Espira circular frenada por un semiplano magnético - MecFunNet

Espira circular que entra en semiplano
magnetizado
Ampliación de Física II
Una espira circular de masa m, radio a y resistencia R se encuentra en
el semiplano x < 0 transladándose con una velocidad v 0 i y manteniendo su
centro en el eje x. Se orientará el circuito que define la espira en sentido antihorario
desde el eje z. En el semiplano x > 0 existe una inducción magnética
prácticamente uniforme y constante, de valor B = Bk. Se denominará x a la
mayor abscisa de los puntos de la espira y 2ϕ al ángulo central del arco de espira
que se encuentra en el semiplano x > 0. Se desprecia la autoinducción de la
espira. Determine:
• El flujo magnético que atraviesa la espira en función de ϕ
1

Respuesta:
El área del círculo que entra en x > 0 es
S =
1
2 a2 (2ϕ)
} {{ }
sector circular
por lo que el flujo resulta
− 2 1 (
2 a2 sen ϕ cos ϕ = a 2 ϕ −
} {{ }
triángulo
Φ(ϕ) = Ba 2 (
ϕ −
)
sen 2ϕ
2
• La fuerza electromotriz definida sobre la espira.
)
sen 2ϕ
2
Respuesta:
Aplicando la ley de Faraday-Maxwell
fem = − dΦ
dt = −Ba2 ˙ϕ(1 − cos 2ϕ) = −2Ba 2 2
sen ϕ ˙ϕ
• La intensidad que recorre la espira.
Respuesta:
Al aplicar la ley de Ohm, se tiene
I = − 2Ba2 sen 2 ϕ
R
• La fuerza según el eje x que se ejerce sobre la espira por parte del campo
magnético
˙ϕ
Respuesta:
En primer lugar obtendremos Q ϕ y luego la relacionaremos con F x , ya
que
∂x
Q ϕ = F x
∂ϕ
Q ϕ = I ∂Φ
∂ϕ = − 1 R
(
2Ba 2 2
sen ϕ) 2
˙ϕ
2

con lo que, teniendo en cuenta que
x = a(1 − cos ϕ) ⇒ ∂x
∂ϕ = a sen ϕ
se tiene
F x = − 1 R 4B2 a 3 3
sen ϕ ˙ϕ
• La fuerza F x en función de x, ẋ.
Respuesta:
Mediante la relación
y
x = a(1 − cos ϕ) ⇒ ẋϕ = a sen ϕ ˙ϕ
cos ϕ = 1 − x a ⇒ cos2 ϕ = 1 − 2 x a + x2
a 2 ⇒ sen 2
ϕ = 2 x a − x2
a 2
se tiene
F x = − 1 R 4B2 (2ax − x 2 )ẋ
• La ecuación que determina la evolución de x.
Respuesta:
Aplicando la segunda ley de Newton, se escribe
• La evolución ẋ(t) de la velocidad.
Respuesta:
Integrando
mẍ = − 4B2
R (2axẋ − x2 ẋ)
ẋ = v 0 − 4B2
R (ax2 − x3
3 )= v 0 − 4B2
R x2 (a − x 3 )
• La relación entre la velocidad inicial y la x M máxima de penetración.
Respuesta:
Haciendo ẋ = 0
v 0 = 4B2
R x2 M (a − x M
3 )
3

lo que sólo tiene lugar si
v 0 ≤ 8B2
3R a3
• Potencias mecánica de la fuerza que el campo ejerce sobre la espira y
eléctrica disipada por efecto Joule en la misma.
y sustituyendo en función de ϕ
P m = F x ẋ = − 1 R 4B2 (2ax − x 2 )(ẋ) 2
P m = − 1 R (2Ba2 2
sen ϕ ˙ϕ) 2
P e = femI = 1 R (2Ba2 2
sen ϕ ˙ϕ) 2
lo que indica que la energía mecánica perdida por el freno del campo se
disipa en la resistencia.
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