V - dEIC

Grafs i Complexitat
Curs 2010-11

1. Introducció i fonaments

Un graf és un conjunt de vèrtex i un conjunt
de línies de manera que cada línia uneix dos
vèrtex.

Història
1736: Solució del problema dels ponts Königsberg per Euler.
Primer teorema de la teoria de grafs.

Història
1936: König escriu el primer llibre sobre teoria
de grafs (en alemany).
1962: Oystein Ore escriu el primer llibre en
anglès sobre la teoria de grafs:”Theory of
Graphs”.També escriu: Graphs and Their Uses
(1963) y The Four-Color Problem (1967).
2007: Múltiples aplicacions degut a la relació
amb les ciencies de la computació: optimizació
de xarxes o clasificació de dades.

Motivació
Problemes molt diversos es poden modelitzar
matemàticament, mitjançant grafs:
Com distribuir 4 cases unides entre elles per
camins, sense que hi hagi cruïlles?
Graf pla

Motivació
Dibuixar una figura sense repetir línies i sense
aixecar el llapis.
SÍ
NO

Exemples històrics

Problema del cavall
Es modelitza com un graf i s’ha de trobar un camí
Solució d’Euler: és un quadrat màgic
que passi per tots els vértex un i només un cop
en el que totes les files i columnes
sumen 260

Problema del viatjant
Un viatjant comercial amb seu a la ciutat A,
ha de visitar una serie de clients en diverses
ciutats de manera que la ruta comenci i acabi
en la ciutat A. Quina ruta ha de seguir per tal
de minimitzar el cost?
Es modelitza amb un graf complet i ponderat
(costos) i cal trobar un circuit hamiltonià de
cost mínim.

El problema dels quatre colors
(Appel i Haken 1976)
Conjectura (Francis Guthrie, 1852): Tot mapa
es pot pintar utilitzant només cuatre colors de
manera que les zones amb frontera comuna
tinguin colors diferents

El problema del camí mínim
(Dijkstra 1959)
Donada una xarxa de transport (metro per
exemple) trobar la ruta òptima entre cada
punt de la xarxa (estacions).

Més exemples

Modelització de la World-Wide
Web
Estudi de la topologia de la xarxa.
(Organització dels nodes de comunicacions i
cablejats. Punts febles)
Formulació d’algorismes de valoració de les
pàginas web (p.e. algorisme PageRank de
Google).

Problemes en teoria de grafs
La major part dels problemes en la teoria de grafs
es poden classificar com:
1) Problemes d’existència: ponts de Königsberg,
salt del cavall, coloració d’un mapa, …
2) Problemes de construcció: construir un camí
eulerià, …
3) Problemes d’enumeració: etiquetatge de grafs,
…
4) Problemes d’optimització: problema del viatjant,
problema del carter xinès, …

1.Definicions bàsiques

Graf
Un graf G(V,A) està format per un conjunt de
vèrtex V={v 1 , v 2 , .., v n } i un conjunt de línies
A={a 1 , a 2 , …, a m } de manera que cada línia
uneix dos punts.
S’anomena regió l’espai
contigu limitat per un
conjunt de línies
R={r 1 , r 2 , …, r r }
v 1
v 3
r 1
v 2
v 6
r 2
v 4
v 5

Graf dirigit i graf simètric
Graf dirigit: les línies tenen sentit i reben el nom
d’arcs.
Graf simètric: les línies no tenen sentit i reben el
nom d’arestes.

L’ordre d’un graf és el
nombre de vértex que
el formen.
La mida és el nombre
d’arestes
v 1
v 3
v 2
r 1
v 6
r 2
v 4
v 5

Graf ponderat
En un graf ponderat cada aresta (arc) porta
associat un cost.
3
5
3
1
2

Veinatge
Els successors (v i ) d’un vèrtex v i en un graf
dirigit, és el conjunt de vèrtex a què es pot
arribar usant només un arc.
antecessor
successor
v i
Els antecessors -1 (v i ) d’un vèrtex v i en un
graf dirigit, és el conjunt de vèrtex des dels
què es pot arribar a v i usant només un arc.

Veinatge
En un graf simètric són veïns de v i ((v i ) ) tots
els vèrtex a què s’arriba amb una sola aresta
v i
Llaç és una aresta (arc) que surt i va a parar
al mateix vèrtex

Camí
Un camí P entre dos nodes, és una
seqüència ordenada d’arestes (arcs) on el
vèrtex final d’un és l’original de la següent.

