Taller 1

EJERCICIOS CAPÍTULO 1
LÓGICA SIMBÓLICA, DEMOSTRACIONES Y TEORÍA DE CONJUNTOS
Introducción al Cálculo
LÓGICA SIMBÓLICA
(1) Sea P :“Me gusta la fruta”, Q:“No me gusta el cereal” y R:“Sé cocinar un homelete”. Traduzca las siguientes
afirmaciones en palabras.
(a) P ∧ Q.
(b) ¬R.
(c) ¬P ∨ Q.
(d) (R ∧ P) ∨ Q.
(e) R ∧ (P ∨ Q).
(f) (P ∨ R) ⇒ Q.
(g) P ∨ (R ⇒ Q).
(h) (P ∧ ¬Q) ⇔ (Q ∨ R).
(2) Sea E:“La casa es azul”, F :“La casa tiene 30 años” y G:“La casa es fea”. Transcriba las siguientes frases en
afirmaciones del cálculo proposicional.
a) Si la casa es azul, entonces es fea o tiene 30 años.
b) La casa no es fea si y solo si tiene 30 años.
c) La casa tiene 30 años si es azul, y no es fea si tiene 30 años.
d) Para que la casa sea fea, es necesario que sea fea y tenga 30 años.
(3) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es tautología, contradicción, o ninguna de las dos.
(a) [(¬P ∨ (Q ∧ R)) ⇒ ((R ∧ Q) ∨ Z)].
(b) [R ⇒ (S ⇒ T)] ⇒ [R ⇒ T].
(c) [(R ⇒ S) ∧ (S ⇒ T)] ⇒ [R ⇒ T].
(d) (X ∨ Y ) ⇔ ((¬X ⇒ Y )).
(e) (A ∧ ¬B) ∧ (¬A ∨ B).
(f) ((X ⇔ Z) ∧ (X ⇔ Y )) ∧ X.
(4) Sea T una tautología y C una contradicción. Dada una afirmación P , verifique que las siguientes afirmaciones
son tautologías.
(a) (T ∧ P ⇔ P) (Eliminación de una verdad en una conjunción).
(b) (C ∨ P ⇔ P) (Eliminación de una falsa en una disyunción).
(c) T ∨ P es tautología.
(d) C ∧ P es contradicción.
(5) Justifique, mediante tautologías, el ejercicio anterior o tablas de verdad, que las siguientes afirmaciones son
tautologías del cálculo proposicional.
(a) ( (P ∧ Q) ∨ (R ∧ S) ) ⇔ ( (P ∨ R) ∧ (P ∨ S) ∧ (Q ∨ R) ∧ (Q ∨ S) ) .
(b) ( (P ∨ Q) ∧ (R ∨ S) ) ⇔ ( (P ∧ R) ∨ (P ∧ S) ∨ (Q ∧ R) ∨ (Q ∧ S) ) .
(c) (P ⇔ Q) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)).
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(d) (¬(P ⇔ Q)) ⇔ (P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P).
(e) (¬(P ⇔ Q)) ⇔ ((¬P) ⇔ Q).
(f) (¬(P ⇔ Q)) ⇔ (P ⇔ (¬Q)).
(g) ( P ⇔ (Q ⇔ R) ) ⇔ ( (P ⇔ Q) ⇔ R ) .
(6) Mediante las principales tautologías de la lógica proposicional, reglas de inferencia, método de la deducción y
ejercicios previos, justifique que las siguientes afirmaciones son tautologías.
(a) (¬(P ⇒ Q)) ⇒ P .
(f) P ⇔ (P ∧ (P ∨ Q)).
(b) (P ⇒ Q) ⇒ ((P ∧ R) ⇒ (Q ∧ R))).
(g) (P ⇒ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R)).
(c) ((P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ ¬Q)) ⇒ ¬P .
(d) ((P ⇔ R) ∧ (Q ⇔ S)) ⇒ ((P ∨ Q) ⇔ (R ∨ S)).
(h) ((Q ∨ R) ⇒ P) ⇔ ((Q ⇒ P) ∧ (R ⇒ P)).
(e) P ⇔ (P ∨ (P ∧ Q)).
(i) ((P ∧ Q) ⇒ R) ⇔ (P ⇒ (Q ⇒ R)).
(7) Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de las siguientes afirmaciones.
(a) Si es jueves, estoy en Bélgica.
(b) Buena fachada hace buenos vecinos.
