Amb Problemes Resolts - Departament d'Estadística i Investigació ...

CÀLCUL DE PROBABILITATS
PROBLEMES
(Amb Problemes Resolts)
DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA
Lídia Montero Mercadé
Mónica Bécue Bertaut
Departament Estadística i Investigació Operativa
Despatx 421
Setembre de 2.004

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Pàg. 2 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
TAULA DE CONTINGUTS
1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS __________________________ 7
2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES______________________________________________ 9
2.1 INTRODUCCIÓ AL SISTEMA D’AVALUACIÓ ___________________________________________ 9
3. PROBLEMES VARIS ___________________________________________________________ 11
3.1 ELS DAUS BLAU I VERMELL _____________________________________________________ 11
3.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT _________________________________________________ 11
3.3 BOLES DE COLORS _____________________________________________________________ 12
3.4 DAUS DE COLORS ______________________________________________________________ 12
3.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS, INDEPENDÈNCIA MÚTUA________________________________ 12
3.6 UN DE OPOSICIONS _____________________________________________________________ 12
3.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS _______________________________________________ 13
3.8 EL DAU DE TRES CARES_________________________________________________________ 13
3.9 EL PARC NATURAL_____________________________________________________________ 13
3.10 UN DE DOS JUGADORS ... _______________________________________________________ 13
3.11 ELS TRES JUGADORS __________________________________________________________ 14
3.12 LA MALÀRIA _________________________________________________________________ 14
3.13 LA MALÀRIA ALTRE COP ______________________________________________________ 15
3.14 LA ROTLLANA DE NENS ________________________________________________________ 15
3.15 EL VENEDOR DE LLIBRES ______________________________________________________ 15
3.16 ELS PRODUCTES FARMACEUTICS_________________________________________________ 16
3.17 UN DE MONEDES TRUCADES_____________________________________________________ 16
3.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 17
3.19 LOTERIA A L’ESCOLA__________________________________________________________ 17
3.20 LA CASETA DE LA FIRA ________________________________________________________ 17
3.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID __________________________________________________ 18
3.22 EL GOS DE LA BENZINERA ______________________________________________________ 18
3.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA ________________________________________ 18
3.24 EL TALLER DE REPARACIÓ D’ORDINADORS _______________________________________ 19
3.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS _____________________________________________ 20
3.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL _____________________________________ 20
3.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL __________________________________________ 21
3.28 RECANVIS DE PECES___________________________________________________________ 21
3.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT _________________________________________________ 22
3.30 EL CONCURS DE MÈRITS _______________________________________________________ 22
3.31 LES QÜES AL PEATGE__________________________________________________________ 23
3.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT _______________________________ 23
3.33 UN DE PARELL DE VARIABLES DISCRETES_________________________________________ 23
3.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES DISCRETES _______________________________________ 24
3.35 MÉS DE PARELL DE VARIABLES _________________________________________________ 24
3.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES________________________________ 24
3.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES __________________________________ 25
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 3

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3.38 L’ESPERA A CORREUS _________________________________________________________ 25
3.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC ___________________________________________ 25
3.40 LA TENDA DE PEIXOS__________________________________________________________ 26
3.41 UN VIATGE TRANSATLÀNTIC____________________________________________________ 26
3.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS____________________________________________________ 26
3.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS _____________________________________________ 27
3.44 EL CREUAMENT DE TRENS _____________________________________________________ 27
3.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS ___________________________________________ 28
3.46 LA NORMAL TRUNCADA _______________________________________________________ 28
3.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS__________________________________________________ 29
3.48 LES AMPOLLES D’OLI _________________________________________________________ 29
3.49 LES EMPRESES D´ESTUDIS DE MERCAT ___________________________________________ 30
3.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES ___________________________________________________ 30
3.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 31
3.52 LES MALALTIES TROPICALS ____________________________________________________ 31
3.53 PER PENSAR ... _______________________________________________________________ 32
4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES _____________________________ 33
4.1 ELS DAUS VERMELL I BLAU.______________________________________________________ 33
4.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT._________________________________________________ 34
4.3 BOLES DE COLORS. _____________________________________________________________ 34
4.4 DAUS DE COLORS. ______________________________________________________________ 35
4.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS; INDEPENDÈNCIA MÚTUA. ________________________________ 35
4.6 UN D’OPOSICIONS. _____________________________________________________________ 36
4.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS. _______________________________________________ 37
4.8 EL DAU DE TRES CARES. _________________________________________________________ 37
4.9 EL PARC NATURAL._____________________________________________________________ 38
4.10 UN DE DOS JUGADORS. _________________________________________________________ 38
4.11 ELS TRES JUGADORS. __________________________________________________________ 39
4.12 LA MALÀRIA._________________________________________________________________ 40
4.13 LA MALÀRIA ALTRE COP._______________________________________________________ 40
4.14 LA ROTLLANA DE NENS. ________________________________________________________ 41
4.15 EL VENEDOR DE LLIBRES. ______________________________________________________ 43
4.16 ELS PRODUCTES FARMACÈUTICS. ________________________________________________ 44
4.17 UN DE MONEDES TRUCADES. ____________________________________________________ 45
4.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 47
4.19 LOTERIA A L’ESCOLA. _________________________________________________________ 47
4.20 LA CASETA DE LA FIRA. ________________________________________________________ 48
4.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID. ___________________________________________________ 48
4.22 EL GOS DE LA BENZINERA. ______________________________________________________ 49
4.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA._________________________________________ 49
4.24 EL TALLER DE REPARACIONS D’ORDINADORS.______________________________________ 50
4.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS. _____________________________________________ 51
4.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL. _____________________________________ 52
4.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL.___________________________________________ 53
4.28 RECANVIS DE PECES. __________________________________________________________ 53
4.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT. _________________________________________________ 53
4.30 EL CONCURS DE MÈRITS. _______________________________________________________ 53
4.31 LES CUES AL PEATGE. _________________________________________________________ 53
4.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT. ________________________________ 53
4.33 UN PARELL DE VARIABLES DISCRETES.____________________________________________ 53
4.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES. _________________________________________________ 55
Pàg. 4 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.35 MÉS DE PARELLS DE VARIABLES. ________________________________________________ 56
4.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES. ________________________________ 56
4.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES.___________________________________ 57
4.38 L’ESPERA A CORREUS. _________________________________________________________ 57
4.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC. ___________________________________________ 57
4.40 LA TENDA DE PEIXOS.__________________________________________________________ 58
4.41 UN VIATGE INTERNACIONAL.____________________________________________________ 59
4.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS. ____________________________________________________ 59
4.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS. _____________________________________________ 60
4.44 EL CREUAMENT DE TRENS. _____________________________________________________ 60
4.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS. ___________________________________________ 61
4.46 LA NORMAL TRUNCADA. _______________________________________________________ 62
4.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS. __________________________________________________ 63
4.48 LES AMPOLLES D’OLI. _________________________________________________________ 63
4.49 LES EMPRESES D’ESTUDI DE MERCAT. ____________________________________________ 65
4.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES.___________________________________________________ 65
4.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 66
4.52 LES MALALTIES TROPICALS. ____________________________________________________ 67
5. TAULES ESTADÍSTIQUES (AUTOR: JOSÉ ANTONIO GONZÁLEZ)_________________ 69
77
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 5

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Pàg. 6 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS
L’orientació del temari posa èmfasi especial en la relació entre els espais de probabilitat i les
variables aleatòries (discretes per claredat). Els conceptes fonamentals de variable aleatòria es
presenten inicialment en el context discret per facilitar una visió més intuïtiva, per finalment en
el Tema 4 presentar la definició general de variable aleatòria, tot relacionant els conceptes
generals amb el ja conegut en el context discret.
TEMA 1. INTRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Definició de mostra, població, matriu de dades i variable. Classificació de variables.
Tècniques d’Estadística Descriptiva Univariant:
Indicadors numèrics: clàssics i robustos de tendència central i dispersió.
Eines gràfiques: Histogrames, diagrames de barres. Boxplot
Tècniques d’Estadística Descriptiva Bivariant. Introducció.
TEMA 2. INTRODUCCIÓ A LA TEORIA DE LA PROBABILITAT
Introducció i motivacions: concepte d’experiència aleatòria
Espais de probabilitat
El conjunt de resultats d’una experiència aleatòria
Esdeveniments o successos
Definició de probabilitat i propietats
Recordatori de combinatòria
Probabilitat condicionada
Definició i concepte
Independència entre successos
Teorema de les probabilitats totals
Fórmula de Baies
TEMA 3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
Definició i propietats d’una variable aleatòria discreta
Funció de probabilitat i funció de distribució
Variables aleatòries discretes clàssiques
Llei de Bernoulli
Llei Binomial
Llei geomètrica
Llei conjunta de 2 variables aleatòries discretes: definició i concepte
Distribució conjunta, distribució condicional, distribució marginal
Moments d’una variable aleatòria discreta
Esperança i variància: relació amb els estadístics mostrals
Moments de funcions de vàries variables discretes
Covariància i coeficient de correlació
Independència i no-correlació
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 7

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Variables aleatòries discretes clàssiques
Llei de Poisson. Relació amb la llei Binomial
Llei Binomial negativa
TEMA 4. VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA
Definició i propietats
Funció de distribució i funció densitat de probabilitat: definicions i diferència amb el cas discret
Moments en les variables aleatòries contínues
Llei conjunta de variables aleatòries contínues
Independència
Variables aleatòries contínues clàssiques
Llei uniforme
Llei de Laplace-Gauss o Normal.
Llei exponencial. Relació amb els processos poissonians
Distribucions associades a la llei normal: χ 2 de Pearson, T-Student, F-Fisher.
Teorema central del límit
Pàg. 8 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES
La part teòrica de l’assignatura comporta 3 h/set i es realitza amb el grup complert. La part
pràctica de l’assignatura comporta 2h/set de classe per cada subgrup i consta de:
• Problemes. Sessions de 2 hores cadascuna durant el quadrimestre. Els estudiants amb ajuda
del professor de pràctiques farà la resolució a classe de problemes de la llista auxiliar de
suport a la docència prèviament indicats. La participació mitjançant el lliurament del treball
fet a la sessió constituirà la nota de seguiment de l’assignatura i es reflectirà a la nota final de
l’assignatura.
• Pràctiques de Laboratori. Disponibilitat de vàries sessions de 2 hores en el quadrimestre per
la iniciació en l’aprenentatge del paquet estadístic MINITAB (versió 13 per WINDOWS) en
l’entorn de la xarxa de PC’s de l’escola.
Per evitar confusions sobre els continguts, les sessions de pràctiques (2h/set) s’anomenen
sessions de problemes i sessions de laboratori atenent als continguts esmentats al paràgrafs
anteriors.
2.1 Introducció al sistema d’avaluació
El sistema d’avaluació de l’assignatura de Càlcul de Probabilitats compren tres elements:
• Una prova parcial (15%). La nota estarà disponible abans del període d’exàmens del
quadrimestre.
• Un examen final del quadrimestre (65%).
• L’avaluació del seguiment en les classes de problemes de l’assignatura, a realitzar pel
professor de pràctiques (20%). Aquest element de l’avaluació es publicarà abans de la
data de convocatòria per l’examen final.
Resum d’avaluació
ASPECTE
% NOTA FINAL
NOTA de PROVA PARCIAL 15
NOTA d’EXAMEN FINAL(*) 65
NOTA DE SEGUIMENT 20
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 9

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Pàg. 10 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
3. PROBLEMES VARIS
Els alumnes de l’assignatura disposen del present llibret de Quadern de Càlcul de Probabilitats.
Es tindrà en compta la participació a pissarra en la resolució dels problemes. La llista de
problemes per suport de docència es troba a continuació en aquest quadern i està constituïda per
problemes desenvolupats per professors del departament, bàsicament pels professors R.Nonell,
J.A.González i Lídia Montero.
Es proposaran amb 1 setmana d’antelació els problemes a resoldre pels alumnes. El pes de la
nota de problemes en la nota final de l’assignatura és del: 5%.
3.1 Els Daus Blau i Vermell
Es llencen dos daus, un de blau i un de vermell, tot notant X com el número obtingut amb el dau
blau i Y com el número obtingut amb el dau vermell. Sigui Ω, l’espai de tots els parells de
possibles valors o espai fonamental de l’experiència aleatòria.
• Representeu l’espai Ω mitjançant un diagrama cartesià.
• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment A format per tots els resultats que
compleixen x + y =8.
• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment B format per tots els resultats que
compleixen x − y =3.
• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment C format per tots els resultats que
compleixen 1≤ x ≤2 o 1≤y ≤2.
• Quin és l’esdeveniment A∩B∩ C ? S’aconsella emprar la fórmula de Morgan.
3.2 Independència i Probabilitat
Sigui un espai fonamental Ω, un esdeveniment A i el seu complementari A .
⇒ Considereu una primera probabilitat P, definida per P(A) = 1/3. Demostreu que A i A no són
independent per la probabilitat P.
⇒ Considereu una segona probabilitat P´, definida per P'(A) =1. Són els esdeveniments A i A
independents per la probabilitat P´?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 11

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3.3 Boles De Colors
Es consideren dues bosses S 1 i S 2 , que contenen cadascuna 3 boles vermelles i 7 boles negres.
Es fa l’extracció d’una bola de S 1 i se la col·loca a S 2 . Quina és la probabilitat d’extreure una
bola vermella de S 2 en una extracció posterior?
3.4 Daus De Colors
Una bossa conté 7 daus vermells, 5 daus grocs i 3 daus verds. S’extreuen successivament 3 daus.
Quina és la probabilitat que el primer dau sigui vermell, el segon groc i el tercer verd si:
⇒ ... es fa reposició dels daus després de cada extracció?
⇒ ... no es fa reposició dels daus després de cada extracció?
3.5 Independència Dos A Dos, Independència Mútua
Es llencen successivament dos daus equilibrats, tot definint els següents esdeveniments:
• A: El primer número obtingut és senar.
• B: El segon número obtingut és parell.
• C: Els dos números tenen la mateixa paritat.
Demostreu que A i C, A i B i B i C són independents dos a dos, però que A, B i C no són
mútuament independents.
3.6 Un de Oposicions
Una persona es presenta a una oposició per entrar a formar part del cos de funcionaris de la
Generalitat de Catalunya, com a informàtic. L’oposició consta de 50 temes distribuïts en dos
blocs: 20 temes són d’Arquitectura de Computadors (AC) i 30 temes són de Llenguatges i
Sistemes d’Informació (LSI). D’aquests 50 temes els candidats hauran de desenvolupar-ne 5. La
forma d’escollir aquests 5 temes és: se’n tria un a l’atzar i després els 4 restants s’escullen a
l’atzar entre els del bloc que corresponguin al primer tema escollit. El candidat decideix
d’estudiar-se només 15 temes a l’atzar, 10 de LSI i 5 de AC. Per aprovar la oposició s’han de
desenvolupar bé 4 o més temes (suposem que el candidat desenvolupa bé els temes que s’ha
estudiat).
⇒ Quina és la probabilitat d’aprovar l’oposició?
⇒ Si ha aprovat la oposició, quina és la probabilitat que hagin sortit els temes de LSI?
Pàg. 12 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
3.7 Parells De Nombres Aleatoris
Un programa d’ordinador produeix parell de números enters a l’atzar compresos entre el 0 i el 9,
ambdós inclosos. Suposem que el programa actua com un generador de números aleatoris
perfecte, és a dir, es verifiquen les tres hipòtesis següents:
• Independència entre els 2 números que integren un determinat parell.
• Equiprobabilitat de generació de cadascun dels números.
• Independència mútua dels parells de números generats successivament.
S’executa el programa sol·licitant la producció de n parells. Quina és la probabilitat que entre
aquests n parells n’hi hagi al menys un parell constituït per dos números idèntics? Calculeu la
probabilitat per n=10 i n=50.
3.8 El Dau de Tres Cares
Un dau de sis cares té únicament tres valors possibles: 1, 2 i 3, tots ells equiprobables. Es
proposa la realització del següent joc:
Llencem un dau, si surt 3 guanyem, si surt 1 o 2 continuem repetint el
llançament fins obtenir el resultat de la primera tirada, situació que en dona
la victòria, o bé fins a obtenir un valor 3, situació que comporta l’aturada
del joc amb pèrdua per la nostra part.
⇒ Calculeu la probabilitat de guanyar.
3.9 El Parc Natural
Un parc natural del nostre país està dividit en dues parts iguals per un riu, dites A i B. Els
biòlegs han pogut comptabilitzar 10 isards a la part A i 10 isards a la part B. Un biòleg del parc
realitza investigacions sobre la conducta d’un dels isards de A, que anomenem X. Per un error
dels vigilants, 9 dels isards de A passen a B, però un cop assabentats de l’incident, els vigilants
retornen 9 dels isards de B, triats a l’atzar, a la part A. El biòleg no massa satisfet pel
desenvolupament dels fets ha de prosseguir les seves investigacions sobre el isard X. En quina
de les 2 parts, A o B, és preferible que comenci a buscar el seu isard?
3.10 Un de Dos Jugadors ...
Dos jugadors, A i B juguen al següent joc:
A tira un dau de sis cares perfectament equilibrat. Si surt 1 o 2 treu una bola d’una urna U1 i si
surt 3, 4, 5 o 6, treu una bola d’una altra urna U2. La urna U1 conté 60 boles blanques i 40 boles
negres. La urna U2 conté 40 boles blanques i 60 boles negres.
A comunicada al jugador B el color de la bola extreta i aleshores B ha d’endevinar per guanyar
de quina urna procedeix, altrament guanya A.
⇒ Dibuixeu l’arbre de probabilitats associat a l’experiència aleatòria.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 13

