Problemas del tema 4 Análisis de Fourier de se˜nales ... - QueGrande

Ingeniería Informática
Medios de Transmisión (MT)
Problemas del tema 4
Análisis de Fourier de señales
y sistemas contínuos
Curso 2007-08
14/11/2007

Ejercicios básicos
1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso
h(t) = sen 5π 2 t
πt
Determine la salida a las siguientes entradas
(
a) x(t) = sen 2πt + π )
4
b) x(t) = sen(2πt) + cos(4πt)
c) x(t) = cos(2πt) + sen(3πt)
d) x(t) = (sen 3πt)(cos 5πt)
e) x(t) = cos 3 πt
2. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes señales:
a) [ e −αt cos ω o t ] u(t), α > 0
b) e 2+t u(−t + 1)
c) x(t) = e −3|t| sen 2t
d) e −3t [u(t + 2) − u(t − 3)]
{ 1 + cos πt, |t| ≤ 1
e) x(t) =
0, |t| > 1
[ ] [ ]
sen πt sen 2π(t − 1)
f ) x(t) =
πt π(t − 1)
g) La señal de la figura 1
Figura 1:
3. Calcule la transformada de Fourier inversa de las siguientes señales
2

a) X(ω) =
2sen[3(ω − 2π)]
ω − 2π)
b) X(ω) = cos(4ω + π/3)
c) X(ω) cuyo módulo y fase están dados por la figura 2.
d) X(ω) = 2[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + 3[δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)]
1
π/2
−1
-1 1
Modulo
ω
Fase
1 ω
−π/2
Figura 2:
4. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes señales:
a) x(t) = e j200t
b) x(t) = cos[π(t − 1)/4]
c) x(t) = cos 4t + sen 8t
d) x(t) = cos 4t + sen 6t
e) x(t) = [1 + cos 2πt][cos(10πt + π/4)]
f ) x(t) = sen t + cos(2πt + π/4)
g) La señal de la figura 3
Figura 3:
5. Considere el sistema LTI caracterizado por h(t) = e −4t u(t). Calcule la salida para
cada una de las siguientes entradas:
a) x(t) = cos 2πt
3

) x(t) = sen 4πt + cos (6πt + π/4)
∞∑
c) x(t) = δ(t − k)
d) x(t) =
k=−∞
∞∑
(−1) k δ(t − k)
k=−∞
6. Calcule la convolución de los siguientes pares de señales x(t) y h(t) calculando
X(ω) y H(ω), usando la propiedad de convolución y hallando la transformada de
Fourier inversa.
a) x(t) = te −2t u(t), h(t) = e −4t u(t)
b) x(t) = te −2t u(t), h(t) = te −4t u(t)
c) x(t) = e −t u(t), h(t) = e t u(−t)
7. Sea X(ω) la transformada de Fourier de la señal x(t) dibujada en la figura 4
2
x(t)
1
-1 1 2 3
Figura 4:
a) Calcular X(0)
b) Calcular ∫ ∞
−∞ X(ω)dω
Nota: Todos los cálculos deben hacerse sin evaluar de forma explícita X(ω).
8. Considere que la señal x(t) = cos 2πt + sen 6πt es la entrada a cada uno de los
sistemas LTI que se dan a continuación. Determine la salida en cada caso:
sen 4πt
a) h(t) =
πt
[sen 4πt][sen 8πt]
b) h(t) =
πt 2
sen 4πt
c) h(t) = cos 8πt
πt
4

9. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la entrada
x(t) = [e −t + e −3t ]u(t)
es
y(t) = [2e −t − 2e −4t ]u(t)
a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema.
b) Calcule la respuesta al impulso.
c) Encuentre la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida.
10. Considere una señal x(t) cuya transformada de Fourier X(ω) tiene la forma de la
figura 5. Dibuje la el espectro de y(t) = x(t)p(t) para cada uno de los siguientes
posibilidades de p(t)
a) p(t) = cos(t/2)
b) p(t) = cos t
c) p(t) = cos(2t)
d) p(t) = (sen t)(sen 2t)
e) p(t) = cos 2t − cos t
Figura 5:
11. La salida y(t) de un sistema LTI está relacionada con la entrada x(t) a través de
la ecuación diferencial
dy(t)
+ 2y(t) = x(t)
dt
a) Determine la respuesta en frecuencia
b) Si x(t) = e −t u(t), determine la salida Y (ω), la transformada de Fourier de la
salida.
c) Determine la salida y(t) para la entrada x(t) del apartado anterior.
12. La entrada y la salida de un sistema LTI están relacionadas por la ecuación diferencial
d 2 y(t)
dt 2
+ 6 dy(t)
dt
5
+ 8y(t) = 2x(t)