(c) Si x 2 + 2x + 1 = 0 entonces x = −1.
(d) Un múltiplo de 3 es impar.
(e) Si x es divisible por 3 entonces es divisible por 6
(f) Si a, b son números impares, entonces ab es impar.
(g) Sean a, b, c son números impares, entonces a(b − c)
es un número par.
(8) Niegue los siguientes enunciados.
(a) e 5 > 0.
(d) Si y = 3 entonces y 2 = 7.
(b) 3 < 5 ∨ 7 ≥ 8.
(e) w − 3 < 0 implica que w 2 + 9 > 6w.
(c) sin π 2 < 0 ∧ tan0 ≥ 0. (f) a − b = c sii a = b + c.
REGLAS DE INFERENCIA
(9) Escribir en modo de esquema todas las reglas de inferencia de la Proposición 1.12. Por ejemplo, (P ∧ Q) ⇒ P
como esquema es
P ∧ Q
P
Además, verifique la siguiente regla de inferencia.
(10) (a) Justifique las siguientes deducciones.
P ∨ Q
P ⇒ R
Q ⇒ S
R ∨ S
(i)
¬P ∨ (Q ∧ R)
P
(R ∧ Q) ∨ Z
(ii)
P ∧ Q
(P ∨ Q) ⇒ R
R
(iii)
(¬¬X) ⇒ Y
¬X ⇒ Z
(¬Z) ⇒ ¬¬Y
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(iv)
E ⇒ F
(¬G) ⇒ ¬F
H ⇒ I
E ∨ H
G ∨ I
(v)
L ⇒ M
(M ∨ N) ⇒ (L ⇒ K)
¬P ∧ L
K
(vi)
(¬A) ⇒ (B ⇒ ¬C)
C ⇒ ¬A
(¬D ∨ A) ⇒ ¬¬C
¬D
¬B
(b) Encuentre las falacias en los siguientes argumentos.
(a)
(b)
X ∨ Y
X ∨ Z
(X ∨ Y ) ∧ Z
P 1 : a, b, c, d ∈ R
P 2 : a < c ∧ c < b
P 3 : d ∈ (a, b)
P 4 : c < d
(c) Buenas rejas hacen buenos vecinos. Nosotros no
tenemos rejas. Luego, no somos buenos vecinos.
(d) Los sordos son mudos. Pedro es mudo e invidente.
Luego, Pedro es sordo.
(11) Transcriba el siguiente razonamiento en afirmaciones del cálculo proposicional y demuéstrelo empleando las
reglas de inferencia.
a) Si Batman resuelve acertijos, entonces Batman no usa antifaz.
b) Si Batman sale en las noches, entonces Batman usa antifaz.
c) Si Batman no sale en las noches, entonces a Batman no le gustan las dificultades.
d) Batman resuelve acertijos o Batman lee los diarios.
e) A Batman le gustan las dificultades.
f ) Conclusión: Batman lee los diarios.
(12) Transcriba el siguiente razonamiento en afirmaciones del cálculo proposicional y demuéstrelo empleando las
reglas de inferencia.
a) Si Oliveira está triste, entonces Oliveira lee poemas.
b) Si Oliveira lee poemas, entonces Oliveira no toma mate.
c) Oliveira está triste o ama a la Maga.
d) Oliveira toma mate.
e) Conclusión: Oliveira ama a la maga.
(13) Si una afirmación del cálculo proposicional tiene n letras, ¿cuántas filas tiene su tabla de verdad
CÁLCULO DE PREDICADOS
(14) Considere C el conjunto de los carros. Sea L(x, y) : “x es tan rápido como y”, M(x, y) : “x es tan caro como
y” y N(x, y) : “x es tan viejo como y”. Traduzca las siguientes afirmaciones al lenguaje común.
(a) ∃! x∈C ∀ y∈C L(x, y).
(b) ∀ x∈C ∃ y∈C M(x, y).
(c) ∃ y∈C ∀ x∈C (L(x, y) ∨ N(x, y)).
(d) ∀ x∈C ∃! y∈C ((¬M(x, y)) ⇒ L(x, y)).
(e) ∀ x∈C ∃ y∈C (M(x, y) ⇔ ∀ x∈C N(x, y)).
(f) ∃ y∈C
(
(∀x∈C ∀ y∈C N(x, y)) ⇒ ∃ x∈C M(x, y) ) .