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⇒ Apliqueu el Teorema de Probabilitats Totals per determinar la probabilitat que A extregui una
bola blanca. Repetiu els càlculs per una bola negre.
⇒ Quina estratègia seguiríeu en aquest joc si fóssiu el jugador B?
3.11 Els Tres Jugadors
Una urna conté 6 boles blanques i 5 boles negres. Tres jugadors, A, B i C, extreuen una bola
sense reposició, en aquest mateix ordre. Les normes del joc indiquen que guanya el primer
jugador que treu una bola blanca, en la vinantesa que si en finalitzar l’extracció C no hi hagut un
guanyador, els jugadors tornen a començar l’extracció, sense retornar les boles i en el mateix
ordre.
⇒ Calculeu les probabilitats respectives de guanyar dels tres jugadors.
3.12 La Malària
La malària, E, mostra dues varietats incompatibles que es solen notar-se com a E1 i E2. Un
equip de patòlegs estudia dues síntomes de la malària, dites S1 i S2, per tal de poder millorar la
diagnosi de la varietat de malària que pateixen els pacients. Es sap que cap de totes dues
síntomes és característica de cap varietat, és a dir, que poden aparèixer les dues síntomes en
persones sanes i a l’inrevés, estar una persona malalta i no mostrar-ne cap de les dues.
La recerca mèdica ha mostrat fins el moment:
• prob. de contraure la varietat E1: 0.18
• prob. de contraure la varietat E2: 0.09
• Pels pacients amb la varietat E1:
◊ prob. només síntoma S1: 0.55
◊ prob. només síntoma S2: 0.12
◊ prob. totes dues síntomes: 0.25
• Pels pacients amb la varietat E2:
◊ prob. només síntoma S1: 0.14
◊ prob. només síntoma S2: 0.42
◊ prob. totes dues síntomes: 0.32
• Per les persones sanes, no malaltes de E:
◊ prob. només síntoma S1: 0.06
◊ prob. només síntoma S2: 0.08
◊ prob. totes dues síntomes: 0.03
Quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E1:
⇒ Una síntoma, S1 o S2
Pàg. 14 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
⇒ Una síntoma, però no l’altra
⇒ Les dues síntomes
⇒ Cap de les dues síntomes ?
3.13 La Malària Altre Cop
Determineu ara quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E2:
⇒ Una síntoma, S1 o S2
⇒ Una síntoma, però no l’altra
⇒ Les dues síntomes
⇒ Cap de les dues síntomes ?
3.14 La Rotllana de Nens
Un nens juguen aplegats en tres rotllanes, de manera que inicialment:
• La primera rotllana conté 1 nen i 3 nenes.
• La segona rotllana conté 4 nens i 2 nenes.
• La tercera rotllana conté 5 nens i 5 nenes.
Després d’una estona, un infant (nen o nena) ha passat de la primera rotllana a la segona, un altre
de la segona a la tercera i un tercer infant, ha passat de la tercera rotllana a la primera.
⇒ Quina és la probabilitat que s’hagi mantingut la proporció de nens i nenes a totes les
rotllanes?
⇒ Quina és la probabilitat en triar un infant a l’atzar de la primera rotllana que sigui nen ?
3.15 El Venedor de Llibres
Un venedor de Grans Enciclopèdies a domicili tria setmanalment el districte de treball, entre tres
possibilitats l’Eixampla, Gràcia o les Corts, amb probabilitats respectives de 0.5, 0.25 y 0.25 i
independentment de la tria efectuada en setmanes anteriors. Si va a l’Eixampla sap que té un
80% de possibilitats de vendre alguna enciclopèdia, mentre que si va a Gràcia o les Corts, les
probabilitats respectives són del 40 i el 60%.
⇒ Quina és la probabilitat que una certa setmana vengui alguna enciclopèdia?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 15

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⇒ Quina és la probabilitat d’haver venut alguna enciclopèdia almenys 2 setmanes durant un
mes?
⇒ Si tot acabant una setmana el venedor no ha venut res, a quin barri, més probablement, haurà
estat treballant aquella setmana? Raoneu amb càlculs precisos.
⇒ Un company d’ofici també tria setmanalment el districte de treball, entre els 3 anteriors, però
de manera equiprobable. Quina és la probabilitat que els dos venedors coincideixin al mateix
districte almenys un cop durant dues setmanes?
3.16 Els productes farmaceutics
Una fàbrica de productes farmacèutics produeix 1000 unitats diàries d´un producte via dos
procediments diferents, tant tècnica com econòmicament. El primer procediment és més
laboriós, però produeix un 99% d’unitats satisfactòries sobre un 25% del total diari de la
producció. El segon procediment produeix el 75% restant de les unitats, però amb un 10%
d’unitats defectuoses. Donat el lot de fabricació d´un dia qualsevol, s’extrau una unitat a l’atzar.
Si la unitat és satisfactòria, quina és la probabilitat que s´hagi fabricat via el segon procediment?
1. Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant
clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.
2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior i fent extraccions amb reposició de 10
unitats, quina és la probabilitat d’obtenir com a màxim l peça defectuosa? Emprar el Teorema
de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a
priori disponible.
3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com
el número de peces defectuoses obtingut en la selecció amb reposició de 2 unitats d´un lot
diari. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i
la partició de Ω induïda.
3.17 Un de monedes trucades
Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restants
perfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar.
1. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments
consecutius? Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de
Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.
2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui
una moneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius? Emprar el Teorema de Bayes
en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori
disponible.
3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com
el número de cares obtingut en el llençament consecutiu dues vegades de la moneda triada a
l’experiència anterior. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els
valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.
Pàg. 16 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
3.18 Els despatxos
Un edifici de la UPC té nou despatxos. Un professor té probabilitat ½ de tenir el despatx a
l’esmentat edifici i, si es troba en l’edifici, té la mateixa probabilitat d’estar en qualsevol dels
nou despatxos.
1. Quina és la probabilitat p que el despatx del professor sigui el novè despatx?
2. S’obren inexitosament els vuit primers despatxos. Quina és la probabilitat q que el professor
sigui al novè despatx?
3.19 Loteria a l’Escola
En una escola de la nostra universitat s’ha muntat una loteria per tal de finançar un viatge de final de
carrera dels alumnes. Els números de la loteria poden ésser de 4 xifres i es venen a 1000 ptes
cadascun. La distribució de premis es la següent:
• Un premi gros de 500.000 ptes per un únic número.
• Un premi de 50.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 3 xifres.
• Un premi de 5.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 2 xifres.
• La devolució dels diners per tots els números que tinguin una xifra final determinada.
Durant el sorteig es procura que les terminacions no siguin coincidents per tal de no acumular
premis. Determineu:
⇒ Quin és l’espai fonamental associat?
⇒ Sigui X la v.a. benefici net per algú que compri un número. Descriure els conjunt de valors i la
funció de probabilitat.
⇒ Quin és el benefici net esperat?
3.20 La Caseta de la Fira
El propietari d’una caseta de fira de tir al blanc assegura que per un jugador amb probabilitat de fer
blanc p, fer un blanc incrementa la probabilitat de fer-ne un altre seguidament en la meitat de la
quantitat que resta per la fiabilitat total (p+(1-p)/2) . Pel contrari, fallar un tret no modifica la
probabilitat d’encert en assatjos posteriors. Els jugadors proven dos cops la seva punteria.
⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X, número de blancs obtinguts en dos intents.
⇒ Calculeu el número esperat d’encerts per un bon tirador (p=0.8) i per un mal tirador (p=0.2).
⇒ Per què no podem declarar X com a variable binomial ?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 17

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3.21 La Memòria d’Accés Ràpid
Un Centre de Càlcul d’un departament de la nostra universitat ha de comprar memòria d’accés ràpid
(RAM) per millorar les prestacions del seu ordinador central. El mercat posa a l’abast dos tipus de
memòria ràpida, A i B. El temps d’accés de la memòria tipus A és de 50 nanosegons, mentre l’accés
per la memòria tipus B, de major capacitat, és de 90 nanosegons. Quan un programa necessita dades
primer va a buscar-les a la memòria ràpida, i si no les troba accedeix a memòria convencional (on
segur que hi són). La memòria convencional té un temps d’accés de 1.200 nanosegons. Un
programa típic dels executats al departament comporta:
⇒ l’accés a memòria convencional un 20% dels cops en instal·lar la RAM tipus A.
⇒ l’accés a memòria convencional un 10% dels cops en instal·lar la RAM tipus B.
Addicionalment, el cost de la RAM tipus B és un 30% superior al cost de la RAM tipus A.
La variable aleatòria que modelitza la mesura de valoració d’una RAM i segons els valors de la qual
es prendrà la decisió de compra en favor del tipus A o del B, està definida com el temps d’accés mig
d’un programa típic per el preu. Quina serà la decisió que prenguin els responsables del Centre de
Càlcul ?
3.22 El Gos de la Benzinera
El dependent d’una benzinera té un gos que l’acompanya durant les seves hores de feina i té
observat que el gos creua vàries vegades al dia el carrer on s’ubica la benzinera. Un estadístic
client de l’establiment determina que el número de vegades que el gos creua la carretera
durant una jornada laboral es pot modelitzar com una variable de Poisson, dita X ~ P (λ), on λ
és el número mig de vegades que el gos creua el carrer diàriament. El gos cada matí comença la
jornada de la banda de la benzinera, doncs acompanya l’amo des de casa.
Es defineix una nova variable, Y amb els valors:
0. Si el gos és a la banda de la benzinera en completar la jornada
1. Si el gos és a l’altra banda del carrer en completar la jornada.
⇒ Determineu la funció de probabilitat de la variable Y.
⇒ Com s’interpreta el resultat quan λ augmenta indefinidament?
Ajut: Considerar el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció cosinus hiperbòlic.
3.23 Una Variable Aleatòria Esglaonada
Pàg. 18 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Sigui X una variable aleatòria contínua amb una funció de densitat de probabilitat com es
mostra en la figura, és a dir, amb valor constant [x 0 , x 01 ) i valor constant [x 01 , x 02 ]. L’àrea
sota la funció de densitat en el primer bloc és π 1
. Calculeu analíticament:
⇒ La funció de densitat de probabilitat de X.
⇒ La funció de distribució de X.
⇒ L’esperança matemàtica de X.
⇒ La variància de X.
Apliqueu els anteriors resultats a una variable X que compleixi: x 0 = 0; x 01 = 18; x 02 = 24;
P(X < x 01)=0.6
f x
x 0 x 01 x 02 X
3.24 El Taller de Reparació d’Ordinadors
Es considera un ordinador constituït per una CPU i una RAM. Una gran empresa es proveeix de
dos fabricants F1 i F2. F1 aporta el 80% dels ordinadors i F2 el 20% restant. En el temps de
posta en marxa es troba que les RAM del fabricant F1 són defectuoses en un 5%, i les CPU en
un 2%. Pel fabricant F2, les RAM defectuoses són un 5% i les CPU un altre 5%. Considerem
els esdeveniments:
• A: CPU en bon estat.
• B: RAM en bon estat.
⇒ Calculeu les probabilitats P(A), P(B) i P(A ∩ B).
⇒ Quina és la probabilitat que l’ordinador sigui de F2, si funciona després de la posta en
marxa?
⇒ Després de la posta en marxa, els ordinadors que s’espatllen són enviats a un taller
especialitzat. Se sap que els operaris d’aquest taller han d’atendre una mitjana de 2
ordinadors diaris i com a màxim podrien atendre 5 ordinadors en un dia. Calculeu la
probabilitat que es col·lapsi el taller de reparacions un dia qualsevol.
⇒ Quina és la probabilitat que els operaris estiguin una setmana laboral complerta de 5 dies
sense feina?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 19

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3.25 Un de Verificació de Propietats
Sigui X una variable aleatòria absolutament convergent amb funció de densitat de probabilitat:
⎧1+
x
f ( X
x )= ⎪
⎨ 12
⎩⎪ 0
2
si 0< x < 3
altrament
⇒ Comproveu que f
X
( x) és efectivament una funció de densitat
⇒ Determineu la funció de distribució de X, FX ( x) .
⇒ Com és FX ( x) ? Com ha d’ésser forçosament i quina relació té amb f
X
( x) ?
⇒ Si se sap que X > 1, trobeu la probabilitat que X sigui més gran que 2.
⇒ Calculeu l’esperança i la variància de X.
3.26 Les Aturades d’uns Sistemes de Control
Dos sistemes de control electrònic funcionen independentment amb un cert número d’aturades
diàries. Les lleis de probabilitat que segueixen les variables que compten aquestes aturades
diàries per cadascun dels sistemes, dites X i X , són les següents:
1 2
X i pX
( xi)
p ( x )
1 X2
i
0 0.07 0.1
1 0.35 0.2
2 0.34 0.5
3 0.24 0.2
⇒ Quina és la probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades un cert dia?
⇒ Quina és la probabilitat que el número de aturades del sistema 1 sigui menor que el número
d’aturades del sistema 2 en un cert dia?
⇒ Quina és la probabilitat que hi hagi una sola aturada en un dia entre els dos sistemes?
⇒ Quina és la probabilitat que el número d’aturades del sistema 1 sigui igual al número
d’aturades del sistema 2?
⇒ Existeix un equip de manteniment pels casos d’aturades que pot atendre fins a 5 casos en un
dia. Calculeu la probabilitat que aquest equip es col·lapsi un cert dia.
Pàg. 20 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
3.27 Les Avaries d’un Centre de Càlcul
Un Centre de Càlcul dóna servei a una Universitat i detecta que hi han dos tipus d’avaries
principalment en els terminals gràfics de les sales d’usuaris: tipus A i tipus B, diferents i
independents. Se sap que en les sales d’usuaris es donen un promig de 1 avaria tipus B cada
dues setmanes i 2 avaries tipus A a la setmana.
⇒ Quina és la probabilitat que durant 3 setmanes no hi hagi cap avaria del tipus A?
⇒ Quina és la probabilitat que durant 4 setmanes hi hagi menys de 3 avaries del tipus B?
⇒ Quina és la probabilitat que durant les 4 darreres setmanes del curs hi hagi exactament 4
avaries en total (tipus A o B)?
⇒ Si en les 10 primeres setmanes del quadrimestre no hi ha hagut cap avaria. Quina és la
probabilitat de que acabi el quadrimestre sense cap avaria ? Un quadrimestre són 14
setmanes.
⇒ Les darreres 4 setmanes han produït 3 avaries del mateix tipus. La probabilitat a priori
d’ésser de tipus A és 2/3 i de tipus B 1/3. Quina és la probabilitat que les 3 avaries hagin
estat totes del tipus A?
⇒ Ara considerem que hi ha 10 sales d’usuaris amb terminals gràfics. Quina és la probabilitat
de tenir, una determinada setmana, més de 4 d’aquestes sales amb 3 o més avaries?
⇒ Si la Universitat disposés de 100 sales d’usuaris, amb quina probabilitat hi hauria entre 40 i
60 sales amb 3 o més avaries cada setmana? Quin número de sales d’usuaris caldria tenir de
reserva per substituir les que cada setmana esperem que tindrien aquest número d’avaries?
3.28 Recanvis de Peces
Un taller de reparacions ha controlat durant un cert temps les reparacions fetes sobre un
determinat tipus de màquina que presenta una avaria simple (1 fallada) o doble (2 fallades). El
taller s’ocupa d’anar reparant les fallades i si cal canviar la peça base. Els resultats del control
mostren que un 40% de les reparacions eren per una avaria simple sense que calgui el canvi de la
peça base, un 30% eren per una avaria simple però que requeria de canviar la peça, i de la resta
que eren avaries dobles, n’hi havia igual nombre que havien necessitat el canvi de peça, com
sense canvi.
⇒ Quina és la funció de probabilitat de les variables, X: número de fallades i Y: canvi o no de
peça i la llei conjunta d’ambdues variables ? És independent el número de fallades i el fet
d’haver de canviar la peça?
⇒ Quina és la probabilitat d’haver de canviar la peça base? I la probabilitat d’haver de canviar la
peça si se sap hi han hagut 2 fallades?
⇒ Si el taller obté la peça base per una reparació d’un magatzem on hi van 9 tallers més, quina
és la probabilitat que més de 5 tallers hi vagin a buscar la peça per canviar, un dia que tots
han rebut avís de reparació?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 21