a) Encuentre la respuesta al impulso de este sistema.
b) ¿Cual es la salida de este sistema si x(t) = te −2t u(t)?
c) Repita el apartado (a) para el sistema descrito por la ecuación
d 2 y(t)
dt 2
+ √ 2 dy(t)
dt
+ y(t) = 2 d2 x(t)
dt 2
− 2x(t)
13. ¿Puede la respuesta de un sistema LTI a x(t) = sen(πt)
πt
Justifique su respuesta.
( ) 2 sen(πt)
ser y(t) = ?.
πt
14. a) Utilice el teorema de convolución para demostrar que
sen(πt)
πt
⋆ sen(πt)
πt
= sen(πt)
πt
( sen(πt)
b) Calcule la transformada de Fourier de x(t) =
πt
( sen(πt)
c) Calcule la transformada de Fourier de x(t) =
πt
15. En su formulación más general, el teorema de Parseval dice que si X(ω) y Y (ω)
son las transformadas de Fourier de x(t) e y(t) respectivamente, entonces
∫ ∞
−∞
x(t)y ∗ (t)dt = 1
2π
∫ ∞
−∞
X(ω)Y ∗ (ω)dω
Utilizando este resultado y los del ejercicio anterior, calcule las siguientes integrales
∫ ∞
( ) 3 sen(πt)
a)
dt
−∞ πt
∫ ∞
( ) 4 sen(πt)
b)
dt
−∞ πt
∫ ∞
( ) 5 sen(πt)
c)
dt
πt
−∞
16. Considere que la señal x(t) = cos 2πt + sen 6πt es la entrada a cada uno de los
siguientes sistemas lineales e invariantes en el tiempo que se dan a continuación.
Determine la salida y(t) en cada caso
) 2
) 3
a) h 1 (t) =
b) h 2 (t) =
sen 4π(t − 1/4)
π(t − 1/4)
sen 4πt
cos 8πt
πt
6

x(t)
+
-
h(t)
y(t)
g(t)
h (t)
eq
Figura 6:
{ 1 |ω| < W
Nota: la transformada de Fourier de h(t) = sen Wt es H(ω) =
πt 0 |ω| > W
17. Considere la interconexión de sistemas lineales e invariantes en el tiempo de la
figura
a) Demuestre que la respuesta en frecuencia del sistema equivalente H eq (ω) es
igual a
H eq (ω) = Y (ω)
X(ω) = H(ω)
1 + H(ω) G(ω)
donde X(ω), Y (ω), H(ω) y G(ω) son la transformada de Fourier de x(t), y(t),
h(t) y g(t), respectivamente.
b) Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h eq (t) cuando h(t) =
e −2t u(t) y g(t) = 2δ(t)
18. La señal x(t) = sen 4πt + cos 10πt es la entrada a un sistema lineal e invariante
en el tiempo de respuesta al impulso
Determine la salida y(t).
( sen 4πt
h(t) =
πt
19. Considere una señal x(t) cuya transformada de Fourier es X(ω). Considere la señal
X p (ω) = X(ω)P(ω) donde P(ω) es el tren de deltas
y ω s = 2π
T
P(ω) = 2π
es la frecuencia de muestreo.
∞∑
k=−∞
) 2
δ(ω − kω s )
a) Exprese x p (t) (que es X p (ω) en el dominio del tiempo) en función de x(t) y
demuestre que x p (t) es una señal periódica de periodo T.
7

) Utilizando el resultado del apartado anterior, demuestre la siguiente igualdad
conocida con el nombre de fórmula de Poisson
∞∑
n=−∞
x(t − nT) = 1 T
∞∑
k=−∞
X(kω s )e jkωst
20. La respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo es
H(ω) = (1 + a cosωt o ) e −jωto
a) Suponiendo que a = 1 y t o = T/2, calcule la salida y(t) cuando la entrada es
x(t) = cos 2π 2π
t + cos2
T T t
b) Calcule la respuesta al impulso del sistema.
c) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule la salida y(t) cuando la
entrada es el pulso rectangular de la figura. Considere que a = 2 y t o = T 2 .
1
x(t)
T
Figura 7:
21. Considere un sistema LTI cuya respuesta al impulso es
h(t) =
sen 2πt
cos 4πt
πt
Determine la salida que produce el sistema a las siguientes entradas
a) x 1 (t) = cos 4πt + cos 8πt
sen 4πt
b) x 2 (t) =
πt
22. Suponga que la siguiente señal
es la entrada al sistema de la figura 8
( ) 2 senπt
x(t) = cosω o t ω o ≫ 1
πt
a) Calcule la transformada de Fourier de x(t).
8

h (t)
1
x(t)
y(t)
h (t)
2
Figura 8:
X( ω)
x(t)
h(-t)
h(t)
e-jw ot
y(t)
-W W
M M
ejw o t
Figura 9:
9

