Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle ... - CPR Ceuta

Matemáticas 3º E.S.O.
Resolución de Ecuaciones de 2º grado
con puzzle algebraico
Cuadernillo de actividades y ejercicios de la
unidad didáctica experimental
Juan Jesús Larrubia Martínez
Alumno/a:

Cuadernillo de actividades y ejercicios.
J.J. Larrubia.
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1. Clasifica las siguientes ecuaciones de segundo grado por su expresión algebraica, de acuerdo al
esquema visto en clase.
Clasificación
Ecuaciones de 2º grado
por su expresión algebraica
Ecuación en forma de
BINOMIO AL CUADRADO
Ecuación en forma de
producto de dos factores o
FACTORIZADA
Ejemplo: (x-2).(x+3)=0
Ecuación en forma
GENERAL
con
término independiente
Ejemplo: (x-2) 2 -4=0
sin
término independiente
Ejemplo: (x+3) 2 =0
incompleta
completa
Ejemplo: x 2 -5x+6=0
Sin
Término independiente
Ejemplo: x 2 +4x=0
Sin
Término en X
Ejemplo: x 2 -9=0
Ecuaciones de 2º grado
Tipo o forma de la ecuación de 2º grado
2
a) x − 2x + 1 = 0
b) ( x + 5) 2 − 9 = 0
c) 3x
2 + 5x
= 0
d) ( x + 2 )( · x − 5) = 0
2
e) x −16
= 0
f) 2x
2 − 5x + 2 = 0
2
g) ( 2x
+ 1) = 0
h) 2x
2 −18
= 0
i) ( 2 x + 1 )( · x − 3) = 0
2
j) ( 4x
− 3) = 0
k) 2x
2 − 7x
= 0
2
l) ( 3x
− 2) + 4 = 0
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• Recuerda la definición de soluciones o raíces vista en clase:
Las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de X que al
sustituirlos en la ecuación, hacen que la igualdad se cumpla.
2
2. Dada la ecuación x −16
= 0 . Comprueba que sus soluciones son: X = 4 y X = - 4
a) Sustituimos los valores 4 y –4 en la ecuación, para comprobar si son o no soluciones:
Para x = 4
x
2
2
(4)
− 16 = 0
− 16 = 0
16 − 16 =
0 = 0
• La igualdad se cumple para X= 4
0
Para x = - 4
x
2
( − 4)
− 16 = 0
2
16 − 16 =
0 = 0
− 16 = 0
• La igualdad se cumple para X= -4
0
2
• Por tanto, los valores X = 4 y X = -4 son soluciones de la ecuación: x −16
= 0
b) Comprueba que otros valores de X, por ejemplo X = 3 y X = 5, no son soluciones de la ecuación:
Para x = 3 Para x = 5
x
2
2
(3)
− 16 = 0
9 − 16 =
− 7 ≠ 0
− 16 = 0
• La igualdad no se cumple para X= 3
0
x
2
2
(5)
− 16 = 0
− 16 = 0
25 − 16 =
9 ≠ 0
• La igualdad no se cumple para X= 5
0
c) Comprueba para cualquier otro valor de X que no es solución de la ecuación:
Para x = Para x =
x
(
2
− 16 = 0
)
2
− 16 = 0
− 16 = 0
≠ 0
• La igualdad no se cumple para X=
x
(
2
− 16 = 0
)
2
− 16 = 0
− 16 = 0
≠ 0
• La igualdad no se cumple para X=
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3. Comprueba sí alguno de estos valores X = -3, X = - 1, X = 0, X = 1, X = 3 y X = 5, es solución
de alguna de las siguientes ecuaciones de 2º grado.
2
a) − 9 = 0
2
2
x b) x −1
= 0
c) x − x = 0
4. Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones de 2º grado.
2
a) − 9x
= 0
2
2
x b) x − 6 = 10
c) x + 8 = 33
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5. Dibuja las piezas del puzzle algebraico que representan geométricamente cada una de las
siguientes expresiones de 2º grado:
▫ Recuerda el ejemplo visto en clase para 2x
2 + 5x
+ 3
X 2 X 2 X X X X X 1 1 1
2
a) x −10x + 1
b) 2x
2 + 7x
+ 1
2
c) x − 5x − 2
2
d) x + 8x − 3
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6. Escribe la expresión algebraica asociada a cada uno de las siguientes representaciones
geométricas realizadas con las piezas del puzzle algebraico.
▫
Recuerda el ejemplo visto en clase:
X 2 x -x -x -x -1 -1 -1
• El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
x
2
− 2x − 3
a)
X 2
x
x
X 2 x x
x
x x
1 1 1
• El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
b)
X 2 X 2 -x -x -x -x -x 1 1
• El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
c)
-x
