Optimización de un problema de valor propio inverso ... - UIB Congres

Optimización de un problema de valor propio
inverso para cierta clase de matrices
Leila Lebtahi, Néstor Thome
Instituto Universitario de Matemática Multidiscilpinar
Universitat Politècnica de València
leilebep@mat.upv.es,njthome@mat.upv.es
Resumen
El problema de encontrar una matriz A ∈ C n×n tal que AX = XD se llama
problema del valor propio inverso. En este caso la matriz X ∈ C n×m y la matriz
diagonal D ∈ C m×m son conocidas. En la literatura se ha realizado el estudio
del problema del valor propio inverso suponiendo diferentes condiciones sobre
la matriz incógnita A. En particular, se ha resuelto el caso en el que A es
hermítica y anti-reflexiva. Además, es conocido el caso en que A es una matriz
singular reflexiva o anti-reflexiva con respecto a una matriz hermítica tripotente.
También, se ha tratado el problema en el caso en que A es una matriz hermítica
reflexiva con respecto a una matriz {k + 1}-potente y normal. En este trabajo
se estudia el problema de optimización relativo a la última clase de matrices
mencionada.
Sección en el CEDYA 2011: ALAMA
1. Introducción
El problema del valor propio inverso consiste en encontrar una matriz cuadrada
A ∈ R tal que
Ax i = λ i x i , i = 1, . . . , m
donde R es un conjunto de matrices con estructura especial, x 1 , . . . , x m (m ≤ n)
son vectores dados y λ 1 , . . . , λ m son escalares dados . Es decir, se resuelve la
ecuación matricial
AX = XD
en A con X = [ x 1 x 2 . . . x m
]
donde x1 , x 2 , . . . , x m son sus vectores
columna y D = diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ) una matriz diagonal siendo los λ i , i =
1, . . . , m, valores dados. En otras palabras, resolver un problema de valor propio
inverso consiste en la reconstrucción de una matriz a partir de sus valores y
vectores propios.
Este problema tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo, en teoría de control,
problemas en mecánica, geofísica, física de partículas, física cuántica, etc.
[1, 2, 9, 11]. Dependiendo de la estructura de las matrices del conjunto R se
obtienen diferentes problemas del valor propio inverso. Por ejemplo, se ha resuelto
el caso cuando A es hermítica y anti-reflexiva con respecto a una matriz
de reflexión generalizada [10]. Se recuerda que una matriz A se llama reflexiva

con respecto a una matriz J cuando A = JAJ y anti-reflexiva con respecto a
J cuando A = −JAJ. Además, una matriz J se llama reflexión generalizada
si J 2 = I y J ∗ = J. Por otra parte, en [4], se resuelve un problema de mínimos
cuadrados usando diferentes propiedades de una nueva clase de matrices
introducidas por los autores: las matrices reflexivas con respecto a un par de
matrices que sean ambas reflexiones generalizadas. También, en [6], se analizan
las situaciones en que la matriz A sea hermítica bajo las condiciones adicionales
de ser reflexiva o anti-reflexiva con respecto a una matriz J tripotente y hermítica.
El problema de valor propio inverso generalizado para el caso de matrices
K-centro hermíticas, donde K es una matriz de permutación, ha sido resuelto
en [8]. Además de encontrar las matrices A especificadas en cada uno de los
problemas anteriores, también es posible resolver el problema de minimización
asociado. Por otra parte, en [7], se ha tratado el problema en el caso en que A
es una matriz hermítica reflexiva con respecto a una matriz {k + 1}-potente y
normal.
Se denotará por C m×n el conjunto de las matrices complejas de tamaño
m × n, por R m×n el conjunto de las matrices reales de tamaño m × n y por
H n×n el de las matrices hermíticas de tamaño n × n. Además, con I n se designará
la matriz identidad de tamaño n. Se define el producto escalar en C m×n
por
〈A, B〉 = traza (B ∗ A) , ∀A, B ∈ C m×n ,
donde A ∗ y ‖A‖ F
denotan la traspuesta conjugada y la norma de Frobenius de
la matriz A, respectivamente.
Se recuerda que para una matriz M ∈ C m×n dada, su inversa de Moore-
Penrose es la única matriz M † que satisface MM † M = M, M † MM † = M † ,
(MM † ) ∗ = MM † y (M † M) ∗ = M † M. Esta inversa generalizada siempre
existe y está unívocamente determinada [3]. Se utilizará la siguiente notación:
W (l) (M) = I − M † M y W (r) (M) = I − MM † . Si la matriz M sólo satisface la
ecuación MM − M = M se dice que M − es una {1}-inversa generalizada de M.
