CONOCIENDO LAS CIENCIAS
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<strong>CONOCIENDO</strong> <strong>LAS</strong><br />
<strong>CIENCIAS</strong><br />
Gekko<br />
1
La realización y grafica de “Conociendo las Ciencias, Vol.1”, de Editorial Gekko,<br />
estuvo a cargo del siguiente equipo<br />
Jefe de realización: Erick Soto<br />
Coordinación de realización: Marcela Clímaco<br />
Corrección: Valeria Arias, Christopher Quijano<br />
Documentalista: Gabriela Barraza, Lilian Villalta, Marcela Clímaco, Valeria<br />
Arias, Christopher Quijano, Erick Soto<br />
Ilustración: Archivo Gekko, Erick Soto<br />
Diseño de cubierta: Erick Soto<br />
© 2014 EDITORIAL GEKKO S.A DE C.V<br />
Impreso en octubre de 2014<br />
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del<br />
“copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción parcial<br />
o total de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la<br />
reprografía y el tratamiento informático, así como la distribución de ejemplares<br />
de ella mediante alquiler y/o préstamo públicos<br />
2
<strong>CONOCIENDO</strong> <strong>LAS</strong><br />
<strong>CIENCIAS</strong><br />
Gekko<br />
3
Sinopsis<br />
Este libro, “Conociendo las ciencias”, presenta una recopilación de<br />
conocimientos científicos, tanto matemáticos como informáticos, que hasta la<br />
fecha continúan aportándonos mucha instrucción, como a las futuras<br />
generaciones.<br />
Todos estos argumentos han permitido diferenciar entre una ley y un principio,<br />
por ejemplo hemos descubierto que un principio es una regla que se cumple<br />
con cierto propósito pero originándose de una ley.<br />
Descubrimos lo vital de estas leyes en el estudio de las ciencias, ya que nos<br />
permiten resolver problemas aplicados a la vida, por ejemplo: Las fuerzas, la<br />
presión, la electricidad, el calor hasta el movimiento de los cuerpos, y otros<br />
temas de mucha relevancia.<br />
Estas leyes y principios han demostrado ser muy efectivas para la realización de<br />
actividades que requieren la aplicación de estas, hasta la manifestación en el<br />
reino animal, se ha descubierto el principio de Arquímedes en peces los cuales,<br />
nos enseñan que ellos cuentan en su cuerpo una pequeña bolsa lo cual a la<br />
presión del agua hace que el contenido de esta bolsa se comprima, lo que le<br />
ayuda a descender y viceversa.<br />
El presente trabajo facilita la realización de problemas matemáticos apoyados<br />
en las distintas leyes, principios y teoremas, pues contienen ejercicios<br />
claramente explicados con sus respectivas formulas.<br />
Además destacando datos valiosos que son aplicados a la vida para una mayor<br />
compresión de los temas analizados.<br />
4
Unidad 1: Fluidos<br />
Principio de Pascal en física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley<br />
enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal(1623–1662) que<br />
se resume en la frase: la presión ejercida sobre un fluido poco compresible y<br />
en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite<br />
con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido<br />
Principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: Un cuerpo<br />
total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de<br />
abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja<br />
Unidad 2: Leyes de la termodinámica<br />
Leyes que explican el funcionamiento de las mayorías de maquinas térmicas<br />
a través de las mismas<br />
Unidad 3: Leyes de Newton<br />
Las leyes de Newton nos muestran las relaciones del movimiento con la<br />
fuerza<br />
Unidad 4: Triangulo de Pascal<br />
El triangulo de Pascal es una representación de los coeficientes<br />
binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al<br />
matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en<br />
su Traité du triangle arithmétique.<br />
Unidad 5: Teorema de Pitágoras<br />
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el<br />
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo<br />
rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados<br />
menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto)<br />
Unidad 6: Leyes de la electricidad<br />
Las leyes de la electricidad son las que definen el concepto eléctrico y los<br />
problemas que la implican.<br />
Unidad 7: Ley de Hooke<br />
Ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para<br />
casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario<br />
que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la<br />
fuerza aplicada<br />
5
UNIDAD<br />
1<br />
Los fluidos<br />
OBJETIVOS<br />
DESCRIBIR EL EFECTO DE LA PRESION APLICADA<br />
A UN FLUIDO Y SUS APLICACIONES A LA<br />
TECNOLOGICAS DE USO COTIDIANO.<br />
IDENTIFICAR CUANDO ES QUE SE ORIGINA LA<br />
FUERZA DE EMPUJE Y EN QUE SITUACIONES SE<br />
APLICARA.<br />
6
Vasos comunicantes.<br />
Los vasos comunicantes son<br />
recipientes en los cuales se<br />
aplica un líquido homogéneo<br />
y al estar en reposo<br />
alcanzan el mismo nivel en<br />
todos los recipientes y no<br />
influye ni en el volumen ni<br />
en la forma.<br />
Principio de Pascal<br />
1. Teoría.<br />
Nació el 19 de junio de 1623 en Clermont-Ferrand. Se traslada junto a su familia<br />
a París en el año 1629. En 1654 junto con Pierre de Fermat, formuló la teoría<br />
matemática de la probabilidad, fundamental en estadísticas actuariales,<br />
matemáticas y en los cálculos de la física teórica moderna. Otras de sus<br />
contribuciones son la deducción del llamado 'principio de Pascal', que establece<br />
que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las<br />
direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales. En 1654<br />
entró en la comunidad jansenista de Port Royal, donde llevó una vida ascética<br />
hasta su fallecimiento. En 1656 escribió sus 18 Provinciales, en las que ataca a<br />
los jesuitas por sus intentos de reconciliar el naturalismo del siglo XVI con el<br />
catolicismo ortodoxo. Blaise Pascal falleció en París el 19 de agosto de 1662.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
Fluido.<br />
Cuando una molécula de un<br />
cuerpo tiene una unión<br />
débil, deslizándose una<br />
molécula sobre otras.<br />
Presión.<br />
Fuerza que ejerce un cuerpo<br />
a cada unidad de superficie.<br />
Vacio.<br />
Estado de una determinada<br />
región del espacio en el que<br />
no existe sustancia o<br />
elemento material alguno.<br />
Embolo.<br />
Pieza que se desliza por el<br />
interior de un cilindro con<br />
movimiento oscilatorio.<br />
Blaise Pascal fue un físico, matemático, escritor francés y quien abrazo la<br />
religión al final de su corta vida. Aporto mucho en las ciencias de la<br />
matemática, creando la primera calculadora mecánica llamada calculadora de<br />
Pascal la cual consistía en introducir en las ruedas metálicas delanteras los<br />
números y las soluciones aparecían en la ventana superior.<br />
Además aporto a la Teoría de la probabilidad investigaciones sobre los fluidos y<br />
también contribuyo a la aclaración de los conceptos de presión y vacio.<br />
Uno de sus aportes en la física fue la creación de los vasos comunicantes.<br />
Cuando paso por una experiencia religiosa en 1654, el renuncio a las<br />
matemáticas y a la física para dedicarse a la filosofía y a la teología.<br />
Conforma una de las ramas de la física, el principio de Pascal o ley de Pascal<br />
fue una ley enunciada por su creador.<br />
El principio de pascal o Ley de Pascal consiste en mantener en equilibrio el<br />
líquido en un recipiente que no puede ser deformado bajo el efecto de una<br />
presión, todo esto se resume en la frase dicha por el físico-matemático Blaise<br />
Pascal: “la presión ejercida sobre un fluido poco compresible y en equilibrio<br />
8
Sabias que…<br />
dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual<br />
intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido“.<br />
Una forma de comprobar el principio de Pascal es mediante una esfera hueca<br />
perforada en distintos lugares y con un émbolo o jeringa con agua, ejerciendo<br />
presión sobre la esfera se observa que el agua sale con la misma presión y con<br />
la misma velocidad.<br />
La ley de Pascal se aplica en diferentes maquinas hidráulicas como:<br />
Sabias que la ballena<br />
azul es el animal más<br />
grande que ha poblado<br />
la faz de la tierra, tiene<br />
30 metros de longitud y<br />
un peso de 180<br />
toneladas ,lo cual es<br />
equivalente a 40<br />
elefantes.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La prensa hidráulica.<br />
El gato mecánico.<br />
El freno<br />
El ascensor<br />
La grúa, etc.<br />
La prensa hidráulica: Esta formada por vasos comunicantes y pistones,<br />
tiene como objetivo maximizar la fuerza aplicada.<br />
El gato mecánico: Se utiliza un liquido (aceite) ejerciendo presión sobre<br />
un cilindro que empuja a otro de diferente tamaño. El gato mecánico<br />
responde a la ley de Pascal ya que afirma que la presión ejercida en<br />
contenedor cerrado siempre es la misma en todos sus puntos.<br />
<br />
El freno: Es un dispositivo que se utiliza para detener o disminuir la<br />
velocidad.<br />
<br />
El ascensor: Es un sistema para transportar personas o bienes a<br />
diferentes niveles.<br />
<br />
La grúa: Es una máquina de elevación de movimiento discontinuo<br />
creado para suspender objetos en el aire mediante un gancho.<br />
Para la aplicación del Principio de Pascal es necesario conocer su densidad y su<br />
peso especifico:<br />
<br />
Densidad: Es una magnitud escalar que mide la masa de un<br />
determinado volumen de una sustancia.<br />
<br />
Peso específico: Es la relación entre peso de una sustancia y su<br />
volumen.<br />
9
1.2 Esquema y formulas<br />
Para solucionar problema relacionados con el Principio de Pascal necesitaremos<br />
utilizar las siguientes formulas:<br />
Utilizando esta fórmula descubriremos la fuerza uno (F 1 ) aplicada<br />
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
Utilizando esta fórmula encontraremos la fuerza dos (F 2 ) aplicada<br />
F 2 = F 1 x A 2<br />
A 1<br />
Presión<br />
Se aplica en<br />
Sólidos Líquidos Gases<br />
Se fundamenta en<br />
Principio de Pascal<br />
Prensa hidráulica<br />
10
1.3 Partes de la formula y unidades<br />
Se representa la ley de Hooke mediante la siguiente formula.<br />
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
A la fuerza sobre el primer embolo la representaremos por = F 1<br />
A la fuerza sobre el segundo embolo la representaremos por = F 2<br />
Al área menor la representaremos por = A 1<br />
Al área mayor la representaremos por = A 2<br />
Si estamos buscando la fuerza sobre le segundo embolo se despejara de la<br />
siguiente manera.<br />
F 2 = F 1 x A 2<br />
A 1<br />
A la fuerza sobre el segundo embolo la representaremos por = F 2<br />
A la fuerza sobre el primer embolo la representaremos por = F 1<br />
Al área menor la representaremos por = A 1<br />
Al área mayor la representaremos por = A 2<br />
1.4. Ejercicios resueltos<br />
1) Si queremos elevar una masa de 1,200kg utilizando una elevadora hidráulica<br />
de plato grande circular de 80cm de radio y un plato pequeño circular de 15cm<br />
de radio. Calcular cuanta es la fuerza que existe en el embolo pequeño para<br />
elevar dicho cuerpo.<br />
Aplicando la formula.<br />
11
IMPORTANTE<br />
Siempre que se utilice en<br />
formulas la aceleración<br />
de la gravedad (g)<br />
siempre será de<br />
9.8m/s 2<br />
IMPORTANTE<br />
En este problema<br />
tenemos que hacer<br />
conversiones de cm a<br />
metros y se efectúa la<br />
siguiente fórmula:<br />
m = cm<br />
100<br />
M= 80<br />
100 =0.8 m<br />
M = 15<br />
100 = 0.15m<br />
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
Para determinar el valor de F 2 utilizamos la siguiente formula.<br />
F 2 = mg<br />
F 2 = 1,200kg (9.8 m s<br />
F 2 = 11,760 N<br />
2<br />
)<br />
Área del plato grande circular de 0.8m<br />
A = πr 2<br />
A = 3.14159(0.8m) 2<br />
A = 3.14159(0.64m 2 ) = 2.010m 2<br />
Área del plato pequeño circular de 0.15m<br />
A = πr 2<br />
A = 3.14159 (0.15m) 2<br />
A = 3.14159 (0.0225m) 2 = 0.071m 2<br />
Despejando la formula nos quedaría:<br />
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
F 1 = 11,760N ( 0.071m2<br />
0.15m2 ) = 5566.4 N<br />
Por lo tanto F 1 = 5566.4 N<br />
2) En una prensa hidráulica sus cilindros tienen un radio de 0.02m y de 0.1m<br />
respectivamente si sobre. Si sobre el embolo de área menor se ejerce una<br />
fuerza de 18N. ¿Qué fuerza ejerce la prensa hidráulica sobre el embolo mayor?<br />
Área del cilindro mayor y menor son.<br />
12
A = πr 2<br />
A = 3.14159 (0.1m) 2<br />
A = 3.14159 (0.01m 2 )<br />
A = 0.0314m 2 plato mayor<br />
A = πr 2<br />
A = 3.14159(0.02m) 2<br />
A = 3.14159(0.0004m 2 )<br />
A = 0.0013m 2 plato menor<br />
De acuerdo con el principio de Pascal<br />
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
Despejamos.<br />
F 2 = F 1 x A 2<br />
A 1<br />
F 2 =<br />
18N x 0.0314m2<br />
0.0013m 2<br />
F 2 = 434.77 N<br />
Por lo tanto F 2 = 434.77 N<br />
3) En un liquido confinado en un sistema de transmisión, se aplica una fuerza<br />
de 700 N sobre 0.5 m 2 . ¿Qué fuerza se obtiene en una superficie de 2.2 m 2 ?<br />
F 1 = 700 N<br />
A 1 = 0.5m 2<br />
A 2 = 2.2 m 2<br />
Aplicando ecuación.<br />
13