-x
x x x x X 2
1
• El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
d)
-x
-x -x
1 1
1 1
1 1
1 1
X 2
x
x
• El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
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7. Recuerda las reglas de construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico.
• El tablero de construcción:
Punto de partida
• para colocar las piezas X 2
• para determinar las
Dimensiones de la
construcción
• Medida de la base
Medida de la altura
X 2
Medida de la altura
X 2
• Medida de la base
Punto de partida
• para colocar las piezas X 2
• para determinar las
Dimensiones de la
construcción
• Reglas de agrupación y combinación de piezas:
-1 -1 -1
-1 -1 -1
1ª Regla
Los cuadrados unidad tienen
que estar agrupados en un
único bloque, formando un
rectángulo o un cuadrado.
1 1 1 1
2ª Regla
La placa X 2 y el bloque de cuadrados unidad
tienen que estar situadas en diagonal
No pueden situarse en la
misma fila o columna
X 2 -1
-1 -1 -1
-1
-1
-x
x
x
x
3ª Regla
Las tiras positivas X y negativas –X,
no pueden estar “mezcladas” entre si.
No pueden combinarse
en un mismo bloque
-x
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8. Escribe las dimensiones de los siguientes rectángulos y cuadrados.
a) b)
•
•
X 2 x x
x
- x
- x
- X
- X
- 1 - 1
- 1
- 1
- 1
- 1
X 2 1
- x
1
c) d)
•
•
X 2 x x
X 2
x
x
x
1 1
x
1 1
e) f)
•
•
X 2
- x
- x
- x
- x
X 2 x x x
- x
- x
1 1 1 1
1 1 1 1
-X
-X
-X
- 1 - 1 - 1
- 1 - 1 - 1
- 1 - 1 - 1
g) h)
•
X 2
x
x
x
x
1
1
1
•
X 2 X 2 X 2 x
x
x
x
x
x
x
1
1
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• Recuerda la actividad realizada en clase:
2
• Actividad: Obtener una expresión factorizada equivalente a x + 5x + 6 mediante la construcción de
un rectángulo con puzzle algebraico.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
• X+3
X 2 x x x
X +2
x
x
1 1 1
1 1 1
• Área a partir de sus componentes: • Área a partir de sus dimensiones:
− El área del rectángulo como suma de sus
componentes, es:
2
Área rectángulo = + 5x + 6
− El área del rectángulo como producto de las
medidas de su base por su altura, es:
x Área rectángulo = ( x + 3)( . x + 2)
b) Con lo que obteniamos la factorización de la expresión inicial:
( x + 3 )( · + 2)
2
x + 5x
+ 6 = x
2
9. Factoriza la expresión: x + 6x + 8 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión, y dibújalo
con sus dimensiones.
2
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a x + 6x + 8 obtenida a partir de la construcción:
2
• x + 6x
+ 8 =
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10. Factoriza la expresión: 2x
2 + 7x
+ 3 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle
algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión, y dibújalo
con sus dimensiones.
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a 2x
2 + 7x
+ 3 obtenida a partir de la construcción:
• 2x
2 + 7x
+ 3 =
2
11. Factoriza la expresión: x − 2x + 1. A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión.
• Dibuja el rectángulo con sus dimensiones
• Representa de forma simplificada la
construcción realizada.
• X -1
X
X 2
-X
-1
-X
1
2
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a x − 2x + 1obtenida:
2
• x − 2x
+ 1 =
2
12. Factoriza la expresión: x − 5x + 6 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
• Representa el rectángulo construido:
• Escribe la expresión factorizada:
•
x
2
− 5x
+ 6 =
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13. Escribe en forma factorizada las siguientes expresiones de 2º grado:
•
X
+4
2
a) x + 7x
+ 12 = ( x + 4)( · x + 3)
X
X 2
4X
+3
3X
12
•
2
b) x + 8x + 16 = ( )( · )
2
c) x + x − 2 =
14. Completa la siguiente tabla:
•
X
+5
X X 2
2
x + 8x + 15
( x + 5 )( · x + 3)
5X
