LAS ECUACIONES POLINOMIALES Y LA TEORÍA DE GALOIS 1 ...

LAS ECUACIONES POLINOMIALES Y LA TEORÍA DE
GALOIS
CRISTINA MARTÍNEZ
1. CONFERENCIA TAM
El objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación general
de grado n
(1) x n + a n−1 · x n−1 + a n−2 · x n−2 + . . . + a 1 · x + a 0 = 0
en términos de los coeficientes a 0 , . . . , a n−1 que pertenecen a un cuerpo
k, por tanto podemos asumir sin pérdida de generalidad, que el polinomio
es mónico.
Para la ecuación general cuadrática, si el cuerpo base de los coeficientes es
de característica distinta de 2, las raíces x 1 , x 2 , se expresan por la fórmula:
x 1 , x 2 = −a 1 ± √ a 2 1 − 4a 0
2
Por el teorema fundamental de las funciones simétricas
Q(a 0 , a 1 ) = Q(x 1 x 2 , x 1 + x 2 ), y las raíces x 1 , x 2 , están en la extensión
radical Q(a 0 , a 1 , √ a 2 1 − 4a 0).
Si los coeficientes de (1) están en un cuerpo K, que contiene al radical
√ a 2 1 − 4 a 0, entonces terminamos, si no, necesitamos considerar una extensión
del cuerpo K, K( √ a 2 1 − 4 a 0), donde la ecuación (1) tenga solución.
En general, K es el cuerpo de los racionales Q, y la solución de una
ecuación polinomial se obtiene extendiendo Q(a 0 , . . . , a n−1 ) adjuntando radicales
hasta obtener un cuerpo conteniendo todas las raíces x 1 , . . . , x n .
1.1. Extensiones radicales: Teoría de Galois.
Definición 1.1. Si L : K es una extensión de cuerpos, y β ∈ L, decimos
que β es radical sobre K si β n ∈ K para algún n. Por tanto, un radical
sobre K es una raíz n-ésima de algún elemento de K, posiblemente en un
cuerpo más grande.
Definición 1.2. L : K es una extensión por radicales si existen cuerpos
intermedios L = L r : L r−1 : . . . L 0 = K, tales que L i = L i−1 (β i ), β i radical
sobre L i−1 , 1 ≤ i ≤ r.
1.1.1. Resolución de ecuaciones algebraicas. Formulamos el problema general.
Determinar si f ∈ K[x] es resoluble por radicales, y si sí, encontrar un
procedimiento para factorizar f. El teorema fundamental de la teoría de
Galois establece una correspondencia entre cuerpos y sus grupos de Galois.
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Definición 1.3. Un polinomio f(x) ∈ F [x] dónde F es un cuerpo, se dice
resoluble sobre F , si existe una sucesión finita de cuerpos F = F 0 ⊆ F 1 ⊆
. . . ⊆ F k y una sucesión finita de enteros n 0 , n 1 , . . . , n k−1 tales que F i+1 =
F i (γ i ) con γ n i
i
∈ F i , y si todas las raíces de f(x) están en F k , esto es,
E ⊆ F k , donde E es el cuerpo de descomposición de f(x).
Aplicamos el teorema de Galois para resolver ecuaciones algebraicas.
Teorema 1.4. Si L/K es una extensión normal, finita y separable, y M es
un subcuerpo K ⊂ M ⊂ L, entonces Gal(L/M) es un subgrupo normal de
Gal(L/K) y el cuerpo fijo de elementos que quedan invariantes por todos
los automorfismos del grupo de Galois Gal(L/M), es M = Inv(Gal(L/M))
y Gal(M/K) ∼ = Gal(L/K)/Gal(L/M).
1.1.2. Grupos resolubles. Un grupo se dice resoluble si existe una serie finita
de subgrupos
{e} = G n G n−1 . . . G 1 G 0 = G
tales que
(1) G i G i−1 para 1 ≤ i ≤ n subgrupos normales, y
(2) G i−1 /G i es cíclico para 1 ≤ i ≤ n.