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⇒ El taller té una tarifa de preus establerta de 4.000 ptes pel transport, 2.000 ptes per cada
fallada i 2.000 ptes més si hi ha hagut finalment canvi de peça. Quin és el valor esperat i la
variabilitat del cost total d’una reparació?
⇒ El taller també té calculats uns temps per a solucionar les reparacions: 1 hora pel transport i
20 minuts per cada fallada a solventar (no hi ha temps addicional si ha hagut canvi de peça).
Calculeu el valor esperat i la variabilitat del temps total d’una reparació.
⇒ Doneu la funció de probabilitat conjunta del cost total i del temps emprat per les reparacions.
Calculeu la probabilitat que una reparació costi 8.000 ptes si han trigat 80 minuts.
3.29 Un de Descriptiva Bivariant
Durant l’any 1.993 es van suïcidar 28.295 persones als Estats Units, on 21.786 eren homes. La
via del suïcidi es pot classificar en quatre categories:
I. Per armes de foc.
II. Ingerint productes tòxics.
III.Estrangulament
IV.Altres.
Se sap que 16.600 persones empraren vies de tipus I, 5.617 vies de tipus II i 3.931 vies de tipus
III. A més, se sap que dels homes, un 6’688% fan triar altres vies i un 14’79% vies tipus III. De
entre tots els qui es van enverinar, un 43’96% foren dones.
⇒ Resumir la informació anterior en una taula de contingència.
⇒ Estudiar la distribució de la via de suïcidi segons el gènere.
⇒ Si disposem de la dada de un suïcidi per via III, què es pot dir del sexe de l’afectat? I si el
suïcida fos dóna, quina hauria estat la via més probablement emprada?
⇒ Si suposem que les variables són independents, i assumim que les distribucions marginals són
idèntiques, quin és el número esperat de homes suïcidats per vies tipus I ? Quin és el número
esperat de dones suïcidades per ingestió de verí?
⇒ Observant els resultats dels anteriors apartats, sembla recolzable la hipòtesi d’independència
entre les variables?
3.30 El Concurs de Mèrits
Un concursant ha de realitzar tres proves. La probabilitat de superar cadascuna d’elles és: 1/3
per la primera prova i per les altres dues proves, 1/2 si va superar l’anterior i 1/4 si no va
superar-la.
⇒ Sigui X la v.a. número de proves superades. Dibuixar la seva funció de probabilitat i de
distribució.
Pàg. 22 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
⇒ Si el concursant ha superat dues proves, quina és la probabilitat que no hagi superat la
segona ?
⇒ Si el concursant ha superat la tercera prova, tindria la mateixa probabilitat d’haver superat la
primera?
⇒ Suposant que qui guanya el concurs té un increment en el seu sou anual funció del número
de proves aprovades, i modelitzat per una nova variable aleatòria Y= 50 X
2 , en mils de ptes.
Quin és l’augment esperat del sou anual?
⇒ Continuant amb l’apartat anterior se suposa que en el cas que no superi una prova ha de
pagar les 3/4 parts del que porta guanyat i prenent com a criteri l’augment esperat, l’hi convé
concursar a la tercera prova si ha guanyat les dues primeres ?
3.31 Les Qües al Peatge
L’arribada de vehicles al peatge de l’autopista A-16 segueix una llei de Poisson de tassa promig
5 vehicles per hora entre les 3 i 5 h de la matinada dels dies feiners.
⇒ Demostreu que la llei de la variable T, temps entre l’arribada de dos vehicles, segueix una
distribució exponencial.
⇒ Calculeu l’esperança i la variància de T.
⇒ Si un cert dia no ha arribat cap vehicle entre les 3h i les 4h de la matinada. Quina és la
probabilitat que no arribi cap vehicle entre les 4h i les 5h del mateix dia?
⇒ En una setmana de cinc dies feiners, quina és la distribució de la variable que comptabilitza el
número de dies feiners en els que no arriba cap vehicle entre les 3:00 h i 3:30 h de la
matinada?
3.32 Una Aplicació del Teorema Central del Límit
Un programa d’ordinador realitzar la suma de 100 números reals prèviament arrodonits a l’enter
més proper. Suposem que l’error d’arrodoniment es distribueix uniformement entre -1/2 i 1/2, i
que els errors són mútuament independents. Calculeu quin és el rang de valors que pot prendre
l’error de la suma amb una probabilitat de 0.99, entenen per error la discrepància entre la suma
real sense arrodonir dels valors i la suma calculada pel programa.
3.33 Un de Parell de Variables Discretes
La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.
Y\X -1 0 1
-1 a 2a 3a
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 23

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
0 2a 4a 6a
1 ab 4a 3ab
⇒ Determineu les esperances de X i Y
⇒ Determinar la llei conjunta del parell (S,M), amb S = ( X+Y ) i M = Màx ( X,Y ). Resumiu la
resposta en una taula
⇒ Sota quines condicions les variables X i Y són independents?
3.34 Un Nou Parell de Variables Discretes
La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.
Y \ X -1 0 1
-1 0 2a 3a
0 2a 0 a
1 3a a 0
⇒ Determineu a, la llei de X i l’esperança de ( X + Y )
⇒ Són X i Y independents?
⇒ Determineu la llei de Z=(X-Y)
⇒ Determineu la llei de S = Max ( X,Y )
3.35 Més de Parell de Variables
La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.
Y vs. X x 1
x 2
x 3
x 4
y 1
0.02 0.01 0.03 0.04
y 2
a 4a 0.05 0.06
y 3
0.09 0.05 0.1 0.05
⇒ Calculeu els valors del paràmetre real positiu a.
⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X i E(X).
⇒ Calculeu E(X/Y=y 1 ).
⇒ Calculeu E(XY) i COV(X,Y).
⇒ Justifiqueu si X i Y són o no són estadísticament independents.
3.36 Un Parell de Variables Uniformes i Discretes
Siguin dues variables aleatòries independent, X 1 i X 2 , de llei uniforme sobre A:={0,1,2,3,4,5}.
Pàg. 24 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
⇒ Determineu la llei de (X 1 -X 2 ) 2
⇒ Determineu la llei de 6X 1 +X 2
3.37 Parell de Variables Uniformes i Contínues
Siguin dues variables aleatòries independents, X 1 i X 2 , de llei uniforme sobre [0,1]. Determineu la
llei de X 1 +X 2 , la seva esperança i la seva variància.
3.38 L’Espera a Correus
Una oficina de correus té una finestreta que tracta dues categories d’operacions: reintegraments de
diners i trameses de paquets. Es fan dues hipòtesis:
I. Per tot interval de longitud T, en minuts, el número de persones que es presenten a la
finestreta per sol·licitar un reintegrament segueix una variable aleatòria de Poisson, dita
X a , de paràmetre aT (a>0).
II. El número de persones que es presenten per trametre paquets es representa mitjançant
una variable aleatòria X b que segueix una llei de Poisson de bT (b>0). Les variables
aleatòries X a i X b són independents.
⇒ Demostreu que la llei associada al número total de persones que es presenten a la finestreta és
una llei de Poisson de paràmetre (a+b)T. Si a=0.4 i b=0.2. Quina és la probabilitat que cap client
es presenti entre 10:00h i 10:05h ?
⇒ Els operaris acaben la seva jornada laborat a les 19 hores, i per això l’oficina tanca les seves
portes a les 18:45 hores. Se sap que en un cert dia hi ha una cua de n persones arribades entre les
18:35 i les 18:45 hores. Determineu en funció de a, b i n, la llei de la variable aleatòria
associada al número de persones de la cua que han vingut per un reintegrament.
3.39 La Finestreta d’Atenció al Públic
En una finestreta d’atenció al públic de mitjana hi arriben dues persones cada minut.
⇒ Quina és la probabilitat que en un minut hi arribin més de dues persones?
⇒ Quina és la probabilitat que en cinc minuts hi arribin menys de 13 persones?
⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara no hi ha cap
persona?
⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara hi ha una persona?
⇒ Quina és l’esperança del temps d’espera fins que arribi una altra persona quan ara n’hi acaba
d’arribar una?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 25

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3.40 La Tenda de Peixos
El dependent d’una tenda d’animals domèstics disposa d’una peixera de grans dimensions amb
peixos tropicals per a la venda al públic. El dependent enretira de la peixera els peixos que ven amb
una petita xarxa on només cap un exemplar; però, cada intent de captura d’un animal no sempre
resulta exitòs. El dependent sap:
• En introduir la xarxa a la peixera, el dependent té una probabilitat p=0.6 de capturar un peix.
• Si no es capturen grans quantitats de peixos de la peixera, la probabilitat p pot assumir-se
constant al llarg de successius intents.
• L’èxit o fracàs a cada intent és independent del resultat d’intents anteriors.
⇒ Si arriba un client indecís a la tenda per comprar peixos tropicals i li demana els peixos que
pugui capturar en 6 intents, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, X, número
de peixos comprats per un client indecís ? Quin és el número esperat de peixos que s’endurà
el client? Quina és la probabilitat que el client s’en vagi sense comprar cap peix?
⇒ Si entra un client decidit que vol comprar 1 peix, quina és la llei de probabilitat de la variable
aleatòria, Y, número d’intents necessaris per part del dependent per satisfer la comanda del
client?
⇒ Els clients indecisos entren a la tenda segons una llei de Poisson de paràmetre 4 clients per
hora i els clients decidits segueixen una altra llei de Poisson, independent de l’anterior i de
paràmetre 1 client per hora. Si entre les 10:00 i les 10:15 hores ha entrat un únic client a la
botiga que ha comprat un únic peix, quina és la probabilitat que el individu sigui un client
indecís?
3.41 Un Viatge Transatlàntic
Un avió surt de Xicago a les 21 hores (hora local), fa una escala tècnica a Islàndia i té anunciada
l’arribada a Luxemburg a les 14:30 hores (hora local). La diferència horària entre Xicago i
Luxemburg és de 6 hores. La durada del trajecte es pot descomposar en 3 durades a les quals se les
pot associar 3 variables aleatòries normals mútuament independents, X, Y i Z:
X: Durada del trajecte Xicago a Islàndia. N 1 (µ=240,s=25),
Y: Durada de l’escala tècnica a Islàndia. N 2 (µ=45,s=10),
Z: Durada del trajecte Islàndia a Luxemburg. N 3 (µ=420,s=40)
Calculeu la probabilitat que l’hora d’arribada a Luxemburg difereixi de l’hora anunciada
(14:30h) en menys de 15 minuts.
3.42 El Tub de Rajos Catòdics
Els tubs de rajos catòdics d’una terminal gràfica tenen una fina malla darrera la superfície visible
que s’ha de tensar durant l’ensamblatge. Si es tensa massa, la malla es desgarra, mentre que si no es
tensa prou, s’hi formen arrugues. La tensió a la que es sotmet aquesta malla es pot mesurar en
Pàg. 26 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
miliVolts (mV) mitjançant un dispositiu electrònic. Actualment, la lectura de la tensió de successius
tubs es distribueix segons una llei normal N(µ=275,s=43).
La tensió mínima acceptable per tal que la malla no s’arrugui és de 200 mV. La tensió màxima que
suporten aquestes malles sense trencar-se és de 375 mV.
⇒ Calculeu la probabilitat que la malla s’arrugui.
⇒ Si una malla s’ha arrugat, quina és la probabilitat que s’hi hagi aplicat una tensió inferior a
175mV ?
⇒ Quina és la probabilitat que una malla estigui en bones condicions ?
⇒ Quina és la probabilitat que entre 5 tubs almenys 3 d’ells tinguin la malla en bones condicions?
⇒ Sigui X la lectura de tensió en mV i µ = E(X). Quina és la tensió t tal que
P( µ − t ≤ X ≤ µ + t) = 095? .
3.43 Vida de Dispositius Electrònics
La vida d’un dispositiu electrònic del tipus A segueix una llei exponencial de mitjana 1000 hores
i la vida d’un dispositiu del tipus B segueix una llei normal de mitjana 1000 hores. La vida dels
dispositius de tipus A pot considerar-se independent de la vida dels dispositius de tipus B.
⇒ Calculeu la probabilitat que un dispositiu de tipus A duri almenys 1000 hores.
⇒ Quina és la probabilitat que un dispositiu de tipus B duri almenys 60.000 minuts?
⇒ Quin dispositiu escolliríeu?
⇒ Per tal d’augmentar la fiabilitat d’un sistema que requereix d’un dispositiu electrònic es
decideix de col·locar en paral·lel un dispositiu tipus A i un altre tipus B. Quina és la
probabilitat que el sistema funcioni després de 1.000 hores?
⇒ Quin és el valor de la variància de la vida d’un dispositiu del tipus B si se sap que la
probabilitat que duri més de 500 hores és 0.9993.
3.44 El Creuament de Trens
Dos trens de llarg recorregut surten dels seus respectius orígens A i B a les 16:00 hores
diàriament. El trajecte entre ambdues estacions és de via única, excepte a l’abaixador C; de
manera que els trens efectuen el creuament sense perill. La maniobra de creuament la regula
manualment el cap d’estació i se sap que està molt atent fins a les 20:00 hores, moment en que
encèn el televisor i minva la seva percepció fins el 50%.
El tren que surt de l’estació A arriba l’abaixador C en promig desprès de 3h 28’54’’, i la durada
es distribueix normalment amb desviació tipus de 20 minuts. El tren que surt de l’estació B
arriba a l’abaixador C en promig després de 3h27’36’’, i la durada també es distribueix
normalment amb una desviació tipus de 20 minuts.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 27

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⇒ Definiu quines són les lleis de probabilitat associades a les durades del trajectes dels trens des
de l’estació de partida fins C. Quina és la probabilitat que el tren A arribi abans de les 19:00
hores a l’abaixador C? I la probabilitat que el tren B hi arribi abans de les 18:30 hores?
⇒ Quin és el risc que hi hagi un accident?
⇒ Si el recorregut es fa diàriament, quina és la probabilitat que després d’una setmana s’hagi
produït algun accident?
⇒ I quina és la probabilitat que després de 200 dies s’hagi produït algun accident?
⇒ Si un dia donat no va haver-hi cap accident, quina és la probabilitat que els trens arribessin
després de les 20:00 hores a l’abaixador C?
3.45 La Màquina d’Emplenar Caramels
Una màquina d’emplenar bosses de caramels diposita en cada bossa una quantitat en pes de
caramels que pot considerar-se distribuït segons una llei normal, de manera que el 33% de
bosses emplenades contenen més de 81.76 g de caramels i només el 0.6% de les bosses contenen
un pes de caramels inferior a 69.96 g.
⇒ Quin són els paràmetres que defineixen la variable aleatòria X, quantitat de caramels per
bossa (en g)?
⇒ Si es trien 10 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat que 5 bosses pesin més de 80 g i 5
bosses menys de 80 g? Justificar la formulació.
⇒ Si es trien 100 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat de trobar-ne com a mínim 40 amb un
pes superior a 80 g? Justificar la formulació.
3.46 La Normal Truncada
La vida en hores de certs tubs electrònics té per densitat de probabilitat la funció:
2
⎧
x
−
⎪ 80000
f x ke x
X
( )= ⎨
≥ 200
⎩⎪ 0 x < 200
Un aparell de tipus A conté 100 tubs i requereix pel seu funcionament d’almenys 65 tubs actius.
Un aparell de tipus B conté 20 aparells tipus A i requereix de més de 10 aparells tipus A actius.
Respongueu a les següents preguntes relacionades amb l’anterior enunciat:
⇒ Comproveu que el valor k que fa que l’anterior funció sigui una densitat de probabilitat ben
definida és k = 1 on F 200 2π F Y ( − 200)
Y
( −200 ) indica el valor de la funció de distribució
2
Y≈ N µ = 0, σ = 40000 , en el punt y = -200.
d’una variable aleatòria normal, ( )
Pàg. 28 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
⇒ Expresseu la constant k en termes de la funció de distribució de la variable normal, Z,
2
Z≈ N µ = 0, σ = 1 .
centrada i reduïda, ( )
⇒ Calculeu la probabilitat que un tub tingui una vida activa superior a 250 hores.
⇒ Calculeu la probabilitat que un aparell tipus A funcioni almenys 250 hores. En cas de no
haver resolt l’apartat anterior, suposeu que té per solució una probabilitat p = 0.7.
⇒ Calculeu en un determinat aparell tipus B, en funcionament actual des de fa més de 250 hores,
quin és el nombre màxim d’aparells tipus A que estaran actius amb una probabilitat del 90%?
3.47 Les Alçades en Matrimonis
La distribució conjunta del parell d’alçades en un matrimoni segueix una llei normal bivariant,
de manera que l’alçada de les dones té una mitjana de 169.82 cm i una desviació tipus de 5 cm i
l’alçada dels marits té una mitjana de 176.5 cm i una desviació tipus de 5.5 cm; la correlació
entre ambdues variables és 0.51.
⇒ Quina és la covariància entre les alçades dels marits i les mullers?
⇒ Quina és la probabilitat que una dona sigui més alta que un home, independentment que
formin un matrimoni?
⇒ Expressar la probabilitat que tots dos membres d’un matrimoni tinguin una alçada superior als
180 cm, suposant que f
XY
( x, y) nota la funció de densitat conjunta de les alçades dels
membres d’un matrimoni.
⇒ Si a un sopar assisteixen 10 matrimonis que constitueixen una mostra aleatòria simple de la
població de referència, quina és la probabilitat que el marit sigui més alt que la dona en
almenys 8 parelles de les que estan presents al sopar?
3.48 Les Ampolles d’Oli
Una empresa disposa de 3 línies d’envasat automàtic d’ampolles d’oli d’oliva. Els continguts de
les ampolles emplenades per la línia A, la B i la C són, respectivament, variables aleatòries
yA , yB i yC
distribuïdes segons lleis normals de paràmetres:
yA µ
A
= 998 cm σ
A
= 15 . cm
yB µ
B
= 1000 cm σB
= 0.
8 cm
y µ = 1001 cm σ = 0.
5 cm
3 3
3 3
3 3
C C C
Es preparen caixes de dos tipus, C1 i C2, amb 6 ampolles per caixa, de manera que en les caixes
de C1 hi han 2 ampolles de la línia A, 3 de la B i 1 de la C, mentre a les caixes C2 hi han 2
ampolles de la línia A i 4 de la C. Una ampolla es considera defectuosa si el seu contingut és
inferior a 999 cm cúbics i una caixa és defectuosa si conté alguna ampolla defectuosa.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 29

