llibre3r

Matemàtiques 

3r d’ESO 

IES Miquel Biada 

Departament de Ciències 

1 de Setembre del 2009

2 

Es permet la copia, distribució i modificació, 

ja sigui de un o més capítols d’aquesta obra 

o del conjunt de l’obra, en qualsevol format, 

mecànic o digital, sempre i quan es mantingui 

l’autoria i aquesta nota. 

Segons la llicència de documentació lliure 

http://ca.dodds.net/gnu/gpl.ca.html

Índex 

1 Nombres Enters 5 

1.1 Ordre de les operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Factorització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.4 Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2 Nombres Racionals 9 

2.1 Suma de Nombres Racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2 Producte de Nombres Racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.3 Divisió de Nombres Racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4 Exponents negatius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.5 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.6 Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

3 Equacions de primer grau 13 

3.1 Problemes i Equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3.2 Solucions de les equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

4 Sistemes d’equacions de primer grau 25 

4.1 Exercicis i Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

4.2 Solucions dels sistemes de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

5 Funcions lineals 33 

5.1 Representació gràfica de funcions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

5.2 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

5.3 Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

6 Equacions de 2 n grau 39 

6.1 Equacions del tipus ax 2 + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

6.2 Equacions del tipus ax 2 + bx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

6.3 Equacions del tipus ax 2 + bx + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

6.4 Comportament de les solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

6.5 Repàs general d’equacions de 2 n grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

6.6 Solucions de les equacions de 2 n grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

7 Polinomis 47 

7.1 Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

7.1.1 Suma de Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

7.1.2 Multiplicació de Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

7.2 Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

7.2.1 Suma de Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

7.2.2 Productes Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

7.2.3 Multiplicació de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

7.2.4 Divisió de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

7.2.5 Mètode de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

7.3 Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

3

4 ÍNDEX 

8 Geometria 55 

8.1 Acotació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

8.1.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

8.2 Vistes: alçat, planta i perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

8.2.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

8.3 Representació en escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

8.3.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

8.4 Mesures d’angles i temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

8.4.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

8.5 Poligons i diagonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

8.5.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

8.6 Fòrmules pel càlcul d’àrees de figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

8.7 Càlcul d’àrees de figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

8.8 Fòrmules d’àrees i volums de figures de l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

8.9 Càlcul d’àrees i volums de figures de l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

8.10 Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

A Activitats 71 

A.1 Quants cigrons hi ha en un quilo de cigrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

A.2 Introducció als nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

A.3 Introducció a les Equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

A.4 Gràfics de funcions al terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

A.5 Introducció als Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

A.6 El Decímetre Cúbic i el Litre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

A.7 El Tangram Xinès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

A.8 Problemes d’enginy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

B Programació 77

Capítol 1 

Nombres Enters 

Els nombres enters són una extensió dels nombres naturals formada pels propis nombres naturals 

(1,2,3...), els seus corresponents negatius (-1,-2,-3...) i el nombre zero (0). El conjunt de tots els enters 

generalment es denota pel símbol Z. Els nombres enters són un subconjunt dels nombres racionals. 

1.1 Ordre de les operacions 

En el següent quadre tenim l’ordre en que s’han de calcular les diferents operacions. 

Ordre Operacions Simbols 

1 r Parèntesis 

( ) 

2 n Potències i Arrels 3 2 3 √ 27 

3 r Multiplicacions i Divisions × ÷ 

4 t Sumes i Restes + − 

1.2 Exercicis 

Calcula les següents operacions: 

(1) 3 · 4 − 5 

(2) 3 · (4 − 5) 

(3) 6 · 9 + 10 

(4) 7 − 3 + 4 

(5) 7 − (3 + 4) 

(6) 6 + 9 − 3 · 2 

(7) 18 ÷ 9 − 2 · 4 

(8) 9 · 5 + 3 · (−5) 

(9) 2 − (−8 + 4) 

(10) 3 · 5 − 4 · 3 

(11) 3 · (5 − 4) · 3 

(12) 3 · (5 − 4) ÷ 3 

(13) 7 − 3 · 3 + 2 

(14) 15 − 3 ÷ 3 + 4 

(15) 25 ÷ 5 + 7 

(16) 25 ÷ (3 + 2) + 7 

(17) 5 · (3 + 2) ÷ 5 + 7 

(18) (7 − 10) + 4 · 3 

(19) (10 − 7) + 3 · 4 

(20) (3 − 5) · (7 − 2) 

(21) (5 − 3) · (2 − 7) 

(22) 3 · 5 + 7 · 2 

(23) 3 · 5 − 7 · 2 

(24) 12 − 4 ÷ 4 − 2 

(25) (12 − 4) ÷ 4 − 2 

(26) 3 · 14 ÷ 7 − 5 · 9 

(27) 3 · 14 ÷ (7 − 5) · 5 

(28) 20 · 15 ÷ 25 

(29) (18 − 12) · 4 

(30) 18 − 12 · 4 

(31) 6 · 3 + 8 − 5 · 8 − 2 

(32) 6 · (3 + 8) − 5 · (8 − 2) 

(33) 4 · 5 2 + 6 · (5 − 4 2 ) 

5

6 

CAPÍTOL 1. NOMBRES ENTERS 

(34) (7 − 2) − 4 · (8 − 2) 

(35) 3 + 5 · 6 − (7 − 4) 

(36) 2 · 8 ÷ 4 + 7 · 3 2 

(37) 15 ÷ 5 + 5 · 15 

(38) 4 + 4 ÷ 2 + 2 2 · 1 

(39) 4 ÷ 4 + 2 · 1 + 2 2 

(40) 4 + 4 ÷ 2 · 1 2 + 2 

(41) 4 ÷ 4 + 2 · 1 2 + 2 

(42) −2 + 3 − (−2) + 5 − 6 

(43) −4 + 8 − (−3) − 9 − 3 

(44) 22 + 3 − (−7) + 8 − 8 

(45) 11 + 31 − (−4) + 8 − (−3) 

(46) −4 + 2 − (−5) + 8 − 1 

(47) −32 + 35 − (−21) − 29 

(48) −5 + 4 − (−3) − (−9) + 8 

(49) −17 + 13 − (−7) − 19 − 8 

(50) −14 − 32 − (−9) − (−1) 

(51) −5 + 8 − (−3) + 9 − 2 

(52) −2 − (+3) − (−2) + 2 

(53) −1 + 1 − (−1) − 1 − 1 

(54) 22 + 22 − (−22) + 22 

(55) 111 + 31 − (−43) − (−38) 

(56) 7 ÷ 1 + (5 + 3) · 2 2 

(57) 7 2 ÷ 7 + (3 + 5) ÷ 2 2 

(58) 3 · (7 + 2 + 1) − 50 ÷ 5 

(59) 6 ÷ (3 + 5 − 6) · 6 

(60) (2 − 5) · 4 + 3 

(61) (−2) · (4 + 5) − 6 

(62) 2 · (4 − 5) − 6 

(63) 12 − 24 + 7 ÷ 7 + 1 

(64) 5 · (−3) + 10 ÷ 2 

(65) 5 · 3 2 − 6 · 7 2 

(66) 3 · (4 − 5) − 22 

(67) 3 · 4 − (5 − 22) 

(68) (14 − 3) · 3 · 2 2 

(69) 2 3√ 64 ÷ 4 

(70) 9 · 5 + 3 · (13 − 5) 

(71) √ 36 · 20 − 3 2 · 18 

(72) √ 81 · (20 − 4 2 ) ÷ 18 

(73) 7 2 − √ 25 · 6 + 7 

(74) 3 2 · 3 + 14 ÷ 7 − 2 

(75) 6 2 ÷ 3 − 4 · 8 − √ 16 

(76) √ 16 · ( √ 4 + 4 2 ) − 8 

(77) 21 + 7 · 3 − (7 2 + √ 49) 

(78) 4 3 − 12 + ( √ 4 + √ 1) 

(79) (24 − 12) · 2 2 + 3√ 125 

(80) (25 − √ 25) · 5 + 5 2 

(81) (27 − 3√ 27) · 3 + 3 2 

(82) 6 2 + 5 2 · (4 2 − 3 2 ) 

(83) √ 81 + 9 · ( √ 64 − 3 2 ) 

(84) √ (27 + 9) ÷ 3 + 3 

(85) (14 − 3√ 27) · 4 ÷ √ 4 

(86) ( √ 100 + √ 25) ÷ 3 

(87) (2 √ 100 + 5) ÷ 5 

(88) 3 √ 36 − 3 · 6 

(89) 5 √ 100 − 2 √ 25 · 3√ 125 

1.3 Factorització 

La factorització és el procés de descomposar un nombre natural en un producte de nombres primers. Per 

exemple: 25 = 5 2 , 1960 = 2 3 · 5 · 7 2 i 512568377 = 17 5 · 19 2 . Donat que no existeix cap mètode general 

per saber si un nombre és primer o no i, a més, la quantitat de nombres primers és infinita, resulta que 

la factorització és un dels problemes més difícils i a la vegada importants de l’aritmètica entesa tant com 

teoria de nombres com a camp més general. 

L’únic mètode que es coneix per factoritzar, consisteix en anar provant la divisibilitat d’un nombre 

per cadascun dels nombres primers que existeixen. Es comença provant pel 2, i després es segueix amb 

els primers immediatament superiors. Cada vegada que es troba un primer divisor, es divideix el nombre 

a factoritzar pel primer divisor, i es segueix cercant divisors primers per al quocient de la divisió. Aquest 

procés segueix fins que el quocient de la divisió és 1. Els factors primers són tots aquells pels quals s’ha 

dividit el nombre per arribar a 1. 

2028 2 

1014 2 

507 3 

169 13 

13 13 

1 

2028 = 2 2 · 3 · 13 2 

A vegades un nombre primer resulta ser tant gran que hem de provar la divisibilitat amb molts primers 

per arribar a la conclusió de que aquest nombre és primer. Convé veure aquí que en cap cas, donat un 

nombre x, trobarem un factor primer més gran que √ x.

1.4. SOLUCIONS 7 

Criteris de divisibilitat 

Un nombre és divisible per 2 si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8. 

Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. 

Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o 5. 

Llista dels nombres primers 

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 ... 

Descomposa els següents nombres: 

(90) 24 

(94) 98 

(98) 210 

(102) 1024 

(106) 442 

(91) 36 

(95) 124 

(99) 360 

(103) 184 

(107) 391 

(92) 80 

(96) 144 

(100) 512 

(104) 243 

(108) 899 

(93) 96 

(97) 196 

(101) 880 

(105) 343 

(109) 988 

1.4 Solucions 

(1) 7 

(23) 1 

(45) 57 

(67) 29 

(89) 0 

(2) -3 

(24) 9 

(46) 10 

(68) 132 

(90) 2 3 · 3 

(3) 64 

(25) 0 

(47) -5 

(69) 2 

(91) 2 2 · 3 2 

(4) 8 

(26) -39 

(48) 19 

(70) 69 

(92) 2 4 · 5 

(5) 0 

(6) 9 

(7) -6 

(8) 30 

(9) 6 

(10) 3 

(11) 9 

(12) 1 

(13) 0 

(14) 18 

(15) 12 

(16) 12 

(17) 12 

(18) 9 

(27) 105 

(28) 12 

(29) 24 

(30) -30 

(31) -16 

(32) 36 

(33) 34 

(34) -19 

(35) 30 

(36) 67 

(37) 78 

(38) 10 

(39) 7 

(40) 8 

(49) -24 

(50) -36 

(51) 13 

(52) -1 

(53) -1 

(54) 88 

(55) 223 

(56) 39 

(57) 9 

(58) 20 

(59) 18 

(60) -9 

(61) -24 

(62) -8 

(71) -42 

(72) 2 

(73) 26 

(74) 27 

(75) -24 

(76) 64 

(77) -14 

(78) 55 

(79) 53 

(80) 125 

(81) 81 

(82) 211 

(83) 0 

(84) 5 

(93) 2 5 · 3 

(94) 2 · 7 2 

(95) 2 2 · 31 

(96) 2 4 · 3 2 

(97) 2 2 · 7 2 

(98) 2 · 3 · 5 · 7 

(99) 2 3 · 3 2 · 5 

(100) 2 9 

(101) 2 4 · 5 · 11 

(102) 2 12 

(103) 2 3 · 23 

(104) 3 5 

(105) 7 3 

(19) 15 

(41) 5 

(63) -10 

(85) 22 

(106) 2 · 13 · 17 

(20) -10 

(42) 2 

(64) -10 

(86) 5 

(107) 17 · 23 

(21) -10 

(43) -5 

(65) -249 

(87) 5 

(108) 29 · 31 

(22) 29 

(44) 32 

(66) -25 

(88) 0 

(109) 2 2 · 13 · 19

8 

CAPÍTOL 1. NOMBRES ENTERS

Capítol 2 

Nombres Racionals 

S’anomena nombre racional a tot aquell nombre que pot ser expressat com a resultat de la divisió de 

dos nombres enters, amb el divisor diferent de 0. El conjunt dels racionals es denota per Q. Aquest 

conjunt de nombres conté el dels nombres enters i és un subconjunt dels nombres reals. Els reals que no 

pertanyen a aquest conjunt s’anomenen irracionals. 

Els racionals es caracteritzen per tenir un desenvolupament decimal (o en qualsevol base) finit o 

periòdic, és a dir que té un nombre de xifres decimals finit, o bé que aquestes es repeteixen de manera 

regular. 

Els nombres racionals compleixen la propietat de la densitat. Això vol dir que per a qualsevol parella 

de nombres racionals existeix algun altre nombre racional situat entre els dos a la recta real R. A més, 

Q és dens a R, o sigui que entre dos reals diferents, sempre hi cap un racional. Es pot demostrar amb 

facilitat que el cardinal dels nombres racionals és el mateix que el dels enters, el que significa que no hi 

ha més racionals que enters. 

2.1 Suma de Nombres Racionals 

7 

10 + 11 

18 

Descomposem els dos denominadors i calculem el mcm(18,10) 

10 2 

5 5 

1 

18 2 

9 3 

3 3 

1 

10 = 2 · 5 

18 = 2 · 3 2 mcm(10,18) = 2 · 5 · 3 2 = 90 

I en calculem la suma 

7 

10 + 11 

18 = 63 

90 + 55 

90 

= 

63 + 55 

90 

= 118 

90 = 59 

45 

2.2 Producte de Nombres Racionals 

a 

b · c 

d = a · c 

b · d 

Multipliquem numerador per numerador i denominador per denominador, i després simplifiquem si es 

pot: 

20 

9 · 21 20 · 21 

= 

10 9 · 10 = 420 

90 = 42 9 = 14 3 

També podem simplificar abans de multiplicar: 

20 

9 · 21 

10 

20 · 21 

= 

9 · 10 = 2 · 7 

3 · 1 = 14 

3 

9

10 

CAPÍTOL 2. NOMBRES RACIONALS 

2.3 Divisió de Nombres Racionals 

a 

❍ 

✟ ✟✯ c 

: ❍ 

b ❍❥ ✟= d 

✟✯ a · d 

❍❥ b · c 

Per fer la divisió hem d’aplicar la regla del caramel, i simplificar quan es pugui, 

40 

❍ 

✟ ✟✯ 30 

❍ ❍❥ : 

27 63 

✟ ✟✯ ❍❥ = 

40 · 63 

27 · 30 = 4 · 7 

3 · 3 = 28 9 

2.4 Exponents negatius 

L’exponent negatiu d’un nombre racional ens està expressant el mateix nombre racional invers amb 

exponent positiu. És a dir, 

( 4 

5 

) −3 

= 

( 3 5 

= 

4) 53 

4 3 = 125 

64 

On considerem l’invers de 4 5 com 5 4 

2.5 Exercicis 

(1) 3 4 + 7 4 

(2) 2 5 − 6 5 

(3) 7 8 − 5 8 

(4) 2 9 − 4 9 

(5) 2 3 + 5 3 − 6 3 

(6) 4 9 + 2 9 + 1 9 

(7) 15 

10 − 6 10 − 5 

10 

(8) 5 8 + 7 8 − 4 8 

(9) 5 8 + 1 6 

(10) 2 7 + 3 2 

(11) 4 9 + 7 

12 

(12) 

7 

20 + 14 

25 

(13) 3 2 + 4 5 

(14) 5 8 − 1 6 

(15) 4 3 + 5 9 

(16) 2 3 + 4 5 + 1 

15 

(17) 7 3 − 12 

9 − 10 9 

(18) 4 5 − 1 10 − 5 

10 

(19) 5 8 + 3 4 − 4 8 

(20) 6 5 + 3 10 − 5 2 

(21) 

7 

12 + 5 6 − 2 3 

(22) 7 3 − 4 5 + 1 15 

(23) 

5 

24 − 7 

18 + 1 6 

(24) 11 

32 + 5 

24 − 7 20 

(25) 3 6 − 4 7 + 5 14 

(26) 5 6 + 10 

21 − 3 

14 

(27) 

3 

20 + 7 

15 − 13 

24 

(28) 13 

12 − 7 

18 

(29) 

7 

30 − 39 

45 + 17 

18 

(30) 17 

20 − 83 

100 

(31) 

4 

45 − 35 

30 

(32) 111 

162 − 37 

108 

(33) 401 

686 − 723 

1029 

(34) 78 

65 − 122 

143 

(35) 373 

400 − 891 

1000 + 103 

125 

(36) 6 5 · 35 

18 

(37) 

7 

16 : 49 

20 

(38) 5 3 · 4 

7 

(39) 1 3 · 3 

8 

(40) 4 7 · 7 

3 · 5 

2 

(41) 2 5 · 1 

5 · 1 

2 

(42) 5 4 · 

(43) 

8 

45 · 9 

2 

4 

45 · 35 

30 

(44) 84 

25 · 10 

21 

(45) 36 

49 · 21 

50 

(46) 3 8 · 

6 

35 · 1 

5 

(47) 343 

243 : 98 

54 

(48) 3 8 · 10 

21 : 49 

15


(49) 111 

162 : 37 

108 

(62) 11 ( 11 

18 2 − 11 ) −2 

(71) 

3 

(50) 3 6 : 8 

9 

12 

(51) 7 3 : 1 (63) 10 − 3 · 5 

8 

5 

2 

4 + 3 

10 

(52) 1 5 : 3 ( ) −3 5 

6 

4 − 2 · 3 

− 10 

12 3 

(53) 2 (64) 

3 

5 : 2 

1 

14 − 1 

21 

(54) 6 ( 

3 : 3 

1 

(55) 5 ( ) ( 3 3 

4 + · 

4 7 − 2 ) 

2 − 1 ) −3 

− 120 

3 7 : 3 

(75) 

35 

(65) 

2 4 − 2 3 − 2 2 − 2 1 − 2 0 

7 ( 2 

(56) 5 ( ( 3 2 

4 · 4 : 3 − 1 )) 

5 − 1 ) −2 

+ 1 

10 

(66) 

3 

5 

(57) 7 3 : 1 ( 2 

5 + 3 − 1 ) 

− 4 3 3 · 1 18 − 2 

2 

7 

(67) 

( 21 

(58) 

20 · 10 ) 

20 + 5 

24 − 13 

18 

3 

(78) 

3 

7 

(68) 4 · 8 − 2 3 

( 3 

(59) 

5 − 4 ) −4 

7 

10 + 9 

(79) 

15 

15 

( ) −2 3 

1 − 3 · 27 − 5 

4 

(80) 

(60) 2 

(69) ( 

4 

2 

15 − 2 

3 + 1 −1 

2) 

( 9 

(61) 

20 − 13 ) 2 

+ 5 ( 30 

15 48 · 6 (70) 

7 · 49 ) −2 (81) 

60 

2.6 Solucions 

( 3 

8 − 5 ) −2 

12 

(72) 1 9 · 7 

3 + 3 8 

(73) −4 

7 + 5 8 · 7 

2 

(74) 1 5 · 7 

9 : 11 6 

( 2 

3 

) −3 

· 28 

45 − 3 

10 

(76) −7 

6 + 5 8 · 3 

(77) 11 

16 − 5 

12 · 5 

( 2 

5 

) −2 

· 64 

75 − 3 5 

( 17 

18 − 49 

45 

( 97 

132 − 103 

220 

302 

495 − 69 

110 

34 

165 

) ( ) −2 13 

· 

3 

) ( −2 2 

· 

5) 

(1) 5 2 

(2) −4 

5 

(3) 3 2 

(4) 2 3 

(5) 1 3 

(6) 7 9 

(7) 2 5 

(8) 1 

(9) 19 

24 

(10) 25 

14 

(11) 37 

36 

91 

(12) 

100 

(13) 23 

10 

(14) 11 

24 

(15) 17 9 

(16) 23 

15 

(17) −1 

(18) −1 

9 

(19) 1 5 

(20) 7 8 

(21) 3 4 

(22) 8 5 

(23) −1 

72 

(24) 

(25) 2 7 

97 

480 

(26) 23 

21 

(27) 

3 

40 

(28) 25 

36 

(29) 14 

45 

(30) 

1 

50 

(31) −97 

90 

(32) 

37 

108 

(33) −81 

686 

(34) 248 

715 

(35) 1731 

2000 

(36) 7 3 

(37) 

5 

28 

(38) 20 

21 

(39) 1 8 

(40) 10 

3 

1 

(41) 

25 

(42) 1 

(43) 

14 

135 

(44) 8 5 

54 

(45) 

175 

9 

(46) 

700 

(47) 7 9 

75 

(48) 

1372

12 

CAPÍTOL 2. NOMBRES RACIONALS 

(49) 2 

(56) 45 

16 

(63) −39 

62 

(70) 

4 

49 

(77) −67 

48 

(50) 3 4 

(51) 14 3 

(52) 2 5 

(53) 1 5 

(54) 2 3 

(57) 34 3 

(58) 27 8 

(59) 81 

(60) 15 

52 

(61) 115 

144 

(64) 84 

(65) 16 

(66) −218 

31 

(67) −59 

360 

(68) 4 

(71) 576 

(72) 137 

216 

(73) 181 

112 

(74) 

(75) 9 5 

14 

165 

(78) 71 

15 

(79) −1 

130 

(80) 5 3 

(55) 2 7 

(62) 

2 

11 

(69) 49 6 

(76) 17 

24 

(81) −1 

12

Capítol 3 

Equacions de primer grau 

Una equació és una igualtat entre expressions matemàtiques que només és certa per a certs valors de les 

variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s’anomenen normalment incògnites. Els 

valors que poden prendre les incògnites s’anomenen solucions de l’equació i solucionar una equació vol 

dir trobar aquests valors. Per exemple 

3x − 5 = 7 

és una equació d’una sola incògnita, la x. Com es pot comprovar fàcilment, qualsevol valor de x no 

compleix l’equació, només un valor, x = 4, que és la seva solució. 

Habitualment es reserven les lletres del final de l’alfabet, x, y, z, etc. per indicar les incògnites de les 

equacions. 

A les dues expressions que igualem se les anomena termes de l’equació. En la majoria de casos una 

equació tindrà només dos termes. 

En el cas en què es tinguin diverses equacions que s’han de verificar simultàniament, es parla de 

sistemes d’equacions. Segons la potència màxima a que està elevada la incògnita de l’equació es parla 

d’equacions de primer grau, equacions de segon grau, etc. 

3.1 Problemes i Equacions 

(1) El perímetre d’un quadrat fa 44m. Quant fa de costat? 

(2) Busca dos nombres que sumen 110, sabent que la seva diferència és de 36 unitats. 

