ponencia - Cátedras - Universidad Tecnológica Nacional

III Jornadas de Acústica (JOSAC 2013)
Cátedra Fundamentos de Acústica y Electroacústica – FAyE
Departamento de Ingeniería Electrónica
Facultad Regional Córdoba, Universidad Tecnológica Nacional
Transformada de Hilbert-Huang
y sus aplicaciones
en ingeniería y ciencias
Fernando A. Marengo Rodriguez, Dr. Ing.
fmarengorodriguez@yahoo.com.ar
- Laboratório de Vibrações e Acústica
Departamento de Engenharia Mecánica, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil
- Laboratorio de Acústica y Electroacústica
Universidad Nacional de Rosario, Rosario, Argentina.
1

Análisis de señales
‣ Señales lineales y estacionarias Método FFT.
‣ Señales lineales y no estacionarias Método
wavelets.
‣ Señales no lineales (con modulación en
frecuencia): ¿qué método utilizamos
2

Señal AM-FM
‣ Es simétrica con respecto al eje horizontal.
‣ Si la amplitud o envolvente es suave, se puede
calcular la amplitud y la fase señal analítica
asociada.
a(t) . cos[θ(t)] a(t) . exp[i . θ(t)]
AM-FM Señal analítica asociada
Im
Re
3

Señal analítica
‣ Función exponencial compleja asociada a la
función real oscilatoria.
‣ Retiene las informaciones de la oscilación real:
amplitud (envolvente) y fase.
‣ Su parte real es las oscilación de la entrada y su
parte imaginaria es su transformada de Hilbert.
‣ Su espectro de Fourier es causal (0 si f < 0).
4

Señal analítica
Im
30
Hilbert{Entrada}
Entrada
25
Re
20
Fase (rad)
Señal compleja
15
10
5
Señal de entrada
0
0 200 400
Muestra
5

Señal analítica
Im
Señal compleja
30
25
Re
20
15
10
5
Fase (rad)
Señal de entrada
0
0 200 400
Muestra
6

Señal analítica
Im
Señal compleja
30
25
Re
20
15
10
5
Fase (rad)
Señal de entrada
0
0 200 400
Muestra
7

Observación
‣ Deseamos descomponer cualquier señal en
componentes puramente oscilatorias para
calcular su envolvente y fase instantánea.
‣ ¿Cómo obtener esas funciones oscilatorias
Señal de entrada Detalle fino Detalle grueso
8

El método de Descomposición
Empírica de Modos (EMD)
‣ Descompone una señal unidimensional en una
suma de señales (llamadas IMF) con diferentes
niveles de resolución, comenzando por el detalle
más fino.
‣ Es adaptativo y depende sólo de las componentes
existentes en la señal analizada.
‣ Función de modo intrínseco o IMF:
• es de amplitud y frecuencia modulada (AM-FM),
• es de banda limitada,
• # extremos = # cruces por cero,
• promedio entre las envolventes superior e inferior = 0. 9

El método de Descomposición
Empírica de Modos (EMD)
‣ Algoritmo: Gráficamente, EMD representa la
extracción de las oscilaciones de mayor
frecuencia (azul) contenidas en otras
oscilaciones de menor frecuencia (rojo).
Entrada
10

Tamizado
1) Señal original: x (t )
11

media local
m 11 (t)
detalle local
d 11 (t) = x(t) – m 11 (t)
15

2 d 11 (t)
d 11 (t)
m 12 (t)
d 11 = d 1 – m 11 ... d 1k = d 1(k-1) – m 1k
16

1 (t)
3 Primera IMF: c 1 = d 1k
d 11 (t)
4 r 1 (t)
x(
t)
=
N
∑
i=
1
c
i
( t)
+
r
N
( t)
Resto
17

Ejemplo de aplicación:
filtrado de ruido
18

Interferometría speckle temporal
Se graba una secuencia de interferogramas speckle durante toda la
deformación del objeto que queda codificada en la modulación de la
intensidad registrada en cada píxel de la cámara.
I(m,n,t)
Set up experimental
Frame grabber
Laser
t=N t -1
t=2
t=1
t=0
Objeto
Cámara
CCD
Carga
Portadora temporal
19

Señales de intensidad analizadas
I(t)
I( t)
= I ( t)
+ I + 2 I ( t)
I cos[ φ(
t)
+ φ ( t)
+ φ ( t)]
obj
r
obj
r
a
p
Media I 0 (t)
Modulación I M (t)
Desplazamiento
Portadora
Fase aleatoria
20

Medición
- Calcular la fase φ(t) contenida en la señal de
intensidad temporal de cada píxel.
- Filtrar variaciones de I 0 (t) y de la
modulación I M (t).
- El ruido es de banda ancha.
- En algunos intervalos, la relación
señal-ruido es baja.
21

Medición propuesta
‣Procesar con EMD la intensidad I(t) y
filtrar las IMF que correspondan al ruido.
‣ Ventaja notable en las regiones donde la
modulación disminuye a valores comparables
con el ruido (baja relación señal-ruido).
22