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
Despejamos.<br />
F 2 = F 1 x A 2<br />
A 1<br />
F 2 =<br />
700Nx 2.2m2<br />
0.5 m 2<br />
= 3,080N<br />
Por lo tanto F 2 = 3,080N<br />
4) Si levantamos una cisterna que tiene un peso de 700N, con la ayuda de un<br />
gato hidráulico. El cual está sobre un pistón de 1,300 cm 2 de área. Calcular la<br />
fuerza que se deba de ejercer, si se sabe que el área del pistón que empuja es<br />
de 17cm 2<br />
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
F 1 = 700N<br />
F 1 = 9.15 N<br />
17cm 2<br />
1,300cm 2<br />
La fuerza necesaria a aplicar es de 9.75 N<br />
5) ¿Cuánto pesa el hipopótamo cuyo puede equilibrar una prensa hidráulica.<br />
A 1 = 3m 2 , A 2 = 6 m 2 ? Si el peso del elefante es de 12,000 N.<br />
Aplicando formula.<br />
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
F 1 = 12,000 3m2<br />
6m 2<br />
F 1 = 12,000 (0.5) = 6,000 N<br />
14
1.4 Ejercicio propuesto<br />
1) Una prensa hidráulica tiene un embolo grande, cuyo radio es de 10cm. ¿Qué<br />
fuerza debe aplicarse al embolo pequeño, de un radio de 1cm, para elevar un<br />
vehículo de 1,300kg?<br />
Respuesta:<br />
________________________ Newton<br />
2. Aplicaciones a la vida.<br />
El principio de Pascal tiene muchas aplicaciones por ejemplo:<br />
Un sistema de tuberías, el motorista cuando presiona el pedal de un vehículo,<br />
se aplica una fuerza menor (F 1 ), la cual produce una presión (P), la cual se<br />
transmite hasta los frenos, lo cual da lugar a una fuerza mayor (F 2 ) deteniendo<br />
así el movimiento de las llantas. También así funcionan los brazos de las sillas<br />
de los barberos y algunos juegos mecánicos; gracias a esta propiedad de los<br />
fluidos de transmitir una presión en todas las direcciones.<br />
1) Un joven levanta un vehículo de carga de 900 N con la ayuda de un elevador<br />
hidráulico. Este descansa sobre un pistón de 3,000 cm 2 . Encuentra el valor de<br />
la fuerza ( F 1 ) que él ejerce, si se conoce que el área del pistón que empuja es<br />
de 35cm 2 .<br />
Aplicando la formula.<br />
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
Sustituyendo.<br />
35 cm2<br />
F 1 = (900 N)<br />
= 10.5 N<br />
3,000 cm2 Por lo tanto F 1 =10.5 N<br />
15
2) Si queremos trasladar una librera de 600 N con la ayuda de un elevador. Este<br />
descansa sobre la base de 1,000 cm 2 . ¿Qué fuerza se utiliza para levantar la<br />
librera si conocemos que su área es de 50 cm 2 ?<br />
Aplicando la formula.<br />
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
Sustituyendo.<br />
50 cm2<br />
F 1 = (600 N)<br />
1,000 cm 2 = 30N<br />
Por lo tanto F 1 = 30 N<br />
3) Si queremos elevar un piano de 500kg haciendo uso de un elevador<br />
hidráulico de plato grande circular de 40 cm de radio y un plato pequeño<br />
circular de 15cm de radio, calcular cuanta fuerza hay que ejecutar en el embolo<br />
pequeño.<br />
Aplicando las formulas.<br />
F 1<br />
A 1<br />
= F 2<br />
A 2<br />
A = πr 2<br />
Área del plato circular mayor.<br />
A 2 = 3.14159(0.4m) 2 = 0.50 m 2<br />
Área del plato circular menor.<br />
A 1 = 3.14159(0.15m) 2 = 0.0707m 2<br />
Para determinar el valor de F 2 utilizamos la siguiente formula.<br />
F 2 = mg<br />
F 2 = 500kg(9.8m/s 2 )<br />
F 2 = 4,900 N<br />
Despejando la formula nos quedaría:<br />
16
F 1 = F 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
F 1 = 4,900 N ( 0.0707m2<br />
0.50 m2 ) = 692.86 N<br />
Por lo tanto F 1 = 692.86 N<br />
3. Valoraciones<br />
Hemos comprendido que los líquidos no cambian para nada su volumen al ser<br />
sometidos a una presión, la presión se transmite de la misma forma en todas<br />
sus direcciones y va a ser más alta cuando mayor sea la densidad del liquido y la<br />
profundidad, esto no depende de la forma que tenga el recipiente ya que la<br />
presión se transmitirá de la misma manera en todos los puntos.<br />
El principio de Pascal tiene como base el comportamiento de los vasos<br />
comunicantes, los cuales llegan a comunicarse por medio de sus bases.<br />
También este principio se fundamenta en el funcionamiento de maquinas<br />
hidráulicas como: la prensa, el gato, el ascensor y la grúa.<br />
Donde hemos observado la mejor aplicación del principio de Pascal es en la<br />
prensa hidráulica, pues consta de dos cilindros de áreas distintas pero unidas<br />
por un tubo lleno de un liquido y cerrado por tubos de diferente tamaño.<br />
Podemos notar que el líquido siempre está a la misma altura en los cilindros y<br />
está en contacto en ambos tubos.<br />
Todo esto fue fundamentado por el gran científico Blaise Pascal, quien hizo<br />
grandes descubrimientos como es de imaginarlos<br />
El principio de Blaise Pascal también es evidenciado en juegos mecánicos y todo<br />
lo que involucre maquinas que trabajan con sistemas de agua.<br />
17
El Puy de Dôme<br />
4. Leyes y principios<br />
Es un volcán situado en<br />
el Macizo Central, en el sur<br />
de Francia. Es uno de los<br />
volcanes más jóvenes en<br />
la Chaîne des Puys. La<br />
erupción más reciente<br />
tuvo lugar en el<br />
año 5760 a. C.<br />
Las experiencias de Torricelli llegaron a oídos de Blas Pascal, que en la misma<br />
época vivía en la ciudad de Rúan. Entusiasmado con las ideas del físico italiano,<br />
repitió las experiencias y se convenció de que aquél tenía razón. Además,<br />
aprovechando que en su villa se construían excelentes tubos de vidrio, hizo<br />
construir uno de alrededor de once metros de largo, y realizó la experiencia de<br />
Torricelli, pero con agua, comprobando que alcanzaba una altura de 10,33<br />
metros.<br />
Debido a una disputa con físicos que sostenían todavía la vieja doctrina del<br />
horror al vacío, Pascal hizo esta experiencia hasta con vino, aplastando los<br />
argumentos de los adversarios.<br />
Si la teoría de Torricelli es correcta, pensó Pascal, ¿qué debe ocurrir cuando se<br />
hace la experiencia de Torricelli a distintas alturas, subiendo una montaña, por<br />
ejemplo? La presión atmosférica debe ir disminuyendo, y por lo tanto la<br />
columna de mercurio, que al nivel del suelo tiene una altura de unos 76 cm,<br />
debe ir disminuyendo también.<br />
Pascal decidió realizar el experimento, pero por su salud no pudo hacerlo<br />
personalmente. Envió a unos amigos, quienes ascendieron al Puy-de-Dóme, en<br />
la Auvernia, en 1649. Con gran emoción, los expedicionarios comprobaron que,<br />
a medida que ascendían por la montaña, el nivel del mercurio bajaba. El<br />
descenso alcanzó unos 8 cm al llegar a la cima.<br />
Principio de Arquímedes<br />
1. Teoría.<br />
Arquímedes, nace en Siracusa (Sicilia), dos generaciones después de Euclídes<br />
(287–212 a.C.). Muchas de sus vivencias, han llegado hasta nuestros días, al<br />
igual que muchos de sus trabajos matemáticos. Todas las fuentes que le han<br />
descrito, coinciden en que era un genio excéntrico.<br />
Hijo de astrónomo, desde joven se interesó por el estudio de los cielos. Su<br />
impresionante talento matemático se incrementó por su capacidad<br />
concentración. Llegaba a pasar largos periodos de tiempo trabajando. Cuentan<br />
18
que se olvidaba de comer y descuidaba su persona hasta el punto de que era<br />
obligado a bañarse a la fuerza. Pasó tiempo en Egipto, donde estudió en la gran<br />
biblioteca de Alejandría, las enseñanzas de Euclides.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
El principio de Arquímedes sucede cuando al sumergir un cuerpo en un líquido<br />
o en un gas parece disminuir de peso (peso aparente). Esto se debe a la fuerza<br />
de empuje que actúa sobre el cuerpo. Este fenómeno lo observo Arquímedes,<br />
quien estableció como principio que:<br />
Todo cuerpo sumergido en un fluido recibe un empuje dirigido hacia arriba,<br />
igual al peso del volumen del líquido que desaloja.<br />
El empuje no depende del material del cual está hecho el cuerpo, sino de<br />
volumen introducido en el agua.<br />
En un cuerpo sumergido actúan dos fuerzas de sentido contrario llamadas<br />
peso descendente y el empuje ascendente. Si el peso es mayor que el<br />
empuje, el objeto se hunde; si el empuje es mayor que el peso, el objeto<br />
flota en el líquido.<br />
Independientemente de la cantidad de liquido un cuerpo flotara o se hundirá,<br />
pues depende de la relación que exista entre la densidad del cuerpo.<br />
19
Para lograr que los cuerpos floten el principio de Arquímedes lo muestra de<br />
esta manera:<br />
Un barco de hierro desplaza un volumen de agua que pesa lo mismo que el<br />
barco incluyendo el aire que es menos denso pero que está dentro del casco de<br />
la nave.<br />
1.2 Esquema y formulas<br />
Para solucionar problemas relacionados con el Principio de Arquímedes<br />
necesitamos utilizar las siguientes formulas:<br />
Utilizando esta fórmula encontraremos el peso aparente (Pa)<br />
Pa = P − E<br />
Utilizando esta fórmula podremos encontrar el empuje (E)<br />
E = V solido P liquido g<br />
Utilizando esta fórmula podremos encontrar el peso del solido (P)<br />
p = m V<br />
Para encontrar la masa (m) necesitaremos utilizar la siguiente formula<br />
m = pV<br />
El peso (P) se puede expresar así:<br />
P = mg = V solido P solido<br />
20
Principio de Arquímedes<br />
Establecido por<br />
Arquímedes<br />
Quien afirma que<br />
Todo cuerpo sumergido en<br />
un fluido recibe un empuje<br />
dirigido hacia arriba, igual al<br />
peso del volumen del<br />
líquido que desaloja.<br />
El principio de Arquímedes sucede cuando<br />
Cuando al sumergir un<br />
cuerpo en un líquido o en<br />
un gas parece disminuir de<br />
peso (peso aparente).<br />
21
1.3. Partes de la formula y unidades<br />
Mediante esta fórmula encontraremos el peso aparente<br />
Pa = P − E<br />
<br />
<br />
<br />
Al peso aparente lo representaremos por = Pa<br />
Al peso lo representaremos por = P<br />
Al empuje lo representaremos por = E<br />
Mediante esta fórmula encontraremos el empuje<br />
E = V solido P liquido g<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al empuje lo representaremos por = E<br />
Al volumen solido lo representaremos por = V solido<br />
Al peso liquido lo representaremos por= P liquido<br />
A la aceleración de la gravedad la representaremos por= g<br />
Gracias a esta fórmula obtenemos el peso de un cuerpo<br />
p = m V<br />
<br />
<br />
<br />
Al peso lo representaremos por = P<br />
A la masa la representaremos por= m<br />
Al volumen lo representaremos por = V<br />
Por esta fórmula obtenemos la masa de un cuerpo<br />
m = pV<br />
<br />
<br />
<br />
A la masa la representaremos por= m<br />
Al peso lo representaremos por = P<br />
Al volumen lo representaremos por = V<br />
22
1.4. Ejercicios resueltos.<br />
1) Un cuerpo de 60 dm 3 y un peso de 130 kg, se sumerge completamente en<br />
un líquido de 1.5 de peso específico.<br />
Encontrar el empuje que recibe el cuerpo y su peso aparente R.<br />
Aplicando la formula de empuje.<br />
E = Pe x Vc<br />
E = 1.5<br />
kg<br />
dm 3 X 60 dm3 = 90 kg<br />
Aplicando la formula de peso aparente.<br />
R = P − E<br />
R = 130 kg − 30 kg<br />
R = 100 kg<br />
El cuerpo pesa al sumergirse completamente 100 kg.<br />
2) Un trozo de madera de 0.08m 3 que pesa 82kg, flota en un liquido, quedando<br />
un volumen emergente de 10dm 3 .<br />
Encontrar el peso específico del líquido.<br />
Transformando 0.08m 3 a dm 3 = 0.08 x 1000=80dm 3<br />
Aplicando la formula de volumen sumergido:<br />
Vs = Vc − VE<br />
Vs =80dm 3 − 10dm 3 = 70 dm 3<br />
Como flota, se cumple que:<br />
E = P<br />
E = 82kg<br />
23
Aplicando la fórmula para empuje:<br />
E = Pe x Vs<br />
Despejamos para encontrar el peso específico:<br />
Pe = E Vs<br />
Pe = 82kg<br />
70dm 3<br />
Pe = 1.17<br />
kg<br />
dm 3<br />
3) Un cuerpo que pesa 113gf en el aire, tiene un peso de 55 gf cuando se<br />
sumerge completamente en un líquido, cuyo peso específico es 1.02. ¿Cuál es<br />
el volumen de ese cuerpo?<br />
Aplicando la formula de peso aparente<br />
R = P − E<br />
R = 113gf − 55gf = 58gf<br />
Aplicando la formula volumen del cuerpo<br />
Vc = E Pe<br />
Vc =<br />
58gf = 58.86 cm3<br />
1.02fcm3 Volumen del cuerpo es igual a 58.86cm 3<br />
4) Si un cuerpo pesa 100 N en el aire y 80 N cuando está totalmente sumergido<br />
en agua, calcula el volumen del cuerpo y su densidad.<br />
Se deben identificar los datos que se poseen:<br />
P= 100 N (peso real)<br />
Pa = 80 N (peso aparente)<br />
V solido = variable desconocida (volumen del cuerpo sumergido)<br />
P líquido = 1,00 kg/m 3 (densidad del agua)<br />
24
G= 9.8 m/s 2 (aceleración de gravedad)<br />
P solido = variable desconocida (densidad del sólido)<br />
Sustituir en la ecuación:<br />
Pa = P − E<br />
80 N = 100 N − E<br />
E = 20 N<br />
E = V solido P liquido g = V solido (1,000 kg/ m 3 ) (9.8 m/ s 2 )<br />
20 N = V solido = 0.002040816327 m 3<br />
(1,000 kg/ m 3 ) (9.8 m/s 2 )<br />
Pa= V solido g (P solido − P liquido )<br />
80 N = 0.002 m 3 (9.8 m/s 2 ))( P solido − P liquido )<br />
80 N = ( P solido − P liquido )<br />
0.002m 3 (9.8 m/s 2 )<br />
80 N = ( P solido − P liquido ) = 4,000 Kg/m 3<br />
0.002 m/s 2<br />
P solido = 4,000 Kg/m 3 + 1,000 kg/ m 3 = 5,000 kg/m 3<br />
El volumen del solido es de 0.002 m 3 , aproximadamente, y su densidad de<br />
5,000 Kg/m 3<br />
1.4 Ejercicio propuesto<br />
Se tienen dos baldes idénticos llenos de agua hasta el borde. En uno de los<br />
