Obtención de la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas

60LECCIÓN 3:OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIALASOCIADA A UN HAZ DE CURVASJUSTIFICACIÓN:En el curso de Análisis Matemático II, cuando se resuelven integralesindefinidas se obtienen primitivas o antiderivadas las cuales representan hacesde curvas, pues involucran constantes arbitrarias. Aquí veremos que una formade obtener ecuaciones diferenciales ordinarias, es a través del proceso deeliminación de las constantes arbitrarias esenciales de un haz de curvas.OBJETIVOS:El estudiante podrá:1- Obtener la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas por medio delproceso de eliminación de constantes arbitrarias esenciales involucradas en elhaz de curvas.PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE:INTRODUCCIÓN:¿Qué estudiamos en la lección anterior?♦ Estudiamos la solución de una ecuación diferencial y los distintos tiposde soluciones que puede tener una ecuación diferencial.

62arbitrarias de la solución general en los problemas de valor inicial y losproblemas de valor de frontera?♦ Establecimos que el orden de la ecuación diferencial, el número deconstantes arbitraria de la solución general y el numero de condiciones dadas encualquiera de los dos tipos de problemas es exactamente el mismo.Excelente. El tema que vamos a tratar en la clase de hoy es muyimportante, pues nos conducirá a obtener ecuaciones diferenciales a partir de laecuación de una familia de curvas.Origen de una Ecuación Diferencial:En los problemas que hemos resuelto hasta el momento, si se conoce laecuación diferencial asociada a dicho problema ¿qué procedimiento se harealizado para obtener la función que satisface la ecuación diferencial?. Dichode otra forma ¿qué procedimiento hemos seguido a fin de conseguir la solucióngeneral?♦ Lo que se ha hecho es integrar la ecuación diferencial tantas veces comosea necesario, hasta conseguir la función solución de dicha ecuación diferencial.Correcto. Lo que nos proponemos resolver en este momento es elproblema inverso, es decir, conocida la ecuación del haz de curvas obtener laecuación diferencial asociada que tiene como solución el haz de curvasconocido. Es importante que recuerden que ninguna ecuación diferencialcontiene constantes arbitrarias; por lo tanto, debemos eliminar las constantes

63arbitrarias que aparezcan en el haz de curva para obtener la ecuación diferencialasociada.EJEMPLO 1:Dado el haz de curvas y = C e -2xdiferencial asociada.+ 3x -4, obtener la ecuación¿Cuantas constantes arbitrarias tiene el haz de curvas dado?♦ Tiene sólo una constante arbitraria, CSi ya se había dicho que para conseguir la solución de una ecuacióndiferencial se debe integrar ¿qué sugieren ustedes hacer para conseguir laecuación diferencial que tiene como solución general el haz de curvas dado?♦ Deberíamos derivar el haz de curvas respecto de x.¿Que obtienen al derivar el haz de curva?♦ Al derivar obtenemos y' = -2 C e -2x + 3Muy bien, pero observen que no se logró aún eliminar la constantearbitraria C. Sin embargo se tienen ahora dos ecuaciones que involucran a esaconstante⎧⎪y= C e−2x+ 3x − 4⎨−⎪⎩ y' = − 2 C e2x+ 3

64¿Qué sugieren ustedes que hagamos ahora?♦ Ahora deberíamos eliminar C del sistema de ecuaciones anterior.Correcto. ¿Cómo lo hacemos?♦ Despejamos Ce -2x de la primera ecuación y quedaCe -2x = y + 4 - 3xluego sustituimos Ce -2x = y + 4 - 3x en la segunda ecuación y resulta quey' = -2 (y + 4 - 3x) + 3 = -2y + 6x - 5Muy bien. Se tiene entonces que la ecuación diferencial asociada al hazde curvas es y' + 2y - 6x + 5 = 0¿Cuántas veces tuvimos que derivar el haz?♦ Una sola vezEs importante resaltar que el número de veces que se deriva el haz decurvas dado coincide con el número de constantes arbitrarias esencialesinvolucradas en el haz.¿Podrían decirme cuáles fueron los pasos que seguimos para obtener laecuación diferencial asociada a un haz de curvas dado?

65♦ Determinamos el número de constantes arbitrarias esenciales que tieneel haz de curvas, derivamos el haz de curvas y luego eliminamos la constantearbitraria C del sistema de ecuaciones que se formó con la ecuación del haz decurvas y su derivada.Correcto. Revisemos otro ejemplo.EJEMPLO 2:asociada.Dado el haz de curvas y = C 1 x + C 2 x 3 , obtener la ecuación diferencial¿Que deben hacer primero?♦haz de curvas.Identificar el número de constantes arbitrarias esenciales que tiene elMuy bien. ¿Cuántas constantes arbitrarias hay en el haz de curvas?♦ Hay dos constantes arbitrarias.¿Cuántas veces tienen entonces que derivar el haz de curvas?♦ Se tiene que derivar dos vecesCorrecto. ¿Qué obtienen al calcular las derivadas?

