Procesamiento Morfologico

Procesamiento Morfológico
de Imágenes

Morfología Matemática
• Se usa para extraer componentes de imágenes
útiles para la representación y descripción de
forma de regiones, tales como
• Extracción de límites o bordes
• esqueletos
• cerco convexo
• filtrado morfológico,
• adelgazamiento (thinning)
• pruning (poda)
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Z 2 and Z 3
• Los conjuntos de la morfología
matemática representan los objetos en
una imagen.
• Por ejemplo el conjunto de todos los
pixeles negros de una imagen binaria, es
una descripción morfológica de la imagen.
• Imagen binaria (0 =blanco, 1 = negro) : cada
elemento de un conjunto es un par de
coordenadas de un pixel negro de la imagen.
• Los conjuntos pertenecen a Z 2
3

Z 2 and Z 3
• Imágenes en escalas de grises: un
elemento del conjunto esta formado por
las coordenadas del pixel, y su nivel de
gris. Z 3
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Teoría básica de conjutos
Union,intersección,complemento,Diferencia de conjuntos. Resultado en
gris.
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Reflección de B
Bˆ
=
{ w
|
w
= −b,
for b
∈
B}
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Traslación de A en z.
( ) = { c | c = a + z,
for a ∈ A}
A z
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Operaciones Lógicas
8

Ejemplo
:
Operaciones
lógicas entre
imágenes
binarias,
recordar que
el negro
representa
el uno y
blanco el
cero.
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Dilatación
A y B son dos conjuntos de Z 2. La dilatación de A
por B se define :
A⊕
B = { z|(B) ˆ ∩ A ≠ Φ}
z
Se obtiene la reflexión de B respecto de su
origen,y se traslada este reflexión en z.
La dilatación está formada por todos los z, tal
que A y B reflejado-desplazado, al menos se
superpongan en un punto.
B se llama elemento estructural.
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Dilatación
11

Dilatación
12

Dilatación : llena lagunas
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Erosión
A y B son dos conjuntos de Z 2. La erosión de A
por B se define :
A
−
B
=
{ z|(B) A}
z ⊆
La erosión de A por B es el conjunto de todos
los puntos z, tal que B trasladado en z, esté
contenido en A.
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Erosión
15