Distància
La distància entre dos vèrtex v i i v j és el nombre
d’arestes que conté el camí més curt entre v i i v j .
Camí simple: que no repeteix cap aresta
Camí elemental: que no repeteix cap node
2
4 5 6
1
7
8
3
9 10

Circuït
Un circuït C és una camí que comença i
acaba en el mateix vèrtex.

Teorema
Sigui G(V,A) un graf simètric. Tot camí P entre dos
nodes u, v, conté un camí elemental entre u i v.
Dem. Sigui P{u=x 1 , x 2 , …, x k =v} la seqüència de vèrtex
del camí. Si no hi ha cap vèrtex repetit, P és un camí
elmental. Sino, existeix x i i x j que representen el mateix
vèrtex i aleshores podem treure x i , x i+1 , x i+2 , … x j-1 del
camí i el P* que obtenim serà també un camí entre u i v.
Si P* no repeteix cap vèrtexja és elemental, sinó, podem
tornar a repetir el procés tants de cops com sigui
necessari.

1.2 Existència de grafs amb
una seqüència de graus
fixada
Teorema dels graus i conseqüència
Teorema de Havel i Hakimi

Grau
Grau exterior d’un vèrtex v i és |(v i )|
Grau interior d’un vèrtex v i és | -1 (v i )|
Grau d’un vèrtex v i és |(v i )| + | -1 (v i )|
Si el graf és simètric es parla només de grau
G o grau màxim d’un graf és max(grau(v i ))
G o grau mínim d’un graf és min(grau(v i ))

Teorema dels graus
Si G(V,A) és dirigit
n
i=
1
−1
(vi ) (v ) =
Si G(V,A) és simètric
n
i=
1
n
+
grau
i=
1
( v ) 2A
i
=
2A
Corol·lari: El nombre de vèrtex de grau senar
d’un gran és sempre parell
i

Seqüència gràfica
Una seqüència gràfica és una seqüència
numèrica que representa la llista de graus
d’un graf.
S = {1, 3, 2, 2, 2}
No totes les seqüències són
seqüències gràfiques

Teorema de Havel i Hakimi
La seqüència d'enters
d 1 ,d 2 , …,d n amb d 1 d 2 … d n 0
és gràfica si i només si
d 2 - 1, d 3 - 1, …, d d1+1 - 1, d d1+2 , …, d n
és gràfica

Algorisme
Formulació de l’algorisme de Havel-Hakimi
Entrada: una seqüència de nombres enters s : d1 , d2 , . . . , dn
Sortida: diu si la seqüència és, o no, gràfica.
Algorisme:
• Si existeix di > n 1, aleshores la seqüència no és gràfica, fi.
• mentre no hi hagi cap di < 0 i s no sigui idènticament 0.
Classificar s en ordre decreixent.
Eliminar d1 de s i restar 1 unitat als d1 elements següents.
• fimentre
• Si existeix di < 0, aleshores la seqüència no és gràfica, fi.
• Si la seqüència resultant és la seqüència idènticament 0,
aleshores s és una seqüència gràfica.

Exemple
Seqüència s : 2, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 5
5,4,3,3,3,2,2, Classificació
2
3,2,2,2,1,2,2 Primera subseqüència
3,2,2,2,2,2,1 Classificació
1,1,1,2,2,1 Segona subseqüència
2,2,1,1,1,1 Classificació
1,0,1,1,1 Tercera subseqüència
1,1,1,1,0 Classificació
0,1,1,0 Quarta subseqüència
1,1,0,0 Classificació
0,0,0 Cinquena subseqüència
Per tant, la seqüència és gràfica. Un graf que té aquesta seqüència de
graus podria ser,

…
Seqüència s : 2, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 5

Exemple
No és seqüència gràfica perquè apareix -1

Més Exemples
1) s : 5, 5, 7, 6, 4, 2, 4, 5
2) s : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8
3) s : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9
No és gràfica. Observeu que el
nombre de vèrtexs amb grau senar,
no és parell.

