1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.

1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.Sea F ( xyz , , ) un campo vectorial continuo sobre3R donde F representa un campo defuerzas aplicado sobre una partícula cuya trayectoria puede ser descrita por el recorridode la curva C.Cf(t)Piati− 1*ti ti*PitbPi− 1Figura 34. Integral de línea de un campo vectorial.Si se divide la curva C en n subarcos de longitudes ∆s 1, ∆s 2, ∆s 3,..., ∆ sn, con∆s≈ P P , entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar una partículai i−1idesde el punto Pi− 1hasta el punto P ise puede aproximar tomando en cuenta las* * * *siguiente consideraciones, al tomar un puntoi ( i, i,i )P x y z y sabiendo que ∆ sies losuficientemente pequeño, entonces a medida que la partícula se mueve de Pi− 1haciaa lo largo de la curva C, este desplazamiento tiene aproximadamente la misma dirección* * *que ( i, i,i )T x y z , el cual representa el vector tangente unitario en el punto( , , )P x y z . De tal manera que el trabajo que ejerce este campo de fuerza sobre la* * * *i i i ipartícula para moverla de Pi− 1haciaPisería el producto del desplazamientoPi∆ si, porla fuerza ejercida en el punto en la dirección del desplazamiento, que vendría dado porel vector tangente unitario, esto es* * * * * *( , , ) ⋅ ( , , )F x y z T x y z ∆ si i i i i i i

por tanto el trabajo total que ejerce el campo de fuerza para desplazar la partícula desdesu punto inicial hasta el punto final vendría dado, en forma aproximada, por laexpresiónn∑i=1( * , * , * ) ⋅ ( * , * ,*)F x y z T x y z ∆si i i i i i iPara tener una aproximación más cercana al valor verdadero del trabajo total realizadose puede incrementar el número de subarcos n en el que se ha dividido la curva C. Alestudiar el límite de estas aproximaciones se obtiene el valor exacto del trabajo totalrealizado es:n→∞ i = 1n∑ ( * * * ) ( * * *i, i, i i, i, i ) i ∫ ( , , ) ( , , )W = Lim F x y z ⋅T x y z ∆ s = F x y z ⋅T x y z dsConsiderando que la curva C tiene como parametrización a la función vectorial3R→R () = ( () () ( )), el vector tangente unitario ( )g: / g t x t , y t , z t()T t() t() t= g'g', de manera que la ecuación anterior se podría reescribir como() t() tCT t viene dado porb⎡g'⎤bW = ∫ ⎢F( x() t , y() t , z()t ) ⋅ ⎥ g' () t dt = F( x() t , y() t , z()t ) g'() t dtag'∫ a⎢⎣⎥⎦Ahora bien esta interpretación ha sido desarrollada para el caso en que el campovectorial es un campo de fuerza, sin embargo podemos basarnos en este desarrollo paradefinir al integral de línea de un campo vectorial de la manera que se presenta acontinuaciónDefinición. Sea F un campo vectorial definido por( ) ( 1( ) 2( ) 3( ))3 3F: D / F X F X , F X , F X⊆R →R = , y sea C una curva, definida en D,3dada paramétricamente por la función vectorial g: R→R / g( t) = ( x( t) , y( t) , z( t))con t∈[ a,b], entonces la integral de línea del campo vectorial F sobre C es igual a∫ ∫ ∫C C ab( ()) '()F⋅ dr = F⋅ Tdl = F g t ⋅g t dt

∫ ∫ ∫ ∫ ∫CF ⋅ dr = F ⋅ dr + F ⋅ dr + F ⋅ dr + F ⋅drC1 C2 C3 C4∫C ∫1 C ∫2 C ∫3 C42 3 2 3∫ x dy ( 2 ) ( 2 )C ∫ y xy dx1 C ∫ x dy y xy dx2 C ∫3 C4−−∫ ()() ∫ () () ∫ ∫= F dx + F dy + F dx + F dy + F dx + F dy + F dx + F dy1 2 1 2 1 2 1 2= + + + + +( )() ( )() (() ())()1 2 1 3 1 2 1 3−1 1 1 −1= 1 1 dt + 1 + 2t 1 1 dt + − 1 1 dt + 1 + 2t 1 1 dt= 0EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.1.1) Evalúe cada una de las siguientes integrales de línea∫Cyzdx + xzdy + xydz, donde Cestá formada por los segmentos rectilíneos que unen al punto ( 1, 0, 0 ) con ( 0,1,0 ) y aéste con ( 0,0,1 ).2x22) Sea F( x, y, z) ( xe ,3x y)= . Determine la integral de F a lo largo del perímetro delrectángulo con vértices en los puntos ( 0,0 ) , ( 3, 0 ) ( 3, 2 ) y ( 0, 2 ) , recorrido en sentidopositivo.1.5.2. Significado físico de la integral de línea de un campo vectorial F.Otra interpretación física de la integral de línea es cuando la función vectorial V escampo de velocidades de un fluido, el significado que tiene la integral de línea∫ V ⋅Tdr es la cantidad de fluido circula a lo largo de la curva C por unidad de tiempo,Cen la dirección del vector tangente unitario T, si la curva C es una curva cerrada, laintegral de F sobre esta curva se escribe∫ V ⋅T dr y se le denomina como la integralCde circulación de V alrededor d la curva C. Si la función V representa un campo develocidades de un fluido, la integral de línea∫ V ⋅ Ndr se interpreta como el flujo queCatraviesa a la región acotada por la curva C por unidad de tiempo, en la dirección delvector unitario N, y a se le denomina como integral de flujo de V a través de C.En el caso que un campo vectorial continuo B represente un campo magnético, laintegral de línea∫ B ⋅ Ndr representa la cantidad de corriente que atraviesa la regiónCR acotada por la curva C, mientras que si la función vectorial E es un campo eléctrico

