2.6. Integral de superficie de un campo escalar.

2.6. Integral de superficie de un campo escalar.Para definir la integral de superficie de un campo escalar, consideraremos una superficieS que esta dada paramétricamente por la función vectorial g, definida por( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )2 3g: / g uv , xuv , , y uv , , z uv , xyz , ,R →R = = cuyas primeras derivadasparciales son continuas, y tal que z ≥ 0 en toda una región R del plano uv, y sea lafunción f ( , , )xyz una función escalar continua en toda la región3D ⊆R que contienea la superficie S. Entonces si denotamos por∆ Tiy Si∆ a las áreas de las regiones en elplano tangente y en la superficie S, respectivamente, obtenidas al proyectar la región Rien el plano tangente y en la superficie S en el punto genéricoi( i, i, ( i,i))ahora la imagen de la función f para el puntoi( i, i, ( i,i))el áreaP x y f x y . SiP x y f x y , se multiplica esta por∆ Tide la proyección de la región R ien el plano tangente, y se realiza esteprocedimiento para todos los puntos sobre la superficie se genera la siguiente sumanf x , y , z ∆ T + f x , y , z ∆ T + ... + f x , y , z ∆ T = f x, y , z ∆T( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2∑n n n n i i i ii=1Figura XX. Integral Campo EscalarDonde al tomar el límite de esta suma de Riemann cuando n →∞ se define la integralde superficie de la siguiente manera,Definición. Sea f una función escalar continua en una región3D ⊆R que contiene a lasuperficie S, tal que S viene dada paramétricamente por la función vectorial

( ) ( ( ) ( ) ( ))2 3g: / g u, v x u, v , y u, v , z u,vR →R = , entonces la integral de Superficie def sobre la superficie S es∫∫Snf xyzdS , , = Lim f x, y,z ∆T∑( ) ( )n→∞ i = 1i i i iEl área de la superficie S si ésta viene dada en forma paramétrica de la forma( ) ( ( ))2 3h: / h x, y x, y, g x,yR →R = , se determina a partir de∫∫( ) ⎤2⎡ ( ) ⎤2A= ⎡⎣gxx, y ⎦ + ⎣gyx, y ⎦ + 1dARY por tanto la evaluación de una integral de superficie se puede realizar a través de lasiguiente fórmula:S( ) ( )∫∫ ∫∫( ) ⎡ ( ) 2⎡ ( ) ⎤2x⎤yf xyzdS , , = f xyg , , xy , ⎣g xy , ⎦ + ⎣g xy , ⎦ + 1dARxySi la superficie S viene dada en forma paramétrica de la forma( ) ( ( ) ( ) ( ))2 3g: / g u, v x u, v , y u, v , z u,vR →R = , se debe recordar que el área de lasuperficie S viene dada por la integral doble( )( )( )( )( )( )2 2 2⎡∂ xy , ⎤ ⎡∂ yz , ⎤ ⎡∂xz , ⎤A = ∫∫ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ dudv∂ uv , ∂ uv , ∂ uv ,R ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Y por tanto la evaluación de la integral de superficie se puede realizar a través de lasiguiente fórmula:( )( )( )( )( )( )2 2 2⎡∂ xy , ⎤ ⎡∂ yz , ⎤ ⎡∂xz , ⎤f ( xyzdS , , ) = f( g1( uv , ), g2( uv , ), g3( uv , ))+ +dA⎢⎣∂ uv , ⎥⎦ ⎢⎣∂ uv , ⎥⎦ ⎢⎣∂uv , ⎥⎦∫∫ ∫∫S R uvLa interpretación física de la integral de la función f sobre la superficie S dependerá delsignificado físico que tenga la función f, si la función f ( , , )xyz representa la densidadsuperficial de la superficie, entonces la integral de f sobre S constituye la masa total dela lamina curvada.2 2EJEMPLO 52. Determine el valor de la siguiente integral de superficie ∫∫ ( x + y ) dS ,2 2donde S es la porción del paraboloide z = 4 −x − y que se encuentra sobre el plano xy.S

