Transparencias10

Santander, 

mirar y ver… 

matemáticas, 

arquitectura e 

historia

Guía 

matemática 

de San 

Cristóbal de 

La Laguna

Santander, mirando a la Bahía 

1. Paseo Pereda y calle Castelar 

2. Palacete del Embarcadero 

3. Mercado del Este 

4. Plaza Pombo 

5. Iglesia de Santa Lucía 

6. Catedral de Santander 

7. Edificio de Correos 

8. Iglesia de La Anunciación (La Compañía) 

9. Mercado de la Esperanza y Ayuntamiento de Santander 

10.Biblioteca Menéndez Pelayo y Museo de Arte Moderno y 

Contemporáneo de Santander y Cantabria (MAS)

Santander, mirando a la Bahía 

11.Conservatorio Jesús de Monasterio 

12.Parque de Bomberos Voluntarios 

13.Parlamento de Cantabria 

14.Plaza de México y casas de Blancanieves 

15.La Lonja de Santander 

16.Biblioteca Central de Cantabria 

17.Centro Cultural Doctor Madrazo 

18.El Palacio de Festivales y su entorno 

19.Centro Oceanográfico de Santander y Museo 

Marítimo del Cantábrico

Santander, mirando al mar abierto 

20.Palacio de la Magdalena 

21.El Sardinero 

22.Parque de Mesones 

23.Parque de las Llamas 

24.Iglesia de la Virgen del Faro

Nota 1.3 

Frisos o Cenefas

Grupos de Frisos

Grupos de Frisos 

Friso p111 

Sólo traslación

Friso p112 

Giro de 180º y 

traslación 

Grupos de Frisos


Friso p1m1 

Simetría 

horizontal y 

traslación

Friso p1a1 

Simetría 

horizontal con 

deslizamiento y 

traslación 

Grupos de Frisos


Friso pm11 

Simetría vertical 

y traslación

Friso pma2 

Simetría 

vertical, giro de 

180º y 

traslación 

Grupos de Frisos


Friso pmm2 

Simetría 

vertical, 

horizontal, giro 

de 180º y 

traslación

Friso p111 

Parque de Bomberos Voluntarios

Contenidos matemáticos 

• Frisos 

• 1. Paseo Pereda y calle Castelar. Nota 1.3: Friso o cenefa. Figuras 

11, 13, 14 y 25. Tipos p111, pmm2, p1m1 y pm11. 

• 4. Plaza Pombo. Figura 6. Tipo pm11. 

• 6. La Catedral de Santander. Figuras 3 y 17. Tipo pmm2. 

• 9. Mercado de la Esperanza y Ayuntamiento de Santander. Figura 4. 

Tipo pmm2. 

• 10. Biblioteca Menéndez Pelayo y Museo de Arte Moderno. Figuras 5, 

6 y 10. Tipos p1m1 y pm11. 

• 12. Parque de Bomberos Voluntarios. Figura 4. Tipo p111. 

• 18. El Palacio de Festivales y su entorno. Figura 7. Tipo pm11. 

• 20. Palacio de la Magdalena. Nota 20.1: Módulos generadores de los 

frisos. Figuras 12, 13, 14 y 15. Tipos pmm2 y pm11. 

• 21. El Sardinero. Figura 4. Tipos p111, p112 y pm11.

Contenidos matemáticos 

• Helicoide 

• 1. Paseo Pereda y calle Castelar. Figura 10. 

• 10. Biblioteca Menéndez Pelayo y Museo de 

Arte Moderno. Figura 8. 

• 13. Parlamento de Cantabria. Nota 13.3: Hélice 

y helicoide. Figuras 8 y 9. 

• 16. Biblioteca Central de Cantabria. Figura 9. 

• 21. El Sardinero. Figura 15.

Nota 13.3 

La hélice 

x = a.cos(t) 

y = ͼ.a.sen(t) 

z = b.t 

x 2 +y 2 =a 2

Nota 13.3 

El helicoide 

x = u.cos(t) 

y = u.sen(t) 

z = b.t 

x 2 +y 2 =a 2

Biblioteca Central de Cantabria

Biblioteca Central de Cantabria

Sala exposiciones Faro de Cabo 

Mayor

Glosario de Arquitectura

Planos originales 

La Almotacenía 1873

Mercado de abastos 1950

Centro Cultural Madrazo 1984

Nota 6.8 

Semiesfera y semielipsoide 

• Las esferas y los elipsoides son superficies cuádricas 

cuya ecuación en coordenadas cartesianas es: 

x y z 

a b c 

2 2 2 

+ + = 1 

2 2 2 

• Applets del proyecto Descartes

Iglesia de la Anunciación

Iglesia la Anunciación

Capilla Visitación (Catedral)

