Integral de Línea de un Campo Vectorial Gradiente

EJEMPLO 37. Determine si el campo vectorial F( x, y, z) ( 3x 2 y 2, x 3 4y3)no conservativo.= + + , es oSolución. Si el campo F( x, y,z ) es un campo vectorial conservativo, implica que es tecampo el gradiente de una función potencial escalar f ( , , )( , , ) ( , , )xyz, es decir,∇ f xyz = F xyz , de manera que se pueden plantear las siguiente ecuaciones∂ f =23x y + 2∂x.1∂ f =3 3x + 4 y∂yEc.2( Ec )( )Al integrar la primera de estas ecuaciones con respecto a la variable x, y considerando lavariable y como una constante, se obtiene la siguiente expresión2 3( , ) = ∫ ( 3 + 2) = + 2 + ( ) ( .3)f xy xy dx xy x h y EcEn donde, en el resultado de la integral indefinida se tiene una función arbitraria h( y ),en vez de una constante de integración arbitraria C. Ahora derivando la expresión def( , )xy con respecto a la variable y, se obtiene la siguiente expresión∂ f = +∂y( )3x h y'Al igualar esta ecuación con (Ec. 2), se tiene que 4 y 3 h'( y)integrara a h'( )y con respecto a y, se obtienen3 4( ) 4∫h y = y dy = y + C= , de tal manera que laY al sustituir en (Ec. 3) esta ecuación, se obtiene la función potencial f que viene dadapor3 4( , ) = + 2 + + ( .3)f xy xy x y C EcSi se desea determinar una función potencial f, cuyo campo vectorial gradiente estadefinido por F( xyz , , ) ( F1( xyz , , ), F2( xyz , , ), F3( xyz , , ))ecuaciones= , se plantean las siguientes∂f ∂f ∂f= F1 xyz = F2 xyz = F3xyz∂x ∂y ∂x( , , ) ( , , ) ( , , )

3En don de se puede identificar por observación que p ( yz , ) = 4y+ 2z, q( x,z) xz2( , ) y sen( x)r x y= , y= , De tal manera que las tres ecuaciones que fueron obtenidas para lafunción f ( , , )xyz son coincidentes en sus segundos miembros, y está definida por laexpresión( ) ( )2 3f xyz , , = 4y+ ysenx+ xz + 2zEJEMPLO 39. Sea la trayectoria definida por f : 3 / f ( t) ( t, t 2 , t 3), t [ 0,2]∫ zdx zdy x y dz .calcule + + ( + )CR→R = ∈ ,Solución. Como se puede observar el campo vectorial H( xyz , , ) ( zzx , , y)gradiente del campo escalar h( x, y,z) z( x y)= + es el= + , por lo que el campo H es un campoconservativo, la integral de línea se puede calcular de la siguiente manera( , , ) =∇ H( xyz , , )hxyz∫C∫H⋅ dr = ∇h⋅drC( ( )) h f ( a)= h f b −( ) ⎤2= ⎡⎣t t+t3 20( )= 48Como H es un campo vectorial gradiente, la integral no depende de la trayectoriarecorrida sino de la ubicación de los puntos extremos de la curva C.⎦EJERCICIOS PROPUESTOS 1.6.1) Determine si el campo vectorial H( xyz , , ) ( y 2 2 xyx , 2 2xy)conservativo.= + + , es o no2) Sea la trayectoria definida por ( ) ( π )−z−zcalcule ∫ e dx + 2ydy + xe dz .C( ) [ ]3 2f : R→R / f t = 4 t,cos t , t , t∈ − 1,1 ,3) Sea la trayectoria definida por f : 3 / f ( t) ( t,1 t,3 t) , t [ 0,3]C( + ) + ( + ) + ( + )∫ z y dx x z dy x y dz .R→R = − − ∈ , calcule

⎡ π ⎤f : R→R / f t = cos t, sent, t , t∈ ⎢0,⎣ 3 ⎥⎦ , calcule34) Sea la trayectoria definida por () ( )C( + 1) + ( + 1) + ( + 1)∫ yz dx xz dy xy dz .5) Evaluar la integral de línea2 2∫ 2xyzdx + x zdy + x ydz donde C es una curva simpleCorientada positivamente que conecta al punto ( 1,1,1 ) con el punto ( 1, 2, 4 ) .1.6.2. Independencia de la Trayectoria.Si existen dos curvas C1y C2, suaves o parcialmente suaves, que tienen en común elinicio y fin de sus trayectorias, se establece, en general, que∫ F⋅dr≠∫ F⋅dr, pero siC1 C2la función F es un campo vectorial conservativo, entonces se cumple que∫∇f ⋅ dr = ∫ ∇f ⋅dr, siempre que ∇fsea un campo continuo en el dominio D al cualC1 C2pertenece la curva C. Esto significa que el valor de la integral de línea de un campovectorial conservativo depende solamente del punto inicial y del punto final de unacurva, y no de la trayectoria recorrida por ésta.Definición. Si F es un campo vectorial continuo en un dominio D, donde la curva Cesta incluida, se dice que la integral de línea∫ F⋅dr es independiente de la trayectoria,Csi se cumple que∫ F⋅ dr = ∫ F⋅dr, para cualesquiera dos trayectorias C 1y C 1C1 C2contenidas en D que tengan los mismos puntos inicial y final.