Construir el graf de seqüencia:
S=5,5,7,6,4,2,4,5
7 6 5 5 5 4 4 2
5 4 4 4 3 3 1
3 3 3 2 2 1
2 2 1 2 1
2 2 2 1 1
1 1 1 1
0 1 1
1 1 0
0 0

S: 0,0
0
0

S: 1,1,0
0
1 1

S: 1,1,1,1
1
1
1 1

S: 2,2,2,1,1
2
2
1
2 1

S: 3,3,3,2,2,1
3
3
3
1
2 2

S: 5,4,4,4,3,3,1
4
4
4
1
3 3
5

S: 7,6,5,5,5,4,4,2
5
5
5
2
4 4
6
7

2a sessió

1.3 Subgrafs, tipus de
grafs, i propietats

Graf trivial
Un graf és trivial si només conté un únic
vèrtex i cap aresta.

Graf subjacent
El graf subjacent d’un graf dirigit G(V,A) és
el graf que s’obté si es prescindeix de
l’orientació dels seus arcs.

Subgraf
Un subgraf G S (V S ,A S ) d’un graf simètric G(V,A)
és un graf tal que V S ⊆ V i ∀ v i ∈ V S Γ S (v i ) =
Γ(v i ) ∩ V S .
G
G s
Es defineix de forma anàloga per un graf dirigit.

Subgraf parcial induït
Un graf G P (V P ,A P ) és un subgraf parcial induït
per la propietat p V P ⊆ V de G(V,A) si A P conté
totes les arestes o arcs d’A que tenen els dos
extrems dins del conjunt de vèrtexs V P .
p
G
G P

Subgraf maximal (minimal)
Donada una propietat p aplicable a G, es defineix
un subgraf maximal (minimal) de G respecte p, ( s
)
com un subgraf de G que verifica p de manera que
no existeix un altre G s
amb més (menys) nodes que
també verifiquin p
p
G
^
G s

Graf parcial
Un graf G P (V P ,A P ) és un graf parcial de
G(V,A) si A P ⊆ A i V P ⊆ V.
A diferència del subgraf
no cal mantenir totes
les arestes
G
G P

Multigraf
Un multigraf és un graf on hi pot haver
arestes (arcs) repetides.
Si no hi ha arestes repetides és un graf
simple

Graf connex
Un graf es diu connex si entre cada parella
de vèrtexs existeix almenys un camí que els
uneix.
Graf connex
Graf no connex

Graf connex
Tot graf G(V,A) de n vèrtexs i connex ha de
tenir com a mínim n-1 arestes.
Dem. Inducció sobre n. Per n=1 és evident. Suposem
ara que es compleix per un graf G n-1
amb n-1
vèrtexs i verifiquem si es compleix per n vèrtexs.
Si a G n-1
s’afegeix un vèrtex i es connecta, s’ha
d’afegir un mínim d’una aresta, per tant l’increment
del nombre d’arestes serà igual o superior al de
nombre de vertex es manté la propietat.

A partir d’ara, mentre no es digui el
contrari, ens referirem a grafs
simètrics,simples i sense llaços

Component d’un graf simètric
Cada subgraf maximal connex en un graf
simètric G s’anomena component de G.

Pont
Un pont en un graf simètric G és tota aresta
a j tal que G(V,A−{a j }) té més components que
G.

Articulació
Una articulació en un graf G és un vèrtex v i
tal que G(V−{v i },A−A i ) té més components
que G. [A i ⊆ A és el conjunt d’arestes que tenen v i com
a vèrtex terminal]
|

Separador
Un conjunt U de vèrtexs (o arestes) d’un graf
G(V,A) s’anomena separador per a G si
G−U té més components que G.

Tall
En un graf connex i simètric G(V,A), un tall
és tot conjunt minimal d’arestes A’ ⊂ A tal
que G(V, A−A’) resulta disconnex.

Teorema
Tot graf simètric G(V,A) amb |V|>1 conté,
com a mínim, dos vèrtexs que no són
articulacions.

Teorema
Una aresta a i d’un graf simètric G és un pont
⇔ a i no es troba en cap circuit de G.

Contracció
Representem mitjançant G || a j la contracció
de G a través de a j obtinguda quan s’elimina
l’aresta a j = (v i , v j ) de G i es transforma v i i v j
en un vèrtex v q que tingui totes les
adjacències (arestes) de v i i v j .