) Calcule la salida y(t) si h 1 (t) = 1 2 δ(t) y h 2(t) = j
2πt
23. Considere una señal x(t) que es la entrada al sistema de la figura 9
h(t) = 1 2 δ(t) + j
2πt
a) Demuestre que la transformada de Fourier de h(t) es H(ω) = u(ω).
b) Dibuje el espectro de la señal de salida y(t).
c) Proponga un sistema para recuperar la entrada x(t) a partir de y(t).
24. Determine la función de autocorrelación y la densidad espectral de energía de las
siguientes señales deterministas
{ A |t| < T
a) x(t) =
0 |t| > T
⎧
⎨ A −T/2 < t < 0
b) x(t) = −A 0 < t < T/2
⎩
0 |t| > T/2
{ A cos ωo t −T/2 < t < T/2
c) x(t) =
0 resto
d) x(t) = e −at u(t)
{ Ae
−at
0 < t < T
e) x(t) =
0 resto
suponiendo que ω 0 ≫ 1
25. La señal x(t) = e −αt u(t), α > 0 pasa a través de un sistema LTI con respuesta al
impulso x(t) = e −βt u(t), β > 0, α ≠ β. Calcule la densidad espectral de energía,
la función de autocorrelación y la energía de la salida.
26. Calcule la función de autocorrelación de las siguientes señales deterministas
sen Wt
a) x 1 (t) =
πt
b) x 2 (t) = sen W(t − t o)
π(t − t o )
sen Wt
c) x 3 (t) = cos ω o t
πt
siendo ω o >> W
27. Considere las dos siguientes señales x(t) y z(t)
a) Calcule y dibuje la función de autocorrelación de x(t).
b) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule y dibuje la función de
autocorrelación de z(t).
10

x(t)
1
z(t)
1
1
1 2 3 4
-1
Figura 10:
28. Considere el sistema de la figura 11 que se compone de un multiplicador y un
sen 4πt
filtro. Suponiendo que la respuesta al impulso del filtro es h(t) = calcule
πt
lo siguiente:
x(t)
h(t)
cos 4 πt
Figura 11:
a) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos 2πt.
b) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos 4πt.
sen 2πt
c) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = .
πt
sen 2πt
d) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos 6πt.
πt
29. Sea X(ω) la transformada de Fourier de la siguiente señal
{ cos
π
x(t) =
t T −T < t < T 2 2
0 resto
a) Determine X(0) sin calcular explícitamente X(ω).
b) Calcule X(ω).
30. Calcule la Transformada de Fourier inversa de las dos señales dibujadas en la figura
12
31. Considere la interconexión en serie de dos sistemas mostrada en figura 13. El
primer sistema viene especificado por la relación entrada salida y(t) = x 2 (t) y el
segundo es un filtro paso bajo ideal de ancho de banda π. Suponga que la entrada
al primer sistema es
x(t) = senπt
πt
11

|X (j ω )|
|X (j ω )|
1 2
1
π
ω
−π π −π π
π

d) Utilice la propiedad de derivación en tiempo para calcular la Transformada de
Fourier de x(t) a partir de z 2 (t). Verifique que se obtiene el mismo resultado
que en el apartado b).
13

Ejercicios complementarios
1. Repetir el ejercicio 1 de los problemas básicos para las siguientes respuestas al
impulso
a) h(t) = e −t u(t)
b) h(t) = e −|t|
2. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes señales:
a) La señal de la figura 15
1
b)
1 + t 2
c) [ te −2t sen 4t ] u(t)
{ 1 − t
d) x(t) =
2 , 0 < t < 1
0, resto
Figura 15:
3. Utilice las propiedades de la transformada de Fourier para demostrar que la transformada
de Fourier de
x(t) =
tn−1
(n − 1)! e−at u(t), a > 0 ←→
1
(a + jω) n
4. El concepto de autofunción es muy importante en el estudio de sistemas LTI.
También lo es en el estudio de sistemas lineales pero variantes en el tiempo. Concretamente,
considere un sistema de este tipo con entrada x(t) y salida y(t). Se dice
que una señal φ(t) es una autofunción del sistema si
φ(t) −→ λ φ(t)
es decir, si x(t) = φ(t), entonces y(t) = λφ(t), donde la constante compleja λ se
denomina el autovalor asociado a φ(t).
14