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(15) Suponga que los posibles valores de p y q son frutas. Sea A(p, q) :“p sabe mejor que q”, sea B(p, q) :“p
está más maduro que q”, y C(p, q) :“p es de la misma especie que q”. Escriba las siguientes afirmaciones en
simbolos.
a) Hay fruta tal que todas las frutas saben mejor que ella.
b) Para toda fruta, existe otra que esta más madura que ella.
c) Hay una fruta tal que todas las frutas saben mejor que ella y no son más maduras que ella.
d) Para toda fruta, hay una fruta de la misma especie que no sabe mejor que ella.
(16) Escriba la negación de cada afirmación. No escribir la palabra “no” aplicada antes de un cuantificador (Por
ejemplo, no escribir “No todo chico esta bien”para el inciso (a). Para solucionar estos problemas, recomendamos
traducir la afirmación a símbolos, aplicar la negación y, la fórmula resultante, traducirla en palabras.)
Recuerde utilizar cuantificadores acotados (por ejemplo, en (g) utilize el conjunto de las casas en Medellín y el
conjunto de las personas).
a) Todos los chicos estan bien.
b) Hay bates que pesan 50lbs o más.
c) La ecuación x 2 − 2x ≥ 0 es cierta para todos los números reales x.
d) Todo padre tiene que cambiar pañales.
e) Todo platillo volador está apuntando a conquistar alguna galaxia.
f ) Existe un entero n tal que n 2 es un número perfecto.
g) Existe una casa en Medellín tal que todo quien entra va a las persianas.
h) Toda casa tiene una puerta que esta escrita.
i) Al menos una persona en Bogotá tiene cada libro publicado en 1990.
(17) Justifique o de un contraejemplo a cada una de las siguientes afirmaciones
a) Para cada real no negativo s, existe un real no negativo t tal que s ≥ t.
b) Para cada real no negativo t, existe un real no negativo s tal que s ≥ t.
c) Para todo número natural n, existe un natural m tal que m < n.
d) Todos los números primos son impares.
e) Para todo número racional q existen enteros a, p tal que p es primo y q = a p .
f ) Para cada entero a, existe un entero b tal que a divide a b.
g) Existe un entero b tal que para todo entero a, se tiene que a divide a b.
h) Para cada entero b, existe un entero a tal que a divide a b.
i) Existe un entero a tal que para todo entero b, se tiene que a divide a b.
j) Existe un único entero que divide al 1.
k) El producto de dos irracionales es irracional.
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
(18) Sean m, n y p números enteros. Pruebe, con método directo, los siguientes enunciados.
(a) Si n y m son pares, entonces n + m es par.
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(b) Si n y m son impares, entonces n + m es par.
(c) Si n es par y m impar, entonces n + m es impar.
(d) 1 divide a n.
(e) n divide a n.
(f) Si m divide a n, entonces m divide a −n.
(g) Si m divide a n y n divide a p, se tiene que m divide a p.
(h) Si m divide a n y m divide a p, se tiene que m divide a cualquier combinación lineal de n y p, es decir, m
divide a nx + py, para cualquier par de enteros x y y.
(19) Mediante método directo y/o contrarrecíproco, pruebe los siguientes enunciados.
(a) Sean a, b y c enteros. Si a no divide a bc, entonces a no divide a b.
(b) Sean a, b, c y d enteros tal que d divide a a y a b. Si d no divide a c, entonces la ecuación ax + by = c no
tiene solución para x y y enteros.
(c) Sean x, y ∈ R. Si xy es irracional, entonces x es irracional ó y es irracional.
(d) Mediante el algoritmo de la división, justifique que, para cada n ∈ Z, se cumple una y sólo una de las
siguientes afirmaciones para algún k ∈ Z: n = 3k ó n = 3k + 1 ó n = 3k + 2.
(e) Mediante el algoritmo de la división, justifique que, para cada n ∈ Z, se cumple una y sólo una de las
siguientes afirmaciones para algún k ∈ Z: n = 6k ó n = 6k + 1 ó n = 6k + 2 ó n = 6k + 3 ó n = 6k + 4
ó n = 6k + 5.
(20) Utilice los métodos de demostración para probar los siguientes enunciados.
(a) Sea n un entero. Si n 2 es múltiplo de 3 entonces n es múltiplo de 3. Sugerencia: Utilice el hecho de que
n = 3k, n = 3k + 1 ó n = 3k + 2 para algún k ∈ Z, y que no se cumplen dos de éstas simultaneamente.