Exercici Resolt 1 

Explicarem com podem resoldre aquest equació: 

x + 8 = 13 

Primer de tot, hem d’aïllar la x. Per tant, el que volem és treure el 8 de la part de l’esquerra de 

l’igual. per passar-lo a l’altre costat ens cal canviar-lo de signe, com que tenim un +8 passarem 

a tenir un −8 a l’altra banda: 

❘ 

x + 8 = 13 

❄ 

x = 13 − 8 

Finalment fem les operacions que podem, i obtenim el resultat final: 

x = 5 

13

14 

CAPÍTOL 3. EQUACIONS DE PRIMER GRAU 


La suma d’un nombre amb el seu doble és 78. Quin és aquest nombre? 

Procediment: 

1 r . Llegim l’exercici i pensem què ens demana: Quin és aquest nombre? 

2 n . Definim la variable o incògnita: x = nombre 

3 r . Escrivim en llenguatge algèbric: 

4 t . Resolem l’equació: 

La suma d’un nombre, x, amb el seu doble, 2x, és 78: x + 2x = 78 

5è. Deixem ben clara la resposta: 

x + 2x = 78 

3x = 78 

x = 78 3 

x = 26 

RESPOSTA: El número és el 26 

(3) Expressa algèbricament i resol l’equació resultant: 

(a) El doble de x és 20. 

(b) La meitat de x és 36. 

(c) La suma de x i 17 és 24. 

(d) La diferència entre 127 i x és 54. 

(e) x entre 12 és 5. 


(a) El producte de x per 3 és 15 

(b) La tercera part de x és 18. 

(c) La tercera part de 2x és 14. 

(d) Dos terços de x són 6. 

(e) El doble de x menys 3 és 43. 


(a) 1 menys el doble de x és 5. 

(b) El triple d’un nombre menys quatre unitats són 74. 

(c) 26 vegades un nombre menys 50 és igual al propi nombre. 

(d) El doble d’un nombre menys el mateix és 26. 

(e) La meitat d’un nombre més el seu doble és igual a 10. 

Resol les següents equacions: 

(6) 4x − 24 = 0 

(7) 7x + 21 = 0 

(8) 3x − 2 = 0 

(9) 9x + 6 = 0 

(10) 8x − 12 = 0 

(11) 12x + 20 = 0 

(12) 23x + 69 = 0 

(13) 54x − 90 = 0 

(14) 30x − 18 = 0 

(15) 144x + 1024 = 0 

(16) 7x − 15 = 0 

(17) 8x − 7 = 57

3.1. PROBLEMES I EQUACIONS 15 

(18) 7x + 5 = 6x + 14 

(19) 8x − 3 = 6x + 7 

(20) 4x + 8 = x − 4 

(21) 5x + 13 = 3x + 5 


(a) El doble d’un nombre és 14. 

(b) El triple d’un nombre és 75. 

(c) Un nombre menys set unitats és 19. 

(d) Un nombre més quatre unitats és 56. 

(e) La quarta part d’un nombre és 3. 


(a) El triple d’un nombre menys quatre unitats és 5. 

(b) La meitat d’un nombre més dos unitats és 17. 

(c) El doble de la suma d’un nombre i 3 és 12. 

(d) El triple de la suma d’un nombre i 2 és 9. 

(e) La meitat de la diferència entre un nombre i 7 és 24. 


(a) El doble d’un nombre menys 5 és igual a aquest nombre més 7. 

(b) El triple d’un nombre més 4 és igual al doble d’aquest nombre menys 5. 

(c) Un nombre menys una unitat és igual a quatre vegades aquest nombre més 2 unitats. 

(d) El triple de la suma d’un nombre i 5 unitats és igual a 19 menys aquest nombre. 

(e) La cinquena part de la diferència entre un nombre i 3 és 4. 


(a) 5 vegades la suma d’un nombre més 2 és 15. 

(b) El triple de la diferència entre un nombre i 5 és 6. 

(c) Un nombre menys quatre vegades ell mateix és igual al triple del nombre menys 1. 

(d) La meitat de la diferència entre 8 i el doble d’un nombre és igual a la quarta part de la suma 

daquest nombre i 7. 

(e) El doble d’un nombre és igual a aquest nombre més 5. 

(26) Quin nombre multiplicat per 7 dóna 245? 

(27) Si al doble dels diners que tinc li sumo 72e, obtinc 196e. Quants diners tinc? 

(28) El triple d’un nombre més 7 és 43. Calcula’l.

16 



En una llibreria, comprem 3 llibres del mateix preu i 5 llibretes a 3e cada una. En total paguem 

36e. Quant val cada llibre? 

Procediment: 

1 r . Llegim l’exercici i pensem què ens demana: Quan val cada llibre? 

2 n . Definim la variable o incògnita: x = preu de cada llibre 


En una llibreria, comprem 3 llibres del mateix preu i 5 llibretes a 3ecada una. 

En total paguem 36e: 3x + 5 · 3 = 36 



3x + 5 · 3 = 36 

3x + 15 = 36 

3x = 36 − 15 

3x = 21 

x = 21 3 

x = 7 

RESPOSTA: Cada llibre val 7e 


En preguntar-li l’edat a en David, ens respon: ”Si al doble de la meva edat li restem 17 anys 

s’obté el que em falta per arribar a 100 anys”. Quina edat té? 

Procediment: 

1 r . Llegim l’exercici i pensem què ens demana: Quina edat té? 

2 n . Definim la variable o incògnita: x = edat d’en David 



Si al doble de la meva edat li restem 17 anys s’obté el que em falta per 

arribar a 100 anys: 2x − 17 = 100 − x 


2x − 17 = 100 − x 

2x + x = 100 + 17 

3x = 117 

x = 117 

3 

x = 39 

RESPOSTA: En David té 39 anys 


(a) El doble de x més 3 és igual a 5. 

(b) El doble de x menys 4 és igual al triple de x més 2. 

(c) La meitat de x menys 9 és igual a 5. 

(d) La meitat de la diferència entre x i 2 és 15. 

(e) El doble de la suma de x i 4 és 18.


(30) Troba un nombre que augmentat en 17 doni 43. 

(31) Troba un nombre tal que en restar-li 31 doni com a resultat 13. 

(32) Troba un nombre que sumat a 15 doni el triple de 23. 

(33) El perímetre d’un triangle equilàter és 81 m. Troba quant fa el seu costat. 


Resolem ara la següent equació amb parentèsi: 

4(x − 2) = 12 − x 

Primer de tot hem de multiplicar el 4 per tot el que hi ha dins el parèntesi tenint molt en compte 

els signes: 

4(x − 2) = 12 − x 

✍ ✒ 

4 · x − 4 · 2 = 12 − x 

I l’acabem resolent tal i com sabem: 

4x − 8 = 12 − x 

4x + x = 12 + 8 

5x = 20 

x = 20 5 

x = 4 

(34) 3x + 1 = 4x − 7 

(35) 12 − x = 4x − 3 

(36) 35 − 2x = 3x − 45 

(37) 6x − 13 = 15 − 8x 

(38) 9x − 3 = 22x − 42 

(39) 15x − 128 = 22 

(40) 210x − 505 = 10x + 95 

(41) 25x − 15 = 90 − 45x 

(42) 5x + 8 = 4x + 12 

(43) 7x + 9 = 8x + 2 

(44) 18 − 2x = 5x + 4 

(45) 52 + 13x = 65 − 78x 

(46) 250 − 20x = 55x + 25 

(47) 4120 − 58x = 24 + 6x 

(48) x + 3(x − 2) = 3x − 1 

(49) 205 = 3x − (15 + 8x) 

(50) 7 + 5(6 − 2x) = 5x − 8 

(51) 140 = 7x − (13 − 2x) 

(52) 12(x − 2) + 7(x + 2) = 9 

(53) 2x − 5 = 3 − 6(−22 − 2x) 

(54) 4(9 + 27x) = 18x + 6 

(55) 6 − 3x = 3(4 − 5x) 

(56) 5(35 − 8x) = 6(3x − 30) + 7 

(57) 4x − 2(x + 8) = 2x + 3(4 − x) 

(58) x − 2(x − 1) + 3(4 − 2x) = 3x + 2(x − 5) 

(59) 3x − (x + 2) + 7 = 2(x + 4) − 3x − (2 − 5x) 

(60) 2(x − 3) − 3(x − 4) = 1 

(61) 8(3x − 2) − 4(4x − 3) = 6(4 − x) 

(62) Amb 7 bitllets iguals tenim 350e. Quin és el valor de cada bitllet? 

(63) Si al triple d’un nombre li restem 13 unitats, obtenim 86. Quin és aquest nombre? 

(64) Si a un nombre li afegim el quàdruple té com a resultat 225. Quin nombre és aquest? 

(65) La diferència entre un nombre i el seu doble és −4. Quin és aquest nombre? 

(66) El doble d’un nombre més el seu triple dóna 125. Quin és aquest nombre?

18 


(67) La meitat dels conills d’una gàbia sumen 36 potes. Quants conills hi ha? 

(68) Troba un nombre que sigui igual al seu triple menys 16. 

(69) Troba un nombre tal que després de sumar-li 72 dóna com a resultat el doble menys 46 unitats. 

(70) Busca un nombre el quàdruple del qual és igual al mateix nombre augmentat en 36 unitats. 

(71) El doble d’un nombre més 5 és igual al seu triple menys 19. Quin és aquest nombre? 

(72) Troba un nombre tal que el seu doble augmentat en una unitat sigui igual al seu triple disminuït 

en tres unitats. 

(73) Si a un nombre hi sumem el seu triple i el seu doble, el resultat és 54. Quin és aquest nombre? 

(74) El perímetre d’un quadrat després d’augmentar 5cm el costat és 168cm. Quina és la mida del costat 

del quadrat inicial? 

(75) En un rectangle, un costat és quatre vegades més gran que l’altre, i el perímetre és 100cm. Calcula 

les longituds de cada costat. 

(76) Troba un nombre el triple del qual menys 5 sigui igual a la seva meitat. 

(77) Troba un nombre el doble del qual més el seu triple menys la seva meitat menys la seva tercera part 

sigui 1875. 

(78) Troba un nombre si sabem que 11 vegades aquest nombre més 10 unitats és igual a 14 vegades 

aquest nombre menys cinc unitats. 

(79) Si sumem 9 a un nombre i dividim el resultat entre 5, obtenim el mateix que si restem 9 i dividim 

el resultat entre 2. De quin nombre es tracta? 

(80) 2x + 5 = 35 − 4x 

(81) 3(3x + 1) − (x − 1) = 6(x + 10) 

(82) 2[x − 3(x − 1)] + 3 = x − 3(x + 1) 

(83) x + 2 − (2 − x) = 2x − 1 − (1 − 2x) 

(84) 2[x + 2(3x − 2)] = 4x + 16 

(85) 5(x − 3) = 10 

(86) 1 − 3x = 4x + 5 − (4 − x) 

(87) 15x − 5(x − 1) = 120 − 5x 

(88) 7 + 3(2 + x) − 3x = 9 + 2x 

(89) 4 − 2(x + 3) = 13 − 5(x + 4) 

(90) 1 − 3x − 2(x − 1) = 5(1 − 2x) + 7 

(91) 4(x − 4) + 4x − 4(4 − x) = 4(4x − 4) + 4(4 − 4x) 

(92) 3 − 4(x − 5) + 2x = 5 + 3(x + 1) 

(93) 4 − (−6 − x) − 3x = 5 − 2x − (4x + 3) 

(94) 3(x + 1) + 4(x + 3) = 22 

(95) 7(x + 2) + 9(x + 6) = 116 

(96) 4(x + 4) + 6(x + 5) = 66 

(97) 5(x + 8) + 3(x + 1) = 99 

(98) 6(2x + 9) + 2(4x − 1) = 112 

(99) 2(7x − 1) + 8(3x + 5) = 304 

(100) 3(2x + 9) + 7(x − 2) = 26 

(101) 8(5x − 3) + 3(2x + 6) = 86 

(102) La quarta part dels meus diners menys 50e són 120e. Quants diners tinc? 

(103) Calcula el nombre que sumat a la seva meitat fa 81. 

(104) La tercera part de la meva edat sumada a la seva meitat són 15 anys. Quina edat tinc? 

(105) La meitat d’un nombre menys 5 unitats fa 23. Quin és aquest nombre? 

(106) Un nombre augmentat en la tercera part dóna 72. Quin és aquest nombre? 


(a) 5 menys el doble de la suma de x i 4 és igual a 3. 

(b) quatre vegades la diferència entre x i 2 més el doble de la suma de x i 3 és 10.


(c) La meitat de la diferència entre 5 i x és igual a la tercera part de la suma de x i 5. 

(d) El triple de la suma de 6 i el doble de x, menys el doble de la diferència entre x i 4 és 2. 

(e) Sis més el doble de la diferència entre x i 3 és igual a la cinquena part de la suma de x i 9. 


(a) El triple d’un nombre sumat a la meitat del mateix nombre dóna com a resultat 14. 

(b) La quarta part del nombre de pàgines d’un llibre sumada a 189 ens dóna el nombre total de 

pàgines del llibre. 

(109) Quin nombre disminuït en 1 3 

d’ell mateix dóna 2? 

(110) A 1 r d’ESO hi ha 13 noies més que nois. Si en total hi ha 83 alumnes, quantes noies hi ha? 

(111) En un ball hi ha 5 noies més que nois. Si en total a la pista hi ha 77 persones, quants són nois i 

quantes són noies? 

(112) La base d’un rectangle és el doble que l’altura, i el seu perímetre és 78cm. Quines són les dimensions 

del rectangle? 

(113) El perímetre d’un rectangle és 26cm. Si la base mesura 3cm més que l’altura, quines són les 

dimensions del rectangle? 

(114) Hem de repartir 152 adhesius entre tres nens, de manera que el segon en tingui 8 més que el primer 

i que el tercer en tingui 16 més que el segon. Com ho farem? 

(115) Per comprar 7 discos compactes em falten 12e, però si només compro 5, em sobren 18e. Si tots 

els compactes valen igual, quant en val un? 

(116) Descompon 60 en dues parts de tal manera que el triple de la primera més el doble de la segona 

sumi 152. 

(117) Troba tres nombres consecutius tals que restant el doble del més gran al triple de la suma dels dos 

més petits s’obtingui el nombre 527. 

(118) Una prova consta de 20 qüestions. Per cada qüestió contestada correctament, un alumne guanya 

3 punts; però per cada qüestió contestada malament o no contestada, en perd 2. Si al final de la 

prova un alumne va aconseguir 30 punts, quantes qüestions va contestar correctament? 

(119) Tinc 12 monedes, unes de 5e i altres de 2e. Quantes monedes tinc de cada si sumen un total de 

51e? 

(120) Un dromedari té un gep, i un camell en té dos. En un ramat de camells i dromedaris hem comptat 

86 caps i 148 geps. Quants camells hi ha? I quants dromedaris? 

(121) Dos nombres sumen 70. Si dividim el més gran entre 10 i el més petit entre 3 i sumem els resultats, 

dóna 14. Esbrina quins són aquests nombres. 

(122) Reparteix 600e entre dues persones de manera que a una hi correspongui els 2 3 

a l’altra. 

del que li correspon 

(123) Les edats de quatre amics sumen 138. Troba l’edat de cada un d’ells sabent que cada un es porta 

3 anys de diferència amb el següent. 

(124) Dos germans es porten una diferència de 3 anys, i dintre de 4 anys les seves edats sumades faran 

33. Calcula-les. 

(125) El triple de l’edat que tenia en Jordi fa 4 anys és el doble de la que tindrà d’aquí a 8 anys. Quina 

és l’edat actual d’en Jordi? 

(126) Una mare té 49 anys i la seva filla, 26. Quants anys fa que l’edat de la mare era el doble que la de 

la filla? 

(127) L’edat de la Cristina és el triple de la d’en Jordi, i d’aquí a 20 anys serà el doble. Calcula les edats 

actuals de les dues persones.

20 


(128) La diferència entre les edats d’un pare i la seva filla és 25 anys. Fa 15 anys l’edat de la filla era el 

doble de l’edat del pare. Quina és l’edat actual del pare i la filla? 

(129) Fa 10 anys l’edat de la Montse era la meitat de l’edat que tindrà daquí a 20 anys. Quina és l’edat 

actual de la Montse? 

(130) L’edat d’un pare és el triple de la del seu fill i junts sumen 44 anys. Quina és l’edat de cada un? 

(131) Entre dos amics tenen 87 cromos. Si un en té el doble que l’altre, quants cromos tenen cada un? 

(132) En una competició d’atletisme hi ha el doble d’atletes dels EUA que d’Alemanya. Si en total hi ha 

213 atletes, quants participants hi ha de cada un d’aquests dos països? 


Resoldrem la següent equació amb denominadors: 

3x 

4 − 12 = 7 − x 5 

Per fer-ho, primer haurem de calcular el mcm(4,5), el qual és 20. I multiplicarem tots els termes 

pel mcm, en aquest cas per 20: 

20 · 3x 

− 20 · 12 = 20 · 7 − 20 · x 

4 

5 

5 · 3x − 240 = 140 − 4 · x 

15x − 240 = 140 − 4x 

15x + 4x = 140 + 240 

19x = 380 

x = 380 

19 

x = 20 

(133) x 2 = 5 

(134) x 3 = 4 

(135) x 3 = 5 − 2 

(136) x 4 = 8 

(137) 3x 5 = 6 

(138) x 2 = 3 + 4 

(139) x 2 = 9 

(140) x 4 = 2 

(141) x 9 = 6 

(146) 3x + 6 

3 

(147) x 2 = 9 6 

(148) 2x 3 = 4 9 

(149) 3x 4 = 9 6 

(150) 2x − 3 

5 

(151) 5x 3 = 60 4 

(152) 2 − x 

2 

= 5 

− 7 = 0 

= 2x − 3 

3 

(153) x 3 + x 7 = 20 

(142) 2x 4 = 6 

(143) 2x − 5 

3 

(144) 3x + 2 

4 

(145) 6 + 2x 

4 

= 15 

= 5 

= 3 

(154) x 3 + x 5 = x 2 + 11 6 

(155) x − 1 

2 

(156) x + 5 

2 

(157) 2x − 1 

3 

− x − 2 

3 

= 2x + 3 

3 

= 4x + 2 

5 

− x − 3 

4 

= 0


(158) x + 11 

6 

(159) x − 3 

2 

(160) x + 1 

6 

(161) x − 2 

4 

= x + 5 

3 

+ 2x − 1 

6 

− x + 3 

4 

+ 3x − 1 

8 

= 4 

= −1 

= 4 

(162) 2x 3 − x 6 + 3 2 = 1 4 − 5x 

12 

(163) 4 5 − 2x + 3x 2 = 3 4 − 7x 

10 

(164) 1 3 − x − 2 

10 

(165) 7x + 8 

8 

− 

= 3 − 2x 

15 

9x − 12 

16 

= 1 

− 1 6 + x 

(166) 4 + x 

21 − 5 + 3x = x + 5 − 1 

14 6 

(167) 1 − 2x 

2 

(168) x − 2 

5 

(169) 4x − x + 3 

4 

(170) 2x − 1 

3 

+ 4 − 4x 

10 

− 2x + 1 

3 

− 

− 2 − x 

2 

= 

2x − 13 

10 

+ 2x + 6 

15 

5(x + 1) 

3 

= 

= x + 1 

5 

= 0 

− 4x − 3 

5 

3(x − 2) 

2 

+ 2 5 

− 

4(x + 1) 

3 

(171) 4x + 3 

5 

(172) 1 − 2x − 5 

40 

(173) 7x − 6 = 22 

(174) −2x + 10 = 20 

( 

− x − 2x − 2 ) 

= 4 

6 

= x − 4x − 7 

10 

(175) 10 + 2x = −7x + 19 

(176) 13x − 21 = 12x − 24 

(177) 2(3x + 1) = 7x − 3 

(178) 120 = 2x − (15 − 7x) 

+ x 5 

(179) 9(13 − x) − 4x = 5(21 − 2x) + 9x 

(180) 5x = 8(5x − 3) − 4 

(181) 3(x − 7) − 6(3 − 2x) = 19 − 4(2x + 3) 

(182) 5x 6 + 2x 3 = 9 

(183) 3x 5 + 7 = x 3 + 9 

(184) 4 − x + 3 

6 

(185) x + 11 

2 

(186) 3x + 5 

2 

= 2 + 9 − 2x 

3 

+ 2x − 7 

5 

+ 4x − 5 

5 

= −4 

= 7x + 1 

6 

+ 7 

(187) En arribar 32 persones a una assemblea s’observa que ara el nombre d’assistents és igual al triple 

dels que hi havia menys 14. Quantes persones hi havia inicialment a l’assemblea? 

(188) En una granja que fa agricultura ecològica, hi ha gallines i gats. Si tenim en total 38 caps i 108 

potes, quants animals hi ha de cada classe? 

(189) Tenim 30 xiclets. N’hi ha de maduixa i de menta. Quants de cada n’hem comprat si ens hem gastat 

5e i 40c i cada un de menta val 20c i el de maduixa 15c? 

MISCEL·LÀNIA 

(Per Pere Busquets) 

(190) La història ha conservat pocs trets biogràfics de Diofant (325-410), notable matemàtic de l’antiguitat. 

Tot el que es coneix sobre ell ha estat pres de la dedicatòria que hi ha en el seu sepulcre, 

inscripció composta en forma d’exercici matemàtic. Reproduim la seva inscripcio: 

Caminant!, Aquí han estat sepulcrades les restes de Diofant. I els seus números poden mostrar, 

Oh! Miracle!, la longevitat de la seva vida, la sexta part de la qual va constituir la seva formosa 

infància. Havia transcorregut més d’una dotzena part de la seva vida, quan borrissol va cobrir la 

seva barba. I la sèptima part de la seva existència va transcórrer en un matrimoni estèril. Va 

passar un lustre més i el va fer feliç el naixement del seu preciós primogeni, que va entregar la 

seva bella existència de la terra, que va durar tan sols la meitat de la del seu pare. I amb gran 

pena va descendir a la sepultura, havent sobreviscut quatre anys a la mor del seu fill. 

Digues quants anys va viure Diofant i quan li va arribar la mort.