En este caso también se notará: W (l) (M) = I −M − M y W (r) (M) = I −MM − .
De ahora en adelante se considerará una matriz J ∈ C n×n que sea normal y
{k + 1}-potente (es decir, JJ ∗ = J ∗ J y J k+1 = J, k ∈ N).
Definición 1. Se dice que una matriz A ∈ H n×n es reflexiva con respecto a la
matriz J si A = JAJ. El conjunto de todas las matrices hermíticas reflexivas
con respecto a J se denotará por HJ n×n .
De la definición anterior se deduce que los valores propios de una matriz
hermítica y reflexiva con respecto a la matriz normal y {k + 1}-potente J son
reales.
Sea X = [ x 1 . . . x m
]
∈ C n×m y D = diag(λ 1 , . . . , λ m ) ∈ R m×m los
vectores y valores propios dados. Entonces el problema del valor propio inverso
asociado es el siguiente:
(I) Encontrar todas las matrices A ∈ HJ n×n tales que AX = XD [7].
Sea S el conjunto solución del problema (I). En este trabajo se considera el
problema de minimización siguiente:

(II) Dada una matriz Ä ∈ Cn×n , encontrar  ∈ S tal que
mín
A∈S ‖A − Ä‖ F = ‖Â − Ä‖ F
Este trabajo esta organizado de la forma siguiente. En la Sección 2, se da la
estructura del conjunto HJ n×n presentando las condiciones de existencia de las
soluciones del problema mencionado en (I) y la forma explícita de sus soluciones.
En la Sección 3, primero se muestra la existencia y unicidad de la solución del
problema presentado en (II), y luego se encuentra la expresión de dicha solución
cuando el conjunto S es no vacío.
2. Existencia y forma explícita de las soluciones
del problema (I)
Primero se analiza la matriz normal y {k + 1}-potente J para dar la estructura
del conjunto HJ n×n . Como la matriz J es normal, es diagonalizable
mediante una matriz unitaria y, como J k+1 = J, el espectro de J que se denotará
por {ω 1 , ω 2 , . . . , ω t } está incluido en {0} ∪ Ω k , siendo Ω k el conjunto de
todas las raíces de la unidad de orden k. Entonces, existe una matriz unitaria
U ∈ C n×n tal que
J = U diag(ω 1 I r1 , . . . , ω t I rt , O rt+1 ) U ∗ (1)
siendo r 1 + · · · + r t = rango(J) y r 1 + · · · + r t + r t+1 = n.
Sea A ∈ HJ n×n . Se particiona la matriz U ∗ AU en bloques de tamaños
adecuados como sigue:
⎡
⎤
A 1,1 . . . A 1,t A 1,t+1
U ∗ .
AU = ⎢ . ..
. ..
. ..
⎥
(2)
⎣ A t,1 . . . A t,t A t,t+1
⎦
A t+1,1 . . . A t+1,t A t+1,t+1
de acuerdo con los bloques de la partición de J. De (1) y (2), la igualdad
A = JAJ lleva a
⎧⎨
⎩
A t+1,j = O para j ∈ {1, . . . , t + 1}
A j,t+1 = O para j ∈ {1, . . . , t}
A i,j = ω i ω j A i,j para i, j ∈ {1, . . . , t}
De aquí resulta que ω i ω j = 1 o bien A i,j = O con i, j ∈ {1, . . . , t}. Esto implica
que para cada i, j ∈ {1, . . . , t} o bien ω i = ω j o bien los bloques A i,j y A j,i son
simultáneamente nulos. Se observa que la forma de la matriz U ∗ AU depende de
las raíces de la unidad. Si además se considera que en la factorización de J el
orden de los valores propios en la matriz U ∗ JU es 1, −1, ω 3 , ω 3 , . . . , ω p−1 , ω p−1 , 0
(en caso que aparezcan 1 y −1), entonces la matriz A tiene la forma
A = U diag(A 1,1 , A 2,2 , Ã3,4, . . . , Ãp−1,p, O) U ∗ (3)

donde, tomando p de manera adecuada, se tiene que
[
]
O A
à s,s+1 =
s,s+1
siendo s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}. (4)
O
A s+1,s
En relación a (3), se asocia el bloque A 1,1 al valor propio 1 y el bloque A 2,2
al valor propio −1 (si figuran en J). También, en relación a (4), cada bloque
à s,s+1 está asociado a los valores propios ω s y ω s .
La forma explícita de la solución del problema (I) viene dada en el siguiente
resultado.