continuo sobre alguna región R, entonces la integral de línea de∫CB ⋅ Ndr, se interpretacomo el flujo del campo eléctrico a través de la región R.EJEMPLO 32. Sobre una partícula en el plano se aplica un campo de fuerza dado por2y( , ) ( ,2 )F x y = y + y xy− e , la trayectoria de dicha partícula se describe por el arco enel primer cuadrante de la circunferencia x2 + y2 = 1, y luego por la recta x + y = 1,siguiendo el sentido de las agujas del reloj. Determine el trabajo que ejerce el campo defuerzas sobre la partícula a través de la trayectoria descrita.Figura 37. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo 32.Solución. La parametrización de la curva que describe la trayectoria de la partículaviene dado por C C1 C222[ ] ( ) ( )= ∪ , donde C : 0, 2 / g( θ ) ( cos θ,senθ)1⎡ π ⎤⎢ →R =⎣ 2 ⎥⎦C :0,1 →R / g t = t ,1− t , la integral de línea para determinar el trabajo ejercidosobre dicha partícula viene planteada pory

∫C( , )W = F x y ⋅dr∫( , ) ( , )= F x y ⋅ dr+ F x y ⋅dr∫C1 C2∫( , ) ( , ) ( , ) ( , )= F x y dx+ F x y dy+ F x y dx+F x y dy1 2 1 2C1 C2∫πdd2= ∫ F1( x( θ) , y( θ)) ( x( θ)) d( θ) + F2( x( θ) , y( θ)) ( y( θ)) d( θ)0dθdθ0dd+ ∫ F1( x() t , y()t ) ( x()t ) d() t + F2( x() t , y()t ) ( y()t ) d()t1dtdtπ2 2sen( θ )= ⎡( sen ( θ ) sen( θ))( sen( θ)) ( 2cos( θ) sen( θ)e )( cos( θ)) ⎤∫ + − + −d ( θ)0 ⎣⎦02+ ⎡( ( 1− t) + ( 1− t))() 1 + ( 2t( 1−t))( 1) ⎤∫− d( t)1 ⎣⎦π2 3 2 2sen( θ⎡)sen ( ) sen ( ) 2cos ( ) sen( ) e cos d0 ⎣⎦0 2 2∫∫( 1 t) ( 1 t) 2t 2t ⎤d( t)( ) ⎤ ( )= − θ − θ + θ θ − θ θ+ ⎡ − + − − +1 ⎣⎦π3 23 3 sen2 3⎡ 1 2 2 ⎤=⎢cos( θ) − cos ( θ) − cos ( θ)− e + ⎢− − − t + t ⎥⎣ 3 3 ⎥⎦ 3 2 30 ⎢⎣⎥⎦⎡ 1 1 2⎤= [ 1− e]+⎢− − + 1−⎣ 3 2 3⎥⎦1= −e22( θ ) ⎤ ⎡ ( 1−t) ( 1−t)EJEMPLO 33. La fuerza en un punto ( x, yz , ) esta dada por F ( xyz , , ) ( yzx , , )01= .Calcule el trabajo realizado por F( x, y,z ) sobre una partícula que describe latrayectoria dada por la curva C:0,2 [ ] →R 3 / f ( t) = ( t, t 2 , t3)

Figura 38. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo 33.Solución. El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral de línea∫CF⋅dr, como ya se conoce la parametrización de la curva C, que describe la trayectoriade la partícula, se obtiene2( , , )W = F x y z ⋅dr( , , ) ( , , ) ( , , )1 2 3() 1 ( 2 ) ( 3 )= ⎡0 ⎣+ +2= ∫⎡0 ⎣ + + ⎤⎦⎡1 3 2 5 3 4⎤=⎢t + t + t⎣3 5 4 ⎥⎦8 64= + + 123 5412=15EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.3.∫C∫= F xyzdx+ F xyzdy+F xyzdzC∫= ydx + zdy + xdz1) La fuerza en un punto ( , )C∫2 3 2t t t t t dt2 4 3t 2t 3t dttrabajo realizado por F( x, y,z ) sobre la curvapunto ( 2,8 ).20⎤⎦x y esta dada por F( x, y) ( x 2 y 2 , xy)y= + . Determine el3= x desde el punto ( )0,0 hasta el

