ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden reducibles a exactas

239Muy bien. ¿Qué deberán hacer ahora? Debemos determinar una función F(x, y), tal que:F(x,y)xM(x, y)y y x32F(x,y)yN(x, y)3y x x2Exacto ¿Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar parcialmente una de las dos derivadas anteriores,F(x,y)ypor ejemplo M(x, y) y x2x"x", es decir, se asume “y” como constanteF(x,y)xxxM(x, y) xxyctte3yy xla integramos parcialmente respecto de32 dx F(x,y) = yx +3yx+ h (y)Correcto. Nos queda determinar quién es la función h (y) ¿Qué debemos hacerpara determinarla? Para determinar h(y) derivamos parcialmente respecto de “y” la función F(x,y)que obtuvimos anteriormente y luego comparamos con N (x, y)F(x,y) 3y x xx2dh(y)dyN(x, y)3y x x2simplificando resulta quedh(y)dy= 0¿Cómo se obtiene h (y)?

240 h(y) se obtiene integrando. Así, dh (y) 0dy h(y) C¿Qué hacen con la función h (y) = C que obtuvieron?3y Se sustituye en F(x,y) = yx +2x+ h (y) resultando que3yF(x,y) = yx +2x+ C¿Qué concluyen?3y Concluimos que la función F(x,y) = yx +2x+ C = 0, es la solución general 3y 23y de la ecuación diferencial y dx x dy 02xx Abran sus guías en la página 37 y revisemos cuales son los pasos que debenseguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial reducible aexacta.PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCIÓNGENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DEPRIMER ORDEN REDUCIBLE A EXACTAP (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0P(x,y) Q(x,y)1- Chequear que yx

242Muy bien. ¿Qué obtienen?P(x,y) Obtenemos 2yQ(x,y)x 2¿Qué concluyen? Concluimos que, comoP(x,y)yQ(x,y), la ecuación diferencial dada noxes exacta.¿Qué deberán hacer a continuación? Debemos buscar un factor integrante (x,y) =eg(v) dvcong (v)P(x,y) Q(x,y) yx v(x,y) v(x,y) Q(x,y) P(x, y) x yMuy bien. ¿Quién es v? Hay que ir probando entre las distintas opciones que tenemos para v. Porv(x,y) v(x,y)ejemplo si v = x, entonces 1 0xy¿Cómo queda g(v), para v = x? g(v) queda:

243g(v) =P(x,y) Q(x,y)yxQ(x, y)2 21ln y 2x41ln y 2x41ln y 2vresultado?Observen que g(v) no queda dependiendo sólo de v ¿Qué nos indica este Este resultado indica que el cambio v = x no sirve para obtener un factorintegranteExactamente. ¿Qué sugieren hacer ahora?v(x,y) Debemos probar, por ejemplo, con v = y, entonces 0xv(x,y)y 1¿Cómo queda g (v) para v = y? g(v) quedag(v)P(xy)Q(x,y)yx P(x, y)2 2 2y 42y 2y 2v Observen que efectivamente g(v) depende sólo de v, por lo tanto, es la funciónque sirve para hallar un factor integrante (x, y).¿Quién es entonces (x, y)?

244 (x, y) =eg(v)dv e2dvve2ln v eln v2 v2v12Si devuelven el cambio de variable ¿Quién es (x, y)?1 (x, y) =2yCorrecto. ¿Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor1integrante (x, y) =2yExacto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial? La ecuación diferencial queda:o equivalentemente1 1(2y)dx 22y y1 ln y 2xdy 02 1dx y2 yln y 2x dy 02 2y y¿Qué tipo de ecuación diferencial debe ser esta última? Debe ser una ecuación diferencial exacta.¿Cómo lo determinan?

