Relatividad: Un Mundo Cercano a la Luz

Relatividad: Un Mundo
Cercano a la Luz
Para estudiante
de 3 er año de
enseñanza media.
Autores:
Mauricio Gálvez.
Yesica Tupa.

Índice
Presentación………………………………………………………………………………………………………..pág. 2
Introducción.…………………………………………………………………………………………………….….pág. 4
Capítulo 1: Relatividad de Galileo y Einstein.
1.1 Relatividad de Galileo………………………………………………………………………..pág.5
1.2 Ecuaciones de Galileo…………………………………………………………………………pág.9
1.3 Relatividad especial de Einstein………………………………………………………pág.14
1.4 Postulados de Einstein……………………………………………………………………….pág.17
1.5 Transformaciones de Lorentz………………………………………………………….pág.18
Capítulo 2: Efectos de la Relatividad Especial
2.1 Contracción de la Longitud……………………………………………………………….pág.23
2.2 Dilatación del tiempo………………………………………………………………………..pág.27
2.3 Paradoja de los gemelos…………………………………………………………………...pág.31
2.4 Representación de la fórmula E=mc 2 ……………………………………………..pág.34
2.5 Ejercicios propuestos ………………………………………………………………………pág.36
Capítulo 3: Relatividad General
3.1 Concepto de gravedad……………………………………………………………………….pág.37
3.2 Agujeros negros…………………………………………………………………………………pág.39
3.3 Agujeros de gusano……………………………………………………………………………pág.43
Actividad………………………………………………………………………………………………………………..pág.46
Prueba Formativa propuesta ……………………………………………………………………………pág.47
Conclusión………………………………………………………………………………………………………………..pág.49
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………..pág.50
Agradecimientos…………………………………………………………………………………………………….pág.53
1

Presentación
Esta monografía se centra principalmente en la problemática que existe en
algunos los colegios de Arica, tanto municipales como particulares
subvencionados, en donde los docentes no adquieren material didáctico
suficiente para enseñar la unidad “el mundo relativista” a los estudiantes de
tercer año de enseñanza media del curso de especialidad correspondiente a
ese año, sin mencionar la complejidad que conlleva a estos mismos estudiantes
entender los conceptos de la relatividad.
Es por ello que esta monografía está diseñada con la finalidad de que los
estudiantes puedan comprender de una manera más entretenida y didáctica los
fenómenos de la relatividad especial y general. Además, este documento
servirá como una guía para los docentes, donde ellos podrán enriquecer sus
clases relacionadas con la unidad “el mundo relativista” realizando actividades
como tareas, guías y evaluaciones complementándose con links con acceso a
videos y presentaciones en power point con sus correspondientes animaciones.
En primera instancia, los conceptos que se verán a continuación disponen de una
mayor claridad y entendimiento, de tal manera, que los estudiantes puedan
desarrollar una visión mucho más clara sobre la relatividad y aplicarla a los
fenómenos físicos desde distintos puntos de vista tanto inerciales como no
inerciales, ósea en reposo o con rapidez constante respectivamente.
Esta monografía estará constituida de tres capítulos que abarcarán la mayor
parte de los contenidos necesarios de relatividad, basándonos en los planes y
programas del ministerio de educación.
En nuestro primer capítulo empezaremos con la relatividad de Galileo, ya que
por hechos históricos, él fue el primero en realizar experimentos relacionados
con el movimiento de los cuerpos vistos desde distintos sistemas de
referencia. También se conocerán las transformaciones de Lorentz que
incluyeron a los cuerpos con velocidad cercana a la velocidad de la luz y por
último veremos los postulados de Einstein.
2

En el segundo capítulo veremos los efectos de la relatividad especial y sus
consecuencias en los movimientos de los cuerpos. Estos efectos incluyen la
contracción de la longitud y la dilatación del tiempo, además de incluir la
paradoja de los gemelos, aplicando los dos efectos anteriores. También
incluiremos la descripción de la famosa fórmula E = mc 2 .
El tercer capítulo mostraremos la relatividad general, dando a conocer el
concepto de gravedad según lo estudiado por Einstein, los tipos de agujeros
negros y la teoría de los agujeros de gusano.
3

Introducción
Una de las área estudiadas por los Físicos ha sido la relatividad del movimiento,
que ha traído diferentes controversias a lo largo de la historia. El primero en
indagar dicho tema fue Galileo Galilei, astrónomo, ingeniero, filósofo,
matemático y físico que revolucionó con sus experimentos en el área científica,
ya que comenzó a cuestionar sobre el movimiento de los cuerpos y sus
comportamientos según la perspectiva de cada observador.
Sin embargo, las teorías que propuso Galileo para el movimiento no son válidas
cuando hablamos de velocidades cercanas a la de la luz, ya que anterior a esto
mediante el experimento de Michelson - Morley se determinó que la velocidad
de la luz es una invariante por lo que es constante para todo observador.
Debido a esto Einstein ideó una teoría científica para los fenómenos asociados
a velocidades muy grandes.
La monografía explicará en forma didáctica y sencilla para los alumnos de
Tercer año de Enseñanza Media los diversos efectos que sufren los cuerpos
cuando viajan a velocidades cercanas a la luz, la cual se divide en tres grandes
capítulos. El capítulo 1 toma referencia del cambio que ocurrió entre la
relatividad de Galileo y la relatividad de Einstein, para luego analizar los
efectos que sufren los diversos cuerpos debido a la relatividad especial
tratados en el capítulo 2 y finalmente en el capítulo 3 dar una explicación a
definiciones, como lo es la gravedad.
4

