1 PROBLEMAS RESUELTOS DE CAMPO MAGNÉTICO 1.- Un ...

PROBLEMAS RESUELTOS DE CAMPO MAGNÉTICO
1.- Un electrón con velocidad de 1.6x10 7
m/s penetra en un cubo en donde existe
un campo magnético uniforme B, como
se muestra. El electrón se desvía 90º.
¿Cuál es la magnitud de B
c) Esta fuerza obligaría al protón a
describir un círculo. Escribir la segunda
ley de Newton para esta fuerza.
d) ¿Cuál debe ser la diferencia de
potencial V que acelera un protón, que
parte del reposo, para que entrando
dentro de un campo magnético B
perpendicular, describa una órbita de
radio r
Solución.
Dentro del campo magnético, el electrón
describe un cuarto de círculo de radio
r = 10 cm = 10 -1 m.
De la segunda ley de Newton, tenemos:
F = ma además
F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = mv 2 /r
De donde: B = mv/r
B = 9.0x10 -4 T
2.- Un protón de carga e, de masa m
parte del reposo y es acelerado a través
de una diferencia de potencial V.
a) ¿Cuál es su energía cinética
b) Con la energía cinética adquirida, el
protón penetra en un campo magnético
B, perpendicular a v. ¿Cuál es la fuerza
magnética que actúa sobre el protón
Solucióna)
La energía potencial eléctrica del
protón se convierte en energía
cinética.
U = qV = eV, luego
eV = ½ mv 2
b) Como el campo magnético B es
perpendicular a la velocidad v, la
fuerza magnética es:
F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = Bev
c) La fuerza magnética que actúa
sobre el protón lo obligaría a
describir un círculo porque es
perpendicular a la velocidad v,
lo que modifica solo la dirección
de la velocidad y no su
magnitud, el protón tendría un
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movimiento circular uniforme y
su aceleración centrípeta es v 2 /r.
De la segunda ley de Newton:
F = ma de donde: Bev = m v 2 /r
d) De la ecuación: Bev = m v 2 /r
tenemos que
v = Ber/m, que llevada a la ecuación
de la energía potencial eléctrica se
tiene:
eV = ½ mv 2 de donde:
V = mv 2 /2e luego:
V = B 2 er 2 /2m
3.- Un haz de electrones sin perturbar,
de un osciloscopio, se mueve a lo largo
de la dirección x, como se muestra. El
polo sur de un imán de barra se acerca
al tubo de rayos catódicos desde arriba,
y desvía el haz. La magnitud del campo
magnético del imán es 0.05 T en la
cercanía del haz, y la velocidad de los
electrones del haz es 2x10 5 m/s. ¿Cuál es
la magnitud de la fuerza magnética que
actúa sobre los electrones¿Cuál es la
dirección de esa fuerza, esto es, hacia
dónde se desvía el haz
Solución.
Como el campo magnético se dirige al
polo sur, de modo que, como indica la
figura, el campo magnético del imán de
barra, tiene dirección +y (j), la velocidad,
v, de los electrones tiene dirección +x (i),
luego la fuerza magnética es:
F = qv x B = q(vi x Bj) = qvBk
Como sabemos, i, j, k, son los vectores
unitarios en las direcciones x, y y z
respectivamente. Reemplazando valores
F = (- 1.6 x 10 -19 C)(2x10 5 m/s)(5x10 -2 T)k
F = - 1.6 x 10 -15 Nk
Con la regla de la mano derecha
podemos comprobar que el producto
vectorial qv x B tiene la dirección +z. Sin
embargo, como la carga del electrón es
negativa, de modo que la fuerza sobre el
electrón está en la dirección – x, y el haz
se desvía hacia esa dirección, como se
muestra en la figura.
4.- Una partícula de carga desconocida,
q, y de masa desconocida, m, se mueve
con una velocidad v = 4.8x10 6 m/s en
dirección +x, entrando a una región de
campo magnético constante, como se
muestra.
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El campo tiene magnitud B = 0.5 T y está
orientado en dirección +z. La partícula
es desviada hacia la dirección –y, y
describe un fragmento de círculo, de
radio R = 0.1 m. ¿Cuál es el signo de la
carga de la partícula, y cuál es la
relación q/m
Solución.
La fuerza magnética está expresada por
el producto vectorial F = qv x B y se
dirige según la regla de la mano
derecha, hacia la dirección – y. Para que
esta fuerza tenga esa dirección q debe
ser positiva.