Graf t-connex
Un graf G(V,A) connex i simètric és t-connex
(t ≥1) si tot conjunt W ⊆V, tal que G −W o bé
dóna un graf disconnex o bé dóna el graf
trivial, verifica |W| ≥ t.
És a dir, G(V,A) és t-connex si eliminant fins
a t-1 vèrtexs G segueix essent connex i no
trivial.
Per exemple si G és 2-connex no pot tenir
cap articulació.

Graf 2-connex
Els grafs 2-connexos són força importants en
l’estudi de xarxes per la seva redundància.
Eliminar un node d’una xarxa biconnexa no
aïlla cap element de la xarxa, ni divideix la
xarxa ja que no perd connectivitat.

Graf parcialment connex
Un graf dirigit G(V,A) es diu parcialment
connex si entre cada parella de vèrtexs v i ,v j
hi ha un camí de v i a v j o de v j a v i .
no

Graf fortament connex
Un graf dirigit G(V,A) es diu fortament
connex si entre cada parella de vèrtexs hi ha
camí en tots dos sentits.

Grafs isomorfs
Dos grafs, G i G’, són isomorfs si existeix
una bijecció entre els seus vèrtexs que
preserva les distàncies.
Equivalentment, existeix una bijecció
f: V V’ tal que uv ∈ A ⇔ f(u)f(v) ∈ A’
u f(u)

Grafs isomorfs
v 1
v 2
u 1
v 5 u 5
u 2
v 4
v 3
u 4
u 3
f(v 1 )=u 1 f(v 2 )=u 3 f(v 3 )=u 5 f(v 4 )=u 2 f(v 5 )=u 4

Subdivisió
Un graf G’ s’anomena subdivisió d’un graf G
si G’ s’obté a partir de G mitjançant el procés
repetit de substituir una aresta a i de G per un
camí on el únics vèrtexs comuns amb G són
els vèrtexs terminals de a i , que són terminals
en el camí.
G i G’ també s’anomenen homeomorfs.

Grafs homeomorfs
v 1
v 3
v 2
v 4
v 1
v 3
v 2
G G’

Graf complet K t
Un graf amb t vèrtexs és diu complet, K t , si
hi ha una aresta entre cada parella de
vèrtexs.
Un graf complet té el major nombre possible
d’arestes.
En un graf K t tots el vèrtexs tenen grau t-1.

Exemples de grafs complets

Graf d-regular
Un graf es diu d-regular, o regular de grau d,
si tots els seus vèrtexs tenen grau d.
Observen que un graf complet de grau t, K t ,
sempre és t-regular.

Exemples de grafs regulars

Graf bipartit
Un graf G(V,A) es diu bipartit si és un graf
amb els seus vèrtexs separables en dos
conjunts de manera que no hi hagi arestes
entre vèrtexs del mateix conjunt.
V = V 1
∪ V 2
V 1
∩ V 2
= ∅
∀ x 1
,x 2
∈ V 1
no existeix cap aresta (x 1
,x 2
)
∀ y 1
,y 2
∈ V 2
no existeix cap aresta (y 1
,y 2
)

Exemples de grafs bipartits
• Un graf en forma d’arbre sempre és bipartit
• Un graf complet mai és bipartit

Graf bipartit

Graf bipartit?
?
No, si pertany al conjunt
vermell no pot unir-se
directament al vermell.
Igual raonament per
conjunt blau no és
bipartit

Graf bipartit complet, K s,t
Un graf bipartit complet, K s,t , és un graf
format per s+t vértex, bipartit amb totes les
arestes possibles entre els vèrtexs del primer
conjunt i els vèrtex del segon.

Graf bipartit complet
K 2,4

Teorema
G(V,A) és bipartit ⇔ tots els seus circuits
tenen un número parell d’arestes.

Demostració
Suposem V = V 1
∪ V 2
. Un camí que comenci i
acabi a V 1
(o V 2
) ha de tenir un número parell
d’arestes.
⇐ Podem suposar sense falta de generalitat que G
és connex. Sigui v V i definim V 1
com el conjunt
de vèrtexs a distància parell de v i V 2
= V -V 1
. Si
existeix una aresta que connecti dos vèrtexs de V 1
aleshores existirà un circuit que passa per aquests
dos vèrtexs i per v, que tindrà grau senar.

Arbre simètric

Arbre simètric
Antecedents
I. Tot graf simètric té almenys un vèrtex que
no és cap articulació.
II.
Tot graf G(V,A) de n vèrtexs i connex ha
de tenir com a mínim n-1 arestes.