22 

(191) 

(192) 

3(x − 1) 

4 

4(3x + 6) 

5 

(193) 2x + 1 

3 

(194) 

= 2 + x 3 + 5 2 

+ 12 = 

= x − 1 

5 

3 

x + 4 = 5 

x − 4 

3(2x + 6) 

2 

(195) 2(2x − 2(3x − 2)) = 3x − 3 

+ 2x 

(196) x + 3 

10 − x − 1 = x − 21 + 4 − x 

5 4 7 

(197) 1 − 

(198) 7 + x 2 

3 

2(x − 1) 

3 

+ 

(199) 3 x + 1 2 = 4 x 

− 5x = 3(1 + 2x) − 13 

x 

5 + 6 = 6 

4 


(200) x − 3 

2 

(201) 2x + 3 

5 

(202) x 3 

+ x + 4 

3 

− x − 1 

2 

= 1 

+ 

x + 3(x − 2) 

5 

= x + 3 

4 

= 

x − 2(3 − x) 

5 

(203) 5 − (2 − 3(x − 3) + 4x) − 3x + 5 = 3 

(204) 3(x + 2) − 4(x − 3) = 2(3x − 1) − 3(2x − 4) 

(205) 9 − x 

8 

+ 5x + 1 

6 

= 3x + 7 

10 

− 1 − 6x 

5 

3x + 1 2 − 3x 5x − 1 

− 4 + 3 + 2 

(206) 7 + 4 = 3 − 1 

3 2 5 

(207) 3(x + 1) − 6(2x − 4) = 7(1 + x) − 2(3x − 5) 

(208) 5 − 4(3(x + 2) − 5(2x + 1)) + 3 = x + 31 

x − 3 

+ 1 

2 + 3 

(209) 2 + x = 6 

4 

( ( 1 

(210) 3x − 

2 − x − 1 ( 

1 − x − 2 )) 

− x − 1 ) 

= 1 − x 3 2 3 4 

(211) 

3x − (2x − 6) + 5 

− 

3 

6 

−4 − x + 3 

7 

5 

( ) 4x − 1 

2 + 2 

3 

− (x − 7) = 

− 

7 

( x 

) 

5 − 

2 + 1 

2 

3 

− 7

3.2. SOLUCIONS DE LES EQUACIONS DE PRIMER GRAU 23 

3.2 Solucions de les equacions de primer grau 

(1) 11m 

(2) x = 37 i x = 73 

(3) (a) x = 10 

(b) x = 72 

(c) x = 7 

(d) x = 73 

(e) x = 60 

(4) (a) x = 5 

(b) x = 54 

(c) x = 21 

(d) x = 9 

(e) x = 23 

(5) (a) x = −2 

(6) x = 6 

(b) x = 26 

(c) x = 2 

(d) x = 26 

(e) x = 4 

(7) x = −3 

(8) x = 2 3 

(9) x = −2 

3 

(10) x = 3 2 

(11) x = −5 

3 

(12) x = −3 

(13) x = 5 3 

(14) x = 3 5 

(15) x = −64 

9 

(16) x = 15 

7 

(17) x = 8 

(18) x = 9 

(b) x = 30 

(c) x = 3 

(d) x = 1 

(e) x = 55 

(24) (a) x = 12 

(b) x = −9 

(c) x = −1 

(d) x = 1 

(e) x = 23 

(25) (a) x = 1 

(b) x = 7 

(c) x = 1 6 

(d) x = 9 5 

(e) x = 5 

(26) x = 35 

(27) 62e 

(28) x = 12 

(29) (a) x = 1 

(b) x = −6 

(c) x = 28 

(d) x = 32 

(e) x = 5 

(30) x = 26 

(31) x = 44 

(32) x = 54 

(33) 27m 

(34) x = 8 

(35) x = 3 

(36) x = 16 

(37) x = 2 

(46) x = 3 

(47) x = 64 

(48) x = 5 

(49) x = −44 

(50) x = 3 

(51) x = 17 

(52) x = 1 

(53) x = −14 

(54) x = −1 

3 

(55) x = 1 2 

(56) x = 6 

(57) x = 28 3 

(58) x = 2 

(59) x = −1 

2 

(60) x = 5 

(61) x = 2 

(62) 50e 

(63) x = 33 

(64) x = 45 

(65) x = 4 

(66) x = 25 

(67) 18 conills 

(68) x = 8 

(69) x = 118 

(70) x = 12 

(71) x = 24 

(72) x = 4 

(81) x = 28 

(82) x = 6 

(83) x = 1 

(84) x = 2 

(85) x = 5 

(86) x = 0 

(87) x = 23 3 

(88) x = 2 

(89) x = −5 

3 

(90) x = 9 5 

(91) x = 8 3 

(92) x = 3 

(93) x = −2 

(94) x = 1 

(95) x = 3 

(96) x = 2 

(97) x = 7 

(98) x = 3 

(99) x = 7 

(100) x = 1 

(101) x = 2 

(102) 680e 

(103) x = 54 

(104) 18 anys 

(105) x = 56 

(106) x = 54 

(19) x = 5 

(20) x = −4 

(21) x = −4 

(22) (a) x = 7 

(b) x = 25 

(c) x = 26 

(d) x = 52 

(e) x = 12 

(38) x = 3 

(39) x = 10 

(40) x = 3 

(41) x = 3 2 

(42) x = 4 

(43) x = 7 

(44) x = 2 

(73) x = 9 

(74) 37cm 

(75) 40cm i 10cm 

(76) x = 2 

(77) x = 450 

(78) x = 5 

(79) x = 21 

(107) (a) x = −3 

(b) x = 2 

(c) x = 1 

(d) x = −6 

(e) x = 1 

(108) (a) x = 4 

(109) x = 3 

(b) x = 252 

(23) (a) x = 3 

(45) x = 1 7 

(80) x = 5 

(110) 35 nois i 48 noies

24 


(111) 36 nois i 41 noies 

(112) 13cm i 26cm 

(113) 8cm i 5cm 

(114) 40, 48 i 64 adhesius 

(115) 15e 

(116) 32 i 28 

(117) 132, 133 i 134 

(118) 14 qüestions 

(119) 9 de 5e i 3 de 2e 

(120) 24 dromedaris i 62 camells 

(121) 40 i 30 

(122) 360e i 240e 

(123) 30, 33, 36 i 39 anys 

(124) 11 i 14 anys 

(125) 28 anys 

(126) Fa 3 anys 

(127) La Cristina 60 anys i en 

Jordi 20 anys 

(128) 65 i 40 anys 

(129) 40 anys 

(130) 11 i 33 anys 

(131) 29 i 58 cromos 

(132) 142 d’Estats Units i 71 Alemanys 

(133) x = 10 

(134) x = 12 

(135) x = 9 

(136) x = 32 

(137) x = 10 

(138) x = 14 

(139) x = 18 

(140) x = 8 

(141) x = 54 

(142) x = 12 

(143) x = 25 

(144) x = 6 

(145) x = 3 

(146) x = 3 

(147) x = 3 

(148) x = 2 3 

(149) x = 2 

(150) x = 19 

(151) x = 9 

(152) x = 12 7 

(153) x = 42 

(154) x = 55 

(155) x = 11 

(156) x = 9 

(157) x = −11 

2 

(158) x = 1 

(159) x = 34 5 

(160) x = 5 

(161) x = 37 5 

(162) x = −15 

11 

(163) x = −1 

4 

(164) x = 15 

29 

(165) x = −12 

5 

(166) x = 0 

(167) x = 2 

(168) x = −1 

(169) x = −1 

(170) x = 2 

(171) x = 28 

(172) x = 1 2 

(173) x = 4 

(174) x = −5 

(175) x = 1 

(176) x = −3 

(177) x = 5 

(178) x = 15 

(179) x = 1 

(180) x = 4 5 

(181) x = 2 

(182) x = 6 

(183) x = 15 2 

(184) x = 3 

(185) x = −9 

(186) x = 5 

(187) 23 persones 

(188) 22 gallines i 16 gats 

(189) 12 de maduixa i 18 de menta 

(190) Diofant va viure 84 anys, es 

va casar als 21 anys, va ser 

pare als 38 anys i va perdre 

al seu fill als 80. 

(191) x = 63 5 

(192) x = 3 

(193) x = −8 

7 

(194) x = −16 

(195) x = 1 

(196) x = 25 

(197) x = 1 

(198) x = 10 

(199) x = 2 

(200) x = 7 5 

(201) x = 1 

(202) x = 0 

(203) x = −1 

(204) x = 8 

(205) x = 1 

(206) x = 2 

(207) x = 1 

(208) x = 1 

(209) x = 5 

(210) x = 10 

19 

(211) x = 4

Capítol 4 

Sistemes d’equacions de primer grau 

Tota equació lineal ax + by = c, per exemple 4x − 3y = 5 expressa una recta i, per tant, els punts que la 

satisfan (x,y), per exemple (2,1), (−1, −3),..., tots pertanyen a aquesta recta. 

Al resoldre un sistema format per dues equacions lineals estem buscant si les dues rectes tenen punts 

comuns, i són els anomenats punts d’intersecció. 

DISCUSSIÓ D’UN SISTEMA: 

Al resoldre el sistema, pot passar: 

(1) Que trobem només un valor per la x i un altre per la y, per tant, el sistema només té una solució: 

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT (SCD). El punt P(x,y) serà l’únic punt de 

coincidència entre les dues rectes i les dues rectes es tallen en aquest punt P(x,y), per tant, són 

rectes secants. 

(2) Que se’ns anul·lin les variables i queda una igualtat que indica una veritat matemàtica (0 = 0), llavors 

el sistema té moltes solucions (infinites): SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT 

(SCI) Les dues rectes tenen tots els punt comuns, és a dir, les dues rectes coincideixen perquè són 

la mateixa recta. 

(3) Si se’ns anul·len les variables i queda una igualtat que indica una mentida matemàtica (ex : 8 = 0) 

llavors el sistema no té solució SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) les dues rectes no tenen cap 

punt en comú perquè són rectes paral·leles. 

Tindrem maneres diferents per poder resoldre els sistemes d’equacions el mètode de Substitució, 

el mètode d’Igualació i el mètode de Reducció: 

MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ 

Si tenim el següent sistema { 

4x − 3y = 9 

2x + y = 7 

1 r . Escollim una de les variables d’una de les dues equacions. En aquest cas, prenem la y de la segona 

equació i la aïllem. y = 7 − 2x 

2 n . Substituïm el valor de la y a l’altra equació. 4x − 3(7 − 2x) = 9 

3 r . Resolem l’equació de primer grau que ens queda: 

4x − 21 + 6x = 9 

4x + 6x = 9 + 21 

10x = 30 

x = 30 

10 

x = 3 

4 t . Substituïm el valor de la x trobat a la primera equació aïllada: y = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1 

5è. Ja tenim la solució del sistema, x = 3, y = 1. 

El punt d’intersecció entre les dues rectes és (3, 1). Només té una solució: Sistema compatible determinat 

(SCD), per tant, les rectes són secants i es tallen en el punt (3, 1). 

25

26 

CAPÍTOL 4. SISTEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU 

MÈTODE D’IGUALACIÓ 

Si tenim el següent sistema { 4x − 3y = 9 

2x + y = 7 

1 r . Escollim una de les variables la aïllem a les dues equacions. Ens quedaria així: 

{ 

4x − 3y = 9 −→ y = 4x − 9 

3 

2x + y = 7 −→ y = 7 − 2x 

2 n 4x − 9 

. Igualem el valor de la y de les dues equacions: = 7 − 2x 

3 


4x − 9 

3 

= 7 − 2x 

4x − 9 = 3(7 − 2x) 

4x − 9 = 21 − 6x 

4x + 6x = 21 + 9 

10x = 30 

x = 30 

10 

x = 3 

4 t . Substituïm el valor de la x trobat a la primera equació aïllada: y = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1 



(SCD), per tant, les rectes són secants i es tallen en el punt (3, 1). 

MÈTODE DE REDUCCIÓ 

Si tenim el següent sistema { 4x − 3y = 9 

2x + y = 7 

1 r . Escollim una de les variables. Llavors multipliquem les equacions pels coeficients de les variables 

escollides, però invertint l’ordre i canviant-ne un de signe, és a dir, si escollim la variable y, tenim els 

coeficients −3 i 1. Doncs, multipliquem per 1 i 3 les equacions respectivament: 

{ 

4x − 3y = 9 −→ ×1 −→ 4x − 3y = 9 

2x + y = 7 −→ ×3 −→ 3(2x + y) = 3 · 7 −→ 6x + 3y = 21 

2 n . Ara, Sumem les dues equacions per anular el terme en la variable y i reduir les equacions a una 

equació d’una sola incògnita. 

{ 

4x − 3y = 9 

6x + 3y = 21 

10x + 0y = 30 −→ 10x = 30 


10x = 30 −→ x = 30 

10 −→ x = 3 

4 t . Substituïm el valor de la x trobat a qualsevol de les dues equacions: 

2(3) + y = 7 −→ 6 + y = 7 −→ y = 7 − 6 −→ y = 1 



(SCD), per tant, les rectes són secants i es tallen en el punt (3, 1).

4.1. EXERCICIS I PROBLEMES 27 

4.1 Exercicis i Problemes 

(1) En un corral hi ha conills i gallines. Aquests viuen en una gàbia molt gran i es poden moure 

lliurement podent menjar herba i insectes. El número de caps és de 41 i hi ha 124 potes. Quantes 

gallines i conills hi ha en el corral? 

(2) Una pizzeria que treballa només amb productes ecològics té dos tipus de pizza, la margarita a 3e 

i la de quatre formatges a 5e. Ahir a la nit van vendre 53 pizzes i van recaptar 203e. Quantes 

pizzes de cada classe s’han venut? 

(3) Una empresa que envasa ampolles d’aigua sense afegir-hi gas carbònic, envasa ampolles de 2 i 6 

litres. Si en una setmana han envasat 5570 litres en 1697 ampolles, quantes ampolles de 2 i 6 litres 

han utilitzat? 

Problema Resolt 1 

Un noi compra 2 bolígrafs i 8 llibretes per 36e. i un amic seu compra 4 bolígrafs i 6 llibretes, 

exactament iguals per 32e. Quin és el preu dels dos articles? 

1 r . Cal llegir tot el problema fins el final i preguntar-nos què ens demana. Quin és el 

preu dels dos articles? 

2 n . Definir les variables: x = preu del bolígraf, y = preu de la llibreta 

3 r . Plantejament algebraic: Llegir de nou l’exercici i traduir-lo a llenguatge algebraic: 

Un noi compra 2 bolígrafs i 8 llibretes per 36e. 2x + 8y = 36 

Un amic seu compra 4 bolígrafs i 6 llibretes, exactament iguals per 32e: 4x + 6y = 32 

4è. Resoldre el sistema. En aquest cas ho farem pel Mètode de Reducció eliminant la variable 

x: 

{ 2x + 8y = 36 −→ ×(−4) −→ −4(2x + 8y) = −4 · 36 −→ −8x − 32y = −144 

4x + 6y = 32 −→ ×2 −→ 2(4x + 6y) = 2 · 32 −→ 8x + 12y = 64 

−8x − 32y = −144 

8x + 12y = 64 

0x − 20y = −80 −→ −20y = −80 −→ y = −80 

−20 −→ y = 4 

Substituïm el valor de la x trobat a qualsevol de les dues equacions: 

2x + 8(4) = 36 −→ 2x + 32 = 36 −→ 2x = 36 − 32 −→ x = 4 2 −→ x = 2 

5è. Escriure la Solució del Problema: 

La solució del sistema d’equacions és : x = 2, y = 4. 

RESPOSTA: El preu del bolígraf és de 2e i el de la llibreta de 4e 

(4) Un fabricant de pilotes de voleibol obté un benefici d’11e per cada pilota que ven i pateix un pèrdua 

de 20e per cada pilota defectuosa que ha de llençar a la deixalleria. En un dia ha fabricat 468 

pilotes i ha obtingut uns beneficis de 1025e. Quantes pilotes bones i defectuoses ha fabricat en 

aquest dia? 

(5) La base més gran d’un trapezi mesura 2cm més que la petita. L’altura del trapezi és de 13cm i la 

seva àrea de 169cm 2 . Quant mesuren les bases? 

(6) 

{ x + y = 1 

x − y = 5 

(8) 

{ 2x + 3y = 15 

4x − 5y = −3 

(10) 

{ 2x + 3y = 4 

8x − 7y = 54 

(7) 

{ x + 2y = −13 

2x + y = −5 

(9) 

{ 2x + 3y = 11 

5y − 8x = 41 

(11) 

{ x + y = 1 

20x − 3y = 20

28 


(12) 

{ 4x + 9y = −11 

8x − 13y = −53 

(18) 

{ x − 5y = 0 

5y + x = 26 

(24) 

{ 2x − 3y = 35 

4x − y = 45 

(13) 

{ x − y = −10 

5y = 3x + 50 

(19) 

{ 7x − 8y = 2 

11x − 10y = −2 

(25) 

{ 8x − 21y = −155 

6x − 5y = 45 

(14) 

{ 3x − 4y = −8 

−2x + 5y = 17 

(20) 

{ 4x = y 

5x − y = 3 

(26) 

{ 7x − 5y = −16 

3x + 10y = −19 

(15) 

{ 3x − 2y = 32 

x + 5y = −29 

(21) 

{ 7x − 16y = 26 

5x + 17y = 47 

(27) 

{ 7x + 11y = −6 

−x + 10y = −57 

(16) 

{ 3x − y = 23 

9x − 5y = 67 

(22) 

{ x = 6 

5x − 71y = 30 

(28) 

{ 9x − 17y = −8 

17x + 9y = 26 

(17) 

{ 7x + 2y = 0 

9y + 50x = 26 

(23) 

{ 2x + 3y = 22 

10x − y = 46 

(29) 

{ 3x − 28y = −22 

5x + 42y = 52 

(30) Busquem dos nombres. Sabem que difereixen en 4 unitats i que si al doble del primer li restem el 

segon, en quedem amb −1. 

(31) Si sumes 119 a un nombre n’obtens el doble d’un altre i si restes 22 del segon obtens el triple del 

primer. De quins nombres estem parlant? 

(32) En Jeroni ha comprat 4 litres de llet de soja i llet de civada per un total de 3,92e. Si el litre de llet 

de soja costa 1,02e i el de civada 0,94e. Quants litres de cada ha comprat? 

(33) Es fa un examen test a un grup d’estudiants amb 43 preguntes sobre Matemàtiques. Per cada 

preguntada contestada correctament es donen 6 punts i per cada pregunta mal contestada o no 

contestada et treuen 4 punts. Un alumne ha obtingut 119 punts. Quantes preguntes ha respòs bé i 

quantes malament? 

(34) Es vol barrejar vi de 2e al litre amb vi de 5e, de manera que el vi que ens quedi tingui un preu de 

4.1e el litre. Quants litres de cada classe s’han de barrejar per obtenir una mescla de 200 litres? 

(35) 

{ 

x − 3y = 2 

2x − 6y = 4 

(42) 

{ 

20x − 23y = 212 

19x − 21y = 198 

(49) 

{ 

21x − 2y = 23 

3(y − 47) = 6x + 3 

(36) 

{ 3x + 5y = −3 

21x − 35y + 21 = 0 

(43) 

{ 20x − 25y = 0 

x − y = y − 15 

(50) 

{ 3x − 4y = 41 

2(y + 4x) = 25 + 3x 

(37) 

{ x − 1 = y 

2y = 10x − 82 

(44) 

{ 4x + 6y = −12 

17x − 5y = 1474 

(51) 

{ 5(x − 2) = y + 2 

x − 23 = 3(y − 5) 

(38) 

{ 21y + 20x = 143 

77y − 30x = 218 

(45) 

{ x − 5y = −15x + 27 

x + 30 = y + 31 

(52) 

{ x + 49y = 741 

49x + y = 309 

(39) 

{ x + y = 28 

3x − 11y = 8y − 4 

(46) 

{ 9x − 8y = 1 

12x − 10y = 2 

(53) 

{ 10x + 7y = −5 

3x − 5y = 34 

(40) 

{ 3x − 2y = −15 

x + 7 = 2y + 14 

(47) 

{ 6x − y = y + 42 

10y + x = 10x − 63 

(54) 

{ 12x + 11y = 1 

3y − 2(x − 8) = 11 

(41) 

{ 28y − 27x = 7 

x + 6y = y + 42 

(48) 

{ 2x − 5y = 4 

−3x + 8y = −4 

(55) 

{ 5x + 6y = 0 

6y − (x − 3) = 75 

(56) Fa 5 anys, l’edat de la Rita era el doble de la que tenia en Pau. D’aquí a 8 anys, les edats de tots 

dos sumaran 56. Quants anys té ara cadascun?

4.1. EXERCICIS I PROBLEMES 29 

Problema Resolt 2 

La suma de dos nombres és 46. Si dividim el primer per 2 i el segon per 3, la diferència entre els 

quocients del primer i el segon és de 13 unitats. Troba els dos nombres. 

1 r . Cal llegir tot el problema fins el final i preguntar-nos què ens demana. Troba dos 

nombres 

2 n . Definir les variables: x = un nombre, y = una altre nombre 

3 r . Plantejament algebraic: Llegir de nou l’exercici i traduir-lo a llenguatge algebraic: 

La suma de dos nombres e¿ 46. x + y = 46 

Si dividim el primer per 2 i el segon per 3, la diferència entre els quocients del primer i el segon 

és de 13 unitats: 

x 

2 − y 3 = 13 

4è. Resoldre el sistema. En aquest cas ho farem pel Mètode de Substitució aïllant la variable 

x: ⎧ 

⎪⎨ 

⎪ ⎩ 

x + y = 46 −→ x = 46 − y 

x 

2 − y 3 = 13 

I substituïm el valor de la variable x a l’altra equació: 

46 − y 

− y 2 3 

= 13 

3(46 − y) − 2(y) 

6 

= 13 

3(46 − y) − 2y = 6 · 13 

138 − 3y − 2y = 78 

−3y − 2y = 78 − 138 

−5y = −60 

y = −60 

−5 

= 12 

Substituïm el valor de la y trobat a qualsevol de les dues equacions: 

x + 12 = 36 −→ x = 36 − 12 −→ x = 24 

La solució del sistema d’equacions és : x = 24, y = 12. 

5è. Escriure la Solució del Problema: 

RESPOSTA: Un dels números és el 12 i l’altre és el 24. 

(57) En Marçal va a comprar en una botiga de la xarxa de consum responsable i compra 3kg de cafè i 

3Kg de sucre biològics, per la qual cosa paga 12,75e. L’Anna, la qual no sabia que en Marçal ja 

havia anat a comprar, també hi va i compra 1kg de cafè i 10kg de sucre. Paga 20e. Cap dels dos 

no s’ha fixat amb el preu de cada cosa i han llençat les factures. Pots saber el preu de cada cosa 

per separat? 

(58) Un tren va a una velocitat de 75 km h 

. Va 132km més endavant que un altre tren que va per una 

via paral·lela a 119 km h 

. Calcula el temps que tarda el segon tren en trobar el primer i la distància 

recorreguda pel primer tren fins que han coincidit els dos trens. 

(59) Un obrer ha treballt durant 30 dies per dos empreses diferents guanyant 945e. La primera empresa 

li pagava 25e per dia i la segona 40e per dia. Quants dies ha treballat per cada empresa? 

(60) Un nen li diu a un amic: Dóna’m 5e i així tindrem els mateixos diners tots dos. L’amic li respon 

amb ironia: Sí, home... Dóna’m tu 10e i així jo tindré el doble que tu. Quants diners té cadascun?

30 


(61) 

{ x + y = 5 

x − y = 1 

(68) 

{ x + 3y = 2 

y + x = 6 

(75) 

{ x + 2y = 18 

y − x = 3 

(62) 

{ x + y = 7 

2x + y = 9 

(69) 

{ 2x + y = 4 

y − 3x = −1 

(76) 

{ 2y − x = 15 

x − y = 6 

(63) 

{ x − 2y = 5 

3y + x = 10 

(70) 

{ 3x + y = 10 

y − x = −6 

(77) 

{ 2x − y = 1 

−x + y = −5 

(64) 

{ 2x − y = −2 

y − 3x = 1 

(71) 

{ 5x + y = 3 

x + y = −1 

(78) 

{ y − x = 0 

2x + y = 3 

(65) 

{ 2x + y = 9 

y − 2x = 1 

(72) 

{ x − 3y = 5 

y + x = −3 

(79) 

{ x + 2y = 14 

y − x = 7 

(66) 

{ 3y + x = 7 

x + 3y = 7 

(73) 

{ x + y = 8 

x − y = 2 

(80) 

{ 2x + y = 1 

y + 3x = −2 

(67) 

{ x − 3y = −1 

y + x = −5 

(74) 

{ y − x = 1 

x + y = 3 

(81) 

{ x + 2y = 7 

3x − 4y = −9 

(82) Un rellotge marca les tres en punt. Per tant, les dues agulles del rellotge formen un angle recte. 