2) La fuerza en un punto ( , , )x yz esta dada por F( x, y, z) ( e x , e y , ez)= . Calcule eltrabajo realizado por F( x, y,z ) sobre una partícula que describe la trayectoria dada porla curva C:0,2 [ ] →R 3 / f () t = ( t, t 2 , t3)3) Si el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( x, y, z) ( 3 xy, 5 z 2 , x)= − para moveruna partícula a lo largo de la curva C, dada paramétricamente por3 2 2C:0, [ t0] →R / f ( t) = ( t + 1, t , t)es 1543t0.unidades de trabajo, determine el valor de1.5.4. Velocidad tangencial promedio de un fluido.Si una función V ( x, y,z ) representa un campo de velocidades de un fluido en3R laintegral de línea∫CV ⋅ dr, donde C es una curva suave o parcialmente suave, cerrada yrecorrida en forma positiva, se puede interpretar como la cantidad neta de giro delfluido en el sentido de recorrido de la curva C. Se puede aquí observar lo siguiente: si∫ V ⋅ dr > 0 entonces las partículas del fluido se desplazan en el sentido de recorrido deC∫la curva; si por el contrario V ⋅ dr < 0 , entonces las partículas del fluido se desplazanCen el sentido contrario al del recorrido de la curva C y si el campo vectorial V es∫perpendicular a la curva C, entonces V ⋅ dr = 0 , en este caso el fluido se dice que esirrotacional.CAhora bien, también es posible determinar la velocidad tangencial promedio de unfluido sobre la curva cerrada C, o circulación promedio del campo V sobre la curva Cmediante la siguiente integral1V = V ⋅TdrS∫CEn donde S representa la superficie de la región que está acotada por la curva cerrada C.

EJEMPLO 34. Si la velocidad de un fluido está descrita por V ( x, y) ( yx,y)C= .Determine la circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es lacircunferencia con centro en el origen coordenadas y con radio 2.Solución. La circulación de V a lo largo de la curva C, viene dado por la integral delínea ∫ V ⋅Tdr, la curva C se puede parametrizar como() ( ) [ ]2g: / g t 2cos t,2 sent , t 0,2πR→R = ∈ , como ya se conoce la parametrización dela curva C, que describe la trayectoria de la partícula, se calcula la integral de línea de lasiguiente manera:∫CCC2π02π0( , )W = V x y ⋅dr∫( , ) ( , )= V x y dx+V x y dy∫1 2= yxdx + ydy∫( 2 )( 2cos )( 2s ) ( 2 )( 2cos )= ⎡⎣sent t − ent + sent t ⎤⎦dt∫2= ⎡⎣− 8sen t cost + 4sent cost⎤⎦dt⎡ 8 3 2 ⎤=⎢− sen t + 2sen t⎣ 3⎥⎦= 0El campo F no realiza trabajo sobre la partícula.2π0EJEMPLO 35. Si la velocidad de un fluido está descrita por2( , , ) ( ,2 , )V x y z = x xy+ x z . Determine la circulación de V a lo largo de la curva C,sabiendo que la curva C es la circunferencia unitaria con centro en el origen decoordenadas, en el plano z = 0 .Solución. La curva C puede ser parametrizada por la expresión vectorial() ( ) [ ]3g: / g t cos t, sent,0 , t 0,2πR→R = ∈ , la integral de línea para calcular lacirculación del fluido se define de la siguiente manera:

∫CCC( , , )W = V x y z ⋅dr∫( , , ) ( , , ) ( , , )= V xyzdx+ V xyzdy+V xyzdz∫1 2 3( 2 )= + + +∫2xdx xy x dy zdz( cos ) ( s ) ( 2 cos cos )( cos ) ( 0)( 0)2π2= ⎡ t − ent + sent t + t t + ⎤ dt0 ⎣⎦∫2π0() () cos ()2 2= ⎡⎣cost sen t + t ⎤⎦dt⎡ 1 3 1 1 ⎤=⎢− cos t+ t+sen( 2t)⎣ 3 2 4 ⎥⎦= πEl fluido circula en el sentido contrario al de las agujas del reloj.2π0EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.4.1) Si la velocidad de un fluido está descrita por F( x, y, z) ( x 2 ,2 xy x,z)= + . Determinela circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es la circunferenciacon centro en el origen de coordenadas y radio 1, en el plano z = 0 .2) Si la velocidad de un fluido está descrita por F( x, y, z) ( x 2 ,2 xy x,z)= + . Determinela circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es la circunferenciacon centro en el origen de coordenadas y radio 1, en el plano z = 0 .