Arbre simètric
Lema
I. Tot graf sense circuits on no tots els
vèrtexs siguin aïllats té com a mínim dos
vèrtex terminals.
II.
Tot graf G(V,A) amb n vèrtexs i sense
circuits ha de tenir com a molt n-1 arestes.

Arbre simètric
Teorema
Sigui G(V,A) un graf simètric, aleshores
I. G és connex i sense circuits,
II. G conté un únic camí entre cada parella de
vèrtexs,
III. G és connex i |A| = |V|-1,
IV. G no té circuits i |A| = |V|-1,
V. G és connex i totes les arestes són ponts,
VI. G no té circuits i no se li pot afegir cap aresta
sense que es formi un circuit,
són propietats equivalents

Arbre simètric
Un graf simètric G(V,A) és un arbre simètric
si compleix qualsevol de les condicions
anteriors.

Arbre dirigit

Arbre dirigit
Teorema
Sigui G(V,A) un graf dirigit, aleshores
I. G és connex i tots els seus vèrtexs tenen
grau interior 1 excepte un que té grau
interior 0,
II. G no té circuits i tots els seus vèrtexs
tenen grau interior 1 excepte un que té
grau interior 0,
són propietats equivalents

Arbre dirigit
Un graf dirigit G(V,A) és un arbre dirigit si
compleix qualsevol de les condicions del
teorema anterior.
L’únic vèrtex amb grau interior 0 s’anomena
arrel.

Bosc
Un graf G(V,A) s’anomena bosc si és un graf
no connex en el tots els seus components
són arbres.
No és un bosc,
hi ha un circuit
És un bosc,
ambdós
components són
arbres

1.4 Representació de grafs
Matriu d’adjacència
Llistes d’adjacència
Accessibilitat

Matriu d’adjacència A
Definició: Donat un graf G amb V(G)={v 1
, v 2
, …, v n
} definim la matriu
d’adjacència A=(a ij
) de G com la matriu quadrada d’ordre n definida per:
a ij
= 1 si existeix l’aresta (arc) (v i
,v j
)
a ij
=0 si no existeix l’aresta (arc) (v i
,v j
)
v 1
v 3
v 4
v 6
v 5
v 2
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
v 1 0 1 1 0 0 0
v 2 1 0 1 0 0 0
v 3 1 1 0 1 1 0
v 4 0 0 1 0 0 0
v 5 0 0 1 0 0 0
v 6 0 0 0 0 0 0
Una matriu d’adjacència necessita n 2 posicions de memòria. Si un graf té poques
arestas i molts vèrtexs això suposa una mala utilització de la memòria.

Llista d’adjacència
v 1
v 1 2
3 0
2
2 1
3 0
v v
3
6
3 1 2
4
5
v 4
v 5 4 3 0
0
5
3
0
6
0 0
Una llista d’adjacència necessita (n+m)*2 posicions de memòria

Matriu d’adjacència A 2
Definició: Donat un graf G amb V(G)={v 1
, v 2
, …, v n
} definim la matriu
d’adjacència A 2 de G com la matriu quadrada d’ordre n definida per:
a ij
= 1 si existeixen les arestes (arcs) (v i
,v k
) i (v k
,v j
)
a ij
=0 si no existeix cap camí de dues arestes (arcs) entre v i
i v j
v 1
v 2
v 1
v 2
v 3
v 4
v 5
v 6
v 1
2 1 1 1 1 0
v
v v 2
1 2 1 1 1 0
3
6
v 3
1 1 4 0 0 0
v 4
1 1 0 1 1 0
v 4
v 5
v 5
1 1 0 1 1 0
v 6
0 0 0 0 0 0

Matriu d’adjacència A k
És fàcil demostrar per inducció que
A k = A k-1 A per k = 2, 3, …., essent A 1 = A.
La matriu A k ij indica el nombre de camins de
k arestes (arcs) que hi ha entre V i i V j .