La relación q/m se calcula empleando
R = mv/qB luego
q/m = v/ BR
Esta partícula es un protón
5.- Suponga que se acerca la tierra un
protón, a una velocidad de 1.5x10 7 m/s,
a un ángulo de 40º respecto a las líneas
del campo magnético terrestre, y queda
capturado en el cinturón inferior de Van
Allen, a una latitud media de 3000 km,
sin cambiar su velocidad. Si la
intensidad media del campo magnético
terrestre a esa altitud es de 10 -5 T, calcule
la frecuencia ciclotrónica y el radio de
curvatura del movimiento del protón.
f = qB/2πm
El protón se mueve en una espiral cuyo
radio de curvatura del componente de
velocidad perpendicular al campo
magnético. Ese componente tiene como
magnitud
vp = v sen 40º = (1.5x10 7 m/s)sen 40
vp = 10 7 m/s
El radio viene dado por
R = m vp /qB = 10 4 m = 10 km
6.- Un campo magnético en un punto de
la superficie de la tierra tiene un valor
de 0.6 G y está dirigido hacia abajo y
hacia el norte, formando un ángulo de
70º aproximadamente con la horizontal,
como se indica en la figura. (La
magnitud y dirección del campo
magnético terrestre varía de un lugar a
otro Los datos que aquí se dan
corresponden aproximadamente a la
parte central de los Estados Unidos.) Un
protón de carga q = 1.6x10 -19 C se mueve
horizontalmente en dirección norte con
velocidad v =10 7 m/s. Calcular la fuerza
magnética sobre el protón.
Solución.
La frecuencia ciclotrónica viene dada
por
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Solución.
La fuerza magnética es
magnética ejercida sobre el segmento de
cable
F = qv x B pero :
v = vy j ; B = By j + Bz k
F = qv x B = q(vy j) x (By j + Bz k)
F = qvy By (j x j) + qvy Bz (j x k) = qvy Bz i
Como el campo magnético es
B = B cos 70ºj - B sen 70ºk entonces
F = qvy (B sen 70) i
F =-(1.6 x 10 -19 C)(10 7 m/s)(0.6x10 -4 T)(0.94)
F = - 9.02 x 10 -17 N i
La fuerza es – i hacia el oeste, como lo
indica la figura siguiente.
Solución
La fuerza magnética se encuentra en la
dirección de l x B que como se muestra
en la figura está en la dirección z.
F = I l x B = IlBsen30º k
F = (3.0 A)(0.003 m)(0.02 T)(sen30)k
F = 9x10 -5 N k
8.- Un alambre curvado en forma
semicircular de radio R se encuentra en
el plano xy. Por él circula una corriente
I del punto a al punto b, como se indica.
Un campo magnético uniforme B = Bk
está dirigido perpendicularmente al
plano de la espira. Determinar la fuerza
que actúa sobre la parte semicircular del
alambre.
Se obtiene el mismo resultado si
aplicamos la definición del producto
vectorial: F = qvBsen70.
7.- Un segmento de cable de 3 mm de
longitud transporta una corriente de 3 A
en la dirección x. Se encuentra en el
interior de un campo magnético de
magnitud 0.02 T en el plano xy
formando un ángulo de 30º con el eje x,
como se indica. ¿Cuál es la fuerza
Solución
La figura siguiente muestra la fuerza dF
ejercida sobre un segmento del alambre
semicircular; esta fuerza yace sobre el
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plano xy; para determinar la fuerza total
se expresan las componentes x e y de dF
en función de θ e integramos de θ = 0 a
θ =
La velocidad viene dada por:
v = rqB/m
v = 8.05x10 6 m/s
dF = Idl x B
dl = - dl sen θ i + dl cos θ j
además dl = R dθ
dF = Idl x B
dF = (- IR sen θ dθ i + IR cos θ dθ j) x Bk
dF = IRB sen θ dθ j + IRB cos θ dθ i
Integrando cada componente
F = IRB i (0) + IRB j (2) = 2IRB j
10.- un protón de masa m = 1.67x10 -27 kg
y carga q = 1.6x10 -19 C se mueve en un
círculo de radio 21 cm,
perpendicularmente a un campo
magnético B = 4000 G. Determinar el
período del movimiento y la velocidad
del protón.
Solución
4000G = 0.4T
T = 2πm/qB
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