Método HT+EMD
80
I(t)
60
40
20
0
0 100 200 300 400 500
23

80
Envolvente
60
40
20
0
24

80
60
40
20
0
Media instantánea
I(t)-c 1 (t)
25

I(t)
c 1
60
5
-5
# total IMF

90
80
I(t) I M (t)

Im
15
Sin
EMD
10
5
0
-5
Re
-10
10
-10 0 10
Con
EMD
5
0
-5
-10
-15 -10 -5 0
28

Fase (rad)
140
120
100
80
60
40
20
Entrada
HT
HT+EMD t=324
t=349
φ p (t)
0
0 100 200 300 400 500
∆φ u (t)
29

Resultados HT vs HT+EMD en el
conjunto de pixeles
HT
HT+EMD
200
160
180
140
Fase (rad)
160
140
120
Fase (rad)
120
100
100
80
80
n
m
n
m
Región central 31 x 31 píxeles
instante final
30

Señal de entrada
Método HT+EMD: filtrado de ruido
Chirp
parabólico
0.2
< dφ ( t) / dt < π /3
φ ( t)
~ U ( −π / 4, π / 4)
250
200
150
100
50
2500
0
200
150
100
50
2500
200
150
100
50
1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500
2500
200
150
100
50
01550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
r
31

HT+EMD
OK
φ(
t)
dt
d t adquisición > 9
< 0,76 ~ π / 4
muestras/período
100
Entrada – IMF1
0
-100
0
100
0
-100
100
0
-100
100
0
-100
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
t=1345
1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500
1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
32

Método HT+EMD alternativo (EPFL-Suiza)
400
300
200
100
0
-100
400
300
200
100
0
-100
Chirp parabólico
I(t)
c 1
π / 4 < dφ(
t) / dt < 2π
/ 3
500 550 600 650 700 750
HT+EMD
OK
dφ t adquisición < 5
> 1,17
muestras / período
( t)
dt
800
33

Métodos HT+EMD
Incertidumbre
0,2 0,76 1,17 π
ω
(rad/muestra)
31,42 8,27
Marengo Rodriguez et al.
IMF1=ruido
5,37
∑
Baldi et al.
IMF1=información relevante
1/ 2
2
⎛ [ x
f
( t)
− c1
( t)]
⎞
⎜
⎟
t
e( f ) = ⎜
≤ C ⋅ f
2 ⎟
⎜ ∑ x
f
( t)
⎟
⎝ t ⎠
e>0,25
Se enmascara el ruido
2
2
Tasa de
adquisición
(cuadros/ciclo)
34

Métodos HT+EMD
0,2 0,76 1,17 π
ω
(rad/muestra)
Ψ 1 port =0,4
-0,2 0,38
ω obj
Ψ 2 port =π/2
N
⎛ 1
= ⎜ ∑ − t
σ
⎝ Nt
1
t=
0
[ ∆φ(
t)
− ∆φ
( t)
]
u
2
⎞
⎟
⎠
1/ 2
0,2593 rad
0,6643 rad
Fase (rad)
50
40
30
20
10
0
-10
Entrada
Marengo Rodriguez et al.
Baldi et al.
0 100 200 300 400 500
35

Conclusiones
‣ EMD optimiza la medición de fase debido a su
adaptabilidad para detectar y filtrar componentes
ruidosas de banda ancha.
‣ El método HT+EMD es la técnica de filtrado
más robusta mejor porque recupera la fase con
muchos menos puntos divergentes en el mapa
de fase.
‣ HT+EMD posee más ventajas que los otros
métodos basados en la señal analítica. El filtrado
de las componentes indeseadas es automático y
adaptativo, y el beneficio es mayor en las zonas
de baja relación S/R.
36

Otras aplicaciones de EMD
‣ EEMD (Ensemble EMD): Aplicación sucesiva
de EMD a la señal de entrada contaminada con
ruido blanco gaussiano con diferentes semillas.
Luego de las múltiples aplicaciones de EMD, se
obtiene el promedio de cada IMF. Como
beneficio, se obtiene una representación
energía-tiempo-frecuencia más precisa que con
el método EMD convencional.
‣ Codificación de señales: Dada la reducida
cantidad de IMF, se asocia a cada una un
reducido conjunto de extremos locales para
reconstruirla vía interpolación spline.
37

Transformada de Hilbert-Huang (HHT)
‣ HHT es la combinación de EMD y la
transformada de Hilbert aplicada a cada IMF.
Esto en general es válido ya que cada IMF es
de banda limitada y posee en cada instante una
única frecuencia y amplitud.
‣ No tiene las limitaciones existentes con wavelets
o Fourier, en cuanto al principio de
incertidumbre de Heisenberg (resolución
tiempo-frecuencia). Esto se debe a que la
transformada de Hilbert calcula la fase y
amplitud instantánea de cada IMF, que por
definición es monocomponente.
38

Transformada de Hilbert-Huang (HHT)
x(t) = Σ [ a k (t)*exp(i*φ(t)) ]
Amplitud
instantánea
Fase
instantánea
Frecuencia
instantánea
f(t) = 1/(2π)*dφ(t)/dt
39