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⇒ Quina és la probabilitat de tenir un contingut total d’oli d’una caixa tipus C2 superior al
contingut d’una caixa tipus C1?
⇒ Quin contingut total mínim pot garantir-se per una caixa C1 amb un risc d’error del 2%?
⇒ Si triem a l’atzar 150 ampolles de la línia A, quina és la probabilitat de tenir-ne més de 100 de
defectuoses?
⇒ Quina és la probabilitat de tenir entre 10 caixes del tipus C2 triades a l’atzar almenys una de
defectuosa?
3.49 Les Empreses d´Estudis de Mercat
Una empresa A que es dedica als estudis de mercat té un volum de facturació mensual distribuit
normalment amb un valor mig de 220 kEuros i desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria
X). L’empresa B, que es la competència de l’empresa A en el sector de sondejos sobre nous
productes alimentaris, factura en promig mensualment 205 kEuros amb una desviació tipus de 20
kEuros (variable aleatòria Y) i també es pot considerar que la seva facturació mensual segueix
una distribució normal.
Els estudis de mercat tenen una demanda estacional i per tant no és d’estranyar que la facturació
mensual de les dues empreses estigui correlacionada positivament amb una magnitud de 0,815.
L’empresa A està desenvolupant una política agresiva de preus adreçada a l’eliminació de
l’empresa B del sector, en un moment en que passa per una crisi directiva notable. Totes dues
empreses necessiten de facturar com a mínim 200 kEuros mensuals per cubrir despeses i a més
per satisfer els seus accionistes haurien d’obtenir beneficis durant més de 8 mesos l’any..
1. Calculeu la covariància entre les dues variables aleatòries que representen les facturacions
mensuals de les dues empreses.
2. Quina és la probabilitat de que durant l’any en curs (12 mesos) els accionistes de l’empresa B
acabin insatisfets de la seva inversió? Indicar clarament l’ús fet de les taules.
3. Se sap que l’empresa B ha començat amb mal peu l’any i la política de l’empresa A la
perjudica enormement. Quina és la probabilitat que l’empresa B hagi d’arribar al setembre
(inclòs) per haver cobert despeses durant 3 mesos?
4. Finalment, quin és el número de mesos que en 10 anys cap esperar que l’empresa B no
obtingui beneficis? I quin és el número de mesos màxim que en 10 anys no obté beneficis
amb un risc d’equivocar-nos del 5% ?
3.50 Un de Propietats Bàsiques
Sigui X una variable aleatòria contínua que modelitza el temps d’espera a la caixa d’un
supermercat (en minuts) i que té per funció distribució:
Pàg. 30 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
F
( x)
X
=
⎧ 0 x ≤ 0
⎪
05 . x 0< x ≤1
⎪
⎨ 05 . 1< x ≤ 2
⎪025 . x 2< x ≤ 4
⎪
⎩⎪
1 x > 4
1. Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.
2. Calculeu (justificadament) l’expressió de la funció densitat de probabilitat de la variable
aleatòria X. Dibuixeu-la.
3. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3.
4. Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria X.
3.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.
Siguin X i Y un parell de variables aleatòries discretes amb una funció de probabilitat conjunta
p XY Y=1 Y=2
X = 1 1/4 1/6
X = 2 1/8 1/12
X = 3 a b
• Calculeu els valors dels paràmetres a i b per tal que l’anterior representa una llei de
probabilitat conjunta. Sota quines condicions són independents X i Y?
• Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.
• Si se sap que X = 2 , calculeu la probabilitat que Y =1.
• Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria Y, en general i sota condició
d´independència.
3.52 Les Malalties Tropicals
Tot continuant amb la malaltia tropical, els experts tenen constància que en Sud-est Asiàtic, X:
la incidència de la malaltia (casos/mil hab), té una mitjana de 2 casos/mil hab i té una
2
N µ , σ .
distribució normal ( )
1. Quina és la desviació tipus σ de la variable aleatòria X, sabent que EX ( 2 ) = 401 . ?
2. Quina és la probabilitat d´incidència entre 1.98 i 2.02 casos/mil hab ? Quina és la probabilitat
d´incidència superior a 2.2 casos/mil hab?
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 31

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
3. En els poblats amb incidència entre 1.98 casos/mil hab i 2.02 casos/mil hab es planeja fer un
estudi de detall. Quina és la probabilitat de disposar de com a mínim 5 poblats adequats per
l’estudi de detall en una subàrea geogràfica de fàcil accés que conté 10 poblats? I en una àrea
més extensa que conté 100 poblats?
4. L’objectiu de la OMS (Organització Mundial de la Salut) consisteix en reduir la probabilitat
d´una incidència superior als 2.02 casos/mil hab a un 25%. Per això és necessari de millorar
les condicions sanitàries, tot uniformitzant l´accès a l’aigua potable, és a dir, reduint la
variància de la v.a. X. Quin és el valor màxim de la variància que es correspon amb l´objectiu
descrit?
3.53 Per Pensar ...
Raoneu què han de complir forçosament dos esdeveniments d’un espai de probabilitat que siguin
alhora incompatibles i independents.
Pàg. 32 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES
4.1 Els daus vermell i blau.
X : Dau blau
Y : Dau vermell
a) b) X+Y≥8
Y
6
5
4
3
2
1
Y
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 X
1 2 3 4 5 6 X
c) X-Y≥3 d) 1≤X≤2 o 1≤Y≤2
Y
6
5
4
3
2
1
Y
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 X
1 2 3 4 5 6 X
e) A∩B∩
C ?
A∩( B∩C ) = A∩(
B∪C ) = A∪B∪C
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 33

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
A∪B∪ C = { X≥ 8−Y} ∪{ X≥ Y+ 3} ∪ { 1≤ X≤ 2} ∪ { 1≤ Y≤
2}
A∪B∪C és:
Y
6
5
4
3
2
1
I per tant, A∪B∪ C = {( 33 , ),( 34 , ),( 43 , )}
4.2 Independència i probabilitat.
1 2 3 4 5 6 X
a) Sigui P(A)=1/3
A i A són independents si P(A ∩ A) = P(A) ⋅ P(A)
P(A ∩ A) = P( ∅)
= 0
P(A) = 1/3 ⇒
P(A) = 1⇒
P(A) = 1- P(A)
b) Sigui P(A)=1
P(A ∩ A) = P( ∅)
= 0
P(A) = 1- P(A)
4.3 Boles de colors.
⎫
⎬ ⇒ 0 ≠ 2/9 ⇒ no són independents.
= 1-1/3 = 2/3⎭
⎫
⎬ ⇒ 0 ≡ 0 ⇒ són independents.
= 1-1 = 0⎭
3V
4/11
V 2
S 1
7N
0.3
V 1
7/11
N 2
S 2
3V
0.7
N 1
3/11
V 2
7N
Definim l’esdeveniment: A= V a S 2
8/11
N 2
Pàg. 34 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
P(A) = P(V V ) P(N V ) P(V ) P V V
P(N ) P V 1∩ 2
+
2
1∩ 2
2
=
1
⋅
⎛⎜ ⎞⎟ +
⎝ ⎠
1
⋅
⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ N
= ⎠
= 03 . × 4 11
+ 07 . × 3 = 12 . 11 11
+ 21 . 11
= 33 . 11
= 03 .
1
1
4.4 Daus de colors.
Tenim 7R (vermells), 5A (grocs) i 3V(verds). ⇒ en total tenim 15 daus.
7 5 3
a) P(R1∩A 2
∩ V
3) = P(R
1) ⋅P(A 2) ⋅ P(V
3)
= ⋅ ⋅ = 0.0311
15 15 15
↓
son independents
b) P(R A V ) P(R ) P A V R
P(R ) P A R
P V 1∩ 2
∩
3
=
2 3
2
3
1
⋅
⎛⎜ ∩ ⎞⎟ =
⎝ ⎠
1
⋅
⎛⎜
⎞⎟ ⋅
⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ R ∩ A
= ⎠
7 5 3 1
= ⋅ ⋅ = =
15 14 13 26
0.
0384615
1
1
1 2
4.5 Independència dos a dos; independència mútua.
Siguin els següents esdeveniments:
• A= {1r. número senar}
• B= {2r. número parell}
• C= {números amb la mateixa paritat}
2
3 9 1⎫
P(A ∩ C) = { els dos senars}
= = = ⎪
36 36 4
⎪
18 1
⎪
P(A) = =
⎬
36 2
⎪
18 1
⎪
P(C) = =
36 2
⎪
⎭
9 1⎫
P(A ∩ B) = =
36 4⎪
1 ⎪
P(A) =
⎬ ⇒ A i B independents.
2 ⎪
1 ⎪
P(B) =
2 ⎭
⎪
⇒
A i C independents.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 35

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
2
3 9
P(B ∩ C) = { els dos parells}
= = =
36 36
18 1
P(B) = =
36 2
18 1
P(C) = =
36 2
1⎫
⎪
4
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⇒
B i C independents.
P(A ∩B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) ?
P(A) P(B) P(C) = 1 1 ⎫
⋅ ⋅ =
3 ⎪ 1
2 8 ⎬ ⇒ ≠ 0 ⇒ no mutuament independents.
8
P(A ∩B ∩C) = P( ∅) = 0 ⎭
⎪
4.6 Un d’oposicions.
El conjunt de resultats és Ω = “conjunt de 5 temes del mateix bloc (AC/LSI) que poden
sortir”
Considerem els esdeveniments :
• A= “aprovar l’oposició”
• LSI= “surten els temes de LSI”
• AC= “surten els temes de AC”
Clarament Ω= LSI ∪ AC
a) P(A) = P(A ∩ LSI) + P(A ∩ AC) = P(A LSI) ⋅ P(LSI) + P(A AC) ⋅ P(AC)
⎧P(AC) = 20 50 = 2 / 5
on ⎨
donat que només depèn de l’elecció del primer tema.
⎩P(LSI) = 30 50 = 3/ 5
Ara cal trobar la P(A/LSI) i P(A/AC):
• P(A/LSI) = P(dels 5 temes escollits de LSI, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes
escollits de LSI, tots ells han estat estudiats pel candidat) =
=
⎛10⎞
20
⎜ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
1 ⎠
⎛ 30⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
⎛10⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
+ =
⎛ 30⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
210 × 20 + 252
142506
= 0.
03124
• P(A/AC) = P(dels 5 temes escollits de AC, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes
escollits de AC, tots ells han estat estudiats pel candidat) =
Pàg. 36 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
=
⎛ 5 15
⎜ ⎞ ⎝ 4⎠ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
1 ⎠
⎛ 20⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
⎛5
⎜ ⎞ ⎝5⎠ ⎟
+
⎛ 20⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
5 15 1
= × + = 0.
004901
15504
Finalment tenim que: P(A) = 0.03124 ⋅ 3 / 5+ 0.004901⋅ 2 / 5 = 0.0207047
P(LSI / A) =
b) Directament aplicant la fórmula de Bayes:
P(A / LSI) ⋅ P(LSI)
P(A)
0.03124 ⋅ 3/ 5
=
= 0.905
0.0207047
4.7 Parells de nombres aleatoris.
Ω={(i,j) tals que i=0..9, j=0..9⎬ aleshores #Ω=100
Considerem n parells i tenim Ω n .
Casos possibles → 10 2n
Definim els successos A: Almenys un parell igual
B i : El parell i és igual
( )
P(A) = 1- P(cap parell igual) = 1−P(B 1∩... ∩B n)
⎫⎪
P(B ) 10 1 100 10
P(B ) 1 1 9 ⎬ P(A) 1 1 1 10
i
= = ⇒ i = −
10
= 10 ⎭⎪ ⇒ = − −
⎧n = 10 0,6513
Calculem per: ⎨
⎩n = 50 0,9948
n
4.8 El dau de tres cares.
Definim l’esdeveniment A: guanyar i ens preguntem quant val P(A).
Si surt un 3 → guanyes
sinó repetir fins obtenir el resultat de la primera tirada → guanyes
si surt un 3 → perdem
Ω={3 , 12 i 1 , 12 i 3 , 21 i 2 , 21 i 3}
{ }
A = 3
1
i
{ }
i
{ }
A = 12 1 tq. i ≥ 0
2
A = 21 2 tq. i ≥ 0
3
⎫
⎪
⎬ ⇒ A = A ∪A ∪ A
⎪
⎭
1 2 3
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 37

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
2 3 4
2 3 4
1 ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P(A) = + ⎛ ...
...
3 ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ ⎤
⎢
+ ⎥
⎣⎢
⎦⎥ + ⎡ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 3⎠ ⎟ ⎤
⎢
+ ⎥
⎣⎢
⎦⎥ = 3
+ 6
+ 6
=
14444 244443
successio geometrica
de rao 1/3
∞
ak
1/9
∑ an
= = = 1/6
1 − r 1 − 1/3
n=
k
2
3
4.9 El parc natural.
Fem el següent diagrama d’arbre:
10/19
B
9/10
B
9/19
A
→
1/10
A
→
Sigui C l’esdeveniment C : el cérvol X està a A al final
P(A)=P(X no surt de A) + P(X surt i el retornen)=1/10+9/19*9/10=100/190
4.10 Un de dos jugadors.
U 1 = (60B,40N)
U 2 = (40B,60N)
a) L’arbre de probabilitats és:
6/10
B (U 1 ) 12/60=P(ω 1 )
2/6
{1,2}
4/10
N (U 1 ) 8/60=P(ω 2 )
4/6
{3,4,5,6}
4/10
B (U 2 ) 16/60=P(ω 3 )
6/10
N (U 2 ) 24/60=P(ω 4 )
Pàg. 38 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
b) Calculem les dues probabilitats:
2 6 4 4
P(B) = P(B ∩ U ) + P(B ∩ U ) P(U ) P B P(U ) P B
2
=
1
⋅
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ U ⎟ +
2
⋅ ⎜ = ⋅ + ⋅
1
U ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6 10 6 10
1
=
2 4 4 6
P(N) = P(N ∩ U ) + P(N ∩ U ) P(U ) P N P(U ) P N
2
=
1
⋅
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ U ⎟ +
2
⋅ ⎜ = ⋅ + ⋅
1
U ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6 10 6 10
c) Tenim 4 possibles estratègies, calculem la probabilitat de cada una:
P
⎛ U P(B U )
1 1
⎜ ⎞ ∩
⎟
⎝ B
= =
⎠ P(B)
P
⎛⎜ U B
P U 1 ⎞⎟ = 1− 1
⎝
⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ B
= ⎠
P
⎛ U P(N U )
1 1
⎜ ⎞ ∩
⎟
⎝ N
= =
⎠ P(N)
P
⎛⎜ U N
P U 1 ⎞⎟ = 1− 1
⎝
⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ N
= ⎠
Per tant, si la bola és
1
=
P(U ) P B 1
⋅
⎛⎜
⎞⎟
⎝ U1
⎠
P(B)
4
7
4.11 Els tres jugadors.
P(U ) P N 1
⋅
⎛⎜
⎞⎟
⎝ U1
⎠
P(N)
3
4
⎧blanca direm urna 2
⎨
⎩negra direm urna 2
12 60 12
= = =
28 60 28
860 8
= = =
32 60 32
3
7
1
4
28
60
32
60
Definim els esdeveniments:
A ij : guanyar el jugador i en l’instant j i=1..3
A i : guanyar el jugador i
P(A ) 6
11
= 11
6 5 4 3 6
P(A
1) = P(A11∪ A
12) = P(A
11) + P(A
12)
= + ⋅ ⋅ ⋅ =
11 11 10 9 8
5 6 5 4 3 2 6
P(A
2) = P(A21∪ A
22) = P(A
21) + P(A
22)
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
11 10 11 10 9 8 7
5 4 6 5 4 3 2 1 6 19
P(A
3) = P(A31∪ A
32) = P(A
31) + P(A
32)
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
11 10 9 11 10 9 8 7 6 154
13
22
2
7
Per tant, el jugador amb més possibilitats de guanyar és el primer.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 39