baldes se introduce un pedazo de madera que flota. ¿Qué balde tiene el mayor<br />
peso?<br />
___________________________________________________________<br />
25
2. Aplicaciones a la vida<br />
Sabias que<br />
La flotabilidad de los objetos, como por ejemplo los barcos, por la presión que<br />
ocurre en un fluido la cual aumenta con la profundidad. La presión hacia arriba<br />
en una superficie inferior de un objeto sumergido es mayor que la presión<br />
hacia abajo sobre su parte superior.<br />
Los submarinos contienen unos tanques de lastre que se pueden llenar o vaciar<br />
de agua mediante un sistema de bombeo, pudiendo aumentar o bajar su peso.<br />
El submarino se hunde cuando los depósitos están llenos porque pesa más.<br />
Para flotar, se expulsa el agua de los depósitos, utilizando aire comprimido.<br />
Los primeros globos de<br />
aire caliente aparecieron<br />
en el 1700. Estos globos<br />
usan aire caliente<br />
producido por fuego en<br />
tierra antes del despegue,<br />
lo que limita el tiempo que<br />
pueden permanecer en el<br />
aire.<br />
Como el aire es un fluido también ejerce una fuerza de flotación.<br />
Un globo aerostático de aire caliente es una aeronave no propulsada que se<br />
sirve del principio de los fluidos de Arquímedes para volar, posee una bolsa que<br />
encierra una masa de gas más ligero que el aire.<br />
1) Una lata de estaño tiene un volumen total de 1,200cm 3 y una masa de 130g.<br />
Cuantos gramos máximos de balas de plomo podría llevar sin hundirse en el<br />
agua. La densidad del plomo es de 11.4g/cm 3<br />
1200 − 130 = 1070<br />
En el interior de la lata se deben de colocar balas de plomo con un peso de<br />
1070 para que no se hunda.<br />
2) Un cuerpo suspendido de un dinamómetro pesa 20 N, sumergido en el agua,<br />
15 N y en otro liquido 12 N. Calcular la densidad del líquido desconocido:<br />
Empuje en el otro líquido es de:<br />
20 − 12 = 8N<br />
Empuje en agua: 20 − 15 = 5N<br />
La densidad del líquido desconocido<br />
( 1g<br />
cm 3) (8 g<br />
) = 1. 6<br />
5<br />
cm 3<br />
26
3. Valoraciones<br />
Hemos llegado a la comprensión que un cuerpo sumergido total o parcialmente<br />
en un líquido, sin importar la cantidad donde se encuentre, recibe un empuje<br />
hacia arriba, igual al peso del líquido que desocupa. Algo muy importante que<br />
hemos observado es que el empuje no depende del material del que este<br />
fabricado el cuerpo, sino del volumen el cual fue introducido en el agua y<br />
también los fluidos más densos ejercen una mayor fuerza de empuje sobre un<br />
cuerpo que los fluidos menos densos.<br />
El principio de Arquímedes es muy aplicado para que los cuerpos floten en los<br />
fluidos, como el agua y el aire.<br />
El que flote un cuerpo o se hunda depende de su densidad y el liquido.<br />
Si un cuerpo muy pesado se hunde no lograra flotar pero elevara el nivel del<br />
líquido que se encuentre alojado.<br />
Este principio es tan sorprendente ya que se encuentra hasta en la vida de los<br />
peces ya que ellos mantienen una vejiga que se comprime para reducir su<br />
volumen y esto ayuda a que descienden, pero esta bolsa puede inflarse<br />
disminuyendo su presión y así logrando que el pez haciende.<br />
4. Leyes y principios<br />
En el siglo III a.C., el rey Hierón II gobernaba Siracusa. Siendo un rey ostentoso,<br />
pidió a un orfebre que le crease una hermosa corona de oro, para lo que le dio<br />
un lingote de oro puro. Una vez el orfebre hubo terminado, le entregó al rey su<br />
deseada corona. Entonces las dudas comenzaron a asaltarle. La corona pesaba<br />
lo mismo que un lingote de oro, pero ¿y si el orfebre había sustituido parte del<br />
oro de la corona por plata para engañarle?<br />
Ante la duda, el rey Hierón hizo llamar a Arquímedes, que vivía en aquel<br />
entonces en Siracusa. Arquímedes era uno de los más famosos sabios y<br />
matemáticos de la época, así que Herón creyó que sería la persona adecuada<br />
para abordar su problema.<br />
Arquímedes desde el primer momento supo que tenía que calcular la densidad<br />
de la corona para averiguar así si se trataba de oro puro, o además contenía<br />
27
algo de plata. La corona pesaba lo mismo que un lingote de oro, así sólo le<br />
quedaba conocer el volumen, lo más complicado. El rey Hierón II estaba<br />
contento con la corona, y no quería fundirla si no había evidencia de que el<br />
orfebre le había engañado, por lo que Arquímedes no podía moldearlo de<br />
forma que facilitara el cálculo de su volumen.<br />
Un día, mientras tomaba un baño en una tina, Arquímedes se percató de que el<br />
agua subía cuando él se sumergía. En seguida comenzó a asociar conceptos: él<br />
al sumergirse estaba desplazando una cantidad de agua que equivaldría a su<br />
volumen. Consecuentemente, si sumergía la corona del rey en agua, y medía la<br />
cantidad de agua desplazado, podría conocer su volumen.<br />
Sin ni siquiera pensar en vestirse, Arquímedes salió corriendo desnudo por las<br />
calles emocionado por su descubrimiento, y sin parar de gritar ¡Eureka!<br />
¡Eureka!, lo que traducido al español significa “¡Lo he encontrado!”.<br />
Así tomó una pieza de plata del mismo peso que la corona, y otra de oro del<br />
mismo peso que la corona. Llenó una vasija de agua hasta el tope, introdujo la<br />
pieza de plata y midió la cantidad de agua derramada. Después hizo lo mismo<br />
con la pieza de oro. De este modo, determinó qué volumen equivalía a la plata<br />
y qué volumen equivalía el oro.<br />
Repitió la misma operación, pero esta vez con la corona hecha por el orfebre. El<br />
volumen de agua que desplazó la corona se situó entre medias del volumen de<br />
la plata y del oro. Ajustó los cálculos y determinó de forma exacta la cantidad<br />
de plata y oro que tenía la corona, demostrando así ante el rey Hierón II que el<br />
orfebre le había intentado engañar<br />
28
UNIDAD<br />
Leyes de la termodinámica<br />
2<br />
2<br />
OBJETIVOS<br />
ANALIZAR <strong>LAS</strong> TRES LEYES DE LA<br />
TERMODINAMICA.<br />
RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO <strong>LAS</strong><br />
FORMU<strong>LAS</strong> PARA OBTENER EL CALOR, TRABAJO Y<br />
ENERGIA INTERNA.<br />
29
Leyes de la termodinámica<br />
1. Teoría.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
Si calentamos el aire al<br />
interior de un globo,<br />
observamos como el calor<br />
se transforma en trabajo<br />
mecánico, similar a lo que<br />
sucede con los farolitos<br />
voladores que al<br />
momento de calentar una<br />
candela al interior de<br />
ellos empiezan a volar.<br />
La termodinámica es la parte de la física que estudia las transformaciones del<br />
calor, como energía, en trabajo mecánico. Para convertir el calor en trabajo<br />
mecánico, es necesaria una sustancia. Dicha sustancia puede ser un gas, un<br />
líquido o una mezcla de ambos.<br />
Leyes fundamentales de la termodinámica.<br />
La termodinámica se basa en cuatro leyes fundamentales: ley de cero, ley de<br />
los gases ideales, primera ley de la termodinámica o principio de conservación<br />
de la energía y la segunda ley de la termodinámica.<br />
La ley cero es la base de las otras leyes de la termodinámica. Para entender la<br />
ley es necesario comprender el significado de equilibrio térmico y calor.<br />
El equilibrio térmico se alcanza cuando un cuerpo caliente y frio se ponen en<br />
contacto, la temperatura del cuerpo caliente disminuye y la del cuerpo frio<br />
aumenta. Mientras tanto, entre ambos sigue fluyendo energía y cuando esta<br />
energía se hace igual en ambos ellos han alcanzado dicho equilibrio.<br />
Puesto que las moléculas del cuerpo caliente tienen en promedio mayor<br />
energía que las del cuerpo frio, al ponerse en contacto con los cuerpos fríos las<br />
moléculas del cuerpo caliente transfieren energía al cuerpo frio. La<br />
transferencia de energía culmina cuando las temperaturas de los cuerpos son<br />
iguales.<br />
Llamaremos calor a la transferencia espontánea de energía desde un cuerpo<br />
caliente hacia un cuerpo frio.<br />
El calor entregado se considera como positivo, y el que se recibe se considera<br />
como negativo.<br />
31
Ley cero<br />
La ley cero de la termodinámica afirma lo siguiente:<br />
“Si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercer cuerpo, entonces los<br />
tres cuerpo estarán en equilibrio térmico”<br />
La ley de cero permite entender el concepto de temperatura. Se entiende que,<br />
en el estado de equilibrio, las temperaturas de los cuerpos en contacto son<br />
iguales y que un cuerpo tendrá mayor temperatura que otro si no hay<br />
equilibrio.<br />
Las leyes de las termodinámicas se pueden encontrar en el funcionamiento de<br />
todas las maquinas térmicas. Las cuales funcionan debido a que tienen la<br />
capacidad de convertir el calor en trabajo. Las maquinas térmicas suelen<br />
dividirse en dos grandes grupos: maquinas de combustión interna y las<br />
maquinas de combustión externa. Las maquinas de combustión interna son las<br />
más comunes ya que se encuentran en los motores de los automóviles, en los<br />
motores de aviones y en los cohetes, etc. Las maquinas de combustión externa<br />
son utilizadas en proyectos más grandes como en la locomotora y en la turbina<br />
de vapor. Por ejemplo, las maquinas de vapor transforman la energía de una<br />
cantidad de vapor en trabajo mecánico cinético.<br />
En la siguiente imagen se muestra el funcionamiento de una máquina de<br />
vapor y su capacidad para producir el vapor en energía.<br />
32
Escalas de temperatura.<br />
La temperatura se mide utilizando diferentes escalas termométricas. La<br />
graduación de estas escalas se realiza a partir de unos puntos de referencia que<br />
son constantes.<br />
Existen tres escalas termométricas que utilizan diferentes puntos de referencia<br />
Celsius, Fahrenheit y Kelvin.<br />
Escala Celsius (°C)<br />
También se denomina escala centígrada. La escala Celsius fue inventada en<br />
1742 por el astrónomo sueco Andrés Celsius. Esta escala divide entre las<br />
temperaturas de congelamiento y el punto de ebullición del agua en 100 partes<br />
iguales y cada división corresponde a un grado centígrado o grado Celsius. Esta<br />
escala es utilizada para la medición de la temperatura en la mayoría de los<br />
países. La escala de Celsius es la misma escala Centígrada.<br />
Escala Fahrenheit (°F)<br />
La escala Fahrenheit fue establecida por el físico holandés-alemán Gabriel<br />
Daniel Fahrenheit, en 1724. A pesar que en muchos países la escala Celsius ya<br />
es utilizada, la escala Fahrenheit es ampliamente utilizada en los Estados<br />
Unidos. Esta escala divide la diferencia entre los puntos de fusión y ebullición<br />
en intervalos de 180 y cada división corresponde a 1 °F.<br />
Escala Kelvin (K)<br />
La escala Kelvin o escala absoluta es la escala más empleada. Se construye con<br />
base en la definición de temperatura relacionada con el movimiento de las<br />
moléculas.<br />
33
Ley de los gases ideales<br />
La ley de los gases ideales o también llamada ley de Gay-Lussac, enuncio que a<br />
volumen constante, la presión ejercida por la masa de un gas aumenta en<br />
forma proporcional a la temperatura.<br />
En la cocina un tambo de<br />
gas no debe exponerse a<br />
un calor intenso, pues se<br />
dilataría el gas y<br />
ocasionaría una explosión<br />
o pérdida de gas<br />
En los gases en reposo (estáticos) se efectúan relaciones entre las magnitudes:<br />
presión (P), volumen (V), temperatura (T).<br />
Un gas es ideal si la interrelación de esas magnitudes es siempre.<br />
La presión de gas es directamente proporcional a su temperatura, o sea que si<br />
aumentamos la temperatura, aumentara la presión. Si disminuimos la<br />
temperatura, disminuirá la presión.<br />
Es importante recordar, que, las temperaturas han de expresarse en grados<br />
Kelvin ya que esta expresada en función de la temperatura absoluta.<br />
En estas imágenes se demuestra la veracidad de la ley de los gases<br />
ideales donde a temperaturas altas existe mayor presión.<br />
34
Primera ley de la termodinámica<br />
La primera ley de la termodinámica corresponde a la ley de la conservación de<br />
energía, que siendo aplicada a un sistema transforma el calor en trabajo y<br />
viceversa.<br />
El sol fuente de energía<br />
que es aprovechada y<br />
transformada de diversas<br />
maneras a través de<br />
paneles solares.<br />
Dicha ley establece que: “Aunque la energía se puede convertir de una forma a<br />
otra no se puede crear ni destruir”.<br />
La energía es la capacidad de los cuerpos para efectuar un trabajo. Se debe<br />
tener en cuenta que el trabajo se considera negativo. Cuando un gas libera<br />
calor, también se considera negativo.<br />
Al pasar de un estado a otro un sistema produce fenómenos físicos o químicos,<br />
los cuales se pueden presentar en diferentes formas:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cinética<br />
Potencial<br />
Eléctrica<br />
Mecánica<br />
Química<br />
Siempre que se produzca una cantidad de un tipo de energía deberá consumir<br />
una cantidad exactamente equivalente de otra clase.<br />
Segunda ley de la termodinámica<br />
Se define de esta manera: “No es posible, por ningún proceso cíclico, que el<br />
calor absorbido por una maquina sea transformado completamente en trabajo<br />
útil”.<br />