Capítulo 1: Relatividad de Galileo y Einstein.
ítul1: “Relatividad de Galileo y Einstein”
1.1 Relatividad de Galileo
Galileo tenía ideas revolucionarias sobre el
movimiento de los cuerpos, de tal manera que decía
que el sol era el centro de nuestro sistema solar y que
la tierra, junto con los demás planetas, giraban
alrededor de él, pero los científicos se preguntaban,
porque no sentimos tal velocidad, Galileo respondió a
esta pregunta diciendo que dependía del sistema de
referencia que nosotros tuviéramos.
Retrato de Galileo Galilei
pintado por Sustermans
Justus en 1636.
Es así como más tarde esto pasaría a la historia
convirtiéndose en el”principio de la relatividad”.
Actividad N°1:
En la época de los piratas, Jack Sparrow lanza una moneda para ver la suerte de uno
de sus prisioneros, pero al tirar esta moneda, el pirata reflexiona y se pregunta en
donde caerá dicha moneda ya que el barco se encuentra en movimiento.
a) Pinta el círculo en donde tú crees que caerá
la moneda visto por el pirata, si esta se
lanza verticalmente hacia arriba mientras el
barco va a una velocidad constante.
b) ¿Qué trayectoria realiza la moneda según
Jack?
c)
V = cte
5

Analisis de la actividad:
Un pirata viendo desde fuera del barco vee que la moneda sigue una
trayectoria parabólica. Esto se produce por el movimiento del barco a una
velocidad constante.
Por otro lado, si un pirata desde dentro del barco observa que la moneda sigue
una trayectoria recta. Esto sucede debido a que el pirata va con la misma
velocidad que el barco y el solo ve que la moneda sube y baja.
6

Actividad N°2:
Carlitos Leiva está jugando a las bolitas en un parque y las que gana se las guarda
en el bolsillo. Al momento de irse a su casa pasa por delante de otro niño que está
sentado en una banca y Carlos al presumir se le cae una bolita. Con respecto al niño
sentado en la banca, ¿Cuál es la trayectoria que realiza la bolita?
Este es uno de los experimentos realizados por Galileo que consiste en colocar
un sistema de referencia en un barco con velocidad constante y otro en una
persona que está en tierra.
La persona que está en la tierra ve que la pelota hace un movimiento parabólico,
mientras que la persona que lanza la pelota desde el barco ve que esta se
mueve en línea recta.
Si quieres ver lo que ocurre, ingresa a esta página:
http://fisicaexpdemostrativos.uniandes.edu.co/MovimientoRelativo.html
Crédito: universidad de los Andes
¿Por qué dos personas que observan el mismo movimiento no ven el mismo
efecto?, pues bien, Galileo Galileo determinó que todo movimiento es relativo,
por lo tanto, depende de un “sistema de referencia” en el cuál se observa el
movimiento.
7

¿Qué es un Sistema
de referencia?
Sistema de referencia: Primero debemos fijar un punto en el que queremos
ubicar nuestro sistema de referencia y luego, en base a este sistema,
determinar las coordenadas de un cuerpo en movimiento. En palabras
simples, corresponde al lugar desde donde se estudia un cierto sistema en
movimiento. Como por ejemplo una caja que se encuentra dentro de un
automóvil se encuentra en reposo para un observador que lo mira desde
dentro del auto, mientras que para una persona que mira la caja desde
afuera, la caja se mueve con la rapidez del automóvil.
Entonces también es necesario tener en cuenta la siguiente definición:
Un sistema de referencia inercial son
coordenadas que se ubican en un cuerpo
con puede estar en reposo o con
velocidad constante.
8

1.2 Ecuaciones de Galileo
Fig. 1
En la figura 1 se aprecian dos sistemas de referencia, un sistema S y un
sistema S’. Cuando se hable de sistemas primados, nos estaremos refiriendo a
sistemas que son con respecto de otros. Analizando los vectores de la figura, el
vector R es la posición que hay entre los dos sistemas de referencia, el vector
r es la posición del árbol vista por el niño (sistema S) y el vector r ' es la
posición del árbol vista desde el auto (sistema S’). La suma vectorial entre
estos tres vectores se relaciona de la siguiente manera:
r R r ' (1)
Para una dimensión se tiene:
R diˆ
r xiˆ
r
' x'
iˆ
Reemplazando estas expresiones en la fórmula (1) se tiene:
xiˆ
x'
diˆ
Para que estos dos vectores sean iguales se debe cumplir:
9

x
x'
d
Pero d vt , siendo v la velocidad del auto con respecto a S. Por lo tanto
tenemos la siguiente expresión:
x
x' vt
(2)
Esta expresión matemática nos indicará la distancia que hay entre el niño y el
árbol con respecto al auto. Pero si queremos la distancia que hay entre el auto
y el árbol con respecto al niño tenemos lo siguiente:
x' x vt (3)
Para el caso en que el niño adquiera una velocidad se necesita una nueva
expresión matemática que se puede determinar de una manera muy sencilla.
Primero designamos una letra u para la velocidad del niño con respecto al
sistema S y u ' a la velocidad del auto con respecto a S’. Si no entiendes
observa la figura 2.
Fig. 2
Según la figura se tiene:
x' u'
t
x u t
10

Reemplazando esto en la ecuación (2) se tiene:
ut u'
t
vt
Tanto para el niño como para el auto, como están en un mismo suceso, pasa el
mismo tiempo para ambos, por lo tanto se cancelan los tiempos de la ecuación y
se obtiene:
u u' v
(4)
El mismo proceso se realiza aplicando la ecuación (3) quedando lo siguiente:
u' u v (5)
Aplicando tanto la ecuación (4) y (5) podemos obtener las velocidades de cada
cuerpo con respecto a un sistema de referencia.
11

Ejercicios Resueltos
¡¡¡Ponte una meta!!! Realiza los problemas tú solo y después comprueba
si están correctos.
Ejercicio 1: Un ciclista y un camión parten de un mismo punto. El
ciclista corre a una velocidad de 20 km
h
mientras que el camión va
50 km h ¿Cuál será la velocidad del camión con
con una velocidad de
respecto al ciclista?
Solución:
Pasando las dos cantidades dadas al S.I.
v ciclista
20 1000
20 5, 5 m
3600 3,6
v camión
50 3,6 13,
8 m s
Aplicando la fórmula:
v'
v camión
v
s
ciclista
Se tiene el valor de v'
13,8 m s
5, 5m s
v'
8, 3 m
s
12