Matriu d’incidència
Definició: Donat un graf G (V,A) definim la matriu d’incidència B=b ij
de G com la matriu de n files i m columnes definida per:
b ij = 1 si v i és el vèrtex inicial de l’aresta a j
b ij = -1 si v i és el vèrtex final de l’aresta a j
b ij = 0 si v i no és extrem de l’aresta a j
a
v 1
v 1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 2
1 v 1
1 0 1 0 0
a 3
v 2
-1 1 0 0 0
a
v 2 v
3
6
v 3
0 -1 -1 -1 1
a a
4
5
v 4
0 0 0 1 0
v
v 4
v 5
0 0 0 0 -1
5
v 6
0 0 0 0 0

Matriu d’accés R
Definició: Donat un graf G amb V(G)={v 1
, v 2
, …, v n
} definim la matriu d’accés
R=(r ij
) de G com la matriu quadrada d’ordre n definida per:
r ij
= 1 si v j
és accessible des de v i
r ij
=0 si no existeix el camí.
v 1
v 2
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
v 1 1 1 1 1 0 1
v
v v 2 1 1 1 1 0 1
3
6
v 3 1 1 1 1 0 1
v 4 0 0 0 1 0 0
v 4
v v
5
5 1 1 1 1 1 1
v 6 0 0 0 0 0 1

Matriu d’accés R
La matriu R es pot obtenir calculant A n-1 , fent
prèviament que A tingui uns a la diagonal
(per mantenir els camins detectats en cada
producte precedent), i usant la suma lògica
OR.

Matriu d’accés Q
Definició: Donat un graf G amb V(G)={v 1
, v 2
, …, v n
} definim la matriu d’accés
Q=(q ij
) de G com la matriu quadrada d’ordre n definida per:
q ij
= 1 si v i
és accessible des de v j
q ij
=0 si no existeix el camí.
v 1
v 2
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
v 1 1 1 1 0 1 0
v
v v 2 1 1 1 0 1 0
3
6
v 3 1 1 1 0 1 0
v 4 1 1 1 1 1 0
v 4
v v
5
5 0 0 0 0 1 0
v 6 1 1 1 0 1 1
Observació: és fàcil veure que Q és la transposada de R

Component fort
Donat un graf dirigit G(V,A) un component
fort de G consisteix en un subgraf maximal
de G fortament connex.
Pel fet de ser un subgraf maximal cada
vèrtex de G només apareix en un component
fort.
Per calcular els components de G calcularem
la matriu R ⊗ Q (el producte de matrius
element a element)

Component fort (R ⊗ Q )
v 1
v 2
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
v 1 1 1 1 0 0 0
v
v v 2 1 1 1 0 0 0
3
6
v 3 1 1 1 0 0 0
v 4 0 0 0 1 0 0
v 4
v v
5
5 0 0 0 0 1 0
v 6 0 0 0 0 0 1
Components forts: {v 1
,v 2
,v 3
}, {v 4
}, {v 5
}, {v 6
}

Base, contrabase i base de
poder
Donat un graf dirigit G(V,A):
Una base de G és tot conjunt minimal de vèrtexs
des del qual es pot accedir a tots els vèrtexs. Si dos
vèrtexs pertanyen a la mateixa base no poden estar
en el mateix component fort.
Una contrabase de G és tot conjunt minimal de
vèrtexs al qual es pot accedir des de qualsevol
vèrtex de G.
Una base de poder de G és el conjunt minimal de
vèrtexs des del qual es pot accedir a tots els vèrtexs
de G i al qual no es pot arribar des de cap vèrtex.

1.5 Existència de grafs
plans
Fórmula de Euler i conseqüències
Caracterització de Kuratowski

Graf pla
Un graf pla és un graf (simètric) que es pot
representar en el pla sense creuament d’arestes.
Si existeix aquesta representació en diem
realització plana del graf.
Les parts en les que queda dividit el pla
s’anomenen regions.
La regió que no queda limitada s’anomena regió
exterior.
Un bloc de G és un subgraf maximal 2-connex.
Per estudiar la planaritat d’un graf n’hi ha prou de
considerar els seus blocs.

Exemple

Problema
Considerem tres companyies de serveis:
Aigua, Gas i Electricitat; i tres cases situades
en la mateixa zona. Suposant que totes les
conduccions es troben al mateix nivell, és
possible servir els tres serveis sense que hi
hagi creuament entre les diverses
conduccions?

Possible graf (no planar)

Possible graf (no planar)
• Graf bipartit complet: K 3,3
• Veurem que aquest graf no és pla

Dual geomètric
El dual geomètric de la representació
gráfica plana d’un graf G(V,A) amb r regions,
és un (multi)graf G’(V’,A’) amb r vèrtexs,
corresponents a les r regions de G, de forma
que per cada aresta que separen dues
regions a G, existeix una aresta que uneix els
seus vèrtexs representants a G’.