666C 2 x.♦ La primera derivada es y' = C 1 + 3C 2 x 2 ; la segunda derivada es y'' =¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar lasconstantes arbitraria C 1 y C 2 ?♦ El sistema de ecuaciones de donde vamos a eliminar las constantesarbitrarias C 1 y C 2 es⎧y= C1x + C⎪⎨y'= C1+ 3 C⎪y'' = 6 C2x⎩22xx32¿Qué harían ahora para eliminar C 1 y C 2 de este sistema?♦ Despejamos C 2 de la tercera ecuación, quedando C 2 =y ''¿Qué hacen ahora con C 2 = ? 6 xy''6xC 1 + 3♦ Lo sustituimos en la segunda ecuación del sistema, resultando que y' =y''x26xo equivalentemente y' = C 1 + 21 x y''¿Qué paso sigue a continuación?♦ A continuación despejamos C 1 de la ecuación y' = C 1 + 21 x y''obteniendo C 1 = y' - 21 x y''

67Tienen entonces que las constantes arbitrarias son C 1 = y' - 21 x y'' C2 =y''6x¿qué hacen con estos valores de C 1 y C 2 ?♦ Los sustituimos en el haz de curvas y = C 1 x + C 2 x 3 resultando y= y'x - 21 x 2 y" + 61 x2y'' o equivalentementey'' x - 3 x y' + 3 y = 0Muy bien. Decimos entonces que y'' x - 3 x y' + 3 y = 0 es laecuación diferencial asociada al haz de curvas y = C 1 x + C 2 x 3 (lo queequivale a decir que la curva y = C 1 x + C 2 x 3 es la solución general de laecuación diferencial y'' x - 3 x y' + 3 y = 0)Observen que en este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, por lo cualfue necesario derivar dos veces para poder eliminar las constantes y obtener laecuación diferencial asociada.Abran sus guías en la página 13 y leamos el procedimiento que allíaparece indicado para la obtención de la ecuación diferencial asociada a unhaz de curvasPROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓNDIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVASDado un haz de curvas F (x, y, C 1 , C 2 ,..., C n ) = 0 (C 1 , C 2 ,..., C n ,constantes arbitrarias, para obtener la ecuación diferencial asociada alhaz de curvas se deben eliminar las n constantes del sistema:

68⎧F (x, y,C 1 ,C 2 ,...,C n ) = 0⎪⎪ d⎪⎪dx⎪ d2⎨⎪dx⎪⎪⎪ dn⎪⎪⎩dxF (x, y, C1,C2,...,Cn )F (x, y, C1,C2,...,Cn )2F (x, y,C 1 , C 2 ,...,C n )nC 1 , C 2 ,...,C n se denominan entonces constantes arbitrarias esenciales= 0= 0= 0EJEMPLO 3:asociada.Dado el haz de curvas y = C 1x)e (C 2 +, obtenga la ecuación diferencial¿Cuántas constantes arbitrarias hay?♦ Hay dos constantes arbitrarias C 1 y C 2Según el procedimiento estudiado, ¿cuántas veces deberíamos derivar elhaz de curvas dado?♦ Deberíamos derivar dos veces el haz de curvas dado.¿Qué se obtiene cuándo se deriva por primera vez el haz dado?♦ Se obtiene y' = C 1x)e (C 2 +

69Cómo puedes observar y' da nuevamente la función y, por lo tanto laecuación diferencial asociada es y' = y. Pero solo hemos derivado una vez¿Acaso este ejemplo contradice el procedimiento que explicamos para obtenerla ecuación diferencial asociada a un haz?Observen la curva dada. Si les pido que apliquen las propiedades dex)potenciación ¿cómo pueden transformar el haz y = C 1 e (C 2 +?C♦ Podemos escribirlo y = C 1 e 2xeObserven que C 1 y son constantes ¿el producto de dosconstantes, qué resulta?e C 2♦ También resulta una constante.llamémosla C.CCorrecto, por lo tanto, C 1 e 2se puede sustituir por una sola constante,¿Cómo se puede escribir entonces el haz de curvas dado?♦ El haz de curvas dado se puede escribir como y = Cxe¿Cuántas constantes arbitrarias esenciales posee este haz?♦ Posee una sola constante arbitraria esencial