Proceda por método directo y disyunción de casos.
(b) Dos múltiplos de 3 no son primos relativos.
(c) √ 3 es irracional. Sugerencia: Haga una prueba similar a la de “ √ 2 es irracional”.
(d) Sea n un entero. n 2 es múltiplo de 3 si y solo si n es múltiplo de 3.
(e) Sea n ∈ Z. 6 | n si y solo si 2 | n y 3 | n. Sugerencia: Para probar “⇐” utilize el hecho de que n = 6k
ó n = 6k + 1 ó n = 6k + 2 ó n = 6k + 3 ó n = 6k + 4 ó n = 6k + 5 para algún k ∈ Z, de modo que
se cumple un único de estos seis casos. Proceda por disyunción de casos para eliminar todos los casos,
excepto n = 6k.
(f) √ 6 es irracional.
(g) Dado un entero n, entre n y n + 1 uno es par y el otro es impar. Sugerencia: Proceda por disyunción de
casos con n par ó n impar.
(h) Sean a, b ∈ Z. Pruebe que ab es par si y solo si a es par ó b es par.
(21) Demuestre los siguientes enunciados, por inducción matemática, para todo n ∈ N.
(a) 1 2 + · · · + n 2 = n(n+1)(2n+1)
6
.
(b) 1 3 + · · · + n 3 = n2 (n+1) 2
4
.
(c) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n 2 .
(d) (x − 1)(1 + x + x 2 + · · · + x n−1 ) = x n − 1.
5

(e) 1 4 + · · · + n 4 = n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n−1)
30
.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(22) Indique a qué conjuntos conocidos son iguales los siguientes conjuntos.
(a) {n ∈ Z / ∃ m∈Z (n = 2m)}.
(b) {k ∈ N / ∃ p,q∈N (1 < p < k ∧ 1 < q < k ∧ k = pq)}.
(c) { x ∈ R / ∃ a,b∈Z (b ≠ 0 ∧ x = a b )} .
(23) Escriba los siguientes conjuntos por comprensión.
(a) El conjunto de todos los reales positivos.
(b) El conjunto de números impares.
(c) El conjunto de números racionales cuyo denominador es una potencia de 2.
(24) Escriba los siguientes conjuntos por extensión.
(a) { k ∈ Z / ∃ p∈Z (−4 ≤ p ≤ 4 ∧ k = p 3 ) } .
(b) {n ∈ N / ∃ q∈N (n = 4q + 1)}.
(25) Indique, entre los siguientes conjuntos, quién está contenido en quién, y si la contención es estricta o son
iguales.
(i) C = { n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = k 4 ) } .
(ii) E = {n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = 2k)}.
(iii) P = {n ∈ Z / n es primo}.
(iv) N = { n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = k 8 ) } .
(v) S = {n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = 6k)}.
(vi) D = {n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = k − 5)}.
(vii) B = {n ∈ Z / n ≥ 0}.
(26) Considere los conjuntos
Encuentre los siguientes conjuntos.
(a) G ∪ I.
(b) G ∩ I.
G = {n ∈ Z / ∃ m∈Z (n = 2m)}
H = {n ∈ Z / ∃ k∈Z (n = 3k)}
I = { n ∈ Z / n 2 es impar }
J = {n ∈ Z / 0 ≤ n ≤ 10} .
(c) G ∩ H.
(d) J − G.
(e) I − H.
(f) J ∩ (G − H).
(27) Mediante un diagrama de Venn o una prueba formal, justifique los siguientes enunciados.
(a) Si A ⊆ B, B ⊆ C y C ⊆ A, entonces A = B = C.
(b) Si A ⊆ ∅ entonces A = ∅.
(c) Si A y B son subconjuntos de C, entonces A ∪ B ⊆ C.
(d) Si A y B contienen a C, entonces C ⊆ A ∩ B
(e) A − B y B − A son disjuntos.
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(f) Si A ⊆ B entonces A ∪ C ⊆ B ∪ C, A ∩ C ⊆ B ∩ C y A − C ⊆ B − C.
(g) Si A ⊆ B entonces C − B ⊆ C − A.
(h) Si A ⊆ C entonces A − C = ∅.
(i) Si A y B son disjuntos y C ⊆ B, entonces A y C son disjuntos.
(28) Justifique, con un diagrama de Venn (o con una demostración formal), los siguientes enunciados.
