Simulación de Yacimientos Petroleros - Modelación Matemática y ...

Simulación de
Yacimientos Petroleros
Fernando Rodríguez de la Garza
PEMEX E&P – UNAM
Enero 2005

Contenido
• La explotación de yacimientos: Antecedentes
• Simulación numérica de yacimientos:
Antecedentes
• Ecuaciones del simulador
• Solución de los sistemas de ecuaciones en la
SNY
• Mallas en la SNY
• Conclusión: Tendencias en la SNY

La explotación de yacimientos
Los yacimientos petroleros
Estructuras geológicas que se formaron hace millones de
años (Terciario-Mesozoico) y que contienen hidrocarburos
entrampados, líquidos y/o gaseosos, en sus espacios
porosos y permeables.
Roca sello (Lutita)
Yacimiento (Arenisca / Caliza)
Roca generadora (Arcilla)

Los yacimientos petroleros
Tipos:
• De acuerdo a los fluidos que contienen:
– Aceite: negro, volátil, pesado.
– Gas y condensado (… condensación
retrógrada)
– Gas Seco
• De acuerdo a los tipos de roca:
– Areniscas
– Carbonatos
La explotación de yacimientos

La explotación de yacimientos
Los yacimientos petroleros
Tipos:
• De acuerdo a los rasgos geológicos:
– Fracturados
– No fracturados
– Turbidíticos

La explotación de yacimientos
La exploración y producción de HC’s
Exploración
Abandono
Descubrimiento
Recuperación
Mejorada
E&P de
Hidrocarburos
Delimitación
Recuperación
Secundaria
Desarrollo
Recuperación Primaria

La explotación de yacimientos
Disciplinas en E&P de HC’s
Ing. de
Diseño
Geología y
Geofísica
Ing. de
Yacimientos
Ing. de
Producción
Ing. de
Perforación
Disciplinas en
E&P
Ing. de Gas
Operación de
la Producción
Investigación
y Laboratorio
Ing. Económica
y Admon.
Ing. Ambiental

La explotación de yacimientos
Decisiones
Etapa de producción primaria:
Programa de desarrollo del campos
Número de pozos a perforar, características y
ubicación en el yacimiento
Ritmos óptimos de producción de hidrocarburos
Instalaciones de producción, recolección y
transporte de hidrocarburos

Decisiones
La explotación de yacimientos
Etapa de explotación secundaria: Aplicación de
procesos de recuperación secundaria y mejorada de
hidrocarburos.
– ¿Cuando aplicar?
– ¿Qué fluido inyectar?
– ¿Perforación adicional de pozos: ¿Cuántos y donde?
– ¿Ritmos de inyección y producción?
– ¿Duración del proyecto?
– ¿Recuperación adicional de hidrocarburos?
– ¿Instalaciones de producción adicionales?

La explotación de yacimientos
Presión
Presión
Decisiones
FR: 25% FR: hasta 35%
Inyección
de agua
Inyección
de gas
Ritmo de
Producción
Ritmo de
Producción
Producción Primaria
Producción Secundaria
Tiempo
Normalmente se inyecta algún fluido, gas o agua, para mantener
la presión del yacimiento y aumentar la recuperación de aceite.

La explotación de yacimientos
La Administración de Yacimientos
El empleo de recursos humanos, técnicos y
económicos para maximizar las ganancias
obtenidas de un yacimiento mientras que se
minimizan las inversiones y los costos de
operación

La explotación de yacimientos
La Administración de Yacimientos
Una herramienta clave en la toma de
decisiones de la administración moderna de
yacimientos es la
yacimientos es la simulación numérica
de yacimientos

La Simulación Numérica de
Yacimientos: Antecedentes
• Surge en los años 60 y evoluciona
conforme a los avances tecnológicos en
materia de recursos computacionales y
numéricos
• Solución de las EDP’s, altamente no
lineales, que describen los diversos
procesos de transporte que ocurren en un
yacimiento petrolero

La Simulación Numérica de
Yacimientos: Antecedentes
• Se genera el modelo numérico del
yacimiento y ensayan diversas opciones
técnico-económicas para su desarrollo y
explotación.
• Estas opciones son evaluadas y guían la
toma de decisiones respecto de la opción
que mejor cumpla con los objetivos de la
Administración de Yacimientos