a) Suponga que podemos representar la entrada x(t) a nuestro sistema como
una combinación lineal de autofunciones φ k (t), a cada una de las cuales le
corresponde el autovalor λ k .
x(t) =
∞∑
k=−∞
c k φ k (t)
Exprese la salida y(t) en términos de c k , φ k (t) y λ k .
b) Considere el sistema caracterizado por la ecuación diferencial
y(t) = t 2d2 x(t)
dt 2
+ t dx(t)
dt
¿Es este sistema lineal? ¿Es este sistema invariante en el tiempo?
c) Demuestre que el conjunto de funciones
φ k (t) = t k
son autofunciones del sistema del apartado anterior. Para cada φ k determine
su correspondiente autovalor λ k .
d) Calcule la salida de este sistema si
x(t) = 10t −10 + 3t + 1 2 t4 + π
5. Sea X(ω) la figura del ejercicio 7 de los problemas básicos
a) Calcular ∫ ∞ 2 sen ω
X(ω)
−∞ ω
b) Calcular ∫ ∞
−∞ |X(ω)|2 dω
e j2ω dω
Nota: Todos los cálculos deben hacerse sin evaluar de forma explícita X(ω).
6. Demuestre que una señal x(t) de banda limitada, es decir, X(ω) = 0 para |ω| >
2πB 0 verifica que |x(t)| 2 ≤ 2B 0 E x ∀t donde E x es la energía de x(t). Utilice la
desigualdad de Schwartz para resolver este ejercicio
∣
∫ ∞
−∞
f 1 (x)f 2 (x)dx
∣
2
≤
∫ ∞
−∞
∫ ∞
|f 1 (x)| 2 dx |f 2 (x)| 2 dx
−∞
7. Demuestre que una señal y(t) de duración temporal finita T, es decir, y(t) = 0
para t ≤ 0 y t ≥ T cumple que |Y (ω)| 2 ≤ TE x ∀ω. Utilice la desigualdad de
Schwartz.
8. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso h(t) =
salida y i (t) a cada una de las siguientes entradas x i (t):
sen 2πt
. Calcule la
πt
15

a) x 4 (t) =
∞∑
k=−∞
b) x 6 (t) = 1
1+t 2
δ(t − 10k/3)
9. La salida y(t) de un sistema LTI está relacionada con la entrada x(t) a través de
la ecuación
∫
dy(t)
∞
+ 10y(t) = x(τ)z(t − τ)dτ − x(t)
dt
donde z(t) = e −t u(t) + 3δ(t).
−∞
a) Determine la respuesta en frecuencia de este sistema.
b) Calcule la respuesta al impulso
10. Repita los dos últimos apartados del ejercicio 11 de los problemas básicos para las
siguientes entradas
a) X(ω) = 1 + jω
2 + jω
b) X(ω) = 2 + jω
1 + jω
1
c) X(ω) =
(2 + jω)(1 + jω)
11. La respuesta al impulso de un sistema LTI es h(t) = e −at u(t) (a > 0). Utilizando
técnicas de análisis en el dominio de la frecuencia, encuentre la respuesta del
sistema a x(t) = e −at cos(ω 0 t)u(t).
12. Utilizando el teorema de Parseval, resuelva
a)
b)
c)
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
13. (Junio 96)
e −atsen(πt) dt
πt
e −at ( sen(πt)
πt
e −at cos(ω o t)dt
) 2
dt
Considere un sistema LTI con respuesta al impulso real. Demuestre que cuando
la entrada es x(t) = cosω o t la salida es y(t) = |H(ω o )| cos(ω o t + φ(ω o )) siendo
H(ω o ) = |H(ω o )|e jφ(ωo) la respuesta en frecuencia del sistema a la frecuencia ω o .
14. (Junio96)
¿Puede la respuesta de un sistema LTI estable a x(t) = u(t) − u(t − T) (pulso
rectangular de duración T) ser y(t) = e −at u(t), a > 0? Justifique su respuesta.
16