Ejercicio 2: Basándose en el ejercicio 1, calcular la distancia que ha recorrido
el camión con respecto al ciclista si el tiempo trascurrido durante todo el
suceso es de 8 segundos.
Solución:
Primero debemos calcular la distancia recorrida por el camión.
x
x
x
camión
camión
camión
v
camión
13,8
110,4
t
Reemplazando en la ecuación (3) nos queda:
x'
x v t
camión
x'
110,4
x'
110,4
m
s8s
m
ciclista
m 5,5m
s8s
m
44m
x'
66, 4
m
¿Qué tanto has aprendido?
1. Una tortuga va caminando a la sexta parte de la velocidad de un auto que pasa al
frente de esta tortuga a 40 km/h. ¿Cuál es la velocidad del auto vista por la tortuga?
2. Dos lombrices salen simultáneamente desde el mismo punto y caminan en línea recta a
los largo del eje x. La primera tiene una velocidad de 2 cm/s y la segunda de 4 cm/s.
¿Cuáles serán las coordenadas de la segunda cucaracha respecto de la primera
después de 4 segundos de a ver partido?
3. ¿Existe el reposo absoluto?
4. ¿A qué le llama sistema inercial?
13

1.3 Relatividad Especial de Einstein
La relatividad especial fue publicada por Einstein en
1905, donde dice que la velocidad de la luz en el vacio
es invariante a cualquier sistema de referencia.
Albert Einstein
La relatividad especial comienza con el cuestionamiento de las ecuaciones de
Galileo Galilei que son contradictorias al momento de introducir la constante
de la velocidad de la luz. Es por esto que Albert Einstein dice que estas
ecuaciones solo se pueden aplicar a cuerpos que tengan una velocidad menor
a la velocidad de la luz. Por suerte el experimento de Michelson - Morley
pudo descifrar que la velocidad de la luz es invariante a cualquier sistema.
Los estudios que llevo a cabo Lorentz también fueron una parte fundamental
en la creación de la relatividad especial, dando una explicación cuantitativa de
los resultados vistos por el experimento de Michelson - Morley.
14

Experimento de Michelson y Morley.
Este experimento, que fue realizado a finales del siglo IX, trato de demostrar
la existencia del éter. ¿Qué es el éter? Los científicos de aquel entonces
decían que el éter era una sustancia transparente, sin viscosidad en donde los
planetas podían moverse sin ningún problema y que descartaba la idea de que
el espacio era vacío. Michelson con ayuda de Morley, quisieron demostrar la
existencia de dicha sustancia, pero nunca se demostró y su experimento fue un
fracaso, pero fue un avance científico enorme. Se llegó a la conclusión que el
éter no existía, pero que la luz era invariante visto desde cualquier sistema de
referencia.
El experimento consiste en lo siguiente:
Fig. 4
15

Se proyecta un haz de luz desde una fuente luminosa hacia un espejo, tanto
transparente como reflectante, de tal manera que el rayo cuando llegue a él se
divida en dos, desplazándose en forma perpendicular. Los haces de luz que se
producen chocan con otros dos espejos y luego se reflejan volviendo al espejo
inicial y llegando a un detector que indicará si los dos rayos llegan al mismo
tiempo o no. La hipótesis de Michelson y Morley era que si existía el éter y la
tierra se movía en este medio los rayos no llegarían al mismo tiempo, pero tras
varios intentos y efectuar métodos que tuvieron una precisión mayor, no
fueron exitosos y los rayos siempre llegaban al mismo tiempo cosa que el
detector lo hacía notar cuando en su pantalla salía la imagen de un círculo
negro (ver fig.4).
El experimento comprobó entonces que el éter no existía ya que los científicos
de aquel entonces se preguntaban la razón de su existencia por diversos
motivos, primero es que todas las ondas dependen de la rigidez del medio para
poder propagarse con mayor velocidad, y cómo la velocidad de la luz es un valor
muy grande implicaba que el éter debía ser un medio muy rígido, sin embargo
los planetas giran libremente alrededor del Sol la cual corresponde al segundo
motivo.
Este resultado fue la base para que Albert Einstein pudiera postular la
relatividad especial y dijera que los tiempos no son los mismos para dos
sucesos, a diferencia de Galileo.
Los científicos a
mediados del
siglo IX
pensaban que
existía una
sustancia sin
viscosidad que
abarcaba todo el
espacio, hasta
los confines del
universo,
llamado éter.
16

1.4 Postulados de Einstein
Dentro de las teorías desarrollas por Einstein el postuló dos principios
fundamentales para el desarrollo de la relatividad especial:
1. Las leyes de la física son válidas para todos los sistemas de
referencia inerciales.
Esto quiere decir que todos los sistemas inerciales son equivalentes, sin variar
las expresiones matemáticas que se utilicen. En realidad no existe un sistema
de referencia que podamos considerar con movimiento absoluto, todo tiene un
movimiento dependiendo de donde se mire el suceso.
2. La velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas
inerciales.
A partir del postulado anterior, se puede inferir este resultado. Gracias al
experimento de Michelson y Morley, se pudo descubrir que la luz tiene la
misma velocidad independiente del sistema de referencia que tomemos. Por
ejemplo, si tenemos un tren y un auto a una velocidad constante, cada uno con
su sistema de referencia correspondiente, y en el trayecto estos dos móviles
lanzan un haz de luz, cada sistema verá la luz a la misma velocidad (ver fig.5).
La velocidad de la luz la designaremos con una letra “c”, y su valor es igual a
8
300.000
km s 310
m s .
Fig. 5
Crédito de imágenes a: http://www.shutterstock.com. http://es.123rf.com.
17