Mapas

Mapa 4

CD que acompaña al libro

CD que acompaña al libro

Instituciones colaboradoras 

• Archivo Ayuntamiento de Santander 

• Oficina de turismo del Ayuntamiento de 

Santander con sede en el Palacio de la 

Magdalena 

• Centro Cultural Madrazo 

• Biblioteca Municipal de Santander 

• Archivo de la Junta de Obras del Puerto de 

Santander 

• Parque de Bomberos Voluntarios de Santander

Colaboradores 

• Claudi Alsina 

• Elena Álvarez 

• Ramiro Amorrortu 

• Francisco Ramón Andrés 

• Miguel Ángel Aramburu-Zabala 

• Juan José Arenas 

• Luis Balbuena 

• José Antonio Cagigas 

• Neila Campos 

• José Luis Casado 

• José María Cubría 

• Fernando Fadón 

• Inmaculada Fernández 

• José Ramón Galo 

• Pilar Gallego 

• Luis Alberto Gómez 

• María José González 

• Benito Madariaga 

• Ramón Maruri 

• Rosario Núñez 

• José Núñez 

• Isabel Portilla 

• Encarnación Reyes 

• Carmelo Rodríguez 

• Alfonso Rodríguez 

• Roberto Ruisánchez 

• Consolación Ruiz 

• Francisco Sánchez 

• Leandro Valle

ARCOS 

Santander, mirar y ver… 

Y ELEMENTOS DE ARQUITECTURA 

Santander mirar y ver ... matemáticas, arquitectura e historia. Matemáticas en acción U. C. Mayo 2014

Planta de la catedral de Santander 

atrio 

girola 

crujía o 

nave 

ábside 

claustro 


Pilares y columnas 

Pilares en el patio interior del Parlamento 

Columnas modernistas en el sótano o 

zona del pescado del Mercado de la 

Esperanza 


Capiteles 

Capitel de orden dórico 

de la Biblioteca 

Menendez Pelayo 

Capitel de orden jónico de la 

Iglesia de Santa Lucía 

Capitel barroco de orden 

compuesto del Mercado de 

la Esperanza 


Estructura adintelada 

Columnas y entablamento en la primera manzana de la calle Castelar 


Friso dórico 

Triglifos y Metopas en el Museo de Arte Moderno y Contemporáneo 


Arco adintelado 

Arco adintelado en el Palacete del Embarcadero 


Elementos del arco 


Arcos de medio punto 

Arcos de medio punto en Puertochico 

Arco de medio punto 

en la Casa de los Arcos de Botín 


Arcos de medio punto 


en la entrada del Mercado del Este 


en el Centro Cultural Madrazo 


Arcos rebajados 

Columnas y arcos rebajados 

en la Iglesia del Cristo 

Arco escarzano o rebajado 

en el Palacete del Embarcadero 


Arco georgiano 

Arco georgiano en la fachada de la primera manzana de la calle Castelar 


Arcos de medio punto y ojivales 

Arcos de medio punto y ojivales equiláteros en la ladera de Reina Victoria 


Arcos ojivales 

contrafuertes 

Arco ojival equilátero 

en un detalle de la ventana 

de los mártires de la Catedral 

Arcos romano de ojivas y contrafuertes 


Arcos ojivales de tercio punto 

Arco romano de ojivas en la bóveda 

de la ventana de los mártires 

Arco romano de ojivas en el atrio de 

entrada a la Iglesia baja 


Arco apuntado u ojival 

Arco apuntado u ojival en la entrada 

ala Iglesia del Cristo 

Arco ojival 

de la ventana 

de los mártires 


Arco deprimido cóncavo 

Arco deprimido cóncavo en el hall de entrada al Palacio de la Magdalena 


Arco carpanel 

Arco carpanel en el edificio de Correos 

Arco carpanel de tres centros en la puerta 

principal de la Biblioteca Menéndez Pelayo 


Arco carpanel 

Arco carpanel en el hall de entrada al 

Palacio de la Magdalena 

Arco carpanel en el Centro Cultural Madrazo 


Combinación de arcos 

Arcos de puerta 

en el interior de 

la Biblioteca Central 


Arco trebolado 

Arco apuntado con trilóbulo y dos arcos trebolados en el ábside central de la Iglesia del Cristo 