15. Sean x(t) e y(t) dos señales reales. La función de correlación cruzada φ xy (t) se
define de la siguiente manera
φ xy (t) =
∫ ∞
−∞
La función φ xx (t) es la función de autocorrelación de x(t)
a) ¿ Cual es la relación que existe entre φ xy (t) y φ yx (t)?
x(τ)y(t + τ)dτ (1)
b) Suponga que y(t) = x(t + T). Exprese φ xy (t) y φ yy (t) en función de φ xx (t).
c) Calcule la función de autocorrelación de la señal x(t) dibujada en la figura
16.
d) Encuentre la respuesta al impulso de un sistema LTI que proporcione φ xx (t−
T) a la salida cuando la entrada es x(t).
1
x(t)
Figura 16:
16. Sean x(t) e y(t) dos señales reales. La función de correlación cruzada φ xy (t) se
define como
φ xy (t) =
∫ ∞
−∞
2
x(τ)y(t + τ)dτ (2)
Análogamente se definen φ yx (t), φ xx (t) y φ yy (t). Suponga que Φ xx (ω), Φ xy (ω),
Φ yx (ω) y Φ yy (ω) son respectivamente las transformadas de Fourier de φ xx (t),
φ xy (t), φ yx (t) y φ yy (t).
a) ¿ Cual es la relación entre Φ xy (ω) y Φ yx (ω)?
b) Encuentre una expresión de Φ xy (ω) en términos de X(ω) y Y (ω).
c) Utilizando el resultado anterior, demuestre que Φ xx (ω) es real y nonegativa
para todo ω.
d) Suponga ahora que x(t) es la entrada a un sistema LTI con una respuesta
al impulso real h(t) y con una respuesta en frecuencia H(ω), y que y(t) es
la salida obtenida. Encuentre expresiones de Φ xy (ω) y Φ yy (ω) en términos de
Φ xx (ω) y H(ω).
e) Sea x(t) la señal dibujada en la figura 17 y sea la respuesta al impulso de un
sistema LTI h(t) = e −at u(t),a > 0. Calcule Φ xx (ω), Φ xy (ω) y Φ yy (ω) usando
los resultados de los apartados precedentes.
17

1
x(t)
Figura 17:
1
17. Calcule la función de autocorrelación y la densidad espectral de energía de la señal
x(t) = A cos(ω 0 t + φ) [u(t) − u(t − T)] suponiendo que ω 0 ≫ 1.
18. Demuestre que la función de autocorrelación R x (t) de una señal determinista x(t)
cumple las siguientes propiedades
a) R x (t) = R ∗ x(−t)
b) |R x (t)| ≤ R x (0). Utilice la desigualdad de Cauchy-Schwartz
∣
∫ ∞
−∞
f 1 (x)f 2 (x)dx
∣
2
≤
∫ ∞
−∞
c) Si y(t) = x(t − T) entonces R y (t) = R x (t)
∫ ∞
|f 1 (x)| 2 dx |f 2 (x)| 2 dx (3)
−∞
18

Soluciones de los ejercicios básicos
1. a) y(t) = sin(2πt + π 4 )
b) y(t) = sin(2πt)
c) y(t) = cos(2πt)
d) y(t) = − 1 2 sin(2πt)
e) y(t) = 3 4 cos(πt)
2. a) X(ω) = 1 2 ( 1
α − jω 0 + jω + 1
α + jω 0 + jω )
b) X(ω) = e3 e −jω
1 − jω
3j
c) X(ω) =
9 + (ω + 2) − 3j
2 9 + (ω − 2) 2
1 [
d) X(ω) = e 6 e 2jω − e −9 e −3jω]
3 + jω
sin(ω + π)
π + ω
e) X(ω) = 2 sinω sin(ω − π)
+ +
ω ω − π
[ ] [ ]
sin πt sin 2π(t − 1)
f )
πt π(t − 1)
(propiedad de modulación)
Donde: { 1 si |ω| < π
X 1 (ω) =
0 resto
{ e
−jω
si |ω| < 2π
X 2 (ω) =
0 resto
⎧
0 si ω < −3π
1+e
⎪⎨
−jω
si −3π < ω < −π
2πj
X(ω) = 0 si −π < ω < π
−
⎪⎩
1+e−jω si π < ω < 3π
2πj
0 si ω > 3π
g) Ver figura 18
[ ] 2 2 sin ω
X(ω) =
ω
{ e
2jπt
si |t| < 3
3. a) x(t) =
0 resto
= x(t) = x 1 (t)x 2 (t) ⇒ X(ω) = 1
2π X 1(ω) ∗ X 2 (ω)
19