Teorema 1. Sean X ∈ C n×m , D ∈ R m×m una matriz diagonal y J ∈ C n×n
una matriz normal {k + 1}-potente como en (1). Sea la partición (de tamaños
apropiados)
X = U [ X T 1 X T 2
˜X T 3
˜X T 5 . . . ˜XT p−1 X T p+1
] T
(5)
con ˜XT s = [ ]
Xs T Xs+1
T , s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}. Entonces existe una matriz
A ∈ HJ n×n tal que AX = XD si y sólo si existen matrices {1}-inversas
generalizadas X − i de X i tales que X i DW (l) (X i ) = O y
X i DX − i − (X − i )∗ DX ∗ i = (Y i W (r) (X i )) ∗ − Y i W (r) (X i ) para i = 1, 2; (6)
además existen matrices {1}-inversas generalizadas X − s de X s , s = 3, 4, . . . , p,
tales que debe ser
X s DW (l) (X s+1 ) = O, W (r) (X ∗ s )DX ∗ s+1 = O, X ∗ s X s D = DX ∗ s+1X s+1 (7)
para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1} y también X p+1 D = O. En este caso, con la misma
notación de (4), la solución general viene dada por
(
)
A = U diag A 1,1 , A 2,2 , Ã3,4, . . . , Ãp−1,p, O U ∗ (8)
donde
A i,i = X i DX − i + Y i W (r) (X i ), i = 1, 2, (9)
A s,s+1 = (X s ∗ ) − DX ∗ s+1+W (l) (X s ∗ )X s DX − s+1 +W (l) (X s ∗ )Y s W (r) (X s+1 ) (10)
A ∗ s+1,s = A s,s+1 , para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1} e Y 1 , Y 2 , Y s , s = 3, 5, . . . , p − 1, son
matrices arbitrarias de tamaños adecuados.
3. La solución del problema (II)
En esta sección se va a resolver el problema (II). Usando el Teorema 1 cuando
el conjunto S de soluciones del problema (I) es no vacío, es fácil comprobar
que S es un conjunto cerrado convexo. Además, como C n×n es un espacio de
Banach uniformemente convexo con respecto a la norma de Frobenius, existe
una única solución al problema (II) ([5], p. 22). Para encontrar esta solución
única necesitaremos los dos resultados siguientes.

Lema 1. Sean M ∈ C n×m y R ∈ C r×n . Entonces existe Ŷ ∈ Cr×n tal que
mín
Y ∈C r×n ‖Y ( I n − MM †) − R‖ F = ‖Ŷ (I n − MM † ) − R‖ F (11)
donde Ŷ = R + GM † para una matriz arbitraria G ∈ C r×m .
Demostración. Usando propiedades de la inversa generalizada de Moore-Penrose,
del producto escalar definido en la sección 1 y de la traza de una matriz, se tiene
que
‖Y (I n − MM † ) − R‖ 2 F = 〈Y (I n − MM † ) − R, Y (I n − MM † ) − R〉
= 〈 (Y − R) ( I n − MM †) , (Y − R) ( I n − MM †)〉 + 〈 RMM † , RMM †〉
= ‖ (Y − R) ( I n − MM †) ‖ 2 F + ‖RMM † ‖ 2 F .
Entonces encontrar
es equivalente a encontrar
mín
Y ∈C r×n ‖Y ( I n − MM †) − R‖ F
mín ‖ (Y − R) ( I n − MM †) ‖ F . (12)
Y ∈C r×n
Ahora se tiene que (Y − R) ( I n − MM †) = O si y sólo si R(I n − MM † ) ⊆
N (Y − R). Como I n − MM † es un proyector se tiene que R(I n − MM † ) =
N (MM † ) = N (M † ) ya que M † MM † = M † . De aquí se tiene que N (M † ) ⊆
N (Y − R) equivale a que exista una matriz G ∈ C r×m tal que Y − R = GM † .
Entonces, la solución de (11) puede expresarse como Ŷ = R + GM † .
Nota 1. Es fácil ver que ‖Ŷ ( I n − MM †) − R‖ F = ‖RMM † ‖ F . Es decir, el
valor de ‖Ŷ ( I n − MM †) − R‖ F es invariante para G.