1.5 Transformaciones de Lorentz
Hendrik Lorentz fue uno de los científicos que
aportó con expresiones matemáticas a la teoría
de la relatividad especial, a fines del siglo IX.
Henry Lorentz fue uno de los científicos que ayudo a introducir una parte
importante en la realización de la relatividad especial, reemplazando las
expresiones matemáticas de Galileo Galilei por expresiones que incluyen a la
velocidad de la luz, que es invariante ante cualquier sistema de referencia, y de
esta manera proponer una generalización a las leyes del movimiento.
Debido al experimento de Michelson - Morley, pudo deducir que la velocidad
de la luz en invariante ante cualquier sistema de referencia. Lorentz pudo
deducir que las longitudes y los tiempos eran afectos al introducir la velocidad
de la luz, ya que por más preciso que haya sido el interferómetro siempre
había una mínima variación, tanto en medir una longitud como al ajustar los
relojes cuando nos encontramos en movimiento. Es por esto que introdujo las
llamadas “transformaciones de Lorentz” que son las siguientes:
18

x '
x vt
v
1
c
2
y ' y
z'
z
t '
v
t x
2
c
v
1
c
2
E inversamente:
x vt
x '
y' y z'
z
2
v
1
c
t
v
t'
2
c
x'
v
1
c
2
Estas últimas dependen exclusivamente del sistema de referencia de donde se
mire.
Como la constante
se hace presente frecuentemente, designamos
toda esta expresión matemática con una letra griega llamada “gamma”:
1
v
1
c
2
¿Cómo se llegó a esta expresión?
Recordemos las ecuaciones de galileo:
Si un auto que va en movimiento lanza un haz de luz, los dos sistemas de
referencia, tanto el que está dentro del auto, como el que esta fuera se
relacionarán con un factor, para incluir la velocidad de la luz:
x
' x
vt
(1) x x' vt'
(2)
19

El haz de luz recorre una distancia, esta vista desde los dos sistemas de
referencia se representan matemáticamente de la siguiente manera:
x' c t' (3) x ct
(4)
Si igualamos las ecuaciones (3) y (1):
ct'
x vt
Despejando
nos queda:
x vt
t'
c
Pero
, reemplazando en la ecuación:
ct vt
t'
c
Factorizando
se tiene:
t'
t
c v
c
(5)
Si realizamos el mismo procedimiento, pero en este caso igualando las
ecuaciones (4) y (2) y luego reemplazando la ecuación , factorizando
nos queda la ecuación:
t t'
c v
c
(6)
Ahora reemplazando (6) en (5):
t '
c
v c
v
t'
c
c
20

Dividiendo en ambos lados de la ecuación por ’ y multiplicando términos:
2
1
2 2
c v
c
2
1
v
2 1
c
2
2
Despejando gamma, aplicando raíz:
1
v
1
c
2
¿Sabías que…??? La tierra alrededor del sol va a una velocidad de 108.000 km/h.
21

Ejercicios Resueltos.
8
1. Un haz de luz recorre en x' 80m
, t'
810
s
en un sistema S ' y
z 0
sistema
S ' tiene una velocidad de
coordenadas espaciales y temporales en un sistema S.
Solución:
8
Considerando c 310 m s
1
v
1
c
2
. El
0 ,6c
respecto al sistema S . Determine las
calculamos el valor del factor gamma:
1
2
0,6c
1
c
1
Ahora calculando las coordenadas:
1
0,6
2
1,25
x'
vt'
1,25
80
0,6c
810
8
m
x
118
vx'
8
0,6c
118
t t'
1,25 8 10
3,1610
2
2
c
c
x 118
m
7
s
t 3,1610
7
s
Solución:
Por lo tanto las coordenadas son:
8
2. De acuerdo con la perspectiva de S un rayo cae en x 50m,
y z 0, t 510
s
S se desplaza a una velocidad de
.
0 .8c
a lo largo del eje x de S ' . ¿Cuáles son las
coordenadas espaciales y temporales del rayo determinadas por S?
1
v
1
c
2
1
2
0,8c
1
c
1
Ahora calculando las coordenadas:
1
0,6
2
1,67
x
vt1,67
50
0,8c
510
8 63, m
x'
46
vx'
8
0,8c
63,46
t'
t
1,67 5 10
2,1910
2
2
c
c
x'
63,46
m
7
s
t 2,1910
7
s
22

Capítulo 2: Efectos de la Relatividad Especial
El tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía en la mecánica
clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser
el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo
de un acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos
relojes no tendrán la misma medición de tiempo.
Éste hecho hace pensar que los cuerpos que viajan a la velocidad de la luz
pueden sufrir ciertos efectos sobre su longitud o sobre su tiempo. Los
fenómenos estudiados debido a esto son la contracción de longitud y la
dilatación del tiempo.
2.1 Contracción de la Longitud: Este efecto consiste en la contracción
de la longitud de un cuerpo en la dirección del movimiento a medida que su
velocidad se acerca a la velocidad de la luz.
Por lo tanto la longitud no es una característica propia de los cuerpos y que
depende del observador.
Voy a una velocidad
cercana a 300.000 km/s
23

A medida que un cuerpo va acercándose a la velocidad de la luz, va
disminuyendo su longitud, visto por un observador externo a él.
Diagrama de la contracción de la longitud
Donde L: longitud relativa
L O : longitud propia
En un sistema de referencia S se tiene a un niño parado en el origen de
coordenadas donde observa a un tren que va con una velocidad cercana a la luz.
Este niño mide el tren y su longitud relativa corresponde a x 2 –x 1 . Otro niño
está parado en el origen de coordenadas de un sistema S ’ y mide al mismo tren,
pero en reposo, que corresponde a x ’ 2 –x ’ 1.
Tarea:
¿En qué sistema el niño ve el tren más corto?
24