No se puede transformar toda la energía calorífica en trabajo mecánico; pero,<br />
existen aparatos que pueden convertir parte de esa energía térmica en trabajo:<br />
las maquinas térmicas.<br />
Las maquinas térmicas son de dos tipos:<br />
<br />
<br />
Maquinas de combustión interna: En el interior de este tipo de<br />
maquinas existe una fuente de alta temperatura que genera calor.<br />
Maquinas de combustión externa: La fuente de alta temperatura y que<br />
genera el calor siempre está fuera de ella.<br />
35
1.2 Esquema y formulas<br />
Las formulas utilizadas para resolver los diferentes problemas de las leyes de la<br />
termodinámica son las siguientes.<br />
Ley de los gases ideales:<br />
1) P T = K<br />
2) P 1<br />
T 1<br />
= P 2<br />
T 2<br />
Primera ley de la termodinámica:<br />
1) Q = W + U<br />
2) Q = W<br />
Segunda ley de la termodinámica:<br />
Esta fórmula nos ayudara a ver el rendimiento o eficiencia de una maquina<br />
térmica.<br />
1) ε = W Q .100<br />
36
Leyes fundamentales de la termodinámica<br />
Ley cero<br />
Ley de los gases<br />
ideales<br />
1ª Ley de la<br />
termodinámica<br />
2ª Ley de la<br />
termodinámica<br />
2 cuerpos<br />
equilibrio<br />
Volumen<br />
Constante<br />
Transforma<br />
Perdida de calor<br />
Mas un cuerpo<br />
Presión ejercida<br />
Calor<br />
Equilibrio<br />
Térmico<br />
Aumento la<br />
temperatura<br />
Trabajo<br />
Negativo<br />
1.3 Partes de la formula y unidades<br />
Se representa la ley de los gases ideales mediante la siguiente fórmula:<br />
P<br />
T = K<br />
<br />
<br />
<br />
A la constante la representaremos por = K<br />
A la temperatura la representaremos por= T<br />
A la presión la representaremos por= P<br />
37
La segunda forma de representar la ley de los gases ideales es de la siguiente<br />
manera:<br />
P 1<br />
T 1<br />
= P 2<br />
T 2<br />
A la temperatura primaria la representaremos por= T 1<br />
A la temperatura secundaria la representaremos por=T 2<br />
A la presión primaria la representaremos por= P 1<br />
A la presión secundaria la representaremos por= P 2<br />
La primera ley de la termodinámica puede ser expresada de dos maneras las<br />
cuales son:<br />
Q = W + U<br />
<br />
<br />
Al calor lo representaremos por = Q<br />
Al trabajo mecánico lo representaremos por = W<br />
Al aumento en energía externa del gas lo representaremos por = U<br />
Q = W<br />
<br />
<br />
Al calor lo representaremos por = Q<br />
Al trabajo mecánico lo representaremos por = W<br />
La segunda ley de la termodinámica se representa de la siguiente manera:<br />
ε = W Q .100<br />
<br />
<br />
<br />
Al rendimiento lo representaremos por = ε<br />
Al trabajo mecánico lo representaremos por = W<br />
Al calor lo representaremos por = Q<br />
38
1.4 Ejercicios resueltos.<br />
1) Un sistema pasa de un estado a otro intercambiando energía con su<br />
vecindad. Calcular la variación de energía interna del sistema cuando este<br />
absorbe 100 cal y realiza un trabajo de 200 J (1 cal= 4.18J)<br />
Aplicando formula<br />
Q = W + U o U = Q − W<br />
Sustituimos en la formula<br />
U = Q − W<br />
U = 418 J − 200 J = 218 J<br />
La energía interna del sistema aumento en 218 J<br />
2) Encontrar la temperatura a Fahrenheit<br />
30°<br />
F = 9 5<br />
°C + 32<br />
F = 9 5<br />
(30) + 32<br />
F = 270<br />
5 + 32<br />
F = 54 + 32<br />
F = 86<br />
En 30° hay 86 °F<br />
3) Encontrar la temperatura a Fahrenheit<br />
50°<br />
F = 9 5<br />
°C + 32<br />
39
F = 9 5<br />
(50) + 32<br />
F = 450<br />
5 + 32<br />
F = 90 + 32<br />
F = 122<br />
En 50° hay 122°F<br />
3) Encontrar la variación de la energía interna de un sistema que absorbe 500<br />
cal y realiza 40J de trabajo.<br />
Aplicando fórmula<br />
Q =<br />
U<br />
500 cal − 40 J = U<br />
500 cal − 167,4 cal = U<br />
332,6 cal = U<br />
4) ¿Qué trabajo realiza una máquina térmica, si de 25000 J que recibe<br />
aprovecha el 25%?<br />
Aplicando fórmula<br />
ε = W Q .100<br />
Despejamos a W en la formula la cual resultaría de la siguiente manera<br />
W = εQ<br />
Debemos calcular el rendimiento 25% = 25/100 = 0.25<br />
W = (0.25)(25000)<br />
W = 6250 J<br />
40
1.4 Ejercicio propuesto<br />
Una maquina térmica levanta a velocidad constante una caja de 100kg a una<br />
altura de 30m. Si la eficiencia de la maquina es de 26%, ¿Cuánto calor consume<br />
dicha maquina?<br />
_________________________________________________________________<br />
2. Aplicaciones a la vida<br />
La termodinámica es sumamente utilizada en la vida diaria pero mayormente<br />
utilizado en compresores, horno, calderas y los intercambiadores de calor,<br />
sistemas de aire acondicionado o calefacción, secado de cereales, refrigeración<br />
de alimentos, producción de hongos comestibles, en si como lo habíamos<br />
mencionado con anterioridad es muy utilizada.<br />
También los ponemos en práctica en situaciones tan sencillas como es el<br />
momento de cocinar.<br />
1) La temperatura de 1 litro de gas en condiciones normales de presión y<br />
temperatura cambia a 220 °C, mientras que su volumen es constante. Calcula la<br />
presión en torr a la que es sometido el gas (P= 1atm, t=273K)<br />
Aplicando la formula<br />
P 1<br />
T 1<br />
= P 2<br />
T 2<br />
760 torr<br />
273 K = P 2<br />
493 K<br />
P 2 = 1372.45<br />
El gas está sometido a 1372.45 torr<br />
2) Un paquete de galletas tenía un volumen de 100cm 3 cuando fue comprado<br />
en una ciudad en donde la presión es de aproximadamente 100 kPa. ¿Qué<br />
volumen tendrá el paquete cuando sea llevado a otra ciudad, donde la presión<br />
es aproximadamente 62kPa? Asumiendo que la temperatura es constante.<br />
41
Utilizando la formula<br />
P 1 V 1<br />
T 1<br />
= P 2V 2<br />
T 2<br />
Despejamos, quedando de la siguiente manera:<br />
P 2 V 2<br />
T 2<br />
= P 1V 1<br />
T 1<br />
(62kPa)( V 2 ) = (100kPa)(100cm 3 )<br />
V 2 = 1613 cm 3<br />
3. Valoraciones<br />
Al analizar las leyes fundamentales de la termodinámica las cuales son: la ley<br />
cero, la ley de los gases ideales, la primera ley de la termodinámica y la<br />
segunda, logramos observar que la ley cero es la base de las otras leyes. Para<br />
llegar a esta comprensión tuvimos que ver la importancia que tiene el equilibrio<br />
térmico, que se logra cuando un cuerpo caliente y un frio igualan su<br />
temperatura. La ley cero también puede ser llamada como ley de equilibrio.<br />
La ley de los gases ideales tiene que ver que cuando el volumen es constante la<br />
presión ejercida por un gas aumentara en forma proporcional a la temperatura.<br />
La primera ley de la termodinámica tiene que ver que el calor se transforma en<br />
trabajo y el trabajo en calor. También hay que tomar en cuenta que el trabajo<br />
se considera negativo. Al liberar calor un gas también se considera negativo.<br />
La segunda ley de la termodinámica dice que no se puede transformar toda la<br />
energía calorífica en trabajo mecánico, también afirma que es imposible que<br />
todo trabajo mecánico que recibe el sistema se transforme en calor ya que<br />
siempre había una fluidez hacia afuera.<br />
La leyes de la termodinámica son la base de todas las maquinas térmicas ya que<br />
se fundamentan por las misma.<br />
42
4. Leyes y principios<br />
Desde tiempos antiguos, el hombre ha estado en contacto con diversos<br />
fenómenos relacionados con el calor. Al igual que en otros casos, se intentó dar<br />
explicaciones a dichos fenómenos.<br />
Hacia fines del siglo XVII se propuso el concepto del flogisto; éste era un fluido<br />
que los cuerpos ganaban o perdían durante la combustión y otras reacciones<br />
químicas. Se creía que el calor era un fluido imponderable. Sin embargo, hacia<br />
fines del siglo XVIII, científicos como Antoine Lavoisier, Joseph Black y otros<br />
desecharon esta idea con base en los resultados que habían obtenido en sus<br />
experimentos. El mismo Lavoisier propuso una alternativa con la teoría del<br />
calórico. Supuso que el calórico era una sustancia que no se podía ni crear ni<br />
destruir y que era un fluido elástico.<br />
Para ese entonces Benjamín Thompson, conde de Rumford se había interesado<br />
en los fenómenos térmicos. Trabajó durante muchos años construyendo e<br />
inventando aparatos como hornos, chimeneas, etcétera. Se dio cuenta de que<br />
no era posible considerar al calor como una sustancia. En un célebre trabajo<br />
hizo ver que se podía producir calor por medio de fricción.<br />
Como ejemplo mencionó su experiencia en la perforación de cañones. Se había<br />
dado cuenta que podía generar tanto calor como quisiera simplemente<br />
produciendo tanta fricción como fuera necesaria. Esta experiencia la tenemos<br />
cotidianamente. Se puede calentar tanto como queramos algún objeto<br />
simplemente haciendo que otro resbale sobre él; aquí interviene el fenómeno<br />
de la fricción.<br />
Sin embargo, Rumford no pudo aclarar el origen de este movimiento. Fue hasta<br />
la década de 1830 a 1840 que el gran físico inglés James Prescott Joule realizó<br />
una brillante serie de experimentos y pudo demostrar que el calor era una<br />
forma de energía. Asimismo, presentó uno de los primeros enunciados de la<br />
conservación de la energía. Casi simultáneamente a Joule pero de manera<br />
completamente independiente, el médico alemán Robert Mayer publicó un<br />
trabajo en el que también enunció un principio de conservación de la energía.<br />
Sin embargo, se debe mencionar que los argumentos utilizados por Mayer para<br />
llegar a dicho enunciado contenían muchas generalizaciones sin base firme.<br />
Finalmente, el físico alemán Hermann von Helmholtz publicó un tratamiento<br />
cuantitativo de la conservación de la energía en el que incluía también las<br />
energías eléctrica, magnética y química.<br />
43
UNIDAD<br />
3<br />
Leyes de Newton<br />
OBJETIVOS<br />
ANALIZAR LA RELACION QUE EXISTE ENTRE LA<br />
FUERZA Y EL MOVIMIENTO.<br />
RESOLVER PROBLEMAS PARA CALCULAR LA<br />
FUERZA NETA.<br />
44
Leyes de Newton<br />
1. Teoría.<br />
Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un científico,<br />
físico, filósofo, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae<br />
Naturalis Principia Mathematica, más conocidos como los Principia, donde<br />
describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica<br />
Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros<br />
descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y<br />
la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del<br />
cálculo matemático. Newton fue el primero en demostrar que las leyes<br />
naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el<br />
movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado<br />
como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la<br />
culminación de la Revolución científica. Fue respetado durante toda su vida<br />
como ningún otro científico, y prueba de ello fueron los diversos cargos con<br />
que se le honró: en 1689 fue elegido miembro del Parlamento, en 1696 se le<br />
encargó la custodia de la Casa de la Moneda, en 1703 se le nombró presidente<br />
de la Royal Society y finalmente en 1705 recibió el título de Sir de manos de la<br />
Reina Ana.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
Isaac Newton fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático<br />
inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más<br />
conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal<br />
y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su<br />
nombre. Esclareció la relación entre la fuerza y el movimiento.<br />
1ª Ley de Newton o Principio de Inercia.<br />
Se afirma que sobre un cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme<br />
sino actúa ninguna fuerza sobre él, la suma de todas las fuerzas que actúan<br />
serán nulas.<br />
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el<br />
observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el<br />
46
interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que<br />
para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor<br />
se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de<br />
referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para<br />
definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de<br />
referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se<br />
observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve<br />
con velocidad constante.<br />
2ª ley de Newton o ley de fuerza.<br />
Existe una relación entre la fuerza neta que se aplica a un cuerpo y la<br />
aceleración que este cuerpo adquiere. Entonces la aceleración tomara la misma<br />
dirección y el mismo sentido de la fuerza neta por lo que son directamente<br />
proporcionales.<br />
Esto quiere decir que mientras más fuerza apliquemos nosotros a un cuerpo<br />
este desarrollara más velocidad o aceleración.<br />
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir,<br />
tienen, además de un valor, una dirección y un sentido.<br />
3ª ley de Newton o ley de acción y reacción.<br />
La ley establece que, si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro, este<br />
produce sobre el primero otra fuerza de igual valor (reacción), pero de sentido<br />
contrario , surgiendo dos fuerzas comúnmente denominadas acción y reacción<br />
entre la interacción de dos cuerpos.<br />