El grupo alternado A 3 es un subgrupo cíclico normal de S 3 , y S 3 /A 3 es
cíclico de orden 2, por tanto A 3 y S 3 son resolubles. En S 4 , sea G 4 = {e},
G 3 = {e, (12)(34)}, G 2 = N, el grupo de Klein , G 1 = A 4 y G 0 = S 4 ,
entonces G 3 /G 4 , G 2 /G 3 y G 0 /G 1 , son todos cíclicos de orden 2, mientras
que G 1 /G 2 es cíclico de orden 3. Por tanto A 4 y S 4 son resolubles. En
cambio A n , para n ≥ 5 es simple, esto es, no tiene subgrupos normales, por
tanto la quíntica es no resoluble.
Teorema 1.5. Una extensión radical de Q(a 0 , . . . , a n−1 ) no contiene Q(x 1 . . . , x n )
cuando n ≧ 5.
En general, estamos interesados en dar un procedimiento constructivo,
que después de un número finito de pasos, nos permite calcular las raíces
α 1 , α 2 . . . , α n ∈ F k .
Teorema 1.6. Sea K un cuerpo y sea K ′ = K(a 1 , a 2 , . . . , a n ), el cuerpo
obtenido adjuntando n indeterminadas a K, entonces el grupo de Galois de
la ecuación
x n + a 1 x n−1 + a 2 x n−2 + . . . + a n = 0
sobre K ′ , es el grupo de n! permutaciones de las raíces.
Como corolario, todas las ecuaciones de grado menor o igual que 4 son
resolubles sobre Q, y por los mismos métodos, sobre cualquier cuerpo F de
característica 0.
1.2. El polinomio cúbico. Suponemos que el cuerpo K tiene característica
diferente de 2. Sea f = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 un polinomio irreducible
mónico cúbico en K[x]. Podemos simplificar la expresión haciendo el cambio
(p = a 1 − a 23
3 ), q = a 0 + 2a3 2
27 − a 2a 1
3
), nos queda el polinomio simplificado
g = y 3 + py + q.

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Sea L/K el cuerpo de descomposión de g sobre K, y sean α 1 , α 2 , α 3 las
raíces de g en L.
El discriminante viene dado por el determinante de Vandermonde
⎛
det ⎝ 1 1 1
⎞
α 1 α 2 α 3
⎠
α1 2 α2 2 α3
2
Si multiplicamos la matriz por su transpuesta y evaluamos el determinante,
obtenemos
⎛
△ = det ⎝ 3 λ ⎞
1 λ 2
λ 1 λ 2 λ 3
⎠
λ 2 λ 3 λ 4
Las cantidades λ j = α j 1 +αj 2 +αj 3 se expresan en términos de los coeficientes
de f, por el teorema fundamental de las funciones simétricas, así que el
discriminante en este caso es △ = −4p 3 − 27q 2 . Sea δ una raíz cuadrada de
△ en L,
δ =
∏
(α j − α i )
1≤i

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En L(ω), β = α 1 + ωα 2 + ω 2 α 3
γ = α 1 + ω 2 α 2 + ωα 3
De aquí se sigue que (deshaciendo el cambio lineal)
α 1 = 1 (β + γ)
3
α 2 = 1 3 (ω2 β + ωγ)
α 3 = 1 3 (ωβ + ω2 γ).
Por tanto, podemos expresar también las raíces α i en función de p, q.
βω = α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 + (ω + ω 2 )(α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 )
= (α 1 + α 2 + α 3 ) 2 − 3 (α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 ) = −3p.
Ahora nos fijamos que tenemos
β 3 γ 3 = −27 p 3
β 3 + γ 3 = −27q
(x − β 3 )(x − γ 3 ) = x 2 + 27qx − 27p 3 ,
por tanto una fórmula para β 3 y γ 3 está dada por la expresión:
− 27 2 q ± 3 2√
−3(4p 3 − 27q 2 ).
1.3. El polinomio cuártico. Suponemos que f es un polinomio irreducible
cuártico en K[x], f = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 de característica distinta
de 2 y 3. Haciendo el cambio y = x + a 3
4
, podemos reducir la ecuación a la
forma g = y 4 + py 2 + qy + r. Sean α 1 , α 2 , α 3 , α 4 las raíces de g en L, esto es,
G = Gal(L/K). G actúa sobre las raíces de g, y puede considerarse como
un subgrupo transitivo de S 4 , (el grupo de permutaciones de 4 elementos),
que tiene 4!=16 elementos. El grupo formado por las permutaciones
N = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
es isomorfo al grupo de Klein. Tiene la siguiente interpretación geométrica:
Si i, j son dos puntos del plano, la permutación (ij) es la recta uniendo i, j.
