverdugo.cl
2