La Simulación Numérica de
Yacimientos: Antecedentes
Etapas del desarrollo del modelo numérico de un
yacimiento
Adquisición y análisis
de datos
(Geológicos, Geofísicos, Petrofísicos,
PVT, Producción/Inyección)
Construcción del
modelo geológico
(modelo estático)
Construcción del
modelo dinámico
(Ajuste del comportamiento)
Predicción del
comportamiento
(Múltiples escenarios)
Ingeniería básica de
yacimientos y
producción
Análisis y
documentación de
resultados

La Simulación Numérica de
Yacimientos: Antecedentes
Incertidumbre en el modelado
• Datos del yacimiento:
– Generalmente obtenidos indirectamente
– Datos directos: Mediciones en muestras de roca y fluidos
tomadas en pozos.(… información limitada a puntos específicos)
• Datos directos limitados al inicio: Aumentan conforme se
desarrolla y produce el yacimiento.
• La incertidumbre del modelo disminuye con el tiempo:
– Se tienen mas datos
– Modelo mejor calibrado y más representativo del yacimiento.

Componentes hidrocarburos:
⎡ kk
⎤ ⎡
ro
∇ • ⎢xm
ˆ ρo
o o
µ
⎥ +∇ • ⎢
⎣
o
⎦ ⎢⎣
*
* ∂
qo
ˆ ρoxm
+ qg
ˆ ρ
g
ym
=
∂t
Agua:
⎡ kkrw
∇ • ⎢ ˆ ρw
w
⎣ µ
w
Equilibrio termodinámico:
Ecuaciones del simulador
Flujo multifásico composicional – isotérmico en
yacimientos de hidrocarburos
rg
( ∇p
−γ
∇D) y ˆ ρ ( ∇p
−γ
∇D)
[ φ( ˆ ρ x S + ˆ ρ y S )]
o
m
m
g
o
kk
µ
*
( ∇p
−γ
∇D) q ˆ ρ = [ φρˆ
S ]
w
⎤
⎥ +
⎦
w
w
g
g
∂
∂t
m
g
g
w
g
w
⎤
⎥ +
⎥⎦
m=1,2,…,nc
f
mo
= f mg
m=1,2,…,nc

Ecuaciones del simulador
Ecuaciones de restricción y adicionales
S
o
Pc
Pc
+ S + S = 1
go
wo
g
( S )
g
=
w
p
g
−
p
o
( S )
w
= po
− pw
y
nc
∑
m=
1
nc
∑
m=
1
x
y
m
m
= 1
= 1
Se tienen 2nc+6 ecuaciones con 2nc+6 incógnitas:
p ,...,
o, pg
, pw,
So,
S
g
, Sw,
x1,
x2,...,
xnc,
y1,
y2
y
nc
Las ecuaciones e incógnitas se pueden reducir a 2nc+1
acoplando estas últimas cinco ecuaciones en las restantes

Ecuaciones de flujo en diferencias finitas
Componentes hidrocarburos:
∆
n+
1
[ x T ( ∆p
−γ
∆D)
] + ∆ y T ( ∆p
+ ∆Pc
−γ
∆D)
m
o
o
o
ijk
Vr
[ ]
m
n+
1
( ) ( )
n+
1 ijk
q
{ [ ( ) ]} oρoxm
+ q
ijk g
ρ
g
ym
= ∆
ijk
t
φ ρoxm
1−
Sg
− Sw
+ ρ
g
ymSg
ijk
Agua:
∆
∆t
n+ 1
n+
1 ijk
[ Tw
( ∆po
− ∆Pcwo
−γ
w∆D)
] + ( qwρw
) = ∆t
[ φρwSw] ijk
ijk
ijk
Equilibrio termodinámico:
Ecuaciones del simulador
n + 1 n+1
=
ijk mg ijk
f mo
f
g
o
Vr
∆t
go
g
n+
1
ijk
+
m=1,2,…,nc
i=1,2,…,I
j=1,2,…,J
k=1,2,…,K
n=0,1,2,…

Ecuaciones del simulador
Ecuaciones del flujo en diferencias …
Constituyen un sistema algebraico de ecuaciones
no lineales
En cada celda de la malla de cálculo se tienen
2nc+1 ecuaciones con el mismo número de
incógnitas
En la simulación numérica de yacimientos
naturalmente fracturados (…donde coexisten dos
medios porosos: fracturas y matriz rocosa), el
número de ecuaciones y de incógnitas se duplica

