calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.5 ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN |||| 483
61.
p2
y0
sen 2x
CAS
2 cos x dx ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN
67. (a) Use un sistema algebraico computacional para hallar la descomposición
en fracciones parciales de la función
62–63 Determine el área de la región bajo la curva dada de 1 a 2.
f x
4x 3 27x 2 5x 32
30x 5 13x 4 50x 3 286x 2 299x 70
62. y 1
63.
x 3 x
y x2 1
3x x 2
(b) Use el inciso (a) para hallar x f x dx (a mano) y compare
con el resultado de usar el CAS para integrar f de manera
directa. Comente acerca de cualquier discrepancia.
64. Encuentre el volumen del sólido resultante si la región bajo la
curva y 1x 2 3x 2 de x 0 a x 1 se hace girar respecto
a (a) el eje x y (b) el eje y.
65. Una manera de desacelerar el crecimiento de una población de
insectos sin usar pesticidas es introducir en la población varios
machos estériles que se aparean con hembras fértiles, pero no
producen descendencia. Si P representa el número de insectos
hembras en una población, S el número de machos estériles introducidos
cada generación y r la rapidez de crecimiento natural
de la población, entonces la población de hembras se relaciona
con el tiempo t mediante
P S
t y
Pr 1P S dP
Suponga que una población de insectos con 10 000 hembras
crece con una proporción de r 0.10 y se agregan 900
machos estériles. Evalúe la integral para obtener una ecuación
que relacione la población de hembras con el tiempo. (Observe
que la ecuación resultante no se puede resolver de manera
explícita para P.)
66. Factorice x 4 1 como una diferencia de cuadrados sumando
y restando primero la misma cantidad. Use esta factorización
para evaluar x 1x 4 1 dx.
CAS
68. (a) Encuentre la descomposición en fracciones parciales de
la función
f x
12x 5 7x 3 13x 2 8
100x 6 80x 5 116x 4 80x 3 41x 2 20x 4
(b) Use el inciso (a) para hallar x f x dx y grafique f y su integral
indefinida en la misma pantalla.
(c) Use la gráfica de f para descubrir las características principales
de la gráfica de x f x dx.
69. Suponga que F, G, y Q son polinomios y
Fx
Qx Gx
Qx
para toda x excepto cuando Qx 0. Demuestre que
Fx Gx para toda x. [Sugerencia: use la continuidad.]
70. Si f es una función cuadrática tal que f 0 1 y
f x
y
x 2 x 1 dx 3
es una función racional, encuentre el valor de f 0.
7.5
Como se ha visto, la integración es más desafiante que la derivación. Para hallar la derivada
de una función, resulta evidente cuál fórmula de derivación se debe aplicar. Pero podría
no ser obvio con la técnica que se debe usar para integrar una función dada.
Hasta ahora se han aplicado técnicas individuales en cada sección. Por ejemplo, normalmente
se usó sustitución en los ejercicios 5.5, integración por partes en los ejercicios
7.1 y fracciones parciales en los ejercicios 7.4. Pero en esta sección se presenta una colección
de diversas integrales en orden aleatorio y la dificultad principal es reconocer qué
técnica o fórmula usar. Ninguna regla invariable se puede dar en cuanto a qué método se
aplica en una determinada situación, pero se da cierta orientación sobre la estrategia que
podría resultar útil.
Un prerrequisito para la selección de estrategia es conocer las fórmulas básicas de integración.
En la siguiente tabla se han reunido las integrales de la lista previa junto con
varias fórmulas adicionales que se han aprendido en este capítulo. La mayor parte se deben
memorizar. Es útil conocer todas, pero las marcadas con un asterisco no necesitan
ser memorizadas, puesto que se deducen con facilidad. La fórmula 19 se puede evitar si se