(a) Sean A, B y C conjuntos. Pruebe que
(i) A ∪ (B − A) = A ∪ B.
(ii) (A − B) ∩ C = (A ∩ C) − B = (A ∩ C) − (B ∩ C) = (A ∩ C) − (A ∩ B ∩ C).
(iii) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C) = (A − B) ∪ (A ∩ B ∩ C).
(iv) ¿Es cierto que A − (B − C) = (A − B) − C Justifique su respuesta, si es cierta, con un diagrama,
o si es falsa, con un contraejemplo.
(b) Dados dos conjuntos A y B, defina la operación A + B = (A − B) ∪ (B − A). Pruebe que
(i) A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B).
(ii) A + A = ∅.
(iii) A + ∅ = A.
(iv) A + B = B + A.
(v) A + (B + C) = (A + B) + C.
(vi) A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C).
(29) Describa N ′ como complemento respecto a:
(a) N. (b) Q. (c) R. (d) R + .
Además, pruebe en el último caso que N ′ = [0, +∞) − Z, en donde [0, +∞) = {x ∈ R / x ≥ 0}.
(30) Sea U un conjunto, A, B, C subconjuntos de U. Con el complemento respecto a U justifique, con un diagrama
de Venn o una prueba formal, los siguientes enunciados.
(a) A ∪ A ′ = U.
(b) A ∩ A ′ = ∅.
(c) A − B = A ∩ B ′ .
(d) (A − B) ′ = A ′ ∪ B.
(e) Si A ⊆ B entonces B ′ ⊆ A ′ .
(f) Si A ∩ B = A ∩ C y A ′ ∩ B = A ′ ∩ C entonces B = C.
(31) Responda a los siguientes enunciados.
(a) Encuentre dos conjuntos a y b tales que a ∈ b y a ⊆ b.
(b) Sea A = {x, y, z, w}. Escriba P(A) por extensión.
(32) De los siguientes enunciados, indique cuáles son falsos, cuáles son verdaderos, y dé su respectiva justificación.
(a) Para cualquier par de conjuntos A y B, se cumple que (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
(b) {∅} ⊆ G para todo conjunto G.
(c) ∅ ⊆ G para todo conjunto G.
(d) {∅} ⊆ P(G) para todo conjunto G.
(e) ∅ ∈ G para todo conjunto G.
(f) {∅} ∈ P(P(∅)).
(g) {∅} ⊆ {{∅, {∅}, {{∅}}}}.
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(33) Sea A = {1, 2, {3}, {1, 2}}. De los siguientes enunciados, indique cuáles son falsos, cuáles son verdaderos, y
dé su respectiva justificación.
(a) 1 ∈ A.
(b) {1, 2} ∈ A.
(c) {1, 2} A.
(d) 3 ∈ A.
(e) {3} ∈ A.
(f) {2, 3} ⊆ A.
(g) {2} ∈ A.
(h) {3} A.
(i) {{3}} A.
(j) {{3}, {1, 2}} ∈ A.
(k) {{3}, {1, 2}} A.
(l) {{1}, {1, 2}} A.
(m) {1, 2, {1, 2}} A.
(n) A A.
(ñ) A ⊆ A.
(o) ∅ ∈ A.
(p) ∅ A.
(34) Se revisó el uso del suelo de 48 edificios de la colonia del Valle. Los usos que tienen dichos edificios son:
a) 35 son para oficinas.
b) 8 son de uso comercial y para oficinas pero no habitacionales.
c) 6 son exclusivos de uso habitacional.
d) 5 son únicamente para oficinas.
e) 16 no son de uso habitacional.
f) 10 tiene los tres usos.
g) todos tienen al menos un uso de suelo.
Determine el número de edificios que:
a) sólo tiene uso de suelo comercial,
b) tienen uso de suelo comercial y habitacional pero no de oficina,
c) tienen uso de suelo habitacional y de oficina pero no comercial.
(35) En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 estudiantes, se hallaron los siguientes
datos:
a) 54 estudian álgebra.
b) 10 estudian álgebra solamente.
c) 89 estudian inglés.
d) 20 estudian álgebra y ciencias.
e) 80 estudian ciencias.
f) 15 estudian las tres materias simultaneamente.
g) 60 estudian ciencias e inglés.
Determine el número de estudiantes que:
a) estudian álgebra e inglés pero no estudian ciencias,
b) estudian sólo una materia,
c) estudian a lo sumo dos materias.
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