+3 3X 15
•
X 2
-2 X
-6X
12
( )( · )
X
x ( )( · )
2 2 − 7x
+ 6
−2
• 2X −3
•
( x + 2)( · x − 3)
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2
• Recuerda la Actividad 1 realizada en clase: Resuelve la ecuación de 2º grado x − 5x + 4 = 0 con
puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
X-1
• X-4
X 2
-x -x -x -x
-x 1 1 1 1
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
2
grado equivalente a x − 5x + 4 = 0 en forma
factorizada:
( x − 4 )( · x −1) = 0
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones:
Esquema de resolución
Procedimiento algebraico
Si (x−4)
es cero
(x-4) . (X-1) = 0
Uno de los
factores es cero
Si (x−1)
es cero
( 1) 0
( x − 4)· x − =
• Para que un producto sea cero, uno de los
factores (o los dos) debe ser cero:
( 1) 0
( x − 4)· x − =
⎧Sí
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí
x − 4 = 0
x −1
= 0
⇒
⇒
x = 4
x = 1
x−4 = 0
X = 4
x−1 = 0
Soluciones X = 1
• Por tanto, las soluciones son:
x = 4 y x = 1
2
15. Resuelve la ecuación de 2º grado x − 6x + 8 = 0 mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:
• Dibuja el rectángulo con sus dimensiones
• Representa de forma simplificada el rectángulo.
•
2
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a x − 6x + 8 = 0
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c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Esquema de resolución
Procedimiento algebraico
(x−4) . (x−2) =
Uno de los
factores es cero
Si (x−4)
es cero
Si (x−2)
es cero
x−4 = 0
x−2 = 0
X = 4
Soluciones X = 2
2
16. Resuelve la ecuación de 2º grado x + 4x + 3 = 0 mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:
• Dibuja el rectángulo con sus dimensiones
• Representa de forma simplificada el rectángulo.
•
2
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a x + 4x + 3 = 0
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
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2
• Recuerda la Actividad 3 realizada en clase: Resuelve la ecuación de 2º grado x + 2x − 8 = 0 con
puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo.
a) Con la selección de piezas que representan el 1 er miembro de la ecuación obtenemos un rectángulo
incompleto.
• Para completar el rectángulo, añadimos parejas de piezas con signos opuestos que denominaremos
“parejas de área cero”.
•
X 2 x x x
x
En total, para completar
hemos necesitado:
-x + x + -x + x
-X
-X
-1 -1
-1
-1
-1 -1
-1
-1
2 parejas de tiras X y –X
que representan un área cero
2 X − 2X
= 0
b) Completado el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
•
X+4
x
X 2 x x x
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
2
grado equivalente a x + 2x − 8 = 0 en forma
factorizada:
X-2
-X
-1 -1
-1 -1
( x + 4 )( · x - 2) = 0
-X
-1
-1
-1
-1
c) Resolviendo esta ecuación factorizada equivalente obtenemos las soluciones:
(x+4)·(X-2) = 0
Uno de los
factores es cero
( 2) 0
( x + 4)· x − =
⎧Sí
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí
x + 4 = 0
x − 2 = 0
⇒
⇒
x = −4
x = 2
Si (x+4)
es cero
X+4 = 0
Si (x−2)
es cero
x−2 = 0
• Por tanto, las soluciones son:
x = −4 y x = 2
X = - 4
Soluciones X = 2
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2
17. Resuelve la ecuación de 2º grado x + x − 2 = 0 con puzzle algebraico, mediante la construcción
de un rectángulo.
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1 er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
2
equivalente a x + x − 2 = 0
•
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
2
18. Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado x − 3x − 4 = 0 .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
2
equivalente a x − 3x − 4 = 0
•
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 16

