Distancia entre dos sitios y diferencia de ángulos, cuando en ... - inaoe

Distancia entre dos sitios (sobre un
mismo meridiano) y diferencia de
ángulos, cuando en ninguno de los
sitios el Sol esta en el cenit.
Y
Comparación entre el cociente de
ángulo/distancia y el cociente
360grados/C donde C es la
circunferencia de la Tierra.
Autor: Carlos Miguel García Rosas

• Esta presentación te servirá para poder calcular
la distancia entre dos ciudades a diferentes
latitudes, por medio de la comparación que
existe entre el cociente de ángulo/distancia y el
cociente 360 grados/C donde C es la
circunferencia de la Tierra.

Demostración de la formula para la comparación
entre el cociente de ángulo/distancia y el cociente
360grados/C donde C es la circunferencia de la
Tierra.
L
Supongamos que el círculo que representa
le perímetro de la Tierra. Entonces
sabemos que aproximadamente su
perímetro es de 40000km.
θ
Sea ϕ1 la latitud la ciudad 1 y ϕ2
la latitud de la ciudad 2. La
diferencia de latitudes la podemos
escribir como: ϑ= ϕ1-ϕ2.

Pero antes tenemos que calcular el radio de la tierra.
Perímetro de la circunferencia = 2πr
40000km=2πr
Despejando r nos queda
r= 40000km/2π
Entonces r= 20000km/π
Ahora sabemos como esta denotado el radio de la tierra.
La longitud de arco esta dado por la fórmula L= ϑ r ----- 1
Donde ϑ es la diferencia de latitudes previamente definida.

Recuerda que ϑ esta medido en radianes y no en grados que es lo que
queremos entonces haremos la siguiente conversión:
ϑ= (ϕ1-ϕ2)π/180
Ahora sustituimos el valor de ϑ ya en radianes y el valor del radio en la
ecuación 1, nos queda:
L= (ϕ1-ϕ2)π . 20000km
180 π
Simplificando nos queda
L= 1000(ϕ1-ϕ2)
9
Con esta fórmula resulta fácil calcular la distancia en la que se encuentran
dos ciudades, siempre y cuando estén en la misma longitud geográfica.

•
as
tenemos dos sitios separados por una
distancia de 100 km. ¿A qué ángulo
corresponde dicha distancia?

• Para calcular el ángulo sólo tenemos que
recordar que la circunferencia de la Tierra (a la
que suponemos de 40000km para visualizar
mejor el procedimiento) es equivalente a
360º. Entonces, la equivalencia entre un
ángulo α y una distancia d la encontramos
empleando la ecuación.
θ/360º= d/40000 ----2
• En nuestro caso necesitamos saber el ángulo,
entonces lo despejamos en la ecuación
anterior
θ=(360º x d)/40000

• Sustituyendo d = 100 km tenemos que
• θ = (360◦ ×
100km)/40000km
• lo cual es θ= 0,9◦ = 54′ es decir, una distancia
de 100 km representa una diferencia en
ángulos un poco menor a un grado.
• Con la ecuación dos también se puede calcular
la distancia en la que se encuentran dos
ciudades, siempre y cuando estén en la misma
longitud geográfica

Ejemplo
Las ciudades de Mc Allen, Texas (Estados
Unidos) y Puebla (México) están ambas
aproximadamente en longitudes geográficas de
98◦. Se sabe que la circunferencia de la Tierra es
de aproximadamente 40000 km y para hacer
una estimación en este ejercicio vamos a usar
Este valor. Si Mc Allen está a una latitud de 26◦ y
Puebla a una latitud de 19◦ ¿cuál es la distancia
entre estas ciudades?

Solución
• Usando la ecuación 1
L= 1000(ϕ1-ϕ2)
9
• Sustituyendo ϕ1 por 26º y ϕ2 por 19º, nos
queda:
L= 1000(26º-19º)
9
L= 777.777km
Lo cual nos indica que hay una distancia de 777.77
km entre las dos ciudades.