Problemas resueltos. Cadena, efecto Doppler, no inerciales.

Formalismo de pseudo-4-vectores.
Cadena que se eleva. Efecto Doppler acústico.
Sistemas de referencia no inerciales
J Güémez
Departamento de Física Aplicada, Universidad de Cantabria, (Spain)
(Dated: May 17, 2012)
Utilizando el formalismo de pseudo-4-vectores (basado en el formalismo de 4-vectores de Einstein-
Minkowski) se resuelve el problema de una cadena que es elevada desde el suelo mediante una fuerza
que se aplica en su extremo, se obtienen las diferentes posibilidades del efecto Doppler acústico para
movimientos relativos de la fuente de sonido y del observador. El mismo formalismo se extiende a
diversos sistemas de referencia y se resuelven varios de problemas de física clásica relacionados con
sistemas de referencia no inerciales, con aparición de fuerzas de inercia ficticias.
INTRODUCCIÓN
La didáctica de la mecánica (leyes de Newton, etc.),
tanto en el bachillerato como en los primeros curso de
universidad, no ha variado en los últimos cien años (si
acaso, para peor). Esta circunstancia resulta más llamativa
si se considera que en los últimos cien años se
ha venido desarrollando la teoría especial de la relatividad
de Einstein, particularmente, utilizando el formalismo
de 4-vectores de Minkowski. Puesto que es bien
conocido que la teoría de la relatividad de Einstein describe
mejor el comportamiento del mundo físico que las
leyes de Newton, resulta sorprendente que la teoría de
la relatividad de Einstein-Minkowski no haya tenido un
papel más relevante en la enseñanza de la física. Por
otra parte, en la enseñanza de la mecánica – incluyendo
fuerzas de rozamiento, rotación, etc. – los conceptos de
termodinámica no se utilizan, confundiéndose en muchas
ocasiones la ecuación del centro de masas, bien con el
teorema trabajo energía bien con el primer principio de
la termodinámica. Puesto que la teoría de la relatividad,
a través de la hipótesis de Einstein de equivalencia entre
inercia y energía de un cuerpo, integra la mecánica
y la termodinámica, es éste un formalismo ideal para
tratar problemas, con destrucción o creación de energía
mecánica, en los que la mecánica se tiene que encontrar
con la termodinámica.
En este curso se ha desarrollado esta teoría de Einstein-
Minkowski para aplicarla a procesos que incluyen campos
electromagnéticos, incluyendo fotones. Se trata de
procesos que si son descritos utilizando las leyes de Newton
conducen a resultados incorrectos y que son incompatibles
con el principio de relatividad. A su vez, con
independencia de las velocidades implicadas, el formalismo
Einstein-Minkowski proporciona la solución exacta
de cualquier proceso, y dicha solución puede ser posteriormente
extrapolada, haciendo tender la velocidad de
la luz a infinito, para obtener la correspondiente solución
clásica. La ventaja de utilizar este procedimiento es que
los pasos necesarios para obtener la solución vienen bien
determinados por el propio formalismo y todas las piezas
deben encajar de forma precisa, siendo fácil detectar si
se han cometido errores.
Una vez reconocida la ventaja de utilizar el formalismo
de Einstein-Minkowski de la teoría especial de la relatividad
descrita mediante 4-vectores, parece interesante
desarrollar un formalismo semejante para el tratamiento
clásico de los problemas de física clásica. La principal
dificultad para desarrollar un formalismo tal consiste en
que en física clásica no existe una velocidad límite y que,
por tanto, no hay un postulado relativo a la velocidad de
la luz como existe en la teoría de la relatividad. Sin embargo,
se puede utilizar un truco matemático consistente
en desarrollar un formalismo semejante al de 4-vectores,
pero utilizando pseudo-4-vectores (que no van a tener una
norma invariante definida), que incluya una cierta velocidad
límite v L en los pasos intermedios del formalismo y
que al final del proceso se hace tender a infinito.
Lo primero que se reconoce es que junto a las variables
espaciales (x, y, z) la correspondiente variable ‘temporal’
debe ser v L t, también con unidades de distancia. Siguiendo
el ejemplo del formalismo de 4-vectores (que tienen
norma definida), se proponen pseudo-4-vectores (que no
tienen una norma definida) como:
⎧
⎪⎨
dL µ =
⎪⎩
dx
dy
dz
v L dt
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
; v µ =
⎪⎭ ⎪⎩
v x
v y
v z
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
; dU µ =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0
0
0
dU
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
etc. Además de pseudo-4-vectores asociados a un cuerpo,
se pueden construir pseudo-4-vectores referidos al centro
de masas del sistema (algo que no se puede hacer en la
teoría de la relatividad, en la que el centro de masas es

un concepto sin significado físico):
⎧
⎪⎨
dL µ cm
=
⎪⎩
dx cm
dy cm
dz cm
v L dt
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
; K µ cm
=
⎪⎭ ⎪⎩
v L mv cm
0
0
mv 2 cm/2 + mv 2 L
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
etc.
Estos pseudo-4-vectores se transforman entre sistemas
de coordenadas mediante una matriz de proyección
P ν µ (V ). Por ejemplo, entre un sistema de referencia S ∞ y
un sistema de referencia S A que se mueve con velocidad
V en configuración estándar respecto de S ∞ , se tienen
las transformaciones:
x A = x − V v L
v L t + 1 2
y A = y ,
z A = z ,
v L t A = v L t − V v L
x + 1 2
V 2
v 2 x ,
L
V 2
v 2 v L t ,
L
donde siempre se tiene v L t como variable. En el límite de
v L → ∞, ésta es la transformación de Galileo clásica.
El jacobiano de una transformación entre referenciales
viene dado por:
J ν µ (x A , x) =
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
∂x A /∂x ∂x A /∂y ∂x A /∂z ∂x A /∂v L t
∂y A /∂x ∂y A /∂y ∂y A /∂z ∂y A /∂v L t
∂z A /∂x ∂z A /∂y ∂z A /∂z ∂z A /∂v L t
∂(v L t A )/∂x ∂(v L t A )/∂y ∂(v L t A )/∂z ∂(v L t A )/∂v L t
Se tiene el jacobiano para la anterior transformación:
J ν µ (x A , x) =
⎧
⎫
1 + V ⎪⎨
2 /2v 2 L
0 0 −V/v L
⎪⎬
0 1 0 0
= lim
,
v L→∞ 0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭
−V/v L 0 0 1 + V 2 /2v 2 L
Se tiene entonces la matriz de proyección entre estos referenciales
dada por:
P µ ν (V ) =
lim J ν µ (x A , x)
v L→∞
Si las diversas magnitudes se escriben en forma de
pseudo-4-vectores, las transformaciones entre referenciales
se pueden llevar a cabo utilizando el jacobiano.