La intersección de (ij) y (kl) es la permutación (ij)(kl). Toda permutación
σ de S 4 , define una permutación de las rectas (ij) va a parar a (σ(i)σ(j)).
Sea φ el homomorfismo:
(φ(σ))((ij)(kl)) = (σ(i)σ(j))(σ(k) σ(l)).
El núcleo del homomorfismo φ es el grupo de Klein N.
Sea M el cuerpo fijo de H = N ∩ G, por el teorema fundamental de la
teoría de Galois Gal(L/M) = H y Gal(M/K) ∼ = G/H.
Determinamos el cuerpo intermedio M.
Observamos que H es un grupo abeliano de orden 1, 2 ó 4, ya que es el
núcleo del homomorfismo φi, dónde i : G → S 4 , y φ es el epimorfismo de S 4
en S 3 y G/H es isomorfo a un subgrupo de S 3 .
Sean β = α 1 +α 2 , γ = α 1 +α 3 y δ = α 1 +α 4 , (geométricamente representa
la recta que pasa por α 1 y α 2 , α 1 y α 3 y α 1 y α 4 respectivamente).

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Por el teorema fundamental de los polinomios simétricos:
β 2 = (α 1 + α 2 ) 2 = −(α 1 + α 2 )(α 3 + α 4 )
γ 2 = (α 1 + α 3 ) 2 = −(α 1 + α 3 )(α 2 + α 4 )
δ 2 = (α 1 + α 4 ) 2 = −(α 1 + α 4 )(α 2 + α 3 )
Notar que L = K(β, γ, δ) y β 2 , δ 2 , γ 2 ∈ M, con lo que K(β 2 , γ 2 , δ 2 ) ⊆ M.
Finalmente observamos que si σ es una permutación de α 1 , α 2 , α 3 y α 4 que
fija β 2 , γ 2 , δ 2 entonces σ ∈ N, es decir,
Gal(L/K(β 2 , γ 2 , δ 2 )) ⊆ H = Gal(L/M)
y por tanto M = K(β 2 , γ 2 , δ 2 ).
Identificando los coeficientes obtenemos que:
β 2 + γ 2 + δ 2 = −2p
β 2 γ 2 + β 2 δ 2 + γ 2 δ 2 = p 2 − 4r,
βγδ = −q
K(β 2 , γ 2 , δ 2 )/K es un cuerpo de descomposición para x 3 + 2px 2 + (p 2 −
4r)x − q 2 , que se conoce como la cúbica resolvente de g. Por tanto podemos
contruír β, γ, δ, adjuntando las raíces cuadradas.
α 1 = 1 (β + γ + δ)
2
α 2 = 1 (β − γ − δ)
2
α 3 = 1 (−β + γ − δ)
2
α 4 = 1 (−β − γ + δ).
2
Dependiendo del valor de la raíz cuadrada del discriminante δ y de si g
factoriza o no en K[x], se distinguen los siguientes casos:
(1) Si δ ∈ K y g es irreducible sobre K[x], entonces G ∼ = S 4 .
(2) Si δ ∈ K y g irreducible en K[x], entonces G ∼ = A 4 .
(3) Si δ ∈ K y g factoriza en K[x], entonces G ∼ = N.
(4) Si δ /∈ K, g factoriza en K[x] y f factoriza en M[x], entonces G ∼ = Z 4 .
(5) Si δ /∈ K, g factoriza en K[x], y f irreducible sobre M, entonces
G ∼ = Z 8 .
1.4. Ecuaciones algebraicas y geometría.
1.4.1. Ecuaciones polinomiales en más variables. Consideramos una ecuación
algebraica f(x, y) = 0 en dos variables, sobre un cuerpo general K de característica
distinta de 2 y 3. Tiene una interpretación geométrica como una
curva en el plano projectivo P 2 (K) de grado el grado del polinomio. Por
ejemplo, toda curva elíptica y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 6 tiene
un modelo y 2 = x 3 + Ax + B. Sea ahora P = P n (K) un espacio proyectivo
sobre K, con un sistema proyectivo de coordenadas [x 0 , x 1 , . . . , x n ]. Una
hipersuperficie cúbica V ⊂ P definida sobre K se define como el locus
de soluciones de la ecuación c = 0, donde c ∈ K[x 0 , x 1 , . . . x n ] es una forma
cúbica distinta de 0. Existe una biyección entre el conjunto de todas las
cúbicas y el conjunto P 9 (K) de coeficientes de c módulo K ∗ .