Quant de temps ha de transcórrer perquè tornin a formar un angle recte? 

(83) Un rellotge de busques marca les dotze hores. A quina hora la minutera es trobarà amb l’agulla 

que marca les hores? 

(84) Un dipòsit s’omple per una aixeta en 5 hores i per una altra en dues hores. Quan tardarà en 

omplir-se el dipòsit si obrim les dues aixetes? 

(85) Dos pobles, la vila del pingüi i repsolandia estan a una distància de 155km. A la mateixa hora, 

surten de cada poble un ciclista. El ciclista que surt de la vila del pingüi pedala a una velocitat de 

25 km h i el que surt de repsolandia a 33 km h 

. A quina distància de cada poble es trobaran? Quan de 

tempa ha passat? 

(86) L’àrea d’un triangle rectangle és de 120cm 2 i la hipotenusa mesura 26cm. Quines són les longituts 

dels catets? 

4.2 Solucions dels sistemes de primer grau 

(1) 21 conills i 20 gallines 

(2) 31 margarites i 22 de quatre 

formatges 

(3) 544 de 6l i 1153 de 2l 

(4) 335 de bones i 133 de defectuoses. 

(5) 12cm i 14cm 

(6) x = 1, y = 5 

(7) x = 1, y = −7 

(8) x = 3, y = 3 

(9) x = −2, y = 5 

(10) x = 5, y = −2 

(11) x = 1, y = 0 

(12) x = −5, y = 1 

(13) x = 0, y = 10 

(14) x = 4, y = 5 

(15) x = 6, y = −7 

(16) x = 8, y = 1 

(17) x = 2, y = −7 

(18) x = 5, y = 1 

(19) x = −2, y = 2 

(20) x = 3, y = 12 

(21) x = 6, y = 1 

(22) x = 6, y = 0 

(23) x = 5, y = 4 

(24) x = 10, y = −5 

(25) x = 20, y = 15 

(26) x = −3, y = −1 

(27) x = 7, y = −5 

(28) x = 1, y = 1 

(29) −5 i −9 

(30) 15 i 67 

(31) 29 de bones i 14 de dolentes 

(32) 2 litres de cada 

(33) 50 de 2e i 140 de 5e 

(34) x = 2, y = 1 

(35) x = 8, y = 2 

(36) x = 9, y = −6 

(37) x = 10, y = 9 

(38) x = 3, y = 4

4.2. SOLUCIONS DELS SISTEMES DE PRIMER GRAU 31 

(39) x = 24, y = 4 

(40) x = −11, y = −9 

(41) x = 7, y = 7 

(42) x = 6, y = −4 

(43) x = 25, y = 20 

(44) x = 72, y = −50 

(45) x = 2, y = 1 

(46) x = 1, y = 1 

(47) x = 7, y = 0 

(48) x = 12, y = 4 

(49) x = 7, y = 62 

(50) x = 7, y = −5 

(51) x = 2, y = −2 

(52) x = 6, y = 15 

(53) x = 3, y = −5 

(54) x = 1, y = −1 

(55) x = −12, y = 10 

(56) La Rita té 25 anys i en Pau 

15 

(57) 2,5e el kilo de cafè i 1,75e 

el kilo de sucre 

(58) 3 hores i 225km 

(59) 17 amb el primer i 13 amb 

el segon. 

(60) Un té 40e i l’altre 50e. 

(61) x = 3, y = 2 

(62) x = 2, y = 5 

(63) x = 7, y = 1 

(64) x = 1, y = 4 

(65) x = 2, y = 5 

(66) x = 1, y = 2 

(67) x = −4, y = −1 

(68) x = 8, y = −2 

(69) x = 1, y = 2 

(70) x = 4, y = −2 

(71) x = 1, y = −2 

(72) x = −1, y = −2 

(73) x = 5, y = 3 

(74) x = 1, y = 2 

(75) x = 4, y = 7 

(76) x = 27, y = 21 

(77) x = −4, y = −9 

(78) x = 1, y = 1 

(79) x = 0, y = 7 

(80) x = −3, y = 7 

(81) x = 1, y = 3 

(82) 1h 5’ 27” 

(83) 3h 32’ 44” 

(84) 1h 25’ 43” 

(85) 2h 40’ 21” 

(86) x = 24cm i y = 10cm

32 

CAPÍTOL 4. SISTEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Capítol 5 

Funcions lineals 

5.1 Representació gràfica de funcions de primer grau 

En aquesta unitat diferenciarem entre variable dependent, la y, i la variable independent, la x. 

y = f(x) 

La x pot prendre el valor que vulguis i la y es calcula a partir del valor de la x. 

L’expressió variables dependents i independents es refereix a valors que varien de forma correlacionada 

entre elles. Les variables dependents són aquelles que s’observa que varien en resposta a les 

variacions de les variables independents. Les variables independents són aquelles que es manipulen de 

forma deliberada per a provocar el canvi de les variables dependents. En resum, “si es dona x, llavors 

resulta y”, on x representa les variables independents i y representa les variables dependents. 

Quan es dissenyen experiments, les variables independents són aquells valors que es seleccionen i es 

controlen a l’experiment per tal de determinar la seva relació amb un fenomen observable, (la variable 

dependent). En aquest tipus d’experiments, es fa un intent de trobar proves de que els valors de la 

variable independent determinen els valors de la variable dependent (aquella que s’està mesurant). La 

variable independent es pot canviar a voluntat, i els seus valors no representen un problema que requereixi 

explicació en l’anàlisi, sinó que es prenen simplement tal com es donen. Per altra banda, la variable 

dependent, normalment no es pot controlar directament. 

En resum: 

• Les variables independents responen a la pregunta: “Què es farà variar?” 

• Les variables dependents responen a la pregunta: “Què s’observarà?” 

Exemples: 

• Si s’hagués de mesurar la influència de diferents quantitats d’adobs naturals en el creixement de 

les plantes, la variable independent hauria de ser la quantitat d’adob que es fa servir (el factor que 

es variarà en fer diferents experiments). Les variables dependents haurien de ser el creixement en 

alçada i/o en massa de la planta (els factors que en resulten influenciats per l’efecte de l’adob) i 

hauríem de controlar el tipus de planta, el tipus d’adob, la quantitat de llum solar que rep la planta, 

etc. 

• Si s’estudia com afecten diferents dosis d’una vacuna amb els efectes secundaris, es podria comparar 

la freqüència i intensitat dels efectes secundaris (les variables dependents) amb les diferents dosis 

de la vacuna (la variable independent) que s’administren, i provar de extreure’n una conclusió. 

• Per mesurar l’efecte de la educació sobre la qualitat de la feina on es treballa en una família, les 

variables dependents podrien ser l’horari laboral, la distància de casa a la feina i la relació entre els 

companys, i una variable independent podria ser el nivell d¿educació dels individus que composen 

la unitat familiar (per exemple el nivell acadèmic). 

Una variable independent és qualsevol dels arguments, és a dir, “entrades”, d’una funció. En canvi, 

la variable dependent és el valor de la funció, és a dir, el “resultat”, de la funció. Així, si es té una funció 

f(x), llavors x és la variable independent, i f(x) és la variable dependent. La variable dependent, depèn 

de la variable independent, d’aquí en ve el nom. 

33

34 

CAPÍTOL 5. FUNCIONS LINEALS 

Si per exemple, tenim la funció y = f(x) = −3x + 1, prenem valors de la x = −2 i de x = 3: 

x = −2 −→ f(−2) = −3 · (−2) + 1 = 6 + 1 = 7 

x = 3 −→ f(3) = −3 · (3) + 1 = −9 + 1 = −8 

Obtenim el valor 7 a partir del −2. El 7 s’anomena la imatge del −2. I el −8 la imatge del 3. 

En canvi, si tenim els valors y i en volem saber el valor de la x corresponent, estarem parlant de les 

antiimatges. 

Si calculem les antiimatges de 0 i −2 de la mateixa funció d’abans: 

f(x) = −3x + 1 = 0 −→ −3x = −1 −→ x = −1 

−3 = 1 3 

f(x) = −3x + 1 = −2 −→ −3x = −3 −→ x = −3 

−3 = 1 

FUNCIONS LINEALS: Són les funcions del tipus f(x) = mx. Les quals passen pel punt (0,0), i si 

m > 0 són creixents i si m < 0 són decreixents. 

FUNCIONS AFINS: Són les funcions del tipus f(x) = mx + n. La qual no passa per l’origen (0,0). Si 

m > 0 és una funció creixent i si m < 0 és decreixent. A m se l’anomena el pendent de la recta. La 

recta passa pel punt (0,n), el qual és el punt de tall de la recta amb l’eix d’ordenades (l’eix de les y’s). 

RECTES PARAL·LELES Són les rectes que tenen el mateix pendent. 

Les rectes es representen gràficament mitjançant els eixos de coordenades. L’eix de les x’s s’anomena 

l’eix d’abscisses i l’eix de les y’s s’anomena l’eix d’ordenades. 

EXEMPLE: 

Anem a veure un exemple de com representar gràficament una recta. Prenem y = 2x − 1. 

Això vol dir que el pendent m = 2. Com que és positiu serà creixent. A més, talla amb l’eix de les 

y’s pel punt (0, −1). Si fem una taula de valors, d’almenys 5 punts, obtenim: 

x y = 2x − 1 

0 2 · 0 − 1 = −1 (0, −1) 

1 2 · 1 − 1 = 1 (1,1) 

2 2 · 2 − 1 = 3 (2,3) 

-1 2 · (−1) − 1 = −3 (−1, −3) 

-2 2 · (−2) − 1 = −5 (−2, −5) 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

5.2 Exercicis 

(1) Posa quatre exemples que se t’ocurreixin de variables dependents i variables independents. 

Representa gràficament les següents funcions: 

(2) f(x) = 2x 

(3) f(x) = −x 

(4) f(x) = −3x 

(5) f(x) = 4x + 2 

(6) f(x) = −2x + 2 

(7) f(x) = x + 3 

(8) f(x) = −x − 3 

(9) f(x) = 6x − 3 

(10) f(x) = −4x + 5

5.2. EXERCICIS 35 

(11) Calcula la imatge del punts 2, 3 i −5 de les següents funcions: 

(a) f(x) = −x − 4 

(b) f(x) = 6x − 2 

(c) f(x) = −3x + 1 

(d) f(x) = 2x − 8 

(e) f(x) = 3x − 9 

(f) f(x) = −x + 1 

(12) Se sap que la distància recorreguda per un vianant, en metres, a velocitat constant és proporcional 

a la durada del trajecte en segons. Un vianant ha recorregut 12 metres en 7 segons. 

(a) Escriu la funció associada a aquesta situació. 

(b) Representa gràficament aquesta funció. 

(13) Una aixeta oberta totalment raja 1 litre d’aigua cada 4 segons: 

(a) Construeix una taula de valors que relacioni el temps i la capacitat. 

(b) Escriu la funció associada a aquesta situació. 

(c) Representa gràficament aquesta funció. 

(d) Quina quantitat d’aigua haurà rajat en 20 minuts? 

(e) Quant de temps ha de passar per omplir una banyera de 160cm de llarg, 70cm d’ample i 50cm 

de profunditat? 

(14) Troba l’equació de les rectes següents: 

(a) Té pendent 3 i ordenada en l’origen −7. 

(b) Té pendent 5 i passa pel punt (−1, −2). 

(c) Passa pels punts A(2,3) i B(−1,6). 


(a) Té pendent − 1 2 

i ordenada en l’origen 6. 

(b) Té pendent 2 5 

i passa pel punt (1,2). 

(c) Passa pels punts A(1,3) i B(3, −1). 


(a) Té pendent 7 5 i ordenada en l’origen 3 5 . 

(b) Té pendent 8 3 

i passa pel punt (1,3). 

(c) Passa pels punts A(2, −3) i B(5,0). 

(17) Donats els punts A(1,3), B(2,0) i C(−1,9), comprova que estan alineats. 

(18) En un dipòsit mig ple, l’altura fins on arriba l’aigua és de 8m. Es vol omplir del tot amb una aixeta 

que aconsegueix pujar l’altura 60cm cada hora. Escriu la fórmula de la funció que permet calcular 

l’altura de l’aigua segons el temps que passa des que s’obre l’aixeta. 

(19) Indica si les següents parelles de rectes són paral·leles o es tallen. 

(a) y = 2x − 5 i y = 4x − 10 

(b) y = −3x + 3 i y = −3x − 10 

(c) y = x − 1 i y = 4x − 4 

(20) Donada la recta d’equació y = −2x + 4, 

(a) Escriu les equacions de dues rectes que siguin paral·leles a la donada. 

(b) Escriu les equacions de dues rectes que no siguin paral·leles a la donada. 

(c) Escriu les equacions de dues rectes amb la mateixa ordenada en l’origen que la donada. 

(21) Troba l’equació de la recta que passa pel punt A(2, −5) i és paral·lela a la recta d’equació y = 7x−2. 

(22) Troba les equacions de les rectes que, passant pel punt A(1, −5), són paral·leles als eixos de coordenades.

36 

CAPÍTOL 5. FUNCIONS LINEALS 

(23) Troba l’equació de la recta paral·lela a la recta d’equació y = 4x − 3 en els casos següents: 

(a) Que tingui l’ordenada en l’origen igual a 5. 

(b) Que passi per l’origen de coordenades. 

(c) Que passi pel punt A(1,3). 

(24) La recta d’equació y = 2x − 4 determina un triangle amb els eixos de coordenades. Calcula l’àrea 

d’aquest triangle. 

(25) Calcula la intersecció entre les rectes y = −2x + 4 i la recta y = 3x − 2 gràficament. Després 

comprova el resultat resolent el sistema d’equacions. 

(26) Pren qualsevol sistema d’equacions del capítol de sistemes d’equacions i resol el sistema gràficament. 

5.3 Solucions 

4 

4 

4 

2 

2 

2 

0 

0 

0 

-2 

-2 

-2 

-4 

-4 

-4 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

Figura 5.1: (2) f(x) = 2x, (3) f(x) = −x, (4) f(x) = −3x 

4 

4 

4 

2 

2 

2 

0 

0 

0 

-2 

-2 

-2 

-4 

-4 

-4 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

Figura 5.2: (5) f(x) = 4x + 2, (6) f(x) = −2x + 2, (7) f(x) = x + 3 

4 

4 

4 

2 

2 

2 

0 

0 

0 

-2 

-2 

-2 

-4 

-4 

-4 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

Figura 5.3: (8) f(x) = −x − 3, (9) f(x) = 6x − 3, (10) f(x) = −4x + 5


(11) (a) f(2) = −6, f(3) = −7 i f(−5) = 1 

(b) f(2) = 10, f(3) = 16 i f(−5) = −32 

(c) f(2) = −5, f(3) = −8 i f(−5) = 16 

(d) f(5) = 2, f( 11 2 ) = 3 i f(3 2 ) = −5 

(e) f( 11 3 ) = 2, f(4) = 3 i f(4 3 ) = −5 

(12) y = 12 7 x 

(f) f(−1) = 2, f(−2) = 3 i f(6) = −5 

(13) (b) y = 1 4 x 

(d) y = 1 60s 

20min 

4 1min = 300l 

(e) V = 560dm 3 = 560l 

560l 

4 l s 

(14) (a) y = 3x − 7 

(b) y = 5x + 3 

(c) y = −x + 5 

(15) (a) y = − 1 2 x + 6 

(b) y = −2x+12 

5 

(c) y = −2x + 5 

(16) (a) y = 7x+3 

5 

= 140s = 2min 20s 

(b) y = 8x+1 

3 

(c) y = x − 5 

(17) y = 7x − 19 

(18) y = 1 

6000 t + 8 

(19) (a) Es tallen 

(b) Paral·leles 

(c) Es tallen 

(20) (a) y = −2x + 1 i y = −2x − 8 

(b) y = 3x − 2 i y = −5x + 1 

(c) y = −7x + 4 i y = 8x + 4 

(21) y = 7x − 19 

(22) y = −5 i x = 1 

(23) (a) y = 4x + 5 

(24) 8u 2 

(25) ( 6 5 , 8 5 ) 

(b) y = 4x 

(c) y = 4x − 1

38 

CAPÍTOL 5. FUNCIONS LINEALS

Capítol 6 

Equacions de 2 n grau 

Una equació de segon grau és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la 

integren és 2. La seva expressió general és: 

ax 2 + bx + c = 0 per a ≠ 0 

Totes les equacions de 2 n grau tenen dues solucions. 

6.1 Equacions del tipus ax 2 + c = 0 

ax 2 + c = 0 =⇒ ax 2 = −c =⇒ x 2 = −c 

a 

Fem un exemple concret: 

√ 

−c 

=⇒ x = ± 

a 

13x 2 − 52 = 0 =⇒ 13x 2 = 52 =⇒ x 2 = 52 

13 = 4 =⇒ x = ±√ 4 = ±2 

(1) La base d’un mirall rectangular, que té 48dm 2 d’àrea, mesura la tercera part de l’altura. Calcula 

les dimensions del mirall. 

(2) Troba dos nombres positius el producte dels quals sigui 363, i el quocient, 3. 

(3) Un nombre més 1 multiplicat pel mateix nombre menys 1 és igual a 3. De quin nombre estem 

parlant? 

(4) Una piràmide regular de base quadrada té una altura de 15m i s’han necessitat 980m 3 per construirla. 

Calcula el costat de la base de la piràmide. 

(5) Quins nombres són iguals al seu invers. Calcula’ls. 

(6) Troba dos nombres naturals consecutius tals que la diferència dels seus quadrats sigui 17. 

(7) x 2 − 1 = 0 

(8) x 2 − 4 = 0 

(9) x 2 − 196 = 0 

(10) x 2 − 225 = 0 

(11) x 2 − 1024 = 0 

(12) −2x 2 + 338 = 0 

(13) 4x 2 − 784 = 0 

(14) −6x 2 + 2166 = 0 

(15) −x 2 + 81 = 0 

(16) x 2 − 144 = 0 

(17) −8x 2 + 32 = 0 

(18) x 2 + 9 = 0 

(19) −5x 2 + 2000 = 0 

(20) 12x 2 − 108 = 0 

(21) −10x 2 + 810 = 0 

(22) 15x 2 − 540 = 0 

39 

(23) 34x 2 − 34 = 0 

(24) 12x 2 − 2883 = 0 

(25) −63x 2 + 343 = 0 

(26) 84x 2 − 4116 = 0 

(27) 52x 2 − 40768 = 0 

(28) −2300x 2 + 92 = 0 

(29) 576x 2 − 4096 = 0 

(30) 175x 2 − 2527 = 0

40 CAPÍTOL 6. EQUACIONS DE 2N GRAU 

(31) x 2 − 36 = 0 

(32) 2x 2 − 8 9 = 0 

(33) −x 2 + 49 = 0 

(34) 60 − 15x 2 = 0 

(35) −2x 2 + 242 = 0 

(36) 5x 2 + 23 = 0 

(37) −x 2 + 4096 = 0 

(38) 20x 2 − 720 = 0 

(39) 49x 2 − 225 = 0 

(40) 175x 2 − 252 = 0 

(41) 36x 2 = 0 

(42) 900x 2 − 1 = 0 

6.2 Equacions del tipus ax 2 + bx = 0 

ax 2 + bx = 0 =⇒ x(ax + b) = 0 =⇒ 

Posem un exemple numèric per veure com es fa: 

8x 2 + 72x = 0 =⇒ x(8x + 72) = 0 =⇒ 

{ x = 0 

{ x = 0 

ax + b = 0 =⇒ x = −b 

a 

8x + 72 = 0 =⇒ x = −72 

8 

= −9 

(43) El quadrat d’un nombre menys el seu doble és igual a 0. Quin número és? 

(44) Troba dos nombres la diferència dels quals és 7 i la suma dels quadrats és 49. 

(45) El quadrat d’un nombre coincideix amb el triple d’aquest nombre. De quin nombre es tracta? 

(46) Calcula tots els nombres tals que el seu quadrat és igual al seu quàdruple. 

(47) x 2 − 9x = 0 

(48) x 2 − 12x = 0 

(49) −2x 2 + 192x = 0 

(50) 12x 2 − 132x = 0 

(51) −2x 2 − 7x = 0 

(52) 32x 2 − 1024x = 0 

(53) −49x 2 + 343x = 0 

(54) 9x 2 − 486x = 0 

(55) 22x 2 + 440x = 0 

(56) −30x 2 − 45x = 0 

(57) 22x 2 − 121x = 0 

(58) −4x 2 + 90x = 0 

(59) 112x 2 + 672x = 0 

(60) 4x 2 + 124x = 0 

(61) −6x 2 + 81x = 0 

(62) 24x 2 + 4x = 0 

(63) −12x 2 + 1720x = 0 

(64) 27x 2 + 810x = 0 

(65) −35x 2 + 98x = 0 

(66) 91x 2 + 52x = 0 

(67) −144x 2 − 36x = 0 

(68) 900x 2 + 30x = 0 

(69) −2048x 2 + 96x = 0 

(70) 33333x 2 − 11111x = 0 

6.3 Equacions del tipus ax 2 + bx + c = 0 

ax 2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b ± √ b 2 − 4ac 

2a 

Si fem el mateix amb números: 

x 2 + 3x − 28 = 0 =⇒ 

x = −3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · (−28) 

2 · 1 

= −3 ± √ 9 + 112 

2 

= −3 ± √ 121 

2 

= 

−3 ± 11 

2 

⎧ 

⎨ 

= 

⎩ 

x = −3+11 

2 

= 8 2 = 4 

x = −3−11 

2 

= −14 

2 

= −7 

(71) Esbrina quines edats tenen en Llibert i la Juliana si sabem que en Llibert té 4 anys més que la 

Juliana i el producte de les seves edats dóna 45. 

(72) Un dels costats d’un rectangle fa 3cm més que l’altre; si l’àrea és de 28cm 2 , escriu l’equació que en 

calcula les dimensions i calcula el valor de cada costat. 

(73) Els costats d’un triangle fan 11, 10 i 3cm. Quina mateixa quantitat s’ha de sumar a cadascun dels 

costats perquè en resulti un triangle rectangle?

6.4. COMPORTAMENT DE LES SOLUCIONS 41 

(74) L’àrea d’un rectangle és de 8cm 2 , i la base fa 2cm més que l’altura. Calcula’n els costats després 

de plantejar-ne l’equació corresponent. 