Arco trebolado 


Arcos conopial y angrelado 

Arcos conopial y angrelado en la puerta de la iglesia 

del Cristo a la sacristía 

Conopial 

Angrelado 


Arco catenario 

Arco catenario en las Casas de Blancanieves 


Bóvedas de cañón 

lunetos 

Bóveda de cañón en los soportales 

de entrada al Parlamento 

Bóveda de cañón en la Iglesia de 

Santa Lucía 


Bóveda de crucería 

Bóveda de crucería en el Claustro de la Catedral de Santander 


Cúpulas 

Cúpula semiesférica en la 

primera manzana de la calle 

Castelar 

Cúpula doble de bases 

octogonales no regulares 

y con ventanas elípticas 

Cúpula con linterna 

en el Club de Regatas de 

la Plaza Pombo 


Cúpulas 

Cúpula apuntada en el 

Palacete del Embarcadero 

Cúpula gallonada de la 

iglesia de Santa Lucía 

Cúpula bulbosa en la 

manzana 3 de la calle 

Castelar 




La fachada Sur del Palacio de Festivales y .............. 


La fachada Sur del Palacio de Festivales y .............. TALES 



Rectángulo de ORO 



En pequeños detalles decorativos 

Rejas del edificio de Correos 

Puerta en la Catedral 



En Puertas en el Paseo Pereda 



En el Palacio de la Magdalena 



En la fachada del Centro Cultural Madrazo 


Rectángulo de PLATA 


Rectángulo de PLATA 

Nos volveremos a encontrar con 

el rectángulo de PLATA 

Puertas del Paseo Pereda 


Rectángulo de PLATINO 


Rectángulo de PLATINO 

La planta del Mercado de la Esperanza mide 

70 m de largo por 26 m de ancho. 

Por tanto su proporción es 2’69 

Muy próxima al número de PLATINO 2’73 


El Mercado del Este 

Una arquitectura basada en un sistema de proporciones 











La cubierta se organiza en 

dos rectángulos CORDOBESES 

La fachada se organiza en dos rectángulos de PLATA 





En sus calles también están presentes 

los rectángulos CORDOBESES 








Rectángulos Semejantes Recíprocos en la Planta del Centro Cultural Madrazo 





Construcción de ESTRELLAS 

A partir de un polígono regular de n lados se elige uno de sus 

vértices y, a partir de él, se trazan segmentos que unan dos vértices 

no consecutivos de manera ordenada y sistemática, dejando sin unir 

en cada paso el mismo nº de vértices, y finalizando el proceso 

cuando todos los vértices quedan unidos. 



Notación: n/q 

n nº de vértices del polígono del que procede 

q−1 

nº de vértices que se dejan sin unir en cada caso 

Es obvio que: 

2≤q≤n−2 

Sólo se pueden construir estrellas n/q con q

. 

Estrella 5/2 

(polígono estrellado) 

(pentagrama, 

pentalfa, pentáculo) 

Estrella 7/2 


Estrella 8/3 


Estrella 7/3 



Estrella 8/2 

2 cuadrados girados 45º 

Estrella 6/2 

(hexagrama, estrella de David) 

2 triángulos equiláteros girados 60º 


Otra construcción de ESTRELLAS 

A partir de un polígono regular de n lados se prolongan sus lados hasta 

que las rectas que los contienen se corten (estrellar el polígono). 

Estrella a la figura que se obtiene en cada intersección de las 

prolongaciones de los lados del polígono en el proceso de estrellarlo. 

Estrella 8/2 

y 

Estrella 8/3 


Resaltando el contorno de una estrella n/q se construye un polígono 

cóncavo de 2n lados que se denota por 

|n/q| 

n nº de vértices del polígono del que procede 

q−1 

nº de vértices que se dejan sin unir en cada caso 

Estrella 8/2 Estrella |8/2| 


Estrellas 5/2 

Monumento Hermanos Tonetti. 