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
4.12 La malària.
• Un símptoma:
P S1 E1
⋅ P(E1) + P S1 E2
⋅ P(E2) + P ⎛⎜ S1 ⎞⎟ ⎝
P
E1∩
E2
E1 ⎠
⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ E2 ⎠
=
=(0.55+0.25)·0.18+(0.14+0.32)·0.09+(0.06+0.03)·0.73=0.2511
P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135
• Els dos símptomes:
P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957
• Algun símptoma:
P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689
• Un símptoma però no l’altre:
P(S1)= ( ) ( )
P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554
P(S2∩ S1)=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178
• Cap símptoma:
• ( )
P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634
( )
P E1 P(E1∩
S1) P S1 E1
⋅ P(E1) 0.8⋅
0.18
S1
=
=
= = 0.5735
P(S1) P(S1) 0.2511
• ( ) P E1 S2
=
0.37 ⋅ 0.18
0.2511
• P⎛⎜ E1 ⎞⎟ ⎝ S1∩
S2 ⎠
=
• P⎛⎜ E1 ⎞⎟ ⎝ S1∩
S2 ⎠
=
• ( )
P E1 S1
∩ S2
• P⎛⎜ ⎝
E1 ⎞⎟ S ⎠
=
P E1 S 1∪
S2
• ( )
=
0.08⋅
0.18
0.6311
= 0.
3119
0.55⋅
0.18
0.1554
0.12 ⋅ 0.18
0.1178
0.25⋅
0.18
0.0957
= 0.
0228
4.13 La malària altre cop.
= 0.
6371
= 01834 .
= 0.
4702
(0.55+ 0.25+ 0.12) ⋅ 0.18
=
= 0.
4489
0.3689
• Un símptoma:
P S1 E1
⋅ P(E1) + P S1 E2
⋅ P(E2) + P ⎛⎜ S1 ⎞⎟ ⎝
P
E1∩
E2
E1 ⎠
⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ E2 ⎠
=0.2511
P(S1)= ( ) ( )
Pàg. 40 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135
• Els dos símptomes:
P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957
• Algun símptoma:
P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689
• Un símptoma però no l’altre:
P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554
P(S2∩ S1)=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178
• Cap símptoma:
• ( )
P E2 S1
• ( )
P E2 S2
P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634
( )
P S1 E2
⋅
=
P(E2)
=
P(S1)
( )
0.46⋅
0.09
0.2511
P S2 E2
⋅ P(E2) 0.74 ⋅ 0.09
=
=
P(S2) 0.2135
= 0.1649
= 0.
3119
• P⎛⎜ E2 ⎞⎟ ⎝ S1∩
S2 ⎠
=
P⎛⎜
S1 ∩ S2 ⎞⎟ ⎝ E2 ⎠
⋅ P(E2)
P(S1∩
S2)
=
0.14 ⋅ 0.09
0.1554
= 0.
08108
• P E2 P⎛⎜
S1 ∩ S2 ⎞⎟ E2
P(E2)
⎛⎜ ⎞ ⎝ ⎠
⋅
⎟
⎝ S1∩
S2 ⎠
=
=
P(S1∩
S2)
• ( )
P E2 S1
∩ S2
=
0.32 ⋅ 0.09
0.0957
• P E2 P⎛⎜
S ⎞⎟ E2
P(E2)
⎛⎜ ⎞ ⎝ ⎠
⋅
⎟
⎝ S ⎠
=
=
P(S)
• ( )
P E2 S1
∪ S2
(
∪
)
= 0.
30094
0.12 ⋅ 0.09
0.634
P S1 S2 E2
⋅
=
P(E2)
=
P(S1∪
S2)
0.42 ⋅ 0.09
0.1178
= 0.
01703
0.88⋅
0.09
0.3689
= 0.
3209
= 0.
2147
4.14 La rotllana de nens.
Sigui X: nen i Y: nena. Tenim (1X,3Y),(4X,2Y),(5X,5Y)
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 41

Problemes
6/11
X
w 1
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
(1,3)(4,2)(5,5)
1/4
X
5/7
2/7
X
Y
5/11
5/11
Y
X
w 2
w 3
(0,4)(4,2)(6,4)
(1,3)(5,1)(4,6)
6/11
Y
w 4
(0,4)(5,1)(5,5)
6/11
X
w 5
(2,2)(3,3)(5,5)
3/4
Y
4/7
3/7
X
Y
5/11
5/11
Y
X
w 6
w 7
(1,3)(3,3)(6,4)
(2,2)(4,2)(4,6)
6/11
Y
w 8
(1,3)(4,2)(5,5)
a) B 0 : mantenir proporcions dels sexes
1
B 0 = {w 1 ,w 8 } → P(B ) = 5 6
4
⋅ 3 3
7
⋅ 6
0
11
+ 4
⋅ 7
⋅ 11
= 0 . 2727
b) Sigui A : Treure nen
Definim B 1 = {w 2 ,w 4 }, B 2 = {w 3 ,w 6 }, B 3 = {w 5 ,w 7 } aleshores Ω = B 0 ∪B 1 ∪B 2 ∪B 3
1 2 5 1 2 6
P ( B 1
) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0.12013
4 7 11 4 7 11
1
P(B ) = 2 5
4
⋅ 3 4
7
⋅ 5
2
11
+ 4
⋅ 7
⋅ 11
= 0 . 2273
3
P(B ) = 4 6
4
⋅ 3 3
7
⋅ 5
3
11
+ 4
⋅ 7
⋅ 11
= 0 . 3799
P(A) = P ⎛ A B
P(B ) P A B P(B ) P A B
P(B ) P A 0
1
2
B
P(B
3)
⎝ ⎜ ⎞⎟ ⋅ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⋅ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⋅ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⋅ = ⎠
0
1
1 1
= ⋅ 0.2727 + 0 ⋅ 0.12013 + ⋅ 0.2273 + ⋅ 0.3799 = 0.31495
4
4 2
1
2
3
Pàg. 42 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.15 El venedor de llibres.
0.5
Eixample
0.8
0.2
Vendre
No vendre
0.25
Gràcia
0.4
0.6
Vendre
No vendre
V : vendre
NV : no vendre
E : Eixampla
G : Gràcia
C : Les Corts
0.25
Les Corts
0.6
Vendre
0.4
No vendre
a) P(V)?
P(V)=P(V/E)P(E)+P(V/G)P(G)+P(V/C)P(C)=0.8*0.5+0.4*0.25+0.6*0.25=0.65
b) S: número de setmanes en què ha venut algun llibre aquest mes. ≈ B(4, 0.65)
4 3
P(S≥2)=1−P(S ≤ 1) = 1−f (0) − f (1) = 1−0.35 −4 ⋅0.65⋅ 0.35 = 0.8735187
1) P(E / NV)
2) P(G / NV)
c) Recordem que P( •/ NV) =
P(NV / E)P(E)
= =
P(NV)
P(NV / G)P(G)
= =
P(NV)
S
S
P(NV / •)P(•)
P(NV)
02 . ⋅ 05 .
= 0.
2857
035 .
06 . ⋅ 025 .
= 0.
4286
035 .
P(NV / C)P(C) 04 . ⋅ 025 .
3) P(C / NV) = = = 0.
2857
P(NV) 035 .
Notem que la suma de les tres probabilitats suma 1.
A la vista dels resultats, és més probable que hagi anat a Gràcia.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 43

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
d)
0.5
0.25
E1
G1
1/3
1/3
E2
G2
0.25
C1
1/3
C2
Definim C: coincidir en un districte
Coincidir almenys un cop durant dues setmanes = A =
CC ∪ CC ∪ CC
P(A)=1-P( CC )=1-P( C)·P(C) (per independència entre setmanes)
C = E1·E2 ∪ G1·G2 ∪ C1·C2 (disjunts)
P(C) = P(E1·E2) + P(G1·G2) + P(C1·C2) = P(E1)·P(E2) + P(G1)·P(G2) + P(C1)·P(C2) =
= 1/6+1/12+1/12=1/3
P(A)=1-(1-1/3)(1-1/3)=5/9
4.16 Els productes farmacèutics.
a) Definim els següents esdeveniments:
P1 : Fabricació via procediment 1
P2 : Fabricació via procediment 2
D : Peça defectuosa
Hem de calcular P⎛⎜
⎝
P2 ⎞⎟
D ⎠
Fem-ho per arbre:
0.01
D
w 1
0.25
0.75
P1
P2
0.99
0.1
D
D
w 2
w 3
P⎛
P2 P(P2 D) 0.675
⎜ ⎞ ∩
⎟
⎝
0.732
D ⎠
= = =
P(D) 0.9225
{ }
P(D) = P( w ,w ) = 0.25⋅ 0.99 + 0.75⋅ 0.9 = 0.9225
2 4
{ }
P(P2 ∩ D) = P( w ) = 0.75⋅ 0.9 = 0.675
4
0.9
D
w 4
Per Bayes:
Pàg. 44 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
P⎛⎜ ⎝
P2 ⎞⎟ D ⎠
=
P⎛⎜
D ⎞⎟ ⎝ P2 ⎠
⋅ P(P2)
P⎛⎜ D ⎞⎟ ⎝ P1 P(P1) P D ⎠
⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟ P2 ⎠
⋅ P(P2)
=
09 . ⋅ 075 .
025 . ⋅ 099 . + 075 . ⋅09
.
= 0.
732
A priori:
P⎛⎜ D ⎞⎟ ⎝ P1
0.99 P D ⎠
= ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ P2 ⎠
= 0.9 P(P1) = 0.25 P(P2) = 0.75
b) Sigui A: Extreure com a màxim 1 peça defectuosa entre 10.
A 0 : Treure cap peça defectuosa
A 1 : Treure 1 peça defectuosa
D i : Treure una peça defectuosa en i-èssima posició i la resta de les 10 peces no defectuoses.
P(A)=P(A 0 )+P(A 1 )
P(A 0 )=P( D) 10 =0.9225 10 =0.446
1 2 10 i 9
P(A ) = P(D ∪D ∪... ∪ D ) = 10⋅ P(D ) = 10 ⋅(1−P(D)) ⋅ P(D) = 10⋅0.0775⋅ 0.9225 = 0.375
1
P(A)=0.446+0.375=0.821
c) X : v.a. número de peces defectuoses en 2 extraccions amb reposició.
P(D)=0.0775
2
P([X = 2 ])
= 0.0775 = 0.006
⎫
2
⎪
P([X = 0 ])
= 0.9225 = 0.851
⎬ verifica ∑ p
X(x i) = 1
x
P([X = 1 ] = 0.0775⋅0.9225 + 0.9225⋅0.0775 = 0.143⎪
i
⎭
[ ]
∑
E X = p (x ) = 0⋅ p (0) + 1⋅ p (1) + 2 ⋅ p (2) = 0.143+ 2 ⋅ 0.006 = 0.155
x i
X
i
X X X
4.17 Un de monedes trucades.
(75E , 25C) on E : moneda equilibrada i C : moneda 2 cares.
a) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,C) en 2 llançaments consecutius.
• Fent-ho per Bayes:
PA ( ) = 025 . PA ( ) = 075 .
⎫
⎪
⎧
( )
P( C A) 1 P ( X ⎪
P
A)
B A
= 1 P ⎛⎜ B ⎞⎟ ⎝ A ⎠
= 0
⎪
= = 0 ⎬ a priori tambe ⎨
P C 05 P
A
X ⎪
⎪P ⎛⎜ B ⎞⎟ 1/4 P
05
A
B 3/4
⎛⎜ ⎞⎟ . .
A
⎝ ⎠
= ⎛⎜ ⎞ ⎝ ⎠
= ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠
=
⎟ ⎝ A ⎠
= ⎪
⎩
⎭
( )
P A B
( )
( )
P B A
⋅ P(A)
1⋅
1
=
4
P B A
⋅ P(A) + P⎛ B =
A P(A) 1
⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎠
⋅ ⋅ + ⋅
1 4
1 4
3 4
7 16
1 4
4
= = = 0.5714
7
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 45

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
• Fent-ho amb arbre:
P(w i )
0.25
A
C
1 1
C
w 1
0.25
0.5
C
w 2
3/16
0.75
0.5
C
A
0.5
0.5
X
C
w 3
w 4
3/16
3/16
0.5
X
0.5
X
w 5
3/16
{ }
A∪ B= w → P(A∪ B) = 1/4
1
{ }
B = w ,w → P(B) = 1/ 4 + 3/ 16 = 7 / 16
P( A B)
1 2
P(A ∩ B) 1/4 4
= = =
P(B) 7/16 7
b) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,...,C) en 10 llançaments consecutius.
A priori:
( )
P A B
=
( ) ⋅ P(A) P( B A)
⋅ P(A)
1⋅
1
=
4
P(B) P( B ) ( )
A
⋅ P(A) + P⎛ B =
A P(A) 1
⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎠
⋅
P B A
⋅ + ⋅
1 4
1 2
10
10
=
3 4
2 + 3
0.997
12 =
2
Pàg. 46 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.18 Els despatxos
A : Està en el despatx 9
1/2
Sí
1/9
1/9
C1
C2
C9
1/2
No
B : No està en els 8 primers despatxos (A∩B = A)
a) P(A)=P(Sí)·P(C9)=1/2·1/9=1/18
b) ( ) P A B
=
P(A ∩ B)
P(B)
4.19 Loteria a l’escola.
1 18 1
1
= = P(B)
10
= 1 1
2
⋅ 9
+ 2
=
10 18
a) Ω = { números de 4 xifres }
ω : succés elemental P(ω)=10 -4
b) X : v.a.”benefici net per algú que compri un número”
X i : x 0 500.000-1.000 = 499000
x 1 50.000-1.000 = 49000
x 2 5.000-1.000 = 4000
x 3 1.000-1.000 = 0
x 4 0-1.000 = -1000
P X
( x 0
) = 10 -4
10 -3
P X
( x 1
) = = 10
10000
P X
( x 2
) = 10 -2
P X
( x 3
) = 10 -1
P X
( x 4
) = 1-10 -4 -10 -3 -10 -2 -10 -1 = 1-0.1111 = 0.9999
c) Benefici net : esperança X
E[X] = x ⋅ ( x ) = 499000·10 -4 +49000·10 -3 +4000·10 -2 -1000·0.9999 =
∑
= 49.9+49+40-999.9 = -750
i
i
P X i
10
18
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 47

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
4.20 La caseta de la Fira.
X : Número de blancs obtinguts quan prob. encert inicial és p.
1º tir 2º tir . X
2
1-p 0 ( 1− p )
0
0
1-p
p 1 ( 1− p)
p 1
P (
p
1
encert 2º encert 1º)
P (errrada 2º
1− p
2
1+ p
2
encert 1º)
0
1
(1 − p)
1+
p
= p + =
2 2
1+
p 1−
p
= 1−
=
2 2
( 1− pp )
2
( 1+ pp )
2
1
2
X P X
( x i
)
p=0.8 p=0.2
0
2
( 1− p )
0.2 2 =0.04 0.8 2 =0.64
1
2
3
2 ( 1−
pp )
3
2
1
2 ( 1+
pp )
1
2
08 . ⋅ 02 . = 024 . 3
2
18 . ⋅ 08 . = 072 . 1
2
02 . ⋅ 08 . = 024 .
⋅ 12 . ⋅ 02 . = 012 .
X no és una binomial perquè no es pot considerar com la repetició de 2 experiències de
Bernoulli, doncs la probabilitat d’encert no és constant en les 2 experiències.
Si p=0.8 E[X]=1.68 blancs
Si p=0.2 E[X]=0.48 blancs
4.21 La memòria d’accés ràpid.
A cache (50 ns) B cache (90 ns)
0,8
0,2
cache+ ( 50 + 0,1 cache+ ( 90 +
RAM 120 ns)
RAM 1200 ns)
0,9
Cost “X”
T A : temps accés amb cache A
Cost “1,3·X”
T B : temps accés amb cache B
E[T A ] = 50·0.8+1250·0.2 = 240 ns
E[T B ] = 90·0.9+1290·0.1 = 210 ns
Coeficient cost de A = 240·X
Coeficient cost de B = 210·1.3·X = 273·X
Per tant, la cache que interessa és la B.
Pàg. 48 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.22 El gos de la benzinera.
Sigui X : Nombre de vegades en un dia que el gos creua el carrer ⇒ X ~ P (λ)
⎧Y = 0 Gos a la benzinera
Y: ⎨
⎩Y = 1 Altrament
P(Y=0) = P(X parell) = P(X=0)+P(X=2)+...
P(Y=1) = P(X senar) = P(X=1)+ P(X=3)+...
∞
∞ i
−
λ
e + e e
P(X parell)= P( X = i)
= e = e cosh =e - ( ) = +
−λ −λ λ
1
∑ 2 ∑
λ
( 2i)!
2 2
i = 0
i = 0
2 λ λ −2λ
Y P Y (y i )
1+ e −2λ
0
Si λ →∞ ⎧ P(Y = 0) =
⎨
2
⎩ P(Y = 1) =
1− e −2λ
1
2
4.23 Una variable aleatòria esglaonada.
1 2
1 2
f x
Π 1 Π 2
x 0 x 01 x 02 X
P( X