Así, si la energía cinética de un cuerpo en S ∞ viene dado
por el pseudo-4-vector:
⎧
⎫
v L mv
⎪⎨
⎪⎬
K µ 0
=
,
0 ⎪⎩
⎪⎭
mv 2 /2 + mv 2 L
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
el correspondiente pseudo-4-vector energía cinética en
K µ A vendrá dado por:
⎧
⎫
v L m(v − V )
⎪⎨
⎪⎬
K µ A
= P ν µ (V )K µ 0
=
.
0
⎪⎩
⎪⎭
m(v − V ) 2 /2 + mv 2 L
Siguiendo con el paralelismo con el formalismo Einstein-
Minkowski, a cada fuerza F = (F x , F y , F z ) se le asocia
una matriz:
⎧
⎪⎨
F ν µ =
⎪⎩
0 0 0 F x
0 0 0 F y
0 0 0 F z
F x F y F z 0
y un desplazamiento:
⎫ ⎧⎪ dx ⎨ ⎪⎬
dL µ F = dy
.
⎪ dz ⎩ ⎪⎭
v L dt
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
Dado un cierto proceso, en el que intervienen distintas
fuerzas, desplazamientos, etc., se tienen dos ecuaciones
(no se considera la rotación) que son:
1. La ecuación del centro de masas:
⎛ ⎞
dK µ cm
= ⎝ ∑ j
µ
F j ν
⎠ dL µ cm
,
en la que sólo intervienen energías mecánicas, y un producto
escalar de la resultante vectorial de todas las
fuerzas por el vector desplazamiento del centro de masas,
y que proporciona información sobre el movimiento del
centro de masas,
También se tiene:
2. La ecuación de la energía:
dK µ cm
+ dU µ = ∑ j
F j
µ
ν dLµ j + dQµ ,
donde el pseudo-4-vector dU µ es el asociado a la variación
de la energía interna, que incluye las energías cinéticas
relativas al centro de masas y la variación de la energía
interna relacionada con la variación de temperatura. En
esta ecuación intervienen los trabajos realizados por las
fuerzas. Esta ecuación también se puede poner como:
∑
i
dK µ i
+ dU µ T = ∑ j
F j
µ
ν dLµ j + dQµ ,
donde dK µ i es el pseudo-4-vector asociado a la variación
de la energía cinética de una parte del sistema y dU µ T
es la variación de la energía interna relacionada con la
variación de temperatura.
2

CADENA ELEVÁNDOSE
La energía cinética total (la masa multiplicada por su
velocidad al cuadrado, dividido por dos) es:
K = 1 2 ρxv2 .
Cuando el extremo superior de la cadena avanza en dx,
cada una de estas magnitudes varía como:
dx cm = x L dx ,
dv cm = v L dx ,
dp cm = ρvdx ,
dK cm = ρ xv2
L dx ,
dK = 1 2 ρv2 dx ,
El pseudo-4-vector variación del momento linealenergía
cinética del centro de masas de la cadena es:
⎧
⎫
0 ⎪⎨
⎪⎬
dK µ v
cm
=
L ρvdx
.
0 ⎪⎩
⎪⎭
ρ(xv 2 /L)dx
El pseudo-4-vector asociado al desplazamiento del centro
de masas es:
⎧ ⎫
0 ⎪⎨ ⎪⎬
dL µ (x/L)dx
cm
=
.
0 ⎪⎩ ⎪⎭
v L dt
x(x/2) + (L − x)0
= x2
L
2L .
xv + (L − x)0
v cm = = xv
L L .
⎧
⎫
0 0 0 0
⎪⎨
⎪⎬
F µ 0 0 0 F (x)
ν =
.
0 0 0 0
⎪⎩
⎪⎭
0 F (x) 0 0
p cm = ρLv cm = ρxv .
El desplazamiento de esta fuerza cuando el extremo de
la cadena avanza en dx es:
⎫ ⎧⎪ 0 ⎨ ⎪⎬
K cm = 1 2 ρLv2 cm
= 1 dL µ
v 2
F = dx
.
2 ρx2 L . ⎪ 0 ⎩ v dt
⎪⎭
L
Los procesos en los que intervienen cadenas suelen ser
procesos difíciles de analizar. Utilizando el formalismo de
pseudo-4-vectores, se puede conseguir una aproximación
sistemática a este tipo de problemas, distinguiéndose
claramente entre la ecuación de la segunda ley de Newton,
incluyendo la ecuación del centro de masas, y la
ecuación de la energía, lo que permite obtener la ecuación
de los posibles efectos térmicos que se produzcan durante
los procesos.
En la Fig. 1 se muestra un esquema de un proceso en
el que una cadena, de densidad lineal ρ = m/L, previamente
depositada sobre una mesa, es elevada, con velocidad
constante v, bajo la acción de una fuerza F (x) que
va a depender de la longitud x de cadena elevada.
FIG. 1. Cadena que se eleva. Una cadena, de masa m y
longitud L, se eleva bajo la acción de una fuerza F (x) aplicada
en su extremo. La velocidad de cada eslabón elevado es v. Hay
evidencia experimental de disipación de energía mecánica a lo
largo del proceso.
Sea x la altura o longitud de la cadena ya desplegada
y sea L−x la longitud de cadena sin desplegar. El centro
de masas de la cadena se encuentra en:
x cm =
La velocidad del centro de masas de la cadena es:
El momento lineal del centro de masas (la masa total multiplicada
por la velocidad del centro de masas) es también
el momento lineal total (la masa en movimiento por su
velocidad):
La energía cinética del centro de masas (la masa total
multiplicada por la velocidad al cuadrado del centro de
masas, dividido por dos) es:
Sobre la cadena se puede considerar que se aplican cuatro
fuerzas: (i) la fuerza F (x) aplicada en su extremo, (ii)
la fuerza del peso de la cadena ya elevada, ρxg, que se
aplica a mitad de la parte ya elevada, (iii) el peso de la
parte de la cadena todavía en la mesa ρ(L − x)g, que
no tiene desplazamiento y se aplica en la superficie de la
mesa, y (iv) la normal N(x) de la mesa sobre la cadena.