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• Recuerda la Actividad 5 realizada en clase: Resuelve con puzzle algebraico la ecuación incompleta
2
x + 2x
= 0 mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
•
X+2
X X 2 x x
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
2
grado equivalente a x + 2x
= 0 en forma
factorizada:
( x + 2) 0
x · =
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones:
( x + 2) 0
x · =
⎧ Sí,
x = 0
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí,
x + 2 = 0
⇒
⇒
x = 0
x = −2
x = 0 y x = −2
19. Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta
2
x − x = 0 .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
2
equivalente a x − x = 0
•
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 17

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20. Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta
2
x + 5x
= 0 .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
2
equivalente a x + 5x
= 0
•
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
2
• Observación: Las ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente, del tipo x + bx = 0
2
vistas en los ejemplos anteriores, o del tipo general ax + bx = 0 siempre pueden factorizarse y
escribirse de la forma:
( ax + b) 0
x · =
• Este tipo de factorización se denomina: “sacar factor común X”.
• Ejemplos: Los ejercicios anteriores pueden resumirse en la siguiente tabla.
Ecuación de 2º grado incompleta sin
término independiente
Representación geométrica
“simplificada”
Ecuación factorizada:
“sacando factor común X”
•
X+2
2
x + 2x
= 0
X X x ·( x + 2) 2
2X
= 0
•
X−1
2
x − x = 0
X X x ·( x −1) 2
−X
= 0
•
X+5
2
x + 5x
= 0
X X x ·( x + 5) 2 5X
= 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 18

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21. Resuelve “sacando factor común X” las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas, sin
término independiente.
2
a) x − 9x
= 0
2 1
b) x − x = 0
3
c) 2x
2 − 5x
= 0
d) 3x
2 − 4x
= 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 19

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22. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado factorizadas.
a) ( x − 2 )·
( x −1) = 0
Que el producto es cero
Significa:
(x−2)·(x−1) = 0
• Recuerda: Para que un producto sea cero, uno
de los factores (o los dos) debe ser cero:
Si (x−2)
es cero
Uno de los
factores es cero
Si (x−1)
es cero
( 1) 0
( x − 2)· x − =
⎧Sí
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí
x − 2 = 0
x −1
= 0
⇒
⇒
x = 2
x = 1
X−2 = 0
x−1 = 0
• En consecuencia, las soluciones son:
X = 2
Soluciones X = 1
x = 2 y x = 1
b) ( x − 3 )·
( x + 4) = 0
c) ( 2 x + 6) · x = 0
d) ( x −1 )( · x − 2) = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 20

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e) ( x − 5 )( · x + 11) = 0
f) ( 2 x − 5 )( · 7x − 3) = 0
⎛ 3 ⎞
⎜ x − ⎟
⎝ 4 ⎠
x +
=
g) ·( 8 42) 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 21