Solución. Una parametrización para esta superficie, dada de manera explicita, está dadapor la función vectorial : 2 3 / ( , )0≤ y ≤ 2.⎡ x ⎤ ⎡x⎤g R →R g x y =⎢y⎥ ⎢y⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥, con x2 + y2 ≤ 4 y2 2⎢⎣ 4 −x − y ⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦Al sustituir esta parametrización en el campo escalar g, la integral de superficie quedadefinida por la siguiente expresión∫∫S2( ) ( ( )) ⎡x( ) ⎤ ⎡y( )∫∫f x, y, z dS = f x, y, f x, y ⎣g x, y ⎦ + ⎣g x, y ⎤⎦ + 1dARxy2 2∫∫ ( ) [ ] [ ]∫∫ ( )2 2= x + y − 2x + − 2y + 1dARxy= + + +R2 2 2 2x y 4x 4y 1dA∫ (0 ∫02 2 2 2) [ ] [ ]2π2∫ ∫2π2 2 2= r cos θ + r sen θ 2r cosθ + 2rsenθ + 1rdrdθ2 3= 4r+ 1r drdθ0 032π⎡ 1 2 2⎤= ∫ ( 4 1) ( )2 6 10⎢ r + r − ⎥ dθ⎣120⎦ 0⎛391 17 −1⎞=⎜π60 ⎟⎝ ⎠Al resolver la integral, en este caso es apropiado, realizar un cambio en coordenadaspolares debido a la región R que proyecta la superficie sobre el plano xy, en un discocircular donde se observa que 0≤r≤ 2 y 0≤θ≤ 2π.22Figura 57. Paraboloide del Ejemplo 52.

∫∫ y dS ,EJEMPLO 53. Determine el valor de la siguiente integral de superficie ( x + )donde S es la parte del plano z = 4x+ ysobre la región limitada poryS2= x e 1y = .Solución. Para este plano una parametrización conveniente está dada por⎡ x ⎤ ⎡x⎤2 3g: R →R / g( x,y)=⎢y⎥ ⎢y⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥, con 0≤ x ≤ 1 y x2 ≤ y ≤ 1. La integral de⎢⎣4x + y⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦superficie en términos da las variables x e y está definida por la expresión∫∫S( ) ( )2( ) ⎡x( ) ⎤ ⎡y( )f xyzdS , , = f xyf , , xy , ⎣g xy , ⎦ + ⎣g xy , ⎦⎤ + 1dARxy∫∫ ( ) [ ] [ ]1 102x( )2 2= x+ y 4 + 1 + 1dARxy= x + y 18dydx21⎡y ⎤= 18∫⎢xy+2⎥ dx⎣ ⎦1⎛= ∫ ⎜ + − + ⎟0⎝ 2 2 ⎠12 4 5⎡x 1 x x ⎤= ⎢ + x − +2 2 4 10⎥⎣⎦=∫∫∫∫172002x41 3 x ⎞x x dx102Figura 58. Superficie del Ejemplo 53.EJERCICIOS PROPUESTOS 2.6.

1) Determine la integral ( + + )∫∫S2x+ 2y+ z = 2 que se encuentra en el primer octante.2 22) Determine la integral ∫∫ ( + )2 2 2x + y + z = 4 con z ≥ 1.x y z dS, siendo la superficie S la porción del planoSx y zdS, si la superficie S está definida por3) Determine la integral∫∫S1dS , si la superficie S está definida porz− y+1z = x + y con 0≤ x ≤ 1 y 0≤ y ≤ 1.22 24) Determine la integral∫∫SxyzdS , si la superficie S está definida por la parte delcilindrox+ z = 4 en el primer octante, entre los planos y = 0 y y = 1.2 22.6.1. Aplicaciones de la integral de superficie de un campo escalar.La aplicación directa que tiene la integral de superficie de un campo escalar es ladeterminación de la masa de una superficie, cuando el campo escalar representa ladensidad superficial de la misma. Se observará ésta aplicación en los siguientesejemplos. Sin embargo, así como puede ser calculada la masa de una lámina curvadatambién puede ser determinado su momento de inercia y su centro de masa.EJEMPLO 54. Determine la masa total de la superficie dada por la parte superior de laesfera2 2 2 2x + y + z = a , si la densidad superficial de la misma, está dada por la función2( , , ) xg x y z= , con a > 0Solución. Esta superficie esférica tiene una parametrización definida en coordenadas2 3esféricas por la función ( )( ϕ) cos( θ)( ) ( )cos( ϕ )⎡asen⎤ ⎡x⎤⎢ ⎥g: R →R / g θϕ , = asen ϕ sen θ⎢y⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎣ a ⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦en donde0≤θ≤ 2πy 0 ≤ϕ ≤ π . La integral de superficie que se va a a calcular esta dada por( , , ) ( 1( θϕ , ), 1( θϕ , ), 1( θϕ , ))∫∫ ∫∫f x y z dS = f g g g r × r dAS R xySe calcula el vector normal n que se define como n= r × r , y para ello se determinanlos vectores tangentes r θy r ϕcomo se muestra a continuaciónθϕθϕ