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
E[X] = π
π
1
1
1
( x 01 + x 0 ) + − ( x 02 + x
01 )
2
2
01 0 2
( x − x ) 1 π 02 01
V(X) = π
1
+ − ( x − x )
12 12
1 2
0 01 02
Cas x = 0, x = 18, x = 24, π
1
= 06 . :
06 . 1
EX [ ] = ⋅ + − 06 .
( 12)
⋅ ( 42) = 3. 6 + 8.
4 = 12
2 2
06 . 2 04 .
VX ( ) = ⋅ 18 + ⋅ =
12 12 6 2
( )
174 .
4.24 El taller de reparacions d’ordinadors.
Computador
⎧1 CPU
⎪
⎨ +
⎩
⎪1 RAM
F1→ 80% computadors
F2→ 20% computadors
Sigui A: “CPU en bon estat”
Sigui B: “RAM en bon estat”
0,8
0,2
⎧RAM defectuoses 5%
F1 ⎨
⎩ CPU defectuoses 2%
⎧RAM defectuoses 5%
F2 ⎨
⎩ CPU defectuoses 5%
0,98 CPU
RAM
0,95
0,05
CPU
F1 0,98 CPU
F2
O bé més simple:
0,05 RAM
0,95
0,95
RAM
RAM
0,05
CPU
0,95 CPU
0,05
0,95
0,05
CPU
CPU
CPU
0,8
0,2
F1
F2
0,98
0,02
0,95
0,05
CPU
CPU
CPU
CPU
Pàg. 50 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
a) P(A)=0.8·0.98+0.2·0.95=0.974
P(B)=0.8·0.95+0.2·0.95=0.95
P(A ∩ B)=0.8·0.95·0.98+0.2·0.95·0.95=0.9253
b)
i) P(F1 / A ) ?
P (F1 ∩ A)
P(F1 / A)
=
P(A)
03 . ⋅ 002 . 0.
016
= = = 0.
615
1 − 0.
974 0.
026
ii) P(F2 / Funciona) ? F = "computador funciona" = {CPU, RAM}
P(F2 / F) =
P(F2 ∩ F) 02 . ⋅095 . ⋅095
.
=
= 0195 .
P(F)
08 . ⋅095 . ⋅ 098 . + 02 . ⋅095 . ⋅095
.
x
λ
c) X Taller
∼ ℘ ( 2) λ = 2 ℘ ( X = x)
=
x!
e
Taller
P( X > 5) = 1 − P(
X ≤ 5) = 1 − 0. 983 = 0.
017
Taller
Taller
↑
Taules
d) T entre reparacions
∼ Exp(2) λ=2 f ( T
x )= λe
entre reparacions
+∞
−2
] ]
− t − t t
−
PT (
reparacions
> 5) = λe λ dt= − e λ =− e = 0+ e = e
entre
∞
∫
5
5
+∞
5
10 −10
−λ
− λ x
4.25 Un de verificació de propietats.
x
∫
−∞
f
X
( x)=
⎧1+
x
⎪
⎨ 12
⎩⎪ 0
a) f ( t)
dt = 1
0
∞
∫
−∞
X
2
?
si 0< x < 3
altrament
2
(1 + t )
dt = 1 ⎛
t + t ⎞
⎜
12 ⎝ ⎠
⎟ ⎤ ⎦ ⎥ = 1 ⎛
⎝
⎜ + ⎞
⎟ =
12 3 12 3 27
1
3 ⎠
3 3
∫
b) F x
X ( ) ?
x
3
⎛ t ⎞
x
f
X
() t dt = ( + t ) dt = ⎜ t +
x
⎝ ⎠
⎟ ⎤ 3
1
⎦ ⎥ = ⎛
⎜
⎝
+ ⎞
∫
⎟
12 1 2 1
1
12 3 12 3 ⎠
0
3
0
x
0
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 51

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
c) P( X> 2 X> 1)
=
P(X > 2) 1 P X 2) 1
1
2
8
= − ( ≤ = − 12 ( + 3 )
PX ( > 1)
1−
P(X ≤1)
1− ( 1+
)
1 12
1 3
∞
3
2 4
1
⎛ ⎞
EX = ⋅ = + = ⎜ +
⎝ ⎠
⎟ ⎤ 3 1 t t
⎦ ⎥ = 1 ⎛ 9
⎜
⎝
+ 81⎞
∫t f
X
() t dt ∫( t t ) dt
⎟ =
12
12 2 4 12 2 4 ⎠
d) [ ]
−∞
0
3
0
99
48
4.26 Les aturades d’uns sistemes de control.
a) Probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades en un cert dia.
P(X 1 ≥2) = P(X 1 =2) ∪ P(X 1 =3) = P(X 1 =2)+P(X 1 =3) = 0.34+0.24 = 0.58
↑
P(A∪B)=P(A)+P(B) (successos disjunts)
Com que són sistemes independents (⇒ variables independents) podem trobar la funció
de probabilitat conjunta.
⇓
PX , X
( x1, x2) = PX ( x1) ⋅ PX
( x2)
1 2 1 2
X X 2
1
0 1 2 3
0 0.007 0.014 0.035 0.014
1 0.035 0.07 0.175 0.07
2 0.034 0.068 0.17 0.068
3 0.024 0.048 0.12 0.048
b) Probabilitat ( nº parades s1 < nº parades s2 )
P(X 1

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.27 Les avaries d’un centre de càlcul.
Exercici pel lector.
4.28 Recanvis de peces.
Exercici pel lector.
4.29 Un de descriptiva bivariant.
Exercici pel lector.
4.30 El concurs de mèrits.
Exercici pel lector.
4.31 Les cues al peatge.
Exercici pel lector.
4.32 Una aplicació del teorema central del límit.
e i
∼ U[ −1 1
2 2 ]
Se =
100
∑ e i
i=
1
, i=1,..,100 independents.
⎧E[ ei
] = 0
⎪
1 1
on ⎨
2
3 2
2 u ⎤ 1 1 1
V( ei
) = u du=
⎥ = + =
⎩⎪
−∫
1 3 ⎦ 24 24 12
−1 2
2
ℵ 0,σ = pel Teorema Central del Límit.
2
Aproximem Se per
100
( 12 )
X∼ ℵ ( 0,
25
)
( X z)
3
: error aproximar suma de 100 números.
⎛
P ( k k) F ( k) F ( k) F ( k)
F k ⎞
- ≤ X ≤ = 099 . =
X
−
X
− = 2⋅ X
− 1= 2⋅
X ⎜ ⎟ − 1= 099 . ⇒
25
⎝ 3 ⎠
⇒ F
⎛ k
X
= 0.995
⎝ ⎜ ⎞
⎟
25 3 ⎠
P ≤ = 0.
995
Busquem z’ tal que P( z)
Z ≤ ' = 0.
995 si Z ∼ℵ (0,1) ⇒ z' = 2.575 = k ⇒ k = z'
×
25 3
25 3
4.33 Un parell de variables discretes.
Y\X -1 0 1
-1 a 2a 3a 6a
0 2a 4a 6a 12a
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 53

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
1 ab 4a 3ab 4a+4ab
3a+ab 10a 9a+3ab 1
Condicions: 6a + 12a + 4a + 4ab= 1 → 22a + 4ab = 1 → a( 22 + 4b)
= 1 i a ≥ 0,
b ≥ 0
1- 22a
1 22 22
Si per exemple, a=1/100 → b = = − = 25 − = 19. 5 .
4 a 4 a 4 4
a) EY [ ] = ∑ yi ⋅ PY ( yi)
= − 1× 6a + 0+ 1× ( 1− 18a ) = − 6a + 1− 18a = 1−
24a
yi
E[ X ] = ∑ xi ⋅ PX ( xi)
=− 13 ( a + ab) + 0+ 19 ( a + 3ab)
=−3a − ab + 9a + 3ab = 6a + 2ab
=
xi
1 4 a
22 1 1 4 2 2
= 6a + 2a( − ) = 6a + − 11a = −5a
b)
X Y S=X+Y M=Sup(X+Y) P XY (x i ,y i )
-1 -1 -2 -1 a
-1 0 -1 0 2a
-1 1 0 1 ab
0 -1 -1 0 2a
0 0 0 0 4a
0 1 1 1 4a
1 -1 0 1 3a
1 0 1 1 6a
1 1 2 1 3ab
S P S (s i )
-2 a
-1 4a
0 ab+4a+3a=7a+ab
1 10a
2 3ab=(3-66a)/4
M P M (m i )
-1 a
0 8a
1 1-9a
S M (x i ,y i ) P SM
( s i
, m i
)
-2 -1 (-1,-1) a
-2 0 - 0
-2 1 - 0
Pàg. 54 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
-1 -1 - 0
-1 0 (-1,0),(0,-1) 4a
-1 1 - 0
0 -1 - 0
0 0 (0,0) 4a
0 1 (-1,1),(1,-1) 3a+ab
1 -1 - 0
1 0 - 0
1 1 (0,1),(1,0) 10a
2 -1 - -
2 0 - -
2 1 (1,1) 3ab
22a+4ab=1 si b =
1 4 a −
22 8
S
M -1 0 1
-2 a 0 0
-1 0 4a 0
0 0 4a 3a+ab
1 0 0 10a
2 0 0 3ab
c) Quan són independents?
Si b=2 a=1/30 les files i les columnes són múltiples entre sí.
-1 0 1
Y X
-1 130 230 330 630
0 230 430 630 12 30
1 230 430 630 12 30
530 10 30 15 30
4.34 Un nou parell de variables.
Y
X -1 0 1
-1 0 2a 3a 5a
0 2a 0 a 3a
1 3a a 0 4a
5a 3a 4a 12a=1
Condició: 12a = 1 → a = 112
X Y S=X+Y M=Max(X,Y P X+Y (x i ,y i ) X-Y
)
-1 -1 -2 -1 0 0
-1 0 -1 0 2a -1
-1 1 0 1 3a -2
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 55

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
0 -1 -1 0 2a 1
0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 a -1
1 -1 0 1 3a 2
1 0 1 1 a 1
1 1 2 1 0 0
Una forma abreujada d’escriure aquesta taula és:
X+Y P X+Y
-2 0
-1 4a
0 6a
1 2a
2 0
EX [ ] = [ ] 5 12
EX+Y [ ] = EX [ ] + [ ]
EY = − + 4 = − 1 12 12
EY = −1 6 = − 2 ·0 −1·4
+ 0·6 + 1·6 + 1·2 +
12 12 12 12
2· 0
b) X i Y són independents?
P XY (-1,-1)=0 P X (-1)=5a P Y (-1)=5a però 25a 2 ≠ 0 ⇒ no independents.
c) Distribució Z = X-Y
d) Distribució D = max(X,Y):
Z=X-Y
P Z
-2 3a
-1 3a
0 0
1 3a
2 3a
D
P D
-1 0
0 4a
1 8a
4.35 Més de parells de variables.
Exercici pel lector.
4.36 Un parell de variables uniformes i discretes.
{ }
PX ( xi) = 1 PX ( x
1 i) = 1 6 6
X i
= 01 , ,2,3,4, 5
2
Variables aleatòries uniformes i independents.
Pàg. 56 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
a) Z = ( x −x
)
1 2
2
té valors : 0,1,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 i aplicarem :
nº casos favorables
nº casos possibles
Z (fer-ho a mà)
0 6/36
1 10/36
4 8/36
9 6/36
16 4/36
25 2/36
b) Es pot fer a mà.
S=6X+Y S i ={0,...,35} P(S=w)=1/36
4.37 Parell de variables uniformes i contínues.
1
Resolució a classe a criteri del professor.
0
1
[ ]
X + X no es uniforme en 0,2
1 2
4.38 L’espera a correus.
X = X + X = nº de persones en l' interval T.
a
b
a) Les hipòtesis d’independència i procés poissonà impliquen que: X ∼℘ (( a + b) T )
0
(5( a + b)) − 5( a+ b)
−3
P(
Cap client en 5 minuts) = e = e ....
0!
Z: v.a. clients en 5 minuts ∼ ℘(5(a+b))=℘(3) si a=0.4 i b=0.2.
W: Persones que han vingut per un reintegrament entre les 18.35h. i les 18.45h. (en 10 min)
W∼℘(aT)=℘(10a)
n = n A + n B ( n persones total = n A per reintegrament + n B per enviar )
a
n A ∼ B( n, P A ) on P A : probabilitat que sigui una persona de reintegrament: P A =
a + b
b
n B ∼ B( n, P B ) on P B =
a + b
4.39 La finestreta d’atenció al públic.
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 57

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
X = v.a. que compta persones per minut. → X∼℘(2).
2 k
− 2
a) P( X > 2 ) = 1-P( X ≤ 2 ) = 1 − ∑ e
2 = 1 − 0. 6767 = 0.
3233
k=
0 k!
b) Y = v.a. que compta persones en cinc minuts. → Y ∼℘(10).
12
k
− 10
P( Y < 13 ) = P( Y ≤ 12 ) = ∑ e
10 = 0,7916
k !
k = 0
c) Ara no hi ha cap persona. El temps d’espera fins que arribi una persona segueix la llei
exponencial amb paràmetre 2. → T ∼ exp(2).
∞
P( T > 5 ) = 2 ⋅ − t
∫ e dt = e
5
2 −10
d) Ara hi ha una persona. Igualment el temps d’espera fins que arribi una altra persona
segueix la llei exponencial amb paràmetre 2. Per tant, la solució, com a l’apartat anterior, és
e −10 .
e) El temps d’espera igualment segueix una llei exponencial amb paràmetre 2.
∞
t
Esperança : ∫ t ⋅ 2e −2
dt = ½ minuts.
−∞
4.40 La tenda de peixos.
a) X
1
: nº peixos en 6 intents ∼ B(6 , p=0.6)
EX 1
= n⋅ p = 36 .
[ ]
P (X
0) = P
⎛6⎞
(0) = ⎜ ⎟ ⋅ 0.6
⎝0⎠
⋅ (1 − 0.6)
= 0.4
0
6 6
1
=
X
=
1
0.0041
b) X 2 : nº d’intents fins aconseguir un peix ∼ G(0.6) (llei geomètrica de paràmetre
p=0.6)
EX 2
= 16 . )
[ ]
c) 4 clients per hora dels indecisos ∼℘(1) per 1 4 d’hora.
1 client per hora dels segurs ∼℘(0.25) per 1 4 d’hora.
De les 10 a 10:15 → client ha comprat 1 peix.
A: client indecís B: comprar un peix
P( B
) P
P( A B ) A
⋅ ( A)
0.
0296
=
= = 013 .
P( B)
023 .
( ) ( ) ( )
P( B) = P B A
P( A) + P B ⋅ P A = 0. 037 ⋅ + 1⋅ = 0.
23
A
A priori : P( A ) = 45 P(A) = 1/
5
4 5
1 5
Pàg. 58 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
( ) = = = ⎛ ( )
⎝ ⎜ 6 ⎞
5
(
1
1) . ( . ) .
P B A
P X ⎟ ⋅06⋅ 04 = 0037 P B = 1
1⎠
A
4.41 Un viatge internacional.
Xicago : 21h. (17h 30min - 6h)
Luxemburg : 14h 30min (8h 30 min a Xicago)
Per tant el vol dura 11h 30min = 690 min. perquè hi ha 6 hores de desplaçament horari.
X: Xicago-Islàndia ℵ 1 (240,25 2 )
Y: Islàndia-Islàndia ℵ 2 (45,10 2 )
Z: Islàndia-Luxemburg ℵ 3 (420,40 2 )
D=X+Y+Z
D = 240 + 45 + 420 = 705
2 2 2
Var(D) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) = 25 + 10 + 40 = 625 + 100 + 1600 = 2325
⎛ 675 − 705 705 − 705⎞
P(690 −15 ≤ D ≤ 690 + 15) = P(675 ≤ D ≤ 705) = P⎜
≤ Z ≤ ⎟ =
⎝ 2325 2325 ⎠
= P −0. 622 ≤ ≤ 0 = 0. 5 − P ≥ 0. 622 = 0. 5 − 1 + P ≤ 0. 622 = − 0. 5 + 0. 7324 = 0.
2324
( Z ) ( Z ) ( Z )
4.42 El tub de rajos catòdics.
X∼N (275,43 2 )
mín=200 → s’arruga
màx=375 → es trenca
a) Probabilitat que s’arrugui
⎛ 200 − 275⎞
P( X< 200) = P⎜
Z<
⎟ = φ
Z( − 1744 . ) = 1 − φ
Z( 1744 . ) = 1 − 0. 959 = 0.
041
⎝ 43 ⎠
P( X < 175 ∩ X<
200)
P( X < 175)
b) P( X< 175 X< 200)
=
=
=
P( X < 200)
P( X < 200)
⎛ 175 − 275⎞
P⎜
Z < ⎟
⎝ 43 ⎠ 0.
0102
=
= = 0.
2487
⎛ 200 − 275⎞
0.
041
P⎜
Z < ⎟
⎝ 43 ⎠
c) P(200