Por ejemplo la de un pescador, si este ejerce la acción sobre el dique, este<br />
último ejerce la reacción sobre el pescador y consecuencia la barca se desplaza.<br />
47
1.2 Esquema y formulas<br />
Leyes de Newton.<br />
Se clasifican en<br />
Primera Ley<br />
Segunda Ley<br />
Tercera Ley<br />
Conocida también<br />
como Ley de inercia,<br />
nos dice que si sobre<br />
un cuerpo no actúa<br />
ningún otro, este<br />
permanecerá<br />
indefinidamente<br />
moviéndose en línea<br />
recta con velocidad<br />
constante<br />
La Segunda ley de<br />
Newton se encarga<br />
de cuantificar el<br />
concepto de fuerza.<br />
Nos dice que la<br />
fuerza neta aplicada<br />
sobre un cuerpo es<br />
proporcional a la<br />
aceleración que<br />
adquiere dicho<br />
cuerpo.<br />
La tercera ley,<br />
también conocida<br />
como Principio de<br />
acción y reacción<br />
nos dice que si un<br />
cuerpo A ejerce una<br />
acción sobre otro<br />
cuerpo B, éste<br />
realiza sobre A otra<br />
acción igual y de<br />
sentido contrario.<br />
Para solucionar problemas relacionado a las leyes de newton son necesarias las<br />
siguientes formulas:<br />
1) F = m ∗ a<br />
2) a = F m<br />
48
1.3 Partes de la formula y unidades<br />
Se representa la fuerza aplicada sobre un objeto por la siguiente formula.<br />
F = m ∗ a<br />
<br />
<br />
<br />
A la fuerza aplicada la representaremos por = F<br />
A la masa la representaremos por= m<br />
A la aceleración la representaremos por= a<br />
Se representa a la aceleración por la siguiente formula<br />
a = F m<br />
<br />
<br />
<br />
A la aceleración la representaremos por= a<br />
A la masa la representaremos por= m<br />
A la fuerza aplicada la representaremos por = F<br />
Se representa la masa por la siguiente formula<br />
m = F a<br />
<br />
<br />
<br />
A la masa la representaremos por= m<br />
A la fuerza aplicada la representaremos por = F<br />
A la aceleración la representaremos por= a<br />
1.4 Ejercicios resueltos<br />
1) Se empuja un ladrillo con una fuerza de 1.2N y adquiere una aceleración de<br />
3m⁄ s<br />
2 ¿Cuál es la masa del ladrillo?<br />
Aplicando la formula de fuerza<br />
F = m ∗ a<br />
Despejando la formula de fuerza<br />
m = F a<br />
49
m = 1.2N<br />
3m<br />
s 2<br />
= 0.4kg<br />
La masa del ladrillo es de 0.4 kg<br />
2) Una fuerza le proporciona a la masa de 2.5 Kg, una aceleración de 1.2 m ⁄ s 2 .<br />
Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton.<br />
Aplicando la formula de fuerza<br />
F = m ∗ a<br />
2.5Kg * 1.2 m ⁄ s 2 = 3Kg m s 2<br />
F=3N<br />
La magnitud de la fuerza es de 3N<br />
3) ¿Cuál es la fuerza necesaria para que un móvil de 1500Kg, partiendo de<br />
reposo adquiere una rapidez de 2 m ⁄ s 2 en 12s?<br />
Aplicando la formula de aceleración<br />
a = Vf<br />
t<br />
a = 2 m ⁄ s 2<br />
12s<br />
a = = 0.16 m ⁄ s 2<br />
Aplicando la formula de fuerza<br />
F = m ∗ a<br />
F = 1500Kg ∗ 0.16 m ⁄ s 2<br />
F = 240N<br />
La fuerza necesaria es de 240 N<br />
50
4) La mano de un cuerpo empuja dos cuerpos sobre una superficie horizontal<br />
sin rozamiento. Las masas de los cuerpos son 2kg y 1kg. Y la mano aplica una<br />
fuerza de 5N al cuerpo de 2kg. Encuentre la aceleración.<br />
5) Encontrar la aceleración del cuerpo de 1kg y hallar la fuerza resultante que<br />
se ejerce sobre este cuerpo. Luego indicar las fuerzas que actúan sobre el<br />
cuerpo de 2kg y la fuerza resultante que actúa sobre este cuerpo.<br />
Aplicando la formula de fuerza<br />
F = m ∗ a<br />
La fuerza aplicada sobre los dos cuerpos juntos es de 5N. La masa de los dos<br />
cuerpos juntos es igual a 3 ya que se suman luego se despeja.<br />
F = 5N<br />
a = 5 3<br />
a = 1.67 m ⁄ s 2<br />
La aceleración es de 1.67 m ⁄ s 2<br />
5) Aceleración inicial<br />
a 1 =Aceleracion inicial<br />
a 1=1.67 m<br />
⁄ s 2<br />
Aplicando la formula de fuerza<br />
F = m ∗ a<br />
f 1 = 1 ∗ 1.67 = 1.67<br />
A continuación encontraremos la fuerza resultante la cual se encuentra de la<br />
siguiente manera:<br />
F = 5 − 1.67 = 3.33N<br />
Se restan porque llevan direcciones opuestas.<br />
La aceleración es de 3.33N<br />
51
1.4 Ejercicios propuestos.<br />
Sobre un automóvil de 1000kg de masa que se mueve a una velocidad<br />
constante de 20m/s, actúa una fuerza constante de 2,000 Newton en el sentido<br />
de movimiento calcula la aceleración del automóvil.<br />
__________________________________________________________<br />
2. Aplicaciones a la vida.<br />
Es importante mencionar que la física se aplica en todas las acciones que<br />
realizamos constantemente, las leyes de Newton no son la excepción, la<br />
verdad, son las más aplicadas en la vida diaria.<br />
1) Diana esta parada sobre una bascula dentro de un elevador. Antes de que<br />
este se ponga en movimiento. Diana ve que su peso es de 651 N. Conforme el<br />
elevador acelera hacia arriba, la báscula cambia y marca 733N.<br />
¿Cuál es la masa de Diana?<br />
Para solucionar este problema tenemos que encontrar la masa de Diana<br />
utilizando la segunda ley de Newton.<br />
Cuando el elevador esta en reposo, la única aceleración sobre Diana es la de la<br />
gravedad.<br />
Utilizando la formula<br />
F = m ∗ a = m ∗ g<br />
Si se sustituye el valor de la fuerza, que es el peso se tiene que w= mg, de<br />
donde se puede concluir que<br />
m = w g<br />
m =<br />
651 N<br />
9.8 m/s 2<br />
m = 66.4 kg<br />
52
La masa de Diana es de 66.4 kg<br />
2) Sobre un carro de 1,000 kg de masa, que se mueve a una velocidad<br />
constante de 20 m/s; actúa una fuerza constante de 3,000 N en el sentido del<br />
movimiento. Calcula la aceleración del automóvil.<br />
Utilizando la formula.<br />
a = F m<br />
a = 3,000<br />
1,000<br />
a = 3 m/s 2<br />
3. Valoraciones<br />
De acuerdo a lo que hemos comprendido existen tres leyes de Newton.<br />
La primera ley nos ha indicado que sobre un cuerpo en reposo no actúa<br />
ninguna fuerza y que las fuerzas presentes se anulan.<br />
Esta misma ley nos indica que todo cuerpo permanece en reposo o en<br />
movimiento rectilíneo si no actúa ninguna fuerza sobre él y si están todas las<br />
fuerzas que actúan sobre el serán nulas.<br />
La segunda ley de Newton afirma que las aceleraciones tienen la misma<br />
dirección y sentido que las fuerzas.<br />
La aceleración de cualquier objeto tiene, en todo momento, la misma dirección<br />
y el mismo sentido de la fuerza neta, si se aplican iguales fuerzas, el cuerpo de<br />
mayor volumen adquirirá una menor aceleración.<br />
La tercera ley de Newton se basa en dos fuerzas una de acción y reacción las<br />
cuales se pueden aplicar a cuerpos distintos.<br />
Al batear, la pelota golpea el bate y a la vez el bate golpea la pelota con este<br />
ejemplo sencillo evidenciamos la tercera ley de Newton.<br />
53
4. Leyes y principios<br />
Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de<br />
Newton o Leyes de la Dinámica, son tres principios a partir de los cuales se<br />
explican la mayor parte de los problemas planteados por la dinámica, en<br />
particular aquel relativos al movimiento de los cuerpos o sea se explicaba el<br />
movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Las Leyes de Newton<br />
permiten explicar tanto el movimiento de los astros como los movimientos de<br />
los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la<br />
mecánica de funcionamiento de las máquinas.<br />
La formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su<br />
obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Las leyes de Newton<br />
constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica<br />
clásica. En el tercer volumen de los Principia Newton mostró que, combinando<br />
estas leyes con su Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar<br />
las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.<br />
54
UNIDAD<br />
4<br />
Triangulo de Pascal<br />
OBJETIVOS<br />
REALIZAR PROBLEMAS DE PROBABILIDADES<br />
APLICANDO EL TRIANGULO DE PASCAL.<br />
EXPLICAR LA IMPORTANCIA DE LA<br />
APLICACIÓN DE LOS MONOMIOS, BINOMIOS,<br />
TRINOMIOS Y POLINOMIOS EN LA<br />
ESTADISTICA<br />
55
Triangulo de Pascal<br />
1. Teoría.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
El triangulo de Pascal o también conocido como triangulo de Tartaglia es un<br />
triangulo de números enteros, infinito y simétrico, se empieza con un 1 en la<br />
primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que<br />
cada uno de ellos sea la suma de los números que tiene encima.<br />
El matemático Blaise Pascal investigo muchas propiedades y aplicaciones de su<br />
triangulo. Por lo que explicaremos tres de sus propiedades.<br />
1ª propiedad.<br />
Cada número X es igual a la suma de<br />
los números de la fila horizontal<br />
anterior que está encima del número<br />
X.<br />
Es decir que corresponde a la suma de<br />
los números de una fila va a ser igual al<br />
número que se encuentra abajo.<br />
2ª propiedad.<br />
En la tabla de cada número X es igual a<br />
la suma de los números de la columna<br />
anterior.<br />
La suma de los números en las<br />
columnas será igual al número último<br />
de la derecha.<br />
57
3ª propiedad.<br />
Cada número de la tabla disminuido en<br />
uno es igual a la suma de todos los<br />
números que hacen un rectángulo. La<br />
suma de todos los números de un<br />
rectángulo es igual al número de la<br />
esquina inferior solo que se le restara<br />
siempre 1.<br />
1.2 Esquema y formulas<br />
1<br />
(a+b) 0<br />
1 1<br />
1 2 1<br />
(a+b) 1<br />
(a+b) 2<br />
1 3 3 1<br />
(a+b) 3<br />
1 4 6 4 1<br />
(a+b) 4<br />
58
Teorema de Pascal<br />
Triangulo de números enteros, infinitos y simétricos, se<br />
empieza con un 1 en la primera fila<br />
Blaise pascal investigo muchas propiedades<br />
de las cuales mencionaremos tres<br />
1ª propiedad<br />
2ª propiedad<br />
3ª propiedad<br />
Cada número X es<br />
igual a la suma de los<br />
números de la fila<br />
horizontal anterior<br />
que está encima del<br />
número X.<br />
En la tabla de cada<br />
número X es igual a la<br />
suma de los números<br />
de la columna<br />
anterior.<br />
Cada número de la<br />
tabla disminuido en<br />
uno es igual a la suma<br />
de todos los números<br />
que hacen un<br />
rectángulo<br />
1.3 Partes de la formula y unidades<br />
Se inicia con el numero 1 luego en la segunda línea luego aparecen dos unos en<br />
la tercera línea se suman los del centro pero a ambos extremos se coloca un<br />
uno y así sucesivamente<br />
59
1.4 Ejercicios resueltos<br />
La solución de los siguientes problemas deben de realizarse de acuerdo a la<br />
sección 1.2 Leyes y formulas, la cual nos demuestra las soluciones<br />
1) Solucionar el siguiente binomio utilizando el triangulo de Pascal<br />
(2x+2) 2<br />
(2x) 2 + 2(2x)(2) + (2) 2<br />
4x 2 + 8x + 4<br />
2) Solucionar el siguiente binomio utilizando el triangulo de Pascal<br />
(1a+3b) 2<br />
(1a) 2 + 2(1a)(3b) + (3b) 2<br />
1a 2 + 6ab + 9b 2<br />
3) Solucionar el siguiente trinomio utilizando el triangulo de Pascal<br />
( 5x − 2) 3<br />
(5x) 3 − 3(5x) 2 (2) + 3(5x)(2) 2 − (2) 3<br />
125x 3 − 150x 2 + 60x − 8<br />
4) Solucionar el siguiente polinomio utilizando el triangulo de Pascal<br />
(2x 2 − 1 4 )4<br />
(2x 2 ) 4 − 4(2x 2 ) 3 ( 1 x ) + 6(2x2 ) 2 ( 1 2<br />
x ) − 4( 2x 2 ) ( 1 3<br />
x ) + ( 1 4<br />
x )<br />
16x 8 − 32x 6 + 24x 4 − 8 x + 1 x<br />
4<br />
60
1.4 Ejercicio propuesto<br />
Solucionar el siguiente polinomio utilizando el triangulo de Pascal<br />
(4x+5) 4<br />
________________________________________________________________<br />
2. Aplicaciones a la vida<br />
Es importante mencionar que la aplicación del Triangulo Pascal es diversa, ya<br />
que puede ser utilizado en probabilidades o en combinaciones.<br />
El triangulo de Pascal es utilizado hasta en situaciones cotidianas como es el<br />
caso de seleccionar nuestro desayuno<br />
1) De que maneras Marcela podría elegir un desayuno, donde se tiene las<br />
siguientes opciones: bebidas tales como, té, jugo, café junto a pastel o pupusa<br />
Té<br />
Pastel<br />
Pupusa<br />
Jugo<br />
Pastel<br />
Pupusa<br />
Pastel<br />
Café<br />
Pupusa<br />
Marcela tiene la posibilidad de combinar su desayuno de 6 maneras diferentes<br />
61
2) Cuantas probabilidades tiene Alejandro para vestirse y asistir a una<br />
graduación. Sabiendo que el cuenta con tres pantalones color, negro, café,<br />
blanco y camisas de color, azul, morado, anaranjado<br />
Azul<br />
Negro<br />
Morado<br />
Anaranjado<br />
Azul<br />
Café<br />
Morado<br />
Anaranjado<br />
Azul<br />
Blanco<br />
Morado<br />
Anaranjado<br />
Alejandro puede asistir a la graduación de nueve maneras diferentes<br />
3. Valoraciones<br />
El triangulo de Pascal nos muestra que fueron utilizados números enteros,<br />
infinitos y de manera asimétrica para poder llevar a cabo 3 de las propiedades<br />
principales donde la primera propiedad nos muestra que los de una fila van a<br />
ser igual al número que está localizado en la parte de abajo.<br />
62
El triangulo de Pascal es muy parecido al binomio de Newton el cual es utilizado<br />
en la solución de problemas matemáticos.<br />
La segunda propiedad tiene que ver con la suma de números en las columnas<br />
los cuales serán iguales al último número de la derecha.<br />
La tercera propiedad tiene que ver con los números que forman un rectángulo<br />