Lema 2. Sean M 1 ∈ C m×r , M 2 ∈ C n×t , R 1 ∈ C r×n y R 2 ∈ C r×n . Entonces el
problema de minimización
mín ‖W (l) (M 1 )Y W (r) (M 2 ) − R 1 ‖ 2
Y ∈C r×n F +
tiene como soluciones las matrices Ŷ ∈ Cr×n dadas por
mín
Y ∈C r×n ‖W (l) (M 1 )Y W (r) (M 2 ) − R 2 ‖ 2 F
(13)
Ŷ = 1 2 (R 1 + R 2 ) + GM 2 M † 2 + M † 1 M 1G − M † 1 M 1GM 2 M † 2
donde G ∈ C r×n es una matriz arbitraria.
Demostración. Usando propiedades de la inversa generalizada de Moore-Penrose,
del producto escalar definido en la sección 1 y de la traza de una matriz, se tiene

que
‖(I r − M † 1 M 1)Y (I n − M 2 M † 2 ) − R 1‖ 2 F +
+‖(I r − M † 1 M 1)Y (I n − M 2 M † 2 ) − R 2‖ 2 F
= 2‖(I r − M † 1 M 1)Y (I n − M 2 M † 2 ) − 1 2 (R 1 + R 2 )‖ 2 F + 1 2 ‖R 1 − R 2 ‖ 2 F
= 2‖(I r − M † 1 M 1)[Y (I n − M 2 M † 2 ) − 1 2 (R 1 + R 2 )] − 1 2 M † 1 M 1(R 1 + R 2 )‖ 2 F +
+ 1 2 ‖R 1 − R 2 ‖ 2 F
= 2‖(I r − M † 1 M 1)[Y (I n − M 2 M † 2 ) − 1 2 (R 1 + R 2 )]‖ 2 F +
+ 1 2 ‖M † 1 M 1(R 1 + R 2 )‖ 2 F + 1 2 ‖R 1 − R 2 ‖ 2 F
= 2‖(I r − M † 1 M 1)[Y − 1 2 (R 1 + R 2 )](I n − M 2 M † 2 )‖2 F +
+ 1 2 ‖(I r − M † 1 M 1)(R 1 + R 2 )M 2 M † 2 ‖2 F + 1 2 ‖M † 1 M 1(R 1 + R 2 )‖ 2 F +
+ 1 2 ‖R 1 − R 2 ‖ 2 F
Entonces encontrar
mín
Y ∈C r×n ‖W (l) (M 1 )Y W (r) (M 2 ) − R 1 ‖ 2 F +
es equivalente a encontrar
mín
Y ∈C r×n ‖W (l) (M 1 )Y W (r) (M 2 ) − R 2 ‖ 2 F
mín ‖(I r − M †
Y ∈C r×n 1 M 1)[Y − 1 2 (R 1 + R 2 )](I n − M 2 M † 2 )‖2 F (14)
Por pág. 54 de [3], Ŷ = 1 2 (R 1 + R 2 ) + GM 2 M † 2 + M † 1 M 1G − M † 1 M 1GM 2 M † 2 ,
donde G ∈ C r×n es una matriz arbitraria, es la solución de la minimización
(14). Entonces, la solución del problema de minimización (13) puede expresarse
como Ŷ = 1 2 (R 1 + R 2 ) + GM 2 M † 2 + M † 1 M 1G − M † 1 M 1GM 2 M † 2 .
Se está ahora en condiciones de presentar la solución explícita del problema
(II).
Teorema 2. Sea Ä ∈ Cn×n tal que
⎡
⎤
Ä 1,1 . . . Ä 1,p Ä 1,p+1
U ∗ .
ÄU = ⎢ . .. . . ⎥
⎣ Ä p,1 . . . Ä p,p Ä p,p+1
⎦
Ä p+1,1 . . . Ä p+1,p Ä p+1,p+1
(15)
donde Äi,j ∈ C mi×tj , m 1 + m 2 + · · · + m p+1 = t 1 + t 2 + · · · + t p+1 = n siendo
U como en (1). Bajo las condiciones (y notaciones) del Teorema 1, si S ≠ ∅,

entonces el problema de minimización (II) tiene una solución única dada por
 = U diag(A 1,1 , A 2,2 , Ã3,4, . . . , Ãp−1,p, O) U ∗ (16)
donde A i,i = X i DX † i + (Äii − X i DX † i )W (r) (X i ) para i = 1, 2, Ãs,s+1 está dada
por (4), A ∗ s+1,s = A s,s+1 y
A s,s+1 =
(X s ∗ ) † DX ∗ s+1 + W (l) (X s ∗ )X s DX † s+1 + 1 2 W (l) (X s ∗ ) (R s + R s+1 ) W (r) (X s+1 )
para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1} siendo
{
R s = Äs,s+1 − (X ∗ s ) † DXs+1 ∗ − W (l) (X ∗ s )X s DX † s+1
R s+1 = Ä∗ s+1,s − (X ∗ s ) † DXs+1 ∗ − W (l) (X ∗ s )X s DX † s+1
(17)
siempre que X − i = X † i para i = 1, 2, . . . , p.