Las fuerzas (iii) y (iv) se puede considerar que son iguales
y de sentido contrario, por lo que se anulan mutuamente
y no intervienen.
Para la fuerza F (x) se tiene:
3

4
(ii) El peso de la parte de la cadena que se eleva:
⎧
⎫
0 0 0 0
⎪⎨
⎪⎬
G µ 0 0 0 −ρxg
ν =
.
0 0 0 0
⎪⎩
⎪⎭
0 −ρxg 0 0
Cuando el extremo de la cadena pasa de x a x + dx, la
energía potencial del trozo de cadena ya elevado varía
como:
dE p = ρg(x + dx) x + dx
2
− ρg x 2 = ρgxdx .
La energía potencial de la cadena es E p (x) = ρgx 2 /2,
que varía como
dE p
dx = ρgx .
Por tanto, el desplazamiento de esta fuerza del peso
cuando el extremo de la cadena avanza en dx es:
⎫ ⎧⎪ 0 ⎨ ⎪⎬
dL µ G = dx
.
⎪ 0 ⎩ ⎪⎭
v L dt
Se plantean entonces las ecuaciones (1.) ecuación del
centro de masas, (2.) ecuación de la energía.
1. La ecuación del centro de masas para este proceso
es:
Se tiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0
v L ρvdx
0
ρ(xv 2 /L)dx
dK µ cm
= (F µ ν + G µ ν ) dL µ cm
.
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
0 0 0 0
0 0 0 F (x) − ρxg
0 0 0 0
0 F (x) − ρxg 0 0
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
Se obtienen las ecuaciones:
}
v L
{ρvdx = [F (x) − ρxg] dt ,
ρ xv2
L dx = [F (x) − ρxg] x L dx .
Con v = dx/dt, se obtiene entonces que:
F (x) = ρv 2 + ρxg .
0
(x/L)dx
0
v L dt
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Una fuerza constante sirve para mantener la cadena en
movimiento con velocidad v, pero hay que aplicar una
fuerza variable para, además, elevarla en el campo gravitatorio.
La primera ecuación es de la forma:
d(mv) = ∑ j
F j dt ,
que también se puede poner como ρLa cm = ∑ j F j:
ρLdv cm = ∑ j
F j dt .
La segunda ecuación se obtiene a partir de ésta multiplicando
ambos miembros por v cm :
ρLv cm dv cm = ∑ j
F j v cm dt ,
obteniéndose (v cm dv cm = dv 2 cm/2, v cm dt = dx cm ) que:
1
2 ρLdv2 cm
= ∑ j
F j dx cm .
Las ecuaciones anteriores se expresan en función de dx y
de v, que son las magnitudes que se pueden medir.
2. La ecuación de la energía para este proceso es:
dK µ + dU µ T = F µ ν dL µ F + Gµ ν dL µ G + dQ ,
donde se asocia a cada fuerza su propio desplazamiento
y se calculan los trabajos realizados por las fuerzas. Se
tiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
0
v L ρvdx
0
ρv 2 dx/2
⎫ ⎧ ⎫
0 ⎪⎬ ⎪⎨ ⎪⎬
0
+ =
0 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
dU
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
0 0 0 0
0 0 0 F (x)
0 0 0 0
0 F (x) 0 0
⎪⎩
⎧
0 0 0 0
⎪⎨
0 0 0 −ρxg
+
0 0 0 0
⎪⎩
0 −ρxg 0 0
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0
0
0
dQ
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
0
dx
0 ⎪⎭ ⎪⎩
v L dt
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
0
dx
0
v L dt
⎫
⎪⎬
+
⎪⎭
Se tienen las ecuaciones:
}
v L
{ρvdx = [F (x) − ρxg] dt ,
⎫
⎪⎬
+
⎪⎭
1
2 ρv2 dx + dU T = [F (x) − ρxg] dx + dQ .
Considerando que dU T = 0 y que F (x) = ρv 2 + ρgx, se
tiene que:
Q(x) = −
∫ x
0
(
ρv 2 + ρxg ) dx +
+ 1 ∫ x
2 ρv2 dx +
0
∫ x
0
ρxgdx = − 1 2 ρv2 x .

5
Parte del trabajo realizado por la fuerza F (x) se pierde
al poner bruscamente los eslabones en movimiento. Este
mismo resultado se obtiene si se considera que el trabajo
realizado por la fuerza F (x) para subir la cadena hasta
x es:
W (x) =
∫ x
0
(
ρv 2 − ρxg ) dx = ρgv 2 x + ρg x2
2 ,
y que cuando la cadena ha alcanzado la altura x, tiene
una energía cinética y una energía potencial:
por lo que, con
K(x) = 1 2 ρxv2 ,
E p (x) = ρg x2
2 ,
Q(x) = K(x) + E p (x) − W (x) = − 1 2 ρv2 x .
Al igual que sucede con la cadena que se desenrolla en
horizontal, la energía cinética final que se obtiene es sólo
la mitad de la que se podría obtener.
Este proceso de elevar la cadena desde el suelo es un
proceso irreversible en el que se disipa energía mecánica
y que no puede entender completamente si no se utilizan
tanto las leyes de la mecánica como las leyes de la termodinámica.
EFECTO DOPPLER ACÚSTICO
Las ondas de presión obedecen una ecuación de ondas
semejante a la ecuación de ondas de la luz:
donde
∂ 2 f(x, t)
∂x 2
v S =
= 1 v 2 S
∂ 2 f(x, t)
∂t 2 ,
√
γP
ρ ,
es la velocidad del sonido en un medio gaseoso a presión
P , densidad ρ y coeficiente adiabático γ. En el caso de un
sólido esta ecuación para la velocidad del sonido cambia
ligeramente,
√
B
v S =
ρ ,
donde B ≡ L(∂P/∂L) T es un coeficiente relacionado con
la constante elástica del medio.
Cuando se estudia el efecto Doppler acústico se supone
que el medio en el que se propaga el sonido (un gas, un
fluido, un metal) permanece en reposo.
Cuando este efecto se describe en los libros de texto
cada caso del efecto Doppler acústico para el movimiento
relativo de la fuente de sonido y del observador se trata
por separado. Por ejemplo,
1. La fuente, en reposo en el origen, emite un sonido
de frecuencia f. El observador, en reposo, mide un
sonido de frecuencia f, velocidad v S y longitud de
onda λ = v S /f.