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23. Ecuaciones equivalentes. Criterios de equivalencia.
• Dos ecuaciones (de primer o de segundo grado) son equivalentes si tienen las mismas soluciones o
raíces.
23.1. Criterios de equivalencia.
• Recuerda los criterios de equivalencia vistos en el tema de ecuaciones de primer grado:
a) Criterio de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación (de 1 er o 2º grado) se les suma o se
les resta un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente.
b) Criterio del producto: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un
mismo número, no nulo, obtenemos una ecuación equivalente.
2
Ejemplo: Dada la ecuación de 2º grado: x − 3x + 2 = 0 , con soluciones x = 1 y x = 2 :
a) Comprueba que se cumple el criterio de la suma para un número concreto.
b) Comprueba que se cumple el criterio del producto para un número concreto.
Prueba del criterio de la suma, para 5:
− Si sumamos 5 a los miembros de la ecuación,
−
x
2
Obtenemos,
− 3x + 2 + 5 = 0 + 5
x
2
− 3x + 7 = 5
− Comprobemos que x = 1 y x = 2 son
soluciones de esta ecuación:
a) Sustituimos en la ecuación la solución x = 1
() 1 2 − 31· + 7 = 5
1 − 3 + 7 = 5
5 = 5
La igualdad se cumple para x = 1
b) Sustituimos en la ecuación la solución x = 2
( 2) 2 − 3·2 + 7 = 5
4 − 6 + 7 = 5
5 = 5
La igualdad se cumple para x = 2
− Por tanto, se comprueba que la ecuación
2
resultante x − 3x + 7 = 5 es equivalente a la
primera.
Prueba del criterio del producto, para 3:
− Si multiplicamos por 3 los dos miembros de la
ecuación,
−
Obtenemos
3·( x
2
− 3x + 2) = 3·0
3x
2 − 9x + 6 = 0
− Comprobemos que x = 1 y x = 2 son
soluciones de esta ecuación:
a) Sustituimos en la ecuación la solución x = 1
( 1) − 91· + 6 0
3 2 =
3 − 9 + 6 = 0
0 = 0
La igualdad se cumple para x = 1
b) Sustituimos en la ecuación la solución x = 2
3
2
( 2) − 9·2 + 6 = 0
12 − 18 + 6 = 0
0 = 0
La igualdad se cumple para x = 2
− Por tanto, se comprueba que la ecuación
resultante3x 2 − 9x + 6 = 0 es equivalente a la
primera.
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 22

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23.2. Aplicación de los criterios de equivalencia en la resolución de ecuaciones de 2º grado.
• Los criterios de equivalencia en especial el criterio del producto puede aplicarse para la simplificación,
como para la elimininación de denominadores de ecuaciones de 2º grado, previamente a su resolución.
• Ejemplo: Resuelve la ecuación de 2º grado
8x
2 + 16x
= 0
−
Los términos de la ecuación son a simple vista
multiplos de 8, por lo que podemos dividir los
dos miembros de la ecuación entre 8.
1 2
·
8
1
8
( 8x
+ 16x) = · 0
− Obtenemos la ecuación equivalente
simplificada:
x
2
+ 2x
= 0
• Ecuación ya resuelta en apartados anteriores.
• Ejemplo: Resuelve la ecuación de 2º grado
1 x
2 − 2 x + 2 = 0
2
− Para eliminar el denominador podemos
multiplicar los dos miembros de la ecuación por
2
⎛ 1
2· ⎜ x
⎝ 2
2
⎞
− 2x + 2⎟
= 2·0
⎠
− Obteniendo la ecuación equivalente:
x
2
− 4x + 4 = 0
• Ecuación que resolvemos algebraicamente
( x + 2) 0
x · =
⎧ Sí x = 0 ⇒
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí
x + 2 = 0 ⇒
x = 0
x = −2
( x − 2 )·
( x − 2) = 0
⎧Sí
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩Sí
x − 2 = 0 ⇒
x − 2 = 0 ⇒
x = 2
x = 2
• Por lo que tenemos las soluciones: • Por lo que tenemos las soluciones:
x = 0 y x = −2
x = 2 y x = 2
• Estas soluciones son también las soluciones de
la ecuación inicial: 8x
2 + 16x
= 0
• Estas soluciones son también las soluciones de
1 2
=
2
la ecuación inicial: x − 2 x + 2 0
23.3. Simplifica las siguientes ecuaciones de 2º grado, mediante el criterio del producto.
Ecuaciones de 2º grado Multiplicar o Dividir por/entre: Ecuaciones “simplificadas”
a) 3x
2 + 15x + 18 = 0
1 x 2 =
Multiplicando por 2
2
x + 2x − 8 = 0
2
b) + x − 4 0
8
3
2
c) x − x −1
= 0
d) 5x
2 − 30x
= 0
e) 3x
2 −12
= 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 23

