Funciones que son derivables pero que no tienen derivada continua

Por qué C[a, b] no es igual a C 1 [a, b]
Dr. Gabriel Soto (02/06/10)
Esta discusión surgió hoy a partir de un ejercicio del libro Álgebra lineal de S. Grossman
durante la clase teórica de la asignatura Álgebra y Geometría 1 en el aula donde doy clases y me
pareció interesante compartirla con el resto de los alumnos.
Para ello primero denimos quiénes son C[a, b] y C 1 [a, b].
Denición: Sea [a, b] un intervalo de la recta real. El conjunto C[a, b] es el conjunto de las
funciones continuas en [a, b]. El conjunto C 1 [a, b] es el conjunto de las funciones que tienen derivada
continua en [a, b].
Lo primero que observamos es que C[a, b] es un espacio vectorial real con las operaciones usuales
de suma y multiplicación de funciones. Esto es, sobre C[a, b] denimos
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(αf)(x) = αf(x)
para todo x ∈ [a, b] y para toda función f, g ∈ C[a, b]. Notar que el vector nulo en este espacio
vectorial es la función constante e igual a cero: f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]
Este espacio vectorial no es de dimensión nita, ya que el conjunto de vectores {1, x, x 2 , . . . , x n }
es linealmente independiente para todo n natural. Para ver esto hay
α 0 1 + α 1 x + α 2 x 2 + · · · + α n x n = 0
esto es el lado izquierdo es igual a cero para todo x ∈ [a, b]. Entonces, si derivamos n veces
obtenemos que
n × (n − 1) × · · · × 3 × 2 × 1 × α n = 0
lo que implica que α n = 0. De la misma manera una prueba que α n−1 = α n−2 = · · · = α 1 =
α 0 = 0, con lo que conlcuimos que el conjunto de funciones {1, x, x 2 , . . . , x n } es linealmente independiente
en C[a, b] para todo n natural. Esto nos dice que dim C[a, b] ≥ n para todo n; en otras
palabras la dimensión de C[a, b] es innita.
A partir de la denición de C[a, b], podemos denir C 1 [a, b] y cabe preguntarse si existen
funciones que son diferenciables (esto es que sean derivables para todo punto de [a, b] sin que la
derivada sea continua como función denida en [a, b]. Para ello estudiamos los siguientes ejemplos:
Sea
⎧
⎨
f(x) =
⎩
( 1
sen
x)
Se puede probar que f no es continua en x = 0 pues
( ) 1
lím sen
x→0 x
no existe.
si x ≠ 0
0 si x = 0
1 Esta asignatura, que ofrece el Departamento de Matemática de la Facultad de Ingeniería de la Universidad
Nacional de la Patagonia San Juan Bosco corresponde al primer año de las carreras que ofrece dicha facultad.

Ejercicio: utilizar algún software para gracar f(x) y utilizarlo para dar un argumento que
muestre que f(x) no es continua en x = 0.
Sea
⎧
⎨
g(x) =
⎩
( 1
x sen
x)
si x ≠ 0
0 si x = 0
Esta función es continua en x = 0 pues para mostrar este hecho tenemos que probar que
Si observamos que cerca de x = 0
lím g(x) = 0
x→0
( 1 ∣∣∣
∣ x)∣ x sen ≤ |x|
como el lado derecho de esta ecuación tiende a cero cuando x tiende a cero, se sigue que g es
continua en x = 0. SIn embargo g no es derivable en x = 0, pues
( 1
x sen
x)
lím
x→0 x
no existe.
Ejercicio: gracar g(x) para observar por qué lím x→0 g(x) existe.
Sea
⎧
⎨
h(x) =
⎩
Esta función es derivable en x = 0 pues
( 1
x 2 sen
x)
lím
x→0 x
Por lo tanto podemos denir
⎧
⎨
h ′ (x) =
⎩
( 1
x 2 sen
x)
si x ≠ 0
0 si x = 0
( ) 1
= lím x sen = 0
x→0 x
( ( 1 1
2x sen − cos
x)
x)
si x ≠ 0
0 si x = 0
( 1
Sin embargo, por un argumento análogo se puede probar que cos no es continua en x = 0.
x)
Ejercicio: gracar h ′ y argumentar por qué no es continua en x = 0.
Finalmente, sea
⎧
⎨
p(x) =
⎩
( 1
x 3 sen
x)
si x ≠ 0
0 si x = 0

entonces, p(x) es continua y derivable en x = 0 y además su derivada en continua en x = 0.
Ejercicio: probar la armación anterior. Gracar p(x) y p ′ (x).
De esta manera, encontramos una función h(x) que es continua en [−1, 1] pues es derivable en
todo x ∈ [−1, 1] sin embargo no pertenece a C 1 [−1, 1] pues h ′ (x) no es continua en x = 0.