(75) x 2 − 3x + 2 = 0 

(76) x 2 + x − 30 = 0 

(77) −x 2 − 3x + 4 = 0 

(78) x 2 − 5x + 6 = 0 

(79) −x 2 − 6x − 9 = 0 

(80) x 2 + 4x + 4 = 0 

(81) x 2 + x − 12 = 0 

(82) −2x 2 + 12x − 16 = 0 

(83) x 2 + x − 2 = 0 

(84) x 2 − 2x − 3 = 0 

(85) −2x 2 − 2x + 40 = 0 

(86) x 2 − x − 6 = 0 

(87) x 2 + 2x − 8 = 0 

(88) −3x 2 + 24x − 48 = 0 

(89) x 2 + 7x − 18 = 0 

(90) 2x 2 − 20x + 42 = 0 

(91) 3x 2 − 3x − 90 = 0 

(92) 3x 2 + x − 2 = 0 

(93) −15x 2 + 4x + 35 = 0 

(94) 5x 2 − 3x − 26 = 0 

(95) 25x 2 − 10x − 8 = 0 

(96) −4x 2 + 8x + 21 = 0 

(97) 7x 2 − 32x − 15 = 0 

(98) 5x 2 − 31x + 30 = 0 

(99) −7x 2 − 10x − 3 = 0 

(100) 25x 2 − 15x − 4 = 0 

(101) −x 2 + 3x − 2 = 0 

(102) x 2 + 2x − 35 = 0 

(103) −x 2 + 19x − 84 = 0 

(104) 3x 2 + 19x − 14 = 0 

(105) x 2 + 6x − 55 = 0 

(106) −15x 2 − 11x + 12 = 0 

(107) 2x 2 − 15x + 7 = 0 

(108) x 2 − 4x + 4 = 0 

(109) x 2 − 7x + 10 = 0 

(110) −x 2 + 8x − 15 = 0 

(111) x 2 − x − 2 = 0 

(112) −4x 2 − 16x + 84 = 0 

(113) x 2 − 9x − 10 = 0 

(114) x 2 + 7x − 18 = 0 

(115) x 2 − 14x + 49 = 0 

(116) −3x 2 − 18x − 27 = 0 

6.4 Comportament de les solucions 

Les equacions de segon grau completes es resolen mitjançant la fórmula: 

x = −b ± √ b 2 − 4ac 

2a 

Al valor de dintre l’arrel de b 2 − 4ac se l’anomena discriminant i es defineix amb la lletra grega delta 

majúscula, ∆ = b 2 − 4ac. Segons el valor del discriminant (positiu, nul o negatiu) l’equació té dues, una 

o cap solució respectivament. 

10 

∆ < 0 

5 

0 

❡ 

❡ 

❡ 

∆ > 0 

-5 

∆ = 0 

-10 

-8 -4 0 4 8


L’esquema seria aquest: 

• Si b 2 − 4ac > 0 llavors l’equació té dues solucions. 

• Si b 2 − 4ac = 0 llavors l’equació només té una solució. 

• Si b 2 − 4ac < 0 llavors l’equació no té solució. 

Una altra manera d’interpretar les solucions d’una equació de segon grau, és buscant els possibles 

punts de tall de la paràbola o gràfica de la funció quadràtica y = ax 2 + bx + c amb l’eix de les abscisses 

o eix de les X’s. 

Observa en el gràfic de la figura anterior, la relació entre els coeficients de la funció quadràtica, les 

solucions de l’equació de segon grau i la intersecció amb l’eix d’abscisses de la seva gràfica. 

6.5 Repàs general d’equacions de 2 n grau 

(117) 2x 2 + 2x − 60 = 0 

(118) x 2 − 15x + 56 = 0 

(119) x 2 + 3x − 54 = 0 

(120) −5x 2 − 30x + 455 = 0 

(121) 3x 2 − 12x − 15 = 0 

(122) 5x 2 − 10x − 15 = 0 

(123) −2x 2 − 4x + 96 = 0 

(124) 2x 2 − 40x + 198 = 0 

(125) −3x 2 + 21x − 30 = 0 

(126) x 2 + 7x − 8 = 0 

(127) x 2 + 6x − 27 = 0 

(128) −25x 2 + 5x + 6 = 0 

(129) 2x 2 − x − 3 = 0 

(130) −3x 2 + 19x − 20 = 0 

(131) 15x 2 + 16x − 15 = 0 

(132) 200x 2 − 20x = 120 + 21x − 

145x 2 

(133) 5x 2 −3x+2 = −3−9x+4x 2 

(134) 7x 2 −2(x+1) = 6x 2 −3x+ 

10 

(135) x 2 − 2x − 15 = 0 

(136) −2x 2 + x + 1 = 0 

(137) x 2 + 10x + 21 = 0 

(138) x 2 + 2x − 24 = 0 

(139) 3x 2 − 24x + 45 = 0 

(140) x 2 − 8x + 16 = 0 

(141) 2x 2 = −2x + 4 

(142) 3x = 10 − x 2 

(143) 2x 2 − 6 = 0 

(144) x 2 − 16 = 0 

(145) 1 − 8x 2 = 0 

(146) (x + 2)(x − 3) = 0 

(147) 1 5 x2 − 2 3 = 1 6 

(148) x2 −1 

3 

= 5 

(149) (x − 2) 2 = 9 

(150) (x − 4) 2 = −9 

(151) (x + 3) 2 = 0 

(152) (x − 3) 2 = 4 

(153) 3x 2 − x = 0 

(154) x2 

3 = − x 5 

(155) x 2 + x = 0 

(156) 4x 2 + 8x − 12 = 0 

(157) 1 2 x2 − 2x − 6 = 0 

(158) x 2 − 12 

5 x + 4 5 = 0 

(159) 3x 2 − 15x + 12 = 0 

(160) −15x = −56 − x 2 

(161) 2x 2 − 16 = −4x 

(162) 12 = −7x − x 2 

(163) −4x 2 + 100 = 0 

(164) −10000 + x 2 = 0 

(165) −2 = −2x 2 

(166) −3x 2 = −243 

(167) 3x 2 + 6x = 0 

(168) 0 = −4x 2 − 88x 

(169) −11x 2 = 121x 

(170) −4x = 36x 2 

(171) (x − 1)(x + 2) = 0 

(172) x−1 

x+4 = x+2 

x+1 

(173) 2x 2 − 8 = 0 

(174) x 2 − 2x = 0 

(175) 2x 2 + 3 + 5x = x 2 + 3 

(176) x 2 + 2x − 3 = 0 

(177) −5x 2 − 5x + 150 = 0 

(178) −2x 2 − 2x + 12 = 0 

(179) x(x − 3) = 10 

(180) La suma dels quadrats de dos nombres consecutius i positius és 313. Quins nombres són? 

(181) El quadrat de la diferència del triple d’un nombre enter i 2 és 16. Quin nombre és? 

(182) Dos costats paral·lels d’un quadrat s’han prolongat 3cm, i s’obté un rectangle de 40cm 2 d’àrea. 

Planteja l’equació que proporcioni el costat del quadrat inicial, i troba’n la solució per tempteig. 

(183) La suma dels quadrats de dos nombres parells positius i consecutius és 452. Quins nombres són?

6.5. REPÀS GENERAL D’EQUACIONS DE 2N GRAU 43 

(184) La suma dels quadrats de tres nombres consecutius és igual al nombre de dies d’una any que no és 

de traspàs. 

(a) De quins nombres es tracta? 

(b) Comprova que la suma dels quadrats dels dos nombres següents als anteriors també coincideix 

amb aquesta suma. 

(185) Calcula el valor de k perquè les dues solucions de l’equació 9x 2 − 6kx + 4k = 0 siguin iguals. 

(186) La Rita té un dipòsit d’aigua de forma cúbica que voldria engrandir. La Berta ha observat que si 

cada aresta s’incrementés en 1m, el volum augmentaria en 37m 3 . Quant fa cada aresta? 

(187) Una peça rectangular és 4cm més llarga que ampla. Amb aquesta peça es construeix una caixa 

de 840cm 3 tallant un quadrat de 6cm de costat a cada cantó i doblegant-ne les vores. Calcula les 

dimensions de la caixa. 

(188) Calcula m perquè l’equació 2x 2 + 8x − m = 0 tingui una solució doble. Calcula la solució per a 

aquest valor de m. 

(189) Calcula c perquè l’equació x 2 − cx + 4 = 0 tingui una solució doble. Resol l’equació per a aquest 

valor de c. 

(190) Escriu una equació de 2 n grau amb coeficient de x 2 igual a 1, que tingui les solucions x = 5 i 

x = −3. 

(191) Escriu una equació de 2 n grau amb coeficient de x 2 igual a 2, que tingui les solucions x = −6 i 

x = 3. 

(192) Escriu una equació de 2 n grau amb coeficient de x 2 igual a −4, que tingui les solucions x = 2 i 

x = −7. 

(193) Calcula tots els nombres naturals el quadrat dels quals és igual al seu quàdruple augmentat en 117 

unitats. 

(194) Descompon 132 en dos sumands positius de manera que l’un sigui el quadrat de l’altre. 

(195) El producte de dos nombres naturals consecutius és 182. Quins són aquests nombres? 

(196) Troba dos nombres naturals consecutius tals que la suma dels seus quadrats sigui 61. 

(197) Escriu l’equació de 2 n grau sabent que les seves solucions venen indicades per la gràfica de la 

paràbola representada a continuació: 

160 

80 

0 

-80 

-10 -5 0 5 10


(198) Indica les solucions de les següents equacions només mirant les gràfiques de les paràboles. Explica 

com ho dedueixes i comprova-ho resolent les equacions de 2 n corresponents. 

12 

10 

y 3 = x 2 + x + 1 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

y 1 = x2 

4 − 2x + 3 y 2 = −x 2 + 4x + 5 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 

(199) Resol les següents equacions i indica el significat de les solucions que trobis dibuixant l’esboç de la 

gràfica de la paràbola corresponent (recorda que els punts de tall de la paràbola amb l’eix d’abscisses, 

si n’hi ha, han de quedar perfectament definits): 

(a) x 2 − x − 12 = 0 

(b) 2x 2 − 32 = 0 

(c) −2x 2 + 4x − 5 = 0 

(d) x 2 + 10x + 25 = 0 

6.6 Solucions de les equacions de 2 n grau 

(1) x = 12dm, x = 4dm 

(2) x = 11, x = 33 

(3) x = 2, x = −2 

(4) x = 14 

(5) x = 1, x = −1 

(6) x = 8, x = 9 

(7) x = 1, x = −1 

(8) x = 2, x = −2 

(9) x = 14, x = −14 

(10) x = 15, x = −15 

(11) x = 32, x = −32 

(12) x = 13, x = −13 

(13) x = 14, x = −14 

(14) x = 19, x = −19 

(15) x = 9, x = −9 

(16) x = 12, x = −12 

(17) x = 2, x = −2 

(18) No té solució 

(19) x = 20, x = −20 

(20) x = 3, x = −3 

(21) x = 9, x = −9 

(22) x = 6, x = −6 

(23) x = 1, x = −1 

(24) x = 31 2 , x = −31 

2 

(25) x = 7 3 , x = −7 

3 

(26) x = 7, x = −7 

(27) x = 28, x = −28 

(28) x = 1 5 , x = −1 

5 

(29) x = 8 3 , x = −8 

3 

(30) x = 19 5 , x = −19 

5 

(31) x = 6, x = −6 

(32) x = 2 3 , x = −2 3 

(33) x = 7, x = −7 

(34) x = 2, x = −2 

(35) x = 11, x = −11 

(36) No té solució 

(37) x = 64, x = −64 

(38) x = 6, x = −6 

(39) x = 15 7 , x = −15 7

6.6. SOLUCIONS DE LES EQUACIONS DE 2 N GRAU 45 

(40) x = 6 5 , x = −6 5 

(41) x = 0 

(42) x = 1 30 , x = − 1 

30 

(43) x = 2, x = 0 

(44) 7 i 0 o −7 i 0 

(45) x = 0, x = 3 

(46) x = 0, x = 4 

(47) x = 0, x = 9 

(48) x = 0, x = 12 

(49) x = 0, x = 96 

(50) x = 0, x = 11 

(51) x = 0, x = −7 

2 

(52) x = 0, x = 32 

(53) x = 0, x = 7 

(54) x = 0, x = 54 

(55) x = 0, x = −20 

(56) x = 0, x = −3 

2 

(57) x = 0, x = 11 

2 

(58) x = 0, x = 45 

2 

(59) x = 0, x = −6 

(60) x = 0, x = −31 

(61) x = 0, x = 27 

2 

(62) x = 0, x = −1 

6 

(63) x = 0, x = 430 

3 

(64) x = 0, x = −30 

(65) x = 0, x = 14 

5 

(66) x = 0, x = −4 

7 

(67) x = 0, x = −1 

4 

(68) x = 0, x = −1 

30 

(69) x = 0, x = 3 64 

(70) x = 0, x = 1 3 

(71) La Juliana 5 i en Llibert 9 

(72) Els costats fan 4cm i 7cm 

(73) 2cm 

(74) 2cm i 4cm 

(75) x = 2, x = 1 

(76) x = 5, x = −6 

(77) x = −4, x = 1 

(78) x = 3, x = 2 

(79) x = −3, x = −3 

(80) x = −2, x = −2 

(81) x = 3, x = −4 

(82) x = 2, x = 4 

(83) x = 1, x = −2 

(84) x = −1, x = 3 

(85) x = 4, x = −5 

(86) x = 3, x = −2 

(87) x = 2, x = −4 

(88) x = 4, x = 4 

(89) x = 2, x = −9 

(90) x = 3, x = 7 

(91) x = −5, x = 6 

(92) x = 2 3 , x = −1 

(93) x = −7 

5 , x = 5 3 

(94) x = −2, x = 13 5 

(95) x = 4 5 , x = −2 

5 

(96) x = −3 

2 , x = 7 2 

(97) x = −3 

7 , x = 5 

(98) x = 6 5 , x = 5 

(99) x = −3 

7 , x = −1 

(100) x = 4 5 , x = −1 

5 

(101) x = 2, x = 1 

(102) x = −5, x = 7 

(103) x = 7, x = 12 

(104) x = −7, x = 2 3 

(105) x = 5, x = −11 

(106) x = 3 5 , x = −4 

3 

(107) x = 7, x = 1 2 

(108) x = 2, x = 2 

(109) x = 5, x = 2 

(110) x = 3, x = 5 

(111) x = 2, x = −1 

(112) x = 3, x = −7 

(113) x = 10, x = −1 

(114) x = 2, x = −9 

(115) x = 7, x = 7 

(116) x = −3, x = −3 

(117) x = 5, x = −6 

(118) x = 7, x = 8 

(119) x = 6, x = −9 

(120) x = 7, x = −13 

(121) x = −1, x = 5 

(122) x = 3, x = −1 

(123) x = 6, x = −8 

(124) x = 9, x = 11 

(125) x = 2, x = 5 

(126) x = 1, x = −8 

(127) x = 3, x = −9 

(128) x = 3 5 , x = −2 

5 

(129) x = 3 2 , x = −1 

(130) x = 4 3 , x = 5 

(131) x = 3 5 , x = −5 

3 

(132) x = 15 

23 , x = −16 

30 

(133) x = −5, x = −1 

(134) x = 3, x = −4 

(135) x = −3, x = 5 

(136) x = − 1 2 , x = 1 

(137) x = −7, x = −3 

(138) x = −1 ± √ 13 

(139) x = 3, x = 5 

(140) x = 4, x = −6 

(141) x = −2, x = 1 

(142) x = 2, x = −5 

(143) x = ± √ 3 

(144) x = −4, x = 4 

(145) x = ± √ 2 

4 

(146) x = −2, x = 3 

(147) x = ±5 √ 

6 

(148) x = −4, x = 4 

(149) x = −1, x = 5


(150) No té solució real 

(151) x = −3 

(152) x = 1, x = 5 

(153) x = 0, x = 1 3 

(154) x = 0, x = − 3 5 

(155) x = −1, x = 0 

(156) x = −3, x = 1 

(157) x = −2, x = 6 

(158) x = 2 5 , x = 2 

(159) x = 1, x = 4 

(160) x = 7, x = 8 

(161) x = −4, x = 2 

(162) x = −4, x = −3 

(163) x = −5, x = 5 

(164) x = −100, x = 100 

(165) x = −1, x = 1 

(166) x = −9, x = 9 

(167) x = −2, x = 0 

(168) x = −22, x = 0 

(169) x = −11, x = 0 

(170) x = − 1 9 , x = 0 

(171) x = 1, x = −2 

(172) x = − 3 2 

(173) x = 2, x = −2 

(174) x = 0, x = 2 

(175) x = −5, x = 0 

(176) x = 1, x = −3 

(177) x = 5, x = −6 

(178) x = 2, x = −3 

(179) x = 5, x = −2 

(180) x = 12, x = 13 

(181) x = 2 

(182) x(x + 3) = 40, 5cm 

(183) 14 i 16 

(184) 10, 11 i 12 

(185) k = 0, k = 4 

(186) 3m 

(187) 22cm i 26cm 

(188) m = −8 

(189) c = 4,x = 2 i 

c = −4,x = −2 

(190) x 2 − 2x − 15 = 0 

(191) 2x 2 + 6x − 36 = 0 

(192) −4x 2 − 20x + 56 = 0 

(193) x = 13, x = −9 

(194) 11 i 121 

(195) 13 i 14 

(196) 5 i 6 

(197) x 2 + 5x − 50 

(198) y 1 −→ x = 2 i x = 4 

y 2 −→ x = -1 i x = 5 

y 3 −→ No té solució

Capítol 7 

Polinomis 

7.1 Monomis 

S’anomena monomi l’expressió algèbrica resultant de multiplicar diversos termes algèbrics, com per 

exemple: 

a · b = ab x · x · y = x 2 y p · q · q · q · r = pq 3 r 

Un monomi pot tenir també un nombre multiplicat, el coeficient. El coeficient s’acostuma a escriure al 

principi del monomi. 

2 · a · b = 2ab 15 · x · x · y = 15x 2 y 5p · q · q · q · r = 5pq 3 r 

S’anomena grau d’un monomi a la suma de potències de tots els termes algèbrics del monomi. Per 

exemple, el grau de 3x 2 y 3 és 5. 

7.1.1 Suma de Monomis 

Només es poden sumar o restar aquells monomis que tenen els mateixos termes algèbrics (les mateixes 

lletres). En aquest cas es conserven els termes algèbrics i es sumen o resten els nombres dels monomis. 

Per exemple: 

3x 2 − 2x + 4x 2 + 3x = 7x 2 + x 3pqr − 2pqr + 5pqr = 6pqr 

5x 4 + 12x 4 = 17x 4 (2x 3 − 7x + 9) − (4x 3 + 2x 2 + 5x − 1) = −2x 3 − 2x 2 − 12x + 10 

Simplifica, calcula tant com puguis les següents sumes de monomis i digues el grau de cada monomi: 

(1) 4x 2 + 3yx − 5xy − 6x 2 

(2) 5x + 2y − 2x 

(3) 3x 2 − 12x 2 − 4x 2 + 8x 2 

(4) 7y + 2y 

(5) 2x − 7x 

(6) 9a − 12a 

(7) 2r + 7r + 3r 

(8) 9x − 3x + y 

(9) 4x 3 yz − 3xy 2 − 4xy 2 

(10) 7x 3 yz − 7x 3 yz + xyz 

(11) 2x 2 y − 7x 2 y 

(12) 4xyz + 8xyz − 5xyz 

(13) 9a 3 b − 3a 3 b 

(14) 2a − b + 2c + 7d − 6a − 3b + 5c − 3b + 5a + 2b 

(15) 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 2 + 3x 4 

(16) 3x 2 − 5x 2 + 2x 2 

(17) 4a 3 b − 3a 3 b + 5a 3 b 

(18) 7ab 2 + 4ab 2 

(19) 3x 2 + 3x 2 + 3x 2 

(20) x 2 − 4x 3 + 2x − 3x 3 + 5x 2 + 8x 

(21) x 4 − 3x 2 + 3x 4 + 3x 2 − 8x 4 

(22) x 3 − 4x 3 − 2x + 4x + 3x − x 3 

(23) x 2 + 8 − 3x 2 − 7 − 5 − 9 + 5x 2 

(24) x 5 − 2x 2 + 4x 5 + x 2 − 3x 5 + x 2 

(25) 3a + 4b − 5a + 3a − 9b − 3b 

(26) 4a + 3b + 3b + 4b + 5a + 2a 

(27) −5a − 3b + 2a − 7b + 2a − 3a + 6b 

(28) x 3 − 5x 3 − 2x 3 + x − 3x − 5x 3 

47

48 

CAPÍTOL 7. POLINOMIS 

7.1.2 Multiplicació de Monomis 

Per multiplicar monomis, només cal descomposar els monomis en els seus termes algèbrics, i fer el monomi 

resultant de multiplicar tots els termes. El coeficient de nou monomi és la multiplicació dels coeficients: 

xy 2 · 2x · 3y 3 = 2 · 3 · x · x · y · y · y · y · y = 6x 2 y 5 3x 4 · 5x 7 = 3 · 5 · x 4+7 = 15x 11 

Simplificant, es multipliquen els termes que tenen la mateixa base, seguint les regles de multiplicació 

de potències. 

Calcula els següents productes de monomis i digues el grau del monomi resultant: 

(29) 6x · 2x 

(37) a 3 b 2 c · ab 2 c 

(30) 3a 2 · 6a 

(38) 3x 2 · 6x 3 

(31) 4x · 6x 

(39) 2x · 3y · 8x · 5y 

(32) 3x 2 · 2x 3 

(40) 3x · 2y · 4x 

(33) 5a 2 · 6a 3 

(41) 5x 2 · 3y 3 · 2x 3 · y 

(34) 3abba 

(42) (3x) 2 · 9x 

(35) x 2 · x 3 · x · x 2 

(43) x 4 · 4x 3 

(36) 3xy · 2xy 2 (44) 5x 2 · 7x 5 · x 

(45) x · (x 2 ) 3 

(46) 3x · 7x 6 

(47) x 7 · 3x 9 

(48) 4x 3 · 3x 2 · 12x 4 

( (2x 

4 

(49) 

) ) 2 

3 

(50) (2x 4 ) 3 · (3x) 3 

(51) x 3 · (x 2 ) 4 · x 2 

(52) 8x 3 y 2 · 7x 4 y 2 

7.2 Polinomis 

Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis, anomenats termes 

del polinomi. El cas concret d’un polinomi amb dos termes s’anomena binomi. Són polinomis: 

3x 5 + 4x 2 − 6x + 7 x 2 + 4x + 4 3x 3 − 2x 2 + 9x − 15 

S’anomena grau d’un polinomi a la potència més gran de tots els monomis que formen el polinomi. Per 

exemple, el polinomi 6x 4 − 3x 2 + 7x − 5 té grau 4. 

7.2.1 Suma de Polinomis 

Siguin els polinomis 

P(x) = x 2 + 2x + 3 R(x) = 2x 2 − 3x + 1 Q(x) = 3x 3 − x 2 − 5 

G(x) = x 5 − 4x 3 + 2x 2 + 1 H(x) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 2 S(x) = x 4 − 3x 2 + 5x − 3 

T(x) = 2x 3 − x 2 + 7 U(x) = 5x 5 + 3x 3 − 2x V (x) = 3x 4 − 2x 2 − 6 

calcula les següents operacions: 

(53) P(x) + R(x) 

(54) P(x) + Q(x) 

(55) R(x) + Q(x) 

(56) P(x) + Q(x) + R(x) 

(57) P(x) − R(x) 

(58) P(x) − Q(x) 

(59) R(x) − Q(x) 

(60) 2G(x) − 3H(x) 

(61) 3G(x) + H(x) 

(62) S(x) + T(x) 

(63) S(x) + U(x) 

(64) S(x) + V (x) 

(65) S(x) − T(x) 

(66) U(x) − T(x) 

(67) V (x) − S(x) 

(68) 2S(x) − 3T(x) 

(69) S(x) + T(x) + U(x) 

(70) T(x) + U(x) + V (x) 

(71) 2S(x) + 5U(x) 

(72) 3S(x) − V (x) − 7T(x) 

(73) 6T(x) − 4U(x) − 2S(x) 

(74) 7V (x) − 6T(x) − 21S(x)

7.2. POLINOMIS 49 

7.2.2 Productes Notables 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 

Comprovem les igualtats amb les demostracions: 

(a+b) 2 = (a+b)·(a+b) = a 2 +ab+ba+b 2 = a 2 +2ab+b 2 (a−b) 2 = a 2 −ab−ba+b 2 = a 2 −2ab+b 2 

(a + b) · (a − b) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2 

I veiem uns exemples de com es desenvolupa amb polinomis: 

(x 3 + 4) 2 = (x 3 ) 2 + 2 · x 3 · 4 + 4 2 = x 6 + 8x 3 + 16 (x 3 − 4) 2 = (x 3 ) 2 − 2 · x 3 · 4 + 4 2 = x 6 − 8x 3 + 16 

(x 3 + 4)(x 3 − 4) = (x 3 ) 2 − 4 2 = x 6 − 16 

Calcula les següents multiplicacions utilitzant, quan es pugui, les fórmules del requadre anterior. 