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1.4.2. Problemas relacionados.
(1) Problemas enumerativos
Teorema 1.7. Existe una única cúbica alabeada (no contenida en
un plano) que pasa por 6 puntos genéricos del plano.
Teorema 1.8. Una superficie cúbica contiene 27 rectas.
Teorema 1.9. (Chasles) Existen 3264 cónicas planas tangentes a
cinco cónicas generales del plano.
En general son muy interesantes los problemas enumerativos que
consisten en determinar el número de objetos geométricos que satisfacen
ciertas condiciones de incidencia, esta información con frecuencia
se codifica en el anillo de cohomología cuántico de la variedad,
ó los invariantes de Gromov-Witten. Este tipo de problemas ha
experimentado un gran avance en las últimas dos décadas con el
desarrollo de la teoría de Gromov-Witten.
El primer ejemplo de aplicación de la cohomología cuántica y
teoría de Gromov-Witten a la geometría enumerativa se debe a
Manin-Kontsevich (1994) con la conocida fórmula para el número
de curvas racionales de grado d por 3d − 1 puntos en el plano:
∀d > 1, n d =
∑
i+j=d,i,j>0
n 1 = 1,
( ( ) ( ))
3d − 4 3d − 4
n i n j i 2 j 2 − i 3 j
3i − 2 3i − 1
Ésta es una fórmula recursiva cuya condición inicial significa que
hay una única recta que pasa por dos puntos, y se obtiene de la
asociatividad del producto del anillo de cohomología cuántico del
plano, una nueva estructura de anillo introducida en el anillo de cohomología
usual. Los productos triples de clases en el anillo de cohomología
usual se identifican con los invariantes de Gromov-Witten de
3 puntos de grado 0, y el producto cuántico involucra los invariantes
de Gromov-Witten de grado superior.
(2) Problemas de reconstrucción. Reconstruir el cuerpo de definición
y la ecuación de una superficie projectiva, usando sólo información
combinatoria sobre el conjunto de sus puntos K− racionales.
Definición 1.10. Un punto K−racional es un punto en una variedad
algebraica, donde cada coordenada del punto pertenece al cuerpo
K. Esto quiere decir, que si la variedad está definida por un conjunto
de ecuaciones
f i (x 1 , . . . , x n ) = 0, j = 1, . . . , m
entonces los puntos K−racionales son soluciones (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n
de las ecuaciones.
El conjunto de puntos K−racionales se denota generalmente por
X(K). Si la variedad X se define sobre un cuerpo k, un punto se
llama racional, si su cuerpo residual k(x) es isomorfo a k. Para una
variedad abeliana A (K−grupo projectivo), los puntos K−racionales
forman un grupo.

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Teorema 1.11. Teorema de Mordell-Weil. El grupo de puntos racionales
de una variedad abeliana sobre una extensión algebraica K de los
racionales está finitamente generado sobre los racionales.
Considerar por ejemplo una curva plana cúbica C, un modelo
plano de una curva elíptica sobre un cuerpo K, finitamente generado.
Entonces C(K) puede generarse a partir de un subconjunto finito
U ⊂ C(K) e iterativamente ”agrandándolo”, adjuntando puntos p ◦
q ∈ C(K) que son colineales con dos puntos p, q ∈ C(K). Si p = q, el
tercer punto colineal, por definición, se obtiene trazando la tangente
a C en p.
Bibliografía.
(1) E. Arbarello, M. Cornalba, P.A. Griffiths, and J. Harris, Geometry
of Algebraic Curves, Springer-Verlag, New York 1985.
(2) D. J. H. Garling, A course in Galois theory, Cambridge University
Press.
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Holland, 1974 and 1986.
(4) M. Kontsevich and Y. Manin, Gromov-Witten Classes, Quantum
Cohomology, and Enumerative Geometry, Commun. Math. Phys.
164 (1994) 525-562.
(5) J. Stillwell, Galois Theory for Beginners, The American Mathematical
Monthly, Vol. 101, no. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27.
(6) J. G. Semple and G. T. Kneebone, Algebraic Projective Geometry,
Oxford Classic Texts in the Physical Sciences.