245 Para determinar si la ecuación diferencial2 1 ln y 2xdx +y 2 2 2 y y y es exacta, debemos verificar que sí denotamos comody = 0M (x, y) = y2N (x, y) = 12 yln y 2x 2y y 2entoncesM(x,y)yN(x,y)xCorrecto, verifiquémoslo ¿Qué les daM(x,y)?yMy2= -2yBien. ¿Qué les daN(x,y)?xN(x,y)x2= -2y¿Qué pueden concluir? Podemos concluir que, comoM(x,y)yN(x,y)xentonces, la ecuacióndiferencial2 1 ln y 2xdx +y dy = 0 es una ecuación diferencial exacta.2 2 2 y y y

247 Integrando 1 ln y 1dh(y)dy dy2 2 2 yyyln ydy2y¿Cómo resuelven 1y 2dy ? Es inmediata,1 1dy 2y y¿Cómo resuelvenln ydy ? 2y Se resuelve usando integración por partesu ln y 1dv dy 2 ydu 1ydy1v yln yy2ln y yy12ln y 1dy y y¿Quién es entonces h (y)?1 ln y 1 h (y) = - - y = y y ln yy+ C¿Qué hacen con esta función h (y) =ln yy+ C? Se sustituye en F (x, y) =2xy+ h (y) F (x, y) =2xy+ln yy+ C

249¿Qué concluyen? Concluimos que comoP(x,y)yQ(x,y)xentonces la ecuación diferencialdada no es exacta.¿Qué deberán hacer a continuación? Debemos buscar un factor integrante (x, y) = g(v) dve cong(v) =P(x,y) Q(x,y) yx. v(x,y) v(x,y) Q(x,y) P(x, y) x yMuy bien. ¿Quién es v? Hay que ir probando. Por ejemplo, si v = x entoncesv(x,y)= 0yv(x,y)x= 1¿Cómo queda f (v), para v = x?P(x,y) Q(x,y) y xf (v) = 2 2x sec (x y) 2x= Q(x, y)2x22x(Sec(x y) 1)x2=2(Sec2(x y) 1)x=2(Sec2(v y) 1)v

250resultado?Observen que f(v) no queda dependiendo sólo de v ¿Qué nos indica este Este resultado nos indica que el cambio v = x, no sirve para obtener un factorintegrante.Exacto. ¿Qué sugieren hacer ahora? Debemos probar, por ejemplo, con v = y entoncesv(x,y)x= 0,v(x,y)y= 1¿Cómo queda f (v) para v = y? f (v) quedaP(x,y) Q(x,y) y xf(v) = P(x, y)22x sec (x y) 2x= 2 x 2x tg(x y)22x(Sec (x y) 1) x(x 2 tg(x y))22 tg (x y)= x 2 tg(x y)22 tg (x v)x 2 tg(x v)Observen que aquí tampoco f (v) quedó dependiendo sólo de v ¿Qué nosindica este resultado? Este resultado indica que el cambio v =y, no sirve para obtener un factorintegrante.Exactamente. ¿Qué debemos hacer ahora?

251v(x,y) Debemos probar, por ejemplo, con v = x + y entonces 1xv(x,y) 1y¿Cómo queda f (v) para v = x + y? f (v) quedaf (v) =P(x,y) Q(x,y) y Q(x, y) P(x,xy) 22x sec (x y) 2x= 2 2 x x 2x tg(x y)22x(Sec (x y) 1) 2x tg(x y))=22x tg (x y) = - tg (x + y) = - tg v2x tg(x y)Observen que efectivamente para v = x + y, resultó que f (v) depende sólo dev, por lo tanto, es la función que sirve para hallar un factor integrante (x, y). ¿Quiénes entonces (x, y)? (x, y) =eg(v)dv e tg vdv esen vdvcos v eln cos vcos vSi devuelven el cambio de variable ¿Quién es (x, y)? (x,y) = Cos (x + y)Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?

