LECCIN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1ER

Table of ContentsSection Section TitlePage(s)No.1. The Problem & Purpose 1-42. The Evidence 5-73. Mapping People 8-104. Mapping the Built Environment 11-265. Mapping Modifying Factors 27-326. Mapping Physical Activity 33-347. Mapping Health 35-398. Stoplight Outcomes Summary 40-419. The Destination 42Appendix: Data Documentation 43-47References 48-52

280PROBLEMA 2:Obtenga la solución general de la ecuación diferencial(x 2 + x) dy = (x 5 + 3xy + 3y) dxRevisemos el procedimiento que siguieron para resolver el Problema 2.Recuerden que para que una ecuación diferencial sea lineal, debe poder escribirse dela forma a o (x) y' + a 1 (x) y = b(x), con a o (x), a 1 (x) y b(x), funciones que sólo dependende x. ¿La ecuación diferencial dada es lineal?♦ Para saber si la ecuación diferencial dada es lineal tenemos que verificar si sepuede escribir de la formaa o (x) y' + a 1 (x) y = b(x)Multiplicamos por dx1(x 2 dy+ x) = x5+ 3xy + 3ydxluego sacamos factor común (3y)(x 2 dy+ x) = x5+ 3y (x + 1)dxy restamos 3y(x+1)(x 2 + x) y' – 3 (x + 1) y = x 5entonces si es lineal, donde a o (x) = x 2 + x a 1 (x) = – 3 (x + 1) b(x) = x 5Muy bien. Ya saben que es lineal ¿Cuál es el paso a realizar para buscar lasolución general?♦ Se debe multiplicar por el factorx12 +x

281simplificando53(x + 1) x' − y =2x + x x + xy 2y' – x3 y =1 xx 4 +Correcto. Hemos escrito la ecuación diferencial de la forma y' + A(x)y = B(x)¿Cuál es el siguiente paso?♦ El siguiente paso es buscar el factor integranteµ(x) =e∫A(x)dx−∫= e3x= e−3ln x= e−3ln x= x−3=x13es decir, µ(x) =13xObtenido el factor integrante ¿Qué deben hacer ahora?♦ Debemos multiplicar la ecuación diferencial1por µ(x) dx =3xdx así obtenemos43 xy' – y = x x + 11 3dy −4x xxy dx = dxx 13 +Muy bien. ¿Pueden identificar que representa la expresión1 3dy − y dx ?3 4x x♦ Representa la diferencial total dex13yesto es,

282⎡ 1d⎢⎣x3⎤y⎥=⎦1 3dy −3 4x xy dxExacto. ¿Cómo les queda la ecuación diferencial?♦ La ecuación diferencial queda⎡ 1d⎢⎣x⎤ xy⎥= dx⎦ x 13+¿Cómo obtienen "y"?♦ Integrando∫⎡ 1d⎢⎣x3⎤y⎥ ⎦1= ∫x + 11dx ⇒3xy = x - ln (x + 1) + C¿Se puede despejar “y”?♦ Si, despejando "y"y = x 4 – x 3 ln(x + 1) + Cx 3¿Qué concluyen?♦ Concluimos que la función y = x 4 – x 3 ln(x + 1) + Cx 3 , es la solución generalde la ecuación diferencial(x 2 + x) dy = (x 5 + 3xy + 3y) dxEl Problema 3, les queda como asignación con la finalidad de que refuercen lotratado en esta lección.

283PROBLEMA 3:Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales. En los casos indicados, obtenga la solución particular que satisfaga lacondición dada.1- x 2 y' + 3xy =Senxx2- y' + (tg x) y = x sen 2x3- y' + (cotg x) y = 2 cosec x y (π/2) = 14- xy ' + 2y = sen x y (π) = 1/π5- xy' + 2y = e x6- xy ' + 2y = x 2 x + 1 y (1) = π/27- x 2 y' + 2xy = 18- xy' + y = Cos x9- Cos 2 x . Senx dy + (y Cos 3 x – 1) dx = 010- xy' + 4y = x 3 – x11- (1 – Cosx) dy + (2y Senx – tg x) dx = 012- y dx + (xy + 2x – y e y ) dy = 013- xy' + 2y = e x + lnx14- (x + 4y 2 ) dy + 2y dx = 015- (1- x 3 dy) = 3x 2 y dx16- (1 + x) y ' – xy = x + x 217- (1 + x 2 ) dy + (xy + x 3 + x) dx = 018- (x 2 – 1) y' + 2y = (x + 1) 219- (x + 2) 2 y' = 5 – 8y – 4xydP20- + 2tP = P + 4t -2dt

284CIERRE¿Qué estudiamos en esta Lección?♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales¿Qué característica, en cuanto a la forma como se escribe, debe tener laecuación diferencial para clasificarla como una ecuación diferencial lineal?♦ Debe poderse escribir de la formaa 0 (x) y' + a 1 (x) y = b(x) donde a 0 (x),a 1 (x), b(x) son funciones que dependen de x o pueden ser constantesSi b(x) = 0 ¿Cómo dijimos que se denominaba la ecuación?♦ Si b (x) = 0, es decir, si la ecuación tiene la forma a o (x) y' + a 1 (x) y = 0, laecuación se denomina ecuación diferencial lineal homogénea.¿Cómo se obtiene la solución general en este caso?♦ La solución general se obtiene separando las variables. Para ello se multiplicapor el factordx, resultandoy a (x)ody a +1(x)y a (x)odx = 0Muy bien. ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta?♦ Resulta una ecuación diferencial de variable separada.¿Cómo llegan a la solución?

285♦ Integrando cada término.Correcto. Ahora, si b(x) ≠ 0 ¿Cómo se denomina la ecuación diferencial?♦ La ecuación diferencial se denomina, ecuación diferencial lineal completa.¿Cómo se obtiene la solución general en este caso?♦ La solución general se obtiene siguiendo los pasos que se enumeran acontinuación1- Multiplicar la ecuación diferencial por1a (x)0(a 0 (x) ≠ 0)y ' +aa1o(x)(x)y =b(x)a (x)oequivalentementey' + A (x) y = B (x)2- Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de “x”, y viene dado porµ (x) = e∫ A (x) dx3- Multiplicar la ecuación obtenida en el paso 1 por [µ (x) dx]e ∫ A (x) dx dy + A (x) e ∫ A (x) dx . y dx = B (x) dx4- Sustituir la expresión que está al lado izquierdo de la igualdad anterior, por ladiferencial total del producto [µ (x) y]5- Integrard [µ (x) y] = d [e ∫A (x) dx ∫A (x) dxy] = e∫ d [µ (x) y] = ∫ e ∫A (x) dx B (x) dx + Cequivalentementee ∫A (x) dx y = ∫ e ∫A (x) dx B (x) dx + C-∫A (x) dx6- Despejar “y” multiplicando por el factor e7- La función obtenida en el paso 6, es la solución general de la ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden lineal completa y ' + A(x) y = B(x)