Ejemplo: pasada de vehículo a
20 km/h con tono piloto de 3 kHz.
40

FFT
43

HHT
44

Codec audio
45

Codificador
IMF 1
Señal de
entrada
x(t)
EMD
EMD
IMF 2
IMF K
r K
Agrup.
IMF
Agrup.
IMF
IMF 1
IMF 2
r K ’
N 1
N 2
N K ’
N K’
Codif.
Codif.
Codif.
Codif.
Codif.
Codif.
Mux
Mux.
Señal
codificada
x c (t)
rms
{ IMF t)
− IMF ( t)
}
rms
k
(
kq
{ IMF ( t)
}
k
Agrupa IMF comparables
al ruido de cuantificación
<
µ
Submuestreo
adaptativo
Extremos
locales
P K
Codificador
de entropía
(Rice)
46

Decodificador
Señal
codificada
x c (t)
Demux
Demux.
Decod.
Decod.
Decod.
Decod.
Interpolador
Interpolador
Interpolador
IMF 1
IMF 2
+
Señal
decodificada
x (t)
Decod.
Decod.
Interpolador
Interpolador
r K ’
Decodificador
de entropía
(Rice)
Interpolador
B-spline
Señales IMF
reconstruidas
47

Agrupamiento de IMF
IMF1
IMF2
2
10 IMF ¡ 3 IMF !
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
IMF3
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.5
Residuo
0
-0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tiempo (s)
48

Submuestreo - tasa crítica local
2
# muestras: 2001 1244
IMF1
0
-2
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
IMF2
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
IMF3
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.5
Residuo
0
-0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
49

Reconstrucción
2
IMF1
0
-2
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
IMF2
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
IMF3
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.5
Residuo
0
-0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
50

Entrada vs. reconstruida
2
(a)
Ent.
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2 (b)
Rec.
0
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Error abs.
0.1
(c)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tiempo (s)
51

Bibliografía
‣ Huang et al. (1998). “The empirical mode decomposition and
the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time
series analysis”. Proc. Royal Soc. of London, Ser. A, 454,
pp.903–995.
‣ Rilling et al. (2003). “On Empirical Mode Decomposition and
its algorithms,” Proc. IEEE-EURASIP NSIP-03, Grado (I),
2003.
‣ Huang et al. (2009). “On instantaneous frequency”, AADA,
Vol. 1, No. 2 pp.177–229.
‣ Wu, Huang (2008). "Ensemble empirical mode
decomposition: a noise assisted data analysis method”,
AADA, Vol. 1, No. 1 pp.1–41.
‣ Marengo Rodriguez, Miyara (2009). “Representación de
señales de audio con descomposición empírica de modos y
submuestreo adaptativo”, AdAA 2009, A056 Rosario.
52

Bibliografía
‣ Algoritmo de EMD, EEMD y HHT:
http://rcada.ncu.edu.tw/
‣ Algoritmo de EMD de Flandrin y Rilling (más
versátil):
http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/emd.html
53

¡Muchas gracias!
Laguna Brealito, Seclantás, Salta
54

Diapositivas adicionales
55

Medición de fase por el método FT
- Se transforma Fourier la intensidad I(t)
- Se extrae por filtrado la exponencial compleja correspondiente a
las frecuencias positivas.
- Se calcula la fase contenida en la secuencia compleja recuperada.
I
M
( t)
I( t)
= I0(
t)
+ exp[ −
2
I
M
( t)
+ exp[ jΨ(
t)]
2
I M (t)/2
I 0 (t) Ψ(t)
−Ψ(t)
I M (t)/2
jΨ(
t)]
I(t)
Fase lineal
56

Limitaciones técnica FT
‣ Filtrado de intensidad dependiente del operador.
‣ No discrimina comportamiento temporal en cada pixel
analizado.
‣ Dificultad de operación ante fase no lineal debido al
ensanchamiento espectral de la exponencial compleja.
‣ Difícil recuperación en zonas de baja modulación.
Fase no lineal
57

Medición de fase por el método HT
- Se filtra la media en el
dominio temporal.
- Se calcula la componente
en cuadratura de la señal
filtrada vía transformada
de Hilbert (HT).
- Señal analítica = señal
filtrada + i . HT[señal
filtrada].
I( t)
= I0(
t)
+ I
M
( t)cos
Ψ(
t)
I F
(t)
H[ I ( t)]
≈ I ( t)
senΨ(
t)
I
F
M
( t)
= I ( t)
jH[
I ( t)]
anal F
+
F
58

Limitaciones técnica HT
‣ Filtro PBn: Las ventanas deslizantes propuestas por
Madjarova et al. introducen discontinuidades de fase. Se
ignora el ruido de speckle.
‣ Filtro HT: Es muy sensible al ruido de speckle. Puede
optimizarse carga computacional si se lo implementa
mediante FT o hilbert.m.
‣ Rendimiento limitado en las zonas de baja relación S/R.
59

Equivalencia entre HT y FT
I(t)
50
40
30
I 0 = r + c n + c n-1
60
I F (t)
20
5
0
-5
0 100 200 300 400 500
HT
FT
I F (t)
5
0
-5
0 100 200 300 400 500
HT+EMD
0 100 200 300 400 500