(75) (x + 2) 2 

(76) (x − 3) 2 

(77) (x + 1)(x − 1)) 

(78) (x + 2)(x − 2) 

(79) (x + 3)(3 − x) 

(80) (2x + 5)(2x − 5) 

(81) (x + 7) 2 

(82) (2x + 1)(2x + 1) 

(83) (x − 5) 2 

(84) (4x + 2) 2 

(85) (x − 6) 2 

(86) (2x + 3) 2 

(87) (x − 3)(x + 1) 

(88) (3x − 1) 2 

(89) (x + 9)(x − 9) 

(90) (x + 10) 2 

7.2.3 Multiplicació de polinomis 

Per exemple: 

(2x 3 − 3) · (x 4 + 6x) = 2x 7 + 12x 4 − 3x 4 − 18x = 2x 7 + 9x 4 − 18x 

Calcula les següents multiplicacions 

(91) (x 2 − 2x + 1) · (x − 3) 

(92) (2x 2 − 3x + 4) · (2x − 3) 

(93) (x 3 − 2x 2 + 4) · (−x 2 + 5) 

(94) (6x 6 − x 3 + 4) · (−2x 3 + 7) 

(95) (−2x 3 + 4x + 2) · (x 2 − 3x + 1) 

(96) (3x 4 − 2x 2 + 3) · (2x 2 + 5x − 7) 

(97) (7x 3 + 3x − 2) · (2x 2 − 3x + 6) 

(98) (6x 3 + 2x 2 − 2) · (x − 4) 

(99) (7x 4 − 3x 2 + 4) · (2x + 1) 

(100) (6x 3 + 2x 2 + 4x) · (x − 3) 

(101) (x − 2) 2 · (x + 1) 

(102) (x − 2) · (x + 3) · (x + 5) 

(103) (3x 5 − 2x 2 + 4x + 3) · (x + 2) 

(104) (3x 5 − 2x 4 + 3x + 7) · (x − 4) 

(105) (6x 4 − 3x + 7) · (x − 5) 

(106) (2x 5 − 8x + 3) · (x − 7) 

(107) (x − 4) · (x + 4) · (x + 2) · (x − 2) 

(108) (x 7 − 3x 5 + x 3 − 8) · (x + 3) 

(109) (x 5 − 3x 2 + 4) · (x 3 − 5x 2 − 3) 

(110) (x 4 − 2x 2 + 3x − 2) · (x 4 − x 2 + 3) 

(111) (x 2 − 2x + 4) · (x 2 + 2x + 4) 

(112) (x 120 − 4x 6 + x 2 ) · (x 2 − 2x + 4) 

7.2.4 Divisió de polinomis 

Veiem un exemple de divisió de monomi: 

12x 9 : 3x 7 = 12 3 x9−7 = 4x 2

50 


I si ara fem la divisió d’un polinomi per un altre polinomi, (2x 3 − 5x + 3) : (x 2 − 2x) 

2x 3 

Calcula les següents divisions 

−5x + 3 x 2 − 2x 

−2x 3 + 4x 2 −2x + 4 

0 +4x 2 − 5x 

−4x 2 + 8x 

0 + 3x + 3 

✏ ✏ 

(113) (4x 3 − 12x 2 + 17x − 12) : (2x 2 − 3x + 4) 

(114) (x 3 − 5x 2 + 7x − 3) : (x 2 − 2x + 1) 

(115) (−x 5 + 2x 4 + 5x 3 − 14x 2 + 20) : (x 3 − 2x 2 + 4) 

(116) (−12x 9 + 44x 6 − 15x 3 + 28) : (6x 6 − x 3 + 4) 

(117) (−2x 5 + 6x 4 + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 2) : (x 2 − 3x + 1) 

(118) (6x 6 + 15x 5 − 25x 4 − 10x 3 + 20x 2 + 15x − 21) : (3x 4 − 2x 2 + 3) 

(119) (14x 5 − 21x 4 + 48x 3 − 13x 2 + 24x − 12) : (7x 3 + 3x − 2) 

(120) (6x 4 − 22x 3 − 8x 2 − 2x + 8) : (6x 3 + 2x 2 − 2) 

(121) (14x 5 + 7x 4 − 6x 3 − 3x 2 + 8x + 4) : (2x + 1) 

(122) (6x 4 − 16x 3 − 2x 2 − 12x) : (6x 3 + 2x 2 + 4x) 

(123) (x 3 − 3x 2 + 4) : (x 2 − 4x + 4) 

(124) (x 3 − 3x 2 + 4) : (x + 1) 

(125) (x 3 − 3x 2 + 4) : (x 2 − x − 2) 

(126) (x 3 + 6x 2 − x − 30) : (x 2 + x − 6) 

(127) (x 3 + 6x 2 − x − 30) : (x − 2) 

(128) (x 3 + 6x 2 − x − 30) : (x + 3) 

(129) (3x 6 + 6x 5 − 2x 3 + 11x + 6) : (3x 5 − 2x 2 + 4x + 3) 

(130) (3x 6 − 14x 5 + 8x 4 + 3x 2 − 5x − 28) : (3x 5 − 2x 4 + 3x + 7) 

(131) (6x 5 − 30x 4 − 3x 2 + 22x − 35) : (6x 4 − 3x + 7) 

(132) (2x 6 − 14x 5 − 8x 2 + 59x − 21) : (x − 7) 

(133) (−2x 5 + 6x 4 + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 2) : (−2x 3 + 4x + 2) 

(134) (x 5 − 2x 4 − 5x 3 + 14x 2 − 20) : (x 2 − 5) 

(135) (12x 6 + 30x 5 − 50x 4 − 20x 3 + 40x 2 + 30x − 42) : (2x 2 + 5x − 7) 

(136) (x 4 − 20x 2 + 64) : (x 2 − 16) 

(137) (x 8 + 3x 7 − 3x 6 − 9x 5 + x 4 + 3x 3 − 8x − 24) : (x + 3) 

(138) (3x 6 + 6x 5 − 2x 3 + 11x + 6) : (x + 2)

7.2. POLINOMIS 51 

7.2.5 Mètode de Ruffini 

El mètode de Ruffini ens permet fer divisions de polinomis d’una manera molt senzilla i ràpida. Només 

treballem amb els coeficients dels polinomis, per això és molt important la posició on col·loquem els 

coeficients. Tot i això, el mètode de Ruffini només ens permet dividir polinomis per monomis de grau 1 

del tipus x − a on a és un número qualsevol. 

Vegem un exemple de divisió per Ruffini. Volem dividir (2x 3 − 5x + 3) : (x − 1), per això col·loquem els 

coeficients segons on toca i baixem el primer coeficient fins a baix (un 2 en aquest cas): 

x 3 x 2 x 1 

❄ ❄ ❄ ❄ 

2 0 −5 3 

2 0 −5 3 

2 0 −5 3 

+ 

+ 

x − 1 ✲ 1 ❄ 

1 

2 

× ❇ ❇◆ 2 ✒ 2 

1 ❍ × 2 ❍❍❥ 

2 ❄ 

2 ✒ 2 −3 

2 −3 ❄ 0 

Després multipliquem l’1 pel primer coeficient i el posem a sota del terme següent. Sumem en vertical 

i posem el resultat a sota. I tornem a repetir el procés. 

En aquest cas, per tant, la divisió de (2x 3 − 5x + 3) : (x − 1) és el polinomi que surt de prendre com a 

coeficients dels monomis els termes que sorgeixen abans del 0. En aquest cas els coeficients 2 2 − 3 

es converteix en el polinomi 2x 2 + 2x − 3. 

(2x 3 − 5x + 3) : (x − 1) = 2x 2 + 2x − 3 

Calcula les següents divisions utilitzant el mètode Ruffini: 

(139) (x 3 − 5x 2 + 10x − 12) : (x − 3) 

(140) (3x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 2x + 7) : (x + 1) 

(141) (x 2 − 9) : (x + 3) 

(142) (x 2 − 9) : (x − 3) 

(143) (x 5 + 2x 4 − 2x 3 − 4x 2 + 5x + 10) : (x + 2) 

(144) (2x 3 − 5x 2 − 21x + 36) : (x − 4) 

(145) (−2x 6 + 2x 5 + 5x 3 − 8x 2 + 3x) : (x − 1) 

(146) (x 6 +6x 5 +15x 4 +20x 3 +15x 2 +6x+1) : (x+1) 

(147) (5x 4 + 15x 3 − 2x 2 − 3x + 9) : (x + 3) 

(148) (x 4 − 11x 2 + 18) : (x − 3) 

(149) (x 4 − 20x 2 + 64) : (x − 4) 

(150) (2x 5 − 12x 4 + 10x 3 + 2x 2 − 10x) : (x − 5) 

(151) (5x 6 + 10x 5 − 3x 4 − 6x 3 + 2x 2 + 4x) : (x + 2) 

(152) (x 3 − x 2 − 8x + 12)i : (x + 3) 

(153) (x 2 + 7x + 10) : (x + 5) 

(154) (x 3 + x 2 − 5x − 5) : (x + 1) 

(155) (2x 2 + x − 15) : (x + 3) 

(156) (3x 3 − 13x 2 − 34x + 24) : (x − 6) 

Descomposa els següents polinomis en factors simples: 

(157) x 3 − 4x 2 − 11x + 30 

(158) x 3 − 3x 2 + 4 

(159) x 3 − 4x 2 − x + 4 

(160) x 3 + 5x 2 − 2x − 24 

(161) x 4 + 5x 3 − 25x 2 − 125x 

(162) x 4 + 4x 3 − 21x 2 

(163) x 3 + 6x 2 − x − 30 

(164) x 4 − 10x 2 + 9 

(165) x 5 + 4x 4 − 15x 3 − 18x 2 

(166) x 4 − 7x 3 − 19x 2 + 103x + 210 

(167) x 3 − 4x 2 − 7x + 10 

(168) 3x 3 − 39x − 36 

(169) 2x 4 − 10x 3 − 2x 2 + 10x 

(170) 5x 7 + 25x 5 

(171) 4x 5 − 4x 4 − 36x 3 + 36x 2 

(172) 3x 3 − 21x 2 + 48x − 36 

(173) 6x 4 + 30x 3 + 18x 2 − 54x 

(174) 4x 6 − 16x 5 + 24x 4 − 16x 3 + 4x 2 

(175) 2x 4 + 14x 3 + 36x 2 + 40x + 16 

(176) x 5 − 9x 4 + 23x 3 + 9x 2 − 108x + 108

52 

(177) x 3 − 5x 2 − 22x − 56 

(178) 7x 3 − 14x 2 − 35x + 42 

(179) 5x 4 − 10x 3 − 130x 2 + 300x + 1125 


(180) x 6 + 9x 5 + 33x 4 + 63x 3 + 66x 2 + 36x + 8 

(181) 3x 6 − 18x 5 + 45x 4 − 60x 3 + 45x 2 − 18x + 3 

7.3 Solucions 

(1) −2x 2 − 2xy 

(32) 6x 5 

(2) 3x + 2y 

(33) 30a 5 

(3) −5x 2 

(34) 3a 2 b 2 

(4) 9y 

(35) x 8 

(5) −5x 

(36) 6x 2 y 3 

(6) −3a 

(37) a 4 b 4 c 2 

(7) 12r 

(38) 18x 5 

(8) 6x + y 

(39) 240x 2 y 2 

(9) 4x 3 yz − 7xy 2 

(40) 24x 2 y 

(10) xyz 

(41) 30x 5 y 4 

(11) −5x 2 y 

(42) 81x 3 

(12) 7xyz 

(43) 4x 7 

(13) 6a 3 b 

(44) 35x 8 

(14) a − 5b + 7c + 7d (45) x 7 

(15) 5x 4 − 6x 3 + 6x 2 (46) 21x 7 

(16) 0 

(47) 3x 16 

(17) 6a 3 b 

(48) 144x 9 

(18) 11ab 2 

(49) 64x 24 

(19) 9x 2 

(50) 216x 15 

(20) −7x 3 + 6x 2 + 10x (51) x 13 

(21) −4x 4 

(52) 56x 7 y 4 

(22) −4x 3 + 5x 

(53) 3x 2 − x + 4 

(23) 3x 2 − 13 

(54) 3x 3 + 2x − 2 

(24) 2x 5 

(55) 3x 3 + x 2 − 3x − 4 

(25) a − 8b 

(56) 3x 3 + 2x 2 − x − 1 

(26) 11a + 10b 

(57) −x 2 + 5x + 2 

(27) −4a − 4b 

(58) −3x 3 + 2x 2 + 2x + 8 

(28) −11x 3 − 2x 

(59) −3x 3 + 3x 2 − 3x + 6 

(29) 12x 2 

(60) 2x 5 − 3x 4 − 17x 3 + 7x 2 + 8 

(30) 18a 3 

(61) 3x 5 + x 4 − 9x 3 + 5x 2 + 1 

(31) 24x 2 (62) x 4 + 2x 3 − 4x 2 + 5x + 4 

(63) 5x 5 +x 4 +3x 3 −3x 2 +3x−3 

(64) 4x 4 − 5x 2 + 5x − 9 

(65) x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 5x − 10 

(66) 5x 5 + x 3 + x 2 − 2x − 7 

(67) 2x 4 + x 2 − 5x − 3 

(68) 2x 4 − 6x 3 − 3x 2 + 10x − 27 

(69) 5x 5 +x 4 +5x 3 −4x 2 +3x+4 

(70) 5x 5 +3x 4 +5x 3 −3x 2 −2x+1 

(71) 25x 5 +2x 4 +15x 3 −6x 2 −6 

(72) −14x 3 + 15x − 52 

(73) −20x 5 − 2x 4 − 2x + 48 

(74) −12x 3 + 55x 2 − 105x − 21 

(75) x 2 + 4x + 4 

(76) x 2 − 6x + 9 

(77) x 2 − 1 

(78) x 2 − 4 

(79) 9 − x 2 

(80) 4x 2 − 25 

(81) x 2 + 14x + 49 

(82) 4x 2 + 4x + 1 

(83) x 2 − 10x + 25 

(84) 16x 2 + 16x + 4 

(85) x 2 − 12x + 36 

(86) 4x 2 + 12x + 9 

(87) x 2 − 2x − 3 

(88) 9x 2 − 6x + 9 

(89) x 2 − 81 

(90) x 2 + 20x + 100 

(91) x 3 − 5x 2 + 7x − 3 

(92) 4x 3 − 12x 2 + 17x − 12 

(93) −x 5 +2x 4 +5x 3 −14x 2 +20 

(94) −12x 9 + 44x 6 − 15x 3 + 28 

(95) −2x 5 + 6x 4 + 2x 3 − 10x 2 − 

2x + 2


(96) 6x 6 +15x 5 −25x 4 −10x 3 + 

20x 2 + 15x − 21 

(97) 14x 5 −21x 4 +48x 3 −13x 2 + 

24x − 12 

(98) 6x 4 − 22x 3 − 8x 2 − 2x + 8 

(99) 14x 5 + 7x 4 − 6x 3 − 3x 2 + 

8x + 4 

(100) 6x 4 − 16x 3 − 2x 2 − 12x 

(101) x 3 − 3x 2 + 4 

(102) x 3 + 6x 2 − x − 30 

(103) 3x 6 + 6x 5 − 2x 3 + 11x + 6 

(104) 3x 6 − 14x 5 + 8x 4 + 3x 2 − 

5x − 28 

(105) 6x 5 −30x 4 −3x 2 +22x−35 

(106) 2x 6 −14x 5 −8x 2 +59x−21 

(107) x 4 − 20x 2 + 64 

(108) x 8 +3x 7 −3x 6 −9x 5 +x 4 + 

3x 3 − 8x − 24 

(109) x 8 −5x 7 −6x 5 +15x 4 +4x 3 − 

11x 2 − 12 

(110) x 8 −3x 6 +3x 5 +3x 4 −3x 3 − 

4x 2 + 9x − 6 

(111) x 4 + 4x 2 + 16 

(112) x 122 −2x 121 +4x 120 −4x 8 + 

8x 7 −16x 6 +x 4 −2x 3 +4x 2 

(113) 2x − 3 

(114) x − 3 

(115) −x 2 + 5 

(116) −2x 3 + 7 

(117) −2x 3 + 4x + 2 

(118) 2x 2 + 5x − 7 

(119) 2x 2 − 3x + 6 

(120) x − 4 

(121) 7x 4 − 3x 2 + 4 

(122) x − 3 

(123) x + 1 

(124) x 2 − 4x + 4 

(125) x − 2 

(126) x + 5 

(127) x 2 + 8x + 15 

(128) x 2 + 3x − 10 

(129) x + 2 

(130) x − 4 

(131) x − 5 

(132) 2x 5 − 8x + 3 

(133) x 2 − 3x + 1 

(134) x 3 − 2x 2 + 4 

(135) 6x 4 − 4x 2 + 6 

(136) x 2 − 4 

(137) x 7 − 3x 5 + x 3 − 8 

(138) 3x 5 − 2x 2 + 4x + 3 

(139) x 2 − 2x + 4 

(140) 3x 3 − 5x + 7 

(141) x − 3 

(142) x + 3 

(143) x 4 − 2x 2 + 5 

(144) 2x 2 + 3x − 9 

(145) −2x 5 + 5x 2 − 3x 

(146) x 5 + 5x 4 + 10x 3 + 10x 2 + 

5x + 1 

(147) 5x 3 − 2x + 3 

(148) x 3 + 3x 2 − 2x − 6 

(149) x 3 + 4x 2 − 4x − 16 

(150) 2x 4 − 2x 3 + 2x 

(151) 5x 5 − 3x 3 + 2x 

(152) x 2 − 4x + 4 

(153) x + 2 

(154) x 2 − 5 

(155) 2x − 5 

(156) 3x 2 + 5x − 4 

(157) (x − 2)(x + 3)(x − 5) 

(158) (x − 2) 2 (x + 1) 

(159) (x − 1)(x + 1)(x − 4) 

(160) (x − 2)(x + 3)(x + 4) 

(161) (x − 5)(x + 5) 2 x 

(162) (x − 3)(x + 7)x 2 

(163) (x − 2)(x + 3)(x + 5) 

(164) (x −1)(x+1)(x −3)(x+3) 

(165) (x + 1)x 2 (x − 3)(x + 6) 

(166) (x −7)(x+2)(x −5)(x+3) 

(167) (x − 1)(x + 2)(x − 5) 

(168) 3(x − 4)(x + 3)(x + 1) 

(169) 2(x − 5)(x + 1)(x − 1)x 

(170) 5x 3 (x+1)(x−1)(x+2)(x− 

2) 

(171) 4(x − 1)(x + 3)(x − 3)x 2 

(172) 3(x − 2) 2 (x − 3) 

(173) 6(x + 3) 2 (x − 1)x 

(174) 4(x − 1) 4 x 2 

(175) 2(x + 2) 3 (x + 1) 

(176) (x − 3) 3 (x 2 − 4) 

(177) (x − 2)(x + 4)x − 7) 

(178) 7(x − 1)(x + 2)(x − 3) 

(179) 5(x + 3) 2 (x − 5) 2 

(180) (x − 2) 3 (x + 1) 3 

(181) 3(x − 1) 6

54 

CAPÍTOL 7. POLINOMIS

Capítol 8 

Geometria 

8.1 Acotació 

Acotar és definir les dimensions d’una figura. Per aconseguir-ho, podem fer servir diferents tipus de cotes 

i mètodes, però el que cal recordar, és que s’ha de poder conèixer totes les dimensions de la figura. 

8.1.1 Exercicis 

(1) Acota les figures que es mostren a la Figura 8.1. Tingues present utilitzar la cota i la unitat més 

apropiada, el mil·límetre. 

Figura 8.1: Acotació lineal i radial 

(2) Acota les figures que es mostren a la Figura 8.2. Veuràs que es repeteixen dues vegades, ja que el 

que es vol és que les acotis de dos formes diferents, si es pot. 

55

56 

CAPÍTOL 8. GEOMETRIA 

Figura 8.2: Acotació de poligons regulars 

8.2 Vistes: alçat, planta i perfil 

Quan parlem de les vistes d’un cos, estem parlant de visualitzar aquest cos desde diferents punts de 

referència. Una possibilitat de veure un cos desde diferents punts de referència, seria visualitzar-lo desde 

el davant, desde el costat i desde adalt (vista d’ocell). Això mateix dit en paraules tècniques, és el que 

es coneix com a alçat, perfil i planta d’un cos. 

Cal recordar que quan dibuixem les diferents vistes d’un cos, el que fem girar és el propi cos, no som pas 

nosaltres els que ens movem per veure’l desde diferents perspectives. 

La posició que ocupa cada una de les vistes o representacions en el paper, acostuma a ser la del alçat al 

centre, el perfil just a l’esquerra o la dreta de l’alçat (en funció de si representem el perfil dret o l’esquerra 

del cos) i la planta per sota de l’alçat. 


(3) Completa les vistes dels cossos que es mostren a la Figura 8.3. A la primera hi hauràs de completar 

la planta i a la segona el perfil. Veuràs que hi ha dibuixades les línies de referència de les arestes 

que es veuen en les diferents vistes, aprofita-les per dibuixar les arestes en aquelles vistes que siguin 

visibles. 

Figura 8.3: Alçat, planta i perfil

8.3. REPRESENTACIÓ EN ESCALA 57 

8.3 Representació en escala 

La representació en escala, és molt útil quan s’ha de dibuixar elements molt grans o molt petits, dels 

quals volem conservar amb fidelitat la proporció de totes les seves mides. Ens serà d’utilitat per tant, 

quan volguem dibuixar la planta d’un pis o la secció d’una cèl·lula. 

Una escala expressada com 1:2, ens està dient que cada unitat de dibuix que hi ha al paper, són dos 

unitats a la realitat. Dit d’una altra manera, ens diu que el que hi ha dibuixat és la meitat de gran del 

que és en la realitat. Mentre que una escala 10:1, ens diu que el que hi ha dibuixat, és 10 vegades més 

gran del que és a la realitat, o altrament dit a escala real. 


(4) Contesta a les següents preguntes: 

(a) A quina escala hem de dibuixar si volem reduir 5 vegades el tamany real del que dibuixem? 

(b) A quina escala hem de dibuixar si volem reduir a la cinquantena part el que dibuixem? 

(c) I si ho volem fer 25 vegades més gran? 

(d) A quina escala dibuixaries la planta de l’aula, si sabem que aproximadament fa 8m de llarg 

per 5m d’ample, si la vols dibuixar-la sobre un DIN-A4 que fa 297mm de llarg per 210mm 

d’ample? 