2
1
1
=
-2 2
-1 1
*
-1 1
Figura 18:
jπ
b) x(t) = e− 3
2 δ(t − 4) + e jπ 3
2
(cos t)πt − π sin t
c) x(t) =
(πt) 2
d) x(t) = 2j
π sin t + 3 π cos(2πt)
δ(t + 4)
4. a) X(ω) = 2πδ(ω − 200)
b) X(ω) = πe − jπ 4 δ(ω −
π
4 ) + πe jπ 4 δ(ω +
π
4 )
c) X(ω) = π [δ(ω − 4) + δ(ω + 4)] + π j
[δ(ω − 8) − δ(ω + 8)]
d) X(ω) = π [δ(ω − 4) + δ(ω + 4)] + π [δ(ω − 6) − δ(ω + 6)]
j
e) X(ω) = π 2 e jπ π
4 δ(ω−8π)+ jπ jπ
2 e− 4 δ(ω+8π)+πe 4 δ(ω−10π)+πe
− jπ 4 δ(ω+10π)+
π
2 e jπ π
4 δ(ω − 12π) + jπ 2 e− 4 δ(ω + 12π)
f ) X(ω) = π ]
[e
j [δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + π jπ 4 δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)e
− jπ 4
g) X(ω) = − 1 2 + ∞
∑
5. a) y(t) =
b) y(t) =
c) y(t) =
d) y(t) =
k=−∞ k≠0
2π( 1 2 − (−1)k )δ(ω − kπ)
1
√
16 + 4π
2 cos(2πt − arctan(π 2 ))
1
√
16 + 16π
2 sin(4πt−arctan(π))+ 1
√
16 + 36π
2 cos(6πt+π 4 −arctan(3 2 π))
∞∑
k=−∞
∞∑
k=−∞
k impar
1
4 + j2kπ ej2πkt
1
4 + jkπ ejkπt
6. a) y(t) = 1 4 e−4t u(t) − 1 4 e−2t u(t) + 1 4 te−2t u(t) + 1 4 te−4t u(t)
20

[ 1
b) y(t) =
4 e−2t + 1 4 te−2t − 1 4 e−4t + 1 ]
4 te−4t u(t)
c) y(t) = 1 2 e−|t|
7. a) X(0) = 7
b)
∫ ∞
−∞
X(ω)dω = 4π
8. x(t) = cos 2πt + sin 6πt
a) y(t) = cos 2πt
b) y(t) = 4π cos 2πt + 3π sin 6πt
c) y(t) = 1 sin 6πt
2
9. a) H(ω) = Y (ω)
X(ω) =
b) h(t) = 3 2 [e−4t + e −2t ]u(t)
c) d2 y(t)
dt 2
+ 6 dy(t)
dt
10. a) Ver figura 19
b) Ver figura 20
c) Ver figura 21
d) Ver figura 22
e) Ver figura 23
11. a) H(ω) = Y (ω)
X(ω) = 1
2 + jω
1
b) Y (ω) =
(1 + jω)(2 + jω)
c) y(t) = e −t u(t) − e −2t u(t)
12. a) h(t) = [e −2t − e −4t ]u(t)
13. No.
3(3 + jω)
(4 + jω)(2 + jω)
+ 8y(t) = 3[3x(t) + dx(t) ]
dt
b) y(t) = [ 1 4 e−2t − 1 2 te−2t + 1 2 t2 e −2t − 1 4 e−4t ]u(t)
[√
−(
c) h(t) = 2δ(t) − 2(1 + 2j)e 1+j √ )t 2 + √ ] 2(1 − 2j)e −(1−j √ )t 2 u(t)
14. (b) Ver figura 24
21

1/2
-3/2 -1/2 1/2 3/2
Figura 19:
1/2
-1 1 w
Figura 20:
1/2
-3 -2 -1
1 2 3 w
Figura 21:
1/4
w
-1/4
Figura 22:
22

1/2
-3
-2
-1
1 2 3 w
-1/2
Figura 23:
1
-2 Pi 2 Pi w
Figura 24:
⎧
⎪⎨
(c) X 2 (ω) =
⎪⎩
0, ω ≤ −3π
ω 2 +6πω+9π 2
, −3π < ω < −π
4π
3π 2 −ω 2
, −π < ω < π
2π
ω 2 −6πω+9π 2
,π < ω < 3π
4π
0 , 3π ≤ ω
15. a)
b)
c)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X 2 (ω)dω
X 1 (ω)X 1 (ω)dω
X 2 (ω)X 1 (ω)dω
16. a) y 1 (t) = cos 2π(t − 1 4 )
b) y 2 (t) = 1 sin 6πt
2
17. a) Y (ω) = H(ω)[X(ω) − Y (ω)G(ω)] = H(ω)X(ω) − Y (ω)G(ω)H(ω)
⇒ Y (ω)(1 + H(ω)G(ω)) = H(ω)X(ω)
23