Según la transformación de Lorentz se tiene:
x1' x1
x2' x2
vt
vt
Restando ambas ecuaciones:
x
vt
x
vt
x2 ' x1
'
2
1
Multiplicamos el factor gamma a cada término:
x2 ' x1
' x2
vt
x1
vt
Se cancelan términos semejantes, y se factoriza por gamma, quedando así:
x
2
' x1
'
x
2
x
1
Reemplazando los valores de la longitud propia l x
x
' '
l x
x 2
x
0
'
2
x1
y la longitud
relativa 1tenemos la expresión que define la contracción de la
longitud.
l 0
l
Si consideramos la expresión algebraica del factor gamma la formula anterior
también la podemos expresar de la siguiente manera:
v
l l0 1
c
2
25

Ejemplo:
Supongamos que una nave espacial que se encuentra en reposo mide
l l
0
a) ¿Qué longitud medirá si esta viaja a una velocidad de 0 ,8c
?
b) ¿Qué pasaría si la velocidad de la nave aumenta a 0 ,9c
?
Solución:
a) Primero se debe determinar el factor gamma:
40 m
de largo.
1
v
1
c
2
1
2
0,8c
1
c
1
1
0,8
2
1,67
Luego utilizando la fórmula de la contracción de longitud se tiene:
1
40
l
0
m
l
1,
67
l 23, 95
l
m
b)
2, 29
v
1
c
2
1
2
0,9c
1
c
40
l
1
1
0,9
0
m
2
l
2, 29
l 17, 46
l
m
Créditos de imagen a: http://galeria.dibujos.net.
26

2.2 Dilatación del tiempo:
Imaginémonos que un vagón se mueve con velocidad v, próxima a la velocidad de
la luz, dentro de él hay un viajero el cual enciende una linterna apuntando al
techo. Supongamos que pudiéramos ver como un fotón que sale de la linterna
choca contra el techo.
a) Observador en el vagón:
v
x
El fotón ha recorrido una
distancia x en un tiempo t ' .
Observando al fotón dentro de la nave éste recorre:
x c t'
27

) Observador fuera del vagón:
v
x´
El fotón ha recorrido una
distancia x ' en un tiempo t .
Observando al fotón fuera del vagón éste ha recorrido un a distancia:
x'
c t
Como x ' es mayor que x y la velocidad del fotón según Einstein es la misma en
los dos casos, entonces t deberá ser mayor que t '.
c) Combinando los dibujos anteriores obtenemos el siguiente triángulo:
x
X ’
Donde d es lo que recorre el
vagón en el tiempo t y por lo
tanto d v t
28

Aplicando el Teorema de Pitágoras:
x'
2
x
2
d
2
Se reordena:
c
2
t
2
2
c t'
2
v
2
t
2
Se factoriza por t 2
:
2 2 2 2 2
c
v t
c t'
2 2
Se divide a ambos lados de la igualdad por c v :
t
2 2
2 c t'
2 2
c
v
Factorizar por
2
c en el denominador:
t
2
c
2
2 2
c t'
v
1
c
2
2
Cancelando el término
2
c :
t
2
2
t'
v
1
c
2
Por último aplicando raíz, obtenemos:
Que es equivalente a escribir:
t
t'
v
1
c
2
t
t'
29

Ejemplos
Un astronauta de 25 años de edad permanece 20 años terrestres en el espacio, viajando
en su nave a una velocidad de 0,4c. En la tierra lo espera su hermano mayor con 40 años
de edad.
a) ¿Cuál sería la edad de su hermano a la vuelta?
b) ¿Y la del astronauta?
c) ¿Qué pasaría si aumenta la velocidad de la nave a 0,9c?
Fundamenta.
Solución:
a) La cantidad de años que tendrá el hermano será de 40 años + 20 años = 60
años.
b) Primero calculamos la constante gamma:
1
v
1
c
2
1
2
0,4c
1
c
1
1
0,4
2
1,09
Tenemos que tener en cuenta que t’ es el tiempo que mide el astronauta y t es el tiempo
que mide el hermano. Entonces:
c)
1
v
1
c
t
t'
20 1,09 t'
t'
18, 3 años
2
1
2
0,9c
1
c
1
1
0,9
2
2,29
t t'
20 2,29 t'
t'
8, 73 años
30

2.3 La paradoja de los gemelos: Es un experimento mental que analiza
la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes
estados de movimiento.
Los protagonistas son dos gemelos, y el primero de ellos hace un viaje en una
nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. El otro se queda
en la Tierra.
http://www.alpoma.net/tecob/?p=435
31

Supongamos que tenemos a dos
gemelos. Uno de ellos hace un viaje al
espacio, mientras el otro se queda en
la tierra esperándolo.
Al encontrarse los dos hermanos
se dan cuenta que el viajero es
más joven y el que se quedo en la
tierra es más viejo.
http://agenda.pucp.edu.pe
• El viajero desde su punto vista ve que su hermano es quien se mueve a
una velocidad cercana a la luz y por lo tanto piensa que para su hermano
pasa el tiempo más lento.
• En cambio el hermano que está en la tierra, piensa que el hermano
viajero pasa el tiempo más lento, ya que desde su punto de vista, el
hermano viajero es quien se mueve.
32

Esto representa una paradoja. ¿Cómo es posible que para los dos
hermanos gemelos pase el tiempo lento?
• La relatividad especial NO responde a esto, ya que según los dos
sistemas de referencia ambos se mueven a velocidades cercanas a la luz
y por tanto a ambos se les dilata el tiempo. Sin embargo según el
experimento el gemelo de la Tierra envejece más. La respuesta a esto se
encuentra en el concepto de inercia, como la nave “viaja” a velocidad
constante no hay diferencia con el reposo, pero para que el viajero
regrese a la Tierra éste debe frenar o dar la vuelta y por tanto acelera,
eso significa que el viajero nota que es él quien viaja y no su hermano
(deja de ser un sistema inercial y pasa a ser un sistema no inercial). La
explicación a esto se basa en la relatividad general que estudiaremos en
el próximo capítulo. Sin embargo podemos hacer la analogía con la
dilatación del tiempo ya que como es el viajero quien se mueve a
velocidades cercanas a la luz es a él a quien se le dilata el tiempo y por
tanto envejece más lento.
VIDEO: “Paradoja de los gemelos”
https://www.youtube.com/watch?v=9K2u9sZWTYo
33