(e) A quina escala dibuixaries una bicicleta dins un DIN-A4? 

(f) A quina escala dibuixaries un autobús dins un DIN-A4? 

(g) I una cèl·lula que fa uns 10µm de diàmetre? 

(5) A la Figura 8.4 has vist dibuixada les plantes d’un pis a diferents escales. Creus que són correctes 

aquestes escales? 

Figura 8.4: Representació en diferents escales de la planta d’un pis

58 


(6) El que es vol, és que dibuixis a l’escala indicada el detall del lavabo representat a la Figura 8.5. 

Figura 8.5: Detall per a representar en diferents escales un espai del pis 

8.4 Mesures d’angles i temps 

En aquesta secció veurem la relació que existeix entre les mesures d’angles i de temps. Tant la magnitud 

angular com la temporal, es relacionen per un mateixa escala, que es diu Hexadecimal. A continuació a 

través dels exercicis es veurà com les unitats de les dues magnituds estan relacionades per factors de 60. 


(7) Contesta a les següents preguntes sobre mesures de magnitud temporal: 

(a) Quants minuts representen 3h? 

(b) Quants segons representen 1h 23’? 

(c) Quants minuts i segons representen 7,31h? 

(d) Explica com has calculat el nombre de segons de l’apartat anterior. 

(e) Calcula i explica com calcularies el nombre d’hores, minuts i segons que hi ha en 3,745 dies. 

(f) Quants minuts, representen 360”? 

(g) Quantes hores i minuts, representen 195’? 

(h) Quants minuts i segons representen 2563”? 

(i) Explica com has calculat la quantitat de segons de l’apartat anterior. 

(j) Calcula i explica com calcularies el nombre dies, hores, minuts i segons que hi ha en 910357”. 

(8) Contesta a les següents preguntes sobre mesures de magnitud angular: 

(a) Quants minuts representen 15 o ? 

(b) Quants segons representen 1 o 23’? 

(c) Quants minuts i segons representen 7,30 o ? 

(d) Explica com has calculat el nombre de segons de l’apartat anterior. 

(e) Calcula i explica com calcularies el nombre d’hores, minuts i segons que hi ha en 3,745 voltes. 

Tingues en compte que una volta equival a 360 o . 

(f) Quants minuts, representen 720”?

8.5. POLIGONS I DIAGONALS 59 

(g) Quantes graus i minuts, representen 295’? 

(h) Quants minuts i segons representen 2463”? 

(i) Explica com has calculat la quantitat de segons de l’apartat anterior. 

(j) Calcula i explica com calcularies el nombre de voltes, graus, minuts i segons que hi ha en 

5710357”. 

(9) Realitza les següents operacions aritmètiques: 

(a) 3’ 36” + 14’ 52” 

(b) 35’ 6” + 47’ 57” 

(c) 23’ 26” + 144’ 52” 

(d) 122’ 31” + 14’ 12” 

(e) 31’ 16” - 17’ 22” 

(f) 133’ 39” - 14’ 52” 

(g) 321’ 36” - 144’ 12” 

(h) 553’ 36” - 177’ 36” 

(i) (3’ 36”)·4 

(j) (7’ 32”)·4 

(k) (113’ 12”)·3 

(l) (53’ 6”)·5 

(m) (3’ 36”)÷4 

(n) (30’ 30”)÷3 

(o) (73’ 16”)÷4 

(p) (33’ 42”)÷3 

8.5 Poligons i diagonals 

Definim polígon (del grec, ”molts angles”) com una figura geomètrica plana formada per un nombre 

finit de segments lineals seqüencials. Cada un d’aquests segments és un costat, i cada un dels punts on 

s’uneixen dos costats és un vèrtex. 

I definim diagonal com al segment que uneix dos vèrtex no consecutius. 


(10) Completa la informació que es demana en cada un dels polígons de la Figura 8.5.1, i al finalitzar 

intenta trobar una relació entre el nombre de costats de cada polígon i el nombre de diagonals. 

Figura 8.6: Quadrat i Pentagon

60 


8.6 Fòrmules pel càlcul d’àrees de figures planes 

A = a · a = a 2 A = a · b A = a · b 

A = a · b 

2 

A = a · b 

2 

A = π · r 2 A = 

a · (b + c) 

2 

8.7 Càlcul d’àrees de figures planes 

(11) Considera el següent quadrat (Q), rectangle (R) i triangle (T): 

Construeix amb regle a la llibreta les següents figures 

(a) Q amb a = 7cm 

(b) R amb a = 8cm i b = 1dm 

(c) T amb a = 37mm i b = 8.5cm 

(d) Q amb a = 13cm 

(e) R amb a = 8cm i b = 13mm 

(f) T amb a = 1.3dm i b = 80mm

8.7. 

CÀLCUL D’ÀREES DE FIGURES PLANES 61 

ESCALA 

A vegades ens cal representar plànols, terrenys, figures o peces que tenen mides molt grans i no 

ens hi caben en el full. Per això les representem més petites a escala. 

Els següents quadrats són el mateix però representats a escales diferents. El primer quadrat és 

l’original, per tant, direm que l’escala és 1:1. Les mides del segon són la meitat de l’original, per 

tant, direm que l’escala és 1:2. El tercer està a escala 1:3 i, finalment, l’últim està a escala 1:4. 

(12) Construeix amb regle a la llibreta les següents figures, aquest cop, utilitzant l’escala que et calgui 

perquè les figures són molt grans: 

(a) Q amb a = 4Km 

(b) R amb a = 5m i b = 2dam 

(c) T amb a = 32Hm i b = 9.5m 

(d) Q amb a = 11Hm 

(e) R amb a = 6m i b = 10dam 

(f) T amb a = 1.3m i b = 80dm 

(13) Utilitzant les figures del primer exercici calcula l’àrea del: 

(a) Q amb a = 3dm 

(b) R amb a = 5cm i b = 7dm 

(c) T amb a = 7Km i b = 8hm 

(d) Q amb a = 13m 

(e) R amb a = 8cm i b = 13mm 

(f) T amb a = 3Dm i b = 80m 

(14) Calcula l’àrea d’un rombe sabent que les seves diagonals mesuren 24cm i 32cm respectivament. 

(15) Calcula la superfície d’una moneda de 2cm de radi. 

(16) Les bases d’un trapezi mesuren 12cm i 8cm respectivament, i la seva altura és de 6cm. Calcula 

l’àrea del trapezi. 

(17) Calcula l’àrea d’una plaça rodona sabent que si vas d’una banda a l’altra passant pel centre has de 

caminar 42m.

62 


(18) El 3 de Juliol del 2003 a Gimnenells (Lleida) un grup de la Plataforma Transgènics Fora va cremar 

un camp que estava cultivat per blat de moro. El camp tenia forma rectangular i feia 680m de 

llargada per 400m d’amplada. Aquestes persones van cremar el camp perquè estava plantat amb 

llavors genèticament modificades. Quina superfície del camp va ser cremada? 

(19) Tenim una eina anomenada grimpadora que ens serveix per poder grimpar un cable de xarxa. Ens 

permet posar els connectors de xarxa d’ordinador a cada banda del cable. La base dels connectors 

tenen forma rectangular i tenen una mida molt petita, fan 0.5cm de llargada per 2mm d’amplada. 

Quina és la seva àrea? 

(20) Un camp de forma rectangular, on es cultiva espelta per fer pa i alimentar un ramat de vaques que 

produeix carn ecològica, fa de perímetre 780m. Si la diferència entre la llargada i l’amplada és de 

100m, calcula la superfície del camp. 

(21) Considera el següent pentàgon (P), el cercle (○) i la 3 a figura: 

Calcula l’àrea del: 

(a) P amb a = 2dm i b = 14cm 

(b) P amb a = 1.2cm i b = 8mm 

(c) ○ amb r = 8m 

(d) ○ amb r = 12cm 

(e) 3 a figura amb a = 17cm i b = 6cm 

(f) 3 a figura amb a = 19dm i b = 10cm 

(22) Considera l’estrella (⋆), el cap de gat G i la 3 a figura següents: 

Calcula l’àrea de la: 

(a) ⋆ amb a = 2dm i b = 1.5m 

(b) ⋆ amb a = 1.2dm i b = 0.35m 

(c) G amb a = 4hm, b = 25Dm, c = 3hm, d = 19Dm, e = 3Dm i f = 2Dm.

8.7. 

CÀLCUL D’ÀREES DE FIGURES PLANES 63 

(d) G amb a = 3cm, b = 20mm, c = 2cm, d = 15mm, e = 5mm i f = 3mm. 

(e) 3 a figura amb a = 12cm i b = 2dm 

(f) 3 a figura amb a = 48dm i b = 8m 

(23) Considera el pont ( ⋂ ), la peça de puzzle (Ç) i la fletxa (⇑) següents: 

Calcula l’àrea del: 

(a) ⋂ amb a = 2m i b = 16m 

(b) ⋂ amb a = 1.2dm i b = 0.36m 

(c) Ç amb a = 4hm i b = 16hm. 

(d) Ç amb a = 5cm i b = 2dm. 

(e) ⇑ amb a = 15cm, b = 6dm, c = 50cm i d = 8dm 

(f) ⇑ amb a = 20Dm, b = 1Km, c = 8hm i d = 12hm 

(24) Considera la següent figura la qual ens representa una fàbrica de tèxtil amb xemeneia perquè 

funciona amb vapor. 

Calcula l’àrea de la figura per valors: 

(a) a = 15m b = 4m c = 35m d = 6m e = 18m f = 46m 

(b) a = 1.2dm b = 2cm c = 0.3dm d = 30mm e = 20cm f = 2.5dm

64 


8.8 Fòrmules d’àrees i volums de figures de l’espai 

A = 6a 2 

V = a 3 

A = 2(ab + ac + bc) 

V = abc 

( 

Àrea 

A = 2 

Base 

V = 

( 

Àrea 

Base 

) 

+ c(a + b + d) 

) 

× c 

V = 

( 

Àrea 

Base 

3 

) 

× h 

V = abh 

3 

A = πrg + πr 2 

V = πr2 h 

3 

A = 2πr 2 + 2πrh 

V = πr 2 h 

A = 4πr 2 

V = 4 3 πr3

8.9. 

CÀLCUL D’ÀREES I VOLUMS DE FIGURES DE L’ESPAI 65 

8.9 Càlcul d’àrees i volums de figures de l’espai 

(25) Considera el següent cub (□), el prisma de base rectangular (ortoedre) (⊔) i el prisma de base 

triangular (△) següents: 

Calcula l’àrea i el volum del 

(a) □ amb a = 15m 

(b) □ amb a = 22mm 

(c) ⊔ amb a = 15m b = 4m c = 35dm 

(d) ⊔ amb a = 2Km b = 4hm c = 50Dm 

(e) △ amb a = 6Dm b = 1hm A = 90 o c = 2hm 

(f) △ amb a = 12dm b = 20dm A = 90 o c = 3.5m 

(26) Considera la piramide de base triangular (tetraedre) (△), la piramide de base rectangular (□) i el 

con (○) següents: 

Calcula 

(a) el volum de la △ amb a = 15cm b = 20cm A = 90 o h = 2.5dm 

(b) el volum de la △ amb a = 45mm b = 6cm A = 90 o h = 8cm 

(c) el volum de la □ amb a = 15m b = 8m h = 2Dm 

(d) el volum de la □ amb a = 2Km b = 3hm h = 50Dm 

(e) l’àrea i el volum del ○ amb r = 6Dm h = 8Dm 

(f) l’àrea i el volum del ○ amb r = 12dm h = 16dm

66 


(27) Considera el cilindre () i l’esfera (○) següents: 

Calcula l’àrea i el volum de 

(a) amb h = 2dm i r = 12cm 

(b) amb h = 3hm i r = 4Dm 

(c) ○ amb r = 3m 

(d) ○ amb r = 12cm 

(28) Considera el dipòsit (○) i la 2 a figura (△) següents: 

Calcula l’àrea i el volum de 

(a) ○ amb a = 2dm i b = 12cm 

(b) ○ amb a = 3hm i b = 18Dm 

(c) △ amb r = 4m i h = 3m 

(d) △ amb r = 12cm i h = 15cm 

(29) Sabent que l’Aresta d’un cub és de 5cm, calcula l’àrea, el volum i la diagonal. 

(30) L’aresta d’un cub fa 9cm. 

(a) quina és la distància entre els centres de dues cares oposades? 

(b) quina és la distància entre els centres de dues cares contigües? 

(c) Quina és la distància màxima entre dos vèrtexs? 

(31) La base d’un prisma recte és un rombe de diagonals 5cm i 3cm. L’aresta lateral mesura 9cm. Quina 

és la seva superfície total? 

(32) Troba la superfície lateral, total i el volum d’un prisma recte de base un triangle isòsceles. Els 

dos costats iguals d’aquests mesuren 5cm i són iguals a l’aresta lateral. El tercer costat de la base 

mesura 8cm.

8.9. 

CÀLCUL D’ÀREES I VOLUMS DE FIGURES DE L’ESPAI 67 

(33) Les bases d’un paral·lelepípede recte són dos paral·lelograms de costats 5cm i 6cm. L’aresta lateral 

mesura 10cm. Quina és la seva àrea total? 

(34) La base d’un prisma recte és un triangle rectangle i isòsceles d’hipotenusa 8cm a l’igual que l’aresta 

lateral. Calcula la seva àrea lateral. 

(35) Les bases d’un prisma recte són dos paral·lelograms de costats 35cm i 4dm respectivament i la seva 

aresta lateral és igual al perímetre de la base. Quina és la seva àrea lateral? 

(36) Quin és el perímetre de la base d’un prisma recte sabent que la superfície lateral és de 45dm 2 si la 

seva aresta lateral és de 50cm? 

(37) La base d’un paral·lelepípede recte és un rombe de 5cm de costat. La superfície lateral mesura 

80cm 2 . Quant mesura la seva aresta lateral? 

(38) Un prisma recte té per base un triangle equilàter de 5cm de costat i l’altura del prisma és de 14cm. 

Quina és la seva superfície total i el seu volum? 

(39) Un ortoedre fa de base 2m per 4m. Troba l’altura de l’ortoedre sabent que l’àrea lateral és el doble 

de l’àrea d’una base. 

(40) Trobar la diagonal, l’àrea i el volum d’un ortoedre que mesura 3m de llarg, 2m d’ample i 5m d’alt. 

(41) Quant costarà recobrir de ciment una piscina ortoèdrica de 10m de llargada, 6m d’amplada i 2.5m 

de profunditat a raó de 15e el m 2 ? 

(42) El dependent d’una botiga embolica una capsa de sabates de 30cm de llarg, 20cm d’ample i 12cm 

d’alt amb un tros de paper, de forma que un 12% de l’embolcall queda solapat sobre si mateix. 

Quina quantitat de paper ha utilitzat? 

(43) Tenim un prisma recte, les bases del qual són trapezis rectangles, de bases 20cm i 12cm i de costat 

oblic 10cm. Sabent que l’altura del prisma és de 24cm, calcula l’àrea total i el volum. 

(44) Calcula la superfície d’un tetraedre regular de 10cm d’aresta. 

(45) Trobar el volum d’una piràmide hexagonal de 3m de radi i 7m d’aresta lateral. 

(46) La base d’una piràmide regular és un quadrat de 5cm de costat; la distància del vèrtex a un costat 

de la base és de 6cm. Trobar l’àrea lateral, total i el volum. 

(47) Trobar l’àrea total i el volum d’un piràmide regular de base quadrada en la que totes les arestes 

mesuren 6m. 

(48) La piràmide de Kheops té una base quadrada de 230m de costat i una altura de gairebé 137m. Si 

la volguéssim recobrir tota de marbre, quina quantitat en necessitaríem? 

(49) Trobar el volum d’un cilindre sabent que la circumferència de la base mesura 36cm i que la generatriu 

és igual al cub del radi. 

(50) Hem construït un tub cilíndric, enganxant pels costats més curts un rectangle de cartolina de 30cm 

de llarg per 15cm d’ample. Quin és el diàmetre del tub? 

(51) Un quadrat de 56cm de perímetre gira 360 o entorn del seu costat. Calcula el volum del cos engendrat. 

(52) Calcula el volum d’un cilindre inscrit en un ortoedre de 10cm d’altura siguent la base un quadrat 

de 24cm de perímetre. 

(53) El líquid contingut en un recipient cilíndric de 8cm de diàmetre i 20cm d’altura es tira dins d’un 

altre recipient també cilíndric de 6cm de diàmetre. Quina serà l’altura del líquid en aquest segon 

recipient? 

(54) L’àrea lateral d’un cilindre de 15cm d’altura és de 90cm 2 . Calcula’n el radi de la base. 

(55) Un pallasso vol posar-se un bonic barret cònic de 30cm d’altura. Suposant que el seu cap té un 

perímetre circular de 60cm, calcula la superfície que tindrà el barret.

68 


(56) Si fem girar un rectangle de dimensions 4cm per 6cm al voltant de cadascun dels costats obtenim 

dos cilindres rectes. Tenen la mateixa àrea i el mateix volum els dos cilindres?. Comprova-ho. 

(57) Quants litres caben en un bidó cilíndric de 5dm de diàmetre i 0.8m d’altura? 

(58) Calcula la superfície i el volum d’un con de 10cm de diàmetre de la base i 12cm de generatriu. 

(59) Si fem girar un triangle rectangle de catets 3cm i 4cm al voltant de cadascun dels catets, obtenim 

dos cons. Tenen la mateixa àrea i el mateix volum els dos cons? Comprova-ho. 

(60) Calcula la superfície i el volum d’una esfera de 18cm de diàmetre. 

(61) Determina l’àrea i el volum de la superfície terrestre, admetent que la Terra té una forma esfèrica 

amb un radi de 6367km. 

(62) Calcula el volum d’un grill de taronja de 10cm de diàmetre si saps que la taronja està formada per 

12 grills iguals. 

(63) Quants litres d’aire s’han d’escalfar per omplir un globus aerostàtic de forma esfèrica i de 10m de 

diàmetre? 

(64) Introduïm una bola de pedra de 12cm de diàmetre en un recipient cúbic de 14cm d’aresta ple 

d’aigua i després en retirem la bola. Calcula: 

(a) La quantitat d’aigua que ha vessat. 

(b) L’altura de l’aigua en el recipient després de treure’n la bola. 

(65) Una empresa química té quatre tancs esfèrics de 15m de diàmetre i 6 tancs cilíndrics de 20m 

d’alçada i 10m de radi a la base. Per evitar la corrosió, es contracta un equip d’operaris que cobra, 

per pintar dipòsits, 7e per metre quadrat. Calcula el cost total de l’operació. 

(66) Al nostre institut, es fàcil trobar-hi dos tipus de papereres, unes que mesuren 27cm d’altura i 

37cm ×25cm de base i unes altres cilíndriques que fan 30cm de diàmetre per 32cm d’altura. Quina 

té més cabuda sempre suposant que els papers es tirin a dins d’elles i no a fora? 

(67) Al laboratori de ciències del primer pis del nostre institut s’utilitzen garrafes d’aigua destil·lada, 

unes que fan 26cm de diàmetre i 42cm d’altura i unes altres que fan 33cm de diàmetre i 50cm 

d’altura. En aquest moments només tenim 1 garrafa i mitja de les grans plenes i 3 de les petites. 

De quants litres d’aigua destil·lada disposem? 

(68) Comprova la capacitat d’una llauna de Refresc a partir de les seves dimensions. 

(69) ACTIVITAT: cal que construeixis amb cartolina un prisma i una piràmide de tipus i dimensions 

les que vulguis i calculis quina és la seva superfície lateral, total i el volum. Posa les mesures, els 

càlculs i els resultats sobre la cartolina de les mateixes figures. S’han d’entregar les dues figures en 

perfectes condicions. 

8.10 Solucions 

(1) comprova-ho 



(4) (a) 1:5 

(b) 1:50 

(c) 25:1 

(d) 1:50 

(e) 1:10 

(f) 1:100 

(g) 10000000:1 

(5) No, haurien d’expressar més reducció. 


(7) (a) 180’ 

(b) 4980’ 

(c) 438’ 36” 

(d) comprova-ho 

(e) 89h 52’ 48” i comprova-ho 

(f) 6’ 

(g) 3h 15’ 

(h) 42’ 43” 

(i) comprova-ho


(22) (a) 285dm 2 (b) 2065cm 2 (c) 784Dm 2 

(j) 10 dies 12h 52’ 37” 

(d) 452.16cm 2 (e) 116.13cm 2 (f) 20.57dm 2 (45) V = 49.30cm 3 

(8) (a) 90’ 

(b) 83’ 

(d) 460mm 2 (e) 410cm 2 (f) 8096dm 2 

(23) (a) 43.96m 2 (b) 452.16cm 2 (c) 356.48hm 2 

(d) 557cm 2 (e) 2400cm 2 (f) 88hm 2 

(c) 7 o 18’ 

(d) comprova-ho 

(24) (a) 1738.72m 2 (b) 237.43cm 2 

(e) 3 voltes 270 o 

(25) (a) A = 1350m 2 V = 3375m 3 

(f) 12’ 

(b) A = 2904mm 2 V = 10648mm 3 

(g) 4 o (c) A = 253m 2 V = 210m 3 

55’ 

(d) A = 400hm 2 V = 400hm 3 

(h) 41’ 3” 

(e) A = 728hm 2 V = 480hm 3 

(i) comprova-ho 

(f) A = 1872dm 2 V = 3360dm 3 

(j) 4 voltes 146 o 12’ 37” 

(26) (a) 1250cm 3 

(9) (a) 18’ 28” 

(b) 1h 23’ 3” 

(c) 2h 58’ 18” 

(d) 2h 16’ 43” 

(b) 36cm 3 

(c) 800m 3 

(d) 100hm 3 

(e) A = 301.44Dm 2 V = 301.44Dm 3 

(e) 13’ 52” 

(f) A = 1205.76dm 2 V = 2411.52dm 2 

(f) 1h 58’ 47” 

(27) (a) A = 2411.52cm 2 V = 9043.2cm 3 

(g) 2h 57’ 24” 

(b) A = 854.08hm 2 V = 1507.2hm 3 

(h) 6h 14’ 

(c) A = 113.04m 2 V = 113.04m 3 

(i) 14’ 24” 

(d) A = 1808.64cm 2 V = 7234.56cm 3 

(j) 30’ 2” 

(28) (a) A = 602.88cm 2 V = 3165.12cm 3 

(k) 5h 39’ 36” 

(b) A = 2712.96Dm 2 V = 21364.56Dm 3 

(l) 4h 25’ 30” 

(c) A = 163.28m 2 V = 184.21m 3 

(m) 54” 

(d) A = 1628.13cm 2 V = 5878.08cm 3 

(n) 10’ 10” 

(o) 18’ 19” 

(p) 11’ 14” 

(10) Completa-ho 

(11) Construeix-ho 

(12) Construeix-ho 

(13) (a) 9dm 2 (b) 350cm 2 (c) 280hm 2 

(d) 169m 2 (e) 1040mm 2 (f) 12Dm 2 

(14) 384m 

(15) 12.57cm 2 

(16) 60cm 2 

(17) 1385.44m 2 

(18) 272000m 2 

(19) 10mm 2 

(20) 145m 

(21) (a) 720cm 2 (b) 90mm 2 (c) 200.96m 2 

(29) A = 150cm 2 V = 125cm 3 D = 8,66cm. 