⇒ H eq (ω) = Y (ω)
X(ω) =
b) h eq (t) = e −4t u(t)
18. y(t) = 2 sin 4πt
19. a) x p (t) = x(t) ∗ p(t)
∞∑
x p (t) = x(t) ∗ T
20. a) y(t) = 1 + cos 4πt
T
n=−∞
H(ω)
1 + H(ω)G(ω)
δ(t − nT) = T
= 2 cos2
2πt
T
b) h(t) = a 2 δ(t) + δ(t − t 0) + a 2 δ(t − 2t 0)
c) y(t) = x(t) + x(t − T ) + x(t − T)
2
∞∑
n=−∞
x(t − nT)
21. a) y 1 (t) = 1 cos 4πt
2
sin πt
b) y 2 (t) = cos 3πt
πt
22. a) Ver figura 25
b) y(t) = 1 2
( sin πt
πt
23. (b) Ver figura 26
) 2
e
jω 0 t
(c) Ver figura 27
⎧
0 t < −2π
⎪⎨
A
24. a) R x (t) =
2 (t + 2T) −2T < t < 0
A ⎪⎩
2 (−t + 2T) 0 < t < 2T
0 t > 2T
ψ x (ω) = 4A2 sin 2 ωT
⎧
⎪⎨
b) R x (t) =
⎪⎩
ω 2
0 t < −T
A 2 (−t − T) −T < t < − T 2
A 2 (3t + T) − T < t < 0 2
A 2 (−3t + T) 0 < t < T 2
A 2 (t − T)
0 t > T
T
< t < T 2
ψ x (ω) = 16 sin4 ωT 4
ω 2 24

-w w-2 Pi w w=2 Pi
Figura 25:
-w o-w m
0
wo wo wo+wm
Figura 26:
2
X
cosw ot
-w c 0 wc
Figura 27:
w m

⎧
⎪⎨
c) R x (t) =
⎪⎩
0 t < −T
A 2
2 (t + T) cos ω 0t −T < t < 0
A 2
2 (−t + T) cos ω 0t 0 < t < T
0 t > T
ψ x (ω) = [ A sin(ω − ω 0) T 2
+ A sin(ω + ω 0) T 2
] 2
ω − ω 0 ω + ω 0
d) R x (t) =
ψ x (ω) =
{ e at
⎧
⎪⎨
e) R x (t) =
⎪⎩
t < 0
2a
e −at
t > 0
2a
1
a 2 + ω 2
ψ x (ω) = Ver 3c).
0 t < −T
A 2
2a (eat − e −a(t+2T) ) −T < t < 0
A 2
2a (e−at − e a(t−2T) ) 0 < t < T
0 t > 0
1 1
25. D.E.E. =
β 2 − α 2[ α 2 + ω − 1
2 β 2 + ω 2]
1
R y (t) =
1
β 2 − α 2[ 2α e−α|t| − !
2β e−β|t| ]
1
E y =
2αβ(α + β)
sin Wt
26. a) R 1 (t) =
πt
sin Wt
b) R 2 (t) =
πt
c) R 3 (t) = 1 sin Wt
cos ω 0 t
2 πt
⎧
⎨ 1 + t −1 < t < 0
27. a) R x (t) = 1 − t 0 < t < 1
⎩
0 resto
1
-1
1
b) R z (t) = 2R x (t) − R x (t − 2) − R x (t + 2)
26

2
−2
−1
1
2
−1
28. a) y(t) = 1 cos 2πt
2
b) y(t) = 1 2
sin πt
c) y(t) = cos 3πt
πt
d) y(t) = 1 sin 4πt
4 πt
29. a) X(0) = 2T π .
b) X(ω) = 2π
T
30. a) x 1 (t) =
( π
T
cos ωT 2
) 2
− ω
2
sin π(t − 1)
π(t − 1)
b) x 2 (t) = − dx 3(t)
donde x 3 (t) =
dt
⎧
⎨ 1 + ω −π < ω < 0
2π
31. a) Z(ω) = 1 − ω 0 < ω < π
⎩
2π
b) z(t) =
sin πt
2πt
0 resto
( sin
π
2
+
t
πt
) 2
32. X(ω) = 4 sin2 ωT 2
ω 2 27
sin πt
πt