es igual al número de la esquina inferior solo que tendremos que restar uno.<br />
4. Leyes y principios<br />
La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes<br />
binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un<br />
libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del<br />
año 200 a.C.<br />
En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático<br />
chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el<br />
triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se<br />
le llame triángulo de Yang Hui<br />
Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro<br />
sobre cálculos comerciales Rechnung (1527). Este es el primer registro del<br />
triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en<br />
honor al algebrista italiano Niccoló Fontana Tartaglia (1500–77). También fue<br />
estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567) y François Viète (1540-1603).<br />
En el Tratado del triángulo aritmético publicado en 1654, Blaise Pascal reúne<br />
varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver<br />
problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus<br />
propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los<br />
coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero<br />
sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión<br />
acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la<br />
fórmula del binomio.<br />
63
UNIDAD<br />
5<br />
Teorema de Pitágoras<br />
OBJETIVOS<br />
COMPROBAR MEDIANTE PROBLEMAS LA<br />
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS.<br />
CONOCER <strong>LAS</strong> DIMENSIONES DEL TEOREMAS<br />
EN LA NAVEGACION Y LA ARQUITECTURA.<br />
64
Teorema de Pitágoras.<br />
1. Teoría.<br />
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas<br />
influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido<br />
en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto,<br />
Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a<br />
exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se<br />
instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un<br />
movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como<br />
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus<br />
discípulos.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
El teorema de Pitágoras fue probada por un filósofo y matemático llamado<br />
Pitágoras de Samos quien fue considerado el primer matemático puro. Sus<br />
ideas fueron muy significativas en el avance de la matemática helénica, la<br />
geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones<br />
numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medias, a la teoría de<br />
la música a la astronomía.<br />
El teorema de Pitágoras establece que en todo el triangulo rectángulo, el<br />
cuadrado de la hipotenusa es lo mismo que la suma de los cuadrados de los<br />
catetos.<br />
Para comprender mejor sobre este tema es necesario saber los significados de<br />
hipotenusa y cateto.<br />
<br />
<br />
Hipotenusa: Es la parte de mayor longitud de un triangulo que se puede<br />
identificar simplemente ya que es el lado opuesto del ángulo recto.<br />
Cateto: En geometría los catetos son los dos lados menores de un<br />
triangulo rectángulo, los cuales juntos conforman el ángulo recto.<br />
Debemos de tener claros algunos conceptos y aspectos importantes acerca de<br />
este teorema a estudiar:<br />
<br />
El teorema de Pitágoras no es aplicable en todo tipo de triángulos , solo<br />
se puede hacer uso del teorema de Pitágoras en los triángulos<br />
66
ectángulos. Los triángulos rectángulos como lo dice su nombre son los<br />
triángulos que tienen un ángulo recto.<br />
Otro aspecto que es importante de recalcar es que el teorema de<br />
Pitágoras es el relacionado con sus usos ya que es muy utilizado en una<br />
gran cantidad de situaciones las cuales requieren hallar medidas que<br />
desconocemos y que de otra forma no podrían ser calculadas con<br />
exactitud.<br />
El teorema de Pitágoras constituye una de las ramas principales de la<br />
trigonometría.<br />
La trigonometría es una de la ramas de las matemáticas encargada de la<br />
medición de los triángulos, se deriva del griego trígono (triangulo) y metrón<br />
(medida).<br />
Además el teorema de Pitágoras se utiliza para la medición de una distancia<br />
recorrida.<br />
1.2. Esquemas y formulas<br />
Para solucionar problema relacionados al Teorema de Pitágoras necesitaremos<br />
utilizar las siguientes formulas:<br />
Utilizando esta fórmula descubriremos la hipotenusa (C)<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
Utilizando esta fórmula encontraremos los catetos (A) y/o (B)<br />
a 2 = c 2 − b 2<br />
b 2 = c 2 − a 2<br />
67
Teorema de Pitágoras<br />
Es una rama de<br />
Trigonometría<br />
Es la encargada de la medición de los triángulos<br />
El teorema de Pitágoras es aplicable en<br />
Triángulos rectángulos<br />
Los triángulos rectángulos son conformados por<br />
Hipotenusa<br />
Catetos<br />
1.3 Partes de la formula y unidades<br />
Se representa al Teorema de Pitágoras mediante la siguiente formula.<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
68
A la hipotenusa la representaremos por= c 2<br />
A los catetos lo representaremos por = a 2 y b 2<br />
Si estamos buscando uno de los catetos (A) la formula se despejara de la<br />
siguiente manera.<br />
a 2 = c 2 − b 2<br />
A los catetos lo representaremos por = a 2 y b 2<br />
A la hipotenusa la representaremos por= c 2<br />
Si estamos buscando el segundo cateto (B) la formula se despejara de la<br />
siguiente manera.<br />
b 2 = c 2 − a 2<br />
A los catetos lo representaremos por = a 2 y b 2<br />
A la hipotenusa la representaremos por= c 2<br />
1.4. Ejercicios resueltos.<br />
1) Encontrar el valor de la variable en el triangulo rectángulo.<br />
3<br />
2 C = ¿?<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
c 2 = 2 2 + 3 2<br />
c 2 = 4 + 9<br />
c 2 = 13<br />
c 2 = √13<br />
69
c = 3.61<br />
2) Encontrar el valor de la variable de el triangulo rectángulo.<br />
5 C = ¿?<br />
7<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
c 2 = 5 2 + 7 2<br />
c 2 = 25 + 49<br />
c 2 = 74<br />
c 2 = √74<br />
c = 8.60<br />
3) Encontrar el valor del cateto dos<br />
2x<br />
x<br />
10<br />
70
c 2 = a 2 + b 2<br />
2x 2 = 10 2 + x 2<br />
4x 2 = 100 + x 2<br />
4x 2 − x 2 = 100<br />
3x 2 = 100<br />
x 2 = 100<br />
3<br />
x 2 = 33.33<br />
x 2 = √33.33<br />
x = 5.77<br />
4) Encontrar el valor del siguiente cateto<br />
225 120<br />
X 100<br />
B 120<br />
71
100<br />
b 2 + a 2 = c 2<br />
b 2 + 100 2 = 120 2<br />
b 2 + 10,000 = 14,400<br />
b 2 = 14,400 − 10,000<br />
b 2 = 4,400<br />
b 2 = √4,400<br />
b = 66.33<br />
225 66.33<br />
X<br />
a 2 + b 2 = c 2<br />
a 2 + 66.33 2 = 225 2<br />
a 2 + 4,400 = 5,0625<br />
a 2 = √46,225<br />
a = 215<br />
72
1.4 Ejercicios propuestos<br />
Encontrar el valor de la variable en el triangulo rectángulo<br />
3cm<br />
c=?<br />
5cm<br />
_________________________________________________________________<br />
2. Aplicaciones a la vida<br />
El teorema de Pitágoras puede ser muy útil en situaciones de la vida diaria,<br />
permitiendo de la misma manera la aplicación de este.<br />
La aplicación más obvia del teorema de Pitágoras se encuentra en el mundo de<br />
la arquitectura y de la construcción, particularmente en lo referido a tejados<br />
con formas triangulares y hastiales.<br />
La triangulación es un método usado para señalar una ubicación cuando se<br />
conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre un<br />
ángulo de 90 grados, se usa el teorema de Pitágoras. Los celulares pueden<br />
rastrearse por triangulación. Los sistemas de navegación de vehículos usan este<br />
método. Puede usarse también junto con una brújula para determinar una<br />
localización geográfica. La NASA también usa la triangulación para determinar<br />
la posición de las naves espaciales.<br />
73
1) Una escalera de 10m de longitud se apoya sobre una pared. Si el pie de la<br />
escalera esta a 5m de la pared en dirección al piso, ¿a qué altura estará<br />
apoyada la escalera, respecto al piso?<br />
B<br />
10 m<br />
5m<br />
Por Pitágoras<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
10 2 = 5 2 + b 2<br />
100 = 25 + b 2<br />
100 − 25 = b 2<br />
75 = b 2<br />
√75 = b 2<br />
b 2 = 8.66 m<br />
2) Sofía es jugadora de beisbol y es a la vez una intrépida estudiante de<br />
matemática. Una vez ella dio un batazo exactamente hasta la segunda base<br />
donde el shortstop faldeo la bola. Ella se pregunto qué distancia había entre el<br />
Home y segunda base, si sabemos que la distancia entre bases es de 90 pies y<br />
que el campo corto es un diamante. ¿Qué le contestarías tu, si quieres ayudarle<br />
a resolver este problema?<br />
74
C<br />
90 pies<br />
90 pies<br />
c 2 = a 2 + b 2<br />
c 2 = 90 2 + 90 2<br />
c 2 = 8100 + 8100<br />
c 2 = √16200<br />
c 2 = 127.27 pies<br />
3. Valoraciones<br />
El teorema de Pitágoras constituye una parte principal de la trigonometría.<br />
Afirma que en un triangulo rectángulo tiene tres lados denominando uno como<br />
hipotenusa, otro cateto opuesto y el ultimo cateto adyacente. El teorema de<br />
Pitágoras nos ayuda a hacer mediciones de la distancia desde una montaña<br />
hacia un barco o medir la sombra de un árbol lo que hace al teorema de<br />
Pitágoras uno de los mas aplicables.<br />
La hipotenusa siempre es la parte más prolongada y siempre su ubicación será<br />
al ángulo de 90.<br />
Algo muy importante de recalcar es que el teorema de Pitágoras no puede ser<br />
aplicado a todo tipo de triangulo sino que solo a triángulos rectángulos. Los<br />
triángulos como su nombre lo dice son los que tienen un ángulo recto.<br />
75
4. Leyes y principios<br />
El teorema de Pitágoras ha sido utilizado desde hace mucho tiempo, como es el<br />
caso de los babilónicos en el cual la arqueología ha recuperado cerca de medio<br />
millón de tablillas de arcilla con textos cuneiformes, de las cuales casi<br />
trescientas tienen contendido matemático. En la tablilla Yale figura un<br />
cuadrado con los triángulos rectángulos resultantes de trazar las diagonales y<br />
varios números en caracteres cuneiformes escritos en el sistema de<br />
numeración babilónico, basado en las potencias de 60. En china hay dos<br />
tratados clásicos chinos de contenido matemático donde se relacionan<br />
aspectos geométricos, son el Chou Pei Suan Ching y el Chui Chang Suang Shu.<br />
Su contenido fue sustancialmente ampliado y desarrollado por dos<br />
comentaristas del siglo III d.C. Los tratados originales tratan los aspectos<br />
primitivos del Teorema, es decir, los resultados numéricos concretos, así como<br />
las leyes generales de formación de las ternas pitagóricas, mientras que los<br />
aspectos más evolucionados de la demostración son elaborados por Zhao y Liu.<br />
También lo encontramos en los egipcios los utilizaban el hecho de que el<br />
triángulo de lados 3, 4 y 5llamado "Triángulo egipcio", es rectángulo, para<br />
trazar una línea perpendicular a otra, a modo de "escuadra de carpintero", que<br />
era una práctica habitual de los agrimensores oficiales para recuperar las<br />
fronteras de los lindes de las tierras tras los periódicos corrimientos de tierras<br />
producidos por las crecidas del río Nilo.<br />
76
UNIDAD<br />
6<br />
Leyes de la electricidad<br />
OBJETIVOS<br />
EXPLICAR EL ORIGEN Y LA LEY DE CARGAS<br />
ELECTRICAS.<br />
RESOLVER PROBLEMAS PROPUESTOS APLICADOS<br />
A LA VIDA.<br />
77
Leyes de la electricidad<br />
1. Teoría.<br />
Charles Coulomb<br />
(Angulema, Francia, 1736-París, 1806) Físico francés. Su celebridad se basa<br />
sobre todo en que enunció la ley física que lleva su nombre (ley de Coulomb),<br />
que establece que la fuerza existente entre dos cargas eléctricas es<br />
proporcional al producto de las cargas eléctricas e inversamente<br />
proporcionales al cuadrado de la distancia que las separa. Las fuerzas de<br />
Coulomb son unas de las más importantes que intervienen en las reacciones<br />
atómicas.<br />
Georg Simon Ohm<br />
Físico y matemático alemán, nació el 16 de marzo de 1789 en Erlangen,<br />
Bavaria. Tanto su padre, de profesión cerrajero, con una amplia cultura para la<br />
época obtenida de forma autodidacta, como la madre, se encargaron de<br />
transmitir a los hijos conocimientos de matemática, física, química y filosofía<br />
Hacia 1805 Georg Simon ingresó en la Universidad de Erlangen, la que<br />
abandonó después del tercer semestre, al interferir la vida disoluta que llevaba<br />
con los estudios. Por ese motivo sus padres lo enviaron a Suiza, donde comenzó<br />
a trabajar como profesor en una escuela de Gottstadt bei Nydan y continuó<br />
estudiando matemáticas.<br />
Como resultado de sus investigaciones, en 1827 Georg Simon Ohm descubrió<br />
una de las leyes fundamentales de la corriente eléctrica, que hoy conocemos<br />
como “Ley de Ohm”. Esa importante ley postula que “la corriente que circula<br />
por un circuito eléctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensión que<br />
tiene aplicada, e inversamente proporcional a la resistencia que ofrece a su<br />
paso la carga que tiene conectada”.<br />
79
1.1. Concepto y definición.<br />
Electricidad<br />
Es una forma de energía debida al movimiento de electrones que forma efectos<br />