ϕ⎛ ∂x ∂y ∂z⎞= ⎜ , , ⎟⎝∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ⎠= −( a cos( ϕ ) cos ( θ) , a cos ( ϕ) sen( θ) , asen( ϕ))rθ⎛ ∂x ∂y ∂z⎞= ⎜ , , ⎟⎝∂θ ∂θ ∂θ⎠= −( asen( ϕ) sen( θ) , asen( ϕ) cos ( θ),0)El producto vectorial de estos vectores, el vector norma n, está dada por el siguientevector n r ( 2 2 cos , 2 2 s , 2θrϕ a sen ϕ θ a sen ϕ enθ a senϕcosθ)= × = − − − . Como nos interesaes la norma de este producto cartesiano, al calcularlo queda dado por2n = a senϕY al sustituir esta parametrización y realizar un cambio de variable apropiado sedesarrolla la integral de superficie correspondiente para determina las masa de la láminaen forma de esfera.∫∫S( 1 1 1 )( , , ) ( θϕ , ), ( θϕ , ), ( θϕ , )f xyzdS= f g g g r×r dA=∫∫Rθϕ∫∫Rθϕ( s ( ) cos( ))π2π4 2 3 2∫ s0 ∫02 2a en ϕ θ a senϕ dϕdθ( ) cos ( )= a en ϕ θ dϕdθπ2π24 ⎡ 1 cos3 ⎤ cos2∫0⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0( ) ( )= a ϕ+ϕ θ dθ24⎛π1 ⎞ π2= a ⎜ − ⎟ cos ( )2 3∫ θ dθ0⎝ ⎠4 ⎛π1⎞⎡1 1 ⎤= a ⎜ − θ + cos ( 2 θ)⎝ 2 3⎟⎢⎠⎣2 4 ⎦⎥4a 2= ( 3π−2π)6πComo 0 ≤ϕ≤ , entonces senϕ= senϕ; al resolver la integral, en este caso es2πapropiado, integrar sobre la región del plano θ y ϕ en donde se observa que 0 ≤ϕ≤2y 0≤θ≤ 2π.4a62La masa de ésta superficie esférica es de ( 3π2π)2π− unidades.0θϕ

Figura 59. Superficie esférica del Ejemplo 54.EJEMPLO 55. Determine la masa total de la superficie dada por la parte del planoz = b+ y, que se encuentra dentro del cilindro2 2 2la misma, está dada por la función g( x, y,z) x y z2 2 2x + y = b , si la densidad superficial de= + + , con b > 0Solución. Para esta superficie dada de manera explicita por la forma z f ( x,y)2 3parametrización está definida por la función : / ( , )0 ≤ x ≤ b y 0 y b= una⎡ x ⎤ ⎡x⎤g R →R g x y =⎢y⎥ ⎢y⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥, con⎢⎣ b+y⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦≤ ≤ . El vector normal de éste plano es ( 0, 1,1)n = − , cuya norman =2 . La integral de superficie correspondiente para determinar el área de estalámina plana cuya densidad superficial no es homogénea sobre toda su superficie quedadefinida como

∫∫S( )( , , ) = , , ( , )∫∫f x y z dS f x y f x y n dARxy∫∫2 22( ( ) )= x + y + b + y 2dxdyRxy2 2 2∫∫ ( )= x + 2y + 2by + b 2dxdyRxy(( ) ( ))2π2 2 2 2∫ ∫= 2 r cosθ + 2 rsenθ + 2brsenθ + b rdrdθ0 024 2 4 2 3 2 2⎤r r sen r sen b r d2π⎡1 1 1 1= ∫ cos ( ) ( ) ( )0 ⎢ θ + θ + θ + θ⎣4 2 3 2 ⎥⎦2π⎡ 2 2 2 1 2⎤= 4∫cos ( θ) 2sen ( θ) sen( θ)b dθ0 ⎢+ + +⎣3 2 ⎥⎦2π2 ⎤θ ( θ) θ ( θ) ( θ)b θ⎥⎦ 0⎡1 1 1 2 1= 4⎢+ cos 2 + − cos 2 − cos +⎣2 4 2 3 22( b )= 4π3+0Figura 60. Superficie S del Ejemplo 55.EJERCIOS PROPUESTOS 2.6.1.1) Determine la masa total de la superficie dada por la parte del plano2bx + 3by + bz = 6b, que se encuentra en el primer octante, si la densidad superficial dela misma, está dada por la función g ( x, y,z)= bx + by , con b > 02) Determine la masa total de la superficie dada por la parte del parabolide2 22z = x + y ,que se encuentra adentro del cilindro2 22y = x + y , si la densidad superficial de la2 2 2misma, está dada por la función g( x, y,z) = x + y + z

3) Determine la masa total de la superficie dada por la parte de la esfera2 2 2 2x + y + z = 4a, que se encuentra adentro del cilindro2 22ax = x + y en el primeroctante, si la densidad superficial de la misma está uniformemente distribuida.