Ecuaciones del simulador
Ecuaciones del flujo en diferencias finitas
Existen yacimientos con aceites cuya
composición se mantiene constante (…para
fines prácticos) durante la etapa de producción
primaria: Yacimientos de aceite negro. La
mezcla de hidrocarburos se representa mediante
dos pseudocomponentes: Aceite y gas

Ecs. . en diferencias: yacimientos de aceite negro
Aceite:
∆
Gas:
n+
1 n+
1 ijk
[ T ( ∆p
−γ
∆D)
] + q = ∆ φb
( 1−
S − S )
∆
o
o
o
ijk
oijk
Vr
∆t
t
{ }
o g w ijk
[ ]
[ ( )] n+
1
T ∆p
+ ∆Pc
−γ
∆D
+ ∆ T Rs( ∆p
−γ
∆D)
g
o
go
Ecuaciones del simulador
g
n+
1
n+
1
Vrijk
qg ijk
+ ( qoRs )
ijk
= ∆t
φbg
S
g
+ φbo
Rs 1−
S
∆t
Agua:
Vr
∆ =
∆t
ijk
{ ( )} g
− Sw
ijk
n+
1 n+
1 ijk
[ Tw
( ∆po
− ∆Pcwo
−γ
w∆D)
] + ( qw
) ∆t
[ φρwSw] ijk
ijk
ijk
o
o
n+
1
ijk
i=1,2,…,I ; j=1,2,…,J; k=1,2,…,K; n=0,1,2,…
o
+

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Los métodos han evolucionado con la infraestructura de
cómputo disponible a lo largo del tiempo:
• Década de los 60’s: Métodos IMPES y SS
• Década de los 70’s: Métodos Semi-Implícitos y SEQ
• 80’s - : Métodos Totalmente Implícito y de Implicitud
Autoadaptable

Diferencia básica entre métodos: Tratamiento de las nolinealidades
en los términos de flujo de las EDF:
∆
Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
[ ( )] ∆D
ijk
[ ( )( )] ( ) 1 ( )
n+
1
β p β S n+
β β
S
p
T p,S ∆p
+ ∆Pc
−γ
∆D
≅ ∆ T p ,S ∆p
+ ∆Pc
−γ
p
ijk
IMPES
Semi-Implícito
TI
Método
β p
n
n
n+1
β S
n
n+1
n+1
Observaciones
Permite reducir de 3 a 1
Ecuación/Incógnita por celda
Resuelve no-linealidades con
Iteración Newtoniana (NR)

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
A cada método corresponde un grado diferente de
implicitud en el manejo de las no-linealidades de las
ecuaciones: IMPES es el menos implícito y el Método
Totalmente Implícito el más.
Mayor implicitud = Más trabajo computacional
para montar el problema matricial = Mayor
estabilidad numérica del simulador (Pasos de
tiempo mayores)

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Método de Implicitud Autodaptable
Aplica diferentes grados de implicitud (IMPES,…, TI) en la
malla de cálculo, dependiendo de las necesidades locales.
Mayor implicitud en zonas con cambios fuertes en las
incógnitas durante un paso de tiempo
Requerimientos pueden variar con el tiempo
Optima el esfuerzo computacional y mantiene la
estabilidad numérica del Método Totalmente Implícito

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Método General
A partir del Método TI y permite obtener el resto de los
métodos como casos particulares.
[ ] ν ν +1 ν
J δu
= −F
TI
TI
F
n+
1
TI , i
→
F { T ( p,
S)
i
n+
1
[ ∆p
+ ∆Pc
− γ ( p,
S)]
n+
1
, Q(
p,
S)
n+
1
,( φbS)
n+
1
}
[ J ] = [ T ] + [ T ] + [ T '] + [ Pc'
] + [ γ '] + [ Q'
] + [(
φ )']
TI
' p S S p S p,
S
, bS

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Método General: IMPES como caso particular
[ ]
n n+1
n
J δu
= −F
IMPES
IMPES
F
n+
1
IMPES ,i
→
F {T(
i
p,S )
n
[ ∆p
n+
1
+ ∆Pc
n
−γ
(
p,S
)
n
],Q(
p,S )
n
,( φbS
)
n+
1
}
[ ] = [ T ] + [( φbS)'
]
J IMPES
El Método General permite generar de manera simple
y directa el Método de Implicitud Autoadaptable

