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Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 1
Matrices
(Primera parte)
En matemáticas, se suele llamar
matriz a todo arreglo bidimensional de
números, y en su mayor generalidad de
elementos de una estructura de tipo
⎛ a11 … a1
n ⎞
⎜
⎟
A = ⋮ ⋱ ⋮
⎜ am
1
a ⎟
⎝ ⋯
mn ⎠
algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y
producto: (A,+,*).
Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de
ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o
representar una aplicación lineal dada una base (cosa de la que
hablaremos más adelante).
A parte de ser usadas para múltiples aplicaciones sirven en
particular para representar los coeficientes de los sistemas de
ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en
este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos
de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias
formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del
álgebra lineal (de estos nos ocuparemos en la guía siguiente).
Cada uno de los números de que consta la matriz se
denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición
que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se
denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de

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dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de
filas que de columna, se dice que es de orden o cuadrada
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota
por A mxn o (a ij ), y un elemento cualquiera de la misma, que se
encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij .
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y
los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
( 2 3 − 1)
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
3
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de
columnas, siendo su dimensión mxn.
⎛1 2 5 ⎞
⎜ ⎟
⎝9 1 −3⎠

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Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de
columnas.
Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
⎛1 2 3 ⎞
⎜ ⎟
6 4 −2
⎜9 1 8 ⎟
⎝ ⎠
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
⎛0 0⎞
⎜ ⎟
⎝0 0⎠
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son ceros.
⎛1 2 3⎞
⎜ ⎟
0 −6 2
⎜0 0 5⎟
⎝ ⎠
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
⎛ 1 0 0⎞
⎜ ⎟
2 3 0
⎜ −1 4 8⎟
⎝ ⎠

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Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y
por debajo de la diagonal principal son nulos.
⎛ 2 0 0⎞
⎜ ⎟
0 2 0
⎜ 0 0 6⎟
⎝ ⎠
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos
de la diagonal principal son iguales.
⎛ 2 0 0⎞
⎜ ⎟
0 2 0
⎜ 0 0 2⎟
⎝ ⎠
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟
0 1 0
⎜0 0 1⎟
⎝ ⎠
Recordemos que …
E proceso de eliminación de Gauss-Jordan estudiado en clases obtiene
su nombre por a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan y consiste en un
algoritmo del álgebra lineal el cual determina las soluciones de un sistema de

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ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de
Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado
a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular. En cambio, el método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal (este último es el que nos
interesa).
Ejercicios Propuestos
Según las estrategias estudiadas resuelva los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
(i) ⎧6x + 2y + 3y
= 11
⎪
⎨5x + 4y − 2y
= 7
⎪
⎩3x − 2y + 5y
= 6
(iv) ⎧2x − 3y + 4x
= 1
⎪
⎨3x + 2y − z = 2
⎪
⎩4x + y + 3z
= 4
(ii) ⎧x + 2y − 5z
= 3
⎪
⎨2x − 3y + 4z
= −1
⎪
⎩3x + 4y − 4z
= 8
(v) ⎧x + y + z = 1
⎪
⎨x − y + z = − 1
⎩
⎪ 2x + 3y − 4z
= 9
(iii) ⎧2x + y + z = 1
⎪
⎨3x − 2 = y + z
⎪
⎩x = 3z − 4y
(vi) ⎧3x + 2y + z = 1
⎪
⎨x + y − z = 1
⎪ ⎩5x + 3y + 4z
= 2
(vii) ⎧4x + 5y + 6z
= 24
⎪
⎨3x + y − 6z
= 18
⎪
⎩2x + 4y + 6z
= 18
(viii
)
⎧4x + 5y + 6z
= 24
⎪
⎨2x + 7 y + 12z
= 30
⎪
⎩2x + 4y + 6z
= 18
(ix) ⎧x − 9y + 5z
= 33
⎪
⎨x + 3y − z = − 9
⎪ ⎩x − y + z = 5
(x) ⎧x + y − z = 1
⎪3x + 2y + z = 1
⎨
⎪5x + 3y + 4z
= 2
⎪− ⎩ 2x − y + 5z
= 6
(xi) ⎧2y
+ 3z
= 4
⎪
⎨2x − 6y + 7z
= 15
⎪
⎩x − 2y + 5z
= 10
(xii
)
⎧x − 2y − 2z + w = 4
⎪x + y + z − w = 5
⎨
⎪x − y − z + w = 6
⎪
⎩6x − 3y − 3z + 2w
= 32
Éxito !!!