2.4 Representación de la fórmula E=mc 2 :
La teoría de la relatividad predice un efecto que, en un principio, parecía un
resultado puramente formal, pero que algunos años más tarde modificó
fundamentalmente el curso de la historia. Einstein se dio cuenta de que la masa
y la energía de un cuerpo aparecen siempre unidas de una manera notable en las
ecuaciones de su teoría. Esto le condujo a afirmar que existe una equivalencia
entre la masa y la energía expresada por la fórmula:
La energía tiene distintas
unidades de medida, pero la
más adecuada para este
contenido será el joule (J).
Donde E es la energía de un cuerpo, m su masa y c 2 la velocidad de la luz
elevada al cuadrado.
34

En la mecánica newtoniana, un cuerpo de masa m que se mueve con
velocidad v posee, en virtud de su movimiento, una energía igual
2
a 1 2mv . En la teoría de la relatividad, la energía de movimiento del
cuerpo resulta ser:
E
mc
2
v
1
c
2
Donde una vez más aparece el factor de Lorentz. Lo interesante de
esta fórmula es que, incluso cuando un cuerpo se encuentra en reposo
(es decir, V = 0), posee una energía que es justamente mc 2 . Einstein
concluyó que un cuerpo aun en reposo posee una energía almacenada en
forma de masa.
La fórmula de Einstein E = mc 2 afirma que un solo kilogramo de
materia equivale aproximadamente a toda la energía que se consume en
la Tierra en una hora.
Ejemplo:
Si 10 mg de sustancia se somete a una reacción nuclear liberándose 40,5x10 10
joule de energía. Calcular la masa sobrante de la sustancia final de las
reacciones en mg.
Respuesta:
2
E mc
10
40,510
m
8
3
10 2
6
m 4,5 10
kg 4, 5 mg
m 10 4,5 5, 5 mg
35

Ejercicios propuestos
1. Un ovni de 30 (m) de longitud propia pasa a tu lado a una velocidad de 0,6c.
Suponiendo que fueses capaz de medirlo:
a) ¿Cuál sería la longitud del ovni que tú medirías?
b) ¿Qué velocidad debería llevar para que su longitud fuese la mitad de su
longitud propia?
2. Un viajero espacial de 30 años permanece 10 años terrestres en órbitas,
viajando a una velocidad de 0,6c. En la tierra deja a su madre de 55 años
de edad.
a) ¿Cuál será la edad de su madre a la vuelta?
b) ¿y la suya?
3. La nave A pasa a la nave B con una velocidad relativa de 0,8c (8 por ciento
de la velocidad de la luz). Una mujer a bordo de la nave B tarda 4(s) en
caminar la longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave
A?
4. Una longitud de un metro de largo se mueve a 0,9c en relación con un
observador. ¿Cuál es la longitud relativa que ve el observador?
36

Capítulo 3: Relatividad General.
Créditos a:
http://www.fotosimagenes.org/relatividad-general
http://artigoo.com/son-agujeros-negros
La relatividad especial que nosotros vimos en los capítulos anteriores era solo
una pequeña parte de lo que se compone toda la relatividad, de hecho cuando
vimos la paradoja de los gemelos, la relatividad especial no bastó para dar
explicación a ése fenómeno. Su generalidad respecto al tipo de sistema de
referencia obliga a complementar la teoría de la relatividad. Es aquí donde
nace la relatividad general.
La relatividad general hace una generalización de la teoría anterior, agregando
que los fenómenos relativistas también son válidos para sistemas de referencia
no inerciales, o sea, que se mueven con aceleración.
Comencemos hablando sobre el concepto de gravedad.
37

3.1 Concepto de gravedad
¿Qué es la gravedad?.......
Para poder contestar esta pregunta primero
debemos retroceder en la historia. Isaac Newton
fue el primero en indagar en este tema, diciendo
que la gravedad es una atracción entre los cuerpos,
tal como la fuerza electroestática o un metal
atraído por un imán.
Según Albert Einstein la gravedad es una curvatura en el espacio, así como una
especie de tela, en donde al colocar un objeto pesado por encima de ella se
deforma de tal manera que todos los objetos que estén cerca de esta
deformación sigan una trayectoria. Es por esta razón que los planetas giran
alrededor del sol
38

Un experimento sencillo para entender el concepto de gravedad es el caso en
que desapareciera el sol de nuestro sistema solar. Según Newton, la
consecuencia de este hecho sería que los planetas al no tener algo que los
atrajera hacia el centro del sistema, saldrán de órbita y seguirían una
trayectoria recta en forma instantánea. Pero Einstein, por otro lado, comenta
que la teoría de Newton se contradecía con el hecho de que la velocidad de la
luz es invariante ante cualquier sistema de referencia, así que al considerar a
la luz en este hecho los planetas seguirían una trayectoria recta, pero después
de 8 minutos, ya que este es el tiempo que demora la luz en llegar a nuestro
planeta, por tanto, la gravedad de Sol al ser una curvatura del espacio
producirá una onda en dirección a la Tierra la cual demorará 8 minutos y por
tanto los efectos de que el Sol desaparezca lo sentiríamos después de ese
tiempo y no de forma instantánea según la teoría de Newton.
Actividad: Coloca una pelota pesada en una tela ó en las sabanas de tu cama. Luego
tira una bolita hacia la pelota. ¿Seguirá esta bolita una trayectoria curva por la
deformación que ha hecho la pelota? Verifícalo.
39