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• Recuerda la actividad vista en clase.
Resuelve la ecuación de 2º grado 4x 2 + 13x + 3 = 0 con puzzle algebraico, mediante la construcción
de un rectángulo.
a) Seleccionadas las piezas del puzzle que representan el primer miembro de la ecuación, construimos
el rectángulo con dimensiones:
X+3
•
X 2 X 2 X 2 X 2
x
x
x
x
x
x
4X+1
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
• Considerando las dimensiones del rectángulo
construido, tenemos la igualdad de las dos
expresiones de 2º grado:
( 4 + 1)( . x 3)
4x
2 + 13x
+ 3 = x +
• Por tanto, la ecuación de 2º grado factorizada
equivalente a 4x 2 + 13x
+ 3 es:
( 4x + 1) · ( x + 3) = 0
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación de 2º grado equivalente tenemos las soluciones:
• Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:
( 4 x + 1) · ( x + 3) = 0
• En consecuencia, las soluciones son:
⎧ 4x
+ 1 = 0
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩ x + 3 = 0
1
x = − y x = −3
4
⇒
⇒
1
x = −
4
x = −3
24. Resuelve la ecuación de 2º grado 2x 2 + 7x + 3 = 0 con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye y dibuja un rectángulo con las piezas que representan la ecuación.
• Representa mediante la notación simplificada el
rectángulo construido.
•
2X
+1
X
2X 2
X
+3
6X
3
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 24

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b) Escribe la ecuación factorizada equivalente, a partir de la construcción desarrollada.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
25. Resuelve la ecuación de 2º grado 2x 2 − 3x + 1 = 0 con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo con las piezas que representan la ecuación. Dibuja con sus
dimensiones el rectángulo construido.
• Representa mediante notación simplificada el
rectángulo construido.
•
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente, a partir de la construcción desarrollada.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 25

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26. Resuelve la ecuación de 2º grado incompleta 3x 2 − 4x
= 0 con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo y represéntalo
mediante notación simplificada.
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente,
a partir de las dimensiones del rectángulo.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
27. Resuelve la ecuación de 2º grado incompleta 7x 2 + 21x
= 0 simplificando y sacando factor
común X.
a) Escribe la ecuación factorizada equivalente:
b) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 26

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28. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado mediante factorización.
2
a) x + 2x + 1 = 0
b) 2x
2 − 5x + 2 = 0
2
c) x − 7x −18
= 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 27

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d) 3x
2 − 8x − 3 = 0
29. Simplifica y resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado mediante factorización.
a) 3x
2 + 15x + 18 = 0
b) 7x
2 + 21x − 28 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 28

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30. Método de completar cuadrados con puzzle algebraico.
• El método de completar cuadrados con puzzle algebraico consiste en construir o completar un
cuadrado con las piezas del puzzle que representan el 1 er miembro de una ecuación de 2º grado en
forma general, para obtener una ecuación equivalente en forma de binomio al cuadrado, con o sin
término independiente.
• Ejemplos:
x
2
+ 6x + 9 = 0
x
2
− 4x + 3 = 0
•
X+3
•
X-2
X+3
X 2
x
x
x
x
1
1
1
x
1
1
1
x
1
1
1
( x + 3 )( . x + 3) = ( x + 3) 2
X-2
X 2 -x -x
-x
-x
1
1
1
+ 1 + -1
2
( x − 2 )( . x − 2) −1
= ( x − 2) −1
( x + 3)
2
=
0
( x − 2)
2
−1
= 0
31. Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2º grado, a partir de la
construcción de un cuadrado con puzzle algebraico
•
X+3
2
a) + 6x + 9 = 0
X 2
X+3
x x 1 1 1
( x + 3) 2 = 0
x
x
x
1
1
x
1
1
x
1
1
2
b) x + 10x + 25 = 0
c) 4x
2 − 4x + 1 = 0
d) 4x
2 + 12x + 9 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 29