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
o si Z : Nº tubs defectuosos ⇒ Z∼B(5,1-p)
P(Z ≤ 2) = B(2,5,0.052) = 0.9988
e) X∼N (275, 43 2 ⎧µ
) ⇒ = 275
⎨
=
⎩ σ = 43
E( X)
Busquem t tal que P (µ-t ≤ X ≤ µ+t ) = 0.95
• De manera directa per propietats de la normal:
(µ+2σ) ⇒ 95%
t= 2σ=2×43=86
• P( 275 − t ≤ X ≤ 275 + t) = P( X ≤ 275 + t) − P( X ≤ 275 − t)
=
⎛ 275 + t − 275⎞
⎛ 275 − t − 275⎞
⎛ t ⎞ ⎛ −t⎞
⎛ t ⎞ ⎛ ⎛ t ⎞⎞
= φ
Z⎜
⎟ − φ
Z⎜
⎟ = φ
Z⎜
⎟ − φ
Z⎜
⎟ = φ
Z⎜
⎟ −⎜1−φ
Z⎜
⎟⎟ =
⎝ 43 ⎠ ⎝ 43 ⎠ ⎝ 43⎠
⎝ 43⎠
⎝ 43⎠
⎝ ⎝ 43⎠⎠
⎛ t ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟ − = ⇒ ⎛ ⎝ ⎠
⎝ ⎜ t ⎞ 195 .
Taules t
2 φ
Z
1 095 . φ
Z ⎟ = = 0. 975 ⎯⎯⎯ → = 196 . ⇒
43
43⎠
2
43
⇒ t = 1.96 ⋅43 = 84.28
4.43 Vida de dispositius electrònics.
Exercici pel lector.
4.44 El creuament de trens.
a) D A : durada recorregut A → C D B : durada recorregut B → C
D A ∼ ℵ( 208.9 , 20 2 ) D B ∼ ℵ( 207.6 , 20 2 )
⎧ 3h 28min 54seg → 208.9 min
Doncs, ⎨
⎩3h 27min 36seg → 207.6 min
⎛ 180 − 208.
9⎞
0. 9251+
0.
9265
P(D A
≤ 180) = P⎜
Z
A
≤
⎟ = P( ZA ≤− 1445 . ) = 1− P( ZA
≤ 1445 . ) = 1−
⎝ 20 ⎠
2
= 0.
0742
⎛ 150 − 209.6⎞
P(D B
≤ 150) = P⎜Z
B
≤ ⎟ = P( ZB ≤ − 288 . ) = 1−P( Zb
≤ 288 . ) = 1− 09980 . = 0002 .
⎝ 20 ⎠
b) R: succés existència d’accident en un dia
A: Tren A arriba passades les 20h.
B: Tren B arriba passades les 20h.
C: Cap d’estació despistat després de les 20h.
R=A∩B∩C
P(R)=P(A)·P(B)·P(C)=0.06·0.05·0.5=0.0015
⎛ 240−
208.9⎞
P(A) = P(D A
≥ 240) = P⎜
Z
A
≥
⎟ = P( ZA ≥ 1555 . ) = 1−P( ZA
≤ 1555 . ) =
⎝ 20 ⎠
( 0. 9394 + 0.
9406)
= 1−
= 006 .
2
( )
Pàg. 60 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue
=

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
= 1−
⎛ 240−
207.
6⎞
P(B) = P(D B
≥ 240) = P⎜
Z
B
≥ ⎟ = P( Z
B
≥ 162 . ) = 1−P( Z
B
≤ 162 . ) =
⎝ 20 ⎠
( 0.9495+
0.9505)
2
P(C)=0.5
= 0.05
c) X: nº d’accidents en una setmana X∼B(7,0.0015)
A: S’ha produït algun accident.
7
0 7
P(A) = P(X > 0) = 1 − P(X = 0) = 1− ⎛ ( . ) (0.9985) 1 0.9895 0.0105
⎝ ⎜ ⎞ 0⎠ ⎟ ⋅ 0 0015 = − =
d) X: Nº d’accidents en 200 dies. X∼B( 200 , 0.0015 )
A: S’ha produït algun accident.
X∼B( 200 , 0.0015 ) ⇒ npq=200·0.0015·0.9985=0.29955 0) = 1 − P(X = 0) = 1− e = 1− 0. 741=
0.
259
0!
e) C: No hi ha accident un dia determinat.
A: Tren A arriba passades les 20h.
B: Tren B arriba passades les 20h.
P(
A∩ B P(A ∩B ∩ C) 0.0015
C ) =
= = 0.0015022
P(C)
0.9985
P(C) = 1− 0.0015 = 0.9985 per l'apartat b)
P(A ∩B ∩ C) = 0.0015
4.45 La màquina d’emplenar caramels.
a) F Z (z 1 )=0.006
F Z (z 2 )=1-0.33=0.67
Taules
⎯⎯⎯ → z = −2.51 F ( − z ) = 0.994
Taules
⎯⎯⎯ → = 044 .
z 2
1 Z 1
8176 . − µ ⎫
044 . =
Es planteja el següent sistema:
σ ⎪ µ =80
69.
96 −
⎬ ⇒
µ
− 251 . = ⎪ σ =4
σ ⎭
b) P(X > 80) = 0.5 = p on p: probabilitat de triar un paquet a l’atzar que pesi més de 80
grams.
Y: Nombre de bosses amb més de 80 gr. entre 10 bosses. Y∼B(10 , 0.5)
⎛
P(Y=5)= 10 ⎞ 5 10−5
⎜ ⎟ ⋅0. 5 ⋅( 1 − 0. 5) = 0.
2460
⎝ 5 ⎠
c) Y 1 = nombre amb més de 80 gr. entre 100 bosses. Y∼B(100 , 0.5)
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 61

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
P(Y 1
≥40) ≅ P(Y 2
≥40) on Y2∼ℵ(µ,σ 2 ⎧ µ = np = 100 ⋅ 0.
5 = 50 ⎫
) on ⎨ 2
⎬
⎩σ
= np( 1 − p) = 100 ⋅0. 5⋅ 0.
5 = 25⎭
doncs np(1-p)=25>5 i aprox. Poisson no val.
⎛ 40 − 50⎞
P(Y2 ≥ 40) = 1 − P(Y2
≤40) = 1 − P⎜
Z ≤ ⎟ = 1 − P(Z ≤− 2) = P(Z ≤ 2) = 0.9772
⎝ 25 ⎠
4.46 La normal truncada.
f
X
a) X : Nombre d’hores de funcionament d’un tub.
⎧0 x < 200
( x)=
− x
⎨
2
80000
⎩Ke
x ≥ 200
∞
f
X( x) es f.d.p. si ∫ f
X( t) dt = 1 i aixo determina K.
∞
∫
−∞
∞
-∞
−1 t-0
2
( )
f
X
() t dt = Ke
2 200
dt = K ⋅ A = 1
∫
200
Estudiem A comparant amb FY ( y) on Y ∼ ℵ(0,200 2 )
limF ( y ) = f () tdt= f () tdt+
f () tdt= B+ C=
1
y→+∞
∞
∫
200
Y Y Y Y
−∞
−∞
200
∫
Estudiem C:
∞
∞
− t −
1
1 0
2
( )
C = ∫ f () t dt = e
2
1
∫
200
dt = A= 1 − F ( 200)
= 1 − F
200 200 2π 200 200 2π 12 4 34
B
= 1− FZ() 1 = FZ( −1)
Per tant:
A= 200 2π
⋅FZ( − 1) = 200 2π
⋅Fy( −200)
K = 1
A
= 1
200 2 π ⋅F
( − 1 )
∞
∫
Y Y Z
b) Sigui X com abans. P(X>250)?
P( X > 250) = 1 − P( X ≤ 250) = 0.
665
Z
⎛ 200 − 0⎞
⎜ ⎟ =
⎝ 200 ⎠
250
∞
−1 t −0
2
( ) ⎛
− t −
1
1 0
2
( ) ⎞
P( X ≤ 250)
= K e
2 200
∫ dt = 200 2 ⋅K⎜
e
2 200
π ∫ dt⎟ =
200
⎝ 200 2π
200 ⎠
= 200 2π
⋅KF ( Y( 250) − FY( 200) ) = 200 2π
⋅K⋅( FZ( 125 . ) − FZ( 1)
) =
( FZ(. 125) − FZ()
1 )
=
FZ
( − 1)
= 0.
335
c) T : nombre de tubs actius en un aparell A després de 250 h.
Al ser tubs independents i de la mateixa vida mitjana ⇒ Procés de Bernoulli ⇒ T∼Β
(100,0.665)
A : Funciona aparell A després de 250 h.
P(A)=P(T≥65) inviable el càlcul per les taules.
T∼Β (100,0.665) que podem aproximar per una ℵ(µ,σ 2 ) amb µ=66.5 i σ 2 =22.28 doncs npq>5.
Per tant, tenim T∼ℵ(66.5,4.72 2 )
Pàg. 62 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
⎛ 65 − 665 . ⎞
P( A) = P( T≥ 65) = 1 − P( T≤ 65)
= 1 − P⎜
Z≤
⎟ = F Z
( 0. 318) = 0.
6255
⎝ 472 . ⎠
d) W: nombre aparells A actius després de 250 h. W∼Β(20,0.6255)
A priori sabem W>10 i es demana P⎛⎜ W > K$
⎞⎟ ⎝ W > 10 ⎠
= 01 . (< 0.1) amb K $ màxim.
P⎛
W K P W K P W K (20 , 20 - K
⎜ > $ ⎞ ( > $ ) 1
⎟
⎝ W > ⎠
= = − ( ≤ $ ) B $ − 1 , 0. 375)
10
=
= 01 .
P( W > 10)
1−
P( W ≤10)
B(20 , 9 , 0.375)
B(20 , 20 - K$ − 1 , 0. 375) = 0.
082
B(20 , 3 , 0. 375) = 0. 0302 ; B (20 , 4 , 0. 375) = 0.
084 (> 0.082)
Taules : 20 - K$
- 1 ≈ 3
⇒ K $ = 16.
4.47 Les alçades en matrimonis.
2
r
⎧X ≈ℵ(176.5,5.5 )
X = (X, Y) Alçada matrimoni. ⎨
ρ=0.51
2
⎩ Y ≈ℵ(169.82,5 )
a) cov(X,Y)?
cov( X, Y)
ρ =
cov(X, Y) = ρ⋅τ
X
⋅ τ
Y
= 0. 51⋅55 . ⋅ 5 = 14.
025
τ ⋅τ
X
Y
b) W=Y-X no parella ⇒ W∼ℵ(µ,σ 2 ⎧µ
= 169. 82 − 176. 5 = −6.
68
) amb ⎨ 2 2 2 2
⎩ σ = 55 . + 5 = 743 .
⎛ 0
P(W>0)=P Z> + 668 . ⎞
⎜ ⎟ = P( Z> 0899 . ) = 1 − P( Z ≤ 0. 90) = 1 − 08159 . = 0184 .
⎝ 743 . ⎠
↑
Taules.
c) V representa una parella, tindrà µ=-6.68,σ 2 =7.43 2 -2·14.025=27.1549.
Sigui p=P(V

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
µ = 2µ
+ 3µ
+ µ
σ
σ
1
2
2
1
2
2
= σ
A
3
µ = 2µ
+ 4µ
= 6000 cm
2
A
= 2σ
A
+ σ
2
A
2
A
B
+ 4σ
C
+ σ
2
B
C
= 5.5
= 2×
998 + 3×
1000 + 1001 = 5997 cm
+ σ
2 2 2
3
B
+ σ
B
+ σ
C
= 6.67 ( cm )
3 2
3
( cm ) →σ
= 2.345 cm
2
→σ
= 2.583 cm
2
B
2
2
2
σ
Demanem P(C
> C1)
= P(C
2
− C1
> 0) = P(D > 0) on D = C
2
− C1
⇒ D ≈ N(
µ ,
3
⎧⎪
µ = µ
2
− µ
1
= 3 cm
⎨
2 2 2
3
⎩⎪ σ = σ
1
+ σ
2
= 12.
17 → σ = 3.489 cm
⎛ 0−
3⎞
P( D> 0)
= P⎜
Z>
⎟ = P( Z>− 0. 8599) = P( Z< 0. 8599) = 0.
8051
⎝ 3.
489⎠
b) Cerquem m tal que P(C 1
⎟ = 1− P⎜
Z<
⎟ = 002 .
⎝ 2. 583 ⎠ ⎝ 2. 583 ⎠ ⎝ 2.
583 ⎠
⎛ 5997 − m⎞
Per tant: P⎜
Z < ⎟ = 0. 98 ⇒ z
0
tal que PZ ( < z0
) = 0. 98 i per taules z
0
= 2.
055
⎝ 2.
583 ⎠
5997 − m
z0 = 2.
055 = → m = 599169 . cm 3
2.
583
c) Una ampolla d’A és defectuosa amb probabilitat p A .
Sigui X: v.a. nombre d’ampolles A defectuoses entre 150 → X∼B(150, p A )
Cerquem P(X>100)=P(X ≥ 101)
⎛ 999 − 998⎞
pA
= P( yA
< 999)
= P⎜
Z<
⎟ = P( Z< 2
) = 0. 7454 ≅ 0.
75
⎝ 15 . ⎠
3
Aleshores X∼B(150,0.75)
Aproximació normal pel càlcul doncs p A >0.01,p A

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
4.49 Les empreses d’estudi de mercat.
a) cov(X, Y) = ρ(X, Y) ⋅ V(X)V(Y) = 0.
815 × 20 × 20 = 326
b) Sigui D : accionistes insatisfets en un any.
U:Nombre de mesos amb benefici ∼B(12 , p = P(Y≥200))
⎛ 200 − 205⎞
P( Y≥ 200) = 1− P( Y≤ 200) = 1− P⎜
Z≤
⎟ = P( Z≤ 0. 25) = 0.
5927
⎝ 20 ⎠
P(D)
= P(U
≤ 8) = B(8,12,
0.5927) = 1−
B(12
− 8 −1,12,
0.4013) = 1−
B(3,12,
0.4) =
= 1−
0.2253 = 0.7747
↑
Taules : p = 0.4, n = 12, k
c) Sigui V : Nombre de mesos fins assolir beneficis durant 3
V∼Bin. Negativa amb p=P(Y≥200)=0.5987 r=3
⎛9
−1⎞
3 9−3
⎛8⎞
3
6
P (V = 9) = ⎜ ⎟ ⋅ p ⋅ q = ⎜ ⎟ ⋅ 0.5927 × 0.4013 = 28×
0.2146×
0.00418 = 0.025
⎝3
−1⎠
⎝2⎠
d) 10 anys → 120 mesos
W : nombre mesos sense beneficis∼B(120,p=0.4013)
p=P(Yk)=0.05
⎛ .
P( W k) P( W k) P( W' k)
P Z k − 4816⎞
> = 1− ≤ = 1− ≤ = 1− ⎜ ≤ ⎟ = 005 .
⎝ 54 . ⎠
↓
2 2
W ≈ B(120,0.4013) s' aproxima per W' ≈ℵ (48.156,5.4 ) on σ = npq
z
0
tal que P(Z ≤ 2) = 0.95 → z
0
= 165 .
k − 4816 .
= 165 . ⇒ k = 57 mesos maxim.
54 .
W'
= 3
4.50 Un de propietats bàsiques.
a) F X(x)
1/2
1
0 1 2
3
4
X
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 65

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
⎧0 x ≤ 0
⎪
0.5 0 < x ≤ 1
dFX
( x)
⎪
b) Per derivació immediata tenim : fx
( x)
= ⇒ f
X
( x)
= ⎨0 1< x ≤ 2
dx
⎪0.25 2 < x ≤ 4
⎪
⎩⎪
0 x > 4
f X (x)
1/2 1
1/4
0 1 2 3 4
x
P(
X > 3 ∩ X >1)
X > 1
=
P( X > 1)
1
= − F
= − X
() 3 1 075 . 025 .
= = 05 .
1−
F () 1 1−
05 . 05 .
c) P( X > 3
)
X
=
P( X > 3)
P( X > 1)
1 P X
= − ( ≤ 3)
1−
P( X ≤1)
=
+∞ 0
1
2
4
+∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
d) EX ( ) = t ⋅ f ( t ) ⋅ dt = ⋅ t ⋅ dt + . ⋅ t ⋅ dt + ⋅ dt + . ⋅ t ⋅ dt + ⋅ dt
X
0 05 0 025 0 =
1
−∞
2
2
t ⎤ t ⎤
= 05 . ⋅ ⎥ + 025 . ⋅ ⎥ = 175 .
2 ⎦ 2 ⎦
0
4
2
−∞
0
1
2
4
4.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.
a) ∑∑
PXY (x
i
, y
j
) = 1 ⇒ + a + b= 1 ⇒ b = − a ⇒ 0 ≤ a≤
i
j
5 8
3 8
3 8
a
X,Y són independents? Depèn de a i b : PXY (,) 31 = a = PX () 3 ⋅ PY
() 1 =
9 3 64 + 8 a ⇒ ⎧ =
⎨
⎩ b =
9 40
3 20
P XY ( , ) Y=1 Y=2
X=1 1/4 1/6
X=2 1/8 1/12
X=3 9/40 3/20
b)
P X (x i ) P Y (y j ) 3/5 2/5
5/12 15/60=1/4 10/60=1/6
5/24 15/120=1/8 10/120=1/12
3/8 9/40 6/40=3/20
Pàg. 66 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
x i P X (x i ) F X (x i )
1 5/12 5/12
2 5/24 5/8
3 3/8 1
F X (x)
1
5/8
5/12
1 2 3
x
c) P( Y = 1
)
X = 2
2
P( Y= 1, X=
2)
PXY
( 21 , ) 1
=
= = 8
=
P( X = 2)
P ( 2)
d) EY ( ) ( ) 2 ( )
X
5 24
= ∑ y ⋅ P y =
3
+ a +
5
j Y j
− a =
13 8 8 8 −a
j=
1
En cas de ser independents : a =9/40 ⇒ E(Y)=7/5=1.4
3
5
4.52 Les malalties tropicals.
2 2 2
a) Var( X) = E( X ) − E( X ) = 401 . − 2
2
= 001 . = 01 . ⇒ σ = 0.1
b) P( 1. 98 ≤ X≤ 2. 02) = P( X≤ 2. 02) − P( X≤ 1. 98) = P( Z≤ 0. 2) − P( Z ≤− 0. 2)
=
= 2 ⋅ P( Z ≤0. 2) − 1 = 01586 .
P ( X > 2.2) = 1 − P(X
≤ 2.2) = 1 − P(Z
≤ 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228
c) Usem que p=P(1.98 ≤ X ≤ 2.02)=0.1586
• X 1 ∼ B(10,p=0.15) X 1 : nombre de poblats entre 10 amb X∈(1.98,2.02)
P( X1 ≥ 5) = 1− P( X
1
≤ 4) = 1− B( 4, 10, 015 . ) = 1− 0. 9901=
0.
0099
• X 2 ∼ B(100, p=0.16) X 2 : nombre de poblats entre 100 amb X∈(1.98,2.02)
np
'
2 ⎧µ
= = 100 × 0.16 = 16
X
2
≈ℵ( µσ , ) on ⎨ 2 2
⎩ σ = npq = 367 .
'
'
P( X2 ≥ 5) = 1 − P( X2
≤ 5) = 1 − P( Z≤− 2. 997) = P( Z≤ 3) = 0.
998
d) Objectiu: P(X>2.02)=0.25 reduint σ 2 de X
⎛ 002 . ⎞
.
P( X> . ) = − P( X≤ . ) = − P⎜
Z ≤ . P Z .
⎝ ⎠
⎛
⎜
⎝
≤ 002⎞
202 1 202 1
025
⎟ = 075
σ
σ ⎠
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 67