2. La fuente en reposo, emite un sonido de frecuencia
f. El observador, que se mueve con velocidad V
alejándose de la fuente, escucha un sonido de frecuencia
f ′ . Con
se tiene que:
v A = v S − V ,
f ′ = v ( )
A
λ = f vS − V
< f .
v S
Si el observador se mueve con velocidad −V acercándose
a la fuente, escucha un sonido de frecuencia
¯f. Con
se tiene que:
¯v A = v S + V ,
¯f = ¯v ( )
A
λ = f vS + V
> f .
v S
3. En la descripción habitual, si la fuente en
movimiento, con velocidad v F , emite un sonido de
frecuencia f, el observador, en reposo, con la fuente
acercándose hacia él, escucha un sonido de frecuencia
f ′ . Con
se tiene que:
f ′ = v S
= f
λ A
Si la fuente se aleja,
se tiene que:
f ′ = v S
= f
λ A
λ A = λ − v F
f ,
(
vS
)
> f .
v S − v F
λ A = λ + v F
f ,
(
vS
)
< f .
v S + v F
4. Cuando fuente de sonido y observador se mueven
ambos, se pone que:
( )
f ′ vS − V
= f
,
v S + v F
si ambos se alejan mutuamente, o
( )
f ′ vS + V
= f
,
v S − v F
si ambos se acercan mutuamente.

6
Fuente en reposo y observador en movimiento
El formalismo de pseudo-4-vectores se puede aplicar
con ciertas ventajas al caso del efecto Doppler acústico.
Este formalismo sigue un paralelismo con el efecto
Doppler luminoso, al que se le aplica el formalismo e-
xacto de la teoría de la relatividad mediante 4-vectores
de Einstein-Minkowski.
FIG. 2. Efecto Doppler acústico. Fuente de sonido, frecuencia
f, en reposo y observador, a su derecha, moviéndose hacia la
derecha, frecuencia detectada f 0+ < f.
Se construye un pseudo-4-vector frecuencia f µ , que va
a caracterizar la frecuencia de la onda sonora:
⎧
⎪⎨
f µ =
⎪⎩
±f
0
0
f
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Se toma signo positivo si el sonido se desplaza hacia
+x (derecha) y el signo menos si se desplaza hacia −x
(izquierda).
Por comparación con lo que sería el límite clásico de
la transformación de Lorentz L µ ν (V ), tomando la velocidad
del sonido v S como la velocidad representativa del
medio en reposo que va a jugar el mismo papel que la
velocidad de la luz en el vacío c, se tendría la matriz de
transformación:
⎧
⎪⎨
P ν µ (V ) =
⎪⎩
1 0 0 −V/v S
0 1 0 0
0 0 1 0
−V/v S 0 0 1
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
para obtener la frecuencia que medirá un observador que
se mueva con velocidad +V (derecha) respecto de una
fuente de sonido que permanece en reposo y emite sonido
con una cierta frecuencia. Es decir, el pseudo-4-vector
f µ 0+ que proporciona la frecuencia que mide el observador
es:
f µ 0+ = Pµ ν (V )f ν =
⎧
1 0 0 −V/v S
⎪⎨
0 1 0 0
=
0 0 1 0
⎪⎩
−V/v S 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
f 0+
0
0
f 0+
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
(generalización de la formulación asíncrona), con:
⎫
⎧⎪ f[(v S − V )/v S ]
⎨ ⎪⎬
f µ 0+ = 0
.
⎪ 0 ⎩ ⎪⎭
f[(v S − V )/v S ]
Es decir, si un observador se aleja con velocidad V de la
fuente del sonido, en reposo, la frecuencia que mide es:
f 0+ = f v S − V
v S
< f .
En este caso el sonido es más grave para el observador.
Si la velocidad V es mayor que la velocidad del sonido en
el medio, la onda sonora no le alcanza, lo que parece que
se pone de manifiesto al obtenerse una frecuencia negativa,
sin sentido físico aparente. Este mismo resultado se
obtiene si se aleja por la izquierda de sonido que también
viaja hacia la izquierda:
f µ 0+ = Pµ ν (−V )f ν =
⎧
⎫ ⎧
1 0 0 V/v S
⎪⎨
⎪⎬ ⎪⎨
0 1 0 0
=
0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭ ⎪⎩
V/v S 0 0 1
−f
0
0
f
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
f 0+
0
0
f 0+
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
Si ahora el observador se mueve hacia la izquierda, para
un sonido que se mueve hacia la derecha, es decir, que va
a su encuentro, se tendría:
con:
¯f µ 0− = Pµ ν (−V )f ν =
⎧
⎫ ⎧
1 0 0 V/v S
⎪⎨
⎪⎬ ⎪⎨
0 1 0 0
=
0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭ ⎪⎩
V/v S 0 0 1
f
0
0
f
f 0− = f v S + V
v S
< f .
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
f 0−
0
0
f 0−
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
En este caso el sonido es más agudo para el observador.
Este mismo resultado se obtiene si se acerca a la fuente
moviéndose hacia la derecha y el sonido viaja hacia la
izquierda:
f µ 0+ = Pµ ν (V )f ν =
⎧
1 0 0 −V/v S
⎪⎨
0 1 0 0
=
0 0 1 0
⎪⎩
−V/v S 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
−f
0
0
f
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
−f 0+
0
0
f 0+
Fuente en movimiento y observador en reposo
Puesto que en un momento dado se va a necesitar una
matriz de transformación para la fuente en movimiento,
con velocidad v F = V tal que al combinarla con un observador
en movimiento que se mueva también con velocidad
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭

acerca la fuente de sonido, moviéndose hacia la derecha,
se tiene que:
f µ +0 = Aµ ν (v F )f ν ,
7
FIG. 3. Efecto Doppler acústico. (R) Fuente de sonido, frecuencia
f, en movimiento respecto del aire y observador, a
su derecha, en reposo, frecuencia detectada por el observador
f +0 > f. (L) Fuente de sonido, frecuencia f, en movimiento
respecto del aire y observador, a su izquierda, en reposo, frecuencia
detectada por el observador f −0 < f.
con
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f +0
0
0
f +0
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Se tiene entonces que:
γ(v F ) 0 0 β(v F )γ(v F )
0 1 0 0
0 0 1 0
β(v F )γ(v F ) 0 0 γ(v F )
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
V se obtenga que la frecuencia observada por el observador
no cambia respecto de la emitida por la fuente (el
medio que transmite el sonido, el aire, el agua, un metal,
etc., se mueve respecto de ambos observador y fuente),
se tiene que hay que buscar una transformación para la
fuente tal que:
⎧
1 0 0 −v F /v S
⎪⎨
0 1 0 0
0 0 1 0
⎪⎩
−v F /v S 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
a 0 0 b
0 1 0 0
0 0 1 0
b 0 0 a
Se obtiene entonces que esta matriz es:
⎧
⎪⎨
A µ ν (v F ) =
⎪⎩
con:
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
γ(v F ) 0 0 β(v F )γ(v F )
0 1 0 0
0 0 1 0
β(v F )γ(v F ) 0 0 γ(v F )
γ(v F ) = [1 − β 2 (v F )] −1 ,
β(v F ) = v F
v S
.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
A diferencia de lo que sucede con la luz, que tienen matrices
equivalentes para el observador en movimiento y
para la fuente en movimiento, con el sonido las matrices
P ν µ (V ) y A µ ν (v F ) son muy diferentes. Esto prueba
que en el efecto Doppler acústico los papeles de observador
y fuente no son equivalentes y que el efecto Doppler
acústico depende de algo más que de la velocidad relativa
de fuente y observador.
Si se tiene
⎧
⎪⎨
f µ =
⎪⎩
±f
0
0
f
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
como el pseudo-4-vector de la frecuencia que emitiría la
fuente en reposo, si se quiere obtener la frecuencia f +0
que mide un observador que se encuentra en reposo en el
sistema de referencia en el que el medio que transmite el
sonido también permanece en reposo, y hacia el que se
⎫
⎪⎬
Con
se tiene:
.
⎪⎭
f +0 = f [1 + β(v F )] γ(v F ) = f 1 + v F/v S
1 − vF/v 2 2 ,
S
v S (v S + v F )
(v S + v F )(v S − v F ) ,
v S
f +0 = f
(v S − v F ) > f .
A medida que la velocidad de la fuente se acerca a la del
sonido, la frecuencia que mide el observador es cada vez
más aguda. Si la velocidad de la fuente es mayor que la
velocidad del sonido, la fuente llega antes que el sonido
al observador.
Si se quiere obtener la frecuencia f −0 que mide un observador
que se encuentra en reposo y del que se aleja
la fuente de sonido, moviéndose hacia la izquierda, emitiendo
sonido hacia la derecha se tiene que:
con
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f −0
0
0
f −0
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Se tiene entonces que:
con
f µ −0 = Aµ ν (−v F )f ν ,
γ(v F ) 0 0 −β(v F )γ(v F )
0 1 0 0
0 0 1 0
−β(v F )γ(v F ) 0 0 γ(v F )
f −0 = f [1 − β(v F )] γ(v F ) = f 1 − v F/v S
1 − vF/v 2 2 ,
S
v S
f −0 = f
(v S + v F ) < f .
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Por muy ràpido que se aleje la fuente, al observador siempre
la llegará el sonido, aunque puede tardar mucho en
hacerlo.

8
Fuente en movimiento y observador en movimiento
La fuente se mueve hacia la derecha, el observador hacia
la izquierda, y hacia la fuente:
de donde:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f +−
0
0
f +−
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
f µ +− = A µ ν (v F )P µ ν (−V )f ν ,
⎧
⎪⎨
γ(v F ) 0 0 β(v F )γ(v F )
0 1 0 0
0 0 1 0
⎪⎩
β(v F )γ(v F ) 0 0 γ(v F )
⎧
⎫ ⎧
⎪⎨
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎩
1 0 0 V/v S
0 1 0 0
0 0 1 0
V/v S 0 0 1
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
⎫
⎪⎬
Se obtiene que:
f +− =
(1 + V )
[γ(v F ) + β(v F )γ(v F )] = f v S + V
> f .
v S v S − v F
Se refuerzan los dos efectos y el sonido se escucha mucho
más agudo.
La fuente se mueve hacia la izquierda, el observador
hacia la derecha, alejándose de la fuente:
de donde:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f +−
0
0
f +−
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
f µ −+ = A µ ν (−v F )P µ ν (V )f ν ,
⎧
⎪⎨
γ(v F ) 0 0 −β(v F )γ(v F )
0 1 0 0
0 0 1 0
⎪⎩
−β(v F )γ(v F ) 0 0 γ(v F )
⎧
⎫ ⎧ ⎫
⎪⎨
⎪⎬ ⎪⎨ ⎪⎬
⎪⎩
1 0 0 −V/v S
0 1 0 0
0 0 1 0
−V/v S 0 0 1
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎪⎭
.
⎪⎭
⎫
⎪⎬
Se obtiene que:
f −+ =
(1 − V )
[γ(v F ) + β(v F )γ(v F )] = f v S − V
< f .
v S v S + v F
Se refuerzan los dos efectos y el sonido se escucha mucho
más grave.
La fuente se mueve hacia la derecha, el observador hacia
la derecha, ambos con la misma velocidad v F = V :
de donde:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f ++
0
0
f ++
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
f µ ++ = A µ ν (V )P µ ν (V )f ν ,
⎧
⎪⎨
γ(V ) 0 0 β(V )γ(V )
0 1 0 0
0 0 1 0
⎪⎩
β(V )γ(V ) 0 0 γ(V )
⎧
⎫ ⎧
⎪⎨
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎩
1 0 0 −V/v S
0 1 0 0
0 0 1 0
−V/v S 0 0 1
⎪⎭ ⎪⎩
f
0
0
f
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭
.
⎪⎭
Se obtiene que:
f ++ = f .
Como ambos se mueven a la misma velocidad, escucha la
misma frecuencia. Lo mismo se obtiene para f −− .
SISTEMAS DE REFERENCIA NO INERCIALES
Tal y como se desarrolla la física clásica, mecánica y
termodinámica, en los libros de texto –segunda ley de
Newton, ecuación del centro de masas, primer principio
de la termodinámica–, no resulta obvio el cumplimiento
por parte de las descripciones que se hacen de los diversos
procesos físicos, del principio de relatividad. Para asegurar
que dicho principio se cumple automáticamente en las
descripciones que se hagan en distintos sistemas de referencia
de un mismo proceso, se debe desarrollar un formalismo
de pseudo-4-vectores que al escribir las ecuaciones
como relaciones entre pseudo-4-vectores y 4×4-matrices,
utilizando una matriz de proyección entre sistemas de referencia,
garantiza el cumplimiento de dicho principio de
relatividad, a la vez que hace predicciones experimentalmente
contrastables sobre las transformaciones relativistas
de las diferentes magnitudes.
Dados dos sistemas de referencia, por ejemplo,
S ∞ , con variables (x, y, z, v L t), y S A , con variables
(x A , y A , z A , v L t A ), se tiene un conjunto de transformaciones
entre ellas:
x A = x A (x, y, z, t) ,
y A = y A (x, y, z, t) ,
z A = z A (x, y, z, t) ,
v L t A = v L t A (x, y, z, t) ,
El jacobiano de esta transformación viene dado por:
J ν µ (x A , x) =
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
∂x A /∂x ∂x A /∂y ∂x A /∂z ∂x A /∂v L t
∂y A /∂x ∂y A /∂y ∂y A /∂z ∂y A /∂v L t
∂z A /∂x ∂z A /∂y ∂z A /∂z ∂z A /∂v L t
∂(v L t A )/∂x ∂(v L t A )/∂y ∂(v L t A )/∂z ∂(v L t A )/∂v L t
Si las diversas magnitudes se escriben en forma de
pseudo-4-vectores, las transformaciones entre referenciales
se pueden llevar a cabo utilizando el jacobiano.
Así, si el desplazamiento infinitesimal de un cuerpo en
S ∞ viene dado por el pseudo-4-vector:
⎧
⎪⎨
dL µ =
⎪⎩
dL x
dL y
dL z
v L dt
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
el correspondiente pseudo-4-vector desplazamiento dL µ A
vendrá dado por:
dL µ A
=
lim J ν µ (x A , x)dL µ .
v L→∞
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭

9
Sea, por ejemplo, la transformación entre sistemas de
referencia:
x A = x − V v L
v L t ,
y A = y ,
z A = z ,
v L t A = v L t − V v L
x .
En el límite de v L → ∞, esta es la transformación de
Galileo clásica. Se tiene la matriz de proyección para
esta transformación:
lim J ν µ (x A , x) =
v L→∞
⎧
⎪⎨
= lim
v L→∞
⎪⎩
1 0 0 −V/v L
0 1 0 0
0 0 1 0
−V/v L 0 0 1
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Por ejemplo, para el pseudo-4-vector velocidad:
⎧
v x ⎪⎨
⎫⎪ ⎬
v µ v
= y
,
0 ⎪⎩ ⎪ ⎭
v L
se tiene que:
⎧
v x − V ⎪⎨
⎫⎪ ⎬
v µ A
= J ν µ (x A , x)v µ v
= y
.
0 ⎪⎩ ⎪ ⎭
v L
Principio de relatividad de Galileo
Sea una ecuación entre pseudo-4-vectores:
∆K cm = F µ ν ∆L µ cm
,
que describe un proceso en un cierto referencial S ∞ . Para
un referencial S C que se encuentra girado un cierto ángulo
α respecto de S ∞ , las transformaciones de coordenadas
entre referenciales vienen dadas por:
x C = x cos α + y sen α ,
y C = −x sen α + y cos α ,
z C = z ,
v L t C = v L t .
La matriz de proyección para pasar de una descrpción en
S ∞ a una descripción en S C viene dada por:
⎧
⎫
cos α sen α 0 0
⎪⎨
⎪⎬
R µ −sen α cos α 0 0
ν (α) =
.
0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭
0 0 0 1
Sea la ecuación en S ∞ :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
donde:
v L mdv x
v L mdv y
0
mdv 2 /2
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
0 0 0 F x
0 0 0 F y
0 0 0 0
F x F y 0 0
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
dL x
dL y
0
v L dt
v x = vcos θ ; F x = F cos θ ; dL x = dLcos θ ,
v y = vsen θ ; F y = F sen θ ; dL y = dLsen θ .
En S C se tiene:
con:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y
v L mdv xC
v L mdv yC
0
mdv 2 C/2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
También:
con:
⎧
⎪⎨
y
⎪⎩
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
v L mdv xC
v L mdv yC
0
mdv 2 C/2
dL xC
dL yC
0
v L dt C
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Para la fuerza:
donde:
tal que:
dK µ cmC
= R µ ν (α)dK µ cm
,
cos α sen α 0 0
−sen α cos α 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
v L mdvcos(θ + α)
v L mdvsen(θ + α)
0
mdv 2 /2
dL µ cmC
= R µ ν (α)dL µ cm
,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
cos α sen α 0 0
−sen α cos α 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
dL xC
dL yC
0
v L dt C
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
dLcos(θ + α)
dLsen(θ + α)
0
v L dt
F C
µ
ν = R µ ν (α)F µ ν R +µ ν (α) ,
⎧
⎪⎨
R +µ ν (α) =
⎪⎩
cos α −sen α 0 0
sen α cos α 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
R +µ ν (α) = R µ ν (−α) ,
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
v L mdv x
v L mdv y
0
mdv 2 /2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
dL x
dL y
0
v L dt
,
⎪⎭
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭

10
con
Se tiene que:
⎧
⎪⎨
µ
F C ν =
⎪⎩
R µ ν (α)R +µ ν (α) = R +µ ν (α)R µ ν (α) = 1 µ ν .
La ecuación en S C :
⎧
⎪⎨
0 0 0 F cos (θ + α)
0 0 0 F sen (θ + α)
0 0 0 0
F cos (θ + α) F sen (θ + α) 0 0
v L mdvcos(θ + α)
v L mdvsen (θ + α)
0
mdv 2 /2
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
⎪⎩
⎧
0 0 0 F cos (θ + α)
⎪⎨
0 0 0 F sen (θ + α)
=
0 0 0 0
⎪⎩
F cos (θ + α) F sen (θ + α) 0 0
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dLcos (θ + α)
dLsen (θ + α)
0
v L dt
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎫
⎪⎬
da lugar a las mismas ecuaciones que en S ∞ . Para el
observador en S C es como si todos los ángulos hubiesen
girado un ángulo α respecto de los ángulos en S ∞ .
Sistemas de referencia acelerados
Las discusiones anteriores se pueden extender al caso
de sistemas de referencia no inerciales, como, por ejemplo,
sistemas de referencia acelerados (una persona dentro
de un vagón que se mueve con aceleración a respecto
del suelo), o sistemas que giran (por ejemplo, una persona
en una plataforma giratoria).