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32. Resuelve las ecuaciones en forma de binomio al cuadrado obtenidas en el ejercicio anterior.
• Recuerda la resolución de la ecuación ( x + 3) 2 = 0 vista en clase:
Esquema de resolución
Sí (x+3)
es cero
( x + 3) 2 = 0
Una potencia al cuadrado
es igual a:
( x + 3 )·
( x + 3) = 0
Uno de los factores
es cero
Sí (x+3)
es cero
X = − 3 Soluciones X = − 3
Procedimiento algebraico
• El binomio al cuadrado es una potencia por
lo que es igual al producto:
( 3) 0
( x + 3). x + =
• Por tanto uno de los factores será cero:
⎧x
+ 3 = 0
⎪
( x + 3). ( x + 3) = 0 ⇒ ⎨
⎪
⎩x
+ 3 = 0
⇒
⇒
x = −3
x = −3
• En consecuencia, la ecuación tiene dos
soluciones iguales (también se llama
solución doble):
x = −3 y x = −3
Ecuación general Ecuación binomio al cuadrado Soluciones
2
b) x + 10x + 25 = 0
c) 4x
2 − 4x + 1 = 0
d) 4x
2 + 12x + 9 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 30

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33. Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2º grado, por el método de
completar cuadrados
x + -1
( x − 2) 2 −1
= 0
2
a) − 4x + 3 = 0
X-2
•
X 2 X-2
-x
-x
-x -x
1
1
1
1
2
b) x + 6x + 3 = 0
2
c) x − 8x + 12 = 0
2
d) x −10x + 20 = 0
2
e) x + 2x − 5 = 0
f) 4x
2 + 8x + 3 = 0
g) 9x
2 −12x + 8 = 0
2
h) x − 8x
= 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 31

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• Recuerda las condiciones que deben cumplir los coeficientes de una ecuación de 2º grado
para aplicar el método de completar cuadrados.
• Para poder aplicar el método de completar cuadrados los coeficientes a y b de la ecuación deben
cumplir las siguientes condiciones:
• El coeficiente de X 2 “a” tiene que ser un cuadrado perfecto.
• El coeficiente de X “b” tiene que ser múltiplo de 2.
• En el caso de no cumplirse alguna de las dos condiciones anteriores, podemos hacer que se
cumplan multiplicando los dos miembros de la ecuación por 4a.
• Recuerda la Actividad 10. Resuelve mediante el método de completar cuadrados la ecuación
2
x − 5x + 5 = 0 .
a) Comprobamos si se cumplen las condiciones para la aplicación del método:
− Los valores de los coeficientes son: a = 1 que es un cuadrado perfecto y b = − 5 que no es
múltiplo de 2. En consecuencia, estos no cumplen las condiciones requeridas.
b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:
• Multiplicando los dos miembros de la ecuación inicial por
4·( x
2
− 5x + 5) = 4·0
• Obtenemos una ecuación equivalente que sí cumple las condiciones:
4x
2 − 20x + 20 = 0
c) Aplicando el método de completar cuadrados tenemos:
4 a que en este caso vale 4:
•
X 2 X 2
2X-5
-x -x
-x -x -x
2X-5
-x -x 1
X 2 X 2
-x -x 1
-x -x 1
-x -x 1
-x -x 1
-x -x -x -x -x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
-1
-1
-1
-1
-1
• Por lo que la ecuación de 2º grado equivalente (iguales soluciones) a 4x 2 − 20x + 20 = 0 y a la
2
ecuación inicial x − 5x + 5 = 0 en forma de binomio al cuadrado, es:
2
( 2x
− 5) − 5 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 32

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2
34. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: x − 3x + 2 = 0
a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:
b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:
c) Construcción del cuadrado:
d) Ecuación equivalente:
e) Resolución algebraica:
Esquema de resolución
Procedimiento algebraico
2
( 2 x − 3) − 1 = 0
Transponemos
términos
2
( 2 x − 3) = 1
Extraemos
raíz cuadrada
en los dos miembros
de la ecuación
2
( 2 x − 3) = 1
2 x − 3 = ± 1
+1
− 1
2 X − 3 = 1
2 X − 3 = − 1
X = 2 Soluciones X = 1
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 33