(30) (a) 9cm (b) 6.36cm (c) 15.59cm 

(31) S = 120.12cm 2 

(32) AL = 90cm 2 AT = 114cm 2 V = 60cm 3 

(33) A = 280cm 2 

(34) AL = 154.56cm 2 

(35) AL = 22500cm 2 

(36) p = 90cm 

(37) a = 4cm 

(38) S = 231.66cm 2 V = 151.62cm 3 

(39) h = 1.33m 

(40) D = 6.17cm, A = 62cm 2 V = 30cm 3 

(41) 2100e 

(42) 2688cm 2 

(43) AT = 1541.44cm 2 V = 3521.28cm 3 

(44) S = 173.21cm 2

70 

(46) AL = 60cm 2 AT = 85cm 2 

V = 45.42cm 3 

(47) AT = 98.4cm 2 V = 51cm 3 

(48) AL = 82280.2cm 2 

(49) V = 103.15cm 3 

(50) d = 9.55cm 

(51) V = 8620.53cm 3 

(52) V = 282.74cm 3 

(53) a = 35.55cm 

(54) r = 0.95cm 

(55) S = 944.4cm 2 

(56) 157079l 


(57) S = 267.04cm 2 V = 285.62cm 3 

(58) Comprova-ho. 

(59) S = 1017cm 2 V = 3053.63cm 3 

(60) S = 5.094 · 10 8 km 2 V = 1.081 · 10 12 km 3 

(61) Comprova-ho. 

(62) V = 43.63cm 3 

(63) 523600l 

(64) (a) 1839.23cm 3 (b) 4.62cm 

(65) 98960.12e 

(66) La del primer tipus 

(67) 131l 

(68) Comprova-ho.

Apèndix A 

Activitats 

A.1 Quants cigrons hi ha en un quilo de cigrons 

Material: Un quilogram de cigrons, un recipient per posar-los i retoladors. 

Introducció: La tècnica que presentarem en aquesta activitat s’anomena de captura i recaptura i és 

utilitzada pel recompte estimatiu de poblacions d’animals que viuen en llibertat: per exemple les balenes 

del mar del Nord, els esquirols d’un bosc o els peixos de l’estany de Banyoles. En el nostre cas comptarem 

aproximadament el nombre de cigrons que hi ha en un quilogram de cigrons i, en lloc de marcar els 

individus (cigrons!) amb pintures especials o microxips, els pintarem amb un retolador. 

Objectiu: Conèixer una tècnica sorprenent per estimar el nombre d’individus d’una població, simulantho 

amb cigrons. 

Desenvolupament: El professor ha portat una bossa de cigrons que pesa un quilogram (podem comprovarho!) 

i, d’entrada, els abocarem dins d’un recipient. Ens proposem comptar-los! 

(1) Prenem una primera mostra de cigrons i, tot el grup conjuntament, la comptem. Sigui m el nombre 

de cigrons que hem comptat. 

(2) Novament, tot el grup conjuntament, prenem retoladors i fem una marca ben visible sobre cada 

cigró de la mostra. 

(3) Retornem la mostra “pintada”al recipient amb la resta dels cigrons i remenem per tal que quedin 

ben barrejats. 

(4) Ara ens posem a treballar en equips de tres persones. Amb els altres membres del teu equip preneu 

una segona mostra de cigrons (entre 150 i 200) i compteu-la. Sigui m la quantitat exacta de cigrons 

d’aquesta nova mostra. 

(5) Compteu ara quants dels cigrons d’aquesta segona mostra porten el senyal de retolador. Tingueu 

cura en mirar-ho bé. Anomenem n al nombre obtingut en aquest recompte. 

(6) Si anomenem t al total de cigrons que estem buscant sembla assenyat esperar que la proporció de 

cigrons marcats (n) que apareix en la segona mostra (m) sigui aproximadament la mateixa proporció 

de cigrons marcats (m) respecte del total de cigrons (t). Així tindrem que n m ≈ m t . Plantegeu-ho 

amb les quantitats concretes que heu obtingut. Naturalment desconeixem el valor de t. 

(7) Ara aïlleu t en l’anterior relació de proporcionalitat. Aquest és el valor de l’estimació que estem 

buscant. Compareu-lo amb els valors que han obtingut els altres equips. Qui s’hi deu haver apropat 

més? 

(8) Per a poder respondre a la pregunta anterior el millor serà comptar, entre tots, quants cigrons hi ha 

realment en total. És una feina una mica feixuga però, si ens hi posem tot el grup, no ens costarà 

gaire! Quants cigrons obtenim? 

(9) Ara que ja coneixeu el resultat exacte calculeu l’error absolut i l’error relatiu que heu comès en la 

vostra estimació. 

(10) Compareu els errors absolut i relatiu observats en els diversos grups. Creieu que seria sensat pensar 

que tenen alguna cosa a veure amb la grandària de la mostra que ha pres cada grup en el punt 4 

d’aquest guió? 

71

72 

APÈNDIX A. ACTIVITATS 

A.2 Introducció als nombres racionals 

Materials: Tires de cartolina de vuit colors diferents i d’igual longitud, regle, retolador i tisores. 

Introducció: Una fracció serveix per expressar parts de la unitat. Usem fraccions quan diem “mig quilo 

de pa”, “un quart de litre d’oli”o “un cèntim d’euro”. 

Tot seguit us proposem unes activitats per tal de descobrir aquests objectes matemàtics que, com 

veureu més endavant, ja els egipcis feien servir. 

Objectiu: Presentar el concepte de fracció i les seves primeres propietats. 

Desenvolupament: En principi treballareu individualment. Haureu d’emplenar aquest guió i, a la 

propera classe, lliurar-lo al professor. Poseu atenció a l’ordre, la presentació, la claredat i correcció en 

l’expressió. 

(1) Tenint en compte les equivalències entre lletres i colors que teniu a la pissarra feu el següent: 

• Preneu la tira de cartolina A com a unitat i escriviu-hi un 1 en el centre. 

• Preneu la tira B, dividiu-la en dues parts iguals i en cadascuna escriviu-hi 1 2 . 

• Preneu la tira C, dividiu-la en tres parts iguals i escriviu-hi 1 3 . 

• Preneu la tira D, dividiu-la en quatre parts iguals i escriviu-hi 1 4 . 

• Preneu la tira E, dividiu-la en cinc parts iguals i escriviu-hi 1 5 . 

(2) Cada peça de 1 2 

l’anomenarem “meitat”. Quin nom donarem a les altres peces? Empleneu el quadre 

següent. 

Peça 

Nom 

Peça 

Nom 

1 

3 

1 

6 

1 

4 

1 

7 

1 

5 

1 

8 

Quin número és el responsable de donar nom a les peces? 

Donar nom és el mateix que denominar, per això aquest número s’anomena denominador de 

la fracció. 

(3) Ara agruparem algunes de les peces que hem obtingut: 

• Preneu 2 peces de 1 3 

i poseu-les juntes. Quina fracció de la unitat tindrem? Dels dos termes 

de la fracció quin indica el número de peces que hem pres? 







• En cada cas quin és el terme de la fracció que indica el número de peces que hem pres? 

A aquest terme, és clar, l’anomenarem numerador. 

(4) Ara estudiarem l’ordre! Preneu una peça de cada color i col·loqueu-les, per ordre de longituds, sobre 

la taula. Reflexioneu sobre el que observeu. Podeu formular una regla general? Expliqueu-ho! 

Ajuntant peces construïu successivament i observeu l’ordre de les fraccions 1 5 , 2 

formular una regla general? Expliqueu-la! 

5 , 3 

5 i 4 

5 . Podeu

A.3. INTRODUCCIÓ A LES EQUACIONS 73 

A.3 Introducció a les Equacions 

Materials: Necessitem tallar fulls de paper en 16 trossos. Escrivim diferents termes d’una equació de 

primer grau: 2x, −3, −4x, 6, 7x, ... 

Continguts: Resolució d’equacions de primer grau. 

Desenvolupament: Obrim espai a l’aula, enretirem taules i cadires a un racó de l’aula per aconseguir 

el màxim d’espai buit. Repartim un paperet a cada alumnes. Podem fer diferents activitats: 

(1) Ajuntem a tothom que tingui coeficients positius i negatius. 

(2) Ens ajuntem per termes que tenen x i termes independents. 

(3) Fem dos grups i creem una línia imaginària que separi als dos grups. Els hi demanem que sumin 

tots els termes, quan es pugui, dins del mateix grup. Després imaginem que la línia que separa als 

grups és un =, igual, i resolem l’equació, és a dir, el resultat d’un grup igual al resultat de l’altre 

grup. 

Observacions: Intentarem anar creant diferents grups i variant 

A.4 Gràfics de funcions al terra 

Materials: Necessitem estar en un pati o en una sala enrajolada de manera que les ratlles de les rajoles 

formin una quadrícula. Necessitarem també guixos. Cada alumne/a disposarà de paper, llapis. 

Continguts: Gràfic d’una funció. 

Desenvolupament: Anem al pati o a una sala amb rajoles que formin una quadrícula on sigui possible 

embrutar una mica el terra. Fixem un origen i resseguim amb guix dues juntures ortogonals de rajoles 

que seran els eixos de coordenades. Prenent com a unitat la longitud del costat d’una rajola assenyalem 

els valors sobre cada eix, per exemple, a l’eix d’abscisses, des de −6 a 6. L’escala de l’eix d’ordenades pot 

dependre de les funcions que decidim representar. Cada alumne/a es farà càrrec d’un valor sobre l’eix 

d’abscisses (podem prendre també mitges unitats: −6, −5.5, −5, −4.5, ... Llavors el professorat indicarà 

l’expressió analítica d’una funció i cada alumne/a calcularà la imatge de la seva abscissa. Després prendrà 

un tros de guix i l’anirà a dibuixar sobre el terra al lloc que correspongui. Així, en pocs instants, quedarà 

molt perfilada la representació gràfica de la funció donada. 

Poden usar-se funcions diverses segons el nivell i podrem formular preguntes, per exemple: 

(1) f(x) = 2x − 1 En quina abscissa talla l’eix? 

(2) f(x) = −3x + 2 Per a quins punts és positiva? I negativa? 

(3) f(x) = x + 2, f(x) = x + 4, f(x) = x i f(x) = x − 3 Són paral·leles? 

Observacions: Cada alumne/a “es fa càrrec”d’un número i es fa seva la idea d’abscissa, d’ordenada 

i d’imatge. El gràfic sorgeix de les imatges de tots/es, com d’una feina comú. Cal que el final tothom 

tingui cura de netejar el terra. 

A.5 Introducció als Polinomis 

Materials: Necessitem tallar fulls de paper en 16 trossos. Escrivim diferents monomis variant els 

coeficients i el grau: x 3 , 2x 2 , −x, 9, −3x 3 , 8x 4 ,... 

Continguts: Suma, resta i ordenació de monomis. 

Desenvolupament: Obrim espai a l’aula, enretirem taules i cadires a un racó de l’aula per aconseguir 

el màxim d’espai buit. Repartim un paperet a cada alumnes. Podem fer diferents activitats: 

(1) Ajuntem a tothom que tingui coeficients positius i negatius. 

(2) Ens ajuntem per graus. 

(3) Fem que es col·loquin els alumnes per ordre de grau. 

(4) Fem dos o tres grups i creem polinomis ajuntant monomis del mateix grau. Després sumem els 

polinomis. També els podem restar. Finalment, podem crear polinomis nous multiplicant-los per 

números, 2P(x) − 3Q(x), ... 

Observacions: Intentarem anar creant diferents grups i variant les operacions en funció de com es 

vagi desenvolupant l’activitat.

74 


A.6 El Decímetre Cúbic i el Litre 

Materials: Tres llaunes de begudes utilitzades. Un decímetre cúbic de plàstic que es pugui emplenar. 

Reglets d’un centímetre cúbic. Regle, cartró, estisores, cola, cinta adhesiva. 

Introducció: Haureu observat que en les llaunes de begudes hi apareix, entre altres dades, la quantitat 

de líquid que contenen. Solen escriure-la de dues maneres: 330ml o 33cl. És així que tres d’aquestes 

llaunes són quasi un litre de líquid (hi falten tan sols 10ml!). De fet el litre no és estrictament una unitat 

del Sistema Internacional i es defineix com la capacitat d’un decímetre cúbic. Avui ho comprovarem! 

Objectiu: Comprovar que un litre d’aigua ocupa un decímetre cúbic de volum. 

Desenvolupament: 

(1) Volem construir una caixa cúbica, oberta per dalt, que tingui un decímetre cúbic de volum. Quant 

haurà de mesurar l’aresta? Sobre el cartró dissenyeu una plantilla per construir aquesta caixa. 

(2) Retalleu la plantilla i munteu la caixa procurant que quedi tan sòlida com sigui possible. 

(3) Creieu que, en aquest decímetre cúbic, realment hi cap un litre d’aigua? Com ho veieu? 

(4) Ara la vostra professora o el vostre professor us mostrarà un decímetre cúbic de plàstic. Mesureu-lo 

per comprovar-ho i compareu-lo amb la caixa que heu construït. 

(5) Ara mirem-nos les llaunes! Llegiu atentament les etiquetes (les etiquetes sempre s’han de llegir 

atentament!) i esbrineu la quantitat de líquid que conté cada llauna. Quina quantitat total de 

líquid hi ha entre les tres llaunes? Observareu que quasi és un litre. Quan li falta? Podríeu 

respondre a aquesta darrera pregunta emprant com a unitat el centímetre cúbic? 

A.7 El Tangram Xinès 

Conegut joc xinès amb el qual es poden fer moltes figures combinant set peces formades retallant un 

quadrat. 

Material: Tisores i fulls quadriculats. 

Continguts: Construcció i mesura de figures planes. Càlcul de perímetres, àrees i angles. Percepció 

geomètrica amb el recobriment de figures amb peces. 

Desenvolupament: 

(1) Construcció del propi material. Agafem fulls quadriculats (per exemple els d’exàmens) i els hi fem 

dibuixar un quadrat tant gran com sigui possible. Després els hi dibuixem el model del quadrat 

per obtenir les peces del tangram i que els alumnes retallin les seves pròpies peces. 

(2) Càlcul de perímetres, àrees i angles de les diferents peces del tangram. En el cas del tangram xinès 

podem prendre com a unitats de longitud i de superfície respectivament el costat i l’àrea de la peça 

quadrada. 

(3) Identificar peces semblants i deduir la raó de semblança.

A.8. PROBLEMES D’ENGINY 75 

(4) Ordenar peces segons el seus perímetres o les seves àrees. 

(5) Mesurant algunes de les peces pot comprovar-se el teorema de Pitàgores. 

(6) Composar figures donades usant totes les peces: 

(7) Classificar les figures obtingudes com a polígons: per nombre de costats, regulars, irregulars, 

còncaus, convexos... 

(8) Mesurar les àrees de les figures obtingudes, els seus angles interiors i els seus perímetres. Poden 

fer-se estimacions prèvies que sempre comprometen més l’interès de l’alumnat. 

A.8 Problemes d’enginy 

(1) Un pastor ha de creuar un riu amb un llop, una cabra i una caixa d’enciams. Ho ha de fer amb una 

barca on només hi cap ell i una de les tres coses. Si el llop queda sol amb la cabra se la menjarà 

i, si la cabra es queda sola amb la caixa d’enciams se’ls menjarà. Com pot creuar el riu el pastor 

amb totes tres coses? 

(2) Estàs tancat en una cela amb dues portes: una et porta a la salvació i l’altra et porta directa a la 

mort. A cada porta hi ha un vigilant. Saps que un dels vigilants sempre diu la veritat i que l’altre 

sempre menteix. Per escollir la porta per on passaràs, només pots fer una pregunta a un dels dos 

vigilants. Com ho faràs? 

(3) Hi ha dotze monedes aparentment iguals, però una d’elles té un pes lleugerament diferent. No se 

sap si aquesta moneda pesa més o menys que les altres. Utilitzant una balança de dos plats, i només 

podent fer tres pesades, com trobaries la moneda que és diferent? I la moneda pesa més o menys 

que les altres? 

(4) Un entrevistador es dirigeix a una casa on l’atén una dona. 

- Quants fills tens? 

- Tres - diu ella. 

- Edats? 

- El producte de les edats és 36, i la suma és igual al número de la casa veïna - diu ella. 

L’entrevistador se’n va, però al cap d’una estona torna i li diu a la dona que les dades que li ha 

donat no són suficients. La dona pensa i li diu: 

- Tens raó, la més gran estudia piano. 

Amb això n’hi ha prou perquè l’entrevistador sàpiga l’edat dels fills de la dona. Quines sóna aquestes 

edats?

76 


(5) Un ós camina 10 kilòmetres cap al sud, 10 cap a l’est i 10 cap al nord, tornant així al punt de 

sortida. De quin color és l’ós? 

(6) En un taulell de 3x3 col·loca els números de l’1 al 9 de forma que cada fila, columna i diagonal sumi 

15. 

(7) Tres amics van a menjar a un restaurant, Mengen el mateix i el compte és de 25 euros. Cada un 

paga amb un bitllet de 10 euros. El cambrer porta els 5 euros de canvi, cada un pren un euro i li 

deixen dos euros de propina. Més tard fan comptes i diuen: cada un ha pagat 9 euros, per tant, 

hem gastat 9 × 3 = 27euros, més els 2 euros de propina fan 29 euros. On està l’euro que falta? 

(8) Col·loca 8 dames en un taulell d’escacs de forma que no n’hi hagi cap que es matin entre elles. 

(9) Dos trens estan en una mateixa via separats 100Km. Comencem a moure’s en sentits oposats, una 

cap a l’altre, a 50 Km 

h 

; en aquest mateix moment, una supermosca surt de la màquina d’un dels 

trens i vola a 100 Km 

h 

cap a la màquina de l’altre tren. Just quan arriba, fa mitja volta i torna a 

la primera màquina de tren, i d’aquesta manera va i ve d’una màquina de tren a l’altra fins que 

les dues màquines de tren xoquen i mor la mosca a l’accident. Quina distància ha recorregut la 

supermosca? 

(10) Col·loquem 3 files de 3 punts cada una. Dibuixa quatre línies sense aixecar el llapis del paper de 

manera que passis per tots els punts sense passar més de dues vegades pel mateix punt. 

(11) Tenim tres cases i tres punts de distribució, un de gas, un de llum i un d’aigua. Dibuixa totes les 

connexions entre les fonts d’energia i les cases de manera que no n’hi hagi cap que es creu-hi. 

(12) Col·loca deu arbres de manera que tinguem 5 fileres de 4 arbres. 

(13) Tenim tres caixes plenes de caramels. N’hi ha de Menta i d’Anís. El problema és que tenim tres 

caixes i totes estant mal etiquetades. En una posa que són caramels d’Anís, en una altra de Menta 

i a la última posa que són Barreja. Si només podem treure un caramel d’una caixa, com podem 

saber com posar les etiquetes bé? 

(14) Hi ha una habitació amb una sola bombeta. A fora de l’habitació hi ha tres interruptors, i des d’on 

hi ha els interruptors no es pot veure si la bombeta està encesa o apagada. Com podem saber a 

quin interruptor es correspon la bombeta si només podem tocar un cop els interruptors per entrar 

dins de l’habitació? 

(15) Tenim dos rellotges de sorra de 4 minuts i 7 minuts. Necessitem mesurar exactament 9 minuts. 

Com ho faràs?

Apèndix B 

Programació 

Nombres Enters 

1.1 Descripció dels conjunts N i Z Apèndix A.1 Apèndix A.1 2 

1.2 Operacions combinades. Ordre de les operacions 1 al 89 1 al 89 1 

1.3 Factorització. Definició 90 al 109 90 al 105 2 

Examen i Correcció 2 

7h 

Nombres Racionals 

2.1 Definició i interpretació d’una fracció. El conjunt Q Apèndix A.2 Apèndix A.2 1 

2.2 Operacions amb nombres racionals 

2.2.a Suma i resta de fraccions 1 al 29 1-23, 27 i 29 2 

2.2.b Multiplicació i divisió de fraccions 30 al 48 32 al 43 1 

2.2.c Operacions combinades de fraccions 49 al 75 49-57 i 62-73 3 


9h 

Equacions de Primer Grau 

3.1 Definició 

3.2 Resolució d’una equació simple 1 al 47 1 al 33 1 

3.3 Resolució d’una equació amb parèntesis 48 al 115 48 al 75 1,5 

3.4 Resolució d’una equació amb denominadors 116 al 211 116 al 145 2,5 


9h 

Total 1 r Trimestre 23/33 

Sistemes d’Equacions 

4.1 Definició. Mètodes de resolució 1 al 5 1 i 2 0,5 

4.2 Mètode de Reducció 6 al 34 3 al 22 1,5 

4.3 Mètode d’Igualació 35 al 60 23 al 44 2 

4.4 Mètode de Substitució 56 al 86 45 al 66 2 


8h 

77

78 

APÈNDIX B. PROGRAMACIÓ 

Funcions Lineals 

5.1 Definició de variable dependent i independent 1 1 0,5 

5.2 Definició de funció 11 11 0,5 

5.3 Funcions lineals i funcions afins 2 al 10 2 al 10 0,5 

5.4 Pendent d’una funció lineal. Rectes paral·leles. 14-16 i 19-20 14-16 i 19-20 0,5 

5.4 Gràfica de funcions de primer grau 12-13, 17-18, 17 3 

21-26 


7h 

Equacions de Segon Grau 

6.1 Definició 1-3 i 7-9 2-3 i 7-9 1 

6.2.a Resolució d’equacions del tipus ax 2 + c = 0 4-6 i 10-26 4-6 10-26 1 

6.2.b Resolució d’equacions del tipus ax 2 + bx = 0 27 al 52 29 al 52 1 

6.3 Resolució d’equacions completes senzilles 53 al 96 55 al 96 2 

6.4 Resolució d’equacions amb parèntesis 97 al 127 97 al 125 2 

6.5 Resolució d’equacions amb denominadors numèrics 128 al 171 135 al 150 2 


11h 

Total 2 n Trimestre 26/30 

Polinomis 

7.1 Definició de monomi i polinomi 1 al 8 1 al 8 0,5 

7.2 Grau d’un polinomi. Polinomi complet i ordenat 9 al 16 9 al 16 0,5 

7.3 Operacions amb monomis: +,-,* i / 17 al 56 17 al 56 2 

7.4 Operacions amb polinomis. Suma i Resta 57 al 78 57 al 72 1 

7.5 Productes Notables 79 al 94 79 al 94 2 

7.6 Multiplicació de polinomis 95 al 116 95 al 116 1 

7.7 Divisió de polinomis 117 al 142 117 al 129 2 


11h 

Geometria 

8.1 Interpretació i deducció de les dimensions d’una figura 

0,5 

plana 

8.2 Acotacions de figures planes 1 i 2 1 i 2 0,5 

8.3 Girs de volums. Interpretació espacial de la representació 

3 3 1 

en planta, alçat i prefil 

8.4 Representació en escala. Interpretació i càlcul 4 al 6 4 al 6 1 

8.5 Operacions aritmètiques amb angles. Deduccions sobre 

7 al 9 7 al 9 2 

diferents formacions amb angles 

8.6 Classificació dels polígons regulars. Comptar diagonals 

10 10 1 

i càlcul dels angles interiors 

8.7 Càlcul d’àrees de figures planes. Acotació de les figures 

1 al 14 1 al 12 2 

que es dibuixen i calculen 

8.8 Càlcul d’àrees i volums de figures de 3 dimensions 1 al 45 1 al 6 3 


13h 

Total 3 r Trimestre 24/33

llibre3r

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?