Sea, por ejemplo, la transformación entre sistemas de
referencia:
x A = x − 1 a
2 v 2 (v L t) 2 ,
L
y A = y ,
z A = z ,
v L t A = v L t ,
que corresponde a un sistema de referencia que se mueve
con aceleración a respecto de S ∞ . Se tiene la matriz de
proyección para esta transformación:
P ν µ (x A , x) =
⎧
⎪⎨
= lim
v L→∞
⎪⎩
1 0 0 −at/v L
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
⎪⎭
En la Fig. 4 se muestra un proceso en el que un hilo,
del que cuelga una masa m, cuyo extremo superior se
encuentra sujeto al techo de un vagón, forma un ángulo
θ con la vertical cuando el vagón se mueve con una aceleración
θ.
FIG. 4. Esfera colgada de un hilo en cuerpo acelerado. Una
bola que cuelga de un hilo forma un ángulo θ con la vertical
cuando el vagón al que se encuentra sujeto el extremo superior
del hilo se mueve con aceleración a. (a) Descripción de un
observador en el andén. (b) Descripción de un observador en
el vagón.
Para un observador en el andén, la bola que cuelga
del hilo tiene una aceleración a debido a la fuerza de la
tensión del hilo y al peso. Para la fuerza de la tensión
del hilo, T = (T sen θ, T cos θ), se tiene la 4×4-matriz:
⎧
⎪⎨
T ν µ =
⎪⎩
0 0 0 T sen θ
0 0 0 T cos θ
0 0 0 0
T sen θ T cos θ 0 0
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Para el peso P = (0, −mg) se tiene la 4×4-matriz:
⎧
⎫
0 0 0 0
⎪⎨
⎪⎬
P ν µ 0 0 0 −mg
=
.
0 0 0 0
⎪⎩
⎪⎭
0 −mg 0 0
El pseudo-4-vector dL µ cm
es:
⎧ ⎫
dx ⎪⎨ ⎪⎬
dL µ 0
cm
=
0 ⎪⎩ ⎪⎭
v L dt
El pseudo-4-vector dK µ cm
es:
⎧
⎪⎨
dK µ cm
=
⎪⎩
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
v L mdv
0
0
mdv 2 /2
atdt
0
0
v L dt
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭

11
Se tiene la ecuación del centro de masas:
Se tiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v L mdv
0
0
mdv 2 /2
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
dK µ cm
= (T µ ν + P µ ν ) dL µ cm
.
0 0 0 T cos θ
0 0 0 T sen θ − mg
0 0 0 0
T cos θ T sen θ − mg 0 0
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
Por componentes se obtienen las ecuaciones:
]
v L
[mdv = T sen θdt ,
]
v L
[0 = (T cos θ − mg)dt ,
Se tiene entonces que:
1
2 mdv2 = T sen θdx .
a = T sen θ = mgtgθ ,
T cos θ = mg .
dx
0
0
v L dt
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
La misma fuerza que hace que el vagón se acelere, proporciona
la componente horizontal de la fuerza que acelera
la bola que cuelga del hilo. Cuanto mayor sea el ángulo
θ, mayor debe ser la aceleración a. Este dispositivo es un
acelerómetro.
Para un observador dentro del vagón, que se mueve
con aceleración a respecto de S ∞ , se tienen las transformaciones
de coordenadas
x V = x − 1 a
(v L t) 2 ,
2 v L
v L t V = v L t .
Se tiene la 4×4 matriz para la transformación:
⎧
⎫
1 0 0 −v ⎪⎨
−1
L
at ⎪⎬
A µ 0 1 0 0
ν =
.
0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭
0 0 0 1
Para el observador en S V , el pseudo-4-vector asociado al
desplazamiento del la bola es:
tal que
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dx V
0
0
v L dt V
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
dL µ V
= A µ ν dL µ cm
,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 0 0 −v −1
L
at
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
atdt
0
0
v L dt
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
de donde se obtiene que:
⎧
⎪⎨
dL µ V
=
⎪⎩
0
0
0
v L dt
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
Para las velocidades en S V se tiene que:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v V
0
0
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v µ V
= A µ ν v µ ,
1 0 0 −v −1
L
at
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
de donde se obtiene que:
⎧
0 ⎪⎨
⎫⎪ ⎬
v µ 0
V
= ,
0 ⎪⎩ ⎪ ⎭
v L
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
adt
0
0
v L dt
La ecuación fundamental en S V es de la forma:
dK µ V
= ( T ν µ + P ν µ + ¯F ν
µ )
dL
µ
V
,
donde:
⎧
⎪⎨
dK µ V
=
⎪⎩
0
0
0
0
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
pues para el observador en el vagón, la bola no se mueve,
y donde
⎧
0 0 0 ⎪⎨
¯F
⎫
x
¯F ν µ 0 0 0
=
¯F
⎪⎬
y
,
0 0 0 0
⎪⎩
⎪⎭
¯F x ¯Fy 0 0
es una fuerza ficticia ¯F = ( ¯F x , ¯F y ), que debe considerar
el observador en el vagón para, una vez detectadas las
otras fuerzas, explicar que la bola no se mueva. A partir
de la ecuación del centro de masas en S V se tiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
0
0
0
0
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
0 0 0 T cos θ + ¯F x
0 0 0 T sen θ − mg + ¯F y
0 0 0 0
⎪⎩
T cos θ − ¯F x T sen θ − mg + ¯F y 0 0
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0
0
0
v L dt
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭

12
Se tienen las ecuaciones en S V :
Se deduce que
T cos θ + ¯F x = 0 ,
T sen θ − mg + ¯F y = 0 .
T cos θ = − ¯F x ,
¯F y = 0 .
El observador en S V ve una fuerza −T cos θ que hace que
la bola permanezca en reposo.
Si para el observador en tierra, S ∞ , la bola colgada de
un hilo se trata de un péndulo que oscila con período:
T = 2π
√
L
g ,
oscilando simétricamente alrededor de la vertical que
pasa por el punto de apoyo en el techo, para el observador
dentro del vagón, se trataría de un péndulo que
oscila con período:
( ) 1/2
L
T = 2π √ ,
a2 + g 2
FIG. 5. Caída de graves en vagón. Observador externo. Para
este observador, la esfera cae en línea recta bajo la acción de
la gravedad.
y que oscila alrededor de la línea con ángulo :
θ A = arctg a g .