70Es por ello que bastó con derivar una sola vez para obtener la ecuacióndiferencial asociada. Como puede observarse no hay ninguna contradicción conel procedimiento general indicado para obtener la ecuación diferencial asociadaa un haz de curvas.Reúnanse en grupos de tres para resolver los Problema 1, 2 y 3 queaparece en sus guías en las páginas 13 y 14. Tienen diez minutos.PROBLEMA 1:Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasanpor el punto (-1, 2)Revisemos que hicieron para resolver el Problema 1.En el enunciado se hace referencia a la familia de rectas que pasan porun punto dado. ¿Cuántas rectas hay que pasen por el punto (-1,2)?♦Hay infinitas rectas.Correcto. ¿Qué es lo que está variando en cada una de las rectas de esafamilia?♦ Varía la pendiente.Excelente. Si "m" es la pendiente de la recta un punto cualquiera (x,y(x)) de ella, de acuerdo con los conocimientos que traen del curso de

71Geometría Analítica ¿podrían decirme cómo se escribe la ecuación de la rectaque pasa por el punto (-1, 2) y tiene pendiente m?♦ La ecuación de la recta se escribe como y - 2 = m (x+1)Exacto, y - 2 = m (x+1) es la ecuación de la familia de rectas que pasanpor el punto (-1, 2).¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?♦ Tiene solo una constante arbitraria que es "m"Muy bien. ¿Cuántas veces se debe derivar el haz de curvas?♦ Se debe derivar solo una vez¿Qué obtenemos al derivar?♦ Al derivar el haz de rectas y - 2 = m (x+1), se obtiene y' = mDe acuerdo con el procedimiento que hemos explicado se debe seguirpara eliminar las constantes arbitrarias de un haz de curvas y así obtener laecuación diferencial, ¿cuál es el sistema de ecuaciones, a partir del cualdebemos eliminar m?♦ El sistema de ecuaciones a partir del cual vamos a eliminar m es:⎧y− 2 =⎨⎩y'= mm (x + 1)

72¿Qué sugieren se debe hacer ahora para eliminar m?♦ Bastará con relacionar las dos ecuaciones del sistema y sustituir en laprimera ecuación la pendiente m por y'Muy bien. ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a lafamilia de rectas que pasan por el punto (-1, 2)?♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por elpunto (-1, 2) es y - 2 = y' (x+1) o equivalentemente (x + 1) y' - y+ 2 = 0PROBLEMA 2:Halle la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencia concentro en el origen del sistema de coordenadas.Veamos como resolvieron el Problema 2En el enunciado se habla de una familia de circunferencias. De acuerdocon los conocimientos que ustedes traen del curso de Geometría Analítica¿cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r >0?es:♦ La ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r > 0(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

73Muy bien. Observen que en el enunciado del problema se dice que elcentro de la familia de circunferencia que nos interesa es el origen del sistemade coordenadas ¿Esto que les indica?♦ Nos indica que h = 0 y k = 0Correcto. ¿Que hacen con estos valores de h y de k?♦ Se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia.¿Qué resulta al hacer la sustitución?♦ Resulta que la familia de circunferencias con centro en el origen delsistema de coordenadas tiene por ecuación x 2 + y 2 = r 2Exacto. ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?♦ Tiene una sola constante arbitraria.¿Cuántas veces deben entonces derivar el haz?♦ Se debe derivar solo una vezMuy bien ¿qué obtienen al derivar?♦ Al derivar se obtiene 2 x + 2 y y' = 0

74Observa que en este problema al derivar lograste de una vez eliminar laconstante arbitraria ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a lafamilia de circunferencias con centro en el origen?♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias concentro en el origen es x + y y' = 0Excelente. Pasemos ahora revisar como resolvieron el Problema 3PROBLEMA 3:Obtenga la ecuación diferencial asociada al haz de curvasy 2 = 2 C 1 x 2 y + C 2 x 4¿Cuantas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?♦ Tiene dos constantes arbitrarias¿Cuántas veces debemos derivar el haz de curvas dado?♦ Debemos derivarlo dos veces.Muy bien. Observa que en este problema la función o variabledependiente no está despejada, por lo tanto ¿cómo debes derivar?♦ Se debe derivar implícitamente