luminosos, caloríficos, mecánicos, químicos, etc.<br />
La electricidad es una energía indestructible. Es una de las principales energías<br />
que se usan en la vida cotidiana y varía de los humanos donde el uso de las<br />
maquinas y medios de comunicación son de alta necesidad para el que hacer<br />
de la vida.<br />
El agua es de vital uso para el genera miento de la electricidad. La electricidad<br />
se ocupa para diferentes ámbitos, para el uso del hogar hasta un uso científico.<br />
Electricidad estática.<br />
Se debe cuando un cuerpo tiene demasiadas cargas eléctricas en descanso.<br />
Normalmente los cuerpos poseen mismo número de cargas negativas como<br />
mismo número de cargas positivas (neutro), pero cuando se utilizan pude<br />
adquirir una carga positiva o una carga negativa. Este tipo de electricidad se da<br />
más que todo al frotar cuerpos.<br />
La influencia de la electrostática es la existencia de cargas positivas y negativas,<br />
en igual número, en un cuerpo conductor en estado neutro puede ponerse de<br />
manifiesto mediante los fenómenos llamados fenómenos de influencia.<br />
Influencia de la electrostática.<br />
Electricidad Dinámica. Esta electricidad es producida por una corriente que<br />
permanece en el mismo lugar siempre por lo tanto provoca la circulación<br />
permanente de electrones a través de un conductor. La corriente eléctrica se<br />
define como el desplazamiento de cargas eléctricas a lo largo de un conductor.<br />
Si se une mediante un conductor de dos cuerpos cargados, los electrones pasan<br />
de un cuerpo a otro, hasta que ambos estén al mismo potencial eléctrico. Se<br />
establece por lo tanto una corriente transitoria.<br />
Para que la corriente sea permanente entre los dos puntos unidos por un<br />
conductor, debe existir una diferencia de potencial permanente, es decir un<br />
80
campo eléctrico. Solo en este caso los electrones son lanzados por una fuerza<br />
llamada campo eléctrico, originándose así la corriente eléctrica.<br />
Para ello se necesita un generador eléctrico. El polo negativo del generador es<br />
el de menor potencial y el positivo con mayor potencial.<br />
La energía de los electrones proviene del mismo generador. En efecto, este<br />
generador establece una diferencia de potencial entre sus polos y por lo tanto<br />
un campo eléctrico. Los electrones sometidos se mueven a cierta velocidad y<br />
por lo mismo poseen energía cinética.<br />
Leyes de la electricidad<br />
1) Ley de Coulomb.<br />
La ley de Coulomb se puede expresar de la siguiente manera:<br />
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos<br />
cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la<br />
magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadro de la<br />
distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es<br />
de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo<br />
contrario.<br />
La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del<br />
medio en el que se encuentran las cargas.<br />
2) Ley de Ohm<br />
Establece que la intensidad de la corriente que circula por un conductor es<br />
proporcional a la diferencia de potencial que aparece entre los extremos del<br />
conductor. Ohm completó la ley introduciendo la noción de resistencia<br />
eléctrica<br />
Se denomina resistencia eléctrica a la igualdad de oposición que tienen los<br />
electrones al desplazarse a través de un conductor.<br />
La unidad de resistencia en el Sistema Internacional es el ohmio, que se<br />
representa con la letra griega omega (Ω)<br />
81
1.2. Esquemas y formulas<br />
Electricidad<br />
Energía<br />
indestructible<br />
Tipos de corriente<br />
Tipos de electricidad<br />
Alterna<br />
Dinámica<br />
Directa<br />
Electrostática<br />
Leyes de la electricidad<br />
Ley de Coulomb<br />
Ley de Ohm<br />
82
Para solucionar problemas relacionados con leyes de la electricidad<br />
necesitamos utilizar las siguientes formulas:<br />
Fe = q 1q 2<br />
r 2<br />
Fe = k q 1q 2<br />
r 2<br />
I = V R<br />
1.3. Partes de la formula y unidades<br />
La ley de Coulomb se expresa de la siguiente manera:<br />
Fe = q 1q 2<br />
r 2<br />
<br />
A la fuerza eléctrica la representaremos por = Fe<br />
A las cargas las representaremos por = q 1 q 2<br />
A la distancia entre las cargas las representaremos por = r<br />
Fe = k q 1q 2<br />
r 2<br />
<br />
A la fuerza eléctrica la representaremos por = Fe<br />
A las cargas las representaremos por = q 1 q 2<br />
A la distancia entre las cargas las representaremos por = r<br />
<br />
A la constante la representamos por = k<br />
1.4 Ejercicios resueltos<br />
1) Encontrar la Fe de un sistema de más 3MC y de otro sistema de menos 3 MC<br />
que están separados por 2m.<br />
Aplicando fórmula:<br />
Fe = kq 1q 2<br />
r 2<br />
83
Fe =<br />
Fe =<br />
nm2<br />
(9x10<br />
c 2 (3x10−6 C)(3x10 −6 C)<br />
(2m) 2<br />
0.081 Nm<br />
2<br />
4 m 2 = 0.02 N<br />
La fuerza eléctrica es de 0.02N<br />
2) Determine la corriente cuando 690 Coulomb de carga pasan por un punto<br />
dado en 2 minutos.<br />
Para la realización de este ejercicio necesitamos convertir los minutos a<br />
segundos, esto lo realizaremos de la siguiente forma<br />
2 min x<br />
60s<br />
1min = 120s<br />
Aplicando fórmula:<br />
I = q t<br />
I =<br />
690 c<br />
= 5.75 A<br />
120 s<br />
La corriente es de 5.75 A<br />
3) Se coloca un fusible de 2 amperios a una batería de 12 volteos ¿Cuál es su<br />
resistencia?<br />
Aplicando fórmula:<br />
R = V I<br />
R =<br />
12 volteos<br />
2 A<br />
R = 6 Ω<br />
La resistencia es de 6 Ω<br />
4) ¿Cual es la caída de potencial a través de un resistor de 4 omnios cuando<br />
circula a través de él una corriente de 8 amperios?<br />
Aplicando fórmula:<br />
84
V = IR<br />
V = 8 A ( 4Ω)<br />
V = 32 voltios<br />
5) Cual es la resistencia de un reóstato si la caída de potencial es de 48 voltios y<br />
la corriente de 4 amperios<br />
Aplicando fórmula<br />
R = V I<br />
R =<br />
48 volteos<br />
4 A<br />
R = 12 Ω<br />
1.4 Ejercicios propuestos<br />
¿Cuál es la resistencia de un reóstato si la caída es de 25 voltios y la corriente<br />
de 4 amperios?<br />
_________________________________________________________________<br />
2. Aplicaciones a la vida<br />
La energía es una fuente básica de vida y nos permite realizar muchísimas<br />
actividades de la vida diaria.<br />
1) Si se coloca un fusible en una casa de 5 amperios a una batería de 13 volteos<br />
¿Cuál es su resistencia?<br />
R = V I<br />
R =<br />
13 volteos<br />
5 A<br />
R = 2.6 Ω<br />
85
2) Determine la corriente en una casa cuando 680 Coulomb de carga pasan por<br />
un punto dado en 150 segundos.<br />
Aplicando fórmula:<br />
I = q t<br />
I =<br />
680 c<br />
= 4.53 A<br />
150 s<br />
3. Valoraciones<br />
Hemos comprendido que la electricidad es una energía indestructible y es<br />
utilizada en la vida cotidiana, el agua es vital para generar electricidad y por ello<br />
existen las presas hidroeléctricas. La electricidad puede ser transformada en<br />
energía luminosa.<br />
Las leyes principales de la electricidad son la Ley de Ohm y Coulomb.<br />
La ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica de atracción o repulsión<br />
entre dos cuerpos cargados depende directamente de la carga eléctrica de cada<br />
uno de ellos y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los<br />
separa.<br />
La ley de Ohm es que la intensidad de corriente que circula por resistencia es<br />
proporcional entre los extremos o inversamente proporcional a un conductor.<br />
No todos los materiales cumplen con la ley de Ohm ya que algunos son<br />
aislantes ya que no dejan que pase la carga eléctrica.<br />
4. Leyes y principios<br />
Thales de Miletus fue el primero, que cerca del 600 AC, conociera el hecho de<br />
que el ámbar, al ser frotado adquiere el poder de atracción sobre algunos<br />
objetos.<br />
86
Sin embargo fue el filósofo Griego Theophrastus el primero, que en un tratado<br />
escrito tres siglos después, estableció que otras sustancias tienen este mismo<br />
poder, dejando así constancia del primer estudio científico sobre la<br />
electricidad.<br />
En 1600, la Reina Elizabeth I ordena al Físico Real William Gilbert estudiar los<br />
imanes para mejorar la exactitud de las Brújulas usadas en la navegación,<br />
siendo éste trabajo la base principal para la definición de los fundamentos de la<br />
Electrostática y Magnetismo.<br />
En 1776, Charles Agustín de Coulomb inventó la balanza de torsión con la cual,<br />
midió con exactitud la fuerza entre las cargas eléctricas y corroboró que dicha<br />
fuerza era proporcional al producto de las cargas individuales e inversamente<br />
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Coulomb es la unidad<br />
de medida de Carga eléctrica.<br />
En 1823, Andre−Marie Ampere establece los principios de la electrodinámica,<br />
cuando llega a la conclusión de que la Fuerza Electromotriz es producto de dos<br />
efectos: La tensión eléctrica y la corriente eléctrica. Experimenta con<br />
conductores, determinando que estos se atraen si las corrientes fluyen en la<br />
misma dirección, y se repelen cuando fluyen en contra.<br />
Ampere produce un excelente resultado matemático de los fenómenos<br />
estudiados por Oersted.<br />
En 1826, El físico Alemán Georg Simon Ohm (1789−1854) fue quien formuló<br />
con exactitud la ley de las corrientes eléctricas, definiendo la relación exacta<br />
entre la tensión y la corriente. Desde entonces, esta ley se conoce como la ley<br />
de Ohm.<br />
En 1881, Thomas Alva Edison produce la primera Lámpara Incandescente con<br />
un filamento de algodón carbonizado. Este filamento permaneció encendido<br />
por 44 horas.<br />
En 1881 desarrolló el filamento de bambú con 1.7 lúmenes por vatios. En 1904<br />
el filamento de tungsteno con una eficiencia de 7.9 lúmenes por vatios. En<br />
1910 la lámpara de 100 w con rendimiento de 10 lúmenes por vatios.<br />
Hoy en día, las lámparas incandescentes de filamento de tungsteno de 100 w<br />
tienen un rendimiento del orden de 18 lúmenes por vatios. En<br />
1882 Edison instaló el primer sistema eléctrico para vender energía para la<br />
iluminación incandescente, en los Estados Unidos para la estación Pearl<br />
Street de la ciudad de New York.<br />
87
UNIDAD<br />
7<br />
Ley de Hooke<br />
OBJETIVOS<br />
EXPLICAR LA LEY DE HOOKE.<br />
ADQUIRIR MEJOR COMPRENSION ACERCA DE<br />
LA ENERGIA POTENCIAL E<strong>LAS</strong>TICA.<br />
88
Ley de Hooke<br />
1. Teoría.<br />
“Micrographia” es el título<br />
de la obra escrita<br />
en 1665 por el científico<br />
inglés Robert Hooke, en la<br />
cual aparecen dibujos de<br />
imágenes tomadas con un<br />
microscopio. En esta imagen<br />
se pueden ver las células de<br />
un corcho.<br />
Nació el 18 de julio de 1635 en la isla de Wight, Inglaterra. Hijo de un cura rural<br />
que no pudo enviar a su hijo a la escuela. Ejerció como su profesor enseñándole<br />
a leer, escribir y aritmética, así como los clásicos. Se traslada a Londres e<br />
ingresa en la escuela de Westminster, donde demostró ser un estudiante<br />
sobresaliente. Gracias a su rendimiento entra en la Universidad de Oxford a la<br />
edad de dieciocho años. Su incipiente genio científico atrajo pronto la atención<br />
de uno de sus maestros, Robert Boyle, el químico que realizó en su laboratorio<br />
algunos experimentos sobre la naturaleza de los gases. Poco tiempo después le<br />
otorgó el puesto de ayudante de laboratorio para auxiliarlo en sus<br />
experimentos. Su primera misión en el laboratorio de Boyle fue la de diseñar y<br />
crear una bomba a fin de comprimir el aire y producir el vacío. Boyle usó la<br />
bomba de aire construida por Hooke para completar los experimentos que se<br />
tradujeron en la formulación de la ley de sus gases, la cual dice que el volumen<br />
de un gas es inversamente proporcional a su presión. En 1665 fue profesor de<br />
geometría en el colegio de Gresham. En 1667 fue designado topógrafo de la<br />
ciudad de Londres. Ideó instrumentos para registrar los cambios de las<br />
condiciones del tiempo y perfeccionó los métodos para registrar<br />
sistemáticamente la información obtenida. En la lista de instrumentos que<br />
inventó se encuentran el barómetro de cuadrante, un termómetro de alcohol,<br />
un cronómetro mejorado, el primer higrómetro, un anemómetro y un "reloj"<br />
para registrar automáticamente las lecturas de sus diversos instrumentos<br />
meteorológicos. Fue el primero en formular la teoría de los movimientos<br />
planetarios como problema mecánico, ideó un sistema práctico de telegrafía;<br />
inventó el resorte espiral de los relojes y el primer cuadrante dividido con<br />
tornillos y construyó la primera máquina aritmética y el telescopio gregoriano.<br />
Robert Hooke falleció el 3 de Marzo de 1702 en Londres.<br />
90
Energía potencial elástica<br />
Es cuando el resorte vuelve a<br />
su posición inicial, entre más<br />
presente una elongación<br />
habrá más energía<br />
acumulada.<br />
1.1. Concepto y definición.<br />
En 1653 gano un premio un premio en Oxford donde conoció a Robert Boyle,<br />
de quien fue asistente desde 1658.<br />
Fue uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la<br />
ciencia.<br />
En 1660, trabajo como ayudante de Robert Boyle formulando así la<br />
denominada Ley de Hooke.<br />
