Mapas de Karnaugh y Compuertas lógicas

LÓGICA MATEMÁTICA
Mapas de Karnaugh
y Compuertas lógicas
Guía de trabajo
Favián Arenas A. y Amaury Camargo
Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías
Departamento de Matemáticas

4.20 Objetivos Lógica Matemática
Guía de trabajo 4
4.20. Objetivos
El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes
elementos básicos para la solución de un problema:
Entradas y salidas de las compuertas lógicas.
tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas.
Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh
4.21. Recursos de aprendizaje
Aula de clases,
Auditorios.
Videobeam
Retroproyector.
Foro
Chat
Correo electrónico
Favián Arenas. 125 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
A
B
LA COMPUERTA
AND
El esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuerta
AND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderá
solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno
de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no se
enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se
muestran en la tabla de verdad.
A B Lampara
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dos
interruptores en serie se representan con la compuerta AND
Para representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguiente
Favián Arenas. 126 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
Esta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B y
una salida A B.
El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra como
operan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método de
mostrar que ocurre en un circuito lógico.
A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee . A AND
B igual a la salida Y"
El punto () signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no la
operación de multiplicar como en el álgebra corriente.
LA COMPUERTA OR El grá…co de este circuito ilustra el funcionamiento
de la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados
en paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierra
cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinaciones
de los interruptores se muestran en la tabla siguiente.
Favián Arenas. 127 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
A B Lampara
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dos
interruptores en serie se representan con la compuerta OR
Para representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente:
Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B y
una salida A + B.
A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee . A OR
B igual a la salida Y"
Favián Arenas. 128 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y no
la operación de sumar como en el álgebra corriente.
COMPUERTA INVERSORA
En este circuito cuando se cierra el interruptor
A, la bombilla se apaga,(¿Por qué), al abrir el interruptor la bombilla
se enciende.
La tabla es:
A lámpara
1 0
0 1
Favián Arenas. 129 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
Es la misma tabla de la negación p; a este esquema se le llama La
compuerta inversora,
esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su función
es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir
unos a ceros y ceros a unos.
LA PUERTA NAND
Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que
opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando
una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras
exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas:
En forma proposicional (p ^ q).
En forma de expresión booleana (AB) 0 .
Favián Arenas. 130 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculo
a la salida.
LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puerta
OR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo OR
para formar el símbolo NOR.
Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y con
la lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores están
abiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos estén
cerrados.
Símbolo lógico de una compuerta NOR es:
Favián Arenas. 131 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamente
opuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas sus
entradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto en
cualquiera de ellas.
En forma proposicional (p _ q).
En forma de expresión booleana (A + B) c .
Ejemplo 38. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese la
siguiente función booleana de dos variables:
Ejemplo 39. f(x; y) = x 0 + xy + xy 0
se comienza con cada sumando
x 0 xy
xy 0
La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas:
El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana es
una tautología:
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4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática
debido a que xyz = (xy)z = x(yz) y que x+y +z = (x+y)+z =
x + (y + z)
una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertas
OR de dos entradas
así:
es equivalente a:
(X+Y)+Z
De manera semejante ocurre para la compuerta AND.
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4.22 Actividades Lógica Matemática
Ejemplo 40. Encontrar una representación booleana del siguiente circuito
de compuertas lógicas.
solución: en cada parte del circuito hay un mensaje:
en conclusión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] c
Es posible que la expresión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] c se pueda
simpli…car más.
4.22. Actividades
1. Probar que los dos circuitos siguientes realizan la misma función lógica:
Ejercicio 20. 1.
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4.22 Actividades Lógica Matemática
2. Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizando mapas de
Karnaugh
ab0(a + b0)c0 + b
a + b + (a0 + b + c)0
bc + da + c + (dc(ab + dc))
3. Construya un circuito de compuertas lógicas que esté representado por
la función:
Ejercicio 21. 1.
2. (a) f(x; y; z) = x + y c + z
(b)
(c)
f(x; y) = [(x + y) c (x + y)] c
f(x; y; z; w) = (xy + yzw c ) c + x c zw c
4. Simpli…que los circuitos anteriores aplicando el método de Karnaugh
5. Convertir el siguiente circuito en uno que solo utilice compuertas NAND
6. Encuentre los implicantes primos de este mapa de Karnaugh
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4.22 Actividades Lógica Matemática
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