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
002 .
z0 tal que P Z z0 075 es z 068
= 0.02
2
( ≤ ) = .
0
= . = ⇒ σ = 0. 0294 ⇒ σ = 0.
000865
σ
0.68
Pàg. 68 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
5. TAULES ESTADÍSTIQUES (AUTOR: JOSÉ ANTONIO GONZÁLEZ)
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 69

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Función de distribución BINOMIAL
B
TABLA A
x
k n−k
( x;
n,
p) = ∑ ⎜ ⎟p
(1 − p)
k = 0
⎛n⎞
⎝k
⎠
N
X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500
1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500
3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250
1 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000
2 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750
4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625
1 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125
2 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875
3 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375
5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313
1 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875
2 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000
3 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125
4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688
6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156
1 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,1094
2 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,3438
3 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,6563
4 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,8906
5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,9844
7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078
1 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,0625
2 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,2266
3 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,5000
4 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,7734
5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,9375
6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,9922
8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039
1 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,0352
2 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,1445
3 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,3633
4 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,6367
5 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,8555
6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,9648
7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,9961
9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020
1 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,0195
2 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,0898
3 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,2539
4 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,5000
5 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,7461
P
Pàg. 70 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución BINOMIAL
N
3.1 P
X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,9102
7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,9805
8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980
10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010
1 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,0107
2 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,0547
3 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,1719
4 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,3770
5 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,6230
6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,8281
7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,9453
8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,9893
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990
11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005
1 0,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0,0059
2 0,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0,0327
3 0,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0,1133
4 0,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0,2744
5 1,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0,5000
6 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0,7256
7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0,8867
8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0,9673
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0,9941
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9995
12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002
1 0,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0,0032
2 0,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0,0193
3 0,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0,0730
4 0,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0,1938
5 1,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0,3872
6 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0,6128
7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0,8062
8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0,9270
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 71

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0,9807
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9968
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998
13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001
1 0,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0,0017
2 0,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0,0112
3 0,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0,0461
4 0,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0,1334
5 1,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0,2905
6 1,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0,5000
Pàg. 72 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución BINOMIAL
N
X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
7 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0,7095
8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0,8666
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0,9539
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0,9888
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001
1 0,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0,0009
2 0,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0,0065
3 0,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0,0287
4 0,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0,0898
5 1,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0,2120
6 1,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0,3953
7 1,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0,6047
8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0,7880
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0,9102
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0,9713
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0,9935
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
15 0 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000
1 0,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0,0005
2 0,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0,0037
3 0,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0,0176
4 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0,0592
5 0,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0,1509
6 1,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0,3036
7 1,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0,5000
8 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0,6964
9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0,8491
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0,9408
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0,9824
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9963
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 73

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
16 0 0,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000
1 0,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0,0003
2 0,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0,0021
3 0,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0,0106
4 0,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0,0384
5 0,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0,1051
6 1,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0,2272
7 1,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0,4018
8 1,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0,5982
Pàg. 74 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución BINOMIAL
p
N
X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0,7728
10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0,8949
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0,9616
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0,9894
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9979
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000
1 0,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0,0001
2 0,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0,0012
3 0,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0,0064
4 0,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0,0245
5 0,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0,0717
6 1,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0,1662
7 1,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0,3145
8 1,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0,5000
9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0,6855
10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0,8338
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0,9283
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0,9755
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9936
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9988
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
18 0 0,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000
1 0,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0,0001
2 0,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0,0007
3 0,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0,0038
4 0,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0,0154
5 0,9998 0,9936 0,9581 0,8671 0,7175 0,5344 0,3550 0,2088 0,1077 0,0481
6 1,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0,1189
7 1,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0,2403
8 1,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0,4073
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 75

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0,5927
10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0,7597
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0,8811
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0,9519
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9846
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9962
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Pàg. 76 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución BINOMIAL
p
N
X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000
1 0,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0,0000
2 0,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0,0004
3 0,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0,0022
4 0,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0,0096
5 0,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0,0318
6 1,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0,0835
7 1,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0,1796
8 1,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0,3238
9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0,5000
10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0,6762
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0,8204
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0,9165
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0,9682
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9904
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9978
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996
17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000
2 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,0002
3 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,0013
4 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,0059
5 0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,0207
6 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,0577
7 1,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,1316
8 1,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,2517
9 1,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,4119
10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,5881
11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,7483
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,8684
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,9423
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,9793
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 77

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9941
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987
17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998
18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Pàg. 78 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
TABLA B
Función de distribución de POISSON
F
( x;
λ) = ∑
λ
x k
−λ
e
k = 0 k!
x
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,02 0,980 1,000
0,04 0,961 0,999 1,000
0,06 0,942 0,998 1,000
0,08 0,923 0,997 1,000
0,1 0,905 0,995 1,000
0,15 0,861 0,990 0,999 1,000
0,2 0,819 0,982 0,999 1,000
0,25 0,779 0,974 0,998 1,000
0,3 0,741 0,963 0,996 1,000
0,35 0,705 0,951 0,994 1,000
0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000
0,45 0,638 0,925 0,989 0,999 1,000
0,5 0,607 0,910 0,986 0,998 1,000
0,55 0,577 0,894 0,982 0,998 1,000
0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000
0,65 0,522 0,861 0,972 0,996 0,999 1,000
0,7 0,497 0,844 0,966 0,994 0,999 1,000
0,75 0,472 0,827 0,959 0,993 0,999 1,000
0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000
0,85 0,427 0,791 0,945 0,989 0,998 1,000
0,9 0,407 0,772 0,937 0,987 0,998 1,000
0,95 0,387 0,754 0,929 0,984 0,997 1,000
1 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999 1,000
1,1 0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999 1,000
1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 1,000
1,3 0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998 1,000
1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999 1,000
1,5 0,223 0,558 0,809 0,934 0,981 0,996 0,999 1,000
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 79

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000
1,7 0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992 0,998 1,000
1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990 0,997 0,999 1,000
1,9 0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987 0,997 0,999 1,000
2 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999 1,000
2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,993 0,998 1,000
2,4 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999 1,000
2,6 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999 1,000
2,8 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999
3 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,966 0,988 0,996 0,999
Pàg. 80 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución de POISSON
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
3,2 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998
3,4 0,033 0,147 0,340 0,558 0,744 0,871 0,942 0,977 0,992 0,997
3,6 0,027 0,126 0,303 0,515 0,706 0,844 0,927 0,969 0,988 0,996
3,8 0,022 0,107 0,269 0,473 0,668 0,816 0,909 0,960 0,984 0,994
4 0,018 0,092 0,238 0,433 0,629 0,785 0,889 0,949 0,979 0,992
4,2 0,015 0,078 0,210 0,395 0,590 0,753 0,867 0,936 0,972 0,989
4,4 0,012 0,066 0,185 0,359 0,551 0,720 0,844 0,921 0,964 0,985
4,6 0,010 0,056 0,163 0,326 0,513 0,686 0,818 0,905 0,955 0,980
4,8 0,008 0,048 0,143 0,294 0,476 0,651 0,791 0,887 0,944 0,975
5 0,007 0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968
5,2 0,006 0,034 0,109 0,238 0,406 0,581 0,732 0,845 0,918 0,960
5,4 0,005 0,029 0,095 0,213 0,373 0,546 0,702 0,822 0,903 0,951
5,6 0,004 0,024 0,082 0,191 0,342 0,512 0,670 0,797 0,886 0,941
5,8 0,003 0,021 0,072 0,170 0,313 0,478 0,638 0,771 0,867 0,929
6 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916
10 11 12 13 14 15 16
2,8 1,000
3 1,000
3,2 1,000
3,4 0,999 1,000
3,6 0,999 1,000
3,8 0,998 0,999 1,000
4 0,997 0,999 1,000
4,2 0,996 0,999 1,000
4,4 0,994 0,998 0,999 1,000
4,6 0,992 0,997 0,999 1,000
4,8 0,990 0,996 0,999 1,000
5 0,986 0,995 0,998 0,999 1,000
5,2 0,982 0,993 0,997 0,999 1,000
5,4 0,977 0,990 0,996 0,999 1,000
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 81

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
5,6 0,972 0,988 0,995 0,998 0,999 1,000
5,8 0,965 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000
6 0,957 0,980 0,991 0,996 0,999 0,999 1,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6,2 0,002 0,015 0,054 0,134 0,259 0,414 0,574 0,716 0,826 0,902
6,4 0,002 0,012 0,046 0,119 0,235 0,384 0,542 0,687 0,803 0,886
6,6 0,001 0,010 0,040 0,105 0,213 0,355 0,511 0,658 0,780 0,869
6,8 0,001 0,009 0,034 0,093 0,192 0,327 0,480 0,628 0,755 0,850
7 0,001 0,007 0,030 0,082 0,173 0,301 0,450 0,599 0,729 0,830
Pàg. 82 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución de POISSON
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
7,2 0,001 0,006 0,025 0,072 0,156 0,276 0,420 0,569 0,703 0,810
7,4 0,001 0,005 0,022 0,063 0,140 0,253 0,392 0,539 0,676 0,788
7,6 0,001 0,004 0,019 0,055 0,125 0,231 0,365 0,510 0,648 0,765
7,8 0,000 0,004 0,016 0,048 0,112 0,210 0,338 0,481 0,620 0,741
8 0,000 0,003 0,014 0,042 0,100 0,191 0,313 0,453 0,593 0,717
8,5 0,000 0,002 0,009 0,030 0,074 0,150 0,256 0,386 0,523 0,653
9 0,000 0,001 0,006 0,021 0,055 0,116 0,207 0,324 0,456 0,587
9,5 0,000 0,001 0,004 0,015 0,040 0,089 0,165 0,269 0,392 0,522
10 0,000 0,000 0,003 0,010 0,029 0,067 0,130 0,220 0,333 0,458
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
6,2 0,949 0,975 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000
6,4 0,939 0,969 0,986 0,994 0,997 0,999 1,000
6,6 0,927 0,963 0,982 0,992 0,997 0,999 0,999 1,000
6,8 0,915 0,955 0,978 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000
7 0,901 0,947 0,973 0,987 0,994 0,998 0,999 1,000
7,2 0,887 0,937 0,967 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000
7,4 0,871 0,926 0,961 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000
7,6 0,854 0,915 0,954 0,976 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000
7,8 0,835 0,902 0,945 0,971 0,986 0,993 0,997 0,999 1,000
8 0,816 0,888 0,936 0,966 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
8,5 0,763 0,849 0,909 0,949 0,973 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999
9 0,706 0,803 0,876 0,926 0,959 0,978 0,989 0,995 0,998 0,999
9,5 0,645 0,752 0,836 0,898 0,940 0,967 0,982 0,991 0,996 0,998
10 0,583 0,697 0,792 0,864 0,917 0,951 0,973 0,986 0,993 0,997
20 21 22
8,5 1,000
9 1,000
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 83

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
9,5 0,999 1,000
10 0,998 0,999 1,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10,5 0,000 0,000 0,002 0,007 0,021 0,050 0,102 0,179 0,279 0,397
11 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,038 0,079 0,143 0,232 0,341
11,5 0,000 0,000 0,001 0,003 0,011 0,028 0,060 0,114 0,191 0,289
12 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,020 0,046 0,090 0,155 0,242
12,5 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,015 0,035 0,070 0,125 0,201
Pàg. 84 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución de POISSON
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
13 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,011 0,026 0,054 0,100 0,166
13,5 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,019 0,041 0,079 0,135
14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,014 0,032 0,062 0,109
14,5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,024 0,048 0,088
15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,018 0,037 0,070
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10,5 0,521 0,639 0,742 0,825 0,888 0,932 0,960 0,978 0,988 0,994
11 0,460 0,579 0,689 0,781 0,854 0,907 0,944 0,968 0,982 0,991
11,5 0,402 0,520 0,633 0,733 0,815 0,878 0,924 0,954 0,974 0,986
12 0,347 0,462 0,576 0,682 0,772 0,844 0,899 0,937 0,963 0,979
12,5 0,297 0,406 0,519 0,628 0,725 0,806 0,869 0,916 0,948 0,969
13 0,252 0,353 0,463 0,573 0,675 0,764 0,835 0,890 0,930 0,957
13,5 0,211 0,304 0,409 0,518 0,623 0,718 0,798 0,861 0,908 0,942
14 0,176 0,260 0,358 0,464 0,570 0,669 0,756 0,827 0,883 0,923
14,5 0,145 0,220 0,311 0,413 0,518 0,619 0,711 0,790 0,853 0,901
15 0,118 0,185 0,268 0,363 0,466 0,568 0,664 0,749 0,819 0,875
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
10,5 0,997 0,999 0,999 1,000
11 0,995 0,998 0,999 1,000
11,5 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
12 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000
12,5 0,983 0,991 0,995 0,998 0,999 0,999 1,000
13 0,975 0,986 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
13,5 0,965 0,980 0,989 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000
14 0,952 0,971 0,983 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000
14,5 0,936 0,960 0,976 0,986 0,992 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000
15 0,917 0,947 0,967 0,981 0,989 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 85

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
16 0,000 0,001 0,004 0,010 0,022 0,043 0,077 0,127 0,193 0,275
17 0,000 0,001 0,002 0,005 0,013 0,026 0,049 0,085 0,135 0,201
18 0,000 0,000 0,001 0,003 0,007 0,015 0,030 0,055 0,092 0,143
19 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,009 0,018 0,035 0,061 0,098
20 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,005 0,011 0,021 0,039 0,066
21 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,006 0,013 0,025 0,043
22 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,008 0,015 0,028
23 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,009 0,017
24 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,005 0,011
25 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,003 0,006
Pàg. 86 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
Problemes
Función de distribución de POISSON
λ 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
x
16 0,368 0,467 0,566 0,659 0,742 0,812 0,868 0,911 0,942 0,963
17 0,281 0,371 0,468 0,564 0,655 0,736 0,805 0,861 0,905 0,937
18 0,208 0,287 0,375 0,469 0,562 0,651 0,731 0,799 0,855 0,899
19 0,150 0,215 0,292 0,378 0,469 0,561 0,647 0,725 0,793 0,849
20 0,105 0,157 0,221 0,297 0,381 0,470 0,559 0,644 0,721 0,787
21 0,072 0,111 0,163 0,227 0,302 0,384 0,471 0,558 0,640 0,716
22 0,048 0,077 0,117 0,169 0,232 0,306 0,387 0,472 0,556 0,637
23 0,031 0,052 0,082 0,123 0,175 0,238 0,310 0,389 0,472 0,555
24 0,020 0,034 0,056 0,087 0,128 0,180 0,243 0,314 0,392 0,473
25 0,012 0,022 0,038 0,060 0,092 0,134 0,185 0,247 0,318 0,394
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
16 0,978 0,987 0,993 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000
17 0,959 0,975 0,985 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000
18 0,932 0,955 0,972 0,983 0,990 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000
19 0,893 0,927 0,951 0,969 0,980 0,988 0,993 0,996 0,998 0,999
20 0,843 0,888 0,922 0,948 0,966 0,978 0,987 0,992 0,995 0,997
21 0,782 0,838 0,883 0,917 0,944 0,963 0,976 0,985 0,991 0,994
22 0,712 0,777 0,832 0,877 0,913 0,940 0,959 0,973 0,983 0,989
23 0,635 0,708 0,772 0,827 0,873 0,908 0,936 0,956 0,971 0,981
24 0,554 0,632 0,704 0,768 0,823 0,868 0,904 0,932 0,953 0,969
25 0,473 0,553 0,629 0,700 0,763 0,818 0,863 0,900 0,929 0,950
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
19 0,999 1,000
20 0,999 0,999 1,000
21 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000
22 0,994 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000
23 0,988 0,993 0,996 0,997 0,999 0,999 1,000
24 0,979 0,987 0,992 0,995 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000
25 0,966 0,978 0,985 0,991 0,994 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000
Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 87

Problemes
Diplomatura d’Estadística
Assignatura Càlcul de Probabilitats
TABLA C
Áreas acumuladas de la
distribución NORMAL ESTANDARIZADA
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Pàg. 88 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue