Problemas de exámenes de Espacios Vectoriales
Problemas de exámenes de Espacios Vectoriales
Problemas de exámenes de Espacios Vectoriales
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2<br />
6. Se consi<strong>de</strong>ra el conjunto A = {<br />
a<br />
–b+c<br />
b+c<br />
a<br />
| a,b,c∈R}<br />
a) Demostrar que A es un subespacio vectorial <strong>de</strong> M (2,2) (R).<br />
b) Determinar su dimensión, una base, y completarla hasta a obtener una <strong>de</strong> M (2,2) (R).<br />
c) Calcular base y dimensión <strong>de</strong><br />
A ∩ [<br />
1 1<br />
, 1 1<br />
, 0 1<br />
]<br />
1 0 0 1 1 1<br />
7. Se consi<strong>de</strong>ran los subespacios<br />
S = {(x,y,z,t)∈R 4 | –x+y = 0 , t = z} T = {(x,y,z,t)∈R 4 | x = ay–at , z = –ay+at }<br />
a) Encontrar una base y la dimensión <strong>de</strong> S y <strong>de</strong> T.<br />
b) Calcular a para que S+T tenga dimensión 3.<br />
c) Con la a calculada encuentra una base <strong>de</strong> S ∩ T .<br />
8. Sean<br />
S = {(x,y,z,t)∈R 4 | –2x+3y+2z+t = 0}<br />
T = [(3,1,2,0),(1,1,0,–1),(3,1,3,–2),(1,λ,–1,1)]<br />
a) Calcula λ para que T tenga dimensión 3.<br />
b) Con la λ <strong>de</strong>terminada, ¿son S y S ∪ T subespacios vectoriales En caso afirmativo<br />
hallar una base y su dimensión.<br />
c) Con la λ <strong>de</strong>terminada, hallar la dimensión y una base <strong>de</strong> S ∩ T y S+T.<br />
d) Completa la base <strong>de</strong> S ∩ T a una base <strong>de</strong> R 4 .<br />
9. Dados los subespacios S = [(0,1,1),(1,0,2),(–2,3,–1)] y T = [(1,1,3),,(–1,4,a)], hallar a para<br />
que S = T. Hallar un vector u que complete el conjunto generador <strong>de</strong> S hasta una base para R 3 .<br />
Averiguar si S ∪ [u] es un subespacio. Hallar una base para S ∩ [(1,0,1),(0,1,1)].<br />
10. En el espacio vectorial R 3 (x) <strong>de</strong> los polinomios <strong>de</strong> grado menor o igual que 3, sean los<br />
subespacios<br />
F = {P(x) | P(0) = P(1) = P'(1/2) = P'''(0) = 0} y<br />
G = [x+1,x,x–1]<br />
a) Demostrar que F está formado por los polinomios a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 que verifican a 0 = a 3 = 0 y<br />
a 1 = –a 2 .<br />
b) Hallar una base y dimensión <strong>de</strong> F y G.<br />
c) ¿Son los polinomios x 2 –5x+2 y 3x–4 elementos <strong>de</strong> G. En caso afirmativo expresarlos como<br />
combinación lineal <strong>de</strong> x+1, x y x–1.