Parque de Mesones 


Estrellas 6/2 

Despacho de Alfonso XIII 

Palacio de la Magdalena 


hexágonos regulares 

rombos 

paralelogramos 

figuras en 3 dimensiones 


estrellas |6/2| 


Estrellas 8/2 

Mirador 

Segunda Playa de 

El Sardinero 

Planta del hotel Reina Victoria 


Estrellas 8/3 

Puerta principal del Casino 

Atrio de la iglesia del Cristo 


Estrellas 8/2 y 8/3 

Rosa de los vientos 

Templete del parque de Mesones 


El ROSETÓN es la figura geométrica que se obtiene al dividir un 

círculo en sectores iguales en cuyo interior se ha dibujado la 

misma figura. Cada sector recibe el nombre de pétalo del rosetón. 

Si el rosetón tiene n pétalos, cada vez que se gire sobre su centro 

un ángulo igual de 360º/n se reproduce exactamente. 

Rosetón 

Bóveda del claustro. Catedral 


Si los pétalos son simétricos respecto a rectas que pasan por el 

centro del círculo, el rosetón se llama diédrico o diedral. 

Se denota d n 

(n nº de pétalos) 

Rosetón d 8 

Si los pétalos no son simétricos, el rosetón se llama cíclico. 

Se denota c n 

(n nº de pétalos) 


Rosetones d 4 

Puerta nº 1 

Paseo Pereda 


Rosetones d 4 

Puerta 

Mercado del Este 

Ventana de los mártires 

Interior de Iglesia del Cristo 


Rosetones d 8 

Iglesia de la Anunciación 


Rosetones d 12 

Jamba puerta 

Iglesia alta 


Rosetones d 16 

Ventana exterior 


Portada principal 

MAS 


Rosetones c 4 

Bóveda del claustro 

Catedral 



2 2 2 

x + y = r 

Ec. Implícita 

Ec. Paramétrica 

x = r⋅ 

cos t 

y = r ⋅ sen t 

} 

,0≤ t < 2 

π 

dist (P, C) = cte = r

Circunferencia en la 

antesala de audiencias 

Plaza de México y 

Calendario Azteca 

Biblioteca de Alfonso XIII 

Palacio de la Magdalena

Arco de circunferencia 

Hemiciclo y logo 

del Parlamento 

de Cantabria 

Parque de Mesones

Sector circular 

Ventana 

en el 

Centro 

Cultural 

Doctor 

Madrazo 

Tirador de la Puerta 

Este del Palacio 

de Festivales 

Fuente del claustro y crismón (Catedral de Santander) 

Córner de los antiguos 

Campos de Sport del 

Sardinero en el Parque de 

Mesones

Circunferencias tangentes 

Mercado del Este 

Caballerizas del Palacio 

de la Magdalena 

(Plano de la planta)

Circunferencias concéntricas 

Jardines de Piquío 

Conservatorio Jesús de Monasterio

Circunferencias concéntricas 

La Tierra Paralela y la rosa de los 

vientos en los Jardines de Piquío 

Interior y exterior de la ventana circular 


Entrada al Mercado del Este 

Centro Cultural Doctor Madrazo

Circunferencias concéntricas y 

circunferencias secantes 

Rejas de la puerta nº 30 del 

Paseo de Pereda

Corte sagrado 

El corte sagrado sobre un cuadrado 

se construye trazando cuatro arcos 

de circunferencia con centro en cada 

vértice y radio la mitad de la 

diagonal. Estos arcos determinan, al 

cortar a los lados del cuadrado, ocho 

puntos que son los vértices de un 

octógono regular. 

Ornamento en la Iglesia de Santa Lucía

Cardioide 

La cardioide es la curva generada por un punto de una circunferencia 

que gira alrededor de otra del mismo radio, sin deslizarse. 

ρ 

Ec. Polar 

= a⋅ (1 + cos t), 0 ≤t 

≤ 2 

π

Cardioide 

Ventana de la 

sacristía de la 

iglesia del Cristo 

Puerta nº 1 del 

Paseo de 

Pereda 

Rosetón de la Iglesia de la Anunciación 

Balcón del Palacio de la Magdalena

x 

a 

y 

b 

2 2 

+ = 1 

2 2 



x = a⋅ 

cos t 

y = b ⋅ sen t 

} 

,0≤ t < 2 

π 

r 

dist(P, F 1 ) + dist(P, F 2 ) = cte

Arco elíptico en el templete de música de la Plaza Pombo

Puerta nº 33-34 del Paseo de Pereda 

Edificio de Correos y rejas de 

ventanas de dicho edificio

Pared del salón de baile 

Salón de familia 

Interiores del Palacio de la Magdalena 

Techo del salón de baile

Palacio de Deportes

Circunferencia y elipses 

Palacio de Deportes

y 

2 

= 

2 

px 



x 

y 

= 2 ⋅ p⋅t 

= 2 ⋅ p⋅t 

2 

} 

, 

−∞ < 

t 

< ∞ 

dist(P, d) = dist(P, F)

Puente Juan José Arenas 

en el Parque de las Llamas

La Lonja de Pescado

Se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda 

o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida 

uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus 

extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. 