Erosión
16

Dualidad
( A − B) c = A
c
⊕ Bˆ
c
( A − B)
= { z | ( B)
⊆ A}
z
c
Notar que el complemento del conjunto de zs que
satisfacen , es el conjunto de zs
tales que
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Erosión : elimina detalles
irrelevantes
(a) imagen de cuadrados de tamaños 1 3 5 7 9 y 15 pixeles de lado.(b) Erosión de
(a) con un elemento cuadrado de unos de 13 pixeles de lado. (c) Dilatación de (b)
con el mismoelementoestructural.
Elemento estructural B = 13x13 pixels de 1s
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Erosión : elimina detalles
irrelevantes
Notar
*que se usa un elemento estructural (13x13), que es
apenas más chico que el elemento que se quiere
Conservar (15x15).
* que se han usado elementos blancos como
objetos y no negros
* que se ha restablecido el tamaño original de
los elementos, dilatando con el mismo elemento
estructural, o sea que en general, la dilatación no
restaura los objetos erosionados.
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Apertura y cierre
Apertura, generalmente suaviza el contorno de
un elemento, rompe uniones angostas (istmos) y
elimina salientes finas.
Cierre, también tiende a suavizar contornos,
pero a diferencia de la anterior, une cortes en
partes angostas y golfos largos y finos, elimina
pequeños huecos y llena baches en los contornos.
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Apertura:erosión seguida de dilatación.
(a) elemento B rodando a lo largo del borde interior de A.(b) Elemento estructural. (c)
linea gruesa indica el borde de la apertura. (d) apertura completa.
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Apertura
Apertura,
Otra interpretación más gráfica: trasladar B
dentro de A, como tocando el borde
interiormente.
En expresión de conjuntos:la apertura de A por
B, se obtiene tomando la unión de todas las
traslaciones de B, tal que B está todo dentro de
A.
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Cierre: dilatación seguida de erosión
(a) elemento estructural B rodando a lo largo del borde exterior de A.(b) La linea
gruesa es el borde exterior del cerramiento. (c) cerramiento completo.
A• B = ( A⊕
B)
−
B
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Dualidad ( A•
B)
c
= ( A
c
o Bˆ
)
Propiedades
Apertura
(i) A°B es un subconjunto (subimagen) of A
(ii) Si C es un subconj. de D, ent. C °B es un subconj. de D °B
(iii) (A °B) °B = A °B
Cierre
(i) A es un subconjunto (subimagen) de A•B
(ii) Si C es un subconj. de D, ent. C •B es un subconj.de D •B
(iii) (A •B) •B = A •B
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APERTURA.(a) conjunto A .(b) Varias posiciones del círculo que erosiona A. (c) notar
como se ha eliminado la unión entre las dos partes principales de A. El elemento
estructural no pudo caber completamente. (d) dilatación del conjunto erosionado. (e)
resultado final de la operación de apertura. Las esquinas exteriores redondeadas, esquinas
interiores no redondeadas.
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A
• B = ( A ⊕ B )
−
B
CERRAMIENTO.(a) conjunto A .(f) y (g) Dilatación de A con el círculo. (h) e (i) erosión
del resultado anterior. Notar que las esquinas interiores se han redondeado, mientras que
las exteriores quedan iguales. La entrada de la izquierda de A, se reduja bastante, porque
el disco no cabía ahí.
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APERTURA Y CERRAMIENTO producen un suavizado del
objeto, con un elemento estructural circular.
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Filtros morfológicos
Las operaciones morfológicas sirven para
construir filtros.Por ejemplo una apertura
seguida de un cierre.
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(a) Imagen
ruidosa A.
(b) Elem.
Estructural.
(c) Imagen
erosionada.
(d) apertura
de A
(e)
dilatación
de la
apertura.
(f)
Cerramiento
de la
apertura.
En total es
una
apertura
seguida
de un
cierre.
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Transformación Hit-or-Miss
•Es una herramienta básica para detección de
formas.
•La definición es la siguiente, veamos en un
ejemplo que se obtiene.
A∗B=
( A−X)
∩[
A −(
W−X)]
c
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Transformación Hit-or-Miss
(a) Conjunto A.
(b) Ventana W y
fondo local para
X, con respecto a
W., (W-X).
(c) Complemento
de A.
(d) Erosión de A
por X.
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Transformación Hit-or-Miss
Erosión de
(complemento de A)
por (W-X)
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Transformación Hit-or-Miss
c
A∗B=
( A−X)
∩[
A −(
W−X)]
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Transformación Hit-or-Miss
A
A∗
B
=
c
( A − X ) ∩[
A − ( W − X
)]
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Transformación Hit-or-Miss
Si llamamos
B=(B1,B2), con B1=X y B2=(W-X)
la expresión de la transformada de Hit-or-miss se
puede poner de la forma:
contiene todos los puntos en los cuales,
simultaneamente B1 encuentra un match(hit) en A y B2
encuentra un match en
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Transformación Hit-or-Miss
La razón por la cual se usa un elemento
estructural B1 asociado con los objetos y un
elemento B2 asociado con el fondo
(background), se basa en una definición de que
dos o mas objetos son distintos sólo si forman
conjuntos disjuntos (desconectados). Esto se
asegura requiriendo que cada objeto tenga al
menos un background de ancho de un pixel
alrededor de él.
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Algoritmos Morfológicos básicos
En el caso de imágenes binarias, los algoritmos
morfológicas se usan para extraer
componenetes de una imagen utiles para la
representación y descripción de formas.
Se usan en los ejs siguientes mini-imágenes.
Los 1s se muestran sombreados, los 0s blancos.
Algoritmos básicos:Extracción de bordes,
Region filling, thinning, thickening, prunning.
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Extracción de bordes
(a) Conjunto A.
(b) Elememento
estructural.
(c) A erosionada
con B.
(d) Borde obtenido
de la resta entre A
y su imagen
erosionada.
β ( A)
= A − ( A − B)
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Ejemplo
(a)
(b)
Imagen
binaria
simple, (unos
en blanco
aqui)
Resultado de
aplicar la
expresión
para obtener
el borde
Con elemento
estructural
de 3x3 de
unos.
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Llenado de regiones
X
k
= ( X ⊕ B)
∩ A k =
−1 k
c
1,2,3,...
El ojbetivo es comenzando
por un punto p interior al
borde, llenar la region con 1s.
Se supone que lo que no es
borde tiene valor 0.
-El algoritmo termina en el
paso k, si
X
k
=
X
k − 1
El conjunto unión de A con
Xk contiene el objeto
rellenado y su borde.
41

Llenado de regiones
X
k
= ( X ⊕ B)
∩ A k =
−1 k
c
1,2,3,...
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Ejemplo (imagenes de esferas, que al binarizar
aparece el hueco negro interior.)
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Extracción de componentes
conectados
Se trata de determinar los
pixeles que estan unidos co
conectados, en una imagen.
Supongamos para el ejemplo, que
hay un objeto Y, dentro de
uno A. Y supongamos que el
punto p de Y es conocido.
Para extraer todos los
componentes conectados se
usa la expresión siguiente
(arranca con Xo=p):
El algoritmo
converge si
X
k
=
X
k − 1
Entonces Y=Xk
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Extracción de componentes
conectados
45

Ejemplo
La idea es
determinar el
tamaño de los
componentes
conectados,
contando el
numero de
pixels de cada
componente,
esto permite
determinar si
son objetos
extraños
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Cerco Convexo
Un conjunto A es convexo, si cualquier segmento que une dos
puntos de A, está todo contenido en A.
El cerco convexo H de un conjunto arbitrario S, es el menor
conjunto convexo que contiene a S.
H-S se llama deficiencia convexa de S. ambas definiciones se
usan para DESCRIPCION de objetos.
Un algoritmo para calcular el cerco convexo C(A) de un conjunto
A :
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X
i
k
Cerco Convexo
i
k
i
= ( X ∗ B ) ∪ A i = 1,2,3,4 and k =
1,2,3,...
C(
A)
4
= ∪
D
i
i=
1
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Adelgazamiento (thinning)
A⊗
B
=
A
−
( A∗
B)
=
A
∩
( A∗
B)
c
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Adelgazamiento (thinning)
El adelgazamiento de un conjunto A, por un elemento estructural
B,se define en terminos de la transformada Hit-or-miss:
A
⊗
B
=
A
−
( A∗
B)
=
A
∩
( A∗
B)
c
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Ensanchado(Thickening)
A•
B =
A
∪
( A∗
B)
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Esqueletos
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Pruning(poda)
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