Exemple
r 1
r 4
r 2
r 3
r 5

Exemple
r 1
r 4
r 2
r 3
r 5

Fórmula d’Euler
En tot graf G(A,V) connex i pla , amb |R|
regions es verifica que:
|V| - |A| + |R| = 2
o
|V| + |R| = |A| + 2

Graf maximalment pla
Un graf maximalment pla és un graf al que
no podem afegir cap aresta sense que deixi
de ser pla

Fer que un graf sigui
maximalment pla

Fer que un graf sigui
maximalment pla

Fer que un graf sigui
maximalment pla

Teorema
Sigui G(V,A) un graf maximalment pla amb
|V| vèrtexs i |A| arestes. Aleshores,
|A| = 3 |V| - 6
Demostració:
El nombre d’arestes i regions serà màxim quan cada regió
està limitada per 3 arestes. A més, cadascuna
d’aquestes arestes limita amb dues regions. Llavors
2|A| = 3|R|.
Substituint en la fómula d’Euler obtenim que:
|V|+|R|-|A|=2, 3|V|-3|A|+3|R|=6, 3|V|-|A|=6, |A|= 3|V|-6

Exemple
r 2
|A| = m = 12
|V| = n = 6
r 3 |R| = r =8
r 7
r 8
r 4
r 5
r 6
r 1
3|R| = 24 = 2|A|
12 = |A| = 3|V|-6 = 12

Corol·lari 1:
Sigui G(V,A) un graf sense pla amb |V| 3
vèrtexs i |A| arestes. Aleshores,
|A| 3|V| - 6
Demostració:
S’obtenia, |A|= 3|V|-6 quan el nombre d’arestes
era màxim. El cas general ve indicat pel
corol·lari 1

Corol·lari 2:
En tot graf G(V,A), pla, bipartit i connex on
|A| 3 es verifica que:
Demostració:
|A| 2|V| - 4
De igual mode que el teorema però ara sabem
que cada regió vindrà limitada com a mínim
per 4 arestes i per tant 4|R| = 2|A|.

Corol·lari 3:
Tot graf pla conté, com a mínim, un vèrtex
amb grau 5
Demostració:
Siguin |V| el nombre de vèrtexs i |A| el nombre
d’arestes del graf. Si tots els vèrtexs
tinguessin grau 6, pel Teorema de Graus,
2|A| 6|V| i en conseqüència |A| 3|V|, cosa
que contradiu el Corol·lari 1 (|A| 3|V|-6).

Conseqüències dels corol·laris
És fàcil comprovar que els grafs K 5 i K 3,3 , no
són plans.
K 5 no verifica el corol·lari 1.
K 3,3 falla en el corol·lari 2.
Aquests dos grafs són importants perquè ens
permetran caracteritzar el grafs plans.

Exemple
Sigui G un graf pla, connex, amb 16 arestes i
tal que el grau de cada vèrtex és 4. Quantes
regions tindrà una representació plana de G?
1
|V|+|R|-|A|=2 (Euler)
4|V|=2|A| |V|=8
|R|=16-8+2=10
7
4
9
2
3
5 6
8
10

Caracterització de la
planaritat
Teorema de Kuratowski

Lema
Si G(V,A) és un graf 3-connex amb |V| > 4,
llavors G conté una aresta a ∈ A, tal que
G || a és 3-connex.
a

Lema
Donat G(V,A) i a ∈ A. Si G || a conté una
subdivisió de K 5 o de K 3,3 , llavors G també
conté una subdivisió de K 5 o de K 3,3 .
a

Lema
Si G pla i 2-connex és una subdivisió d’un
graf 3-connex, llavors la representació pla és
única.
G
G’
G és 2-connex i és una subdivisió de G’ que
és 3-connex.

Representació plana del graf
2-connex G
G

Teorema de Kuratowski
G(V,A) és pla ⇔ no conté cap subdivisió de
K 5 ni de K 3,3 .
G(V,A) és pla ⇔ cap subgraf parcial de G és
una subdivisió de K 5 ni de K 3,3 .

Exemple
El graf de Petersen no és pla.
K 5