En 1665 publico el libro “Micrographia” el cual relataba 50 observaciones<br />
microscópicas y telescópicas. Por primera vez en este libro aparece la palabra<br />
célula.<br />
La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke; establece la relación entre el<br />
alargamiento o estiramiento longitudinal y la fuerza aplicada, lo que dio lugar al<br />
invento del resorte helicoidal (muelle).<br />
La ley de Hooke constituye una rama de la física.<br />
La física es la ciencia natural que estudia diferentes comportamientos en la<br />
materia y de la energía, es muy importante saber las propiedades de la materia<br />
para poder entender la ley de Hooke:<br />
Las propiedades de la materia se clasifican en:<br />
El dinamómetro es un<br />
instrumento utilizado para<br />
medir o pesar objetos.<br />
Fue un instrumento<br />
inventado por Isaac Newton<br />
y basa su funcionamiento en<br />
la ley de Hooke.<br />
El dinamómetro funciona<br />
gracias a un resorte el cual<br />
puede alargarse cuando se<br />
aplica una fuerza sobre él.<br />
Luego una aguja muestra la<br />
fuerza ejercida<br />
<br />
<br />
Extensivas o generales: Masa, volumen, peso, longitud, inercia,<br />
divisibilidad, impenetrabilidad.<br />
Intensivas o específicas: Densidad, elasticidad, dureza, tenacidad,<br />
ductilidad, maleabilidad.<br />
Mediante las leyes físicas se permite indicar la relación entre las magnitudes<br />
que intervienen en el fenómeno físico.<br />
En la ley de Hooke también se estudia la ley de las fuerzas como:<br />
<br />
<br />
<br />
Fuerza de trabajo: Esta fuerza ejercida sobre un objeto y por el<br />
desplazamiento producido por dicha fuerza.<br />
Fuerza conservativa: Son las fuerzas donde el trabajo a lo largo de la<br />
trayectoria es nulo. Dependiendo de un punto inicial y final pero no de<br />
Energía de resortes: Existen dos tipos de fuerza; conservativa y la<br />
energía potencial elástica.<br />
91
Una de las formas de comprender mejor la ley de Hooke son los resortes.<br />
<br />
<br />
Resorte: Un resorte es un instrumento elástico que almacena energía y<br />
no sufre deformaciones cuando se deja de aplicar una fuerza sobre él.<br />
Pueden ser de acero, carbono, acero inoxidable, bronce y plástico, con<br />
diversas formas según su aplicación.<br />
Elasticidad: La elasticidad es cuando un cuerpo se deforma al aplicarle<br />
la fuerza y tiene la capacidad de volver a su tamaño o forma original<br />
cuando no se está aplicando una fuerza deformadora, siempre y<br />
cuando no se sobrepase el límite de elasticidad.<br />
1.2. Esquemas y formulas.<br />
Para solucionar problema relacionados con la ley de Hooke necesitaremos<br />
utilizar las siguientes formulas:<br />
Utilizando esta fórmula descubriremos la fuerza (F) aplicada<br />
1) F = K ∗ L<br />
Utilizando esta fórmula descubriremos la constante elástica (K)<br />
2) K = F L<br />
Utilizando esta fórmula descubriremos el alargamiento (L)<br />
3) L = F K<br />
92
Ley de Hooke<br />
Relación entre el alargamiento o<br />
estiramiento longitudinal<br />
La ley de Hooke<br />
estudia las siguientes<br />
fuerzas<br />
Fuerza de trabajo<br />
Propiedades de la<br />
materia<br />
Fuerza conservativa<br />
Energía de resortes<br />
Extensivas o generales<br />
Intensivas o específicas<br />
Masa<br />
Densidad<br />
Volumen<br />
Elasticidad<br />
Peso<br />
Dureza<br />
Longitud<br />
Tenacidad<br />
Inercia<br />
Ductilidad<br />
Divisibilidad<br />
Maleabilidad<br />
93
1.3. Partes de la formula y unidades.<br />
Se representa la ley de Hooke mediante la siguiente formula.<br />
F = K ∗ L<br />
<br />
<br />
<br />
A la fuerza la representaremos por= F<br />
A la constante de elasticidad por= K<br />
Al alargamiento por= L<br />
Si estamos buscando la constante de elasticidad la formula se despejara de la<br />
siguiente manera.<br />
K = F L<br />
<br />
<br />
<br />
A la constante de elasticidad por= K<br />
A la fuerza la representaremos por= F<br />
Al alargamiento por= L<br />
Si estamos buscando el alargamiento la formula se despejara de la siguiente<br />
manera.<br />
L = F K<br />
<br />
<br />
<br />
Al alargamiento lo representaremos por= L<br />
A la fuerza la representaremos por= F<br />
A la constante de elasticidad por= K<br />
94
Las fuerzas (pesos) y los valores de alargamientos los representamos en una<br />
tabla de datos.<br />
Fuerza o peso, F (N) Longitud del resorte (cm) Alargamiento (cm)<br />
0 20.0 0.0<br />
0.5 22.0 2.0<br />
1.0 24.0 4.0<br />
1.5 26.0 6.0<br />
2.0 28.0 8.0<br />
1.4. Ejercicios propuestos y resueltos.<br />
1) Un resorte de constante elástica 2500 N/m es estirada aplicando una fuerza<br />
de 6000 N. ¿Cuánto se estira?<br />
Aplicando la formula<br />
L = F K<br />
L =<br />
6000 N<br />
−2500 N⁄<br />
m<br />
L = −2.4 m<br />
Se estirara -2.4 m<br />
2) Si un resorte es presionado por una fuerza de 5N y lo comprime 2 cm<br />
¿Cuánto se estiraría si es sometido a una fuerza de 7.5?<br />
Aplicando la formula<br />
K = F L<br />
Transformamos de cm. a metros<br />
L = 2 cm = 0.02 m<br />
K = 5 N M<br />
⁄<br />
0.02 m<br />
95
Se simplifican los metros = 250 N<br />
Para encontrar el alargamiento utilizamos la formula<br />
L = F K<br />
L = 7.5 N⁄<br />
m<br />
−250 N = −0.03<br />
El resorte se estirara -0.03<br />
3) Sobre un resorte de constante elástica 50 N ⁄<br />
M<br />
y de longitud 20cm se ejerce<br />
una fuerza y el muelle se alarga hasta 30cm ¿Cual es la fuerza aplicada?<br />
Aplicando la formula<br />
F = K ∗ L<br />
Transformamos de cm. a metros<br />
30 cm= 0.30 m<br />
Sustituimos en la formula<br />
F = 50 N⁄ m ∗ 0.30m<br />
F = 15 N ⁄<br />
m 2<br />
La fuerza aplicada sobre el resorte es de 15 N ⁄<br />
M 2<br />
4) Una fuerza de 5 N ⁄<br />
M<br />
estira 1.2 cm a un resorte. ¿Qué fuerza lo estiraría<br />
2cm?<br />
Aplicando la formula<br />
K = F L<br />
Transformamos de cm. a metros<br />
96
1.2cm= 0.012m<br />
Sustituimos en la formula<br />
K = 5 N ⁄ M<br />
0.012 M<br />
K = 417 N<br />
Para encontrar la fuerza que lo estira utilizamos la formula<br />
F = K ∗ L<br />
Convertimos de cm. a metros<br />
2cm = 0.02 m<br />
Sustituimos en la formula.<br />
F = 417 N ⁄<br />
M<br />
∗ 0.02M = 8.33 N<br />
La fuerza que lo estiraría seria de 8.33 N<br />
5) Al ejercer una fuerza de 30N sobre un muelle elástico este se alargara de<br />
20cm a 80cm ¿Cuál es la constante elástica del muelle?<br />
Aplicando la formula<br />
K = F L<br />
Convertimos de cm. a metros<br />
80cm = 0.8 m<br />
Sustituimos en la formula<br />
K = 30 N⁄<br />
M<br />
0.8 M<br />
= 37.5 N<br />
K =<br />
30 N<br />
= 0.80M ∗ 100 = 80cm<br />
37.5<br />
La constante elástica es de 80cm<br />
97
2. Aplicaciones a la vida<br />
La ley de Hooke puede ser muy utilizada en diferentes situaciones cotidianas,<br />
como lo habíamos mencionado con anterioridad para la construcción de<br />
dinamómetros como para la medición de una fuerza deformante sobre un<br />
objeto.<br />
1) El extremo libre de un trampolín en una piscina queda a 55cm por encima<br />
del agua. Si un hombre de 50 kg para sobre el extremo del tablón lo hace bajar<br />
hasta 35 cm del agua, ¿Cuánta será el peso para que baje hasta 5 cm del agua?<br />
Sabiendo que el trampolín ha bajado 20cm con respecto a su posición de<br />
equilibrio.<br />
Aplicando la formula:<br />
K = F L<br />
K = 50 kg ∗ 9,8 m s 2<br />
0,2 m<br />
K = 2,450 kg<br />
s 2<br />
Para conseguir que la elongación del trampolín sea de 50 cm será necesario<br />
convertirlos a metros (0.5 m), hará falta una fuerza de:<br />
F = K ∗ L<br />
F = 2,450 kg ∗ 0.5 m<br />
s2 F = 1,225 N<br />
La masa necesaria para que la fuerza tenga ese valor será:<br />
m = p g<br />
m =<br />
1,225 N<br />
9,8 m s 2<br />
m = 125 kg<br />
El peso para que baje hasta 5 cm del agua es de 125kg.<br />
98
3. Valoraciones<br />
Al analizar la ley de la elasticidad de Hooke o ley de Hooke nos queda la<br />
comprensión que tiene que ver con el alargamiento o estiramiento de un<br />
resorte producido por una fuerza. Una pesa de más masa produce un mayor<br />
alargamiento del resorte. A doble peso, doble masa. Las fuerzas aplicadas<br />
pueden producir deformaciones en dicho resorte.<br />
Aprovechando la ley de Hooke se permite la construcción de los dinamómetros.<br />
El dinamómetro funciona gracias a un resorte el cual puede alargarse cuando se<br />
aplica una fuerza sobre él, y luego una aguja muestra la fuerza ejercida.<br />
Tenemos que tener bien en claro que la deformación depende de la intensidad<br />
de la fuerza o peso que se le aplica.<br />
4. Leyes y principios<br />
Robert Hooke es uno de aquellos científicos extraordinarios olvidados de la<br />
historia. La Ley de Hooke es muy conocida por los científicos, y su nombre, no<br />
lo es mucho. Su figura cayó en el olvido mucho tiempo, sobre todo, por los<br />
intentos de Newton en borrarlo de la historia.<br />
En aquella época, muchos de los miembros del grupo de Gresham College<br />
habían sido trasladados a Oxford por Oliver Cromwell para reemplazar a<br />
aquellos académicos a los que se consideraba “contaminados”. La definición de<br />
“contaminado” era que habían ayudado al bando realista durante la guerra. La<br />
destreza de Hooke para fabricar cosas y realizar experimentos hizo que no<br />
tuviera precio como ayudante para este grupo de científicos. Pronto llegó a ser<br />
el principal ayudante (pagado) de Robert Boyle. Y con la destreza que tenía, ya<br />
podemos imaginar que fue en gran medida responsable del éxito de la bomba<br />
de aire con la que se hicieron numerosos experimentos. Gracias a ella, Boyle<br />
pudo enunciar su famosa Ley de Boyle. Pero pudo hacer una cosa más: ser el<br />
primero en confirmar la afirmación de Galileo de que, en el vacío, una pluma y<br />
un trozo de plomo caen a la vez. Asimismo, pudo establecer que el sonido no se<br />
trasmite en el vacío.<br />
Sin embargo, cuando Hooke quiso negociar la posibilidad de patentar el<br />
artilugio, se negó porque tenía que aceptar una cláusula según la cual se<br />
permitía a otras personas llevarse los beneficios derivados de cualquier mejora<br />
99
de su diseño. Nunca reveló el secreto de su invento y se lo llevó consigo a la<br />
tumba.<br />
Gracias a sus experimentos, construyó un reloj con muelle en espiral cosa que<br />
tuvo una importancia capital en la fabricación de los relojes de bolsillo y<br />
también hizo mejoras en el mecanismo de escape. En fin, que aunque no<br />
llegara a diseñar un reloj extraordinariamente preciso hizo muchas mejoras<br />
respecto a los diseños existentes. Incluso regaló uno de sus relojes a Carlos II,<br />
quien se mostró muy complacido.<br />
100
Glosario<br />
Aceleración: Magnitud que expresa un incremento de la velocidad en relación<br />
con la unidad de tiempo.<br />
Aportar: Dar o proporcionar algo.<br />
Balanceo: Acción y efecto de igualar o poner en equilibrio algún elemento.<br />
Bobina: Componente de un circuito eléctrico, formado por un alambre aislado<br />
que se arrolla en forma de hélice con un paso igual al diámetro de un alambre.<br />
Ciencia: Conocimiento cierto de las cosas, obtenido mediante el estudio y<br />
aplicación de un método.<br />
Electrón: Partícula elemental ligera que forma parte de los átomos y que<br />
contiene una mínima carta de electricidad negativa.<br />
Energía: Capacidad de un cuerpo o sistema para realizar un trabajo<br />
Física: Ciencia que estudia la materia, sus propiedades y las leyes que la rigen.<br />
Fluido: Sustancias en estado líquido y gaseoso que admiten algunos fisiólogos.<br />
Fricción: Fuerza que se opone al movimiento. Es el roce entre dos superficies.<br />
Fuerza: Toda acción capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento<br />
de un cuerpo.<br />
Hastial: Parte superior triangular de la fachada de un edificio en la que<br />
descansan las dos vertientes del tejado.<br />
101
Metal: Elementos químicos conductores del calor y de la electricidad, que<br />
poseen un brillo característico y solido.<br />
Movimiento: Cambio de posición que experimentan unos cuerpos con respecto<br />
a otros.<br />
Polarización: Acción y efecto de disminuir la corriente que se llega a producir,<br />
por aumentar la resistencia del circuito a consecuencia del depósito de<br />
hidrogeno sobre uno de los electrodos.<br />
Potencial: Función que determina la intensidad de un campo de fuerzas en un<br />
punto dado.<br />
Voltaje: Cantidad de voltios que llegan a actuar en un aparato o sistema<br />
eléctrico.<br />
Volumen: Magnitud que expresa la extensión de un cuerpo, considerando su<br />
largo, ancho y alto.<br />
102
Bibliografía<br />
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wikipedia. (15 de 04 de 2012). wikipedia. Recuperado el 15 de 08 de 2014, de<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes<br />
103
Índice<br />
Contenido<br />
Páginas<br />
Unidad 1: Los fluidos………………………………………………………………. 6- 28<br />
Unidad 2: Leyes de la termodinámica……………………………………..... 29- 43<br />
Unidad 3: Leyes de Newton……………………………………………………….. 44-54<br />
Unidad 4: Triangulo de Pascal…………………………………………………… 55-63<br />
Unidad 5: Teorema de Pitágoras……………………………………………….. 64-76<br />
Unidad 6: Leyes de la electricidad……………………………………………… 77-87<br />
Unidad 7: Ley de Hooke…………………………………………………………… 88-100<br />
Glosario………………………………………………………………………………......101-102<br />
Bibliografía……………………………………………………………………………. 103<br />
104