Demostración. Como la norma de Frobenius es invariante bajo transformaciones
unitarias, el problema (II) es equivalente a encontrar
Usando el Teorema 1 y (15) es posible calcular
‖U ∗ AU − U ∗ ÄU‖ 2 F =
mín ‖U ∗ AU − U ∗ ÄU‖ 2 F (18)
A∈S
= ‖A 1,1 − Ä1,1‖ 2 F + ‖A 2,2 − Ä2,2‖ 2 F + ‖A 3,4 − Ä3,4‖ 2 F + ‖A 4,3 − Ä4,3‖ 2 F +
+ · · · + ‖A p−1,p − Äp−1,p‖ 2 F + ‖A p,p−1 − Äp,p−1‖
∑p+1
2
F +
∑
p+1
+
i=2
+ ∑ ∑p+1
i∈J 1
p+1
‖Äi,1‖ 2 F +
j=i+2
∑
j=2
∑
p+1
‖Ä1,j‖ 2 F +
i=1
i≠2
∑
p+1
‖Äi,2‖ 2 F +
(‖Äi,j‖ 2 F + ‖Äi+1,j‖ 2 F ) + ∑ ∑p+1
j∈J 1
i=j+2
j=1
j≠2
i=3
‖Ä2,j‖ 2 F +
+‖Äp−1,p+1‖ 2 F + ‖Äp,p+1‖ 2 F + ‖Äp+1,p−1‖ 2 F + ‖Äp+1,p‖ 2 F
‖Äi,i‖ 2 F +
(‖Äi,j‖ 2 F + +‖Äi,j+1‖ 2 F ) +
donde J 1 = {3, 5, 7, . . . , p − 3}.
Como A 1,1 , A 2,2 están dadas por (9) y A s,s+1 = A ∗ s+1,s está dada por (10)
para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}, se tienen las siguientes igualdades de normas:
‖A i,i − Äi,i‖ 2 F = ‖Y i (I ti − X i X † i ) − (Äi,i − X i DX † i )‖2 F para i = 1, 2,
y por otro lado
‖A s,s+1 −Äs,s+1‖ 2 F +‖A s+1,s −Äs+1,s‖ 2 F = ‖A s,s+1 −Äs,s+1‖ 2 F +‖A s,s+1 −Ä∗ s+1,s‖ 2 F
= ‖W (l) (X s ∗ )Y s W (r) (X s+1 )−R s ‖ 2 F +‖W (l) (X s ∗ )Y s W (r) (X s+1 )−R s+1 ‖ 2 F

donde R s y R s+1 están dados por (17) para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}.
Por tanto el problema (18) es equivalente a
y
mín
Y i
‖Y i (I ti − X i X † i ) − (Äi,i − X i DX † i )‖2 F para i = 1, 2,
mín
Y s
‖W (l) (X ∗ s )Y s W (r) (X s+1 )−R s ‖ 2 F + mín ‖W (l) (X ∗ s )Y s W (r) (X s+1 )−R s+1 ‖ 2 F
Y s
para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}.
De los Lemas 1 y 2 se deduce que existen matrices Y i ∈ C mi×ti , i = 1, 2 e
Y s ∈ C ms×ts+1 , s ∈ {3, 5, . . . , p − 1} tales que
para i = 1, 2 e
Y i = Äi,i − X i DX † i + G iX † i
Y s = 1 2 (R s + R s+1 ) − (X s ∗ ) † X s ∗ G s X s+1 X † s+1 + G sX s+1 X † s+1 + (X∗ s ) † X ∗ s G s
para s ∈ {3, 5, . . . , p − 1}, donde G i ∈ C mi×mi , i = 1, 2 y G s ∈ C ms×ts+1 , s ∈
{3, 5, . . . , p − 1} son arbitrarias. Sustituyendo Y 1 , Y 2 e Y s , s ∈ {3, 5, . . . , p − 1},
en (8) se obtiene que la única solución del problema de minimización (II) viene
dada por (16).
Un trabajo similar al realizado permite obtener resultados semejantes para
el caso de una matriz A que sea anti-reflexiva con respecto a una matriz J
normal y {k + 1}-potente.
Agredecimientos
Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por el Proyecto Universitat
Politècnica de València, PAID-06-09, Ref.: 2659 y el Proyecto DGI MTM2010-
18228.
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