3.2 Agujeros Negros
Un agujero negro es una deformación del espacio – tiempo de tal densidad y
atracción gravitacional que nada puede escapar, ni siquiera la luz.
Lo que conforma al agujero negro son dos
características:
Horizonte de eventos: Es el borde del agujero
negro.
Singularidad: Es el punto más bajo de un agujero
negro, también se le conoce como “el punto sin
retorno”.(Ver fig.6)
Imagina que un agujero negro es como una
perforación dentro de una piscina. El agua tenderá
a irse por el orificio. Imagina que hay peces de
plástico en la piscina y estos representan las
estrellas. Los pescados caerán al agujero pasando
por el horizonte de eventos (orilla) y luego llegaran
al centro del agujero en donde ya no hay retorno.
40

Horizonte de
eventos
Singularidad
Fig.6
¿Cómo se produce un agujero negro?
Para entender del porque se producen los agujeros negros debemos
comprender el nacimiento de una estrella.
Todo comienza con el polvo estelar que queda de la
explosión una estrella en el universo. Este polvo se
llama “nebulosa”.
Luego el polvo estelar se empieza a comprimir
debido a la gravedad, de tal manera que llega
hasta el punto en que se forma una
“protoestrella”.
41

La gravedad se hace tan fuerte que llega un punto
en que los gases están comprimidos al máximo,
formando una “estrella”.
Una vez que pasan los años el combustible (hidrógeno)
de la estrella se va agotando y esta durará un cierto
tiempo dependiendo de su masa. Este defisis de
Hidrógeno, que genera una fusión de Helio, provoca una
“estrella gigante roja” para el caso de estrellas
masivas.
La estrella genera cada vez elementos más pesados,
llegando al fierro (Fe). Este elemento en vez de dar
energía la absorbe, por lo tanto la estrella colapsa y
explota. Esta explosión la llamamos “supernova”.
Si la gravedad colapsa y la densidad se hace cada vez
más grande, hasta que el espacio y el tiempo caen en una
singularidad.
42

Tipos de agujeros negros.
Agujeros negros súper masivos.
Estos agujeros tienen una masa equivalente
a un millón de estrellas. Se cree que hay un
agujero negro súper masivo en el centro de
cada galaxia del universo y su densidad es
tanta que es la causa del movimiento de las
estrellas alrededor de ellas.
Agujeros negros medianos.
Son los agujeros negros que se generan
cuando explota una estrella súper masiva,
exactamente las que tiene una masa
gigantesca y que llegan al periodo gigante
roja.
Agujeros negros estelares.
Son generados por estrellas no tan grandes,
no llegando al punto de ser una gigante roja.
43

3.3 Agujeros de Gusano
La teoría de la relatividad general de Einstein, e
incluso el estudio de los agujeros negros, permite
llegar a la conclusión de la existencia de agujeros
de gusano, conductos intergalácticos que conectan
dos lugares del especio – tiempo. Quiere decir que
nosotros podríamos viajar de un lugar cercano a
nuestro planeta hacia el centro de nuestra galaxia
en poco tiempo. John Wheeler en 1957 ideó una
analogía con respecto a este tema. Imagina que el
universo es una manzana y un gusano se encuentra
en su superficie, si el gusano quiere ir de un lado a
otro de la manzana hará un agujero llegando de
forma más rápida, y esto es verdad ya que la
trayectoria más corta de un lugar a otro es una
línea recta. De aquí nace el nombre de “agujero de
gusano”.
Albert Einstein junto a su colega Nathan Rosen
calcularon las ecuaciones matemáticas de esos
conductos. Esta teoría también es conocida como
“El puente de Einstein – Rosen”.
Este concepto en los años 60 era algo muy alocado,
inestable y poco probable, así que los científicos
de aquella época lo dejaron a un lado y no siguieron
investigando.
44

En los años 90 se hicieron
películas relacionadas con el
tema. Una de ellas era la
película “contacto”. Esta fue
basada en un libro escrito por
Carl Sagan quien se dejo
llevar por su imaginación y
escribió la idea de los
agujeros de gusano,
llevándolo a algo más real.
¿Un agujero de gusano es una máquina del tiempo?
Según Einstein y su teoría de la relatividad, si se
puede viajar en el tiempo, pero hacía el futuro. Hay
que recordar que el tiempo se dilata a medida que
viajamos a una velocidad cercana a la luz, y que la
persona que viaja a esa velocidad pareciera que su
tiempo se hace cada vez más largo. Los científicos
dicen que dentro de un agujero de gusano el tiempo
pasaría de forma normal, si esto fuera cierto
nosotros podríamos muchos años atrás o hacia
adelante.
En las películas de ciencia ficción aun usado bastante
esta teoría, siguiendo la idea de viajes en el tiempo,
paradojas y universos paralelos
El campo gravitatorio también afecta al tiempo.
Entre más lejos este un reloj de la tierra, mas rápido
se moverán las manecillas. Un ejemplo claro de esto
son los sistemas GPS que si no considerarán esto, no
funcionarían correctamente.
45

Actividades:
I- Responde las siguientes preguntas:
1- ¿Qué son los agujeros de gusano?
2- ¿Qué pasaría si la tierra atraviesa un agujero de gusano?
3- ¿Cuántas trayectorias tiene un agujero del gusano?
II-
Realiza un esquema del agujero del gusano indicando sus características.
VIDEO: “Agujeros de gusano”
http://www.youtube.com/watch?v=YrUEmoDfiU8
VIDEO: “Concepto de la gravedad”
http://www.youtube.com/watch?v=oorQeURuafw
46

Actividad
¿Verdadero o Falso? Justifica las falsas.
1. ____Una estrella nace a partir de la compresión de los gases de una
protoestrella.
___________________________________________________________
2. ____Albert Einstein con su compañero Carl Sagan encontraron la expresión
matemática de los agujeros de gusano.
___________________________________________________________
3. ____Los científicos dejaron de lado la teoría de los agujeros de gusano por ser
poco creativa.
___________________________________________________________
4. ____Una nebulosa se crea por la explosión de un planeta.
___________________________________________________________
5. ____Los agujeros negros tiene una densidad tan fuerte que ni la luz puede
escapar.
___________________________________________________________
6. ____La gravedad es una deformación del espacio – tiempo según Isaac Newton.
___________________________________________________________
7. ____Un agujero de gusano también es conocido como “El puente de Einstein –
Rosen”.
___________________________________________________________
8. ____Una estrella colapsa al generar elementos cada vez más pesados como el
hierro.
___________________________________________________________
9. ____La relatividad general es una generalización de la relatividad especial.
___________________________________________________________
10. ____Los relojes son afectados por el campo gravitatorio. Los GPS funcionan a
partir de esto.
___________________________________________________________
11. ____Se cree que en el centro de cada galaxia hay un agujero negro mediano.
___________________________________________________________
47