75Correcto. Si derivamos implícitamente el haz de curvas dado porprimera vez ¿qué se obtiene?♦ Al derivar implícitamente por primera vez se obtiene2 y y' = 4 C 1 x y + 2 C 1 x 2 y' + 4 C 2 x 3o equivalentementey y' = C 1 (2 x y + x 2 y') + 2 C 2 x 3Si volvemos a derivar implícitamente ¿qué resulta?♦ Resulta (y') 2 + y y'' = C 1 (2 y + 4 x y' + x 2 y'') + 6 C 2 x 2¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar lasconstantes arbitrarias?♦arbitrarias esEl sistema de ecuaciones de donde se van a eliminar las constantes⎧ 2 24y = 2 C1x y + C2x⎪2⎨yy' = C1(2 x y + x y') + 2 C⎪ 2⎪(y')+ y y'' = C + +⎩1 (2 y 4 x y' x22x3y'')+6 C2x2Ya que el sistema tiene tres ecuaciones y dos incógnitas, para resolverlose sugiere trabajar con solo dos de las ecuaciones para conseguir las constantesarbitrarias C 1 y C 2 . Luego, sustituir los valores de C 1 y C 2 en la terceraecuación.Si trabajamos con las dos primeras ecuaciones del sistema ¿quédebemos hacer para obtener C 1 y C 2 ?

76♦ Multiplicamos la primera ecuación por -2, multiplicamos la segundaecuación por x y luego sumamos esas dos ecuaciones, Así obtenemos-2 y 2 = - 4 C 1 x 2 y - 2 C 2 x 4x y y' = C 1 (2 x 2 y + x 3 y') + 2 C 2 x 4________________________________________x y y' - 2 y 2 = C 1 (x 3 y' - 2 x 2 y)queda?Sacando factor común a ambos lados de esa última igualdad ¿qué♦ Queda (x y' - 2y)y = C 1 (x y' - 2 y) x 2Si de ésta última ecuación se despeja C 1 ¿qué resulta?♦ Resulta que C 1 =y2xMuy bien. ¿Que sugieren que hagamos para conseguir C 2 ?♦ Bastará con que sustituyamos C 1 en la primera ecuación y luegodespejemos C 2obtiene?Correcto, hagámoslo. Sustituyendo C 1 en la primera ecuación ¿que se♦ Obtenemos y 2 = 2C 2 x 4 + y 2 = 0y x 2 y + C 2 x 4 o equivalentemente2x

77Si despejan C 2 ¿qué resulta?♦ Resulta que C 2 =−2y4xExacto. Ahora ya tiene que C 1 =y2xy C 2 =2y4x− ¿qué debenhacer con estos valores de C 1 y C 2 ?♦ Debemos sustituirlos en la tercera ecuación del sistema.Hagamos la sustitución a ver que nos queda(y') 2+ y y'' = (2 y + 4 x y' + x 2 y'')y2x+ 62⎛ ⎞⎜ y − ⎟⎜ 4 ⎟⎝ x ⎠x 2Agrupando, simplificando y ordenando resulta que la ecuacióndiferencial asociada al haz de curvas y 2 = 2 C 1 x 2 y + C 2 x 4 es:x 2 (y') 2 - 4 x y y' + 4 y 2 = 0Los problemas 4, 5 y 6 quedan como asignación.PROBLEMA 4:Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas tangentesa la parábola y 2 = 2x

78PROBLEMA 5:Determine la ecuación diferencial asociada a la familia decircunferencias que pasan por el origen del sistema de coordenadas y cuyoscentros están en el eje x.PROBLEMA 6:Obtenga la ecuación diferencial asociada a cada uno de los siguienteshaces de curvas:a) y = C 1 + C 2 lnxb) y = C 1 e x + C 2 e 2x + C 3 e 3xc) x y 2 - y 3 = Cd) x y 2 = C 1 x + C 2e) y = C 1 sen4x + C 2 cos4xf) y = C 1 x 3 + C 2 x 2 + C 3 xCIERRE:¿Qué estudiamos en esta lección?♦ Estudiamos como obtener la ecuación diferencial asociada a una familiade curvas conocida.Correcto. ¿Recuerdan como se llama el proceso utilizado a tal efecto?♦esenciales.Se denomina proceso de eliminación de las constantes arbitrarias

79Muy bien. ¿Qué es lo primero que se debe hacer con el haz de curvas?♦ Identificar el número de constantes arbitrarias que tieneCorrecto. ¿Con qué finalidad?♦curvas.Con la finalidad de saber hasta que orden se va a derivar el haz deExactamente. Luego que derivan hasta el orden que corresponde ¿quédeben hacer con todas esas derivadas?♦ Se debe formar un sistema de ecuaciones con el haz de curvas y todaslas derivadas calculadas.¿Para qué formas ese sistema de ecuaciones?♦ Ese sistema de ecuaciones es el que nos va a permitir eliminar lasconstantes arbitrarias y llegar así a la ecuación diferencial asociada al haz decurvas.Excelente. Con esta lección finalizamos los aspectos básicos que sobreecuaciones diferenciales deben conocer.