252 El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial dada por el factorintegrante (x,y) = Cos (x + y)Exacto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial? La ecuación diferencial queda:Cos (x + y) [x 2 + 2x tg (x + y)] dx + x 2 Cos (x + y) dy = 0o equivalentemente:[x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x 2 Cos (x + y) dy = 0¿Qué tipo de ecuación diferencial debe ser esta última? Debe ser una ecuación diferencial exacta¿Cómo lo determinan? Para determinar si la ecuación diferencial:[x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x 2 Cos (x + y) dy = 0es exacta, debemos verificar que siendoM (x, y) = x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y) N (x, y) = x 2 Cos (x + y)entoncesM(x,y)y=N(x,y)xCorrecto. Verifiquémoslo. ¿Qué les daM(x,y)?yM(x,y)= - x 2 Sen (x + y) + 2x Cos xyy

253Bien. ¿Qué les daN(x,y)?xN(x,y)x= 2x Cos (x + y) - x 2 Sen (x + y)¿Qué pueden concluir? Podemos concluir que, comoM(x,y)yN(x,y)xentonces, la ecuacióndiferencial [x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x 2 Cos (x + y) dy = 0 es unaecuación diferencial exacta.Muy bien. ¿Qué deben hacer ahora? Debemos determinar una función F (x, y), tal que:F(x,y)x= M (x, y) = x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)F(x,y)y= N (x, y) = x 2 Cos (x + y)Exacto. ¿Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar parcialmente una de las dos derivadas anteriores.Por ejemplo, si integramos parcialmente respecto de "y"asumiendo “x” constanteF(x,y)y= x 2 Cos (x + y);

254 F(x,y) y yyxxctte2Cos(x y) dyF(x, y) = x 2 Sen (x + y) + h (x)Correcto. Ya sabemos como va a ser F(x,y), pero desconocemos la funciónh(x). ¿Qué debemos hacer para determinarla? Para determinar h (x), derivamos F (x, y) parcialmente respecto de “x”, y luegocomparamos con M (x, y)F(x,y)= 2x Sen(x + y) + x 2 dh(x) Cos (x + y) + = x 2 Cos(x + y) + 2xSen (x + y)x dx dh(x) de donde, simplificando resulta que = 0 dx ¿Cómo se obtiene h (x)? Integrando dh (x) 0 h (x) = C ¿Qué hacen con esta función h (x) = C? Se sustituye en F(x,y) = x 2 Sen (x + y) + h (x) Asi tenemos queF (x, y) = x 2 Sen (x + y) + C¿Qué concluyen? Concluimos que la función F (x, y) = x 2 Sen (x + y) + C = 0 es la solucióngeneral de la ecuación diferencial:[x 2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx x 2 Cos (x + y) dy = 0

255Muy bien. El Problema 4, les queda como asignación con la finalidad de querefuercen los aspectos aquí tratados.PROBLEMA 4:Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones diferenciales quese dan a continuación:1. (2x 3 – d) dx + x dy = 02. (3x 2 + y + 3x 3 y) dx + x dy = 03. (y 2 + xy + 1) dx + (x 2 + xy + 1) dy = 04. y dx + (3x – y 3 ) dy = 05. (y3 + 2ex y) dx + (ex + 3y 2 ) dy = 06. (2x + y + x 2 ) dx + (1 + y + x 2 ) dy = 07. (2x – 2xy 2 ) dx + (x – 3x 2 y) dy = 08. (4xy 2 – 5x 2 – y 2 ) dx + (2x 2 y + 6y 3 – 4xy) dy = 09. (5x 3 + 3x 2 y + 2y) dx + (2x 3 + x + 3y) dy = 010. (2xy + 1 – 2y 2 ) dx + (2x 2 – 2xy – 1) dy = 011.yx22 xy y2dx +xx22 xy y2dy = 012. (xy 3 + xy) dx + (2x 2 y 2 – 3xy 3 ) dy = 013. (-xy senx + 2yCosx) dx + 2x Cos y dy = 0CIERRE:¿Qué estudiamos en esta lección?