PRUEBA FORMATIVA
RELATIVIDAD
Nombre: ___________________________Curso_____Fecha:_________
Objetivos: Entender y comprender los distintos conceptos de relatividad
especial y general.
Ítem I: Desarrollo de problemas
1. Un conductor que circula por una carretera a 90 km/h es adelantado por
otro conductor cuyo velocímetro marca 124 km/h.
a) Si ambos mantienen sus velocidades constantes ¿Qué distancia
separará a ambos conductores cuando hayan pasado 20 minutos del
adelantamiento?
b) ¿Cuál es la velocidad del segundo conductor con respecto al primero?
2. De acuerdo con la perspectiva de O’, un rayo cae en x’ = 80m, y’=z’=0, t’=
5 x 10 -8 (s). O’ se desplaza a una velocidad de 0,6c a lo largo del eje x de
O. ¿Cuáles son las coordenadas espacio-tiempo del rayo determinadas
por O?
3. El observador O’ tiene una velocidad de 0,8c con respecto a O, ambos
ajustan sus relojes de manera que t = t’ =0 cuando x = x’=0. Si O
determina que un flash se dispara en x =50 m, y t =2x10 -7 (s). ¿Cuál es el
tiempo de este evento determinado por O’?
4. Un metro se mueve a 0,9c en relación con un observador. ¿Cuál es la
longitud relativa que ve el observador?
5. La nave A pasa a la nave B con una rapidez relativa de 0,8c. Una mujer a
bordo de la nave B tarda 4 segundos en caminar la longitud de su nave.
¿Qué tiempo registra el hombre en la nave A?
Ítem II: Preguntas abiertas.
1. ¿Cuáles son los dos principios de la relatividad especial?
2. ¿Qué es un agujero de gusano?
3. Explique la paradoja de los gemelos.
48

Ítem III: Ordena las figuras de tal manera que puedas generar un agujero
negro
SUPERNOVA NEBULOSA AGUJERO NEGRO ESTRELLA MASIVA
PROTOESTRELLA GIGANTE ROJA
1_____________ 2_______________ 3_______________
4_____________ 5_______________ 6_______________
49

Conclusión
Finalmente se ha llegado al término de esta monografía, que abarcó los
principales conceptos de relatividad, encontrándose al alcance de cualquier
estudiante y que puede ser de gran utilidad para la realización de actividades
en clases.
Se demostraron las expresiones matemáticas que fueron propuestas por
Galileo Galilei y las transformaciones de Lorentz logrando una comprensión al
momento de utilizarlas.
Además se llegó a una mayor claridad con respecto a los efectos provocados
por los cuerpos al ser sometidos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz,
ósea, la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo, efectuándolos de
forma más didáctica y entretenida, demostrando sus expresiones matemáticas
correspondientes.
Los ejercicios propuestos, resueltos y actividades dadas, se ejemplifican con
acciones de la vida diaria que no son percibidos a simple vista, realizando un
aprendizaje más significativo para el estudiante.
Por último se introdujo la teoría de los agujeros de gusano, en base al
fenómeno de los agujeros negros y por su puesto al concepto de gravedad
dictada por Albert Einstein en 1915 en su teoría de la relatividad general.
50

Bibliografía
Links:
‣ Documental sobre los agujeros negros. History Channel. (Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=HQvdbn7bqJQ.)
‣ Animación sobre la dilatación del tiempo. (Disponible en
http://web.educastur.princast.es/proyectos/jimena/pj_franciscga/dilat
iem.htm.)
‣ Explicación sobre el concepto de gravedad. (Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=oorQeURuafw.)
‣ Paradoja de los gemelos. (Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=9K2u9sZWTYo.)
‣ Historia de la relatividad especial. (Disponible en
http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_relatividad_especial.)
‣ Una breve historia de la relatividad. (Disponible en
http://www.librosmaravillosos.com/eluniversocascaranuez/capitulo01.ht
ml.)
‣ Sobre la teoría de la relatividad especial y general. (Disponible en
http://www.librosmaravillosos.com/teoriarelatividad/.)
Libros:
‣ Física General, 4 edición. Antonio Máximo. Beatriz Alvarenga.
‣ Física para ciencias e ingeniería con Física Moderna. Séptima edición.
Vol.2. Raymond A. Serwey . John W. Jewett. Jr. 2005- 2008.
‣ Landau, L. y Rumer, Y. (1997). ¿Qué es la teoría de la relatividad?
Santiago- Chile: Universitaria, 7a. Edición.
51

‣ Serway, R. (2005). Física para las ciencias e ingenierías. Thompson.
‣ Tippens, P. (2005). Física: conceptos y aplicaciones. Georgia: McGraw
Hill.
‣ Alonso, M. y Finn, E. (1995). Física volumen I. México D.F: Addison
Wesley publishing company.
‣ Herrera, M., Moncada, F. y Valdés, P. (2011). Física 1° medio. Santiago
– Chile: Especial para el Ministerio de Educación.
52

Agradecimientos
No hay que olvidar a las personas que hicieron posible esta monografía y que
estuvieron presentes en todo momento. Se agradece a nuestros profesores
guías Alicia Cruz y Germán rojas, a nuestro profesor informante don Carlos
Leiva, a nuestros familiares que nos brindaron su apoyo en los momentos más
difíciles y yo Mauricio Gálvez agradezco en lo personal a mi madre y a mi
pareja.
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