Su ecuación explícita es esta:

Casas de Blancanieves

1638 

1669 

1691 

Johann 

Bernoulli 

Galileo 

Galilei 

Erró publicando 

que era una 

parábola en 

Diálogos sobre dos 

nuevas ciencias 

Joachin 

Jungius 

Demostró que 

no era una 

parábola 

Gottfried 

Leibniz 

Chistiaan 

Huygens 

Obtuvieron la fórmula

En esta figura se puede apreciar el parecido de las tres curvas, 

parábola, elipse y catenaria.

y 

⎛ 

cosh 

x ⎞ 

Recuerda: 

= k⋅ ⎜ ⎟ 


⎝k 

⎠ cosh ( z) 

Serie de Maclaurin: 

= 

e 

z 

+ e 

2 

x x x x 

y= k+ + + + = k+ + Ox 

2! ⋅k 4! ⋅k 6! ⋅k 2! ⋅k 

2 4 6 2 

4 

... ( ) 

3 5 

- Gráficas se parecen para 

valores pequeños de la x, 

acusando más su diferenciación 

según aumentan los valores de 

ésta. 

- Mayor diferencia entre las 

curvas fijándonos en sus 

respectivas tangentes: en la 

catenaria tiende a la verticalidad. 

− z

Ecuación: 

y = sen t 

Zona de juegos infantiles en 

el Parque de Mesones 

Avenida de Castañeda junto a la 

Primera Playa de El Sardinero

Espiral uniforme o de Arquímedes 

La distancia entre dos espiras es la misma. 

La expansión y la rotación tienen lugar a la 

misma velocidad siendo el vínculo entre ellas 

lineal. 

Ec. Polar: 

r 

= a⋅θ 

Reja de la Catedral de Santander 

Capiteles de la iglesia de Santa Lucía

Espiral logarítmica 

Es una espiral equiangular. 

A medida que nos alejamos del centro la espira 

se hace cada vez más ancha. 

Ec. Polar: 

r 

= ⋅ 

k 

c e ⋅θ 

- Evoluta 

- Involuta 

- Envoltura 

- Caústica 

- Inversa 

- Podaria 

- Radial 

Eadem mutata resurgo 

Parlamento de Cantabria 

- Resurjo cambiada pero igual -

Espiral gnomónica 

Espiral de los triángulos sublimes, basada 

en el número áureo. 

Barandillas del Sardinero.

René Descartes 

(1596-1650) 

Filósofo y matemático 

francés 

Espero que nuestros nietos me 

estarán agradecidos, no 

solamente por las cosas que he 

explicado aquí, sino también por 

las que he omitido 

intencionadamente a fin de 

dejarles el placer de descubrirlas.

Paraboloide hiperbólico 

Superficie cuádrica 

Doblemente reglada

Iglesia de Nuestra Señora Virgen del Faro

Cueto

Virgen del Faro 

L´Oceanográfic

Otras superficies regladas 

Logotipo del conservatorio Jesús de Monasterio

Conservatorio Jesús de Monasterio

Superficies cilíndricas de revolución 

Club marítimo 

Parque de bomberos voluntarios 

Palacete del embarcadero

Edificio Siboney

Faro de Cabo Mayor

Intersección de superficies cilíndricas

Parlamento de Cantabria

Iglesia de Santa Lucía

Superficies parabólicas 

La lonja

Cilindros 

parabólicos

Poliedros: 

Prismas 

Pirámides 

Otros

Prisma cuadrangular

Torre de campanas 

de la Catedral 

Verja modernista 

junto al dique de Gamazo

Palacio de Festivales

Prisma octogonal 

Farola en la Plaza Pombo 

Faro de Cabo Mayor

Torres octogonales 

Iglesia de Santa Lucía

Parque de bomberos 

voluntarios

Pirámides octogonales 

Miradores del hotel Paris en 

la avenida de los hoteles. 

Prisma pentagonal. 

Cúpula piramidal 

Pirámide cuadrangular

Tronco de pirámide

El sombrero

Transparencias10

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