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2
35. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: x − 4x + 7 = 0
a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:
b) Construcción del cuadrado y ecuación equivalente:
c) Resolución algebraica:
36. Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: 2x
2 + 7x + 1 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 34

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37. Resuelve las siguientes ecuaciones dadas en forma de binomio al cuadrado.
a) ( x − 3) 2 − 9 = 0
2
b) ( 2x
+ 1) −16
= 0
c) ( x − 3) 2 − 5 = 0
2
d) ( 2x
+ 1) + 4 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 35

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Recuerda: Método resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico
Ecuación de 2º grado
en forma general completa o incompleta
1. Representación
geométrica de la ecuación
Selección del conjunto de piezas del puzzle
que representan el 1 er miembro de la
ecuación de 2º grado
2. Construcción de rectángulos
y/o cuadrados.
Construcción de un
rectángulo
partiendo del conjunto de
piezas seleccionadas
Si
No es
posible
construcción de un
cuadrado
(o completar un cuadrado)
partiendo del conjunto de
piezas seleccionadas
Si
3. Obtención de ecuaciones
equivalentes mediante
el cálculo del
área.
A partir del producto de las
dimensiones del rectángulo
Obtenemos:
A partir del producto de las
dimensiones del cuadrado
Obtenemos:
Ecuación de 2º grado
equivalente
en forma de producto
de factores
Ecuación de 2º grado
equivalente
en forma de binomio
al cuadrado
4. Resolución
algebraica.
Aplicamos
Procedimiento algebraico
de resolución de ecuaciones
en forma de producto
Aplicamos
Procedimiento algebraico
de resolución de ecuaciones
en forma de binomio al
cuadrado
Soluciones de la ecuación
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 36

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38. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado.
2
a) x −10x + 9 = 0
2
b) x + 5x + 7 = 0
2
c) x − 6x + 9 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 37

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Recuerda el método general de resolución de ecuaciones de 2º grado, visto en clase:
• La generalización del método de completar cuadrados para una ecuación de segundo grado
expresada en forma general:
ax
2
+ bx + c = 0
Nos proporciona una fórmula general para obtener las soluciones o raíces de la ecuación en
función de los coeficientes a, b y c.
• La fórmula general, escrita en forma abreviada, es:
x =
− b ±
b
2
− 4· a·
c
2· a
• En forma desarrollada tenemos que las dos soluciones de la ecuación de 2º grado, se obtienen
mediante las fórmulas:
x
1
=
− b +
2
b − 4· a·
c
2· a
x
1
=
− b −
2
b − 4· a·
c
2· a
• El método general de resolución consiste en:
• determinar los valores a, b y c de la ecuación de 2º grado expresada en forma general,
• sustituir los valores en la fórmula, y
• realizar las operaciones, hasta obtener las soluciones, si las hubiese.
2
• Recuerda la actividad 12. Resuelve la ecuación x + 5x − 6 = 0 aplicando el método general
• Sustituyendo los valores a = 1 b = 5 c = −6
en la fórmula tendríamos:
x =
− 5 ±
5
2
− 4.1.( −6)
2.1
=
− 5 ±
2
49
=
− 5 ± 7
2
⎧
⎪x
= ⎨
⎪
⎪x
⎩
1
2
− 5 + 7
= =
2
− 5 − 7
= =
2
2
= 1
2
−12
= −6
2
• Por tanto, las soluciones son:
x = 1 y x = −6
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 38

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39. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la “fórmula” (método general).
a) 2x
2 − 5x + 2 = 0
2
b) x − 4x + 7 = 0
c) 3x
2 + 15x + 18 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 39

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40. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la “fórmula” (método general).
2
a) x + 2x + 1 = 0
b) 7x
2 + 21x − 28 = 0
c) 3x
2 − 8x − 3 = 0
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 40