Caída de graves en vagón acelerado
En la Fig. 5 se muestra un proceso en el que desde
el techo de un vagón que se mueve con aceleración a,
partiendo del reposo, se deja caer una bola desde el techo
en el instante inicial.
Para el observador en S ∞ se tiene que:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v L mv x
v L mv y
0
mv 2 /2
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
Se tienen las ecuaciones:
0 0 0 0
0 0 0 −mg
0 0 0 0
0 −mg 0 0
v x = 0 ,
v y = gt ,
1
2 mv2 = mgh .
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
0
−h
0
v L t
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
Para el observador en S C que se mueve con el vagón,
se tiene que:
⎧
⎧
⎫ ⎧ ⎫
dx C
⎪⎨
⎫⎪ 1 0 0 −v ⎬ ⎪⎨
−1
L
at 0 ⎪⎬ ⎪⎨ ⎪⎬
dy C 0 1 0 0 −dh
=
,
0 ⎪⎩ ⎪ 0 0 1 0 0
⎭ ⎪⎩
⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
v L dt C 0 0 0 1 v L dt
FIG. 6. Caída de graves en vagón. Observador interno. Para
este observador la esfera se mueve hacia la parte trasera del
vagón, a la vez que cae bajo la acción de la gravedad, por
lo que interpreta que hay una fuerza que lo impulsa en esa
dirección.
de donde
Para la velocidad:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v xC
v yC
0
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
⎧
⎪⎨
dL µ C
=
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−atdt
−dh
0
v L dt
⎫
⎪⎬
⎪⎭
1 0 0 −v −1
L
at
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
0
gt
0
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
,

13
de donde
⎧
−at ⎪⎨
⎫⎪ ⎬
v µ −gt
C
= .
0 ⎪⎩ ⎪ ⎭
v L
Este observador asigna un pseudo-4-vector:
⎧ ⎫
−v L madt
⎪⎨ ⎪⎬
dK µ −v
C
=
L mgdt
.
0 ⎪⎩ ⎪⎭
mdv 2 /2
Si ahora el observador en S C quiere aplicar la ecuación
del centro de masas, pensando que se encuentra en un
sistema de referencia inercial, tiene que considerar una
fuerza -ficticia- que le permita que la ecuación se cumpla.
Este observador propone la ecuación:
dK µ C
= ( P ν µ + ¯F ν
µ )
dL
µ
C
,
tal que
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−v L madt
v L mgdt
0
mdv 2 /2
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
Se tienen las ecuaciones:
de donde se deduce que:
0 0 0 ¯Fx
0 0 0 ¯F y − mg
0 0 0 0
¯F x ¯Fy − mg 0 0
−madt = ¯F x dt ,
−mgdt = ( ¯F y − mg)dt ,
¯F x = −ma ,
¯F y = 0 ,
Sistemas de referencia que giran
Sea la transformación de coordenadas
x R = x cos (ωt) + y sen (ωt) ,
y R = −x sen (ωt) + y cos (ωt) ,
z R = z ,
v L t C = v L t ,
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
−at
−gt
0
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
.
que corresponde a un proceso en el que el plano x − y
gira con velocidad angular constante ω. La matriz de
proyección para pasar de una descrpción en S ∞ a una
descripción en S R viene dada por:
⎧
⎫
cos (ωt) sen (ωt) 0 −ωy R /v L
⎪⎨
⎪⎬
R µ −sen (ωt) cos (ωt) 0 ωx
ν (α) =
R /v L
.
0 0 1 0
⎪⎩
⎪⎭
0 0 0 1
FIG. 7. Caída de graves en un referencial rodante. Un cuerpo
de masa m
Para el observador en S ∞ :
⎧ ⎫ ⎧
⎪⎨ ⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎩
0
0
v L mdv
mdv 2 /2
=
⎪⎭ ⎪⎩
Para el observador en S R :
⎧
⎧
cos (ωt)
⎪⎨
⎪⎨
⎪⎩
dx R
dy R
dz R
v L dt R
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
de donde
⎪⎩
Para la velocidad:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v xR
v yR
v zR
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
de donde
Se tendrá:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −mg
0 0 −mg 0
mdv y = −mgdt ,
1
2 mdv2 = mgdh .
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
0
0
−dh
v L dt
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
⎫ ⎧
sen (ωt) 0 −ωy R /v L
⎪⎬ ⎪⎨
−sen (ωt) cos (ωt) 0 ωx R /v L
0 0 1 0 ⎪⎭ ⎪⎩
0 0 0 1
⎧
−ωy R dt ⎪⎨
dL µ ωx
R
=
R dt
dz R
⎪⎩
v L dt R
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
⎫ ⎧
cos (ωt) sen (ωt) 0 −ωy R /v L
⎪⎬ ⎪⎨
−sen (ωt) cos (ωt) 0 ωx R /v L
0 0 1 0 ⎪⎭ ⎪⎩
0 0 0 1
⎧
−ωy R
⎪⎨
v µ ωx
R
=
R
gt ⎪⎩
v L
⎧
⎪⎨
dK µ R
=
⎪⎩
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
−v L mωdy R
v L mωdx R
v L mdv z
mdv 2 R/2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
0
0
−dh
v L dt
0
0
gt
v L
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭

Para el observador en S R
del tipo:
se debe cumplir una ecuación
14
Para el observador en S R la partícula que desciende se
encuentra sometida a una fuerza centrípeta:
dK µ R
= ( P ν µ + ¯F ν
µ
)
dL
µ
R
.
¯F = mω 2 R ,
donde R 2 = x 2 i + y2 i , con componentes:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−v L mωdy R
v L mωdx R
v L mdv z
mdv 2 R/2
⎫
⎪⎬
⎧
⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
Se tienen las ecuaciones:
0 0 0 ¯Fx
0 0 0 ¯Fy
0 0 0 −mg
¯F x ¯Fy −mg 0
mωv yR dt = −ωx R dt ,
mωv xR dt = −ωy R dt
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
⎪⎭ ⎪⎩
−ωy R dt
ωx R dt
dz R
v L dt R
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
.
¯F x = ¯F cos (ωt) ,
¯F y = ¯F sen (ωt) .
El formalismo de pseudo-4-vectores utilizado para describir
procesos que se describen en sistemas de referencia
no inerciales simplifica la obtención de las fuerzas ficticias
que tiene que considerar el observador en el referencial
no inercial para que sus resultados sean acordes con
el principio de relatividad, y se puedan utilizar en dicho
referencial no inercial ecuaciones con la misma forma que
en un referencial inercial.