Soluciones de los ejercicios complementarios
1. a) h(t) = e −t u(t) ⇒ H(w) =
1
1 + jw
1) x(t) = sin(2πt + π 4 ) ⇒ y(t) = 1
√
1 + 4π
2 sin(2πt + π 4 − arctan(2π))
2) x(t) = sin(2πt) + cos(4πt) ⇒
1
y(t) = √ sin(2πt−arctan(2n))+ 1
√ cos(4πt−arctan(4π))
1 + 4π
2 1 + 16π
2
3) x(t) = cos(2πt) + sin(3πt) ⇒
1
y(t) = √ cos(2πt−arctan(2n))+ 1
√ cos(3πt−arctan(3π))
1 + 4π
2 1 + 9π
2
4) x(t) = (sin 3πt)(cos 5πt) ⇒
y(t) = 1 1
√
2
sin(8πt−arctan(8π))−1 1
√
1 + 64π
2 2
sin(2πt−arctan(2π))
1 + 4π
2
5) x(t) = cos 3 πt ⇒
y(t) = 3 1
√
4
cos(πt −arctan(π))+ 1 1
√ cos(3πt −arctan(3π))
1 + π
2 4 1 + 9π
2
b) h(t) = e −|t| ⇒ H(ω) = 2
1 + ω 2
1) x(t) = sin(2πt + π 4 ) ⇒ y(t) = 2
1 + 4π sin(2πt + π 2 4 )
2) x(t) = sin(2πt) + cos(4πt) ⇒
2
y(t) =
1 + 4π sin(2πt) + 2
2 1 + 16π cos(4πt) 2
3) x(t) = cos(2πt) + sin(3πt) ⇒
2
y(t) =
1 + 4π cos(2πt) + 2
2 1 + 9π sin(3πt) 2
4) x(t) = (sin 3πt)(cos 5πt) ⇒
1
y(t) =
1 + 64π sin(8πt) − 1
2 1 + 4π sin(2πt) 2
5) x(t) = cos 3 πt ⇒ y(t) = 3 1
2 1 + π cos(πt) + 1 1
2 2 1 + 9π cos(3πt) 2
2. a) X(ω) = 1 [
1 + e jω − 3e −jω + e −3jω]
jω
b) X(ω) = πe −|ω|
c) X(ω) = − 1 2j
d) X(ω) = 1 + 2e−jω
jω −ω 2
1
[2 + j(ω + 4)] − 1 1
2 2j [2 + j(ω − 4)] 2
− 2e−jω −2
jω 3
3. x(t) = tn−1
(n − 1)! e−at u(t),a > 0 ⇒ X(ω) =
28
1
(a + jω) n

Demostración:
1
n = 1 ⇒ X(ω) =
a + jω
n = 2 ⇒ x(t) = te −at u(t) ⇔ j d
dω
Suponemos cierto para n ⇒
n + 1 ⇒ X(ω) = j [
d 1
n dω
⇒ Cierto ∀n
∞∑
4. a) y(t) = c k λ k φ k (t)
5. a)
6.
7.
k=−∞
b) Lineal, no invariante.
c) λ k = k 2
d) y(t) = 10 3 t −10 + 3t + 8t 4
b)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X(ω)2 sin ω
ω e2jω dω = 7π
|X(ω)| 2 dω = 26π
( ) 1
⇒ X(ω) =
a + jω
1
(a + jω) 2
]
= j −jn
(a + jω) n n (a + jω) = 1
n+1 (a + jω) n+1
8. a) y 3 (t) = 1 π cos(πt)
b) y 4 (t) = 3 [ ]
1
5 2 + cos(3π 5 t) + cos(6π 5 t) + cos(9π 5 t)
c) y 6 (t) = 1 − e −2π [cos 2πt − t sin 2πt]
3 + 2jω
9. a) H(ω) =
(1 + jω)(10 + jω)
b) h(t) = [ 1 9 e−t + 17
9 e−10t ]u(t)
10. a) Y (ω) = 1 + jω
(2 + jω) = 1
2 (2 + jω) − 1
(2 + jω) 2
y(t) = [e −2t − te −2t ]u(t)
1
b) Y (ω) =
1 + jω
y(t) = e −t u(t)
1
1
c) Y (ω) =
(2 + jω) 2 (1 + jω) = 1
(1 + jω) + 2
(2 + jω) − 1
(2 + jω) 2
y(t) = [e −t − e −2t − te −2t ]u(t)
29

11. y(t) = 1 ω 0
e −at (sin ω 0 t)u(t)
12. a) 1 π π tan−1 a
b) 1 2π π tan−1 a + a ( )
2π ln a
√ 2 a2 + 4π 2
c) 1 [
]
1 1 a
+ =
2 a + jω 0 a − jω 0 a 2 + ω0
2
13.
14. No.
15. a) φ yx (t) = φ xy (−t)
b) φ xy (t) = φ xx (t + T)
φ yy (t) = φ xx (t)
⎧
1
⎨
24 (−t3 + 12t + 16) −2 < t < 0
1
c) R x (t) =
⎩
24 (t3 − 12t + 16) 0 < t < 2
0 Resto
d) h(t) = x(T − t)
16. a) Φ yx (ω) = Φ ∗ xy(ω)
b) Φ xy (ω) = X(ω)Y ∗ (ω)
(d) Φ xy (ω) = Φ xx (ω)H(ω)
Φ yy (ω) = Φ xx (ω)|H(ω)| 2
⎧
⎪⎨
17. R x (t) =
⎪⎩
18.
0 t < −T
A 2
2 (t + T) cos ω 0t −T < t < 0
A 2
2 (−t + T) cos ω 0t 0 < t < T
0 t > T
30