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales
• Métodos Directos (Algoritmos para la solución de
matrices dispersas con ordenamientos especiales):
problemas donde el número de ecuaciones es
“razonablemente pequeño”
• Métodos Iterativos ( Existen diversos
( Existen diversos – Lo mejor
es Gradiente Conjugado con Preacondicionamiento)
tienen mejor desempeño en problemas donde el número
de ecuaciones es grande

Modelo numérico del Complejo Cantarell
Yacimientos naturalmente fracturados
Kutz
Akal
80,000 celdas
Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
N
Nohoch
Chac
Modelo de Aceite Negro
Sistema de 480,000
ecuaciones algebraicas nolineales
a resolver en cada nivel
de tiempo
Modelo Composicional
Mezcla de HC’s representada
por cinco pseudocomponentes
Sistema de 1,760,000
ecuaciones algebraicas nolineales
a resolver en cada nivel
de tiempo

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Modelos del campo Abkatún y Complejo Abkatún-Pol
Pol-Chuc

Solución de las ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales
Modelo regional de yacimientos de la Sonda de Campeche

Se construyen considerando
Mallas en la SNY
1. Geología del yacimientos: estructura,
estratigrafía, fallas y otros rasgos internos
2. Planes de desarrollo: ubicación y tipo de
pozos
3. Procesos de flujo a simular
4. Exactitud deseada en la solución
5. Recursos computacionales

Tipos
Mallas en la SNY
• Bloques centrados ó nodos distribuidos…
(Voronoi o PEBI-bisector perpendicular)
• Simuladores comerciales disponen de
algoritmos de generación automática de
mallas:
Geometría de punto de esquina
Curvilíneas (tubos de corriente)
Refinamiento local (mallas híbridas y cartesianas)
Malla dinámica

Tipos
Mallas en la SNY

Tipos
Mallas en la SNY

Mallas en la SNY
Modelado de pozos en la SN global de Yacimientos
• La presión calculada en celdas fuente (…con pozo) no
corresponde a las presión medida en el fondo del pozo
• Las saturaciones de fluidos calculadas en celdas con pozo,
cuando ocurre conificación de fluidos (… fenómeno local alrededor
del pozo), tampoco corresponden a las saturaciones calculadas por
el simulador
p z
Sw = 90%
rw
radio
rw
radio

Mallas en la SNY
Modelado de pozos en la SN global de Yacimientos
• La presión en el pozo se calcula mediante modelos
analíticos:
p
n+
1
wf ,ij
=
p
n+
1
ij
+
qµ
2πkh
• El modelado de problemas de conificación de fluidos
(… Swf) se lleva a cabo mediante:
ln
r
r
w
0
Generación y uso de curvas de pseudo- Kr’s
Refinamiento local

Mallado - Refinamiento Local
Mallas en la SNY

Motivación
Procesamiento en Paralelo-
Descomposición de Dominio
• Modelos de yacimientos geológicamente complejos
y/o altamente heterogéneos requieren de un gran
número de celdas (… hasta 4.5 millones de celdas)
• Reducir el tiempo de cómputo en la SNY:
Corridas de fin de semana a corridas de un día
para otro.
Corridas de un día para otro a corridas en
horarios normales.

Motivación
Procesamiento en Paralelo-
Descomposición de Dominio
SNY tradicional con PP-DD
SNY tradicional

Motivación
Procesamiento en Paralelo-
Descomposición de Dominio
El principio del cómputo en paralelo es la descomposición
de dominio:
El yacimiento se divide en un cierto número de
subdominios y a cada uno se asigna un procesador, en
el que se realizan los cálculos correspondientes.
Cada procesador mantiene los datos del subdominio
que le corresponde (celdas, pozos,…,etc.) y los datos
de los subdominios vecinos (… datos externos) que
requiere para realizar sus cálculos.

Conclusión: Tendencias en la SNY
En los últimos años
1. Desarrollar simuladores multipropósitos: simulan
diversos tipos de yacimientos y procesos
2. Simuladores integrales: yacimiento, pozos,
instalaciones superficiales de producción
3. Número grande de celdas (hasta 4.5 millones) para
capturar el detalle de la geología y heterogeneidades:
Procesamiento en paralelo

Conclusión: Tendencias en la SNY
En los últimos años
4. Procesamiento en paralelo mediante uso de clusters
de PC’s
5. Fácil uso: pre y postproceso de datos/resultados
6. Recientemente se ha reportado la aplicación exitosa
de elemento finito en la SNY-composicional